NÚMERO RACIONAL NA REPRESENTAÇÃO FRACIONÁRIA: ENTENDIMENTOS PRODUZIDOS POR ALUNOS DA EDUCAÇAO BÁSICA 1

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1 NÚMERO RACIONAL NA REPRESENTAÇÃO FRACIONÁRIA: ENTENDIMENTOS PRODUZIDOS POR ALUNOS DA EDUCAÇAO BÁSICA 1 Claudia Fatima de Matos Campos 2 Resumo: O presente artigo constitui-se a partir de pesquisa qualitativa com abordagens quantitativas, tem como objetivo investigar os entendimentos que os alunos da Educação Básica apresentam acerca dos números racionais na representação fracionária, envolvendo os cinco significados. Os dados empíricos foram produzidos por meio de questões desenvolvidas com uma turma de alunos do 1 ano do ensino médio, em uma escola da rede Estadual de Ensino no Município de Panambi/RS. Os dados foram organizados em quadros e analisados a partir de proposições e ideias apresentadas por Nunes e Bryant (1997), Nunes et al (2003), Campos e Magina (2005), Merlini (2005), Brasil (1998), Brasil (1997), Referencial Curricular (2009) e Silva (2005), a partir de unidades de análises que consideram os significados para os números racionais na representação fracionário: parte todo, quociente, medida, operador multiplicativo e número. A análise permitiu apontar que os alunos apresentam entendimentos frágeis em relação ao conceito dos números racionais na representação fracionária e que a ideia de dupla contagem se mostra presente em várias situações propostas. Palavras-chave: Número racional; representação fracionária; entendimentos dos alunos. Introdução A Matemática é uma ciência que foi construída no decorrer dos tempos, de diferentes formas e por diferentes povos, a partir de necessidades, sejam de situações da vivência das pessoas ou de questões intrínsecas da matemática. E hoje é uma área de conhecimento que faz parte do currículo escolar. No currículo escolar da Educação Básica ensino fundamental anos finais, a Matemática como área de conhecimento e disciplina, está organizada em Blocos de conteúdos: Espaço e forma, Tratamento da informação, Números e operações e Grandezas e medidas (BRASIL, 1998). Nesse contexto, o número como um amplo campo de conhecimento matemático que estrutura a Matemática, faz parte do currículo escolar da Educação Básica, está inserido no Bloco Números e operações e merece ao longo do ensino fundamental uma atenção especial quanto a sua natureza e caracterização (RIO GRANDE DO SUL, 2009, p.11). 1 Este artigo foi elaborado para o Componente Curricular Prática de Estágio Supervisionado V: Trabalho de Sistematização do Curso em Matemática Licenciatura da UNIJUI Universidade Regional do Noroeste do Rio Grande do Sul, sob orientação da prof a Isabel Koltermann Battisti. 2 Acadêmica do curso de Licenciatura em Matemática da Universidade Regional do Noroeste do Rio Grande do Sul. claudiafatimadematoscampos@gmail.com. 1

2 Ao longo do ensino fundamental, ao se deparar com vários tipos de situaçõesproblema envolvendo operações, medida de grandezas ou historia do desenvolvimento da matemática, o aluno constrói conhecimentos sobre os números, percebendo assim a existência de vários conjuntos numéricos, entre eles, o dos números naturais, inteiros, racionais, irracionais e reais, cada um com diferentes significados. Os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN) apontam que no estudo dos conteúdos de matemática, inseridos no bloco Números e Operações tratados no terceiro ciclo, é fundamental propor situações-problema com números naturais, racionais e inteiros, permitindo a ampliação do sentido operacional que se desenvolve simultaneamente à compreensão dos significados dos números (BRASIL, 1998, p.66). Entre uma das preocupações, com relação aos processos de ensino e de aprendizagem nesta etapa da escolarização referente aos números, destaca-se a abordagem aos números racionais. O ensino de números racionais na representação fracionária é proposto aos alunos deste os anos iniciais, mas mesmo assim, chegam ao final do ensino fundamental apresentando grandes dificuldades, demonstram não compreenderem o conceito de números fracionários. Uma explicação para as dificuldades encontradas, possivelmente, deve-se ao fato de que a aprendizagem dos números racionais supõe rupturas com ideias construídas para os números naturais (BRASIL,1998, p.101). Ao trabalhar com os números racionais, os alunos acabam tendo de enfrentar vários obstáculos. De acordo com Bezerra (2001, p. 01) a falta de compreensão do conceito de frações está relacionada à complexidade do próprio conceito e à forma de como está sendo ensinado. Assim os alunos saem do ensino fundamental e entram no ensino médio com a mesma percepção que antes, sem entender o significativo de frações. Pesquisas apontam que, mesmo depois de anos de estudo, os alunos: [...] não conseguem perceber a fração nem como uma quantidade, pois não a percebem como um número; nem como um quociente, pois não o associam ao resultado de uma divisão; ao contrario, continuam trabalhando simbolicamente com números naturais, só que escritas de uma forma diferente, um em cima do outro[...]. (SILVA, 1997, p.6): Giménez e Bairral (2005) tratam da importância do reconhecimento, pelo aluno, dos diferentes significados do número racional na representação fracionária e indicam que estes diferentes significados, possibilitam a construção do referido conceito. Entendemos, então, que o conceito de números racionais deve ser explorado a partir de diferentes contextos e considerando seus diferentes significados. 2

3 Os Parâmetros Curriculares Nacionais (BRASIL, 1998, p. 71), corroboram com essa ideia, destacando o reconhecimento de números racionais em diferentes contextos cotidianos e históricos - e sua exploração em situações-problema as quais consideram: relação parte/todo, quociente, razão e como operador multiplicativo. Nunes (2003), inspirada nos trabalhos de Kieran (1980), afirma que a aprendizagem do conceito de fração poderá ser obtida com maior êxito quando explorado esse conceito em seus cinco significados: número, parte-todo, medida, quociente e operador multiplicativo. Merlini (2005), corrobora com as ideias apresentadas por Nunes (2003) ao afirmar que para ter uma aprendizagem significativa sobre frações é importante que o conceito seja explorado em seus diferentes significados. Diante dessas considerações, o presente artigo se constitui a partir de uma pesquisa que pretende investigar quais os entendimentos que uma turma de alunos da Educação Básica apresenta acerca dos números racionais na representação fracionária, envolvendo os significados de número, parte-todo, medida, quociente e operador multiplicativo. 1. Caminhos metodológicos A presente pesquisa se faz a partir de uma abordagem qualitativa, mas que considera elementos quantitativos. A pesquisa qualitativa [...] responde a questões muito particulares. [...] ela trabalha com o universo de significados, motivos, aspirações, crenças, valores e atitudes, o que corresponde a um espaço mais profundo das relações dos processos e dos fenômenos que não podem ser reduzidos à operacionalização de variáveis (MINAYO, 1995 apud, MALHEIROS, 2011, p.64). Para a realização da pesquisa foram desenvolvidos vários procedimentos. Num primeiro momento foi realizado um levantamento de pesquisas que abordam/tratam dos números racionais na representação fracionária, considerando os cinco significados, com leituras e apontamentos. Foi ainda realizada uma série de anotações acerca dos entendimentos dos números racionais na representação fracionária considerando os diferentes significados apresentados pelos Documentos Oficiais (BRASIL, 1997, 1998) que orientam o ensino da matemática no ensino fundamental anos iniciais e anos finais, bem como a partir de proposições de diferentes pesquisadores que tratam dos números racionais em sua representação fracionária. 3

4 Os dados empíricos constituíram-se a partir da seleção, elaboração e desenvolvimento de quinze questões, envolvendo os cinco significados dos números racionais em sua representação fracionaria. Das 15 questões propostas, 5 enfatizam o significado parte-todo, 3 o significado quociente, 3 o significado de operador multiplicativo, 2 o significado de medida e 2 o significado de número. As questões foram desenvolvidas por alunos que no momento cursavam o 1 ano do ensino médio, em uma escola da rede Estadual de Ensino no Município de Panambi/RS. Os alunos, sujeitos da pesquisa, já frequentaram o ensino fundamental; conforme os PCN (BRASIL, 1998), os alunos no final do 4 ciclo, já devem ter se apropriado do conceito do número racional na representação fracionária, considerando os diferentes significados. Por esse motivo, a produção dos dados empíricos aconteceu com alunos de uma turma do primeiro ano do ensino médio. A turma envolvida na pesquisa é composta por 21 alunos, destes apenas 14 desenvolveram as referidas questões. Os 14 alunos responderam as questões que enfatizavam os significados parte-todo e quociente, já com os significados operador multiplicativo e medida, apenas 9 alunos responderam, e com o significado de número, 4 alunos responderam. Com o intuito de preservar a identidade dos alunos sujeitos da pesquisa, nesse artigo, os mesmos serão identificados por letras do alfabeto, por exemplo, Aluno A, Aluno B e assim sucessivamente para os demais. As respostas a cada questão, considerando o significado enfatizado, foram organizadas em quadros, observadas as recorrências e os entendimentos apresentados pelos alunos. Os dados produzidos foram analisados a partir de proposições e ideias apresentadas por Nunes e Bryant (1997), Nunes et al. (2003), Campos e Magina (2005), Merlini (2005), Brasil (1998), Brasil (1997), Referencial Curricular (2009) e Silva (2005), a partir de unidades de análises que consideram os significados para os números racionais na representação fracionária propostos por Nunes et al (2003): parte todo, quociente, medida, operador multiplicativo e como número. 2. O número racional: um conceito a ser elaborado por alunos da Educação Básica Medir e contar são, segundo Caraça (2005, p.29), [...] operações cuja realização a vida de todos os dias exige com maior frequência. Muitas são as situações do nosso dia a dia que exemplificam esta afirmação como por exemplo: Na agricultura, ao calcular a quantidade de sementes a ser plantado; nas receitas culinárias, ao medir os 4

5 ingredientes para fazer um bolo, enfim, independentemente da função que exercemos em algum momento nos deparamos com a necessidade de contar ou medir. Os números passam a ser cada vez mais importante na vida do homem devido as suas necessidades e quando a habilidade de contar tornou-se insuficiente para responder perguntas do tipo quantas vezes uma grandeza cabe em outra, surgiu a necessidade da ampliação dos números naturais. Caraça (2005) apresenta em sua obra Conceitos Fundamentais da Matemática, os números racionais como respostas a essas questões. O autor discute os números racionais no capitulo II, intitulado, O problema de medida. Já, no inicio, questiona o que é medir todos sabem em que consiste o comparar duas grandezas de mesma espécie, dois comprimentos, dois pesos, dois volumes (CARAÇA. 2005, p.29). O autor traz situações de comparação de dois segmentos de reta e comenta que, em geral, pede-se uma resposta para a pergunta quantas vezes um segmento cabe em outro, e a resposta pode tornar-se extremamente complicada, ou até mesmo, impossível se considerado o conjunto dos números inteiros. Portanto, o novo campo numérico surgiu quando não foi possível exprimir com um número inteiro que indicasse quantas vezes uma grandeza cabe em outra. De acordo com Caraça (2005), os números racionais surgiram como generalização dos números naturais. Apesar de herdar conceitos e propriedades, esses novos números apresentam peculiaridades que geram dificuldades na aprendizagem. Para Rodrigues (apud PATRONO, 2011, p.23) [...] essas peculiaridades agregam dificuldades para a compreensão da relação de ordem entre os números racionais. Afirma, ainda, que para que o aluno compreenda o que é o número racional, é importante que ele trabalhe com quantidades diferentes (continuas e discretas), que perceba as diversas formas de representar um mesmo número e que um mesmo número ou mesma representação, pode ter significados diferentes, de acordo com o contexto que está sendo considerado. Nunes et al (2003) define cinco significados para os números racionais em sua representação fracionária: fração como parte-todo, como quociente, como medida, como operador multiplicativo e fração como número. Os Parâmetros Curriculares Nacionais destacam que: Na perspectiva do ensino não é desejável tratar isoladamente cada uma dessas interpretações. A consolidação desses significados pelos alunos pressupõe um trabalho sistemático, ao longo do terceiro e quarto ciclos, que 5

6 possibilite análise e comparação de varias situações-problema (BRASIL, 1998, p.103). Desta forma, em diferentes contextos, a partir dos diferentes significados, as relações que fundamentam os números racionais são construídas. Pires (2012) destaca que a construção dos números racionais não é simples, precisa ser caracterizada por uma série de subconstruções distintas, mas relacionadas, que se fazem a partir dos diferentes significados. Nesse sentido, é importante que os professores reflitam sobre suas práticas e busquem explorar os cinco significados do número fracionário, possibilitando aos alunos elaborações conceituais e, assim, a ampliação de seus conhecimentos acerca desse campo numérico. 3. Número racional na representação fracionária: entendimentos apresentados por alunos da Educação Básica Com o objetivo de investigar os entendimentos que alunos da Educação Básica apresentam acerca dos números racionais na representação fracionaria, foram propostas 15 questões envolvendo os 5 significados, para serem desenvolvidas por uma turma de alunos do 1ª ano do Ensino Médio de uma Escola Estadual do Município de Panambi/RS. As discussões a seguir propostas se fazem a partir dos entendimentos apresentado pelos alunos sujeitos da pesquisa considerando os significados propostos por Nunes et al, (2003). 3.1 Significado parte-todo: entendimentos apresentados pelos alunos Este significado está relacionado à partição de um todo em n partes iguais, em 1 que cada parte pode ser representada como, com n diferente de zero. Aqui, a divisão n em partes iguais e a utilização de um procedimento de dupla contagem são, em muitas situações, suficientes para realizar uma representação adequada. Por exemplo, se um todo foi dividido em cinco partes iguais e duas foram pintadas, os alunos podem aprender a representação como dupla contagem: acima do traço escreve-se o número de partes pintadas, abaixo do traço escreve-se o número total de partes. A concepção parte-todo emerge da ação de dividir uma grandeza continua (comprimento, área, volume,...), em partes equivalentes ou uma grandeza discreta (coleção de objetos) em partes iguais em quantidades de objetos, (Silva, 2005). 6

7 As 5 questões que enfatizam o significado parte-todo foram respondidas pelos 14 dos alunos sujeitos da pesquisa. Na questão n 2 item a, b e c foi indicado o inteiro e solicitado aos alunos para representarem uma determinada fração. Todos os alunos realizaram as questões, eles repartem o inteiro na quantidade de partes que foi solicitado, porém a maioria deles reparte a região do inteiro em partes com áreas diferentes, como podemos perceber na representação realizada pelo Aluno G. Figura 1: Representação realizada pelo Aluno G, resposta da questão n 2. Fonte: Material empírico produzido, A análise das representações realizadas pelos alunos aponta que eles entendem que o denominador é o número de partes que o inteiro foi dividido e o numerador as partes tomadas do inteiro. Utilizam a técnica da dupla contagem, o numerador em cima do traço e o denominador abaixo do traço, mas passa despercebido que, ao se tratar do conceito dos números fracionários, a região do inteiro deve ser dividida em partes iguais. Nunes e Bryant afirmam que no processo de dividir e pintar: As crianças são informadas que o número total de partes é o denominador, então, o número de partes pintadas é o numerador. Esta introdução, junto com alguma instrução sobre algumas poucas regras para calcular, permite que as crianças transmitam a impressão de que sabem muito sobre frações. (NUNES ; BRYANT, 1997, p.191) Para os referidos autores esse é um dos métodos de ensino usado pelos professores que transmitem aos alunos o emprego de um procedimento de dupla contagem, dando aos alunos a impressão que sabem tudo sobre frações, eles passam a contar o número total de partes e então as partes pintadas, mas muitas vezes não entendem o significado desse novo tipo de número. 7

8 Na questão n 2, item c) o qual solicita para o aluno representar cinco décimos ( ) do inteiro, o Aluno L representa cinco décimos do inteiro de forma diferente dos demais alunos, repartindo a região do inteiro em duas partes iguais e pintando uma das partes, associando, dessa forma, à ideia da equivalência. Figura 2: Representação feita pelo Aluno, resposta da questão n 2, item c. Fonte: Material empírico produzido, Na questão número 3, item b), foi mostrado de uma folha de caderno, a qual representava 15 linhas e solicitado aos alunos que completassem o restante da folha. Dos 14 alunos, 3 não representaram o solicitado, 1 representou 7 linhas das 5 que faltavam para completar a folha (Figura 2) e os demais conseguiram representar as 5 linhas que faltava para completar a folha inteira. Dessa forma os que conseguiram representar as 5 linhas do que faltava para completar o inteiro, demonstraram entender o significado de da folha do caderno, mas representaram o espaço de cada linha da figura totalmente desproporcional ao espaço de cada linha da figura apresentada. Figura 3: Representação realizada pelo Aluno I, resposta da questão n 3. Fonte: Material empírico, produzido Figura 4: Representação realizada pelo Aluno A, resposta da questão n 3, item b. 8

9 Fonte: Material empírico, produzido Ao analisar a resolução do Aluno A pode-se conjecturar que este aluno não compreendeu o quanto representava da folha. A resolução da questão nº 4 também nos possibilitou algumas análises acerca do entendimento apresentado pelos alunos, como mostramos na figura 5. Figura 5: Representação realizada pelo Aluno B- resposta da questão n 4. Fonte: Material empírico produzido, Ao resolver o item a), o Aluno B resolveu de forma equivocada, é possível indicar que a referida aluna acredita que o quadrado grande cabe 4 vezes no quadrado pequeno, neste caso, não percebe que o quadrado pequeno corresponde a do quadrado maior indicado como inteiro. Já no item b), a Aluna B resolveu de forma correta, demonstra ter percebido que o retângulo maior representa do retângulo menor considerado como inteiro. Os demais alunos resolveram a questão de forma contraria a Aluna B, resolveram de forma correta o item a) e de forma equivocada o item b), responderam que o retângulo menor é do retângulo maior. A análise dos dados empíricos produzidos aponta que os alunos apresentam entendimentos com relação ao significado parte-todo a partir da ideia de dupla 9

10 contagem e de um modelo geométrico, em várias situações desconsideram que o todo precisa ser dividido em partes iguais- condição para a existência do número fracionário. Outro fato que pelas análises foi possível constatar está relacionado à representação da fração quando o inteiro é menor do que a parte a ser representada, muitos alunos demonstram ideias equivocadas a esse respeito. Dessa forma, para os alunos participantes da pesquisa, a relação entre numerador e denominador em muitas situações não é considerada e demonstram que não é desenvolvida a ideia de que número racional representa também uma quantidade. 3.2 Significados quociente: entendimentos apresentados pelos alunos Este significado está relacionado à ideia de divisão, por exemplo: uma pizza a ser repartida igualmente entre 8 crianças. Nas situações de quociente temos duas variáveis, no caso da situação apresentada, número de pizza e número de crianças, sendo que uma corresponde ao numerador e a outra ao denominador. Neste caso o numerador corresponde ao número de pizzas e o denominador ao número de crianças. Assim, a divisão pode ser representada por, este número representa o resultado da repartição da pizza entre as crianças. A ideia de quociente pode ser usada para que os alunos se apropriem do invariante de ordenação das frações, percebendo que, por exemplo, quanto mais crianças para dividirem o bolo, menor o pedaço de bolo que cada uma receberá. Esta relação inversa entre o divisor e o quociente pode ajudar as crianças a entenderem que quanto maior o denominador, menor a parte (CAMPOS; MÁGINA, 2005). Na questão n 1 foi mostrado um quadro com 2 figuras, na Figura 1, 3 crianças e 1 bolo, na Figura 2, 6 crianças e 2 bolos. No item a) foi solicitado aos alunos para responder se as 9 crianças recebem a mesma quantidade de bolo, no item b, foi solicitado para representar a fração da Figura 1 e no item c), para representar a fração da Figura 2 e justificar. 10

11 Figura 6: Representação realizada pelo Aluno E, resposta da questão n 1. Fonte: Material empírico produzido, Como podemos ver na Figura 6, percebe-se que o aluno demonstra entendimento em relação a situações que envolve duas variáveis na ideia da divisão, ( número de bolo e numero de crianças). Neste caso número de bolo no numerador e numero de crianças no denominador, mas não associa à equivalência das frações. Já, o Aluno A, ao resolver o item c) da questão 3, Figura 7, faz de forma diferente dos demais alunos, como tinha 2 bolos e 6 crianças, demonstra entender com mais clareza a ideia da divisão ao perceber que 1 bolo irá ser dividido a cada 3 crianças. Figura 7: Representação realizada pelo Aluno A, resposta da questão n 1, item c. Fonte: Material empírico produzido, Na questão n 2 foi indicado aos alunos para dividir 3 barras de chocolate em partes iguais para 4 crianças. No item a) foi solicitado aos alunos para representarem a situação em forma de desenho, item b), para responder se cada criança receberia 1 chocolate inteiro, item c), se cada criança receberia pelo menos a metade do chocolate e item d), para representar numericamente a fração de chocolate que cada criança receberia. Ao analisar as respostas dos alunos foi possível constatar que para muitos dos alunos não está clara a representação da referida situação em forma de desenho. Já no item c), ao justificar se cada criança receberia pelo menos a metade do chocolate, o Aluno I diz que Sim. Porque cada um receberá 0,75 de chocolate. Ao resolver o item d, 11

12 alguns dos alunos demonstraram não entender ideia da divisão envolvendo duas variáveis representando pelo fato ser 4 crianças e 3 barras. Na questão n 3 foi apresentado um quadro com duas figuras, na figura 1, dois meninos e uma torta, na figura 2, três meninas e uma torta, sendo que as meninas dividem a torta e os meninos também dividem a torta igualmente. No item a, foi solicitado aos alunos para responder se cada menina recebe a mesma quantidade de que cada um dos meninos, no item b e c, foi solicitado para representar a fração de torta que cada criança recebeu. Já no idem d, foi solicitado para o aluno representar a menor e maior fração e justificar. Nestas situações, a análise os dados empíricos apontam que a ideia da dupla contagem se mostra mais presente do que a ideia de divisão. Como o número natural 3 é maior do que 2, então, a partir desse entendimento consideram que é maior do, sem considerar o número fracionário como cociente ou como quantidade. 3.3 Significado de medida: entendimentos apresentados pelos alunos A ideia de medida, de acordo com Caraça (2005) gerou necessidades as quais deram origem ao número racional. Algumas medidas envolvem fração por que se referirem à quantidades intensivas, nas quais a quantidade refere-se à relação entre duas variáveis. Por exemplo, a probabilidade de um evento é medida pelo quociente, número de casos favoráveis e dividido pelo número de casos possíveis. Nesse sentido, a razão também pode ser usada em situações nas quais as frações são descritores de quantidades, ou seja, se duas misturas de tinta foram feitas com a mesma razão de tinta vermelha para tinta branca, a cor será a mesma e as frações serão equivalentes, mesmo que a quantidade total de tinta seja diferente (CAMPOS; MAGINA, 2005). Foram propostas duas questões que enfatizam a ideia de medida. Uma delas está relacionada à mistura de groselha num remédio e indica o uso de 1 colher do medicamento e 4 colheres de groselha, compondo uma dose com 5 colheres. Ao solicitar aos alunos que escrevessem numericamente a fração que representa a quantidade do medicamento em uma dose, nenhum aluno acertou. O erro deste item da questão impossibilitou os alunos de acertarem os próximos itens da referida questão. A outra questão que enfatiza a ideia de medida, também está relacionada à razão, indica a mistura de tinta branca com tinta azul, de duas formas diferentes. Diz que no primeiro dia foram misturados 3 litros de tinta branca e 3 litros de tinta azul, já, no segundo dia foram misturados 2 litros de tinta branca e 2 litros de tinta azul. Nesta 12

13 situação houveram vários acertos. E possível que se deve ao fato de os alunos perceberem que a mistura das tintas vai ficar da mesma cor nos dois dias, pois a fração da tinta azul é que representa 1 e na fração da tinta branca é que representa 1, assim as frações são equivalentes, ou seja, a razão é a mesma. Portanto por mais que a quantidade de tinta utilizado em cada dia é diferente, a cor será a mesma nos dois dias. As frações que representam as quantidades em cada situação são escritas de forma correta pela maioria dos alunos. Ao justificar se a mistura nas duas situações forma a mesma cor de tinta, o Aluno F diz que: Sim. Porque é 50% nas duas. Já, os demais alunos não expressam claramente a razão entre as quantidades de tinta, se referem às quantidades iguais de cada mistura, como podemos perceber quando o Aluno I descreve: Sim. Porque a quantidade de tinta misturada foi igual. Para perceber de forma mais peculiar o entendimento dos alunos com relação a este significado, poderia ter sido proposto questões que envolvessem a comparação de duas grandezas considerando a pergunta do tipo quantas vezes uma determinada unidade cabe em outra? Neste caso uma determinada parte é tomada como referência para se medir uma outra. 3.4 Significado operador multiplicativo A fração como um operador multiplicativo tem um papel de transformador, isto é, a representação de uma ação que se deve imprimir sobre um número ou uma quantidade, transformando seu valor nesse processo. Ainda, podemos pensar na fração como operador multiplicativo, ou seja, o valor escalar aplicado a uma quantidade (NUNES, 2003). No caso do número inteiro, por exemplo, podemos dizer que compramos 12 balas; no caso da fração, podemos dizer de um conjunto de balas. A ideia implícita nessas situações é que o número é um multiplicador da quantidade indicada. Assim, podemos dizer que ganhamos das balas de um pacote que continha 16 balas (CAMPOS; MAGINA, 2005). Considerando esse significado foram propostas aos alunos 3 questões, dos 14 alunos apenas 9 responderam. As referidas questões envolveram quantidades discretas e continuas. Em uma das questões propostas foi solicitado que os alunos identificassem de uma determinada quantidade de bolinhas de gude, destas 6 alunos acertaram as questões propostas. 13

14 Figura 8: Representação realizada pelo Aluno E, resposta da nº1. Fonte: Material empírico produzido, Como podemos ver na figura 8, o Aluno E demonstra entender que das 16 bolinhas de gude são 8. Já, em outra questão, a qual solicitava que os alunos indicassem um meio ( ) de um quarto ( ) de uma barra de chocolate, nenhum aluno acertou. Muitas vezes o aluno aprende que deve dividir o número que representa o inteiro pelo denominador e o resultado dessa operação multiplicar pelo numerador, como podemos perceber ao analisar as respostas dos alunos relacionadas a uma das questões propostas. No entanto esses procedimentos não possibilitam ao aluno desenvolver raciocínios lógicos-matemáticos, relacionados ao número fracionário como operador multiplicativo, o que constatamos ao analisar a resolução dos alunos ao tentarem encontrar um meio ( ) de um quarto ( ). A fração com operador multiplicativo é um valor escalar aplicado a uma quantidade, ou seja, um multiplicador da quantidade indicada, este entendimento precisa ser produzido pelos alunos na elaboração do conceito de número racional na representação fracionária. 3.5 Significado de número As frações, assim como os naturais e inteiros, são números que não precisam necessariamente se referir a quantidades especificas. Existem duas formas de representação fracionária: ordinal e decimal (Malaspina e Mágina, 2005). De acordo com Merlini: O sujeito frente a esse tipo de situação- problema deverá reconhecer a principio a fração como um número (significado) e não como uma superposição de dois números naturais. Deverá perceber, ainda que todo o número tem um ponto correspondente na reta numérica e que sua localização depende do principio de ordenação (invariante), por exemplo 2/3 é um número compreendido entre 0 e 1. Assim mesmo considerando esse 14

15 intervalo, há a necessidade que o sujeito compreenda que a direita e à esquerda de 2/3 existem infinitos números (MERLINI, 2005, p,39). Considerando esse significado foram propostas aos alunos 2 questões, dos 14 alunos apenas 3 responderam. Em uma das questões propostas foi solicitado que os alunos indicassem, e na reta numérica, nenhum aluno acertou. Figura 9: Representação realizada pelo Aluno B, resposta da questão no 1. Fonte: Material empírico produzido, Como podemos ver na figura 9, o Aluno B demonstra não entender o significado da fração como número, indicando na metade da reta numérica (3,5) e não na posição correta, os demais números fracionários também são indicado na posição e equivocada da reta numérica, não conseguindo perceber que é o mesmo que 0,8, bem como o valor numérico de. Neste caso, o entendimento do aluno ao representar na reta numérica, não seria o de número, mas o de operador multiplicativo, como se o enunciado do problema pedisse para indicar o número que representasse da reta numérica, ou seja, de 7, não entendendo que seria para indicar na reta numérica, sendo que é o mesmo que o número 0,5. Na outra questão a qual solicitava no item a) que os alunos desenhassem uma reta numérica considerando como unidade de medida o centímetro - como inteiro-, e representassem,,, e na reta numérica, e item b), foi solicitado para os alunos escrevessem os números fracionários em ordem crescente, nenhum aluno acertou. Figura 10: Representação realizada pelo Aluno F, resposta da questão n 2. 15

16 Fonte: Material empírico produzido, Como podemos ver na figura 10, o Aluno F, demonstra entender que é 0,5 e que é 2,5 indicando o referido número na posição na reta numérica de forma correta, porém ao indicar os demais números solicitados e no item b), escrever os números fracionários em forma crescente, demonstra que essa compreensão é parcial, pois a ordem apresentada não está de forma crescente conforme a solicitação. Ainda no caso do aluno F, este apresenta a divisão, 2 dividido por três, mas a resposta obtida 0,4, parece não ser significada pelo aluno, pois este número não foi colocado adequadamente na reta numérica. Até pode ter percebido que é o mesmo que 0,4 as duas representações tem mesmo significado, apenas são representados de forma diferente, mas não parecem ter significado enquanto número. Da mesma forma com relação a 2/3. Com relação a 2/10 efetuou o cálculo 10 dividido por dois. O que confirma a indicação de que o significado dos números racionais, para este aluno, ainda precisa ser ampliado. Considerações finais O conceito de números racional na representação fracionária é de grande importância no ensino de matemática, desde os anos iniciais ao longo dos anos finais do ensino fundamental, mas para que o referido conceito seja compreendido pelos alunos é necessário explorá-lo considerando os cinco significados, em diferentes contextos e diversas situações problemas. Conforme os PCN (BRASIL, 1998), os alunos no final do 4 ciclo, já devem ter se apropriado do conceito do número racional na representação fracionária, considerando os quatro significados: parte/todo, quociente, razão e operador. Nesse sentido, o objetivo deste artigo foi de investigar os entendimentos de um grupo de alunos do 1 ano do Ensino Médio de uma das escolas da rede Estadual no 16

17 Município de Panambi/RS, acerca dos números racionais na representação fracionaria envolvendo os cinco significados: parte-todo, quociente, medida, operador multiplicativo e número. Os alunos, sujeitos da pesquisa, demonstram entendimentos parciais em se tratando do conceito dos números racionais envolvendo os cinco significados. Em relação ao significado parte-todo, os alunos apresentam entendimento do significado utilizando a técnica da dupla contagem, porém as análises indicaram que são frágeis os entendimentos relacionados à uma condição para a existência do número fracionário, divisão em partes iguais, bem como quando a parte a ser representada é maior do que o inteiro. Em relação ao significado quociente, as análises nos possibilitam a dizer que os alunos continuam utilizando a técnica da dupla contagem e consideram os números fracionários como números naturais desconsiderando a especificidade deste campo numérico. Também em relação ao significado de medida os alunos demonstram entender a razão que existem entre duas variáveis, mas demonstram não compreender de forma mais clara o sentido do significado de medida. Em relação ao significado operador multiplicativo, os alunos apresentam entendimentos que não possibilita desenvolver raciocínios lógicos- matemáticos para trabalhar com frações envolvendo diferentes situações problemas. No caso demonstram ter aprendido a técnica de dividir o valor do inteiro pelo denominador e multiplicar o resultado pelo numerador. Não demonstram ter a compreensão de que o operador multiplicativo é um valor escalar aplicado a uma quantidade. Em relação ao significado de número, os alunos apresentam uma certa deficiência, demonstrando não entender a fração com o significado de número, mas apenas como dois naturais escritos de forma diferente. Portanto, a investigação nos possibilita afirmar que os alunos, sujeitos da pesquisa, apresentam muitas fragilidades em relação ao conceito dos números fracionários ao ser considerado os diferentes significados indicados por Nunes et. al. (2003); o que pode ter sido ocasionado pelo fato de que o conceito fracionário ser ensinado de uma forma mecânica e tradicional, ou seja, os alunos aprendem a técnica da dupla contagem onde o número que está acima do traço é o numerador e abaixo do traço é o denominador, deixando de explorar as frações em diferentes contextos envolvendo os cinco significados. 17

18 As análises possibilitam indicar da necessidade, de no ensino fundamental, considerar diferentes contextos e situações no ensino dos números racionais na representação fracionária, bem como do estabelecimento de relações entre os diferentes significados, para que os alunos percebam que em contextos diferentes o mesmo número fracionário pode assumir diferentes significados. Referências BRASIL. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros Curriculares Nacionais: Matemática (5ª a 8ª série). Brasília: MEC/SEF, Secretaria da Educação Fundamental. Parâmetros Curriculares Nacionais: Matemática (1ª a 4ª série). Brasília: MEC/SEF, Secretaria da Educação Fundamental. Referencial Curricular. Lições do Rio Grande. Matemática e suas Tecnologias BEZERRA, F.J. Construindo a representação da Fração: Abordagem tradicional versus Abordagem conceitual. VIII Encontro Nacional de Educação Matemática. Recife, CARAÇA, Bento de Jesus. Conceitos fundamentais da matemática. Livraria Sá da Costa Editora: 9ª ed., Lisboa, GAVIRAGHI, Analucia. Número racional na representação fracionária ideia partetodo: entendimentos produzidos por alunos. XI Encontro de Educação Matemática: Retrospectiva e Perspectiva, Curitiba/PR, GIMENEZ, Joaquim; BAIRRAL, Marcelo. Frações no Currículo do Ensino Fundamental: Conceituação, Jogos e Atividades Lúdicas. Seropédica, RJ: GEPEM/EDUR, MAGINA, Sandra; CAMPOS, Tania. A fração na perspectiva do professor e do aluno das séries iniciais da Escolarização Brasileira. Pontifica Universidade Católica de São Paulo, MALASPINA, M.C; MAGINA, Sandra. A fração nos anos iniciais: Uma perspectiva para seu ensino. São Paulo, MERLINI, V. L. O conceito de fração e seus diferentes significados: um estudo junto a alunos de 5ª e 6ª séries do Ensino Fundamental. Dissertação de Mestrado em Educação Matemática, PUC/SP, MOUTINHO, L. V. Fração e seus diferentes significados: um estudo junto a alunos de 4ª e 8ª séries do Ensino Fundamental. Dissertação de Mestrado em Educação Matemática, PUC/SP, NUNES, Teresinha; BRYANT, Peter. Crianças fazendo matemática. Porto Alegre: Artes Médicas,

19 PATRONO, Rosângela Milagres. A aprendizagem de Números Racionais na forma fracionária no 6ºano do Ensino Fundamental: Analise de uma proposta de Ensino. Dissertação de Mestrado em Educação Matemática, UF/OURO PRETO, PIRES, Célia Maria carolino Pires. Educação Matemática: conversa com professores dos anos iniciais.1 ed. São Paulo: Zé Zapt Editora, SILVA, Maria Jose Ferreira. Investigando saberes de professores do Ensino Fundamental com enfoque em Números Fracionários para a 5ª série. Doutorado em Educação Matemática, PUC/SP,