DESENVOLVIMENTO DE UM KIT DIDÁTICO PARA DEMONSTRAÇÃO DA ATUAÇÃO DE UM CONTROLADOR PID DIGITAL EM UMA PLANTA REAL

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1 UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ DEPARTAMENTO ACADÊMICO DE ELETROTÉCNICA CURSO DE ENGENHARIA INDUSTRIAL ELÉTRICA - ÊNFASE ELETROTÉCNICA JEFFERSON LUIS GRIEBELER THAÍSA ALINE KIENEN WAGNER ROSA DESENVOLVIMENTO DE UM KIT DIDÁTICO PARA DEMONSTRAÇÃO DA ATUAÇÃO DE UM CONTROLADOR PID DIGITAL EM UMA PLANTA REAL CURITIBA 2007

2 JEFFERSON LUIS GRIEBELER THAÍSA ALINE KIENEN WAGNER ROSA DESENVOLVIMENTO DE UM KIT DIDÁTICO PARA DEMONSTRAÇÃO DA ATUAÇÃO DE UM CONTROLADOR PID DIGITAL EM UMA PLANTA REAL Trabalho de Conclusão de Curso apresentado na disciplina Projeto Final 2, do curso de Engenharia Industrial Elétrica Eletrotécnica, sob orientação do professor Dr. Roger Gules. CURITIBA 2007

3 JEFFERSON LUIS GRIEBELER THAISA ALINE KIENEN WAGNER ROSA DESENVOLVIMENTO DE UM KIT DIDÁTICO PARA DEMONSTRAÇÃO DA ATUAÇÃO DE UM CONTROLADOR PID DIGITAL EM UMA PLANTA REAL Trabalho apresentado na disciplina de Projeto Final de Curso II como requisito parcial para a conclusão do Curso de Engenharia Industrial Elétrica - Ênfase em Eletrotécnica - do Departamento Acadêmico de Eletrotécnica, Universidade Tecnológica Federal do Paraná. Curitiba, 12 de novembro de Prof. Paulo Sérgio Walenia, Esp. Coordenador de Curso Engenharia Industrial Elétrica - Eletrotécnica Prof. Ivan Eidt Colling, Dr. Coordenador de Projeto Final de Graduação Engenharia Industrial Elétrica - Eletrotécnica Prof. Roger Gules, Dr. Orientador Gustavo Emmendoerfer, Eng. Membro da banca Prof. Jorge Assad Leludak, M.Sc. Membro da banca Prof. Winderson Eugênio dos Santos, Dr. Membro da banca

4 O que ouço, eu esqueço; o que vejo, eu lembro; o que faço, eu aprendo. Confúcio - Filósofo Chinês

5 RESUMO Este trabalho tem como objetivo a pesquisa e implementação de uma planta de controle digital com finalidade didática. O trabalho apresenta um referencial teórico dos conteúdos de controle e de didática embasando o desenvolvimento do projeto. São apresentadas diversas plantas possíveis de implementação com finalidades didáticas assim como a análise destes sistemas. Após a definição da planta a ser desenvolvida, são apresentados todos os itens referentes ao seu projeto e implementação, tais como: planta escolhida e justificativa, modelagem matemática, projeto e ensaios dos circuitos eletrônicos, software de controle, simulações e resultados encontrados. A conclusão do trabalho apresenta uma síntese dos objetivos alcançados, recomendações para os trabalhos futuros e uma estimativa de custos. O manual de instruções e o código da programação estão disponíveis nos apêndices. Palavras chaves: Sistemas de controle, didática e controle de velocidade de motor CC

6 RÉSUMÉ Ce travail a comme objectif la recherche et montage d un plan de contrôle numérique d utilisation didactique. La présentation commence par un référentiel théorique nécessaire pour le développement du projet et poursuivra par la présentation et analyse de plusieurs solutions possibles et le choix final. Le projet se concrétisera par le modelage du système y compris l implantation du circuit électronique et mécanique et il sera accompagné des résultats d essais. En conclusion, il apparaîtra la synthèse du projet, les recommandations pour les futurs projets ainsi qu une approche du budget nécessaire. Le manuel d instructions et le code de la programmation sont disponibles en annexes. Mots clés : Systèmes de contrôle, didactique et contrôle de vitesse de moteur CC.

7 ÍNDICE DE FIGURAS Figura 2.1: Descrição simplificada de um sistema de controle Figura 2.2: Diagrama de blocos dos sistemas de controle a malha aberta Figura 2.3: Diagrama de blocos dos sistemas de controle a malha fechada Figura 2.4: Exemplo de um sistema linear e um sistema não linear Figura 2.5: Diagrama de blocos de um sistema a malha aberta...33 Figura 2.6: Diagrama de blocos de um sistema a malha fechada...33 Figura 2.7: Especificações de regime transitório Figura 2.8: Definição do ângulo β Figura 2.9: Plano s...38 Figura 2.10: Influência do lugar das raízes na resposta transitória do sistema...39 Figura 2.11: Exemplo de diagrama de Bode Figura 2.12: Exemplo de margem de ganho e margem de fase Figura 2.13: Exemplo de diagrama de Nyquist...43 Figura 2.14: Exemplo de diagrama de magnitude logarítmica versus ângulo de fase.44 Figura 2.15: Ação do controlador proporcional...46 Figura 2.16: Ação do controlador integral...47 Figura 2.17: Ação do controlador proporcional integral...48 Figura 2.18: Ação do controlador derivativo...49 Figura 2.19: Ação do controlador proporcional derivativo...50 Figura 2.20: Ação do controlador proporcional integral derivativo...51 Figura 2.21: Diagrama de blocos de um sistema de controle digital...52 Figura 2.22: Conversor digital-analógico Figura 2.23: Dispositivo sample-and-hold...53 Figura 2.24: Sinal analógico...53 Figura 2.25: Trem de pulsos Figura 2.26: Sinal após o extrapolador de ordem zero...54 Figura 2.27: Relação entre o plano s e o plano z...55 Figura 2.28: Diagrama de blocos de um típico microcontrolador Figura 3.1: Esquema de um sistema massa-mola...60

8 Figura 3.2: Esquema de um sistema térmico Figura 3.3: esquema de motor CC...62 Figura 3.4: Esquema do sistema bola/aro...64 Figura 3.5: Exemplo de um sistema pêndulo invertido Figura 3.6: Exemplo e esquema de um sistema equilíbrio de uma esfera...66 Figura 3.7: Esquema de um levitador magnético...67 Figura 4.1: Diagrama básico do sistema a ser implementado...69 Figura 4.2: Máquina CC elementar Figura 4.3: Circuito equivalente do motor CC Figura 4.4: Exemplo de controle pela tensão de armadura Figura 4.5: Esquema de um motor de imãs permanentes...76 Figura 4.6: Diagrama de blocos do sistema...78 Figura 5.1: Representação gráfica do grupo motor-gerador...81 Figura 5.2: Módulo MSP430F Figura 5.3: Esquemático das cargas...84 Figura 5.4: Cargas...84 Figura 5.5: Esquemático do regulador de tensão...85 Figura 5.6: Esquemático do conversor Buck...86 Figura 5.7: Esquemático filtro ButterWorth e divisor de tensão...87 Figura 5.8: Tensão antes e depois do filtro Butterworth...88 Figura 5.9: Tempo de resposta do filtro Butterworth...89 Figura 5.10: Gráfico tensão do tacogerador x velocidade do conjunto...89 Figura 5.11: Acoplamento do tacogerador...90 Figura 5.12: Esquemático do display de sete segmentos...91 Figura 5.13: Lay out do kit didático de controle de velocidade de um grupo motorgerador...93 Figura 5.14: Esquemático do circuito de comunicação serial...94 Figura 5.15 : Placa de circuito impresso - hardware...95 Figura 5.16: Placa de circuito impresso - interface...95 Figura 5.17: Esquema do ensaio de levantamento da função de transferência...97 Figura 5.18: Resposta do sistema ao degrau...98

9 Figura 5.19: Determinação da constante de tempo...99 Figura 5.20: Resposta de tensão na saída do gerador ao degrau Figura 5.21: Resposta de velocidade do sistema ao degrau Figura 5.22: Diagrama de blocos do sistema Figura 6.1: Simulação do controle proporcional Figura 6.2: Ensaio do controle proporcional Figura 6.3: Sistema oscilatório para Kp> Figura 6.4: Simulação do controle proporcional para Kp > Figura 6.5: Simulação do controle integral Figura 6.6: Ensaio do controle integral Figura 6.7: Simulação do controle proporcional integral Figura 6.8: Ensaio do controle proporcional integral Figura 6.9: Simulação do controle proporcional derivativo Figura 6.10: Ensaio do controle proporcional derivativo Figura 6.11: Comparação entre ensaios do controle proporcional derivativo Figura 6.12: Simulação do controle PID Figura 6.13: Ensaio do controle PID...115

10 LISTA DE TABELAS Tabela 6.1: Lista de materiais e custos da estrutura mecânica Tabela 6.2: Lista de materiais e custos dos circuitos eletrônicos gerais Tabela 6.3: Lista de materiais e custos da placa de cargas Tabela 6.4: Lista de materiais e custos do regulador de tensão Tabela 6.5: Lista de materiais e custos do conversor Buck Tabela 6.6: Lista de materiais e custos do sensor de velocidade Tabela 6.7: Lista de materiais e custos do display Tabela 6.8: Lista de materiais e custos dos potenciômetros Tabela 6.9: Lista de materiais e custos do circuito de comunicação Serial Tabela 6.10: Custo total para montagem do kit...118

11 LISTA DE ABREVIAÇÕES A/D: Analógico/digital CC: Corrente contínua CPU: Central Processing Unit (unidade central de processamento) D/A: Digital/analógico DMA: Direct memory access (acesso direto da memória) DSP: Digital Signal Processor (processador de sinal digital) f.e.m.: Força eletro-motriz f.c.e.m.: Força contra eletro-motriz JTAG: Joint Test Action Group (módulo integrado de programação e teste) LCD: Liquid Crystal Display (tela de cristal líquido) MIPS: Milhões de instruções por segundo MOSFET: Metal Oxide Semiconductor Field Effect Transistor (transistor de efeito de campo de metal-óxido semicondutor) PC: Personal computer (computador pessoal) PID: Proporcional, Integral e Derivativo PWM: Pulse-width modulation (modulação por largura de pulso) RAM: Random Access Memory (memória de acesso aleatório) RISC: Reduced Instruction Set Computer (computador com um conjunto reduzido de instruções) ROM: Read Only Memory (memória apenas de leitura) SPI: Serial Peripheral Interface (periférico de interface serial) USART: Universal Synchronous Asynchronous Receiver Transmitter (transmissor / receptor universal síncrono e assíncrono) ZOH: Zero Order Hold (segurador de ordem zero)

12 LISTA DE SÍMBOLOS a: Pares de ramais internos do motor b: Atrito viscoso B(s): Sinal de retroação ce: Número de condutores eficazes de um motor C(s): Transformada de Laplace da saída de um sistema de controle c(t): Resposta total de um sistema de controle c(t)forçado: Resposta forçada de um sistema de controle c(t)natural: Resposta natural de um sistema de controle d: Erro da resposta em regime permanente E: Força contra eletro motriz [V] E(s): Sinal atuante de erro Fa: Força aplicada no eixo [kg.m/s 2 ] G(s): Função de transferência de um sistema de controle analógico G(z): Função de transferência de um sistema de controle discreto Gc (s): Função de transferência do controlador PID H(s): Bloco de retroação h(t): Sinal amostrado após extrapolador de ordem zero I: Corrente [A] Ia: Corrente de armadura [A] If: Corrente de campo [A] J: Momento de inércia [kg.m 2 ] K, Kb, Km, Ki: Constantes do motor Kf: Constante de campo Kp: Parâmetro proporcional do controlador PID La: Indutância de armadura [H] Lf: Indutância de campo [H] MF: Margem de Fase [º] MG: Margem de Ganho [db]

13 Mp: Máximo sobre sinal ou Overshoot da resposta de um sistema de controle n: Velocidade angular [rpm] p: Número de pólos Ra: Resistência de armadura [Ω] Rf: Resistência de campo [Ω] R(s): Transformada de Laplace da entrada de um sistema de controle r(t): Sinal analógico r*(t): Sinal amostrado s: Notação do plano s T: Período de amostragem [s] Ta: Tempo de acomodação da resposta de um sistema de controle [s] Td: Parâmetro derivativo do controlador PID Tp: Torque perturbador [N.m] Ti: Parâmetro integral do controlador PID TL: Torque da carga [N.m] Tmec: Torque mecânico [N.m] Tp: Tempo de pico da resposta de um sistema de controle [s] Ts: Tempo de subida da resposta de um sistema de controle [s] V: Tensão [V] Va: Tensão terminal de armadura [V] Vb: Tensão devido à força contra eletromotriz [V] Vf: Tensão de campo [V] w: Notação do plano w z: Notação do plano z δ : Símbolo da Transformada de Laplace ω: Parte complexa da variável s ωn: Freqüência natural [rad/s] ωd: Freqüência natural amortecida [rad/s]

14 β: ângulo que define a linha de referência de mesmo sobre sinal no plano s (ver figura 2.8) [º] ζ: Coeficiente de amortecimento σ: Parte real da variável s Φ: Fluxo no entreferro [Wb] τa: Constante de tempo da armadura τ1: Constante de tempo da armadura equivalente

15 SUMÁRIO CAPÍTULO INTRODUÇÃO GERAL Introdução Problema Justificativa Objetivos Objetivo geral Objetivos específicos Método de pesquisa Estrutura do trabalho...22 CAPÍTULO REFERENCIAL TEÓRICO A importância de kits didáticos Os sistemas de controle Histórico Configurações de sistemas Linearidade Estabilidade Modelagem no domínio da freqüência Especificações de desempenho Técnica do lugar das raízes Técnica de resposta de freqüência Controlador PID Controle digital Discretização Microprocessador Microcontrolador MSP430F CAPÍTULO ANÁLISE DAS POSSÍVEIS PLANTAS DE CONTROLE Sistema massa / mola Sistema térmico Sistema elétrico controle de velocidade de motor Sistema posição bola / aro Sistema pêndulo invertido Sistema barra / esfera Sistema levitação magnética de uma esfera...67

16 CAPÍTULO DEFINIÇÃO DA PLANTA Motores CC Controle de motores CC Controle de velocidade Modelagem matemática Componentes do kit...79 CAPÍTULO DESENVOLVIMENTO DO PROJETO Grupo motor-gerador Fonte CC 12V Microcontrolador MSP430F Cargas Circuitos eletrônicos Regulador de tensão Acionamento do motor - conversor Buck Sensor de velocidade do motor - tacogerador Interface de saída - displays de sete segmentos Interface de entrada potenciômetros Lay out do kit para ensaios Projeto da placa de circuito impresso Software Modelo matemático do sistema Levantamento da função de transferência Validação da função de transferência Diagrama de blocos do sistema CAPÍTULO RESULTADOS Controle Proporcional Controle Integral: Controle Proporcional Integral Controle Proporcional Derivativo Controle Proporcional Integral Derivativo Lista de material e estimativa de custos para a montagem do kit CAPÍTULO CONCLUSÃO Considerações finais...120

17 8 REFERÊNCIAS APÊNDICE A - Código do software APÊNDICE B - Manual de instruções APÊNDICE C - Projeto das placas de circuito impresso...143

18 18 CAPÍTULO 1 1 INTRODUÇÃO GERAL 1.1 Introdução Devido ao grande desenvolvimento tecnológico das últimas décadas, à crescente automatização das indústrias e com o emprego cada vez maior de máquinas nos processos fabris, os engenheiros das diversas modalidades de engenharia com conhecimento em sistemas de controle tornaram-se profissionais amplamente solicitados pelo mercado de trabalho. A fim de formar tais profissionais com uma base sólida de conhecimentos e já com alguma experiência prática, as instituições de ensino necessitam de determinadas ferramentas, que, muitas vezes, se tornam inviáveis devido seu alto custo. Portanto, a pesquisa de alternativas viáveis para a melhor compreensão do assunto pode ser a solução para ajudar no aprendizado dos futuros profissionais, facilitando sua inserção no mercado de trabalho e atingindo as expectativas da indústria. Com a utilização de sistemas mecânicos simples, microcontroladores e sensores encontrados com facilidade no mercado, é possível implementar sistemas controlados que permitem uma visualização simplificada do seu comportamento e a influência de determinados parâmetros e perturbações sobre a resposta fornecida pelo sistema, ajudando assim na formação acadêmica. Segundo Moreno (2006) implementar laboratórios que permitam alcançar os objetivos enumerados e, ao mesmo tempo, contemplem a riqueza e diversidade dos sistemas de controle não é tarefa trivial, tendo que lidar com condicionantes como restrições orçamentárias, espaço físico adequado, estrutura de operação e manutenção, disponibilidade humana de ensino e acompanhamento, obrigando à seleção e priorização dos experimentos laboratoriais. Basicamente, as características

19 19 necessárias aos procedimentos, experimentos e fenômenos que devem ser efetivamente contempladas nas práticas laboratoriais são: Demonstrar os conceitos teóricos importantes, necessários ao aprendizado da engenharia de controle; Refletir os problemas fundamentais associados às situações reais, e que são encontrados na vida prática; Fornecer aos estudantes sensações visuais e acústicas dos fenômenos analisados; Possuir constantes de tempo razoáveis, permitindo que as dinâmicas associadas sejam visualizadas pelos estudantes e, ao mesmo tempo, possibilitando vários procedimentos durante um período de prática laboratorial; Apresentar riscos mínimos à segurança dos usuários; Possuir custos acessíveis de aquisição, operação e manutenção; Apresentar dinâmicas de fácil compreensão, com definição clara de objetivos, associados aos procedimentos operacionais simples. 1.2 Problema As disciplinas dos cursos de engenharia que apresentam elevado conteúdo matemático e teórico carecem de ferramentas que permitam ao futuro profissional efetuar uma relação entre toda a fundamentação matemática e aplicabilidade prática dos conhecimentos adquiridos. Considerando a importância da consolidação dos conhecimentos teóricos a partir de constatações práticas e a dificuldade econômica apresentada pela maioria das instituições de ensino, a proposta da implementação de um kit didático que permita ao aluno a visualização da resposta de um sistema físico sob influência de determinados parâmetros de controle e perturbações aparece como uma boa solução didática.

20 Justificativa A disciplina de controle apresenta aos alunos um conteúdo de alto grau teórico e matemático, por muitas vezes, de difícil compreensão. Apesar dos softwares de simulação, como o MatLab, darem uma idéia aos alunos da relação entre a teoria matemática e suas aplicações práticas, a implementação de um kit didático para as disciplinas de controle disponibilizará uma ferramenta prática de estudo para os alunos dos cursos de engenharia, que permitirá uma visualização real do comportamento de um sistema físico controlado, semelhante ao que acontece no diaa-dia das indústrias, completando assim o ciclo de aprendizagem: Conhecimento da teoria matemática através das aulas teóricas; Compreensão da sua relação com as aplicações práticas através dos softwares de simulação; Visualização do resultado num sistema fisicamente compreensível através de um sistema real (kit didático). O enriquecimento acadêmico que será absorvido dentro das áreas afins da engenharia, a partir deste trabalho, será de grande relevância para a formação dos futuros profissionais ressaltando que a programação de microcontroladores será um desafio complementar a aplicação dos demais conceitos adquiridos durante o curso. 1.4 Objetivos Objetivo geral Pesquisar, desenvolver e implementar um kit didático para as disciplinas de controle dos cursos de engenharia permitindo ao aluno a visualização e compreensão prática dos conhecimentos adquiridos durante as aulas teóricas através da demonstração das respostas de um sistema físico aos dispositivos de controle.

21 21 O sistema implementado deverá possuir as seguintes características: Interface de entrada que permita o ajuste, dentro de uma faixa prédeterminada, dos parâmetros dos controladores PID (Proporcional, Integral e Derivativo); Interface de saída que permita a visualização direta da resposta do sistema Objetivos específicos Pesquisar os sistemas e plantas possíveis de serem implementados; Analisar a aplicabilidade e eficiência didática dos possíveis sistemas; Estabelecer o(s) sistema(s) que farão parte do kit proposto; Projetar, desenvolver e implementar o(s) sistema(s); Ensaiar o(s) sistema(s) proposto(s) para compor o kit didático; Elaborar um manual / roteiro para utilização do kit desenvolvido. 1.5 Método de pesquisa a) Elaboração de uma revisão bibliográfica dos conteúdos de teoria de controle, modelagem linear e do microcontrolador MSP430F169 do fabricante Texas Instruments. Esta etapa será realizada através da revisão dos trabalhos afins apresentados e consultas a todo tipo de fonte de informações que se fizer necessário. b) Pesquisa e definição do(s) kit(s) a ser implementado. Etapa que será realizada através da análise técnica dos sistemas possíveis de serem implementados. A escolha do(s) sistema(s) a ser implementado será realizada de acordo com os objetivos didáticos pré-estabelecidos.

22 22 c) Ambientação com a programação de microcontrolador. Esta etapa consiste no estudo do microcontrolador MSP430F169, bem como a programação do mesmo, esse estudo se dará através de livros, manuais e datasheets. d) Implementação do(s) sistema(s). A implementação será realizada através do projeto dos circuitos e do desenvolvimento do software de controle com o auxílio de programas de simulação. Os ensaios dos circuitos e dispositivos de controle serão realizados a partir de uma montagem em ProtBoard. Após sua validação será desenvolvido o projeto da placa de circuito impresso e efetuada a sua montagem e integração com o sistema mecânico. e) Ensaios e validação do sistema implementado. Esta será a etapa onde serão feitos os ensaios do sistema de controle desenvolvido, levantando suas características. f) Elaboração do manual / roteiro de utilização do kit. Após a realização de todos os ensaios e da validação final será redigido um manual / roteiro de utilização do kit para que todas as suas aplicabilidades possam ser compreendidas e absorvidas pelos futuros usuários. 1.6 Estrutura do trabalho No capítulo 1 será feita a introdução e justificativa para o tema proposto, além de tratar da estrutura e metodologia de trabalho. O capítulo 2 conterá um resumo da história dos sistemas de controle, suas aplicações atuais e a revisão bibliográfica sobre sistemas de controle e o microcontrolador utilizado. No capítulo 3 será feita a pesquisa, análise e definição dos sistemas possíveis de serem implementados.

23 23 Por conseguinte, no capítulo 4, será estudada a implementação do sistema escolhido, estabelecendo todos os componentes do kit didático a partir da aplicabilidade e eficiência didática do sistema. No capítulo 5 será realizada a modelagem do sistema e o projeto dos circuitos eletrônicos e mecânicos que serão utilizados na implementação dos sistemas. No capítulo 6 serão apresentados os resultados obtidos nos ensaios e o custo de implementação do kit. Finalmente, no capítulo 7, serão feitas as conclusões sobre o trabalho e recomendações para projetos futuros, além das considerações finais. Os apêndices deste trabalho conterão o código fonte do software implementado para o desenvolvimento do projeto, o manual de instruções do kit e o projeto das placas de circuito impresso.

24 24 CAPÍTULO 2 2 REFERENCIAL TEÓRICO Neste capítulo será exposta a revisão teórica sobre os principais tópicos de sistemas de controle que serão abordados durante o projeto. Será apresentada também uma breve explanação sobre a importância dos kits didáticos e sobre o microcontrolador que será utilizado como ferramenta para a implementação do software de controle. 2.1 A importância de kits didáticos Segundo Gauthier (1998), didática é o estudo daquilo que se relaciona com o saber dos alunos, não só pelos conteúdos a serem aprendidos como na forma pela qual os alunos se apropriam desses conteúdos (aprendizagem). A didática pode ser definida como os trabalhos dos conteúdos que precedem a aula, enquanto a pedagogia se preocupa com a interação em sala de aula. Baseando-se nesta afirmação pode-se definir este trabalho como o desenvolvimento de um kit didático de cunho pedagógico já que proporcionará a interação nas aulas de laboratório. Conforme Monteiro e Gaspar (2005) a partir da década de 1970, começaram a surgir em todo mundo museus e centros de ciências, locais onde as demonstrações experimentais são o centro das atenções e do encantamento de seus visitantes. Esse movimento deu início a um processo de resgate da prática da apresentação de demonstrações experimentais de ciências em sala de aula. Os impactos que essas demonstrações provocam nos seus visitantes em ambientes informais, mostram que essa atividade pode ser pedagogicamente válida e significativa também em sala de aula, apesar de serem consideradas pedagogicamente inócuas pelas teorias que centram a construção do conhecimento na atividade do aluno.

25 25 De acordo com Moreno (2006) a educação tecnológica enfrenta diversos desafios, seja na relação ensino-aprendizagem, seja com relação às demandas sociais, ou ainda com os problemas oriundos do ensino médio e fundamental. O ensino da engenharia de automação enfrenta estas mesmas dificuldades somadas a outras particulares tais como: Dificuldades na integração multidisciplinar; Área de atuação cujas bases epistemológicas são voltadas para a abstração; A necessidade de uma sólida base matemática; Dificuldade em cobrir um amplo domínio com carga horária restrita. O desenvolvimento de trabalhos em busca de soluções para estes problemas segue a linha da indicação de novas abordagens para os conteúdos: desenvolvimento de experimentos e kits didáticos. Neste aspecto as contribuições de abordagem pedagógica para construção de experimentos laboratoriais são importantes porque propiciam uma aproximação entre a teoria e a prática equilibrando os aspectos teleológicos e abstratos das teorias de controle. Independente da escolha de materiais ou estruturas o ensino da disciplina deve possibilitar a compreensão dos seguintes princípios: entendimento da noção de sistemas dinâmicos, associando as respostas das plantas e dos sistemas controlados; estabilidade para os diversos sistemas; noção de realimentação e conceito de compensação dinâmica. Um laboratório da disciplina de controle deve atender aos seguintes objetivos: Motivar o conhecimento, a demonstração e a validação de conceitos analíticos; Introduzir problemas do mundo real associados ao controle e modelagem; Fornecer estruturas que permitam procedimentos associados ao uso da instrumentação e aquisição de sinais; Confrontar os estudantes com as necessidades práticas profissionais tais como elaboração de memórias de cálculo e relatórios técnicos; Desenvolver trabalhos em equipe e direcionados a solução de problemas;

26 26 É em busca de atender a estes requisitos que será desenvolvido e implementado o kit didático. 2.2 Os sistemas de controle Uma infinidade de sistemas de controle fazem parte do nosso cotidiano. Eles podem ser os automatismos responsáveis pelo vai e vêm dos elevadores, pelo funcionamento das portas de alguns estabelecimentos comerciais, pelos sinais de trânsito, estando presentes também em vários componentes dos veículos, dentro das indústrias nos mais diversos processos de fabricação, nos aviões, no lançamento de satélites e naves espaciais. Até mesmo nosso organismo é composto por uma série de sistemas de controle. Segundo Nise (2002), um sistema de controle consiste em subsistemas e processos reunidos com o propósito de controlar as saídas dos processos. Por exemplo, uma caldeira produz calor como resultado do fluxo de combustível. Neste processo, subsistemas chamados válvulas de combustível e atuadores de válvulas de combustível são usados para regular a temperatura de uma sala, controlando a saída de calor da caldeira. Outros subsistemas, como os termostatos, que se comportam como sensores, medem a temperatura na sala. Na sua forma mais simples, um sistema de controle fornece uma saída ou uma resposta para uma dada entrada ou estímulo, conforme mostrado na figura 2.1. Entrada: estímulo Resposta desejada Sistema de controle Saída: resposta Resposta real Figura 2.1: Descrição simplificada de um sistema de controle. Fonte: NISE, Norman S.; Engenharia de sistemas de controle. Tradução Bernardo Severo da Silva Filho. 3º ed. Rio de Janeiro: LTC, 2002.

27 Histórico Os sistemas de controle são tão antigos quanto à humanidade, pois sistemas de controle biológicos já faziam parte dos primeiros habitantes do nosso planeta (NISE, 2002). Segundo Nise (2002), os gregos começaram a engenharia de sistemas com retroação por volta de 300 a.c. Um relógio de água, inventado por Ktesibios, operava por meio de gotejamento de água, a uma taxa constante, dentro de um reservatório medidor. Logo depois de Ktesibios, a idéia do controle de nível de líquido foi aplicada em um lampião a óleo por Fílon. A regulação de pressão de vapor começou por volta de 1681 com a invenção da válvula de segurança de Denis Papin. Também no século XVII, Cornelis Drebbel, na Holanda, inventou um sistema de controle de temperatura exclusivamente mecânico para chocar ovos, e em 1745, o controle de velocidade era aplicado a um moinho de vento por Edmund Lee. Para Ogata (1998), o primeiro trabalho significativo em controle automático foi o de James Watt, que construiu, no século XVIII, um controlador centrífugo para o controle de velocidade de uma máquina a vapor. A partir da década de 1920 os sistemas de controle vêm se desenvolvendo rapidamente, a partir de 1922, quando Minorsky trabalhou em controladores automáticos para pilotar navios. Dez anos mais tarde, Nyquist desenvolveu um procedimento relativamente simples para determinar a estabilidade de sistemas a malha fechada, com base na resposta estacionária de sistemas a malha aberta, a excitações senoidais. Em 1934, Hazen, que introduziu o termo servomecanismos para designar sistemas de controle de posição, discutiu o projeto de servomecanismos a relé, capazes de seguir uma excitação variável no tempo. Durante a década de 40, os métodos de resposta de freqüência tornaram possível aos engenheiros projetar sistemas de controle a malha fechada satisfazendo requisitos de desempenho. Somente a partir dos anos 60 a disponibilidade dos computadores digitais tornou possível a análise, no domínio do tempo, de sistemas complexos.

28 Configurações de sistemas Segundo Ogata (1998), existem sistemas de controle a malha aberta e a malha fechada: Malha aberta: sistemas nos quais o sinal de saída não afeta a ação de controle. Nesse tipo de sistema não se mede o sinal de saída, nem tampouco este sinal é enviado de volta para comparação com o sinal de entrada. Suas principais características são sua aptidão, que, para desempenhar-se precisamente, é determinada pela sua calibração, e o fato deles não serem geralmente perturbados com problemas de instabilidade (DISTEFANO, 1975). A figura 2.2 mostra o esquema de um sistema a malha aberta: Perturbação 1 Perturbação 2 Entrada ou referência Transdutor de entrada Controlador Junção de adição Processo ou Planta Junção de adição Saída ou Variável controlada Figura 2.2: Diagrama de blocos dos sistemas de controle a malha aberta. Fonte: NISE, Norman S.; Engenharia de sistemas de controle. Tradução Bernardo Severo da Silva Filho. 3º ed. Rio de Janeiro: LTC, Malha fechada: neste tipo de sistema, o sinal atuante de erro, que é a diferença entre a entrada e o sinal de retroação (que pode ser a própria resposta ou uma função dela), excita o controlador de modo a reduzir o erro e trazer o valor da resposta para o valor desejado.

29 29 A figura 2.3 mostra o esquema de um sistema a malha fechada: Entrada ou referência Transdutor de entrada Junção de adição Erro ou Sinal atuante Controlador Perturbação 1 Junção de adição Processo ou Planta Perturbação 2 Junção de adição Saída ou Variável controlada Transdutor de saída ou Sensor Figura 2.3: Diagrama de blocos dos sistemas de controle a malha fechada. Fonte: NISE, Norman S.; Engenharia de sistemas de controle. Tradução Bernardo Severo da Silva Filho. 3º ed. Rio de Janeiro: LTC, Freqüentemente os termos controle com retroação e controle a malha fechada são usados indistintamente. Porém, segundo Distefano (1975), retroação é a propriedade do sistema de malha fechada que permite a saída (ou alguma outra variável controlada do sistema) ser comparada com a entrada para o sistema (ou uma entrada, para outro componente situado internamente ou subsistema), de modo que a ação apropriada de controle pode ser formada como alguma função da saída e entrada. As mais importantes características que a presença da retroação confere a um sistema são as seguintes: Precisão aumentada; Sensibilidade reduzida da razão saída para a entrada às variações nas características do sistema; Efeito reduzido das não linearidades; Largura de faixa aumentada (faixa de freqüência de entrada na qual o sistema responderá satisfatoriamente); Tendência para oscilação ou instabilidade. Silveira e Santos (1998) fazem uma analogia interessante para a compreensão de um sistema de controle a malha fechada. Eles comparam um sistema de controle com um homem regulando a temperatura da água para seu banho. A entrada seria a temperatura desejada pelo homem, enquanto que o controlador seria o cérebro e o

30 30 atuador a mão que aciona as válvulas de água fria ou quente. O tato age como um sensor de temperatura, pois quando a água entra em contato com a pele, esta informa o cérebro (sinal de retroação) se a água está mais quente ou mais fria que o desejado Linearidade Existem duas propriedades básicas que tornam fácil o reconhecimento de um sistema linear, conhecidas como superposição e homogeneidade. De acordo com Nise (2002), a propriedade da superposição significa que a resposta na saída de um sistema à soma das entradas é a soma das respostas às entradas individuais. Já a propriedade da homogeneidade diz que a multiplicação da entrada por um escalar, faz com que a resposta seja multiplicada pelo mesmo escalar. A figura 2.4 exemplifica um sistema linear e um segundo sistema não-linear: f(x) f(x) 2 2 Saída Saída x x Entrada Entrada Sistema linear Sistema não-linear Figura 2.4: Exemplo de um sistema linear e um sistema não linear. Fonte: NISE, Norman S.; Engenharia de sistemas de controle. Tradução Bernardo Severo da Silva Filho. 3º ed. Rio de Janeiro: LTC, Os sistemas de controle reais são geralmente não-lineares, porém eles podem ser aproximados por meio de modelos matemáticos lineares, tornando-se possível utilizar um dos muitos métodos de projeto bem detalhados (OGATA, 1998). A saturação de um amplificador, zona morta de um motor ou a folga entre engrenagens podem servir como exemplos de não-linearidades físicas.

31 Estabilidade O problema mais importante em sistemas de controle lineares é o da instabilidade (OGATA, 1998). A estabilidade de um sistema é determinada pela sua resposta às entradas ou perturbações. Intuitivamente, um sistema estável é aquele que permanecerá em repouso a não ser quando excitado por fonte externa e retornará ao repouso se todas as excitações forem removidas (DISTEFANO, 1975). Segundo Nise (2002), a resposta total de um sistema é a soma das respostas forçada e natural, ou seja: ( t) c( t) forçado c( t) natural c = + (2.1) Usando estes conceitos, as seguintes definições de estabilidade, instabilidade e estabilidade marginal são apresentadas: Um sistema linear e invariante no tempo é estável se a resposta natural tender a zero quando o tempo tender a infinito; Um sistema linear e invariante no tempo é instável se a resposta natural crescer, sem limites, à medida que o tempo tender para o infinito; Um sistema linear e invariante no tempo é marginalmente estável quando a resposta natural nem cresce nem se atenua, permanecendo constante ou oscilante, à medida que o tempo tende para o infinito. Caso seja difícil separar a resposta natural da resposta forçada, Nise (2002) define que um sistema é estável se toda entrada limitada gerar uma saída limitada. Segundo Distefano (1975), uma condição necessária para que o sistema seja estável é que as partes reais das raízes da equação característica do sistema sejam todas negativas. Isso assegura que a resposta ao impulso diminuirá exponencialmente com o tempo. Se algumas raízes possuírem a parte real nula, mas nenhuma com parte real positiva, o sistema é dito marginalmente estável. Neste caso, a resposta ao impulso não diminui para zero, conquanto seja delimitada. Adicional-

32 32 mente, certas entradas produzirão saídas não delimitadas. Portanto, os sistemas marginalmente estáveis podem ser tratados como instáveis. Fisicamente, um sistema instável cuja resposta natural cresça sem limites poderia causar danos ao sistema, às instalações adjacentes, ou à vida humana. Em muitas ocasiões, os sistemas são projetados com limites de parada para evitar uma perda de controle (NISE, 2002) Modelagem no domínio da freqüência A modelagem matemática de um sistema dinâmico é definida como um conjunto de equações que representam a dinâmica do sistema com precisão, ou pelo menos, de forma bastante aceitável. A dinâmica de muitos sistemas, sejam eles mecânicos, elétricos, térmicos, econômicos, biológicos etc., pode ser descrita em termos de equações diferenciais obtidas utilizando-se as leis da física que governam um sistema particular, como por exemplo, as leis de Newton dos sistemas mecânicos ou as leis de Kirchhoff dos circuitos elétricos (OGATA, 1998). Função de transferência A função de transferência, obtida aplicando-se a Transformada de Laplace à equação diferencial do sistema, relaciona algebricamente a saída de um sistema à entrada, permitindo assim, a separação da entrada, do sistema e da saída em três partes separadas e distintas, diferentemente da equação diferencial (NISE, 2002). ( ) G s C s = R ( ) Função de transferência : G s = δ δ[ saída] [ entrada] m m 1 ( ) b0s + b1s + L + bm 1s + b = n n 1 ( s) a 0s + a 1s + L + a n 1s + a n m condições.iniciais= 0 (2.2) A equação 2.2 separa a saída, C(s), a entrada, R(s), e o sistema, a relação de polinômios em s na direita.

33 33 Diagrama de blocos A função de transferência pode ser representada por um diagrama de blocos, que, segundo Ogata (1998), nada mais é que uma representação pictórica das funções desempenhadas por cada um dos componentes e do fluxo de sinais entre eles. A figura 2.5 representa um diagrama de blocos de um sistema à malha aberta. R(s) G(s) C(s) Figura 2.5: Diagrama de blocos de um sistema a malha aberta. Podemos obter a saída C(s) com a seguinte relação: ( s) R( s).g( s) C = (2.3) Já para sistemas a malha fechada, a saída C(s) retroage ao ponto de soma, onde é comparada com o sinal de entrada de referência R(s), como mostra a figura 2.6. R(s) Ponto de soma E(s) G(s) Ponto de derivação C(s) B(s) H(s) Figura 2.6: Diagrama de blocos de um sistema a malha fechada. Fonte: OGATA, Katsuhiko; Engenharia de controle moderno. Tradução Bernardo Severo. 3º ed. Rio de Janeiro: LTC, O sinal de saída C(s) é obtido pela multiplicação da função de transferência G(s) pelo sinal de entrada no bloco, E(s). A função de transferência de um sistema a malha fechada é dado pela equação 2.4. ( ) ( s) C s R ( ) ( ).H( s) G s = (2.4) 1 + G s O papel do elemento de retroação é modificar a natureza do sinal de saída antes que este seja comparado com o sinal de entrada. Na maioria dos casos, o elemento de retroação é um sensor que mede o valor da grandeza de saída do

34 34 processo a controlar. O sinal de saída do sensor é comparado com o sinal de entrada, gerando-se o sinal de erro atuante (OGATA, 1998) Especificações de desempenho O desempenho de um sistema de controle pode, basicamente, ser analisado em termos da resposta temporal do sistema a uma dada entrada padrão, tal como o degrau unitário ou a rampa. Estas especificações relacionam, de um modo geral, a exatidão, estabilidade relativa e velocidade de resposta. A resposta de um sistema estável, a aplicação de uma dada entrada, pode ser dividida em duas partes: a resposta transitória e a resposta em regime permanente. A resposta transitória é um período de tempo que decorre logo após a aplicação de uma nova entrada ao sistema, ou seja, é o tempo que o sistema se acomoda ou reage a nova entrada. Por outro lado, a resposta em regime permanente caracteriza o comportamento da saída do sistema quando o tempo tende ao infinito (DA SILVA, 2000). O desempenho em regime transitório de um sistema é avaliado, em geral, pela resposta temporal do sistema a uma entrada do tipo degrau unitário. Uma resposta típica a um degrau unitário é apresentada na figura 2.7.

35 35 Mp 1+d d 0.1 ts tp ta Figura 2.7: Especificações de regime transitório. Fonte: LIMA, Carlos Raimundo Erig. Controle e Servomecanismos I. Curitiba, Universidade Tecnológica Federal do Paraná. Apostila. Duas grandezas são usadas para descrever as características da resposta transitória de segunda ordem, são elas: Freqüência natural - ωn A freqüência natural de um sistema de segunda ordem é a freqüência de oscilação do sistema sem amortecimento (NISE, 2002). Coeficiente de amortecimento - ζ Essa grandeza descreve quantitativamente a oscilação da resposta de um sistema independente da escala de tempo. Nise (2002) explica a relação de amortecimento comparando dois sistemas, sendo que no primeiro a resposta transitória dura três ciclos em um milissegundo antes de atingir o estado estacionário, e o segundo percorre três ciclos em um milênio antes de atingir o estado estacionário. Estes dois sistemas possuem a mesma relação de amortecimento.

36 36 Lembrando que: ζ > 1 sistema super amortecido. ζ = 1 sistema criticamente amortecido. ζ < 1 sistema sub-amortecido. Conhecendo essas duas grandezas, podemos definir as especificações comumente usadas em sistemas de segunda ordem: Tempo de subida Ts Tempo necessário para que a resposta passe de 10% a 90% do seu valor final. π β Ts = (2.5) ω d O ângulo β é mostrado na figura 2.8. Jw d w n Plano S β -ζw n Figura 2.8: Definição do ângulo β. Fonte: LIMA, Carlos Raimundo Erig. Controle e Servomecanismos I. Curitiba, Universidade Tecnológica Federal do Paraná. Apostila. E ωd é a freqüência natural amortecida: 2 ω = ωn (2.6) d 1 ζ

37 37 Tempo de pico Tp Tempo necessário para que a resposta alcance o primeiro pico de ultrapassagem (OGATA, 1998). π Tp = (2.7) ω d Tempo de acomodação Ta Tempo necessário para que a curva de resposta alcance valores dentro de uma faixa em torno do valor final e aí permaneça. O intervalo de valores dentro da faixa é especificado por uma porcentagem absoluta do valor final (normalmente 2% ou 5%). O tempo de acomodação está relacionado com a maior constante de tempo do sistema de controle (OGATA, 1998). 4 Ta = ζω n 3 Ta = ζω n (critério de 2%) (critério de 5%) (2.8) Máximo sobre sinal ou overshoot Mp Máximo valor de pico da curva de resposta medido a partir do valor unitário (OGATA,1998). Este parâmetro é medido em percentual. Mp 2 ζπ 1 ζ = e (2.9) Vale lembrar que o máximo sobre sinal e o tempo de subida são especificações conflitantes. Em outras palavras, não se pode minimizar o máximo sobre sinal e o tempo de subida simultaneamente. Se um deles for reduzido, o outro necessariamente aumentará (OGATA, 1998). Além dos parâmetros vistos para a resposta transitória, deve-se considerar também o erro de estado estacionário, que, segundo Nise (2002), é a diferença entre a entrada e a saída de um sistema para uma entrada de teste quando o tempo tende ao

38 38 infinito. As entradas de teste usadas para análise e projeto de erro de estado estacionário são o degrau unitário, a rampa e a parábola Técnica do lugar das raízes Antes de definir o lugar das raízes, deve ser apresentado o plano s, que nada mais é do que um plano complexo, um sistema de coordenadas cartesianas compostas de um eixo imaginário e outro real, onde são representados os pólos da função de transferência à malha fechada de um sistema, sendo s uma variável complexa (s=σ+jϖ). O plano s está representado na figura 2.9. jω σ plano s Figura 2.9: Plano s. Já o método do lugar das raízes, introduzido por Evans em 1948, é um poderoso método de análise e projeto visando à estabilidade e à resposta transitória (NISE, 2002). De acordo com Dorf e Bishop (1998), o lugar das raízes é o percurso das raízes da equação característica traçado no plano s à medida que um parâmetro do sistema é alterado. Eles concluem ainda que a estabilidade relativa e o desempenho de um sistema de controle a malha fechada estão diretamente relacionados com a localização das raízes da equação característica a malha fechada no plano s. O método do lugar das raízes determina a localização de todos os pólos à malha fechada a partir do conhecimento da localização dos pólos e zeros a malha aberta à medida que o valor de um parâmetro (usualmente o ganho) é variado de zero à infinito (OGATA, 1998).

39 39 Ou seja, o lugar das raízes inicia nos pólos de malha aberta, quando o ganho é zero, e termina nos zeros de malha aberta ou no infinito, quando o ganho tende ao infinito. Além disso, para que o sistema seja estável, todos os pólos e zeros contidos no gráfico do lugar das raízes devem estar localizados no semi-plano esquerdo de s, portanto, devem possuir a parte real negativa. Se o lugar das raízes cruzar para o lado direito do plano s, é possível conhecer o ponto real no qual ocorre a interseção do lugar das raízes com o eixo imaginário utilizando o critério de Routh-Hurzitz. A localização das raízes no plano s indica claramente parâmetros como o tempo de pico da resposta, tempo de acomodação e o amortecimento do sistema em questão. A figura 2.10 mostra a influência do lugar das raízes na resposta transitória do sistema: Figura 2.10: Influência do lugar das raízes na resposta transitória do sistema. Fonte: KUO, Benjamin C.; GOLNARAGHI, Farid. Discrete-Data Control Systems. 8º ed. Danvers, MA: John Wiley & Sons, Inc, Sendo que: 1 e 2 Sistemas amortecidos, porém o sistema 1 possui um maior coeficiente de amortecimento; 3 Sistema oscilatório; 4 Sistema instável.

40 Técnica de resposta de freqüência Esta técnica leva em consideração a resposta em estado estacionário de um sistema a um sinal de teste senoidal. A resposta de um sistema linear com coeficientes constantes a um sinal de entrada senoidal é também senoidal, e com mesma freqüência da entrada, porém com magnitude e fase diferentes, sendo esta diferença uma função da freqüência de entrada. Assim é possível analisar a resposta em regime permanente do sistema a uma entrada senoidal de freqüência variável (DORF e BISHOP, 1998). De acordo com Ogata (1998), uma das vantagens do enfoque da resposta em freqüência é que os testes experimentais são simples e podem ser realizados com exatidão a partir do uso de geradores de sinal senoidal e de equipamentos de medida precisos. Para Nise (2002), esta técnica tem vantagens distintas nas seguintes situações: Quando se modelam funções de transferência a partir de dados físicos; Quando se projetam compensadores de avanço de fase para atender o erro de estado estacionário requerido e a resposta transitória requerida; Ao se determinar a estabilidade de sistemas não-lineares; Na remoção de ambigüidades ao se esboçar o lugar das raízes. Há três representações gráficas da função de transferência senoidal, são elas: diagramas de Bode ou gráficos logarítmicos, diagrama de Nyquist ou gráfico polar e por fim o diagrama de magnitude logarítmica versus ângulo de fase. Comecemos pelos diagramas de Bode. Diagramas de Bode ou gráficos logarítmicos Desenvolvido em 1945 por H. W. Bode, este diagrama consiste em dois gráficos, sendo o primeiro um gráfico do logaritmo do módulo da função de transferência senoidal, e o segundo um gráfico do ângulo de fase, ambos em função

41 41 da freqüência numa escala logarítmica, como mostra a figura 2.11, a seguir (OGATA, 1998). Figura 2.11: Exemplo de diagrama de Bode. Fonte: LIMA, Carlos Raimundo Erig. Controle e Servomecanismos I. Curitiba, Universidade Tecnológica Federal do Paraná. Apostila. A apresentação padrão do módulo logarítmico de G(jω) é 20log 10 G(jω ). A unidade usada nesta representação do módulo é o decibel (db). Na representação logarítmica, as curvas são desenhadas em papel semi-log, usando a escala logarítmica para a freqüência e a escala linear tanto para o módulo como para o ângulo de fase (OGATA, 1998). Outra aplicação é a determinação experimental de uma função de transferência, que pode ser realizada de modo simples se os dados de resposta em freqüência estiverem apresentados na forma de um diagrama de Bode (LIMA, s.d.). Através do diagrama de Bode é possível também determinar a estabilidade relativa de um sistema. No diagrama de Bode é definido o conceito de margem de ganho e de margem de fase, definidos para sistemas de fase mínima, que nada mais são do que sistemas que possuem todos os seus zeros no semi-plano s da esquerda. Lima [s.d.] define margem de ganho e margem de fase da seguinte maneira: Margem de Ganho de um sistema é definida como o quanto o ganho pode ser aumentado ou diminuído antes do mesmo tornar-se instável ou estável. Em decibéis, uma margem de ganho positiva indica quanto o sistema ainda

42 42 pode ter seu ganho aumentado antes de tornar-se instável. Uma margem de ganho negativa indica o quanto um sistema deve ter seu ganho diminuído antes de tornar-se estável. Pode ser calculado como o módulo do sistema na freqüência de cruzamento de fase. A margem de ganho será: MG = 20log G(jω) (2.10) ω=ω1 onde ω1 é a freqüência em que a curva de fase cruza Margem de fase é o atraso adicional de fase do sistema, observado na freqüência de cruzamento de ganho, necessário para levar o sistema ao limiar de instabilidade, ou seja, A margem de fase será: MF = 180º + G(jω) (2.11) ω=ω2 onde ω2 é a freqüência de cruzamento de ganho, ou seja, a freqüência em que a curva de fase cruza 0 db. A figura 2.12 mostra um exemplo da margem de ganho e margem de fase: Figura 2.12: Exemplo de margem de ganho e margem de fase. Fonte: LIMA, Carlos Raimundo Erig. Controle e Servomecanismos I. Curitiba, Universidade Tecnológica Federal do Paraná. Apostila.

43 43 Em sistemas de segunda ordem, ou sistemas de ordem superior, cujo comportamento dos pólos dominantes pode ser aproximado ao comportamento dinâmico de um sistema de segunda ordem, é possível relacionar a resposta temporal do sistema com o comportamento freqüêncial do mesmo. Especificamente é possível relacionar: Margem de fase com coeficiente de amortecimento. Freqüência de ressonância com freqüência natural amortecida. Valor de pico de ressonância com valor de pico temporal Mp. Diagrama de Nyquist ou gráfico polar Através deste método, o conhecimento da resposta de freqüência do sistema a malha aberta conduz a informações sobre a estabilidade do sistema a malha fechada. Este conceito é semelhante ao do lugar das raízes, onde começamos com informações sobre o sistema a malha aberta, seus pólos e seus zeros, e desenvolvemos as informações sobre o regime transitório e sobre a estabilidade do sistema a malha fechada (NISE, 2002). O gráfico polar de uma função de transferência senoidal G(jω) é um gráfico do módulo de G(jω) versus o ângulo de fase de G(jω) em coordenadas polares, quando ω varia de zero até o infinito (OGATA, 1998). Um exemplo de diagrama de Nyquist é mostrado na figura Figura 2.13: Exemplo de diagrama de Nyquist Fonte: