PROPRIEDADES DO ELIPSÓIDE PROPRIEDADES DO ELIPSÓIDE

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Thomas Faria Prada
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1 ! ' & * / + +!, * # ( Elipse eradora Na Geodesia é o elipsóide de revolução (2ª aproximação) que serve como referência no posicionamento eodésico; Em muitos dos cálculos da Geodesia Geométrica é usada a eometria do Elipsóide de Revolução; O Elipsóide é formado pela rotação de uma elipse em torno do seu semi-eixo menor; Z 1 F 2 F 1 a X 2 Elipse eradora arâmetros fundamentais da elipse: Achatamento polar (I) -. Z 1ª excentricidade (H) 1 a F 2 F 1 X 2ª excentricidade (H ) $% ( ) 1

2 : 3 2 C N 1 M C ; M F E S O U R O T O Elipse eradora Outros parâmetros da elipse: Excentricidade anular (α) ?A@ B K L => < HJI G Z 1 α a F 2 F 1 Q X Excentricidade linear (E) ( H 2) Elipsóide GRS8 O Elipsóide actualmente recomendado pela IAG é o Geodetic Reference System 18 (Moritz, 18) : 6HLHL[RLRU 6HLHL[RHQRU ([FHQWULFLGGHOLQHU a = m = m E = m H[FHQWULFLGGH e 2 = H[FHQWULFLGGH e 2 = $FKWHQWR I = ,QYHUVRGRFKW 1/I=

3 Coordenadas Geodésicas ϕ - /WLWXGH *HRGpVLF de um ponto Q situado à superfície do elipsóide é definida pelo ânulo entre a normal ao elipsóide no ponto Q e o plano do equador; λ - /RQJLWXGH*HRGpVLF de um ponto à superfície do elipsóide é definida pelo rectilíneo do diedro formado pelos planos do meridianos eodésicos do ponto e o de referência, convencionada positiva para Este; h Altitude eodésica é a distância (QQ ) medida ao lono da normal, entre a superfície do elipsóide e a superfície toporáfica; Outras Latitudes β - /WLWXGH5HGX]LG (ou paramétrica) de um ponto situado à superfície do elipsóide é definida pelo ânulo ao centro de uma esfera tanente ao elipsóide no equador (circunscrita), de raio r = a; ψ - /WLWXGH*HRFrQWULF de um ponto à superfície do elipsóide é o ânulo ao centro do elipsóide, medido entre o plano do equador e a direcção radial do ponto; 3

4 ` ` a e d X V _ W V ` _ c a [ ^ ^ ] X V V f f f Raios de curvatura O raio de curvatura de uma secção normal ao elipsóide dependerá do azimute dessa secção normal; Em cada ponto existem duas secções normais mutuamente perpendiculares entre si, cujas curvaturas tomam o valor máximo e mínimo; As secções normais que verificam o valor máximo e mínimo de curvatura dizem-se secções normais principais; Sore o elipsóide de revolução as secções normais principais são: $ VHFomR GR HULGLQR (ρ ou M), erada pelo plano normal de um ponto que passa pelos dois pólos; $ VHFomR GRSULHLUR YHUWLFO (N), erada pelo plano normal de um ponto, perpendicular ao plano do meridiano tamém desinada por rande normal. Raio de curvatura do Meridiano ara uma qualquer curva sore o plano, z = F(x), o raio de curvatura num dado ponto da curva é dado por: \ ] XZY ] XZY [ a aplicação desta fórmula ao arco de meridiano chea-se à expressão do raio de curvatura do meridiano: H H VLQ I H : F 4

5 z ƒ y y ƒ s r x v t u w t u Raio de curvatura do 1º Vertical a Fiura extrai-se a relação entre o raio de curvatura do 1º Vertical e o raio do paralelo: 3 1 VLQ ž I 1 FRV I Sustituindo na expressão do raio do paralelo, iual a x, vem 1 h h H VLQ I : F Raio de curvatura de secção α A )yuxo GH (XOHU dá-nos a curvatura de uma qualquer secção normal em função das curvaturas das secções principais: ~ { y {6 } onde ρ é o raio de curvatura aritrário, ρ1 e ρ2, os raios de curvatura principais, respectivamente, máximo e mínimo, e θ é o ânulo medido a partir da secção principal de maior raio de curvatura; Como N é normalmente maior que M, α=º-θ, e Resultado o raio de curvatura da secção normal de azimute α lpo q n jakml i FRV VLQ 5

6 ß œ á ã ¾ š Þ Ý Žœ ¼ Œ â Ü à Û ò Ú ª Ì ¹ Ç ² Ù ¹ š ² Æ ª Ž ž ³ ¹ ² Í Ë Ô ê Æ æ ì Ž Œ Í Ê é è ž ž ë ç ï Æ î ½ ««í Í É Ž Œ Œ È ÀÀ Outros raios de curvatura 5LR pglr *XVVLQR é definido pelo valor médio interal de R ao lono da variação de azimute de º a 36º: Šm Š ³ A A ³ ˆ Ÿm Raio da esfera com a média dos 3 raios do elipsóide: ³»º µ ± Outros raios de curvatura Raio da esfera com a mesma área do elipsóide: S 5 6 ÄÃÃÅÆ ØÕ ÔÖÕ ÎÐÔ Ï ÎÐÏAÑÓÒ Â Á Raio da esfera com o mesmo volume do elipsóide: ä å ðñï 5 E H 6

7 ù ø ö ö ü ü ü! ú ú û ý ý ú þ þ ý Outros raios de curvatura ara os parâmetros do sistema eodésico GRS8, otêm-se os seuintes valores dos diferentes raios: 5ó 5ô 5õ ada a pequena diferença entres os diferentes valores, usa-se simplesmente o valor: 5 N Coordenadas Rectanulares espaciais Ao elipsóide está associado um sistema de eixos tri-ortoonais, em relação ao qual se estaelece o terno de coordenadas (X,Y,Z); ada uma posição acima do elipsóide, definida em coordenadas eodésicas (φ,λ,h), é possível definir a relação entre os dois tipos de coordenadas; ÿ ÿ ÿ ÿ ÿ 7

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