A PESQUISA OPERACIONAL E O PROBLEMAS DAS MÉDIAS

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1 A PESQUISA OPERACIONAL E O PROBLEMAS DAS MÉDIAS PAULO HENRIQUE DA SILVA COSTA (UnB) paulophsc@gmail.com MARCELLO DA COSTA VIEIRA (UnB) marcelloeng93@gmail.com Tafarel Carvalho de Gois (UnB) tafarelgois@yahoo.com.br Giseli Aparecida Ortolani (UnB) gi.ortolani@gmail.com Savage, et al. (2009) definiu O Problema das Médias como um dos principais fatores que explica porque a maioria dos projetos geralmente está atrasada e com o orçamento estourado. O Problema das Médias pode ser definido então por um conjunto de erros observados quando um único número, geralmente uma média, substitui uma distribuição. Mesmo incorporando em sua formulação o cálculo de probabilidades, a Teoria das Filas ainda deixa de proporcionar ao analista uma visualização da distribuição dessas probabilidades. Esse artigo propôs o emprego da simulação através do Método de Monte Carlo com o objetivo de corrigir essa limitação da Teoria das Filas. Os resultados encontrados para o estudo de caso da tramitação de documentos de uma seção da ANTT mostraram que o Método de Mote Carlo pode ampliar a percepção dos analistas, proporcionando melhor tomada de decisão. Palavras-chave: problema das médias, Monte Carlo, teoria das filas, pesquisa operacional

2 1. Introdução O levantamento bibliográfico realizado por Cardoso e Souza (2000) identificou 14 áreas de pesquisa envolvendo aplicações de Teoria das Filas nos transportes. Dentre as áreas mais contempladas com pesquisas destacam-se: planejamento dos transportes e modelos, operação portuária, engenharia de tráfego, e operação de sistemas de transportes. Portugal (2005) apresenta como um exemplo típico de aplicação de Teoria das Filas em Transportes um terminal de ônibus com quatro baias operando como um conjunto de canais de serviço independentes e em paralelo. Assume-se que, em média, 120 ônibus/hora usam a instalação e que o tempo médio levado para o embarque e desembarque é de 90 segundos. Para essas condições, que caracterizam um sistema de uma fila e diversos canais, são oferecidas na literatura um conjunto de equações baseadas em λ (taxa média de chegada por intervalo de tempo) e µ (taxa média de atendimento por intervalo de tempo). Essas equações são capazes de determinar diversas medidas de desempenho do sistema, respondendo a perguntas fundamentais ao dimensionamento de estruturas e sistemas. No caso do problema do terminal: Qual o número médio de ônibus na fila? Qual o número médio de ônibus no terminal? Qual o tempo médio gasto na fila? Qual o tempo médio gasto no terminal? e Qual a probabilidade de n ônibus ocuparem a fila, num determinado momento? Mesmo sendo um dado de entrada do problema a informação de que tanto a chegada quanto o atendimento são regidos por distribuições de probabilidade, os valores usados nas equações são as médias dessas distribuições. Esse tipo de abordagem, chamada de determinística não é uma exclusividade da Teoria de Filas. Outras áreas do conhecimento como engenharia, administração, biologia e medicina também se utilizam de valores determinísticos em suas atividades afins. Felizmente a própria Teoria das Filas incorpora em sua formulação o cálculo de probabilidades, o que ameniza o problema. Mesmo assim, a interpretação dos resultados ainda é limitada pela falta de uma visualização da distribuição dessas probabilidades. 2

3 Savage, et al. (2009) definiu O Problema das Médias como um dos principais fatores que explicam porque a maioria dos projetos geralmente está atrasada no cronograma, com orçamento estourado e aquém das projeções. O Problema das Médias pode ser definido então por um conjunto de erros observados quando um único número, geralmente uma média, substitui uma distribuição. O autor afirma que perguntas como as propostas por Portugal (2005) no problema do terminal de ônibus não têm uma única resposta, mas um leque de possíveis respostas, cada uma delas com sua própria probabilidade de sucesso. Ou seja, a resposta não deveria ser um número; e sim uma distribuição de probabilidade. De fato, reduzir uma resposta incerta, processada a partir de dados de entrada variáveis, a um único valor médio ou esperado descarta uma quantidade significativa de informações relevantes. No exemplo dado, o projetista responsável pelo dimensionamento das áreas de espera do terminal de ônibus, poderia ter sido induzido ao erro a partir do uso das médias. A solução apontada por Savage et al. (2009) para o problema das médias é substituir o gerenciamento de dados determinísticos pelo gerenciamento de dados probabilísticos. Esse artigo pretende identificar essa limitação da Teoria das Filas através de um estudo de caso e propor uma metodologia para aumentar a confiança de seus resultados a partir do emprego da Simulação de Monte Carlo. Para tanto, o artigo foi estruturado em cinco seções. Na próxima seção serão apresentadas as características do emprego e a formulação da Teoria das Filas; a seção 03 (três) abordará os conceitos e aplicações do gerenciamento de probabilidades; a seção 04 apresentará um estudo de caso com dados reais onde será aplicada a metodologia proposta; e na seção 05 (cinco) serão comparados os resultados e apresentadas as recomendações para estudos futuros. 2. Características e limitações da Teoria das Filas A Teoria das Filas trata de problemas de congestionamento de sistemas, cuja característica principal é a presença de clientes solicitando serviços de alguma maneira. Em sua expressão mais simples, um sistema de filas é composto de elementos que querem ser atendidos em um posto de serviço e que, limitados por restrições do sistema, eventualmente devem esperar até que o posto esteja disponível (Andrade, 2009). 3

4 As filas se formam sempre quando existe mais de um usuário de um recurso limitado. Elas podem aparecer de forma concreta ou abstrata em muitas atividades (Chase e Aquilano, 1997). Conhecê-las e saber administrá-las é importante para o dimensionamento de sistemas de atendimento. Chase e Aquilano (1997) ensinam que quando uma fila é composta de objetos inanimados que esperam algum tipo de processamento tem-se um problema basicamente econômico. O problema da fila é encontrar o trade-off entre o nível de serviço a ser ofertado e o custo que a empresa está disposta a incorrer na prestação deste serviço. Por este motivo, em determinadas situações, podem aparecer filas mesmo onde existem servidores mais que suficientes para atendê-las. As filas possuem seis elementos principais: uma população, que fornece os clientes para formação da fila; a forma como estes clientes chegam às instalações dos serviços; a fila propriamente dita; a forma como se selecionam os clientes para atendimento; as características das instalações dos serviços; e a forma como o cliente deixa o sistema. Os problemas clássicos de Teoria das Filas são divididos em modelos e cada modelo apresenta uma formulação própria. Os modelos são variações do número de canais e do tipo de população: finita ou infinita. O Quadro 1 apresenta as principais características de cada modelo, conforme proposto por Chase e Aquilano (1997). Quadro 1 - Modelos de Filas Modelo Distribuição Fase de Serviço Fonte da População Estrutura de chegada Disciplina da fila Estrutura do Serviço Comprimento Permitido da fila 1 Um canal Única Infinita De Poisson PEPS Exponencial Ilimitada 2 Um canal Única Infinita De Poisson PEPS Constante Ilimitada 3 Um canal Única Infinita De Poisson PEPS Exponencial Limitada 4 Um canal Única Infinita De Poisson PEPS Dist. discreta Ilimitada 5 Um canal Única Infinita De Poisson PEPS De Erlang Ilimitada 6 Multicanal Única Infinita De Poisson PEPS Exponencial Ilimitada 4

5 7 Um canal Única Finita De Poisson PEPS Exponencial Ilimitada 3. A Simulação de Monte Carlo A simulação de um sistema é definida por Pedgen et al. (1990) como: O processo de projetar o modelo computacional de um sistema real e conduzir experimentos com este modelo com o propósito de entender seu comportamento e / ou avaliar estratégias para sua operação. (Pedgen, 1991) Freitas Filho (2008) afirma que a simulação, principalmente a computacional, tem sido cada vez mais empregada como técnica que permite aos analistas verificarem ou encaminharem soluções, com a profundidade desejada, aos problemas com os quais lidam diariamente Dentre as principais vantagens do uso da simulação, apresentadas por Andrade (2012), Freitas Filho (2008), Pedgen et al. (1990), Shannon (1992), pode-se destacar: A simulação possibilita o estudo e a experimentação de complexas interações internas de um dado sistema; A experiência adquirida em construir e operar modelos geralmente resulta em uma melhor compreensão do sistema; A simulação de sistemas complexos pode fornecer valiosa visão no sentido de descobrir gargalos logísticos e operacionais e testar alternativas de minimizar seus impactos; A simulação pode ser usada para experiências com novas situações sobre as quais se tenha pouca ou mesmo nenhuma informação; Enquanto modelos analíticos requerem grande número de simplificações para torná-lo matematicamente tratáveis, o que muitas vezes mascaram os resultados; o modelo simulado não apresenta tais restrições; A simulação é perfeita para o estudo de eventos futuros incertos, ou seja, permite a identificação, a análise quantitativa de riscos e até a avaliação da eficácia da implementação de respostas aos riscos; A possibilidade de se comprimir e/ou expandir o tempo de simulação em relação ao tempo real; etc. 5

6 Entretanto, algumas desvantagens do emprego da simulação são apresentadas por Saliby (1989), Pedgen et al. (1990), Shannon (1992), e Oliveira (1988) são: Morosidade e falta de rigor científico; Por incorporar componentes aleatórios, o resultado da simulação poderá levar a análises inconclusivas; A disponibilidade de tempos e recursos geralmente limita as faixas de valores dos parâmetros que podem ser testados, incorrendo em possíveis perigos nas extrapolações; A análise e interpretação dos resultados podem ser extremamente difíceis, envolvendo testes e conhecimentos estatísticos; Necessidade de treinamento tanto para a modelagem quanto para o uso do simulador; etc. O uso moderno do termo simulação no sentido em que é empregado em Pesquisa Operacional tem sua origem em um trabalho de 1940 de Von Newmann e Ulam, que associaram a expressão Análise de Monte Carlo a uma técnica matemática que utilizaram para resolver problemas de blindagem em reatores nucleares (Andrade, 2012). O Método de Monte Carlo (MMC) usualmente envolve técnicas mais complexas, na medida em que a representação de uma variável é feita não por um valor, mas sim por uma série ou distribuição de valores. Essa técnica aplica a amostragem randômica para representar a ocorrência de um evento, procurando simular com realismo o fenômeno, o que garante a ocorrência do mesmo de forma aleatória (Portugal, 2005). O MMC baseia-se em um conceito estatístico simples. Seja x uma variável aleatória com as seguintes características: Função de distribuição de probabilidades: f(x); Função cumulativa de probabilidades: F(x). Se definirmos uma nova variável aleatória y = F(x), esta tem uma distribuição uniforme sobre o intervalo fechado (0,1). Assim, como a função cumulativa de probabilidades representa as características aleatórias da variável em questão, a função y = F(x) é uma relação entre duas variáveis: 6

7 Variável x, com distribuição aleatória própria; Variável y, com distribuição uniforme, entre 0 e 1. Toda simulação de Monte Carlo é efetuada por meio de amostragens das funções densidade de probabilidade e do uso das funções probabilidade cumulativa. Essas amostragens são realizadas através de números aleatórios, portanto, qualquer programa computacional que utiliza o MMC necessita de um gerador de números aleatórios. Geradores de números aleatórios são baseados em algoritmos matemáticos que geram números, cujas ocorrências obedecem a uma aleatoriedade, e que simulam a verdadeira aleatoriedade encontrada na natureza. Neste sentido, os números gerados por estes algoritmos são formalmente chamados de números pseudoaleatórios. Um conjunto de números definidos dentro de um intervalo, por exemplo [0,1] ou [0,100], constitui uma sequência de números aleatórios se eles estiverem uniformemente distribuídos neste intervalo e se nenhuma correlação existir dentro dessa sequência. Durante a simulação de um problema, os números aleatórios são utilizados no processo de decisão de escolha, quando um evento físico possui vários resultados possíveis. Uma simulação típica pode utilizar entre 107 a 1012 números aleatórios. Entre os métodos mais utilizados para a geração de números aleatórios, pode-se citar o método linear congruencial, o método congruencial misto e o método congruencial multiplicativo (Yoriyaz, 2009). O MMC baseia-se no Teorema do Limite Central. De acordo com esse Teorema, sob condições gerais, a função de distribuição acumulada (FDA) de uma soma de variáveis aleatórias independentes aproxima-se a uma FDA de uma variável aleatória gaussiana apesar das FDA das variáveis individuais estarem longe da distribuição normal. Ou seja, quaisquer que sejam as distribuições de probabilidade das variáveis aleatórias, o somatório delas resultará sempre numa distribuição normal. No entanto, para que os resultados do MMC sejam de fato representativos, é importante a escolha da melhor distribuição de probabilidade para cada variável aleatória. Existem três possibilidades para a obtenção dessas distribuições. A primeira, sempre desejável, é a utilização de dados históricos. A partir de uma amostra é possível encontrar e testar a distribuição de probabilidades que melhor representa este conjunto de dados. Se não houver 7

8 dados históricos ou se eles forem insuficientes restam duas alternativas: investigar o emprego de distribuições conhecidas que podem se adaptar ao tipo de evento aleatório ou utilizar a distribuição triangular quando não se dispõe de dados e também não se consegue vincular o formato da curva ao evento aleatório. 4. Estudo De Caso: O estudo de caso foi realizado num setor de um órgão público que atende empresas de transporte rodoviário interestadual e internacional de passageiros realizados em regime de fretamento realizando as seguintes atividades: emissão, renovação e alteração de autorização para prestação dos serviços. A Figura 1 apresenta o fluxograma das atividades realizadas pelo setor do órgão público estudado para emissão, renovação e alteração de autorização para prestação do serviço de transporte rodoviário interestadual e internacional de passageiros sob regime de fretamento. Figura 1: Fluxograma das atividades do setor estudado para o registro, alteração e renovação de autorizações Foram analisados os dados de atendimento do setor em questão no período de janeiro a maio de Neste período, foram iniciados atendimentos, desses foram concluídos e 34 ficaram em aberto Análise e Tratamento de Dados 8

9 Foram coletados, a partir do sistema informatizado da do setor estudado, o número de solicitações protocoladas por dia e o número de análises concluídas por dia. O período de observação proporcionou uma amostra de 107 observações de chegadas/dia e 101 tempos médios de atendimentos/dia. A variável de chegada é discreta e a de atendimento é contínua. O processo de tratamento dos dados se inicia pelo desenvolvimento da distribuição de frequência dos dados seguida de uma representação gráfica da tabela, a partir da elaboração de um histograma. Essa etapa proverá facilidades no processo de identificação da distribuição de probabilidades mais adequada dentre as diferentes famílias de distribuições conhecidas. O primeiro desafio para a montagem da tabela de distribuição de frequências é a determinação do número de classes (K) e de seus limites (Freitas Filho, 2008). Não existe técnica cientificamente comprovada para a definição exata. Segundo Barbetta (2006), quanto maior o conjunto de dados, mais classes podem ser usadas. Vale a seguinte regra para as variáveis discretas: para amostras pequenas, ou seja, n < 25 elementos, k = 5 classes; para amostras grandes, com n > 25, pode usar duas regras conhecidas regra de Sturges (para n < 100) ou regra da raiz quadrada de n. Para as variáveis contínuas usa-se sempre a regra da raiz quadrada de n. (1) (2) Para a distribuição de frequências da taxa de chegadas, as fórmulas (1) e (2) indicaram valores entre 07 e 11. Foi escolhido um k = 11, pois foi o que apresentou menor erro quadrado. O Quadro 2 apresenta o valor do Erro Quadrático para k = 11, considerando os tipos de distribuição mais usadas. Desse modo, verificou-se que os dados de taxa de chegada não se comportaram como era de se esperar. A distribuição exponencial foi uma das que menos se ajustou aos dados levantados. Mesmo assim, tanto o valor do erro quadrado e o teste de aderência apresentaram resultados que viabilizam a utilização dessa distribuição. Desse modo, por conveniência ao emprego da modelagem por Teoria das Filas, optou-se pela distribuição Poisson, com λ = 45,2 chegadas/dia. Já para a distribuição de frequências do tempo de atendimento as fórmulas (1) e (2) indicaram valores entre 7 e 10. Foi escolhido um k = 7. Assim como na taxa de chegadas, a distribuição exponencial não foi a que melhor se ajustou aos dados, no entanto, os testes amparam sua 9

10 escolha. Desse modo, por conveniência ao emprego da modelagem por Teoria das Filas, optou-se pela distribuição Exponencial, com ß = 0,0287 dias. Nesse caso, o µ = 1/ß = 34,84 atendimentos/dia. 10

11 Quadro 2 - Erro Quadrado (λ) DISTRIBUIÇÃO ERRO QUADRADO Normal Weibull Beta Triangular Erlang Gamma Uniform Lognormal Exponential Poisson Quadro 3 - Parâmetros (λ) DISTRIBUTION SUMMARY Distribution: Poisson Expression: POIS (45.2) Square Error: Chi Square Test Number of intervals 4 Degrees of freedom 2 Test Statistic 157 Corresponding p-value < 0.005

12 Figura 2 - Distribuição de Frequências de Chegadas (k = 11) Quadro 4 - Erro quadrado (µ) Quadro 5 - Parâmetros (µ) DISTRIBUIÇÃO ERRO QUADRADO Lognormal Gamma Erlang Weibull Beta Normal Exponential Triangular Uniform DISTRIBUTION SUMMARY Distribution: Exponential Expression: EXPO(0.0287) Square Error: Chi Square Test Number of intervals 4 Degrees of freedom 2 Test Statistic 29.2 Corresponding p-value < Figura 3 - Distribuição de Frequências de Tempo de Serviço (k = 7) 4.2. Modelagem por Teoria das Filas A modelagem do sistema de atendimento do setor do estudado por Teoria das Filas pode ser descrita por três elementos básicos: processo de chegada, considerada a data de entrada dos processos no protocolo, o processamento do pedido e a disciplina de atendimento (Fontanella e Morabito, 1997). Utilizando o modelo M/M/c, visto que as solicitações são recebidas em uma única fila e distribuídos a diversos servidores, e ainda que as chegadas seguem a distribuição de Poisson e os atendimentos seguem a distribuição exponencial, foram realizadas análises com dez e com dois servidores. Dimensionando-se o sistema com dez servidores, a probabilidade de não haver solicitação no sistema (P 0 ) é igual 27,3%. A probabilidade de mais de 10 solicitações simultâneas, o que implica na formação de fila, é de 0,00012%, com um tempo médio de cada solicitação no sistema de 0,03 dia. Quando se refez os cálculos dimensionando o sistema com dois servidores para analisar as solicitações, foi encontrada uma probabilidade de não haver nenhuma solicitação no sistema

13 (P 0 ) de 21,3%. A probabilidade de enfileiramento aumentou para 51,1% com o tamanho médio da fila de 0,9 solicitações e um tempo médio de cada solicitação no sistema de 0,06 dia. No primeiro caso, o sistema opera de maneira ideal para o solicitante (sem fila probabilidade < 0,001%, e tempo médio de análise de 14 minutos), porém o custo para se manter 10 servidores não se mostra razoável. No segundo, o sistema apresenta uma alta probabilidade de formação de fila 51%, com um tempo médio de análise de 29 minutos e uma fila média de aproximadamente 1,0 solicitação. O segundo modelo, dimensionado com dois analistas mostra-se mais equilibrado de forma que o custo para o setor não é elevado e o tempo médio no sistema reduzido. Concluída a análise a partir da Teoria das Filas convém repetir os cenários utilizando desta vez a simulação a partir do MMC Modelagem por Simulação de Monte Carlo Para a simulação foi utilizado um software comercial vinculado ao Excel da Microsoft. O procedimento de modelagem seguiu o seguinte roteiro: Desenvolvimento da lógica da simulação, a partir da formulação proposta pela Teoria das Filas para o modelo M/M/k; Definição dos inputs conhecidos (número de analistas), dos inputs com incertezas (taxa de chegada e taxa de atendimento) e dos outputs (taxa de utilização, P 0, probabilidade de enfileiramento, número médio na fila e tempo médio no sistema); Definição das distribuições (Poisson para a taxa de chegada e Exponencial para a taxa de atendimento); Definição do número de iterações (1.000 iterações); Execução da simulação; e Análise dos resultados. As figuras 4 e 5 apresentam os valores de intervalo de confiança de 90% das distribuições de probabilidades utilizadas. 13

14 XXXV ENCONTRO NACIONAL DE ENGENHARIA DE PRODUCAO,060 Taxa de chegadas 5,0% 90,0% 5,0% 34,0 57,0 0,030 Taxa de atendimentos (µ) 5,0% 90,0% 5,0% 1,8 104,4,050 0,025,040 0,020,030 Versão Teste Poisson(45,2 ) 0,015 Versão Teste Para Propósitos de Avaliação Apenas Expon(34,84;RiskS hift(0)),020 0,010,010 0,005,000 0,000 Figura 4 Taxa de Chegada Figura 5 - Taxa de Atendimento A seguir são apresentados os resultados das iterações realizadas. Para cada output definido foram simuladas iterações a partir de números aleatórios gerados mecanicamente pelo software. Foram simulados os mesmos cenários propostos no item anterior, com dois e dez atendentes. O Quadro 6 apresenta os resultados das simulações. Os valores destacados representam as probabilidades acumuladas (P 5%, P 50% e P 95% ) geradas pelas diversas iterações. Quadro 6 - Resultados da Simulação 5. Conclusões O Problema das Médias foi definido como um conjunto de erros observados quando um único número, geralmente uma média, substitui uma distribuição de probabilidades. Os 14

15 problemas que encontramos comumente não têm uma única resposta, mas um leque de possíveis respostas, cada uma delas com sua própria probabilidade de sucesso. Mesmo incorporando em sua formulação o cálculo de probabilidades, a Teoria das filas ainda deixa de proporcionar ao analista uma visualização da distribuição dessas probabilidades. Esse artigo propôs o emprego da simulação através do Método de Monte Carlo combinada a formulação tradicional da Teoria das Filas, uma vez que o método envolve técnicas mais complexas, na medida em que a representação de uma variável é feita não por um valor, mas sim por uma série ou distribuição de valores. Para essa comparação foi apresentado como estudo de caso a tramitação de documentos, entrada mais atendimento, numa repartição de um órgão público. Os dados coletados, depois de tratados estatisticamente foram aproximados a curvas de distribuição conhecidas (Poisson e Exponencial). A Teria das Filas mostrou que a escolha por 2 atendentes é mais econômica. Mesmo com 51% de probabilidade de haver fila de solicitações, o número médio de documentos na fila é de apenas 1 e o tempo total no sistema de cada solicitação por volta de 14 minutos. O que a Teoria das filas deixou de mostrar é que o número de solicitações na fila pode chegar com 95% de certeza, a aproximadamente 6 unidades com um tempo médio no sistema superior a 80 minutos. Mesmo que esses resultados, no estudo de caso, não pareçam preocupantes, a metodologia aqui proposta é aplicável ao dimensionamento de espaços, de infraestrutura, de frotas de veículos e de equipamentos e outros elementos que compõem um sistema de transportes. Se, ao invés, de documentos empilhados numa mesa estivéssemos tratando, como proposto anteriormente por Portugal (2005), de ônibus num terminal de passageiros a diferença entre 1 e 6 unidades em média na fila, ou entre 14 e 80 minutos de tempo total no sistema seria certamente relevante. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS Freitas Filho, P. J. de (2008) Introdução à Modelagem e Simulação de Sistemas com Aplicações em Arena. 2ª Edição. Visual Books. Florianópolis. Pedgen, C. D.; Shannon, R. E.; Sadowski, R. P. (1990) Introduction to Simulation Using SIMAN. 2ª Edição. McGraw-Hill. New York. Yoriyas, Hélio (2009) Método de Monte Carlo: princípios e aplicações em Física Médica. Revista Brasileira de Física Médica. 2009;3(1): Prado, D.S. (2014) Teoria das Filas e da Simulação Volume 2. (5ª Edição). Nova Lima. Ed. Falconi. Chase, R.B.; Aquilano, N.J. (1995) Dirección y Administración de la Producción y de las Operaciones. 6ª Edição. McGraw-Hill Interamericana. México 15

16 Fontenella, G.C.; Morabito, R. (1997) Modelagem por meio de teoria das filas do tradeoff entre investir em canais de atendimento e satisfazer o nível de serviço em provedores de internet. Revista G&P Gestão e Produção, v.4, n.3, p