Classificação de Folhas por Tamanho e Forma Através de Descritores Geométricos e Análise dos Componentes Principais

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1 Classificação de Folhas por Tamanho e Forma Através de Descritores Geométricos e Análise dos Componentes Principais MARCOS C. DE ANDRADE, LÚCIO C. M. PINTO Centro de Desenvolvimento da Tecnologia Nuclear - CDTN, P.O. BOX 941, Belo Horizonte, MG, Brazil mca@cdtn.br, pintolc@cdtn.br. Rerumo: Este artigo descreve uma técnica simples para classificação de folhas conforme sua forma e tamanho. Amostras de diversos tipos de folhas forma coletadas para este experimento. Um conjunto de descritores geométricos obtido a partir das distancias geométricas absolutas de pontos marcados sobre o contorno de cada folha ao seu centro de massa foi usado como entrada para a Análise dos Componentes Principais. Mostra-se que através deste procedimento simples é possível discriminar folhas segundo sua forma e seu tamnho. 1. Introdução Neste artigo descreve-se um método simples para discriminar folhas diversas quanto a sua forma e tamanho utilizando-se descritores geométricos e a Análise dos Componentes Principais PCA ou expansão de Karhunen-Loeve [1]. Os descritores geométricos, neste caso, são as distâncias absolutas de cada ponto marcado sobre o contorno de uma folha ao seu centro massa. Estas distâncias constituem o conjunto das observações que é submetido à Análise dos Componentes Principais. A extração de características é um problema importante em reconhecimento de padrões. Através da extração de características o espaço de dados é transformado num espaço de características que possui a mesma dimensão do espaço de dados original porém, representado por um número reduzido de características efetivas [2], [3]. Através desta transformação o conjunto de dados sofre uma redução de dimensionalidade. O método aqui apresentado, é ilustrado através de dois experimentos. Para o primeiro experimento nove amostras de folhas de árvores frutíferas foram coletadas, sendo três folhas de mangueira, três de castanheira e três de goiabeira, todas possuindo tamanhos diferentes. Para o segundo experimento, coletaram-se dez amostras de folhas todas possuindo tamanhos e formas diferentes. Com estes experimentos procurou-se mostrar que o uso dos descritores geométricos aqui utilizados em associação com a Análise dos Componentes Principais é capaz de discriminar as folhas quanto ao seu tamanho a sua forma. 2. A Análise dos Componentes Principais PCA A Análise dos Componentes Principais (Principal Component Anaysis) decompõe uma matriz de dados X de posto r, como uma soma de matrizes de posto 1. Cada matriz de posto 1 é o produto de dois vetores s h e l h denominados respectivamente scores e loadings. Lembrando que o posto de uma matriz é o número de linhas (ou colunas) linearmente independentes, a matriz X pode ser decomposta como: X = s 1 l 1 + s 2 l 2 + s h l h A Figura 1 fornece a interpretação geométrica dos valores loading e score para a observação #1, num gráfico a duas dimensões com duas variáveis x 1 e x 2. A direção de maior variabilidade das amostras é indicada pela reta que representa um componente principal. Os scores são as projeções das amostras na direção dos componenets principais e os loadings são os ângulos entre cada componente principal e cada variável. (1)

2 Figura 1. Interpretação geométrica de scores e loadings em Análise dos Componentes Principais. Se representarmos por S a matriz de covariança de X, os componentes principais são os componentes de uma matriz de rotação U, determinada pela decomposição em valor singular (SVD) de S: S = US U t z (2) onde S z é uma matriz diagonal cujos elementos da diagonal são os auto-valores de S e U é uma matriz unitária cujas colunas são os auto-vetores normalizados associados aos autovalores de S. 3. Materiais e Método Dois experimentos simples, utilizando folhas, foram conduzidos para ilustrar o método aqui descrito. As folhas foram digitalizadas originalmente como imagens RGB, através de scanner. Para o experimento #1, foram coletadas nove amostras de folhas de três diferentes tipos e formas porém, todas de tamanhos diferentes, como ilustra a Figura 2. Para o experimento #2, foram coletadas dez folhas, mostradas na Figura 3, cada uma delas possuindo tipos, formas e tamanhos diferentes. A Figura 4, mostra a imagem original de uma folha (4a), sua silhueta (4b) obtida por binarização da imagem original, o contorno da silhueta (4c) obtido através do gradiente morfológico e o conjunto de pontos marcados sobre o contorno (4d), mostrando os segmentos de reta que unem cada ponto da borda ao centro de massa. Em cada folha foram marcados 16 pontos sobre o contorno, numerados no sentido horário, a partir do ponto 1 situado na junçao do caule com a folha. As distâncias absolutas de cada ponto ao centro de massa do conjunto de pontos foram, então, utilizadas para preencher o vetor de características de cada folha e serviram como entrada na matriz de dados de entrada (cada linha uma observação) utilizada pela PCA, em ambos os experimentos. 4. Resultados e Discussão. Foram computadas as areas, os perímetros e os fatores de forma para cada uma das folhas utilizadas neste experimento. Estes dados estão listados nas Tabelas 1 e 2 respectivamente para ambos os experimentos. Em cada experimento, a menor área dentre as folhas foi fixada em 1 e as demais foram normalizadas em função da área mínima. O mesmo procedimento foi utilizado para normalizar os perímetros. Os fatores de forma que são uma medida de desvio em relação à formula circular, foram computados através da equação 3.

3 4 $ FF = (3) 2 p As Figuras 5 e 6 mostram os resultados do método aqui apresentado, para ambos os experimentos. Uma clara relação entre os tamanhos das folhas (áreas) e os valores da projeção no primeiro componente principal (eixo das abcissas) pode ser percebida. As áreas diminuem da esquerda para a direita (direção horizontal nos gráficos). Embora de forma inacurada, quando comparada a uma ordenção direta dos valores das áreas, o método aqui descrito foi capaz de agrupar as folhas por tamanho em ambos os experimentos. A projeção dos pontos no segundo componente principal poderia ser interpretada, neste experimento, como uma medida de forma. A direção vertical nos gráficos das Figuras 5 e 6 (eixo das ordenadas) pode ser interpretada como uma medida da variação de forma. Uma correspondência entre a forma das folhas e a projeção dos pontos no segundo componente pode ser observada. Quando comparadas aos fatores de forma, computados através da equação 3, verifica-se que as formas envolvidas no experimento #1 são mais arredondadas que as utilizadas no experimento #2 e, por isso, são melhor descritas pela equação 3 que mede o desvio em relação à forma circular. Analisando-se os resultados obtidos para o experimento #1, Figura 5, observa-se que o método agrupou corretamente as folhas em três classes : C, G e M (C= castanheira, G = goiaba e M = manga). Na Figura 5, as folhas de goiaba que têm aparência mais arredondada, estão plotadas na parte superior do gráfico. Na parte central, aparecem as folhas de castanheira cujo contorno é afunilado à esquerda e, na base, estão as folhas de manga que têm perfil longo e afilado. Resultados similares foram obtidos para o experimento #2. Analisando-se os resultados mostrados na Figura 6, observa-se que as folhas 1, 3, 8 e 9 possuem formas cujo contorno é mais irregular, apresentam regiões côncavas, e têm parte do perfil situado à esquerda do ponto de contato entre o caule e a folha. As folhas 2, 4, 5 e 7 que possuem formas similares a elipses, aparecem na parte central do gráfico. No topo aparecem as folhas 6 e 10 que possuem perfis mais alongados. As Figuras 7 e 8 apresentam, graficamente, o resultado da classificaçào das formas, obtido com o método aqui descrito. As formas estão agrupadas em três classes distintas (branco, cinza e preto) para facilitar sua comparação. Em geral, os resultados obtidos dependem do conjunto de observações utilizado como entrada para o PCA. Os resultados dependem não só dos dados (valores medidos) mas, também, dos descritores (propriedades consideradas) na preparação do vetor de características. Por exemplo, a utilização de um maior número de pontos nas bordas das folhas deve melhorar a capacidade de discriminaçao do método, já que variações finas no perfil das folhas podem ser capturados se mais pontos forem empregados. Levar em consideracao a textura e / ou a coloração das folhas poderia melhorar o poder discriminatório do método. Outra possibilidade seria considerar em lugar das distâncias ao baricentro, o conjunto dos interceptos das folhas com uma grade quadriculada para preencher o vetor de caracteristicas. Folha # Área Perímetro Fator de Forma. C1 13,75 3,82 0,94 C2 8,38 2,99 0,94 C3 3,66 1,96 0,96 G1 2,37 1,55 0,99 G2 1,92 1,39 0,99 G ,99 M1 2,89 2,32 0,54 M2 2,16 2,1 0,49 M3 1,22 1,62 0,47 Tabela 1. Dados geométricos para o experimento #1.

4 Folha # Área Perímetro Fator de Forma. F1 4,41 2,19 0,84 F2 2 1,34 1,02 F3 1,66 1,44 0,73 F4 1 1,33 0,52 F5 1,25 1 1,15 F6 1,71 1,79 0,49 F7 1,09 1,18 0,72 F8 1,02 1,28 0,58 F9 1,92 1,86 0,51 F10 2,24 1,86 0,6 Tabela 2. Dados geométricos para o experimento #2. Figura 2. Silhuetas de folhas de três espécies diferentes utilizadas no experimento #1. Figura 3. Silhuetas de folhas com formas e tamanhos diferentes utilizadas no experimento #2.

5 Os resultados obtidos evidenciam que descritores geométricos simples, como os aqui empregados, associados a PCA podem ser utilizados para discriminar folhas diversas de acoirdo com sua forma e tamanho. Experimentos como este podem ser inteiramente automatizados e apresentam baixo custo computacional. Figura 4a. Imagem original da folha #1 do experimento #2. Figura 4b. Silhueta da folha #1, obtida por binarização da imagem original. Figura 4c. Contorno da folha #1, obtido através do gradiente morfológico.

6 Figura 4d. Pontos sobre a borda da folha #1 e segmentos de reta que os conectam ao centro de massa. Figura 5. Resultados para o experimento #1.

7 Figura 6. Resultados para o experimento #2 Figura 7. Classificação (branco, cinza e preto) para o experimento #1.

8 Figura 8. Classificação (branco, cinza e preto) para o experimento #2. 5. Referências [1] F. Murtagh e A. Heck. Multivariate Data Analysis, Kluwer Academic, Dordecht, [2] R. A Johnson. Applied Multivariate Statistical Analysis. Prentice-Hall International, [3] S. Haykin. Neural Networks. A Comprehensive Analysis. MacMillan Publishing Company, Agradecimentos Este trabalho foi realizado com o apoio financeiro da Fundacao de Amparo à Pesquisa de Minas Gerais FAPEMIG.