PLANOS. vibrac~oes livres em porticos planos. Foi usado o metodo p na aproximac~ao por elementos

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1 MODELAGEM P-ADAPTATIVA DA DIN ^AMICA DE P ORTICOS PLANOS Horacio Valadares Duarte Departamento de Engenharia Mec^anica- UFMG Av. Antonio Carlos, Campus Pampulha CEP Belo Horizonte, MG, Brasil Renato Pavanello Departamento de Mec^anica Computacional - FEM - UNICAMP C.P CEP Campinas, SP, Brasil Resumo Neste trabalho apresenta-se o equacionamento e os resultados obtidos para o problema de vibrac~oes livres em porticos planos. Foi usado o metodo p na aproximac~ao por elementos nitos, desenvolvida uma famlia de func~oes de forma para os deslocamentos transversais e de rotac~ao, e utilizada outra famlia de func~oes de forma para deslocamento longitudinal. Este procedimento possibilita o emprego do estimador de erro na norma da energia (Friberg et al., 1987) para problemas de autovalores. Desta forma os resultados s~ao obtidos para um erro maximo aceitavel previamente estipulado em uma faixa de frequ^encias de interesse. Os resultados obtidos por este metodo s~ao comparados aos resultados numericos obtidos de programas de elementos nitos com elementos convencionais. Palavras-chave: Metodo de Elementos Finitos, Porticos, Autovalores e Autovetores, Estimador de Erros, Analise p-adpatativa 1. INTRODUC ~AO O procedimento tradicional para estimar o erro em problemas de elementos nitos convencionais e o de variar a malha ate que os valores para frequ^encia n~ao se alterem com o numero de elementos, seja o problema estatico ou din^amico. Algumas estruturas se apresentam em congurac~oes em que e difcil uma maior discretizac~ao como e o caso da trelica. Nestes casos o procedimento tradicional para vericar a converg^encia na faixa de frequ^encias de interesse ca comprometido. A metodologia aqui descrita conhecida como metodo p-adaptativo pode ser aplicada a diferentes tipos de estruturas bidimensionais simples: barras, trelicas, vigas e porticos. Como o procedimento e adptativo ha a necessidade de se estimar o erro associado ao elemento de forma a aumentar a ordem do 1

2 polin^omio hierarquico apenas nos elementos onde e realmente necessario. Em problemas de autovalor e autovetor e usada a norma da energia como tecnica de estimar o erro (Noor et al., 1987). Para minimizar o numero de operac~oes e viabilizar o processo p-adaptativo foi empregado o estimador proposto por (Friberg, 1986). Afamlia de func~oes de forma empregada na discretizac~ao das equac~oes din^amicas na direc~ao longitudinal foi proposta por (Babuska e Sazbo, 1991). Para as func~oes de forma fsicas na direc~ao transversal foram usadas as func~oes tradicionais (Cook et al., 1989) que satisfazem as exigencias de continuidade da func~ao e de sua derivada nos nos. As func~oes de forma de ordem mais elevada para esta direc~ao foram desenvolvidas objetivando satisfazer a continuidade nos nos e diagonalizar os termos hierarquicos ou de mais alta ordem na matriz de rigidez. Este procedimento permite maior rapidez no processamento do estimador de erro (Babuska e Sazbo, 1991). Na sec~ao de formulac~ao s~ao apresentados as equac~oes que descrevem o comportamento din^amico do portico bidimensional, as func~oes de forma empregadas, discutido o estimador sua formulac~ao e implementac~ao (Friberg et al., 1987). Em seguida s~ao apresentados os resultados numericos obtidos pelo metodo p e por elemento nitos convencionais. Na sec~ao de analise de resultados e feita uma comparac~ao entre os metodos. 2. FORMULAC ~AO PARA P ORTICO A equac~ao que descreve a vibrac~ao de uma barra na direc~ao longitudinal e escrita como: + u 2 A@2 =0 (1) sendo A aarea da sec~ao do elemento de portico, E omodulo de elasticidade, a densidade do material e u indica o deslocamento nesta mesma direc~ao. A express~ao que descreve a ex~ao 2! 2 + s =0 (2) sendo I o momento de inercia da sec~ao transversal em relac~ao a linha neutra. Aqui s representa o deslocamento na direc~ao normal. Sera considerado que os elementos t^em area, densidade e momento de inercia constantes. Multiplicando as equac~oes por uma func~ao de ponderac~ao v, integrando sobre o comprimento l e aplicando Green e considerando apenas as condic~oes de Dirichilet do problema, obtem-se a forma fraca das equac~oes diferenciais acima: dx ;!2 A EI Z l 0 d 2 s d 2 v dx ; dx 2!2 2 dx Z l 0 Z l 0 uvdx =0 (3) (Asv) dx =0: (4) O proximo passo e fazer a aproximac~ao por elementos nitos. Para tal e necessario que se dena as func~oes de forma.

3 2.1. Formulac~ao das Func~oes de Forma para Portico As func~oes de forma fsicas para interpolac~ao linear do deslocamento longitudinal no espaco isoparametrico ;1 <<1s~ao as express~oes N b 1 e N b 2 na primeira coluna da Equac~ao 5. Nas duas ultimas colunas desta equac~ao est~ao as func~oes de forma fsicas empregadas na discretizac~ao Equac~ao 4, respectivamente as func~oes de forma para deslocamento transversal e rotac~ao (Cook et al., 1989). N b 1 = 1 2 (1 ; ) N v 1 = 1 4 (2 ; ) N v 2 = L 8 (1 ; ; ) N b 2 = 1 2 (1 + ) N v 3 = 1 4 (2 + 3 ; 3 ) N v 4 = L 8 (;1 ; ) (5) As func~oes de forma de ordem mais elevada aqui usadas ser~ao consideradas em dois grupos. Um para a equac~ao que descreve a din^amica do sistema na direc~ao longitudinal e outro grupo para o os movimentos transversais ou de ex~ao. Para a direc~ao longitudinal foi empregada a famlia desenvolvida por (Babuska e Sazbo, 1991), obtida a partir dos polin^omios de Legendre. Os polin^omios de Legendre P () pertencem a uma das famlias que exibem propriedades de ortogonalidade no domnio ;1 P () 1es~ao empregados na denic~ao de func~oes de forma de ordem elevada. Para o caso especco as func~oes s~ao denidas garantindo que sejam nulas em = ;1 e = 1 onde os valores nodais ja foram atribuidos pelas func~oes de forma fsicas. Uma exig^encia adicional para reduzir o esforco computacional no processo de estimac~ao do erro e queaintegral do produto das derivadas entre func~oes hierarquicas de ordem ou graus diferentes se anulem. Esta exig^encia signica que a matriz de rigidez tera os termos convencionais gerados pelas func~oes de forma fsicas, todos os outros elementos gerados pelas func~oes de forma hierarquicas s~ao nulos, exceto na diagonal. Para a direc~ao longitudinal: N b k() = 1 q 2(2j ; 1) [P j () ; P j;2()] (6) nesta express~ao Nk b e ak-esima func~ao de forma hierarquica de ordem ou grau j e P j eo polin^omio de Legendre de ordem j 2. Para a equac~ao de ex~ao ou para direc~ao transversal, as func~oes de forma internas e suas derivadas devem ser nulas em = 1, pontos onde ja foram atribudos valores pelas func~oes de forma fsicas (condic~ao de continuidade C 0 e C 1 ). Usando as propriedades dos polin^omios de Legendre com as limitac~oes impostas pelo problema fsico prop~oe-se as seguintes func~oes de forma internas ou hierarquicas para o problema: " 1 Nn() v Pj () ; P = q j;2() 8(2j ; 3) (2j ; 1) ; P # j;2() ; P j;4() (2j ; 5) A ordem do polin^omio j deve ser j 4. A famlia de func~oes de forma proposta tambem vai gerar uma matriz de rigidez que tera apenas termos hierarquicos nulos fora da diagonal principal. Outra considerac~ao que deve ser feita e em relac~ao a mudanca de coordenadas do referencial local para o global. O procedimento de mudanca de coordenadas e feito de maneira convencional sobre os termos fsicos. Os termos resultantes da integrac~ao do produto de func~oes de forma fsicas por func~oes de forma hierarquicas devem sofrer mudancas de coordenada. Os termos resultantes do produto de func~oes hierarquicas apenas n~ao necessitam desta transformac~ao. (7)

4 2.2. Formulac~ao do Estimador de Erro para Portico Uma vez discretizado o domnio e aplicada a aproximac~ao por elementos nitos a soluc~ao do sistema passa a ser o problema de autovalor: h [K] ;!2 [M] i fug = f0g onde u = fu 1 w 1 1 u 2 w 2 2 a 1 ::: a i g T, sendo u o deslocamento longitudinal, w o deslocamento transversal e a rotac~ao no no, a i o coeciente do i-esimo termo hierarquico, [M] a matriz de massa e [K] a matriz de rigidez. A soluc~ao deste tipo de problema leva aos chamados autovalores! 2 =[! 2 1!2 2!2 3 :::!2 n] T e aos vetores de deslocamento relativo chamados de modos de vibrar do sistema = [ ::: n ]. Para a i-esima frequ^encia pode-se mostrar que (Babuska et al., 1989)! 2 n ;!2 ex! 2 ex =k " n k 2 E (8) sendo k " n k E o erro na norma da energia para um elemento com func~oes de forma denidas por polin^omios hierarquicos de ordem n. Dene-se tambem " n m =(k (n m) ; (n) k E ) 1 2 " 2 n m =k ex ; (n) k 2 E ;k ex ; (n m) k 2 E lim m!1 (" n m) 2 =k ex ; (n) k 2 E=k " n k 2 E uma vez que formalmente: m!1 lim k ex ; (n m) k 2 E=0 Isto e,omodoproprio generico (n m)e a soluc~ao do problema considerando apenas um elemento particular que teve o grau hierarquico elevado de n para n+m. O renamento p e equivalente a pratica de renar a malha, sendo a direnca basica que para o renamento p a matriz original e preservada, acrescentando-se apenas as linhas e colunas contendo as equac~oes dos graus hierarquicos adicionais do elemento. Portanto, o procedimento e de elevar o grau hierarquico n de um elemento para n + m e comparar a soluc~ao obtida com a soluc~ao anterior representada pelo modo proprio por (n). Quando m!1a soluc~ao e a exata para o elemento. Caso a soluc~ao esteja muito distante da exata uma pequena alterac~ao no grau hierarquico implica em um drastica mudanca nas soluc~oes do problema (n m) e(n). E nesta constatac~ao que se baseia o metodo. Um dos problemas que surgem com o estimador de erro como o delineado acima, e o calculo dos autopares. O metodo baseia-se no calcudo do erro para cada elemento pela alterac~ao no grau hierarquico. Para uma malha com k elementos a estimativa de erro para a i-esima frequ^encia sera o somatorio da estimativa de erro de cada elemento para esta frequ^encia alterando o grau hierarquico de n i para n i +m i. Isto signica que para a i- esima frequ^encia os autopares ser~ao calculados tantas vezes quanto forem os elementos ou k vezes. Como o interesse e estimar o erro em uma faixa de frequ^encias, este procedimento sera repetido tantas vezes quantas forem as frequ^encias. Como a determinac~ao de autovalores e uma operac~ao que toma muito tempo de processamento o procedimento se tornaria

5 inviavel mesmo para uma malha pequena. O processo de estimar o erro so e factvel se for factvel estimar os autopares. O estimador implementado foi o de (Friberg, 1986), neste estimador o incremento do grau hierarquico m e de 1 o que simplica muito na manipulac~ao das matrizes. O erro estimado para a i-esima frequ^encia de um elemento generico e dado ent~ao por: n+1 = f[k n+1 n ; i (n)m n+1 n ] f n gg T f[k n+1 n ; i (n)m n+1 n ] f n gg k i [K n+1 n+1 ; i (n)m n+1 n+1 ] (9) sendo K n+1 n e M n+1 n a matriz de rigidez e de massa acrescidas de uma linha com os termos hierarquicos n + 1 para o elemento em considerac~ao. K n+1 n+1 e M n+1 n+1 s~ao matrizes 11 contendo os termos hierarquicos da diagonal, i (n) e n eoi-esimo autopar para o elemento em quest~ao. O termo k i e denido como k i = T i K n n i. Observa-se desta forma que o problema de autovalor e autovetor sera resolvido uma unica vez por iterac~ao, o que torna o processo adaptativo viavel. 3. RESULTADOS NUMERICOS OBTIDOS Inicialmente o programa foi testado para problemas simples com resultados teoricos disponveis: barra e viga engastadas em uma das extremidades. Para a barra empregouse as seguintes propriedades fsicas, modulo de elasticidade E =1:0N=m 2, densidade =1:0Kg=m 3 com dimens~oes fsicas l =1m, A =1m 2. As 8 primeiras frequ^encias naturais calculadas com erro relativo maximo ;2 s~ao confrontados com resultados teoricos na Tabela 1. Para este caso foi empregado um unico elemento. Na segunda coluna est~ao os resultados usando a tecnica de elementos nitos, na terceira coluna encontram-se os resultados teoricos exatos, na quarta coluna apresenta-se o erro estimado e na quinta o erro absoluto calculado. Resultados obtidos apos 7 iterac~oes. Tabela 1: Frequ^encias em Hertz para os 8 primeiros modos da barra. ndice frequ^encias frequ^encias erro(%) erro(%) i MEF vers~ao p teoricas i " i e e e e e e e e e e e e e e e e As mesmas propriedades, dimens~oes fsicas e numero de elementos s~ao usadas no caso da viga. O momento de inercia empregado foi I =1m 4 uma vez que aqui estamos interessados apenas na validac~ao teorica. Os resultados est~ao na Tabela 2 para erro relativo maximo ;2. Na segunda coluna est~ao os resultados usando a tecnica de elementos nitos, na terceira coluna encontram-se os resultados teoricos exatos, na quarta coluna apresenta-se o erro estimado e na quinta o erro absoluto calculado.

6 Tabela 2: Primeiras 8 Frequ^encias naturais em Hertz para viga. ndice frequ^encias frequ^encias erro(%) erro(%) i MEF vers~ao p teoricas i " i e e e e e e e e e e e e e e e e Em seguida foi feito um teste empregando como exemplo um portico simples tipo portal como mostrado na Figura 1-a. Usou-se as mesmas propriedades fsicas empregadas para viga e para barra com area A da sec~ao transversal de 1m 2 emomento de inercia I =1m 4 constantes ao longo das sec~oes com dimens~ao 1m1m1m. Foram empregando 12 elementos uniformes. Os resultados s~ao mostrados na Tabela 3 para erro relativo maximo ;2. Os resultados s~ao comparados aos resultados obtidos pelo metodo de elementos nitos convencional com 160 elementos uniformes. Na segunda coluna est~ao os resultados usando a tecnica de elementos nitos p-adaptativo apos 2 iterac~oes. Na terceira coluna encontram-se os resultados empregando a tecnica de elementos nitos com 160 elementos. Na quarta coluna apresenta-se o erro obtido do estimador e na quinta o erro relativo percentual a partir dos valores tabelados. 1-a Portico simples 1-b Portico duplo Figura 1: Dimens~oes Principais dos Porticos Empregados nos Exemplos. O ultimo teste compara os resultados obtidos do programa MEFLAB 1 para um portico duplo com as seguintes caractersticas: A = 0:04m 2, I = 1: ;4 m 4, = 2500Kg=m 3, E =7: As dimens~oes s~ao dadas na Figura 1-b. O programa com o estimador empregou malha com 12 elementos uniformes, o programa MEFLAB usou elementos convencionais e uma malha uniforme com 176 elementos. Na segunda coluna est~ao os resultados usando a tecnica de elementos nitos adaptativo apos 4 iterac~oes para 1 MEFLAB e um programa de Elementos nitos escrito em Matlab e desenvolvido no Departamento de Mec^anica Computacional da Faculdade de Engenharia Mec^ancia da Unicamp

7 Tabela 3: Primeiras 8 Frequ^encias naturais em Hertz para portico simples. ndice frequ^encias frequ^encias erro(%) erro(%) i MEF vers~ao p MEF-160e i relativo e e e e e e e e e e e e e e e e um erro maximo aceitavel de ;2. Na terceira coluna encontram-se os resultados para o mesmo portico empregando o programa MEFLAB com 176 elementos. Na quarta coluna apresenta-se o erro obtido do estimador e na quinta o erro relativo calculado a partir dos valores tabelados. Tabela 4: Primeiras 15 Frequ^encias naturais em Hertz para portico duplo. ndice frequ^encias frequ^encias erro(%) erro(%) i MEF vers~ao p MEFLAB 176e i relativo e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e AN ALISE DE RESULTADOS Aqui sera considerado que o estimador de erro consegue captar corretamente o erro real se o erro estimado for maior que o erro real mantendo-se dentro da mesma ordem. Este comportamento e exibido nas tabelas da sec~ao anterior para modos de ordem mais elevada, onde os erros maiores s~ao esperados. Tambem chama a atenc~ao a incapacidade

8 do estimador de prever corretamente o erro para baixas frequ^encias cujos erros relativos s~ao muito menores do que erro maximo aceitavel. Parte deste comportamento pode ser explicado pelo metodo se basear em uma serie de simplicac~oes para torna-lo operacional. Obviamente isto n~ao e exatamente um problema se o objetivo do estimador e manter o erro abaixo de um determinado valor prescrito e n~ao conhecer o seu valor exato. 5. CONCLUS ~OES Pelos dados apresentados o estimador funcionou corretamente e as func~oes de forma propostas foram aprovadas nos testes numericos realizados. Deve-se ponderar que as malhas empregadas eram uniformes e que a relac~ao entre o numero de elementos da malha original e o numero de iterac~oes n~ao foi analisado. Entretanto chama a atenc~ao a diferenca entre o numero de iterac~oes que foram realizadas para que fosse alcancado o erro arbitrado na faixa de interesse entre os diferentes problemas. Para a viga e a barra ambas com 1 elemento foram necessarias 7 iterac~oes, no caso do portico simples e duplo(ambos com 12 elementos) foram necessarias apenas 2 e 4 iterac~oes respectivamente. Estes dados indicam que ha uma relac~ao otima entre discretizac~ao da malha e a ordem do grau hierarquico p eouonumero de iterac~oes. 6. AGRADECIMENTOS Os autores agradecem a CAPES e a FAPESP pelo apoio parcial a realizac~ao deste trabalho. 7. REFER^ENCIAS Babuska, I., Guo, B. Q., Osborn, J. E., 1989, Regularity and Numerical Solutions of Eigenvalue Problems with Piecewise Analytic Data & SIAM J. Numer. Anal., vol. 26 No.6, pp Cook, R. D., Malkus, D. S., Plesha, M. E., 1989, Concepts and Aplication of Finite Element Analysis, McGraw-Hill, London. Friberg, O., 1986, An Error Indicator for the Generalized Eingenvalue Problem Using The Hierarchical Finite Element Method & Intern. J. N. Methods in Eng., vol. 23, pp Friberg, O., Moller P., Makovicka, D., Wiberg N. E., 1987, An Adaptive Procedure for Eigenvalue Problems Using The Hierarchical Finite Element Method & Intern. J. N. Methods in Eng., vol. 24, pp Noor, A. K., Babuska, I., 1987, Quality Assessment and Control of Finite Element Solutions & Finite Elements Analysis and Desing, vol. 3, pp Sazbo, B., Babuska, I., 1991,The Finite Element Analysis, John Wiley & Sons Inc., New York. Zienkiewicz, O. C., 1971,The Finite Element Method, McGraw-Hill, London.