c PAVF 2 Produc~ao Considere o problema de determinar a melhor maneira de combinar varios insumos (p. ex., sementes, maquinario, trabalho humano, :::

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1 c PAVF 1 Aplicac~oes Produc~ao Aproximac~ao Planejamento Controle Alocac~ao Geometria Equac~oes

2 c PAVF 2 Produc~ao Considere o problema de determinar a melhor maneira de combinar varios insumos (p. ex., sementes, maquinario, trabalho humano, ::: ) para produzir uma certa commodity (p. ex., soja) x i : quantidade do insumo i p i : preco unitario do insumo i f : quantidade de commodity produzida q : valor unitario da commodity Supondo que a quantidade produzida e func~ao de n insumos x i i = 1 2 ::: n, e que o produtor deseja maximizar lucro, obtem-se o problema maximizar qf(x 1 x 2 ::: x n ) ; nx i=1 p i x i Assumindo que f e diferenciavel, as condic~oes necessarias de 1a. ordem seriam q df dx i = p i i = 1 2 ::: n Na soluc~ao, o valor marginal devido a um pequeno aumento no insumo i deve ser igual ao preco do insumo i

3 c PAVF 3 Aproximac~ao Suponha que um certo experimento gera valores g(y k ) de uma func~ao g, observados em m pontos y k k = 1 2 ::: m. Deseja-se aproximar g pelo polin^omio de grau n ou menor (n < m) p(y) = x n y n + x n;1 y n;1 + + x 0 Cada conjunto de valores x 0 x 1 ::: x n produz um polin^omio, que por sua vez produz um conjunto de erros e k := g(y k ) ; p(y k ) k = 1 2 ::: m. Aaproximac~ao de quadrados mnimos consiste em resolver onde f (x) := minimizar f (x) x 2 R n+1 mx k=1 [g(y k ) ; (x n y n k + x n;1y n;1 k + + x 0 )] 2 Denindo q ij := mx (y k ) i+j b j := mx g(y k )(y k ) j c := k=1 k=1 k=1 mx g(y k ) 2 obtem-se o problema quadratico minimizar x T Qx ; 2b T x + c Pela condic~ao de 1a. ordem, na soluc~ao, Qx = b

4 c PAVF 4 Planejamento A demanda de energia eletrica de um certo mercado consumidor deve ser atendida por uma companhia geradora, que pode escolher entre diversas formas de gerac~ao O nvel de pot^encia gerada pela companhia varia com a hora do dia, dia da semana, m^es do ano, ::: A demanda por pot^encia gerada e representada por uma curva h(x), que relaciona o no. de horas no ano para o qual um nvel mnimo de pot^encia x (normalizada) e demandado horas H T x 1 x 2 I 1 x A companhia pode atender a demanda instalando equipamentos para gerac~ao hidroeletrica ou termica, ou importando pot^encia de outra companhia A cada tipo de equipamento de gerac~ao associam-se custos anuais unitarios de capital b 1 b 2 e de operac~ao c 1 c 2. O custo unitario de importac~ao e c 3

5 c PAVF 5 Planejamento Gerac~ao hidraulica implica em elevado custo de capital e baixo custo operacional. E utilizada para atender a base da curva de demanda Gerac~ao termica e utilizada para atender nveis intermediarios de demanda. A importac~ao e empregada apenas para atender perodos de pico Deve-se determinar x 1 e x 2 (quanto de gerac~ao hidroeletrica e termica) de forma a minimizar o custo total de gerac~ao da companhia, dado por Z x1 f (x 1 x 2 ) := b 1 x 1 + b 2 x 2 + c 1 h(x)dx c 2 Z x1 +x 2 x 1 h(x)dx + c 3 Z 1 x 1 +x 2 h(x)dx sujeito a x 1 0 x 2 0 x 1 + x 2 1 Assumindo que a soluc~ao e interior as restric~oes, obtem-se as condic~oes de 1a. ordem b 1 +(c 1 ; c 2 )h(x 1 )+(c 2 ; c 3 )h(x 1 + x 2 ) = 0 b 2 +(c 2 ; c 3 )h(x 1 + x 2 ) = 0

6 c PAVF 6 Controle Suponha que uma quantidade xa de um certo recurso q (p. ex., dinheiro) deva ser distribuida entre N atividades (p. ex., projetos) Se uma parcela u k de q e alocada para a k-esima atividade (k = 0 1 ::: N ; 1), o retorno da alocac~ao e g k (u k ) A alocac~ao otima de recursos sera a soluc~ao do problema de otimizac~ao maximizar N X;1 k=0 g k (u k ) s.a N X;1 k=0 u k = q O problema pode ser reformulado como um problema de controle otimo discreto: maximizar N X;1 k=0 g k (u k ) x k+1 = x k ; u k x 0 = q x N = 0 O estado x k representa a quantidade de recurso restante para alocac~ao nas atividades k k +1 ::: N Reciprocamente, problemas de controle otimo - din^amicos - podem ser sempre reformulados como problemas de otimizac~ao estaticos

7 c PAVF 7 Alocac~ao Considere o problema linear maximizar c T x s.a Ax b x 0 onde c x 2 R n b 2 R m e A 2 R mn. O problema pode ser interpretado como um problema de alocac~ao de recursos A j-esima coluna de A representa uma atividade (dentre n), e a variavel x j 0, o nvel da atividade: a 1 x 1 + a 2 x 2 + :::+ a n x n = Ax b A atividade j consume a j x j do vetor de recursos disponveis, b. Se o lucro unitario com a atividade j e c j, o lucro total sera nx j=1 c j x j = c T x A soluc~ao do problema fornece a alocac~ao de recursos entre atividades que maximiza o lucro total Lucros aleatorios Varios fatores externos podem fazer com que o vetor de lucros unitarios c = (c 1 c 2 ::: c n ) n~ao seja precisamente conhecido

8 c PAVF 8 Alocac~ao Media e vari^ancia O valor medio e a vari^ancia do lucro com um certa alocac~ao de atividades s~ao, respectivamente, c T x x T Qx onde c := E(c) Q := E[(c ; c)(c ; c) T ] e E : operador esperanca matematica Q : matriz de covari^ancias de c (Q = Q T 0) Maximizac~ao da media maximizar c T x s.a Ax b x 0 O problema e que pode-se obter uma media de lucro elevada, mas com vari^ancia muito grande Minimizac~ao da vari^ancia minimizar x T Qx s.a Ax b x 0 A vari^ancia do lucro e a menor possvel, mas a media tambem pode ser muito baixa

9 c PAVF 9 Alocac~ao Criterio de satisfac~ao Supondo que um lucro medio mnimo z seja especicado, o problema poderia ser reformulado como minimizar x T Qx s.a Ax b cx z x 0 Criterio de ponderac~ao Media e vari^ancia do lucro s~ao ponderadas atraves de um par^ametro 0 w 1 minimizar wx T Qx ; (1 ; w)c T x s.a Ax b x 0 A escolha de w determina alocac~oes com maiores ou menores vari^ancias, maiores ou menores medias Abordagem alternativa (Chance constraint) Supondo que a distribuic~ao de probabilidades de c e conhecida, seja := prob (c T x z) A ideia e determinar x de forma a maximizar

10 c PAVF 10 Alocac~ao Assuma que c pode ser expresso na forma c := p + yq, onde p q 2 R n s~ao vetores conhecidos e y e uma variavel aleatoria, a fonte da aleatoriedade de c. Logo, := prob (p T x + yq T x z) = prob 2 4 y z ; p T x q T x 3 5 supondo que q T x > 0. Para maximizar, deve-se ent~ao resolver o problema fracionario minimizar z ; p T x q T x s.a Ax b x 0 Nota Uma restric~ao do tipo prob 2 4 y z ; p T x q T x 3 5 pode ser agregada ao problema de minimizar a vari^ancia do lucro. Se prob (y ) =, a restric~ao pode ser substituda por p T x + q T x z

11 c PAVF 11 Geometria Dist^ancia ponto-a-conjunto A dist^ancia de um ponto x 0 2 R n a um conjunto fechado R n, na norma kk, e o valor otimo do problema minimizar kx ; x 0 k s.a x 2 Se a dist^ancia e nula, ent~ao x 0 2. Se a dist^ancia e positiva, ent~ao x Qualquer soluc~ao do problema e chamada de projec~ao de x 0 em x 0 Dist^ancia conjunto-a-conjunto A dist^ancia entre dois conjuntos fechados ; R n, na norma kk, e o valor otimo do problema minimizar kx ; yk s.a x 2 y 2 ; Se a dist^ancia e nula, ent~ao \ ; 6=. positiva, ent~ao \ ; = Se a dist^ancia e

12 c PAVF 12 Geometria ; Notas As noc~oes de dist^ancia ponto-a-conjunto e conjunto-a-conjunto est~ao relacionadas a exist^encia de hiperplanos separadores entre ponto-conjunto e conjunto-conjunto Se existe um hiperplano separando x 0 de, ent~ao a dist^ancia e positiva. A recproca e verdadeira se for convexo. A analise do caso conjunto-conjunto e similar Centralizac~ao O problema de centralizac~ao consiste em resolver maximizar r s.a x + r ; onde x 2 R n, r 0, R n e um conjunto convexo compacto tal que 0 2 o e ; R n

13 c PAVF 13 Geometria Notas O problema consiste em inscrever o conjunto no conjunto ;. Ovetor x (centro) translada e o escalar r (raio) dilata no interior de ; O objetivo e obter o centro x que permita a maior dilatac~ao de em ;. A situac~ao pode ser exemplicado pelo problema de lapidac~ao de diamantes O conjuntos ; e representam a pedra bruta e a forma desejada de lapidac~ao da pedra. Deseja-se obter o maior diamante na forma especicada x x + r ; A condic~ao 0 2 o garante a translac~ao de em ;

14 c PAVF 14 Geometria Classicac~ao O problema de classicac~ao consiste em, dados dois conjuntos de pontos fx 1 x 2 ::: x n g e fy 1 y 2 ::: y m g, encontrar uma func~ao f tal que f (x i ) > 0 i = 1 2 ::: n f (y i ) < 0 i = 1 2 ::: m Caso quadratico A func~ao f assume a forma f (x) :=x T Ax+b T x+c. Deve-se determinar A b e c tais que (x i ) T Ax i + b T x i + c > 0 i = 1 2 ::: n (y i ) T Ay i + b T y i + c < 0 i = 1 2 ::: m Devido a homogeneidade de f, as desigualdades estritas podem ser substitudas por n~ao-estritas: (x i ) T Ax i + b T x i + c > 1 i = 1 2 ::: n (y i ) T Ay i + b T y i + c < ;1 i = 1 2 ::: m

15 c PAVF 15 Geometria Problema de otimizac~ao A classicac~ao dos pontos pode ser feita resolvendo-se o problema n~ao-linear maximizar min 1in f (xi ) ; max 1jm f (yj ) sujeito a restric~oes sobre os par^ametros de f Nota No caso quadratico, as restric~oes podem impor, p. ex., que A = A T > 0, de forma que os pontos devam ser classicados por um elipsoide

16 c PAVF 16 Equac~oes Equac~oes lineares Sejam A 2 R nn uma matriz simetrica denida positiva e b 2 R n. O problema de se resolver o sistemas de equac~oes lineares Ax = b e equivalente ao problema quadratico estritamente convexo minimizar 1 2 xt Ax ; b T x dado que, na soluc~ao otima x, rf (x )=Ax ; b = 0 Notas E possvel resolver Ax = b atraves de um algoritmo iterativo. O algoritmo gera uma sequ^encia (x k ) denida por x k+1 = x k + k d k x 0 dado onde k e o passo e d k a direc~ao na iterac~ao k Asequ^encia (x k ) converge para a soluc~ao de Ax = b. Dentre os algorimos mais ecientes, encontram-se os algoritmos de direc~oes conjugadas

17 c PAVF 17 Equac~oes Equac~oes n~ao-lineares Muitos problemas em Engenharia resultam num conjunto de equac~oes n~ao-lineares na forma onde h(x) =0 h(x) :=(h 1 (x) h 2 (x) ::: h n (x)) h(x) 2 R n x 2 R n Uma soluc~ao para h(x) =0 e encontrada resolvendo-se minimizar f (x) = 1 2 kh(x)k2 x 2 R n onde kke normalmente a norma 2. O gradiente de f e rf (x) = nx i=1 h i (x)rh i (x) =rh(x) T h(x) Notas Se numa soluc~ao x, a matriz jacobiana rh(x ) for n~aosingular, ent~ao rf (x ) = 0 implica h(x ) = 0 Metodos do tipo Newton s~ao usualmente utilizados para resolver sistemas de equac~oes n~ao-lineares