Sistemas de Comunicação Digital

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1 INSTITUTO SUPERIOR DE ENGENHARIA DE LISBOA LICENCIATURA EM ENGENHARIA ELETRÓNICA E TELECOMUNICAÇÕES E DE COMPUTADORES GRUPO DISCIPLINAR DE TELECOMUNICAÇÕES Sistemas de Comunicação Digital CARLOS EDUARDO DE MENESES RIBEIRO Novembro de 4

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3 Índice INTRODUÇÃO PRIMEIRA PARTE MODULAÇÃO DE PULSOS... INTRODUÇÃO AOS CODIFICADORES DE SINAL MÉTODOS DE CODIFICAÇÃO DE SINAL ATRIBUTOS DOS CODIFICADORES DE SINAL CONVERSÃO ANALÓGICO-DIGITAL AMOSTRAGEM QUANTIFICAÇÃO CODIFICAÇÃO RELAÇÃO SINAL-RUÍDO EM QUANTIFICAÇÃO UNIFORME COMPROMISSOS ENTRE ATRIBUTOS QUANTIFICAÇÃO NÃO UNIFORME RELAÇÃO SINAL-RUÍDO EM QUANTIFICAÇÃO NÃO UNIFORME PCM COMPANDING QUANTIFICAÇÃO ÓTIMA COMPARAÇÃO ENTRE QUANTIFICADORES CODIFICAÇÃO PREDITIVA MODULAÇÃO POR CÓDIGO DE PULSO DIFERENCIAL ADAPTAÇÃO DO PREDITOR ADAPTAÇÃO DO QUANTIFICADOR MODULAÇÃO POR CÓDIGO DE PULSO DIFERENCIAL ADAPTATIVA MODULAÇÃO DELTA MODULAÇÃO DELTA ADAPTATIVA PROPAGAÇÃO DOS ERROS NO CANAL DE TRANSMISSÃO DISCUSSÃO SOBRE CODIFICADORES DE SINAL SEGUNDA PARTE COMUNICAÇÃO DE DADOS 7 INTRODUÇÃO À COMUNICAÇÃO DE DADOS LIMITAÇÕES DOS SISTEMAS DE COMUNICAÇÃO MODELO DE REFERÊNCIA OSI CÓDIGOS DE LINHA BINÁRIOS ATRIBUTOS DOS CÓDIGOS DE LINHA FORMATOS DOS CÓDIGOS DE LINHA SINCRONISMO DE SÍMBOLO... 88

4 9 CANAL DE COMUNICAÇÃO CANAL AWGN DE BANDA LIMITADA RELAÇÃO SINAL-RUÍDO E RELAÇÃO EB/NO CANAL SEM DISTORÇÃO ATENUAÇÃO ATRASO MEIOS DE TRANSMISSÃO LARGURA DE BANDA INTERFERÊNCIA INTERSIMBÓLICA CRITÉRIO DO PRIMEIRO ZERO ESPETRAL....3 CRITÉRIO DE NYQUIST....4 PADRÃO DE OLHO... 7 RECETOR ÓTIMO DESCODIFICADOR DE MÁXIMO A POSTERIORI DESCODIFICADOR DE MÁXIMA VEROSIMILHANÇA PROBABILIDADE DE ERRO DE BIT FILTRO ADAPTADO FILTRO ADAPTADO NORMADO....6 CÓDIGO PNRZ BER EM CÓDIGOS DE LINHA BINÁRIOS REGENERAÇÃO DO SINAL COMPARAÇÃO ENTRE CÓDIGOS DE LINHA BINÁRIOS... 3 TRANSMISSÃO M-ÁRIA EM BANDA DE BASE MODULAÇÃO POR AMPLITUDE DE PULSOS DIGITAL ENERGIA MÉDIA POR SÍMBOLO LARGURA DE BANDA PROBABILIDADE DE ERRO DE SÍMBOLO PROBABILIDADE DE ERRO DE BIT CÓDIGO BQ COMPARAÇÃO DO DESEMPENHO CAPACIDADE DE CANAL CODIFICAÇÃO PARA CONTROLO DE ERROS ATRIBUTOS DOS CÓDIGOS DE CONTROLO DE ERROS PROBABILIDADE DE ERRO DE BLOCO CÓDIGO DE PARIDADE CARÁCTER DE VERIFICAÇÃO DE BLOCO DISTÂNCIA DE HAMMING E CAPACIDADE DE DETEÇÃO E CORREÇÃO CÓDIGOS LINEARES CÓDIGO DE REPETIÇÃO CÓDIGO DE HAMMING MATRIZ GERADORA CÓDIGOS CÍCLICOS IP CHECKSUM INTERLEAVING DISCUSSÃO SOBRE COMUNICAÇÃO DE DADOS... 75

5 APÊNDICES APÊNDICE ESTIMAÇÃO ESTATÍSTICA DA POTÊNCIA DE UM SINAL APÊNDICE DECIBÉIS... 8 APÊNDICE 3 ALGORITMO DE QUANTIFICAÇÃO ÓTIMA... 8 APÊNDICE 4 PARECENÇA ENTRE SINAIS E VETORES APÊNDICE 5 FUNÇÃO DE AUTOCORRELAÇÃO APÊNDICE 6 SINUSOIDE COM PREDITOR UNITÁRIO APÊNDICE 7 FUNÇÕES DENSIDADE ESPETRAL DE POTÊNCIA EM CÓDIGOS DE LINHA APÊNDICE 8 FUNÇÃO COMPLEMENTAR DE ERRO APÊNDICE 9 BER COM CRITÉRIO MAP... 9 APÊNDICE LARGURA DE BANDA EQUIVALENTE DO RUÍDO... 9 APÊNDICE BER EM SISTEMAS DISCRETOS APÊNDICE DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE BINOMIAL PRINCIPAIS EQUAÇÕES MODULAÇÃO DE PULSOS TRANSMISSÃO BINÁRIA... TRANSMISSÃO M-ÁRIA... 5 CODIFICAÇÃO PARA CONTROLO DE ERROS... 7 PERGUNTAS TEÓRICAS... 9 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS... EXERCÍCIOS PROPOSTOS... 5 EXERCÍCIOS PROPOSTOS EM MATLAB MODULAÇÃO DE PULSO CODIFICAÇÃO PREDITIVA TRANSMISSÃO NUM CANAL AWGN... 7 CODIFICAÇÃO DE CONTROLO DE ERROS PROJETO DE COMUNICAÇÃO DIGITAL DE SINAIS GLOSSÁRIO BIBLIOGRAFIA... 8 Mais uma vez, com entusiasmo!!!

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7 Introdução Introdução Por telecomunicações entende-se transmissão à distância de informação utilizando sinais eletromagnéticos, através de fios elétricos, sistemas óticos ou ligações rádio. Hoje em dia, pelo menos recorrendo a satélites, há ligação de telecomunicações de qualquer ponto do mundo para qualquer outro ponto do mundo, naquilo que nos habituamos designar de aldeia global. As telecomunicações fazem parte do nosso dia-a-dia, aproximando pessoas e empresas e contribuindo decisivamente para o bem-estar das populações e para o desenvolvimento da economia. Cada vez mais temos o telefone à mão e o acesso à Internet em múltiplos dispositivos. Com estes conseguimos falar e trocar mensagens com pessoas em qualquer ponto do mundo, temos acesso às redes sociais, ao correio eletrónico e a toda a informação disponibilizada na world wide web. A Internet modificou os serviços tradicionais de telecomunicações, disponibilizando rádio e televisão. Nos estúdios de rádio podem existir câmaras, confundindo-se com a televisão. Esta é hoje visualizada em alta definição não só em direto mas também pré-gravada ou através de disponibilização de vídeos. Acresce que as telecomunicações não envolvem apenas a comunicação humana, mas também a comunicação entre computadores para atualização e sincronização de informação, a navegação por satélite ou a interligação de componentes de controlo de um avião ou um automóvel. Um sinal elétrico diz-se analógico quando tem uma variação análoga à variação da grandeza física que se quer representar, tendo geralmente uma variação contínua ao longo do tempo. São exemplo os sinal de fala ou áudio captado por um microfone ou imagens e vídeo em que o sinal é proporcional à intensidade da cor. Na comunicação analógica estes sinais são transmitidos diretamente (banda de base) ou é transmitido um sinal sinusoidal, denominada portadora, cuja amplitude, frequência ou fase é alterada pela variação direta do sinal analógico a transmitir. Um sinal digital é composto por um conjunto de símbolos. Num sistema digital binário, por exemplo, existem dois símbolos, vulgarmente designados por símbolos lógicos e. Para transmitir sinais analógicos em sistemas digitais, os sinais

8 Introdução Carlos Meneses analógicos têm que ser previamente convertidos em símbolos. Estes símbolos são transmitidos representando-os através de um número finito de formas de onda. Em 837, Samuel Morse, pintor Americano, inventa o telégrafo, dando início às telecomunicações. As mensagens eram transmitidas através do código Morse. Este é um sistema digital, com dois símbolos correspondentes à presença do sinal (também designado por mark, uma vez que para descodificar a mensagem no recetor, se traçava uma marca num papel) ou à interrupção (também designada por space, uma vez que se deixava um espaço em branco entre marcas). Por semelhança com este código, o nível lógico é por vezes designado de mark, e o nível lógico por space. A presença do sinal pode ser de curta duração (ponto) ou de longa duração (traço) e as interrupções de duração diferente correspondem a letras, palavras ou frases. Até aos nossos dias muitos outros acontecimentos marcaram a evolução das telecomunicações, sendo a seguir apresentados por ordem cronológica alguns dos mais relevantes: 85 Pela primeira vez instalado um cabo submarino no Canal da Mancha, entre o sul de Inglaterra e o norte de França, para transmissão de sinais telegráficos. O primeiro lançamento de um cabo submarino intercontinental com sucesso deu-se em 856, entre os EUA e a Inglaterra, embora a um débito de apenas palavras por minuto; 86 António Meucci, Italiano, inventou o telefone por volta de 86. No entanto durante muitos anos o inventor do telefone foi considerado Alexander Graham Bell, Escocês, que o patenteou em 876. Por coincidência, Elisha Gray, Americano, tentou patentear um sistema idêntico poucas horas depois de Bell; 864 James Clerck Maxwell, Britânico, formulou a teoria eletromagnética e previu a existência de ondas de rádio. A existência destas ondas ficou experimentalmente provada em 887, pelo Alemão Heinrich Rudolf Hertz; 893 Roberto Landell de Moura, Padre Brasileiro, efetuou, supostamente, a primeira transmissão de fala via rádio, em Portalegre, Brasil. Só no entanto em 9, na Argentina e EUA, começaram as transmissões para entretenimento; 896 Guglielmo Marconi, Italiano, patenteou a telegrafia sem fios (TSF), que transmitia sinais telegráficos via rádio;

9 Introdução 3 94 John Ambrose Fleming, Britânico, inventou o díodo e deu origem ao desenvolvimento da eletrónica moderna; 93 Vladimir Zworykin, Russo e Americano, registrou a patente do tubo de raios catódicos, dando origem a que em 97 Philo Taylor Farnsworth, Americano, demonstrasse um sistema completo de televisão; 98 John B. Johnson, Americano, demonstrou pela primeira vez a existência de ruído térmico, uma das principais causas da degradação de qualidade nas comunicações; 98 Harry Nyquist, Americano, publicou o teorema da amostragem no artigo Certain Topics in Telegraph Transmission Theory e explicou o ruído térmico; 945 Arthur Clarke, Britânico, apresentou o conceito de satélite geoestacionário, no seu artigo Can Rocket Stations Give Worldwide Radio Coverage?, publicado na revista Wireless World; 946 J. Presper Eckert Jr., John W. Mauchly, Americanos, da Universidade de Pensilvânia, EUA, criaram o ENIAC, primeiro computador eletrónico digital; 948 Claude Shannon, Americano, apresentou o seu artigo intitulado A Mathematical Theory of Communication, que lançou as bases da teoria da comunicação, ainda hoje atual; 95 Richard W. Hamming, Americano, publicou Error detecting and error correcting codes, base da codificação para controlo de erros; 956 A empresa Ericsson desenvolveu o primeiro telefone móvel para automóvel, que pesava 4 kg. Utilizava um conjunto de antenas interligadas (células) e escolhia automaticamente a frequência da portadora; 957 A URSS lançou o Sputnik I, o primeiro satélite artificial da Terra. Tinha uma forma esférica de 5 cm e pesava 83,6 kg. Transmitia um sinal rádio do tipo beep nas frequências MHz e 4 MHz, capaz de ser recebido na terra por qualquer recetor. Funcionou dias, até que as baterias se esgotaram. Orbitou a terra durante 3 meses;

10 4 Introdução Carlos Meneses 969 Foi criada a primeira rede de computadores, designada de ARPANET (Advanced Research Project Agency), com transmissão de pacotes entre computadores. Ligava a Universidade da Califórnia Los Angeles, SRI Stanford Research Institute, Universidade da Califórnia Santa Bárbara e a Universidade de Utah. Considerado o primeiro troço da Internet; 973 A empresa Motorola apresentou o primeiro telefone móvel pessoal, o Motorola Dynatac 8X. Com 5 cm de comprimento e 7 cm de largura, pesava cerca de kg. A primeira ligação foi realizada por Martin Cooper, diretor de sistemas de operações da empresa. Só contudo em 979 o telefone móvel entrou em funcionamento generalizado na Suécia e no Japão; 979 Foi normalizado o modelo OSI (Open system interconnection), referência na interligação nas redes de computadores; 989 Tim Berners-Lee, Britânico, inventa a World Wide Web (WWW) para gestão, troca e interface de informações entre os seus colegas do CERN (Organização Europeia para a Pesquisa Nuclear). Foi disponibilizada ao público em 99 e é utilizada na Internet, tendo sido a partir daí que esta se popularizou. Em Portugal, o serviço de telégrafo iniciou-se em 855, com uma ligação entre o Terreiro do Paço, Palácio de S. Bento, Palácio das Necessidades e o Palácio de Sintra, aonde normalmente o Rei se encontrava. Outras datas importantes na evolução das telecomunicações em Portugal são: 855 Foi lançado o primeiro cabo submarino entre Lisboa e os Açores; 857 O serviço de telégrafo chegou ao grande público; 9 Foram inauguradas as primeiras estações de telegrafia sem fios; 877 Começaram as primeiras experiências de instalação do telefone entre Lisboa e Carcavelos, que deram origem em 88 à exploração do serviço telefónico em Lisboa e Porto; 94 Foi efetuada a primeira transmissão rádio com áudio em Portugal, por Fernando Medeiros, tendo sido ouvida a metros de distância por um operador de

11 Introdução 5 telegrafia sem fios. Desde aí foram efetuados várias emissões esporádicas, mas só em 95 a estação PAA Rádio Portugal (futura CTAA) iniciou emissões regulares; 956 Deu-se a primeira emissão de televisão, ainda experimental e a preto e banco. A primeira emissão da televisão a cores deu-se em 976; 985 Foi estabelecida, por docentes da Universidade do Minho, a primeira ligação Internet em Portugal com a Universidade de Manchester; 994 O primeiro operador de Internet no país começou a operar, através de modems de 8,8 kbit/s, utilizando linhas telefónicas tradicionais. Vivemos cada vez mais num mundo digital, estando as transmissões analógicas a ser gradualmente substituídas por tecnologias digitais com algumas vantagens, tais como: Qualidade Os sistemas de transmissão digital são menos sensíveis ao ruído no canal de transmissão que os analógicos. Para canais de maior dimensão os sinais digitais podem ser regenerados em pontos intermédios, virtualmente sem erros; Serviços O desenvolvimento das tecnologias digitais tem vindo a criar novos tipos de serviços, utilizando nomeadamente plataformas como a Internet e o telefone móvel. Tendo a primeira começado por transmitir apenas texto e a segunda apenas sinais de fala, estas estão a fundir-se e a partilhar também áudio e televisão, naquilo a que se designa de convergência das telecomunicações; Eficiência espectral Utilizando métodos de codificação de fonte eficazes e codificações M-ária, que conseguem transmitir maior número de bits em relação à largura de banda ocupada que as binárias, a utilização de transmissão digital pode ocupar menor largura de banda que a transmissão analógica; Segurança Os sinais digitais são mais fáceis de encriptar e portanto de realizar transmissões privadas e seguras; Acesso O acesso, armazenamento e cópia no formato digital é mais simples e acessível que os mesmos processos em formato analógico.

12 6 Introdução Carlos Meneses Dada a cada vez maior importância da comunicação digital, uma introdução a este tema deve corresponder ao primeiro contacto dos estudantes da área com as telecomunicações. Este texto foi escrito com este propósito, abordando a transmissão digital entre dois pontos, através de um canal de comunicação. Na figura. são apresentados os blocos constituintes deste sistema, podendo a comunicação digital ser considerada como a arte da codificação: () codificação de sinais que representa em formato digital o sinal analógico; () codificação de linha que representa em formas de onda a sequência digital; (3) e a codificação de controlo de erros que codifica a sequência a transmitir de modo a que no recetor se possa detetar ou corrigir erros devido aos efeitos do canal de transmissão. Figura. Sistema de comunicação digital entre dois pontos. Os blocos em cima correspondem aos blocos constituintes do transmissor e em baixo do recetor, separados pelo canal de comunicação. Na figura. são também apresentadas as principais medidas de qualidade: relação sinal ruído (SNR Signal-to-noise ratio); e probabilidade de erro (BER bit error rate). A primeira mede a qualidade de um sinal analógico afetado por ruído e a segunda a qualidade de uma transmissão digital na presença de erros de bit. O texto apresenta os conceitos e discute os compromissos entre os recursos disponíveis, nomeadamente dois dos mais importantes: a energia disponível no

13 Introdução 7 transmissor; e a largura de banda disponível no canal de comunicação. Um das principais dificuldades encontradas em projeto de telecomunicações é a otimização do sistema de modo a que este tenha a melhor qualidade tendo em conta os recursos disponíveis. O texto está dividido em duas partes distintas: A primeira parte apresenta uma introdução à codificação de sinais (codificação de fonte) através da modulação de pulsos; a segunda parte apresenta uma introdução à transmissão de dados. Estas duas partes podem ser encaradas de um modo independente, mas complementam-se numa introdução à comunicação digital. A primeira parte, sobre codificação de sinais utilizando modulação de pulsos, compreende as secções a 6 e é organizada do modo seguinte: A secção introduz os métodos e atributos dos codificadores de sinal; A secção 3 apresenta a conversão analógico-digital e codificação amostra a amostra (PCM Pulse code modulation) com quantificação uniforme, estabelecendo-se um sistema mínimo de codificação de sinais; A secção 4 descreve a quantificação PCM não uniforme que tira partido da distribuição de amplitudes do sinal; A secção 5 apresenta os conceitos básicos da codificação preditiva, que tira partido da correlação entre amostras consecutivas. De modo a que o codificador se ajuste às caraterísticas do sinal de entrada, descrevem-se ainda métodos de predição e quantificação adaptada; A secção 6 sintetiza as principais conclusões sobre os codificadores de sinais apresentados, comparando-os numa perspetiva de compromisso em relação aos seus atributos. A segunda parte, sobre transmissão de dados, compreende as secções 7 a 4 e é organizada do modo seguinte: A secção 7 introduz a transmissão de dado e enquadra os diversos blocos no modelo de referência OSI (Open system interconnection). A secção 8 começa por descrever os atributos dos códigos de linha, que correspondem aos sinais a serem transmitidos em banda de base, ou seja, em canais do tipo passa-baixo. Apresenta seguidamente os principais códigos de linha binários. Termina abordando questões de sincronismo de símbolo, essencial numa transmissão digital; A secção 9 apresenta o modelo AWGN (Additive white Gaussian noise) para descrever o canal de comunicação e suas limitações: largura de banda, ruído, atenuação e distorção na banda; A secção apresenta a solução do problema da interferência intersimbólica que advém

14 8 Introdução Carlos Meneses da limitação da largura de banda do canal de comunicação, ao mesmo tempo que define a largura de banda ocupada; A secção é dedicada a outra das limitações do canal de comunicação, a introdução de ruído aditivo, gaussiano e branco. É apresentado o recetor ótimo e estimada a probabilidade de erro de bit, para todos os códigos de linha mencionados na secção 8; A secção introduz o conceito de transmissão M-ária, crucial para melhorar a eficiência espetral. É abordada a Lei de Hartley-Shannon sobre capacidade de canal em canais com ruído aditivo branco e gaussiano, correspondendo ao débito binário máximo possível de transmitir, virtualmente sem erros, para determinada relação sinal-ruído e largura de banda do canal; A secção 3 dedica-se à codificação para controlo de erros. Havendo erros na comunicação entre o transmissor e o recetor é possível introduzir informação redundante de modo a os detetar ou mesmo corrigir; A secção 4 sintetiza as principais conclusões e compara os diversos códigos apresentados, discutindo os compromissos envolvidos nos atributos quer dos códigos de linha quer dos códigos de correção de erros. As secções 7 a devem ser vistas de modo sequencial e constituem um todo coerente, obrigatório numa introdução mínima sobre comunicação de dados. Note-se contudo que a secção introduz o conceito de M-ária, base da eficiência espetral. A secção 3 pode ser excluída ou ser abordada logo a seguir à secção. Num contexto por exemplo de redes de computadores pode mesmo ser abordada independentemente do resto do texto, bastando para tal assumir que numa transmissão existem erros de bit devido às limitações do canal de comunicação. Seguidamente apresentam-se vários apêndices que correspondem a temas de dois níveis: () temas que devem ser conhecidos, como conceitos de estatística e probabilidades e de sinais e sistemas, mas que devido à sua importância para a compreensão deste texto aqui se recordam; () e temas aprofundando alguns assuntos, que não são essenciais para a compreensão deste texto mas que podem ser do interesse dos estudantes. Após uma compilação das principais equações deduzidas ao longo do texto, para que os estudantes possam consolidar os seus conhecimentos são ainda propostas

15 Introdução 9 atividades com âmbitos distintos: perguntas teóricas; exercícios resolvidos; exercícios propostos com soluções; e exercícios a resolver recorrendo ao ambiente de programação MATLAB (ou qualquer outro). Está indicado em cada exercício a secção até à qual são necessários conhecimentos para o resolver. Juntamente com a escrita deste texto foi desenvolvido em MATLAB um simulador intitulado ICDigital (Introdução à comunicação digital), que simula a generalidade dos sistemas apresentados e que pode contribuir para melhor expor e consolidar os conceitos apresentados, sendo possível verificar experimentalmente os valores obtidos pelas equações deduzidas teoricamente. Para compreensão do texto os leitores devem ter conhecimentos a nível introdutório sobre estatística e probabilidades, sinais, análise de Fourier e sobre sistemas analógicos. Também devem saber programar, pelo menos a nível introdutório, em ambiente MATLAB. Corresponde a uma unidade curricular em que a exposição teórica deve ser lecionada em cerca de 45 horas. Exercícios escolhidos (por exemplo os exercícios resolvidos) devem ser objeto também de exposição, com um tempo mínimo de horas, sendo o ideal cerca de 5 horas. Os exercícios parciais para resolver em MATLAB devem ser lecionados através de aulas práticas presenciais de pelo menos horas (3 horas por cada exercício) a 8 horas (4,5 horas por exercício). O projeto pode substituir os exercícios parciais com o mesmo tempo presencial ou ser lecionado em complemento com mais 3 a 6 horas presenciais.

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17 Primeira Parte MODULAÇÃO DE PULSOS (Introdução à codificação de sinais) Em muitos sistemas de transmissão de dados, os sinais analógicos são primeiro convertidos para a forma digital pelo transmissor, transmitidos na forma digital e finalmente reconstruídos no recetor em sinais analógicos. O sinal resultante segue, normalmente, o sinal de entrada mas não é exatamente o mesmo, uma vez que o quantificador, no transmissor, produz os mesmos dígitos (código) para todos os valores que caem num mesmo intervalo, de um número finito de intervalos. O recetor deve fornecer, a cada combinação de dígitos, o mesmo valor correspondente ao valor do sinal reconstruído, para todas os valores do sinal de entrada que caiam dentro de um mesmo intervalo de quantificação. A diferença entre o sinal de entrada e de saída, assumindo que não existe erro na transmissão dos dígitos, é o ruído de quantificação. Uma vez que o débito de qualquer sistema de transmissão digital é finito, deve-se utilizar um quantificador que mapeia a entrada num número finito de intervalos. Joel Max Quantizing for Minimum Distortion, 96

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19 Introdução aos codificadores de sinal 3 Introdução aos codificadores de sinal Num sistema de comunicação digital, quando o sinal a transmitir é analógico, variando continuamente com o tempo, é necessário primeiro convertê-lo para formato digital, ou seja, representa-lo (codificá-lo) digitalmente com um número finito de bits.. Métodos de codificação de sinal Existem diversos métodos de codificação de sinais: codificação de forma de onda; codificação paramétrica; e codificação híbrida. Serão apenas discutidos os métodos de codificação de forma de onda utilizando modulação de pulso, de débito binário mais elevado. É também dado especial realce à codificação de sinais de fala, dando origem a aplicações que se encontram bastante difundidas. Embora com estas limitações os conceitos apresentados são no entanto essenciais para uma compreensão posterior dos outros métodos de codificação e para a codificação de outro tipo de sinais, tais como áudio, imagens e vídeo.. Atributos dos codificadores de sinal Nos critérios de escolha de um codificador para determinada aplicação, existem alguns atributos que são decisivos, enquanto outros ou não têm influência ou algum compromisso pode ser levado em consideração. Os atributos mais relevantes dos codificadores são o débito binário, a qualidade, a complexidade dos algoritmos e a quantidade de memória necessária, a sensibilidade a erros de canal e o atraso introduzido. Seguidamente descrevem-se cada um destes atributos e abordam-se os principais compromissos envolvidos... Débito binário Ao transmitir sinais, o débito binário de codificação da fonte, medido em número de bits de codificação por segundo, é um fator importante na definição da largura de banda requerida para o canal de transmissão. A codificação digital é também utilizada no armazenamento para utilização posterior. Neste contexto o débito binário determina o espaço requerido na unidade de armazenamento. Para determinada

20 4 Modulação de pulsos Carlos Meneses quantidade de memória disponível, quanto menor for o débito binário maior duração do sinal pode ser armazenada. A primeira motivação da codificação de sinais é pois a redução do débito binário com vista a uma transmissão ou a um armazenamento mais eficientes. Para que este sinal tenha uma alta qualidade e possa ser considerado como uma referência, é tipicamente representado com uma resolução de pelo menos 6 bits de codificação por amostra. É este sinal, já na sua forma digital, que é processado de modo a gerar um conjunto de bits com um débito binário mais reduzido, para ser transmitido ou armazenado. No recetor, este conjunto de bits constrói uma aproximação do sinal original ainda na forma digital e converte-o posteriormente num sinal analógico... Qualidade A conversão de um sinal de analógico para digital envolve a conversão de um valor contínuo num valor aproximado de entre um número finito de valores. A esta conversão dá-se o nome de quantificação. A quantificação provoca sempre distorção, denominado de ruído de quantificação. Uma das medidas de qualidade mais utilizadas para medir esta distorção é a relação entre a potência do sinal original e a potência do ruído de quantificação (SNRq), sendo normalmente expressa em decibéis (db). O problema básico da quantificação/codificação é o de obter um mínimo de distorção para determinado débito binário, ou manter a distorção aceitável ao menor débito binário possível. Para além da quantificação, a largura de banda dos sinais de entrada marca desde logo a qualidade. Por exemplo os sinais de fala têm uma banda perceptualmente importante até cerca dos. Hz, embora na denominada banda telefónica esta seja limitada entre os 3 e os 3.4 Hz. Está também normalizada a banda dos 5 aos 7. Hz, sendo o sinal amostrado a 6. amostras por segundo, que denominaremos por banda larga. Esta banda é utilizada em aplicações multimédia, em teleconferência e no videotelefone. Termo usado em mecânica quântica para designar o facto de muitos dos parâmetros que descrevem um sistema só poderem ter um conjunto discreto de valores permitidos.

21 Introdução aos codificadores de sinal 5 A relação sinal-ruído é um método objetivo de avaliação da qualidade, mas nem sempre o melhor. Uma das alternativas à avaliação da qualidade é a avaliação subjetiva ou percetual, por média da opinião (MOS Mean Opinion Score), recomendação P.8 do ITU-T (International Telecommunication Union - Telecommunication Standardisation Sector). Nesta, ouvintes são confrontados com frases processadas através do codificador em teste, sendo-lhes pedido que classifiquem a sua qualidade através de uma escala de 5 pontos ( a 5), a que corresponde uma qualidade desde a má à excelente (má, fraca, razoável, boa, excelente). Do valor médio das respostas obtém-se a classificação final em termos percetuais...3 Complexidade e memória necessária Quanto maior complexidade apresentar o algoritmo de codificação e maior quantidade de memória for necessária, mais os sistemas serão dispendiosos, volumosos e com maior consumo de energia. O primeiro codificador a ser normalizado, a recomendação G.7 do ITU-T a 64 kbit/s, que data de 97, era então implementado diretamente no conversor analógico-digital, devido à sua baixa complexidade e à ausência de necessidade de memória. Com a vulgarização dos processadores digitais de sinal (DSP Digital signal processor) e o aumento da complexidade dos codificadores, os sinais passaram a ser quantificados uniformemente, tipicamente com 6 bits por amostra, e só depois codificados a débitos binários mais baixos. A complexidade é normalmente aferida através do número de MIPS (milhões de instruções por segundo) ou MFLOPS (milhões de instruções em virgula flutuante por segundo) necessários para processar os algoritmos de codificação, enquanto a memória necessária é medida em número de bytes...4 Sensibilidade a erros de canal Na transmissão do sinal codificado este fica sujeito a erros introduzidos pelo canal, que podem ser de dois tipos: erros aleatórios independentes, causados pelo ruído estacionário; e erros em rajada, limitados temporalmente, causados por interferências eletromagnéticas nas imediações do canal. Estes erros afetam a qualidade do sinal, degradando a relação sinal-ruído. O impacto na qualidade depende contudo do tipo de

22 6 Modulação de pulsos Carlos Meneses codificador, sendo o impacto maior em codificadores que tiram partido da redundância do sinal para diminuir o débito binário, tentando não perder muito em qualidade...5 Atraso O atraso em codificação de sinais é definido como o tempo máximo que medeia entre o instante em que uma amostra é apresentada no transmissor e aquele em que a amostra correspondente é gerada pelo recetor. Este tempo é medido estando o recetor ligado diretamente ao transmissor, retirando portanto a contribuição dos equipamentos de transmissão e receção e o tempo de propagação do sinal, mas não o tempo de transmissão de cada bit. Embora o atraso não seja importante em aplicações de armazenamento, na conversação bidirecional, como por exemplo na comunicação telefónica, o atraso pode tornar-se maçador e mesmo afetar a naturalidade da conversação. Limites para este atraso poderão ir, nos casos mais permissivos, até cerca de 4 ms. Restrições mais severas são aplicadas quando as redes de comunicações não incluem canceladores de eco, pois o atraso é notado pelo próprio orador.

23 Conversão Analógico-Digital 7 3 Conversão Analógico-Digital De modo a transmitir um sinal digitalmente é necessário convertê-lo numa sequência binária. Na sua forma mais simples este processo corresponde à conversão analógico-digital, ou seja, converter um sinal analógico, de variação contínua no domínio do tempo (representando por exemplo variações de pressão produzidas por um som quando captado através de um microfone) num conjunto finito de bits. A dificuldade encontrada prende-se com o carácter contínuo e portanto com infinitas possibilidades do sinal, quer ao longo do tempo quer em amplitude. Para resolver estes problemas a conversão analógico-digital envolve três etapas que serão objeto de análise no resto desta secção: A amostragem, que tem como objetivo tornar o sinal discreto no domínio do tempo e não envolve perda de informação desde que alguns pressupostos não sejam quebrados (teorema da amostragem de Nyquist -Shannon 3 ); A quantificação, que torna as amostras do sinal discretas na amplitude, transformando uma variável contínua num número finito de valores; A codificação, que atribui a cada amplitude discreta de cada pulso um código, composto por um conjunto de bits. A esta codificação amostra-a-amostra dá-se o nome de modulação por código de pulso (PCM Pulse code modulation). 3. Amostragem A amostragem tem como objetivo tornar o sinal discreto no domínio do tempo. Pode ser descrita como a observação do valor do sinal analógico de entrada, m(t) (m message), a intervalos regulares. O sinal amostrado, m (t), é obtido (figura 3.) pelo produto entre o sinal de entrada e um trem de impulsos de dirac com período T s (sampling period). Dado que a amostragem corresponde a uma multiplicação no domínio do tempo, o espetro do sinal amostrado corresponde à convolução do espetro do sinal m(t), que se assume de banda limitada W, pela Transformada de Fourier do Harry Nyquist, Sueco-Americano, trabalhou na AT&T e nos Laboratórios Bell. 3 Claude Shannon, 96-. Americano, trabalhou nos Laboratórios Bell e foi professor no MIT.

24 8 Modulação de pulsos Carlos Meneses trem de impulsos de dirac, também um trem de impulsos de dirac com período e área f s =/T s. Figura 3. Interpretação da amostragem no domínio do tempo. Em a) representa-se um exemplo de um sinal m(t) a amostrar. Em b) representa-se um trem de impulsos de dirac de área unitária e período Ts, que multiplicado pelo sinal de entrada produz o sinal amostrado representado em c). A convolução é linear, o que implica que a convolução com um trem de impulsos de dirac corresponde à soma das convoluções com cada um dos impulsos de dirac. Convolver um sinal com um impulso de dirac corresponde a colocar esse sinal na posição do impulso de dirac e afetá-lo em amplitude pela respetiva área. Para reconstruir o sinal amostrado é necessário filtrá-lo passa-baixo (filtro reconstrutor) com frequência de corte f s /, e com ganho T s para manter a amplitude original do sinal. De modo a evitar a sobreposição espetral e a correspondente distorção a que se dá o nome de aliasing, a frequência de amostragem tem que ser igual ou superior a duas vezes o valor W da frequência máxima do sinal (teorema da amostragem ou teorema de Nyquist-Shannon): f s W. (3.)

25 Conversão Analógico-Digital 9 Figura 3. Interpretação da amostragem no domínio da frequência. a) Espetro de um sinal m(t), com banda limitada W. b) Espetro do trem de impulsos de dirac (figura 3. b) que é também um trem de impulsos de dirac. O espetro do sinal amostrado corresponde à convolução dos espetros em a) e b) e é apresentado para dois casos, em c) e d). A reconstrução do sinal é possível sem distorção para o exemplo em c) por filtragem passa-baixo com frequência de corte f s /, pois W<f s /. Em d) não é possível recuperar o sinal sem erro uma vez que as repetições espetrais se sobrepõem (aliasing), pois W>f s /. Teorema da Amostragem de Nyquist-Shannon É possível amostrar e reconstruir, sem erro, um sinal com banda limitada W, desde que a frequência de amostragem f s seja superior ao ritmo de Nyquist W. A reconstrução sem distorção do sinal amostrado é obtida por filtragem passa-baixo à frequência de Nyquist f s /. Se f s for inferior a W o sinal reconstruído sofrerá uma distorção por sobreposição dos espetros, a que se dá o nome de aliasing.

26 Modulação de pulsos Carlos Meneses Quando não há certeza de se evitar o aliasing, antes da amostragem o sinal deve ser previamente limitado à frequência f s /, com um filtro passa-baixo (filtro anti-aliasing). Na figura 3.3 é apresentado o diagrama de blocos de toda a cadeia amostragem-reconstrução. Figura 3.3 Cadeia amostragem-reconstrução. Filtro anti-aliasing amostragem filtro reconstrutor. O filtro anti-aliasing corta as frequências acima de fs/. O filtro reconstrutor faz interpolação do tipo sinc para converter o sinal em analógico. O filtro anti-aliasing e reconstrutor são idênticos mas têm papel diferente na cadeia amostragem-reconstrução. À frequência mínima de amostragem, W, denomina-se ritmo de Nyquist. À metade da frequência de amostragem, f s /, denomina-se frequência de Nyquist. Uma vez que o filtro reconstrutor é linear, a reconstrução pode ser interpretada como a sobreposição de funções sinc (figura 3.4) devidas à resposta em frequência do filtro, pesadas pelo valor da amostra correspondente e deslocadas para a respetiva posição no tempo. Para sinais de fala com qualidade telefónica está normalizada (POTS - plain old telephone servisse; GSM Group special mobile) uma frequência de amostragem de 8 khz e uma filtragem passa-banda da entre os 3 Hz e os 3.3 Hz, denominada banda telefónica. A frequência de amostragem superior à mínima exigida pelo teorema da Nyquist-Shannon é justificada pela necessidade de uma banda de guarda, devida à caraterística não ideal dos filtros realizáveis.

27 Conversão Analógico-Digital Figura 3.4 Interpretação da reconstrução do sinal no domínio do tempo. O sinal é reconstruído por sobreposição de funções sinc (resposta impulsiva do filtro de reconstrução), pesadas pelos valores da amostra correspondente e deslocadas para a sua posição. As funções tomam o valor zero no instante de todas as outras amostras. Como os sinais resultantes da amostragem tem valores não nulos apenas em múltiplos do período de amostragem T s, estes podem ser representados com vantagens na sua versão discreta (utilizada em processamento digital de sinais) m[n], em que a variável independente n toma apenas valores inteiros. A amostra m[n] é interpretada como a amostra n correspondente ao tempo nts. Note-se que poderá haver sinais discretos cuja origem não é um sinal amostrado, interpretando-se neste apenas como a amostra n. 3. Quantificação Quantificação de um sinal é o processo que converte um sinal amostrado (discreto no tempo), num sinal com valores também discretos em amplitude. Considerando a gama dos sinais a quantificar entre o intervalo V e V, (figura 3.5) dividida em L intervalos de quantificação iguais e de dimensão q, a quantificação dá-se pela aproximação do valor de uma amostra que pertença a determinado intervalo pelo seu representante, denominado valor de quantificação v j do intervalo.

28 Modulação de pulsos Carlos Meneses Figura 3.5 Quantificação de sinais. Cada amostra do sinal amostrado m[n] é quantificada em um de L intervalos, por aproximação a um seu representante, denominado valor de quantificação. De modo a ser escolhido o valor mais próximo do valor do sinal de entrada (menor ruído de quantificação), os valores de decisão t j que definem os intervalos de quantificação devem estar equidistantes dos valores de quantificação v j : v j v j t j. (3.) Devido à aproximação que se dá na quantificação, esta, ao invés da amostragem quando dentro dos limites impostos pelo teorema da amostragem, introduz sempre distorção. A quantificação é um processo irreversível, pois é impossível determinar, dentro do intervalo de quantificação, qual o valor de entrada m[n] que produziu o valor quantificado m q [n]. A esta distorção dá-se o nome de ruído de quantificação, definido como a diferença entre o valor da amostra de entrada e o valor de quantificação: q n mn m n. (3.3) q

29 Conversão Analógico-Digital 3 Quando os intervalos de quantificação são todos iguais, os quantificadores denominam-se de uniformes. A dimensão de cada intervalo de quantificação vem, neste caso: V q, (3.4) L e o valor máximo do ruído de quantificação corresponde a metade do valor do intervalo de quantificação q. Existem dois tipos de quantificadores uniformes: midrise e midtread. Os quantificadores midrise, apresentado um exemplo para 4 intervalos na figura 3.6, incluem o valor zero como valor de decisão. Nas zonas de ausência de sinal, devido a pequenas variações causadas por ruído, este quantificador flutuará entre os dois valores de quantificação em torno de volts. Figura 3.6 Quantificador uniforme midrise (4 intervalos). O zero corresponde a um valor de decisão, sendo o quantificador simétrico. Note-se que não existe um valor de quantificação coincidente com os extremos de quantificação, V e V, requisito vantajoso nalguns tipos de codificadores, nomeadamente os codificadores DPCM (Differential pulse code modulation) apresentados na secção 4. Para que isto aconteça os intervalos de quantificação correspondem a: V q. (3.5) L

30 4 Modulação de pulsos Carlos Meneses Os quantificadores midtread, apresentado um exemplo para 4 intervalos na figura 3.7, ao incluírem o como valor de quantificação não sofrem da flutuação nas zonas de silêncio, caraterística dos quantificadores midrise. Como é regra usar quantificadores com um número par de valores de quantificação, a sua função entrada-saída torna-se não simétrica pela inclusão num dos extremos de mais um valor de quantificação. Figura 3.7 Quantificador uniforme midtread (4 intervalos). O zero corresponde a um valor de quantificação, tornando o quantificador não simétrico, mas não sofrendo de flutuações nas zonas de silêncio. 3.3 Codificação A codificação é a representação binária da sequência de valores de um sinal, após amostragem e quantificação. Exprime-se pois cada um dos L valores de quantificação possíveis através de um código. A esta codificação amostra-a-amostra denomina-se modulação por código de pulso (PCM). Na figura 3.8 é apresentado um código sequencial do valor de quantificação mais pequeno para o mais alto. É ainda apresentada a sequência binária da sucessão de amostras, sendo necessários 3 bits por amostra (L=8 níveis diferentes). Utilizando um número L de valores de quantificação coincidente com uma potência de, de modo a otimizar o número R de bits de codificação por amostra, pode-se reescrever a equação 3.4, sendo o intervalo de quantificação dado por: V V q R. (3.6) L

31 Conversão Analógico-Digital 5 Figura 3.8 Amostragem e quantificação de sinais. O sinal analógico m(t) é amostrado dando origem ao sinal m (t). Cada amostra é quantificada, reconhecendo-se L=8 valores de quantificação. Cada valor de quantificação é codificado com um código binário sequencial de 3 bits. O débito binário ou número de bits de codificação de cada segundo do sinal, R b, para uma frequência de amostragem f s vem: R R. (3.7) b f s 3.4 Relação sinal-ruído em quantificação uniforme Uma das medidas mais usadas para aferir a qualidade de codificadores é a relação entre a potência do sinal a quantificar e a potência do ruído introduzido pela quantificação. Para uma sequência suficientemente longa de amostras, os valores do ruído devido à quantificação podem ser considerados igualmente distribuídos no intervalo de quantificação (distribuição uniforme), como ilustrado na figura 3.9. Esta aproximação é válida quando se utiliza um número suficiente de valores de quantificação, digamos para L3 (para melhor visualização a figura 3.9 apresenta apenas 4 valores de quantificação).

32 6 Modulação de pulsos Carlos Meneses A função densidade de probabilidade do ruído é, nestas condições, praticamente uniforme à volta de cada valor de quantificação, sendo o valor máximo do ruído de q uma vez que o valor de quantificação está a meio do respetivo intervalo. O sinal de ruído de quantificação tem média nula e a sua potência (normalizada 4 ) pode ser estimada 5 como a sua variância (Apêndice ) q : q q / q V q f ( q) dq q dq R q 3 q /. (3.8) Figura 3.9 Função densidade de probabilidade do ruído de quantificação. Para um número razoável de intervalos de quantificação a função densidade de probabilidade do ruído de quantificação aproxima-se de uma distribuição uniforme. A potência do ruído de quantificação aumenta com o aumento do intervalo de quantificação, ou seja com o aumento da gama de quantificação V, ou da diminuição de L ou R. Estes valores são aproximados para quantificação midtread, podendo mesmo ser inferior se o sinal contiver zonas de silêncio de grande duração. Nestas zonas os quantificadores midrise têm ruído igual a q, o que para poucos bits de codificação pode ser audível. 4 Assumindo um sinal de tensão ou corrente sobre uma carga de Ω. 5 Assumindo quantificação midrise, sendo os cálculos aproximados para quantificação midtread.

33 Conversão Analógico-Digital 7 A relação entre a potência (normalizada) P do sinal e a potência (normalizada) q do ruído é estimada através de: P P SNR, (3.9) V R 3 q ou em decibéis (Apêndice ): 3P SNR db 6,R log. (3.) V A diminuição da amplitude para metade equivale a diminuir para metade o intervalo de quantificação, a uma diminuição da potência do ruído para um quarto, a quadruplicar a relação sinal-ruído, ou ao aumento de 6, db da SNR. Contudo, a amplitude do sinal, m max, não deve ser superior ao valor máximo de quantificação, V. Caso contrário produz-se ruído por saturação de amplitude, deixando as equações 3.8 a 3. de ser válidas. Deste modo, a tensão máxima de quantificação terá que respeitar a inequação: V m max. (3.) Assumindo o caso ideal, ou seja, que a tensão máxima de quantificação, V, corresponde à amplitude m max do sinal de entrada, evitando assim a saturação de amplitude mas minimizando o ruído de quantificação, a equação 3. pode ser reescrita como, 3P SNRdB 6,R log 6,R log 3P n m. (3.) max A SNRq passa a ser função da potência normalizada pelo quadrado da amplitude, sendo dada por, P P n. (3.3) m max

34 8 Modulação de pulsos Carlos Meneses 3.5 Compromissos entre atributos Através da equação 3., pode-se verificar que a qualidade depende de dois fatores: da relação entre a potência do sinal de entrada e o quadrado do valor máximo de quantificação; e do número de bits de codificação por amostra. Note-se ainda que a qualidade não depende da frequência de amostragem, que deve por isso ser o ritmo de Nyquist uma vez que minimiza o débito binário. Na tabela 3. apresentam-se os valores da SNRq para codificação a 8 bits por amostra e diversas potências normalizadas do sinal de entrada. Se para 3 db de potência normalizada (sinal sinusoidal (log (/)) o valor da SNRq de 5 db é bastante bom, o valor de apenas 7,9 db para uma potência normalizada de 45 db é inaceitável. Muitos sinais, por exemplo sinais de fala, exibem esta gama de variações. A grande dependência da qualidade em relação à potência do sinal de entrada é de facto uma das principais desvantagens deste método. Por cada bit de codificação por amostra a SNRq varia de 6, db. Na figura 3. é apresentado o gráfico da SNRq em função da potência normalizada do sinal de entrada, para diversos valores de número de bits por amostra. Figura 3. Relação sinal-ruído em PCM uniforme. Comparação para 7, 8, e 9 bits de codificação por amostra e para diversos valores de potência normalizada (em Decibéis) do sinal de entrada.

35 Conversão Analógico-Digital 9 No exemplo da tabela 3., para garantir um valor mínimo da SNRq de aproximadamente 3 db para um sinal de entrada com 45 db de potência normalizada seria necessário aumentar 4 db na SNRq, ou seja utilizar mais 4 bits de codificação por amostra, resultando num aumento eventualmente demasiado elevado do débito binário (de 64 kbit/s para 96 kbit/s assumindo sinais de fala de banda telefónica), evidenciando um compromisso entre o débito binário e a qualidade. P n db Entrada SNRq db 45 7,9 35 7,9 5 7,9 5 37,9 4,77 Triangular ou distribuição uniforme 48, 3 Sinusoidal 49,9 Quadrada 5,9 Tabela 3. Valores da SNRq de quantificação, função da potência normalizada do sinal. Comparação para 8 bits de codificação por amostra e para diversos valores de potência normalizada do sinal de entrada. Para além de aumentar o débito binário, a melhoria da qualidade através do aumento do número de bits por amostra tem dois limites: A complexidade dos conversores, que duplicam o número de intervalos de quantificação por cada bit de codificação. Por exemplo para 6 bits de codificação por amostra originam-se 6 =65536 intervalos de quantificação; O intervalo muito pequeno a descriminar. Por exemplo para 6 bits de codificação por amostra e uma tensão máxima de quantificação de V, o intervalo de quantificação vale q = -5 = 3 V, que se pode confundir com o ruído térmico nos sistemas eletrónicos. Para valores mais pequenos que estes, os sistemas tornam-se demasiado caros ou mesmo impossíveis de realizar, sendo necessário utilizar outro tipo de paradigma, como por exemplo a modulação delta-sigma () que sai fora do contexto deste tema.

36 3 Modulação de pulsos Carlos Meneses Esta secção descreveu o primeiro passo na comunicação digital, com a conversão de sinais analógicos para uma sequência de bits utilizando modulação por código de pulso, com quantificação uniforme. Este sistema afigura-se o mais simples capaz de representar um sinal analógico digitalmente. Nas próximas secções serão apresentados métodos para diminuir o débito binário, tirando partido das caraterísticas do sinal, tendo sempre em consideração o compromisso com os outros atributos dos codificadores de sinais, particularmente a qualidade.

37 Quantificação não uniforme 3 4 Quantificação não uniforme Na secção anterior discutiu-se a utilização da modulação por código de pulso com quantificação uniforme e a estimativa da respetiva relação sinal-ruído de quantificação, concluindo-se da dificuldade de manter uma elevada SNRq nomeadamente para potências baixas do sinal de entrada, mas não à custa do aumento do débito binário e à diminuição excessiva da dimensão do intervalo de quantificação. Outra caraterística importante a ter em conta é a necessidade da SNRq ser independente da tensão máxima de quantificação e das caraterísticas do sinal de entrada, nomeadamente da sua potência. Estas caraterísticas podem ser observadas com a utilização de quantificação não uniforme, ou seja, com um quantificador em que os intervalos de quantificação não são todos iguais. O histograma de um sinal de fala não é uniforme, tendendo a ter maior número de ocorrências para valores menores. Esta constatação levou à utilização de intervalos de quantificação menores nas zonas de maior ocorrência, como mostrado na figura 4., à custa do aumento do intervalo de quantificação nas zonas de menor ocorrência. O ruído de quantificação torna-se mais pequeno na maioria das amostras, à custa de, em algumas amostras menos prováveis, o ruído de quantificação aumentar. Sendo a potência um valor médio quadrático, este procedimento faz diminuir a potência do ruído de quantificação e, consequentemente faz aumentar a SNR. Figura 4. Exemplo de um quantificador não uniforme. São melhor quantificados os valores menores (em módulo) do que os valores maiores. Para que este quantificador seja eficaz devem ser as amplitudes mais baixas as mais prováveis.

38 3 Modulação de pulsos Carlos Meneses Se o sinal de entrada apresentar uma função densidade de probabilidade das amplitudes em que os valores mais altos forem os que tiverem maior ocorrência, então devem ser estes a ser quantificados com intervalos menores, à custa do aumento dos intervalos para valores mais pequenos. Na utilização destes quantificadores pressupõem-se conhecida pelo menos uma estimativa da função densidade de probabilidade das amplitudes do sinal de entrada, sob pena de se obter desempenhos inferiores do que utilizando quantificadores uniformes. Alternativamente à utilização de um quantificador não uniforme pode-se aplicar ao sinal analógico de entrada uma não linearidade g(m), como a mostrada na figura 4., seguido de um quantificador uniforme. Figura 4. Exemplo de não linearidade utilizada em quantificação não uniforme. A não linearidade seguida de quantificação uniforme é equivalente à quantificação não uniforme. A figura 4.3 apresenta o esquema de blocos equivalente à cadeia de quantificação não uniforme, implementada através da aplicação da não linearidade ao sinal de entrada, seguida da quantificação uniforme. O tipo de não uniformidade é dependente desta não linearidade. Comparando as distribuições de amplitudes antes e após a não linearidade, pode-se verificar que o efeito da não linearidade é tornar a distribuição mais uniforme e mais adequada a um quantificador uniforme.

39 Quantificação não uniforme 33 No recetor, após descodificação, aplica-se a caraterística inversa para regenerar o sinal. A diferença entre o sinal original e o sinal descodificado é causada pela quantificação. Figura 4.3 Implementação alternativa da codificação PCM não uniforme. No transmissor o sinal é aplicado a uma não linearidade seguida de quantificação uniforme. A não linearidade torna a distribuição mais uniforme (exemplo para um sinal de fala) e portanto mais adequada a um quantificador uniforme. No recetor utiliza-se um descodificador uniforme seguido função inversa da não linearidade, de modo a regenerar o sinal original. A diferença entre o sinal original e o sinal descodificado é causada pela quantificação.

40 34 Modulação de pulsos Carlos Meneses Note-se que, numa realização prática, a utilização direta do quantificador não uniforme é menos complexa em relação à implementação do esquema apresentado na figura 4.3. Quer os valores de decisão, necessários no transmissor, quer os valores de quantificação, necessário no recetor, são obtidos por aplicação da função inversa da não linearidade, dos respetivos valores do quantificador uniforme. 4. Relação sinal-ruído em quantificação não uniforme Para se analisar o efeito da não linearidade g(m) e calcular a relação sinal ruído de quantificação, verifique-se pela figura 4. que a relação entre a entrada e a saída da não linearidade é dada aproximadamente por: V g j, (4.) Lg( v ) j em que g (v j ) é o valor da derivada da não linearidade à volta do j-ésimo valor de quantificação v j. Se o sinal de entrada for aleatório mas com função densidade de probabilidade f(m) conhecida, a potência do ruído de quantificação para o j-ésimo intervalo é dada pela variância centrada no valor de quantificação v j: t j N ( m v ) f ( m) dm, (4.) j t j sendo t j a t j+ o intervalo de quantificação correspondente ao valor v j. Assumindo um número elevado de valores, f(m) é aproximadamente constante no intervalo de quantificação, ou seja todos os valores do sinal m no j-ésimo intervalo de quantificação têm aproximadamente a mesma probabilidade que f(v j ). Igualmente, se os intervalos de quantificação adjacentes não tiverem dimensões muito diferentes, o valor de quantificação encontra-se aproximadamente a meio do intervalo e o ruído está limitado ao intervalo [ j /; j /]Nestas condições, a equação 4. pode ser reescrita como: j N j f ( v j ) t j t j ( m v j ) dm f ( v j / j ) m dm j / f ( v j m ) 3 3 j / j / f ( v j 3 j ). (4.3)

41 Quantificação não uniforme 35 Incluindo nesta equação a aproximação dada pela equação 4. vem: N g( V ) 3L f ( v j j g( v j ) ) j. (4.4) A potência total do ruído é a soma do ruído em cada j-ésimo intervalo de quantificação, que se aproxima de uma função contínua desde que seja utilizado um número elevado de valores de quantificação, pelo que: L L max g( V ) f ( v j ) g( V ) f ( m) q N j j dm L g v L, (4.5) 3 ( ) 3 g( m) j e a relação sinal-ruído de quantificação (não em decibéis) vem: j j m m max SNR q P q g( V ) m 3L P. (4.6) max i f ( m) dm g( m) mmax Para calcular a SNRq é necessário ser conhecida a derivada da não linearidade e a função densidade de probabilidade do sinal de entrada. Se g(m)=m, a quantificação transforma-se na quantificação uniforme. A derivada da função vale e a equação 4.6 reduz-se à equação 3.9. Esta conclusão é válida mesmo para uma amplificação do sinal de entrada, g(m)=km, pois valendo a derivada K=g(V)/V e assumindo V=m max, tem-se para o denominador da equação 4.6: g m m mmax mmax mmax f K ( V ) dm mmax f mdm mmax f mdm m max g K m m m max max max. (4.7) Conclui-se que um fator de escala (amplificação) aplicado ao sinal de entrada, ao alterar simultaneamente a potência do sinal e a dimensão dos intervalos de quantificação, não altera a relação sinal-ruído de quantificação.

42 36 Modulação de pulsos Carlos Meneses 4. PCM companding Se a não linearidade for do tipo logarítmica, i.e., g(m)=ln( m ), cuja derivada é / m e sabendo que o integral de m f(m)dm (momento esperado de segunda ordem), calculado no intervalo entre m max e m max, é igual à potência, o valor da SNRq deixa de ser dependente da potência do sinal de entrada para ser dependente apenas do número de intervalos de quantificação: SNR q g( V ) m 3L P max m f ( m) dm 3L g( m max ). (4.8) A função logarítmica não pode no entanto ser realizada, pois converte o intervalo entre e no intervalo entre e. Estão no entanto normalizadas pelo ITU-T duas funções pseudo-logarítmicas, que convertem o intervalo entre e no mesmo intervalo, tendo a função uma caraterística impar: A Lei-A utilizada na Europa e a Lei- utilizada nos EUA e Japão, descritas na recomendação ITU-T G.7, que data de 97. Ambas utilizam 8 bits de codificação por amostra e, como normalizado para sinais de fala em qualidade telefónica, uma frequência de amostragem de 8 khz, resultando num débito binário de 64 kbit/s. Se os valores de entrada estiverem normalizados em relação à amplitude do sinal de entrada, ou seja V =, a Lei-A é descrita por: ln Am gm ln( A) A gm m ln( A) m A, (4.9) m A cujo gráfico é apresentado na figura 4.4. O parâmetro A governa o grau de compressão, sendo o valor normalizado na recomendação G.7 de 87,56 (embora de facto na norma os valores de quantificação e decisão provenham de uma aproximação da equação 4.9). Para valores pequenos (m<a) a Lei-A tem um comportamento linear (g(m)=6m, para A=87,56), enquanto para valores médios e altos tem um comportamento quase

43 Quantificação não uniforme 37 logarítmico. Esta não linearidade corresponde a comprimir o sinal de entrada. No recetor, após descodificação, tem que se incluir a não linearidade inversa (figura 4.3) a que corresponderá uma expansão. A esta técnica dá-se o nome de companding (compressing-expanding). Como se verá adiante, a utilização do companding produz uma relação sinal ruído de quantificação quase constante para uma larga gama de potências do sinal de entrada, não tendo a dependência com esta grandeza do PCM uniforme, muito bom para potências elevadas, mas insuficiente para médias e baixas potências. =87,56 = Uniforme = Figura 4.4 Não linearidade da Lei-A. São ilustradas as funções não lineares Lei-A, que dão origem a uma quantificação não uniforme. O valor normalizado pela recomendação ITU-T G.7 é A=87,56. Só são apresentados valores positivos, tendo as curvas caraterísticas ímpares. Para o desenvolvimento da equação 4.6, a derivada da equação 4.9 correspondente à Lei-A é dada por, g m g m ( ln( A)) m A ln( A) m A. (4.) m A Para potências médias e altas, ou seja, quando a potência normalizada do sinal de entrada for razoavelmente superior a /A, o termo superior da equação 4.9 é o termo

44 38 Modulação de pulsos Carlos Meneses dominante, pelo que se pode desprezar o efeito da zona linear. Nestas circunstâncias a SNRq vem, usando o valor normalizado para A de 87,56 e utilizando a equação 4.6: ou, em decibéis: SNR q 3L P ln( A) m f m 3L ln( A) m dm,l, (4.) SNR db 6,R. (4.) A SNRq só depende do número de bits de codificação por amostra, deixando de depender da potência do sinal de entrada. Para o codificador normalizado G.7, de 8 bits/amostra (64 kbit/s), o valor máximo da SNRq é de 38,6 db e mantém-se praticamente constante para uma variação apreciável de potência do sinal de entrada ( 4 db). É esta caraterística quase constante do companding que o faz ter um desempenho médio superior ao PCM uniforme. Contudo, para sinais de baixa potência, ou seja quando a potência normalizada do sinal de entrada é inferior a /A, o termo dominante é o inferior da equação 4.9, com um comportamento linear, pelo que a SNRq é dada pela equação 3.. Para a Lei-: ln m g m m. (4.3) ln( ) O parâmetro governa o grau de compressão, sendo o valor normalizado de 55. Para valores pequenos esta Lei tem também um comportamento linear (figura 4.5), dado que ln(+ m ) m e para valores elevados um comportamento logarítmico, dado que para m >>, então ln(+ m ) ln( m ). A derivada desta função vale: g m. (4.4) ln( ) m

45 SNR q [db] Quantificação não uniforme 39 A SNRq vem, com o valor normalizado =55, aplicando a equação 4.6 e após alguma manipulação algébrica: SNR q 3L ln,l. (4.5) Para baixas potências esta aproximação não é válida, correspondendo como na Lei-A à entrada na zona linear, fazendo diminuir a SNRq. Das equações 4. e 4.5 verifica-se que os desempenhos das duas Leis são idênticos. 5, 4, 3, Companding Lei-,, Uniforme, uniforme -7, -,,9 7,9,9 7,9,9 7,9 3,9 37,9 4,9 47,9 5,9 Lei-u 4,6 8,5 3,7 34, 35,7 36,7 37,3 37,6 37,8 37,9 38, 38, 38, P/V [db] Figura 4.5 Relação sinal ruído em PCM companding Lei-(55). Comparação com PCM com quantificação uniforme, função da potência do sinal de entrada normalizada pelo quadrado do valor máximo de quantificação, para 8 bit por amostra. Notese a caraterística quase constante do companding e o seu melhor desempenho em relação ao PCM uniforme para potências normalizadas abaixo dos 4,77 db. A caraterística quase constante da SNRq em companding pode ser explicada do modo seguinte: para sinais de baixa potência a probabilidade de amplitudes baixas é maior, sendo melhor quantificadas e baixando a potência do ruído. Para sinais de potência elevada, a probabilidade de amplitudes elevadas é maior, mas também são pior quantificadas. Em ambos os casos a relação entre a potência do sinal e do ruído de quantificação é quase constante.

46 4 Modulação de pulsos Carlos Meneses 4.3 Quantificação Ótima Quando, no sinal a quantificar, existe maior probabilidade de ocorrência de alguns dos valores do que de outros, deve-se diminuir a dimensão dos intervalos de quantificação nas zonas mais prováveis, à custa do aumento da dimensão dos intervalos nas zonas menos prováveis. Por exemplo, os sinais de fala têm uma função densidade de probabilidade das amplitudes com maiores ocorrências para os valores mais pequenos, pelo que o PCM companding é uma melhor alternativa em relação ao PCM uniforme. No entanto a principal vantagem do PCM companding é a de tornar a SNRq praticamente independente da potência do sinal de entrada. Para sinais de potência razoável a utilização de PCM companding resulta numa diminuição da SNRq em relação ao PCM uniforme, pelo que deve ser utilizado outro tipo de não linearidade. Das equações 4. e 4.5, a potência do ruído de quantificação vem: L L t j q N j m v j f ( m) dm. (4.6) j j t j Os valores ótimos de decisão t j e de quantificação v j são estimados por minimização da potência do ruído de quantificação q, ou seja, tomando as derivadas parciais de N j em ordem a t j e a v j. Contudo a resolução deste conjunto de equações não é fácil. Descreve-se a seguir um algoritmo iterativo conhecido por Lloyd-Max (Apêndice 3) ilustrado na figura 4.6, para estimação dos valores ótimos de quantificação e decisão, que tem como entrada o histograma do sinal a quantificar, estimando a respetiva função densidade de probabilidade. O quantificador resultante só terá o mesmo desempenho quando for utilizado com sinais com a mesma função densidade de probabilidade dos sinais que geraram o histograma de entrada do algoritmo, denominado de corpus 6 de treino. É pois necessário ser muito criterioso na escolha deste corpus, devendo incluir diversos oradores do género masculino e feminino, dizendo frases balanceadas foneticamente, ou seja, cujas ocorrências dos fonemas que as compõem sejam aproximadas da respetiva ocorrência na linguagem falada. 6 Corpus de sinais de fala: conjunto de sinais de fala. Termo utilizado em investigação.

47 Quantificação não uniforme a) b) c) d) e) Figura 4.6 Exemplo do algoritmo Lloyd-Max para sinal de fala. Em a) É ilustrado o quantificador uniforme utilizado para inicializar o algoritmo. Em b) são representados os novos valores de quantificação, obtidos pela média dos valores de cada intervalo de quantificação, pesados pelos respetivos valores do histograma. Em c) e d) é ilustrada a segunda iteração, partindo dos valores obtidos na iteração anterior. Em e) são apresentados os O - Valores de quantificação uniforme (SNR=, db) e os - Valores ótimos (SNR= 7,5 db), obtidos após 9 iterações.

48 4 Modulação de pulsos Carlos Meneses Como inicialização do algoritmo, assume-se qualquer quantificador com L valores de quantificação. No exemplo ilustrado na figura 4.6-a) assume-se um quantificador uniforme com L=4, marcando sobre o histograma do sinal de entrada com um os valores de decisão e com um os valores de quantificação. Como iteração, calculam-se os valores médios pesados pelo respetivo histograma, como mostrado na figura 4.6-b) marcado a x. Seguidamente substituem-se os valores de quantificação por estes, e calculam-se os respetivos valores de decisão através da equação 3., como na figura 4.6-c). Os valores de quantificação deslocam-se para as zonas de maior probabilidade, diminuindo aí o ruído de quantificação, à custa do aumento nas zonas de menor probabilidade. O procedimento anterior repete-se com estes novos valores (figura 4.6-d), até não haver diferença entre duas iterações ou esta ser menor que determinado critério de estabilidade. Na figura 4.6-e) são mostrados os valores de quantificação iniciais (uniforme) e finais (ótimos). A potência do ruído baixou 5,9 vezes, ou seja, foi produzido um aumento da SNRq de 7,7 db. Estes valores são obtidos após 9 iterações e o aumento da SNRq após a primeira iteração é de,9 db. Este algoritmo funciona para quantificar amostras de um sinal de fala ou qualquer outro parâmetro, e.g., áudio, pontos de uma imagem ou letras de um texto. Para um sinal sinusoidal, com uma função densidade de probabilidade que tenha maiores ocorrências para amplitudes elevadas como mostra a figura 4.7, os valores de quantificação tendem a deslocar-se para estas amplitudes Figura 4.7 Algoritmo Lloyd-Max aplicado a uma sinusoide. O - Valores de quantificação uniforme (SNRq=,8 db) - Valores de quantificação ótimos. (SNRq=3,8 db), obtidos após 6 iterações.

49 Quantificação não uniforme Comparação entre quantificadores Os codificadores PCM (codificação por modelação de pulsos) diferenciam-se pelo tipo de quantificador. Seguidamente são apresentadas as principais diferenças e compromissos: Quantificador uniforme A SNRq é dependente da potência do sinal de entrada e da tensão máxima de quantificação, sendo esta a sua principal desvantagem. Poderá ser uma boa opção quando não é conhecida a distribuição do sinal de entrada. Utilizado por exemplo em CD (compact disk) de áudio; Quantificador companding A SNRq é (praticamente) independente do sinal de entrada. Também é independente da tensão máxima de quantificação. A SNRq tem uma diminuição de apenas,5 db (figura 4.5), para uma variação da potência do sinal até aos 4 db. Acima dos 4,77 db, valor impossível de atingir pelos sinais de fala, o PCM uniforme tem um melhor desempenho. Por exemplo para sinusoides, cuja potência normalizada é de 3 db (tabela 3.) e apresenta uma função de probabilidade com maiores ocorrências para valores maiores, a SNRq correspondente para 8 bits/amostra em PCM uniforme é de 5 db, contrariamente aos 38 db obtidos pelo PCM companding. Um outro fator importante obtido pelo PCM companding, particularmente quando aplicado a sinais de fala, é o aumento da qualidade percetiva em relação ao PCM uniforme. O aparelho auditivo, através de um processo de mascaramento auditivo, é menos sensível ao ruído em zonas de maior potência. Também por este facto se quantifica melhor os valores menores em detrimento de valores maiores. Concluise do melhor desempenho objetivo (aumento da SNRq) e subjetivo (melhoria da qualidade percetiva) para sinais de fala do PCM companding em relação ao PCM uniforme, sendo utilizado em codificação na transmissão telefónica em rede fixa; Quantificador ótimo Tira partido do conhecimento sobre a função densidade de probabilidade das amplitudes dos sinais a quantificar. Os valores de quantificação

50 44 Modulação de pulsos Carlos Meneses e decisão são adaptados (treinados) de modo a maximizar a relação sinal-ruído. Como principal desvantagem, caso o sinal de entrada não mantiver a mesma função densidade de probabilidade dos sinais que serviram para o treino dos quantificadores, a SNRq pode descer para valores intoleráveis.

51 m[n] Codificação preditiva 45 5 Codificação preditiva Nas secções anteriores estudou-se o efeito da quantificação individual das amostras do sinal de entrada. Para sinais de fala, esta é possível com qualidade codificando acima dos 8 bits por amostra (64 kbit/s para sinais de fala amostrados a 8 khz). Abaixo deste débito é necessário tirar partido das redundâncias do sinal, nomeadamente a grande semelhança entre amostras adjacentes existente nos sinais de baixa frequência (quando comparado com a frequência de amostragem). Como exemplo, a figura 5. apresenta um gráfico das amostras de um sinal de fala função da respetiva amostra anterior. Estas exibem uma grande parecença, ou seja, apresentam-se à volta de uma reta de declive unitário. A codificação preditiva tira partido desta parecença para estimar (predizer) a próxima amostra do sinal, sendo objeto de estudo no resto desta secção. Fora do contexto deste texto, existem codificadores de sinais de fala que tiram partido não só da parecença entre amostras mas a parecença entre as últimas amostras (e.g. codificador do GSM tira partido da parecença das últimas amostras) m[n-] Figura 5. Semelhança entre amostras adjacentes em sinais de baixa frequência. Amostras de um sinal de fala função das respetivas amostras anteriores. A semelhança pode ser verificada pois esta função apresenta-se à volta de uma reta de declive unitário.

52 46 Modulação de pulsos Carlos Meneses 5. Modulação por código de pulso diferencial Tirando partido da semelhança entre amostras consecutivas, caraterística dos sinais de baixa frequência (quando comparado com a frequência de amostragem), consegue-se representar uma amostra à custa da amostra anterior, sendo transmitida em PCM, entre o transmissor e o recetor, apenas a diferença entre amostras consecutivas. Dada a necessidade de coerência entre os sinais nestes dois sistemas, a diferença não é realizada sobre o sinal original mas, como mostra a figura 5., sobre o sinal de saída quantificado, o único existente no recetor. Para produzir o sinal quantificado existe no transmissor uma réplica do recetor. Este tipo de representação do sinal toma o nome de modulação por código de pulso diferencial (DPCM Differential pulse code modulation). a) Transmissor DPCM b) Recetor DPCM Figura 5. Modulação por código de pulso diferencial. a) Esquema de blocos de um transmissor por modulação por código de pulso diferencial. b) Respetivo recetor, correspondendo a parte do transmissor.

53 Codificação preditiva 47 O valor da amostra anterior pode ser interpretado como uma predição (m p [n]) do valor da amostra atual, e a sua diferença interpretada como o resíduo ou erro de predição. É assim quantificada e codificada a diferença entre a amostra que se quer sintetizar e a amostra de saída anterior, eventualmente multiplicada por um coeficiente de predição, a. O erro de predição deve ter uma menor variância (potência) que o sinal original, sendo suscetível de uma melhor quantificação. 5.. Relação sinal-ruído em DPCM Da análise do esquema de blocos da figura 5. conclui-se que o ruído de quantificação causado por este tipo de codificação é dado por: q n mn m n m n en q m n e n en e n, (5.) p p q q em que e[n] corresponde ao erro de predição, ou seja, à diferença entre a amostra atual e a sua predição m p n. O ruído na codificação preditiva resulta unicamente da quantificação, correspondendo ao ruído de quantificação em PCM do erro de predição, dependendo dos valores dos intervalos de quantificação. Caso a quantificação seja uniforme q depende apenas do valor máximo de quantificação, que denominaremos de V, e do número de intervalos de quantificação L. Através da equação 3.6, substituindo V (ou mmax por V, obtêm-se: V R q. (5.) A SNRq (em linear) do codificador DPCM, correspondente à relação entre a potência do sinal de entrada e deste ruído, vem: SNR q P P, (5.3) q q ou em decibéis, pela equação 3. com a mesma alteração de V por V,

54 48 Modulação de pulsos Carlos Meneses 3P SNR db 6,R log, (5.4) V 3P m max SNR db 6,R log, (5.5) mmax V 3P mmax SNR db 6,R log log. (5.6) mmax V O aumento da SNRq em relação à codificação PCM é dado por, m log log V max m max. (5.7) V Para que a relação sinal-ruído aumente em relação aos codificadores PCM, assumindo o mesmo número de bits de codificação, o valor máximo de quantificação, V, deve ser menor que a amplitude do sinal de entrada, ou seja, resultar do preditor e do esquema diferencial uma diminuição de amplitude do sinal (erro de predição) a ser efetivamente quantificado. Se não houver diminuição de V não existe qualquer vantagem em utilizar codificação DPCM. Pelo contrário só há desvantagens, uma vez que a codificação DPCM é mais complexa (mais cara) e como veremos adiante mais sensível a erros no canal de transmissão que a codificação PCM. 5.. Tipos de distorção Conforme a equação 5.7, o valor máximo de quantificação é um parâmetro que atua diretamente no desempenho do quantificador. Se este for demasiado elevado o desempenho diminui, pois aumenta o intervalo de quantificação, q, e a potência do ruído de quantificação. Se for demasiado pequeno o erro de predição pode excedê-lo, provocando saturação de declive (figura 5.3), o que acontece (a=, preditor de ª ordem unitário) quando a variação do sinal de entrada no intervalo entre amostras for superior ao valor máximo de quantificação V, sendo evitada na condição, denominando como a derivada máxima do sinal de entrada, ' mt Ts m maxts ' m max V m t. (5.8) max

55 Codificação preditiva 49 Em zonas de muito pequeno declive um quantificador midrise oscila em torno do sinal de entrada com salto evitar o ruído granular deve ser minimizado q, provocando ruído denominado de ruído granular. Para q, o que pode provocar ruído de saturação de declive. Caso seja utilizado um quantificador midtread, o ruído granular é evitado, devido ao como nível de quantificação. Figura 5.3 Distorção de declive em codificação DPCM. Em codificação DPCM não existe saturação de amplitude mas pode existir saturação de declive (slope overload) e ruído granular. Exemplo para preditor unitário. A saturação de declive é percetivamente incomodativa, pelo que deve evitada utilizando a inequação 5.8. Para garantir no mínimo o valor exato de V, deve-se utilizar a equação 3.5 e não a equação 3.4. Por outro lado o ruído granular ocorre essencialmente a metade da frequência de amostragem, sendo facilmente atenuado pelo filtro reconstrutor. Uma forma de diminuir todos os tipos de ruído na codificação DPCM é aumentando a frequência de amostragem (equação 5.8), embora à custa do aumento no débito binário (equação 3.7). O valor de V para evitar saturação de declive diminui, diminuindo q e consequentemente diminuindo o ruído de quantificação (equação 5.6) e o ruído granular. Contudo, é preferível diminuir q aumentando o número de bits de codificação por amostra, pois a mesma qualidade é obtida com menor débito binário. De facto apenas com bit a mais por amostra V vai diminui para metade, sendo preciso duplicar da frequência de amostragem para obter o mesmo efeito.

56 5 Modulação de pulsos Carlos Meneses A codificação DPCM não sofre de saturação de amplitude, como em codificação PCM. De facto é possível alcançar qualquer amplitude transmitindo consecutivamente o código correspondente à tensão máxima de quantificação V (ou mínima V ) Ganho de predição e estimação do valor máximo de quantificação Uma das principais dificuldades em DPCM é a estimação do valor máximo de quantificação do erro de predição V, de modo a evitar a saturação de declive mas minimizando o ruído. Um método aproximado para estimar V consiste em assumir que a relação entre as potências de pico de m[n] e e[n] é igual à relação das respetivas potências, refletindo-se esta na gama dos quantificadores, ou seja: G p P m m, (5.9) P e V e max max max em que P e representa a potência do sinal de erro de predição, pelo que G p, denominado ganho de predição, dá informação da redução de variância do sinal de entrada em relação ao erro de predição. O valor máximo de quantificação que evita a saturação de declive vem, aproximadamente: mmax V. (5.) G p Resulta do esquema diferencial um aumento da SNRq introduzido pelo ganho de predição (equações 5.6 e 5.9), SNR db 3P GpdB 6,R log GpdB SNRPCMdBmn m. (5.) max Esta equação só é válida na condição de ser utilizada a equação 5., sendo também válida a equação 5.4 em que se obterá o mesmo valor de SNR. Note-se que a equação 5.4 é sempre válida desde que não haja saturação de declive. O aumento do ganho de predição, para determinado sinal de entrada, corresponde à diminuição da potência do erro de predição e consequentemente do seu

57 Codificação preditiva 5 valor máximo. Se, contudo, não for diminuído em conformidade o valor máximo de quantificação V, por exemplo utilizando a equação 5., não existe aumento da SNR. Para se calcular o ganho de predição repare-se que, desde que a quantificação se faça com um número razoável de bits, a potência do ruído pode-se desprezar face à potência do sinal, ou seja 7 : P mq P P. (5.) q Nestas circunstâncias a potência do erro de predição vem: P e lim N N lim N N P a P N nn N e n lim mn amqn m n a lim mq n a lim mnm qn, N N N n N nn N nn ar P a ar N N N nn N N (5.3) sendo R[k] o produto interno (Apêndice 4) entre o sinal e ele próprio atrasado de k amostras, denominado de função de autocorrelação (Apêndice 5) do sinal de entrada, aproximadamente igual à correlação cruzada entre o sinal de entrada e o sinal quantificado. r[k] corresponde à função de autocorrelação normalizada pela potência P=R[]. O ganho de predição (não em decibéis) vem: P Gp. (5.4) P a ar e Esta equação vem, para o caso particular do coeficiente de predição ser igual a (a=, preditor de ª ordem unitário), em decibéis: P Gp db log log. (5.5) Pe r 7 A potência do sinal soma só é igual à soma das potências desde que os sinais sejam ortogonais. Para um número suficiente de bits, pode-se considerar que o ruído de quantificação é ortogonal ao sinal de entrada.

58 Amplitude Amplitude 5 Modulação de pulsos Carlos Meneses A aproximação da equação 5. apenas é exata para sinais sinusoidais (Apêndice 6). Para sinais de fala, esta equação subestima o valor de V, dando origem a alguma saturação de declive que pode ser percetivamente relevante. Contudo, como a saturação não é frequente, a SNRq na verdade aumenta em relação à utilização do valor máximo do erro de predição, pois é utilizado um intervalo de quantificação menor com a consequente diminuição da potência do ruído de quantificação. Na figura 5.4 é ilustrada a redução da gama dinâmica do erro de predição em relação ao sinal de entrada, correspondendo a um ganho de predição maior que a unidade. x 4 Sinal de fala - - x t [ms] Resíduo de predição - preditor de primeira ordem unitário t [ms] Figura 5.4 Exemplo do desempenho de um preditor de ª ordem unitário. Em cima representa-se,5 ms de um sinal de fala. Em baixo o respetivo erro de predição. Estes dois sinais são apresentados na mesma escala, sendo visível a redução na gama dinâmica. O codificador DPCM com preditor unitário não terá nenhuma vantagem em relação ao codificador PCM quando o ganho de predição for igual a db, ou seja r[]=,5 (equação 5.5), sendo vantajoso apenas para correlações superiores a,5. Para um valor de r[] de,8 o ganho de predição é de 4 db, chegando aos db para um

59 Codificação preditiva 53 valor de,97. O codificador DPCM tem então no máximo um ganho de bits de codificação por amostra em relação ao codificador PCM. 5. Adaptação do preditor Supondo o esquema de blocos da figura 5. que contêm um preditor linear de primeira ordem, o sinal predito 8 é dado por: n amn m p. (5.6) O coeficiente de predição ótimo, a, ou seja aquele que minimiza a potência do erro de predição, corresponde a: Pe a N a N m n a m n a mn mn n n n n m N N n mn mn n a N, (5.7) pelo que o valor ótimo do coeficiente de predição é dado (Apêndice 4, produto interno normalizado) por: a n mn m n n m n R R r. (5.8) O coeficiente de predição é ótimo apenas para sinais com a mesma autocorrelação (de ª ordem), pelo que o preditor está adaptado ao sinal de entrada. Das equações 5.4 e 5.8 o ganho de predição vem: Gp db log r. (5.9) 8 Assume-se a situação ideal da predição baseada na amostra anterior e não na amostra quantificada. No caso genérico da predição com a amostra atrasada de k, substitui-se por k (equações 5.3 a 5.9).

60 54 Modulação de pulsos Carlos Meneses Como mostra a figura 5.5, o ganho de predição com preditor adaptado é sempre maior ou igual a db, independentemente do valor da autocorrelação, o que não acontece com preditor unitário de primeira ordem, em que o ganho de predição pode ser negativo. Gp (db) 3 - -,5,5 - Figura 5.5 Ganho de predição função da autocorrelação normalizada de primeira ordem para preditores de ª ordem unitário e adaptado. Os preditores unitários têm ganho negativo abaixo de r[]=,5. Os preditores adaptados têm sempre ganho positivo, a menos quando a correlação é em que o ganho é. O mesmo resultado é obtido por projeção do sinal de entrada sobre a sua versão deslocada de uma amostra, como ilustrado na figura 5.6, assumindo a melhor representação do primeiro sobre este último. De facto, a autocorrelação R[k] não é mais do que o produto interno entre um sinal e a sua versão deslocada de k amostras, correspondendo r[k] à respetiva projeção. À esquerda da figura exemplifica-se a predição com coeficiente unitário, para 3 situações distintas. A predição coincide com a amostra (quantificada) anterior, sendo o erro de predição a diferença entre este e o sinal de entrada. O ganho de predição é de db quando a projeção do sinal de entrada sobre a predição é,5 (equação 5.5). O ganho de predição só é positivo à direita deste ponto. Para o preditor unitário, G p = db quando a amostra faz um ângulo de /3 em relação à predição. Para uma sinusoide como sinal de entrada em que r[]=cos(f/f s ) (Equação A.5.6), então f/f s =/3. Para um sinal genérico pode-se definir a frequência, ' f max, que produz a derivada máxima, pelo que G p é positivo desde que:

61 Codificação preditiva 55 ' ' f max f s f max f 3 6. (5.) s Para sinais de fala esta situação é quase sempre verdade quando este é amostrado, como em qualidade telefónica, a 8 khz ( ' f max <,333 khz). Figura 5.6 Interpretação vetorial da predição. À esquerda, predição com coeficiente unitário. À direita, predição adaptada. À direita da figura exemplifica-se a predição adaptada, para 4 situações distintas. A predição corresponde à projeção sobre a amostra anterior, minimizando a energia (norma do vetor) do erro de predição, que lhe é ortogonal. O ganho de predição é sempre positivo (equação 5.9, com exceção da situação em que o sinal de entrada e a sua projeção são ortogonais (a=r[]=), em que o erro de predição coincide com o sinal de entrada e o codificador transforma-se num codificador PCM. Note-se que a adaptação do preditor já não tem como objetivo tirar partido da semelhança entre amostras, como no preditor unitário, mas sim tirar partido da correlação entre amostras. Por exemplo se as amostras foram simétricas (muito diferentes) a correlação normalizada é mas, pela equação 5.9, o ganho de predição é db, o mesmo que se as amostras consecutivas forem todas iguais, a que corresponde uma correlação normalizada de.

62 56 Modulação de pulsos Carlos Meneses Os codificadores de fala normalizados utilizam predição de ordem mais elevada, tipicamente com as últimas amostras, de modo a melhorar o ganho de predição. Os coeficientes são calculados no transmissor e enviados a intervalos regulares. No codificador utilizado em GSM, por exemplo, a cada intervalo de ms são calculados e enviados coeficientes de predição. 5.3 Adaptação do quantificador A utilização de um quantificador de valores fixos leva, como ilustrado na figura 5.7, a que quando a variância do sinal à sua entrada é grande se possa exceder o valor máximo de quantificação e, por outro lado, para variâncias baixas, o ruído de quantificação seja elevado. Figura 5.7 Adaptação ao valor ótimo de quantificação. São apresentados os valores ótimos do valor máximo de quantificação em função do tempo, dependentes da potência e da autocorrelação do sinal, para um preditor de ª ordem unitário. A potência do sinal de entrada do quantificador é dependente da potência localizada e da autocorrelação do sinal de entrada e portanto do tempo. Para sinais quase estacionárias (em que a potência e a autocorrelação variam lentamente, nomeadamente para sinais de fala) é possível adaptar localmente a gama do quantificador, tirando partido das zonas dando origem a codificador DPCM com quantificador adaptativo 9. 9 Adaptativo - Que se modifica para se adaptar às condições locais do sinal. Não confundir com adaptado, que realiza a adaptação apenas uma vez e se mantêm fixo.

63 Codificação preditiva 57 Os parâmetros de adaptação podem ser obtidos do sinal original, sendo esta informação enviada para o recetor como informação lateral (AQF Adaptive quantization with forward estimation), o que aumenta o débito binário mas oferece um aumento da qualidade. Pela equação 5.9 e conhecido o ganho de predição pela equação 5.4, pode-se estimar o valor máximo de quantificação do erro de predição. Outro método de adaptação, que evita o aumento do débito binário corresponde a obter os parâmetros de adaptação através do índice de quantificação, representado pelos bits do código, existentes no próprio recetor (AQB Adaptive quantization with backward estimation). Um exemplo bastante simples deste método, proposto por Jayant, é baseado no raciocínio seguinte: se o valor de quantificação numa amostra for próximo (em módulo) do valor máximo de quantificação V, há risco de distorção de saturação de declive e, portanto, este último deve ser aumentado para quantificar a amostra seguinte; se, por outro lado, o valor de quantificação for pequeno em relação ao valor máximo de quantificação, este último pode ser diminuído de modo a diminuir o intervalo de quantificação e consequentemente o ruído de quantificação. O valor de V no instante n depende então do seu valor anterior e do índice de quantificação na amostra anterior n, seguindo a regra: Os valores de M in n V n M in V. (5.), apresentados na tabela 5., correspondem aos fatores multiplicativo do índice i do quantificador na amostra anterior. Numa zona de silêncio V tende para zero, pelo que se deve limitar este valor a um valor mínimo aceitável. R M() M() M() M(3) M(4) M(5) M(6) M(7) M(8) M(9) M() M() M() M(3) M(4) M(5),6,9,9,6 3,7,5,9,9,9,9,5,7 4,4,,6,,9,9,9,9,9,9,9,9,,6,,4 Tabela 5. Fatores multiplicativos de adaptação de quantificadores. Nikil Jayant, Indiano. Professor no Georgia Institute of Technology, Atlanta.

64 58 Modulação de pulsos Carlos Meneses M() corresponde ao valor mais pequeno de quantificação, correspondendo o aumento do índice a um aumento do valor de quantificação. Com o coeficiente de predição igual a zero o codificador transforma-se num codificador PCM adaptativo. 5.4 Modulação por código de pulso diferencial adaptativa Uma versão do codificador DPCM, com adaptação do preditor e do quantificador foi adotada como recomendação G.76 (99, unificação das Rec. G.7 (984) e G.73 (988)) pelo ITU-T, para codificação de sinais de fala com débitos binários de 6, 4, 3 e 4 kbit/s (, 3, 4 e 5 bits por amostra). São utilizados 3 kbit/s para duplicar o número de conversações em relação à recomendação G.7 em canais telefónicos e na norma DECT de sistemas telefónicas de curto alcance. Este codificador é denominado de ADPCM (Adaptive differential pulse code modulation). a) Transmissor ADPCM

65 Codificação preditiva 59 b) Recetor ADPCM Figura 5.8 Modulação por código de pulso diferencial adaptativo. Esquema de blocos do codificador ADPCM, com adaptação amostra a amostra dos níveis de quantificação, baseado no índice de quantificação. 5.5 Modulação Delta A modulação Delta (DM - Delta modulation) é um caso particular da modulação DPCM utilizando um codificador midrise de bit por amostra. O esquema de blocos é apresentado na figura 5.9. O bit de codificação apenas dá informação do sentido do sinal diferença (se positivo ou se negativo), sendo o sinal de saída incrementado ou decrementado de um passo de quantificação. Figura 5.9 Modulação Delta (DM). O recetor é igual ao do DPCM (Figura 5. b)), mas com descodificador de bit. Este tipo de codificação teve a sua época quando a tecnologia digital ainda era de custo elevado, pois como apresentado na figura 5., pode ser implementado com pequena complexidade tendo como entrada o sinal analógico e utilizando componentes

66 6 Modulação de pulsos Carlos Meneses analógicos (comparadores, integradores, S&H). Hoje é a base da codificação delta-sigma (, codificadores de alta qualidade, que não são aqui objeto de estudo. Modulador DM Desmodulador DM Figura 5. Implementação analógica da modulação Delta. O valor de é dado por ATs/RC Tipos de distorção Como em DPCM, existem dois tipos de distorções introduzidas em DM, ilustradas na figura 5.: a saturação de declive típico das zonas de variação rápida do sinal de entrada; e o ruído granular típico das zonas de silêncio ou de pequena variação do sinal de entrada, quando comparado com o passo de quantificação. Figura 5. Tipos de distorção na Modulação Delta. Há dois tipos de distorção na modulação delta: a distorção de saturação de declive, típico das zonas de variação brusca do sinal em que o passo do quantificador é insuficiente; o ruído granular, típico das zonas de pequena variação do sinal de entrada em que o passo do quantificador é demasiado grande.

67 Codificação preditiva 6 Existe um compromisso entre estes dois tipos de ruído: aumentando o passo de quantificação para se evitar a saturação de declive aumenta-se o ruído granular e vice-versa. Em DPCM o ruído granular pode ser evitado com recurso a um codificador midtread, o que não é possível em DM, por é utilizado bit de codificação por amostra. Como em DPCM, equação 5.8, de modo a evitar o ruído de saturação de declive o valor de tem que no mínimo ser igual à variação máxima do sinal no intervalo entre duas amostras. No entanto, para garantir que existe um valor de quantificação exatamente no valor máximo de quantificação, V, o que equivale, no cálculo do intervalo de quantificação, a utilizar a equação 3.5 em vez da 3.4. ' mt Ts m maxt s V m t. (5.) 5.5. Relação sinal-ruído em DM O intervalo de quantificação corresponde à diferença entre os dois níveis de quantificação, ou seja, de a. O intervalo de quantificação vem então, max V, (5.3) q e a potência do ruído de quantificação vem, pela equação 3.8, q q. (5.4) 3 Note-se que, devido à utilização da equação 3.5 para o cálculo do intervalo de quantificação utilizando apenas bit por amostra, este torna-se vezes maior do que utilizando a equação 3.4, produzindo uma potência do ruído de quantificação 4 vezes maior, ou seja, uma diminuição de 6, db na relação sinal-ruído quando comparada com equação correspondente para DPCM. A relação sinal-ruído de quantificação vem, 3P SNR db log (5.5)

68 6 Modulação de pulsos Carlos Meneses Introduzindo o ganho de predição dado pela equação 5.9, SNR db 3P max log log log m mmax P G 4, 77 n pdb. (5.6) O passo de quantificação pode ser calculado de 5, caso se conheça a máxima derivada do sinal, e continuam a ser válidas as equação 5.5 para o cálculo do ganho de predição com preditor unitário e a equação 5. para o passo de quantificação, mmax G p (5.7) r Sendo DM codificado com bit por amostra, o débito binário vem, Ganho de filtragem Rb f s (5.8) Ao contrário da codificação DPCM em que é possível e mais eficiente melhorar a qualidade aumentando o número de bits por amostra, em DM só é possível aumentar a qualidade aumentando a frequência de amostragem, tornando as amostras mais próximas e portanto diminuindo (equação 5.) e aumentando o ganho de predição (equação 5.7). Pode-se então diminuir o passo de quantificação embora à custa do aumento do débito binário. O ruído de quantificação exibe, para sinais de entrada aleatórios, uma função densidade espetral plana (ruído branco) entre fs/ e fs/. Por este facto, como mostrado na figura 5., a potência do ruído pode ser diminuída por filtragem passa-baixo à frequência máxima do sinal de entrada, aumentando ainda mais a relação sinal-ruído. Figura 5.

69 Codificação preditiva 63 Função densidade espetral de potência do ruído de quantificação. É possível retirar o ruído de quantificação em DM fora da banda do sinal de entrada, por filtragem passa-baixo. O ganho de filtragem é a relação entre a área da função densidade espetral de potência do ruído antes e depois da filtragem: G f f s OSR, (5.9) W em que OSR (over-sampling ratio) é uma medida da sobre-amostragem e corresponde ao número de vezes que a frequência de amostragem excede o ritmo de Nyquist. A duplicação da frequência ( oitava) leva a um ganho de 3 db (log()). Introduzindo o ganho de filtragem na equação 5.6 obtêm-se, 3P SNR db logosr log. (5.3) 5.6 Modulação Delta adaptativa Os codificadores por modulação delta não são competitivos em relação ao PCM ou ao DPCM devido ao forte compromisso entre o ruído granular e de saturação de declive. É no entanto possível aumentar a qualidade adaptando o passo de quantificação, dando origem à modulação delta adaptada (ADM Adaptive delta modulation). O ruído de saturação de declive na modulação delta pode ser detetado através de uma sequência de bits de saída com o mesmo nível lógico. Por outro lado, uma sequência alternada de níveis lógicos indicia um sinal com frequência muito baixa e portanto a predominância de ruído granular. A deteção de ambos os tipos de ruído pode ser aproveitada para adaptar o valor do passo de quantificação. Um método simples, mas eficaz, de adaptação amostra-a-amostra, seguindo o princípio acima referido, devendo este ser aumentado quando se deteta ruído de saturação de declive e diminuído quando se deteta ruído granular. tem a regra seguinte:

70 64 Modulação de pulsos Carlos Meneses n n n b n b, (5.3) em que b[n] é o valor do nível lógico de saída do quantificador no instante n, neste caso tomando os valores ± e gere o grau de adaptação. Por exemplo com =,5 o passo da amostra anterior é multiplicado por,5 caso se suspeite de saturação de declive e dividido por,5 caso se suspeite de ruído granular. Este método é exemplificado na figura 5.3. O princípio de adaptação ilustrado é utilizado em métodos mais complexos mas também mais eficazes, para implementar codificadores de sinais de fala, tais como o CVSD (Continuous variable slope delta), com débitos binários entre os 6 kbit/s e os 8 kbit/s. Para além da adaptação o aumento da qualidade é conseguido através do aumento da frequência de amostragem e consequente aumento da correlação entre amostras. Figura 5.3 Modulação Delta Adaptada. O passo do modulador é adaptado de modo a diminuir a distorção, segundo o raciocínio seguinte: uma sequência de bits de saída com o mesmo nível lógico indicia distorção de saturação de declive e o passo é aumentado; uma sequência de bits de saída com níveis lógicos alternados indicia ruído granular e o passo é diminuído. 5.7 Propagação dos erros no canal de transmissão Uma desvantagem da codificação preditiva, quer seja DPCM quer seja DM, em relação à codificação PCM prende-se com a propagação de erros no canal de

71 Codificação preditiva 65 transmissão. Em PCM, um erro no canal de transmissão afeta apenas a amostra correspondente, enquanto na codificação preditiva este erro é propagado às amostras posteriores, pois o sinal de saída é calculado através do sistema linear (filtro digital com um pólo) representado por: m q n m n e n am n e n. (5.3) p q q q Se a <, então o erro é atenuado a cada iteração e tende para zero tão mais rapidamente quanto menor for o valor de a. Se a =, então o erro nunca é atenuado, enquanto para a > o erro é aumentado a cada iteração. Na presença de erros no canal de transmissão, para além da propagação de erros comum ao DPCM e DM, o ADPCM e ADM têm como grande desvantagem uma adaptação mal realizada no recetor, o que conduz a que os quantificadores do recetor e do transmissor sejam diferentes, levando a uma perda significativa de qualidade.

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73 Discussão sobre codificadores de sinal 67 6 Discussão sobre codificadores de sinal Nas secções 3 a 5 descreveram-se os principais codificadores de sinal, segundo o método de codificação de forma de onda, com ênfase para a codificação de sinais de fala. Foram deduzidas as expressões da relação sinal-ruído de quantificação, medida objetiva da qualidade, para os diversos métodos de codificação apresentados, tendo sido realçado o compromisso com o débito binário produzido. Na tabela 6. apresentam-se as vantagens/desvantagens dos codificadores apresentados, em relação aos seus atributos. Débito binário (mesmo SNRq) Qualidade (mesmo Rb) PCM uniforme PCM Companding PCM quantif. ótimo DPCM preditor unitário DPCM preditor adaptado ADPCM DM ADM Complexidade Sensibilidade a erros de canal Dependência com o sinal de entrada Tabela 6. Comparação entre codificadores de sinal. Codificadores de sinal com melhor ( ) e pior ( ) desempenho em termos de atributos. Os codificadores por modelação de pulsos (PCM) são os de menor complexidade e diferenciam-se pelo tipo de quantificador: Quantificador uniforme A relação sinal-ruído de quantificação é dependente da potência do sinal de entrada e da tensão máxima de quantificação; Quantificador companding A relação sinal-ruído de quantificação é (praticamente) independente do sinal de entrada e da tensão máxima de quantificação; Quantificador ótimo Tira partido do conhecimento sobre a função densidade de probabilidade das amplitudes dos sinais a quantificar. Os valores de quantificação e decisão são adaptados (treinados) de modo a maximizar a relação sinal-ruído, necessitando para tal de um corpus de sinais de fala adequado.

74 68 Modulação de pulsos Carlos Meneses As codificações diferenciais (DPCM), ao predizerem o valor de uma amostra tirando partido da correlação entre amostras consecutivas, têm uma melhoria na SNRq devido à introdução do ganho de predição. No entanto, para além da maior complexidade, ao depender das amostras passadas, a modulação diferencial perde robustez na presença de erros no canal de transmissão. Os codificadores DM são um caso particular dos codificadores DPCM, utilizando apenas bit de codificação por amostra, pelo que a qualidade atingida é baixa. Tem como vantagem poder ser implementado com baixa complexidade através de hardware analógico. Para melhorar a qualidade pode-se aumentar a frequência de amostragem, aproximando as amostras e portanto diminuindo o passo de quantificação. O aumento da frequência de amostragem leva ainda a que se possa retirar o ruído de quantificação fora da banda do sinal de entrada, através de filtragem. No entanto a qualidade é a mais baixa dos codificadores apresentados. Os codificadores com predição e quantificação adaptativa, que se ajustam às caraterísticas dos sinais a codificar, melhoram a qualidade e tornam-se mais independentes do sinal de entrada. Como desvantagens, para além do aumento da complexidade, estes codificadores são ainda menos robustos na presença de erros que os codificadores preditivos sem adaptação, já que a adaptação pode ser mal efetuada levando a diferenças entre os parâmetros adaptados no transmissor e no recetor. O melhor codificador é um conceito inexistente em codificação de sinais, quer estes sejam sinais de fala, áudio, imagens, vídeos, etc.. Para determinada aplicação devem ser levados em conta os atributos mais relevantes, possivelmente à custa de um pior desempenho em relação aos outros. Por exemplo, a diminuição do débito binário só é possível correlacionando a informação entre amostras, o que leva a um aumento da complexidade e atraso e possivelmente à diminuição da qualidade.

75 Segunda Parte COMUNICAÇÃO DE DADOS (Introdução) ( ) um sistema de comunicação ( ) consiste essencialmente de cinco partes:. Uma fonte de informação que produz uma mensagem ou sequência de mensagens a serem comunicadas ao terminal recetor. ( ). Um transmissor que opera sobre a mensagem de alguma forma para produzir um sinal adequado à transmissão ao longo do canal. Na telefonia esta operação consiste simplesmente na mudança de pressão sonora numa corrente elétrica proporcional. Em telegrafia temos um processo de codificação que produz a sequência de pontos, traços e espaços sobre o canal correspondente à mensagem. Num sistema multiplexado PCM os diferentes sinais de fala devem ser amostrados, quantificados, codificados e, finalmente, intercalados adequadamente para construir o sinal. Sistemas vocoder, televisão e de frequência modulada são outros exemplos de operações complexas aplicadas à mensagem para obter o sinal. 3. O canal é meramente o meio utilizado para transmitir o sinal do transmissor ao recetor. Pode ser um par de condutores, um cabo coaxial, uma banda de frequências de rádio, um feixe de luz, etc.. 4. O recetor normalmente executa a operação inversa da que fez o transmissor, reconstruindo a mensagem a partir do sinal. 5. O destino é a pessoa (ou coisa), para quem a mensagem é proposta. Claude E. Shannon A Mathematical Theory of Communication, 948

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77 Introdução à comunicação de dados 7 7 Introdução à comunicação de dados O problema da comunicação de dados prende-se com a transmissão de informação digital entre dois equipamentos (computadores, telefones, etc.) através de um canal de comunicação. São transmitidos sinais (elétricos, eletromagnéticos, óticos) que correspondem a códigos representando a informação digital. 7. Limitações dos sistemas de comunicação No canal de comunicação, os sinais são atenuados devido à resistência elétrica, distorcidos devido à largura de banda, inseridos em ruído devido ao ruído térmico ou a interferências eletromagnéticas e não são transmitidos instantaneamente. Os efeitos do canal de comunicação levam o recetor a nem sempre conseguir discriminar a informação recebida. Havendo erros entre o transmissor e o recetor, a qualidade da transmissão é medida através da relação entre o número bits errados e a totalidade dos bits transmitidos (BER bit error rate), que é uma estimativa da probabilidade de erro de bit (também denominada relação ou taxa de erro de bit). A largura de banda do canal de comunicação é, a par da energia transmitida, um recurso extremamente importante que interessa preservar. A eficiência espetral, medida como a relação entre o débito binário (número de bits transmitidos por segundo) e a largura de banda ocupada pelo sinal transmitido, serve de medida de qualidade em relação a este atributo. A transmissão M-ária (em oposição à binária), ou seja, a transmissão de símbolos com mais de duas formas de onda possíveis, faz diminuir o débito de símbolos para o mesmo débito binário. A largura de banda é linearmente dependente do débito de símbolos, sendo esta uma forma de melhorar a eficiência espetral. Aos bits de informação poderão ser introduzidos bits de redundância, de modo a que bits errados sejam detetados ou mesmo corrigidos no recetor. Os códigos de correção necessitam de mais redundância que os códigos de deteção, aumentando o número de bits transmitidos. No entanto os códigos de deteção de erros necessitam de

78 7 Transmissão de dados Carlos Meneses mecanismos que informem o transmissor destes erros de modo a que a informação respetiva possa ser retransmitida. Não é possível encontrar um método de transmitir a informação digital com total eficácia, ou seja, com grande débito binário, grande eficiência espetral, pequena probabilidade de erro de bit, pequena energia e com pequena complexidade dos equipamentos transmissores e recetores. São discutidos nas próximas secções os compromissos entre estes atributos e terá que ser encontrado, função dos recursos disponíveis, o método que melhor se adequa a cada aplicação. Por exemplo, são diferentes as soluções para ligar dois computadores numa mesma sala distanciados de alguns metros, ou quando estes se encontram em qualquer parte de um país ou mesmo do mundo. Chega-se ainda a soluções diferentes quando os utilizadores geram pouco tráfego de baixa prioridade, como os utilizadores domésticos, ou muito tráfego de alta prioridade, como numa empresa com diversos balcões interligados. 7. Modelo de referência OSI Para interligar diversos equipamentos de diferentes fabricantes, cada um com a sua arquitetura, formato de dados, sistema operativo, etc., a ISO (International Organization for Standardization) normalizou em 979 um modelo de referência denominado de OSI (Open system interconnection). Este é um modelo abstrato baseado em 7 camadas (física, ligação, rede, transporte, sessão, apresentação e aplicação), esquematizado na figura 7.. Cada camada apenas comunica com as camadas imediatamente acima e abaixo, através de uma interface bem definida, e com a mesma camada no equipamento destino, tornando os protocolos que implementam independentes das outras camadas. 7.. Camada física A camada física define as especificações físicas (mecânicas e elétricas) dos equipamentos, i.e., define a relação entre o equipamento e o meio físico. (e.g. tipo de fichas, cabos, formas e tensões dos sinais elétricos, quantidade de bits transmitidos por

79 Introdução à comunicação de dados 73 unidade de tempo, tipo de sincronismo). Apenas tem a noção de bit ignorando as estruturas definidas pelas camadas superiores. Figura 7. Modelo de referência OSI. Modelo de 7 camadas normalizado em 979 pela ISO. 7.. Camada de ligação Como o seu nome (ligação) indica, esta camada preocupa-se essencialmente em gerir a ligação entre dois ou mais equipamentos que comuniquem diretamente entre si, recorrendo para tal à camada física. Oferece às camadas superiores uma forma de transmitir aos equipamentos de destino os dados estruturados em tramas que possuem um cabeçalho, uma zona de dados e uma cauda. O cabeçalho inclui campos de suporte aos serviços disponibilizados e a cauda é usada para suporte da deteção de erros. Presta serviços às camadas superiores (rede) e socorre-se dos serviços da camada inferior (física) para fazer chegar as tramas aos outros equipamentos. Pode prestar vários tipos de serviços como, por exemplo, fiáveis, não fiáveis, ponto-a-ponto, ponto-multiponto, com controlo de fluxo, sem controlo de fluxo. Por exemplo, um trânsito fiável de dados nas ligações físicas da rede implica o uso de um algoritmo de correção de erros através

80 74 Transmissão de dados Carlos Meneses de códigos apropriados, ou a utilização de protocolos que promovem a retransmissão da trama em falha (correção por retransmissão). Poderá igualmente ser não fiável, deixando neste caso a tarefa da correção de erros, sequenciação, etc. às camadas superiores, se assim for pretendido Camada de rede A camada de rede procede ao encaminhamento da informação pela rede, organizando-a em pacotes, gerindo o endereçamento, podendo ter em consideração fatores como a quantidade de tráfego na rede, a capacidade em termos de débito máximo possível e a prioridade segundo o tipo de serviço requerido. Ao contrário dos endereços da camada de ligação, de quem esta camada se socorre para transmitir entre equipamentos vizinhos os seus dados estruturados em pacotes, a noção de endereço nesta camada está associado ao conceito de morada e de encaminhamento. Implica encaminhamento ao longo de redes mais ou menos complexas até atingir o destino (morada) que pode ser remoto. Dependendo do protocolo usado e dos objetivos pretendidos esta camada pode ou não realizar serviços como, por exemplo, a segmentação de dados e a correção de erros. A implementação desta camada é realizada normalmente pelo protocolo IP (Internet protocol) Camada de transporte A camada de transporte é uma camada que permite a oferta de um conjunto de serviços independente do protocolo de rede, tornando assim as camadas acima independentes da rede utilizada. Os serviços prestados por esta camada podem ser tão simples como apenas realizar multiplexagem dos protocolos superiores sobre a mesma camada de rede (múltiplos protocolos superiores transportados sobre o mesmo protocolo de rede para o mesmo equipamento destino mas para aplicações distintas no destino), caso, por exemplo, do protocolo UDP (User datagram protocol), ou complexa o suficiente para

81 Introdução à comunicação de dados 75 disponibilizar, para além da multiplexagem antes referida, serviços de transferência de dados com garantia de entrega sem erro, possibilitando nomeadamente o controlo de fluxo e a garantia da sequência correta dos dados transportados nos vários segmentos formados nesta camada, caso, por exemplo, do protocolo TCP (Transmission control protocol) Camadas orientadas à aplicação As camadas orientadas à aplicação (sessão, apresentação, aplicação) são responsáveis pela comunicação entre aplicações a correr em dois equipamentos, pela compatibilidade entre formatos e pela interface com os utilizadores Modelo TCP/IP O modelo TCP/IP (Transport control protocol/internetwork protocol) é um modelo menos rígido mas funcionalmente equivalente ao modelo OSI. É formado por 4 camadas: camada de interface de rede (correspondente às camadas física e de ligação do modelo OSI); camada de Internet (camada de rede); camada de transporte (camada de transporte); camada de aplicação (camadas de sessão, apresentação e aplicação). Este modelo é anterior ao modelo OSI. Os capítulos correspondentes à segunda parte deste texto focarão especificamente a interface elétrica da camada física (secções 8 a ) e os algoritmos de deteção e correção de erros ao nível do bit (secção 3). Outros aspetos, como por exemplo o controlo de fluxo e de sequência, saem do contexto deste texto, devendo sendo abordados em unidades curriculares específicas de redes de computadores.

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83 Códigos de linha binários 77 8 Códigos de linha binários Os códigos de linha têm como objetivo transmitir informação digital (níveis lógicos e ) num canal de comunicação. Estes códigos encontram-se em banda de base, ou seja, são constituídos por níveis de tensão (ou corrente) que transitam de um modo descontínuo, ocupando uma zona do espetro em torno dos Hz. 8. Atributos dos códigos de linha Diferentes características do canal de comunicação, diferentes aplicações e requisitos de qualidade, levaram a desenvolver diferentes códigos de linha, com atributos diferentes. Quase sempre estes atributos estabelecem compromissos, no sentido em que tentar melhorar um dos atributos corresponde a piorar outro ou mesmo outros atributos. Os atributos mais importantes num código de linha são: 8.. Débito binário Numa transmissão binária em série o débito binário R b (número de bits transmitidos por segundo) corresponde ao inverso do tempo de cada bit T b (duração de cada símbolo binário), ou seja: R b. (8.) T b 8.. Energia média por bit e potência transmitida A energia é um recurso extremamente importante, do qual depende o valor a pagar à empresa fornecedora. Este torna-se ainda mais importante num mundo cada vez mais móvel, em que os equipamentos não estão ligados a tomadas (e.g. telefones móveis, computadores portáteis) mas são alimentados por baterias. Um maior consumo de energia corresponde assim à utilização de baterias de maior capacidade e portanto mais caras e mais pesadas e/ou a um menor tempo da sua duração. Também designado de linha de transmissão, dando origem ao termo código de linha.

84 78 Transmissão de dados Carlos Meneses A energia (normalizada) de cada símbolo é determinada por: E l T b s l t dt, l= ou, (8.) em que l representa o nível lógico ou e s l t a respetiva forma de onda. A energia média por bit, E b, corresponde à média ponderada pela probabilidade de cada nível lógico, p e p, respetivamente para o nível lógico e : E b p. (8.3) E pe Neste texto assume-se que os níveis lógicos são equiprováveis, ou seja, p =p =,5. Esta hipótese é suficientemente realista e simplifica a análise dos sistemas de comunicação. Nesta situação obtêm-se: E b E E. (8.4) A potência (normalizada) transmitida é definida por, S T E b EbRb. (8.5) Tb O valor da potência pode ser referenciado em valor absoluto, em dbw ou em dbm (Apêndice ) Largura de banda e eficiência espetral Qualquer canal de comunicação (secção 9) funciona numa banda de frequências limitada. Para evitar distorção da forma de onda o espetro do código de linha tem de estar contido na banda do canal de comunicação. Por outro lado, quando se pretende transmitir vários sinais digitais ao mesmo tempo no mesmo canal de comunicação, quanto menor for a largura de banda de cada sinal mais sinais se conseguem transmitir. A banda disponível no canal de comunicação aparece assim como um recurso de extrema importância, que deve ser bem administrado.

85 Códigos de linha binários 79 Como os códigos de linha têm transições bruscas entre níveis (descontinuidades), a sua largura de banda é infinita. Este problema e suas soluções serão abordados posteriormente (secção ), mas a largura de banda do código de linha, B, depende do número máximo de transições por segundo e deve ser a menor possível. T A eficiência espetral, medida de qualidade de como determinado código aproveita a largura de banda, correspondente à relação entre o débito binário e a largura de banda ocupada e é dada por: R b. (8.6) B T 8..4 Probabilidade de erro de bit Uma das características dos canais de comunicação é a presença de ruído, que pode levar a erros de bit entre o transmissor e o recetor. Um código de linha deve ser o mais imune possível ao ruído, ou seja, deve ser descodificado com o menor número de erros de bit. Deve-se então minimizar a probabilidade de erro de bit, BER, para uma dada relação sinal-ruído no canal de comunicação. A probabilidade de erro de bit é definida por: Número de bits errados BER, (8.7) Número de bits transmitidos em que, como qualquer estimativa estatística, se deve tender o número de bits transmitidos para infinito Componente DC Alguns canais de comunicação têm apenas acoplamento AC (corrente alternada), contendo condensadores em série que eliminam a componente DC (corrente contínua). Um canal típico com apenas acoplamento AC é a linha telefónica. Para transmitir neste tipo de canais o código de linha não pode apresentar componente DC, ou seja, o seu valor médio deve ser nulo, pois esta vai ser eliminada até chegar ao recetor. Também é de evitar componentes DC localizadas pois podem ser desvanecidas num tempo curto.

86 8 Transmissão de dados Carlos Meneses 8..6 Capacidade de deteção de erros de bit Alguns códigos são capazes de detetar erros de bit entre o transmissor e o recetor, ao restringir por regra a sequência de símbolos transmitidos. Se houver possibilidade de informar o transmissor destes erros os respetivos bits poderão ser retransmitidos. Esta capacidade, sem o envio de informação redundante, consegue diminuir a probabilidade de erro de bit sem aumentar o débito binário (a menos da informação retransmitida) Capacidade de sincronismo de símbolo De modo a que o recetor consiga extrair corretamente a informação, este tem de conhecer o instante de início e fim de cada símbolo (sincronismo de símbolo). Existem dois modos de transmissão: modo assíncrono e modo síncrono: O modo assíncrono de transmissão é utilizado tipicamente quando a geração da informação é aleatória e em pequena quantidade e exemplificado no fim desta secção. O modo síncrono de transmissão é utilizado para transmitir grande quantidade de informação (trama). No recetor, o relógio com informação de início e fim de cada símbolo (ou bit no caso da transmissão binária) tem que ser extraído do próprio código de linha, a partir das transições entre níveis. Esta capacidade deve ser independente da sequência de símbolos transmitidos. Idealmente, para que não haja perda de sincronismo, deve ser garantida uma transição por símbolo Complexidade Um código de linha deve ser fácil de realizar e de ser detetado, pois esta facilidade leva à utilização de equipamentos menos complexos que por sua vez se traduzem num custo menor. Por exemplo, os recetores que necessitem de sincronismo de símbolo e este não seja fácil de realizar são mais sofisticados e portanto mais dispendiosos. A necessidade de uma fonte de alimentação simétrica em vez de uma fonte com apenas uma polaridade pode também encarecer os equipamentos.

87 Códigos de linha binários 8 8. Formatos dos códigos de linha Quanto à polaridade os códigos de linha binários podem ser: () Polares (P), quando definidos por duas formas de onda simétricas; () Unipolares (U) quando um dos símbolos é definido pela tensão V; (3) Bipolares (B) quando definidos por 3 símbolos, sendo duas formas de onda simétricas e pela tensão V. Quanto à maneira como a informação é transmitida os códigos de linha podem ser: () de nível, quando a informação se encontra no nível de tensão; () de transição, quando a informação se encontra na transição entre níveis. Esta transição pode se dar entre símbolos ou a meio do símbolo. Salienta-se que na presença de ruído é mais fácil detetar transições do que níveis de tensão. Os códigos de linha podem ainda ser: () de retorno a zero (RZ Return to zero), normalmente a meio do bit, produzindo sempre pelo menos uma transição por símbolo de modo a facilitar o sincronismo; () sem retorno a zero (NRZ No return to zero), mantendo a mesma tensão durante todo o tempo de bit. Seguidamente descrevem-se alguns dos códigos de linha mais comuns, representados na figura Polar sem retorno a zero (PNRZ) Este é um código de nível em que o nível lógico é representado pela tensão +A e o nível lógico pela tensão A. Este código, ilustrado na figura 8.-a, é também designado por NRZ-L (level código de nível). O sincronismo de símbolo é conseguido através das transições que só ocorrem quando da troca de níveis lógicos, pelo que este pode ser perdido quando da transmissão de uma sequência longa de bits ao mesmo nível lógico. O número máximo de transições por segundo é de R b, ou seja, no máximo uma transição por símbolo. Esta situação dá-se quando se envia uma sequência alternada de níveis lógicos. Alguns autores referem-se à codificação bipolar como sendo aquela que neste texto, como referido também por outros autores, é referida como codificação polar.

88 8 Transmissão de dados Carlos Meneses Figura 8. Formas de onda dos códigos de linha mais comuns. Exemplo para a sequência binária. a) PNRZ b) PRZ c) UNRZ d) Manchester e) BNRZ f) NRZI g) Manchester diferencial. Se os níveis lógicos forem equiprováveis a componente DC é nula. Contudo, para uma sequência ao mesmo nível lógico suficientemente prolongada, existirá desvanecimento do sinal se o canal tiver acoplamento AC.

89 Códigos de linha binários 83 A potência deste código, independentemente da probabilidade de ocorrência de cada nível lógico, é A, obtendo-se para a energia média por bit de, E b S T A T. (8.8) T b b Um exemplo da transmissão com código PNRZ é a interface RS-3, usada para conectar numa rede local dois computadores, ou um computador e teclados, impressoras, modems, etc., com débitos binários até 5 kbit/s. 8.. Polar com retorno a zero (PRZ) Este código é semelhante ao PNRZ mas, como representado na figura 8.-b, é produzido um retorno a V a meio de cada bit. A vantagem deste código em relação ao PNRZ é serem produzidas sempre duas transições por bit, uma no início e outra a meio do símbolo, nunca se perdendo o sincronismo. O número de transições por segundo é assim de R b, independentemente da sequência de níveis lógicos. A potência deste código, independentemente da probabilidade de ocorrência de cada nível lógico, é A /, sendo a energia média por bit, E A. (8.9) b T b Este código pode ser considerado um código de transição, já que ao símbolo corresponde uma transição positiva no início do bit e negativa a meio do bit, tendo o símbolo as transições contrárias Unipolar sem retorno a zero (UNRZ) Este código é análogo ao PNRZ mas, como representado na figura 8.-c, o nível lógico é representado por V (também designado Unipolar NRZ-L. A vantagem principal é ser de fácil implementação, nomeadamente por necessitar apenas de uma fonte de alimentação. A grande desvantagem é ter sempre uma componente DC. Todas as outras características são idênticas às do código PNRZ. Aliás, este código pode ser interpretado como um código PNRZ ao qual foi adicionado uma componente DC, de

90 84 Transmissão de dados Carlos Meneses modo que o nível lógico seja representado por V. A energia do símbolo é A T b e a do símbolo é J. A energia média por bit é, para símbolos equiprováveis, dada pela equação 8.9. Este código é vulgarmente utilizado para interligar em paralelo (em bus normalmente com dimensão múltipla de um byte) componentes de um computador, tais como o microprocessador, a RAM e controladores. Outra norma utilizando o código UNRZ é o laço de corrente de ma. Esta utiliza ma de corrente ou a ausência de corrente como símbolos. A vantagem da utilização da corrente em vez de tensão é um aumento da distância possível entre equipamentos. A corrente poder ser utilizada no recetor para ativar um led que fará acoplamento ótico com um fototransístor, isolando eletricamente o transmissor do recetor Manchester Este código, também denominado de split-phase, é um código polar de transição entre níveis. Como representado na figura 8.-d, o nível lógico é representado pela transição a meio do tempo de bit da tensão A para +A e o nível lógico pela transição contrária. Dito de outra forma, o nível lógico é representado pela amplitude A na primeira metade do bit e por +A na segunda metade e o nível lógico pelas amplitudes simétricas. Como existe sempre uma transição a meio do bit o sincronismo de bit é facilitado. O número mínimo de transições por segundo é assim de R b. No máximo o número de transições é de R b, quando se envia uma sequência do mesmo nível lógico. Os símbolos não têm componente DC, pelo que o código não tem componente DC, seja qual for a sequência a ser transmitida e a probabilidade de ocorrência dos símbolos. A potência é também independente da probabilidade de ocorrência dos símbolos, sendo dada por A e a energia por bit é dada pela equação 8.8. Este código é utilizado por exemplo na norma IEEE 8.3 a Mbit/s, para interligar equipamentos de redes locais Ethernet.

91 Códigos de linha binários Bipolar Sem Retorno a Zero (BNRZ) Neste código de nível bipolar, o nível lógico é representado alternadamente pelas tensões +A e A, e o símbolo por V. Este código está ilustrado na figura 8.-e, em que se assume que o último nível lógico foi representado por A. Uma das principais vantagens deste código 3 é ter memória e ser possível detetar erros de bit quando da receção dos níveis lógicos que devem ocorrer no recetor com tensões alternadas. Violações a esta regra correspondem a erros de bit, levando a que erros isolados sejam sempre detetados. Outra vantagem deste código é a de ser insensível à polaridade. Pode-se inverter a polaridade do cabo de ligação entre os equipamentos transmissor e recetor que a informação continua a ser descodificada corretamente. Devido à alternância da polaridade no símbolo o código não produz componente DC nem sequer durações prolongadas à mesma tensão e portanto não sofre de desvanecimento. O número máximo de transições é de R b, o que acontece quando se transmitem apenas níveis lógicos a. A energia do símbolo é A T b e a do símbolo é J. A energia por bit é, para símbolos lógicos equiprováveis, dada também pela equação 8.9. Quando de um nível lógico existe sempre uma transição que permite o sincronismo de símbolo. Quando de uma sequência prolongada de níveis lógicos o sincronismo pode perder-se, pois de fato não há sinal na linha ( V). Em relação a este atributo o código BNRZ é mesmo assim melhor que os códigos PNRZ e UNRZ, que podem perder o sincronismo quando de uma sequência prolongada a qualquer nível lógico. Uma das maneiras de evitar a perda de sincronismo em BNRZ é produzir transições como se fossem transmitidos níveis lógicos, mas com violações que permitam ao recetor detetar esta situação e substituir por níveis lógicos. A esta 3 Também denominado pseudo-ternário pois tem 3 símbolos, embora a informação seja binária. Também denominado AMI (alternate mark inversion). Existe a versão deste código com retorno a zero (BRZ).

92 86 Transmissão de dados Carlos Meneses técnica dá-se o nome de bipolar com substituição de N zeros (BNZS Bipolar with N zero substitution), em que N é o número de níveis lógicos consecutivos a a ser substituídos. Exemplos comuns deste código são o B3ZS, B6ZS e B8ZS. O B6ZS tem a regra seguinte: Último símbolo transmitido positivo, transmite-se +A A A +A Último símbolo transmitido negativo, transmite-se A +A +A A Note-se que existem duas violações, no º e 5º símbolo. Se o número de zeros for múltiplo de 6 a substituição é efetuada o mesmo número de vezes. A utilização desta técnica não inibe a deteção de erros já que a probabilidade de ocorrência de uma substituição e de haver erros é muito pequena. Este código é utilizado por exemplo em ISDN ITU-T Rec. I.43 e na interligação entre centrais telefónicas por cabo de cobre Sem retorno a zero invertido (NRZI) O código NRZI parece ser idêntico ao PNRZ mas é um código de transição e não de nível como é o PNRZ. Representa um dos níveis lógicos invertendo o símbolo em relação ao último símbolo transmitido e o outro nível lógico corresponde a manter o último símbolo transmitido. Existem duas versões deste código: NRZ-M (inversão em mark), representado na figura 8.-f, em que o nível lógico é codificado com a inversão do símbolo e o nível lógico sem inversão; e NRZ-S 4 (inversão em space) em que o nível lógico corresponde a inverter o símbolo em relação ao último símbolo transmitido e o nível lógico corresponde a manter o último símbolo transmitido. Como o código BNRZ, este código também é insensível à polaridade, o que emerge do facto de a informação fluir na transição, independentemente de esta ser 4 Alguns autores estabelecem uma diferença entre o código NRZI e as suas variantes NRZ-M e NRZ-S, em relação à altura de ocorrência das transições.

93 Códigos de linha binários 87 positiva ou negativa. A potência é independente da probabilidade de ocorrência de cada símbolo e é dada por A, sendo a energia média por bit dada pela equação 8.8. O código NRZ-M tem sempre transições quando da codificação de bits ao nível lógico, mas pode perder o sincronismo quando é enviada uma sequência longa de bits ao nível lógico, acontecendo o oposto para o código NRZ-S. Como os códigos BNRZ, estes códigos diferenciais garantem então melhor sincronismo do que os códigos PNRZ e UNRZ. O código NRZI pode ser encarado como um código PNRZ em que a sequência binária b[n] é pré-codificada em a[n]=(a[n ] xor b[n]). No recetor esta pré-codificação é desfeita com a pós-descodificação c[n]=(a[n] xor a[n ]) (figura 8.), que se verifica ser igual a b[n]. b[n] Tb Z - PNRZ a[n] Tb c[n] - Z Pré-Codificação Pós-Descodificação Figura 8. Código de linha NRZI. PNRZ com pré-codificação e pós-descodificação Pré-codificação (a[n] = a[n ] xor b[n]). Pós-descodificação (c[n] = a[n] xor a[n ] = b[n]). Na tabela 8. é apresentado um exemplo da pré-codificação e da respetiva pós-descodificação do exemplo da figura 8.-f. b[n] a[n] = a[n ] xor b[n] c[n] = a[n] xor a[n ] = b[n] Tabela 8. Pré-codificação e pós-descodificação em NRZI. Exemplo correspondente ao da figura 8.-f). Um exemplo da transmissão com código NRZ-S é a interface de computador USB, usada para conectar periféricos.

94 88 Transmissão de dados Carlos Meneses 8..7 Manchester diferencial Os códigos, como o código NRZI, em que os níveis lógicos são codificados invertendo ou não o símbolo anterior são genericamente denominados de códigos diferenciais. Têm como principais vantagens serem insensíveis à polaridade e tornar os recetores menos complexos, já que, na presença de ruído, é mais robusto detetar transições do que comparar com um limiar. Um código diferencial bastante comum é o código Manchester diferencial, representado na figura 8.-g, em que o nível lógico é codificado invertendo o símbolo anterior e o nível lógico corresponde a manter o símbolo anterior. Como consequência não existe transição no início dos símbolos correspondentes ao nível lógico e existe sempre transição quando se transmite o nível lógico. Este código contempla todas as características do código Manchester, realçando-se pela positiva a facilidade de sincronismo de bit e adicionando-lhe as vantagens de um código diferencial, e pela negativa uma maior largura de banda. Exemplos da utilização do código Manchester diferencial são a norma IEEE 8.5 de redes locais a Mbit/s e o armazenamento em discos magnéticos e óticos. 8.3 Sincronismo de símbolo Uma das principais dificuldades na comunicação digital é a necessidade do recetor ter conhecimento do início e fim de cada símbolo (bit no caso de transmissão binária), de modo a o poder descodificar. Os códigos Manchester e RZ exibem sempre uma transição por bit, que pode ser usado no recetor para ressincronizar um relógio e deste modo nunca se perder o sincronismo, mas à custa de um aumento da largura de banda. Para os outros códigos são apresentados seguidamente dois métodos de sincronismo Bit de enchimento Relembre-se que os códigos PNRZ e UNRZ podem perder o sincronismo quando envida uma sequência longa de bits ao mesmo nível lógico, e no código NRZI

95 Códigos de linha binários 89 esta situação acontece quando do envio de uma sequência longa de bits ao nível lógico. Para evitar a perda de sincronismo quando destas sequências longas, coloca-se um bit de enchimento que imponha uma transição (bit stuffing). Este bit é descartado no recetor, servindo no entanto a sua transição para efetuar o sincronismo, sem aumentar o número máximo de transições e consequentemente a largura de banda. Como desvantagem da introdução do bit de enchimento, esta provoca um aumento artificial do débito binário, o que não acontece com a utilização da técnica BNZS em códigos BNRZ. Por exemplo na interface USB que funciona com o código NRZI, de modo a nunca perder o sincronismo, para uma sequência de 6 bits ao nível lógico é colocado um sétimo bit ao nível lógico. Mas como a probabilidade da ocorrência de 6 bits consecutivos ao nível lógico é pequena (/64 para sequências equiprováveis), este método consegue garantir o sincronismo de símbolo com a introdução de muito poucos bits de enchimento Modo de transmissão assíncrono Para distâncias curtas em que o canal de comunicação é um cabo elétrico, nomeadamente na transmissão numa mesma sala, é possível transmitir num segundo condutor a informação do relógio do transmissor para sincronismo do recetor. Contudo existe um outro método para resolver o sincronismo de símbolo que evita a transmissão do relógio, denominado de modo de transmissão assíncrono. O modo de transmissão assíncrono é utilizado também em distâncias curtas, mas especialmente quando a geração da informação é aleatória e em pequena quantidade. É exemplo a geração de informação num teclado e transmitido para um computador, em que cada carácter é representado por um código, por exemplo o código ASCII (American standards committee for information interchange) de 7 bits. O processo de transmissão assíncrono é exemplificado na figura 8.3 com o código de linha PNRZ e para a tecla B, a que corresponde a sequência binária em ASCII. Entre o premir de duas teclas não há informação transmitida e a linha fica inativa (idle), representado pela tensão +A. Quando uma tecla é premida é gerado um bit de início (start bit) à tensão A. Esta transição da linha inativa para o bit

96 9 Transmissão de dados Carlos Meneses de início desencadeia o sincronismo de símbolo, que não é perdido se for transmitido apenas um carácter (total bits). O início de sincronismo corresponde a iniciar um relógio a uma frequência mais alta que o débito binário (tipicamente 6 ou 3 vezes maior), para que a meio de cada bit se verifique o valor do nível lógico. Figura 8.3 Exemplo de transmissão assíncrona com código de linha PNRZ para o carácter B, utilizando código ASCII. Começa-se com um bit de início com polaridade contrária ao estado inativo, de modo a sincronizar o relógio. São depois enviados os 7 bits de informação começando pelo bit menos significativo. Segue-se um bit de paridade e termina-se com o bit de fim à mesma polaridade do estado inativo. A seguir ao bit de início são enviados os 7 bits correspondentes ao código ASCII da tecla premida, começando pelo bit menos significativo (LSB). Pode ainda ser transmitido um bit de paridade de modo que o conjunto de 8 bits (byte) transmitidos contenha um número par de bits com nível lógico (paridade par) ou ímpar (paridade ímpar). Este bit serve para detetar erros de bit. Finalmente é enviado um ou mais bits de fim de carácter (stop bit). A transmissão assíncrona é também utilizada para transmitir informação de um conjunto de caracteres, por exemplo para impressoras. Neste caso a informação não é gerada aleatoriamente mas a seguir ao bit de fim de carácter é enviado o bit de início de novo carácter, sincronizando novamente o relógio. O fim da transmissão corresponde ao envio do carácter especial ASCII EOT (end of text). Numa transmissão assíncrona o número de bits de informação, a existência ou não de bit de paridade e o número de bits de fim de carácter têm que estar pré-determinados. Os bits de início e fim de carácter correspondem a cerca de % dos bits transmitidos, sendo esta a sua principal desvantagem, quando transmitidas seguidamente grandes quantidades de informação.

97 Canal de comunicação 9 9 Canal de comunicação O canal de comunicação é o meio físico que liga os equipamentos na camada física do modelo OSI. O canal tem quatro características que afetam o desempenho dos sistemas de comunicação, pois diminuem a capacidade do recetor de descriminação dos símbolos: () o ruído, que altera o sinal de modo aleatório; () a largura de banda, que para que não haja distorção tem de ser maior que a largura de banda do sinal transmitido; (3) a resposta em frequência, que provoca diferentes atenuações e atrasos do sinal ao longo da banda; (4) e a dimensão, que atrasa e atenua os sinais e portanto os níveis de tensão que chegam ao recetor. 9. Canal AWGN de banda limitada Independentemente do meio de transmissão (cabo elétrico, fibra ótica, canal rádio) o modelo do canal adotado neste texto é apresentado na figura 9.. À sua entrada encontra-se o sinal de saída do transmissor e à sua saída o sinal de entrada do recetor. Figura 9. Modelo do canal AWGN com filtragem passa-baixo. O canal adiciona ruído gaussiano e branco ao sinal de entrada. Tem uma característica passa-baixo com ganho Hc() e largura de banda Bc. Para simular um canal passa-banda o filtro deve ser do tipo passa-banda. O filtro modela a banda do canal (frequência de corte do filtro) e a atenuação (ganho na zona passante), tornando o canal de banda limitada. O filtro que modela a banda do canal é do tipo passa-baixo, adequado aos códigos de linha, mas poderia modelar um canal do tipo passa-banda (modulações). É ainda adicionado ruído branco e gaussiano, pelo que o canal toma a designação de canal AWGN (Additive white

98 9 Transmissão de dados Carlos Meneses gaussian noise). O ruído branco é caracterizado por ter uma função densidade espetral de potência constante ao longo de uma larga gama de frequências (No/ tem dimensão W/Hz ou J). O termo branco provém da analogia com a luz branca, que teoricamente contem todas as frequências e com igual energia. A causa do ruído é o movimento aleatório das partículas elétricas devido à temperatura (ruído térmico). 9. Relação sinal-ruído e relação Eb/No O ruído gaussiano é caracterizado por ter uma distribuição de amplitudes que segue uma distribuição normal (gaussiana), com média nula. A variância corresponde à potência do ruído. Sendo o ruído branco, ocupa uma largura de banda infinita e a sua potência é teoricamente infinita. Este modelo idealizado é válido desde que a função densidade espetral de potência do ruído tenha uma característica plana na banda do sinal transmitido, já que este deve ser filtrado à entrada do recetor com um filtro com essa banda passante. Assumindo um código de linha, este filtro é do tipo passa-baixo com largura de banda B T. A distribuição do ruído nesta banda é também normal (Apêndice ) com potência c, N c (BT ) NBT. (9.) A relação entre a potência do sinal à saída do canal e a potência do ruído na banda do sinal, ou seja, a relação sinal-ruído à entrada do recetor, tendo em conta as equações 8.5, 8.6 e 9., é determinada por: SNR c SR SR Eb Rb Eb, (9.) N B N B N c T T sendo E b a energia média por bit à entrada do recetor, após filtragem. A relação entre a energia média por bit e a densidade espectral de potência do ruído E b N é uma medida da qualidade da comunicação digital, sendo a probabilidade de erro de bit função deste valor, pelo que se torna ainda mais importante que a relação sinal-ruído. A relação sinal ruído e a relação E b N são normalmente representados em decibéis.

99 Canal de comunicação Canal sem distorção Para que um sinal possa ser transmitido, a largura de banda do sinal, que no máximo igual à largura de banda do canal, B, tem T BT B C. (9.3) Além de seguir a equação 9.3, de modo a que o sinal chegue ao recetor sem distorção, o sinal a transmitir apenas pode ser multiplicado por um fator de escala G (correspondente ao ganho do filtro H ( c ) no modelo da figura 9.) e sofrer um atraso constante t d. A atenuação corresponde a uma perda de energia, contribuindo para aumentar a probabilidade de erro de bit. Um atraso constante não é significativo porque existem no recetor circuitos de recuperação do relógio síncronos com o sinal recebido. Em comunicação bidirecional, contudo, um atraso longo é psicologicamente incómodo. Na banda do sinal a transmitir o canal não pode portanto ter diferentes ganhos ou provocar diferentes atrasos função da frequência. O sinal de saída do canal, sem a influência do ruído, tem por isso que ser descrito por: S R t Gs t t. (9.4) T d Tendo em conta as propriedades da linearidade e deslocamento no tempo da Transformada de Fourier, o espetro do sinal recebido é descrito por: A resposta em frequência do canal, é descrita por, H c f S R jftd f GS f e S S. (9.5) f f T H c f, até à largura de banda do sinal, B, T R jft Ge d, T T f B. (9.6) Para que não haja distorção de amplitude, H c ( f ) G, f BT. (9.7)

100 94 Transmissão de dados Carlos Meneses Para que não haja distorção de fase, arg H ( f ) t f c, f BT, (9.8) d em que t d é denominado atraso de grupo, definido como o simétrico da derivada da fase em relação à frequência angular. Canais reais, contudo, podem provocar distorção quer de amplitude quer de fase. Neste caso é necessário que, à entrada do recetor, se coloque um equalizador. Este tem como função garantir que o sistema resultante (canal mais equalizador) não provoque distorção de amplitude nem de fase, ou seja, o produto da resposta em frequência do canal de comunicação com a resposta em frequência do equalizador, H e ( f ), cumpra os requisitos da equação 9.7 e 9.8: Hc( f ) He( f ) argh c( f ) He( f ) G t d f, f BT. (9.9) 9.4 Atenuação Devido à dimensão do canal o sinal é atenuado (termo G da equação 9.6 ou ganho do filtro H ( c ) no modelo da figura 9.), sendo a atenuação correspondente à relação entre a potência transmitida e recebida (sem ruído): ou, em decibéis, At db S S T At, (9.) R S T log loghc() S. (9.) R A atenuação depende da distância, podendo o canal ser caracterizado em decibéis por quilómetro, At db At db/ km, (9.) D sendo D o comprimento do canal.

101 Canal de comunicação 95 As equações 8.3, 8.4, 8.5 e as que relacionam a potência do sinal com a energia média por bit e a amplitude do sinal são válidas também à entrada do recetor, desde que se utilize a respetiva potência recebida S. Embora a notação para a energia média por R bit e para a amplitude utilizada neste texto seja a mesma à entrada e saída do canal, esta ambiguidade deve ser resolvida do contexto em que os sinais se aplicam. 9.5 Atraso O atraso de uma transmissão define-se como o tempo entre o início da transmissão e o momento que todos os dados estão presentes no recetor. Para além do tempo de processamento dos equipamentos, existem essencialmente dois tipos de atrasos: o atraso de propagação e o atraso de transmissão. Atraso de propagação Define-se atraso de propagação ao tempo que um sinal leva a atravessar o canal de comunicação. Este depende do comprimento do canal e da velocidade de propagação no meio de transmissão. A velocidade de propagação no meio de transmissão é dada por, C vi, (9.3) n i em que n i é o índice de refração do meio e C a velocidade de propagação da luz no vácuo (3. km/s). O atraso de propagação depende da velocidade de propagação no meio e da sua dimensão, sendo dado por, D Tp. (9.4) v i Quanto maior a dimensão do canal maior é o atraso de propagação. No vácuo, a luz demora 3,3(3) s a percorrer um quilómetro, sendo normal caraterizar um meio de transmissão através deste parâmetro.

102 96 Transmissão de dados Carlos Meneses Atraso de transmissão Nas redes de computadores os bits são normalmente enviados em pacotes de N bits. Define-se tempo de transmissão de um pacote como o tempo que o transmissor demora a colocá-lo no canal, T t N NTb. (9.5) R b O atraso de transmissão é relevante para débitos binários baixos enquanto o atraso de propagação é relevante para canais de grande dimensão. Para canais de dimensão e débito binário elevados o atraso dominante é o atraso de propagação. Pelo contrário, para canais de pequena dimensão e baixo débito binário é o atraso de transmissão o dominante. O atraso total, correspondente à soma dos diversos atrasos, pode ser um problema grave principalmente em aplicações interativas bidirecionais, como é o caso do telefone ou jogos online. 9.6 Meios de transmissão Os canais de comunicação são compostos por um ou mais meios de transmissão diferentes em série, cada um com características distintas. Seguidamente caracterizam-se sucintamente alguns dos principais meios de transmissão, sendo a largura de banda, a atenuação e o atraso de propagação típicos de cada um dos meios de transmissão caracterizados, apenas como ilustração, na tabela 9.. Cabo de par trançado Os cabos de par trançado são constituídos por dois condutores de cobre enrolados em espiral, para, através do efeito de cancelamento, reduzir o efeito das interferências eletromagnéticas. A velocidade de propagação é de cerca de 75. km/s, a que corresponde um atraso de propagação de 5,7 s/km. Um das suas aplicações é o canal telefónico, construído de modo a transmitir sinais de fala entre dois pontos. Este canal tem um ganho praticamente constante entre os 3 e os 3.3 Hz, capaz de transmitir fala percetível. Embora com maior atenuação que na zona do sinal de fala, este canal é também utilizado até aos, MHz, na transmissão de sinais digitais baseado em ADSL+ (Asymmetric digital subscriber line).

103 Canal de comunicação 97 Cabo coaxial Os cabos coaxiais são constituídos por um condutor interno de cobre, coberto por um isolante. Uma malha exterior, também em cobre, atua como segundo condutor. Um segundo isolante protege todo o cabo. A largura de banda deste meio de transmissão é superior ao do cabo trançado. A velocidade de propagação é de cerca de 5. km/s, a que corresponde um atraso de propagação de 4 s/km. Uma utilização típica dos cabos coaxiais é a ligação entre equipamentos numa rede local. Outra é a transmissão de sinais de TV analógicos que podem coexistir com sinais digitais no fornecimento de televisão por cabo. Fibra ótica As fibras óticas transportam sinais de luz de um ponto para outro. A sua grande vantagem é uma elevada largura de banda aliada a uma pequena atenuação. A largura de banda depende da distância percorrida (ao contrário dos outros meios de transmissão) pois esta aumenta a dispersão dos impulsos de luz. É ainda imune a interferências eletromagnéticas tendo um tamanho e peso pequenos. A velocidade da luz na fibra é cerca de. km/s, sendo o atraso de propagação de cerca de 5 s/km. As fibras óticas são largamente utilizadas na transmissão digital de informação, quer na ligação entre centrais e operadores quer no fornecimento de serviços integrados (Internet, televisão, voz). Canal rádio Os canais de comunicação que empregam a transmissão rádio utilizam o espaço livre como meio de propagação de ondas eletromagnéticas. Têm uma característica passa-banda, servindo para transmitir sinais modulados (áudio, televisão) ou para dar mobilidade à rede telefónica e às redes de computadores. Pode sofrer de receção multipercurso devido a reflexões em obstáculos. O atraso de propagação num canal rádio é praticamente igual ao da luz, 3,3(3) s/km. Satélite Um satélite geoestacionário encontra-se perto da linha do equador, a uma distância de cerca de 36. km, de modo a que as forças centrifuga e centrípeta se anulem. Uma ligação via satélite funciona com frequências mais elevadas que a transmissão rádio normal, dado que tem que transpor a ionosfera, o que se dá

104 98 Transmissão de dados Carlos Meneses apenas acima dos 4 MHz. A velocidade de propagação é praticamente igual à velocidade da luz, pelo que o atraso de propagação do sinal para percorrer duas vezes (ida e volta) a distância da terra ao satélite é de,4 s. Os satélites são usados como retransmissores de modo a cobrir uma grande área para difundir sinais de televisão ou efetuar ligações intercontinentais de voz ou televisão. São também utilizados no fornecimento de serviços integrados. Meio de Transmissão Banda [MHz] Atenuação [db/km] Atraso de propagação [s/km] Par trançado classe A, 8,3 5,7 Par trançado classe C 6 3 5,7 4 Cabo coaxial RG (comp. onda 85 nm) 5 Fibra ótica (comp. onda.3 nm) 3 x km,3 5 (comp. onda.55 nm), 5 Rádio, a ,3(3) Satélite 3 a ,3(3) Tabela 9. Características de diversos tipos de meios de transmissão. Os valores apresentados são meramente ilustrativos. Nas próximas secções serão apresentadas soluções para minimizar os efeitos da largura de banda e da adição de ruído gaussiano no canal comunicação, utilizando o modelo do canal AWGN apresentado na figura 9.. Equalizadores, para resolver o efeito da distorção de amplitude e fase, não serão abordados.

105 Densidade Espectral de Potência Largura de banda 99 Largura de banda Todos códigos de linha têm uma largura de banda infinita, imposta por transições instantâneas entre variações de nível de tensão. Na figura. são esboçadas as funções densidade espetral de potência para os diversos códigos apresentados na secção 8, sendo as respetivas equações apresentadas no Apêndice 7. Assume-se que os níveis lógicos são equiprováveis, a sua geração independente e que a potência é de W. Não são apresentados os códigos NRZI e Manchester diferencial, que neste contexto são idênticos respetivamente aos códigos PNRZ e Manchester..75 PNRZ BNRZ Manchester PNRZ PRZ UNRZ Manchester BNRZ.5 PRZ.5 UNRZ f /Rb Figura. Funções densidade espetral de potência dos diversos códigos de linha. Assume-se para todos os códigos uma potência de W (e não a amplitude), geração independente e equiprovável dos níveis lógicos.. Interferência intersimbólica Utilizando canais de banda limitada, como o canal descrito na secção 9, as transições instantâneas dos códigos de linha transformam-se em variações lentas que interferem com os símbolos subsequentes. A esta distorção dá-se o nome de interferência intersimbólica (ISI Intersymbolic interference). Existem dois critérios para lidar com a interferência intersimbólica e definir a largura de banda do sinal transmitido, apresentados seguidamente: o critério do primeiro zero espetral e o critério de Nyquist.

106 Transmissão de dados Carlos Meneses. Critério do primeiro zero espetral Como se pode verificar na figura., as funções densidade espetral de potência vão tendendo para zero (segundo o quadrado de uma função sinc) à medida que a frequência aumenta, mais rapidamente quando o primeiro zero se situa em R b (PNRZ, UNRZ, BNRZ e NRZI) e mais lentamente quando este se situa em R b (PRZ, Manchester). Um critério de determinação da largura de banda corresponde a considerar que a maior parte da potência do sinal está contida até à frequência do primeiro zero espetral (first null bandwidth) assumindo ser esta a largura de banda. De facto, para qualquer dos códigos apresentados, esta potência é no mínimo 9% do valor total. Assume-se que uma largura de banda superior à do primeiro zero espetral não produz uma distorção devida à interferência intersimbólica suficiente para que o recetor deixe de reconhecer o símbolo. É tipicamente esta a situação na transmissão assíncrona, de baixo débito binário, em que o canal tem uma dimensão de apenas alguns metros e a sua largura de banda é mesmo bastante superior ao débito binário..3 Critério de Nyquist Uma solução para evitar a interferência intersimbólica é assumir que em pelo menos um instante por símbolo o sinal à entrada do transmissor tem de passar exatamente pelo valor desejado, ao mesmo tempo que se limita a largura de banda. Se a largura de banda do canal de comunicação for maior que a limitação de banda imposta pelo transmissor o sinal não é distorcido. Nesta análise considera-se o canal ideal até à largura de banda imposta pelo transmissor. Este método de evitar a interferência intersimbólica obriga a uma formatação dos pulsos correspondentes aos símbolos (pulse shaping) no transmissor, já que estes deixam de apresentar transições bruscas para apresentarem transições suaves. Por exemplo no caso do código PNRZ, basta garantir um instante a meio dos símbolos de zero de ISI ( A conforme o nível lógico), sem ser determinante a evolução entre estes instantes. Este método de determinar a largura de banda denomina-se de critério de Nyquist.

107 Largura de banda.3. Filtro ideal Existe uma infinidade de pulsos capazes de corresponder ao critério de Nyquist. Para se obter o pulso a que corresponde a menor largura de banda relembre-se que, pelo teorema de Nyquist-Shannon, um sinal deve ser amostrado com uma frequência igual (ou superior) a duas vezes a sua largura de banda e que o sinal é recuperado sem erro por filtragem passa-baixo ideal com frequência de corte igual a metade da frequência de amostragem. Deste modo, assumindo um instante de zero de ISI a meio de cada símbolo, gera-se uma amostra por símbolo e são consequentemente geradas R b amostras por segundo. Filtrando esta sequência de amostras à frequência R b / produz-se um sinal com esta largura de banda, pelo que, Rb BT. (.) O critério de Nyquist pode ser visto então como o dual do teorema de Nyquist-Shannon. Cada símbolo passa a ser definido por pulsos, que em PNRZ são positivos ou negativos conforme o nível lógico correspondente, e que têm a forma da resposta impulsiva do filtro passa-baixo (Transformada de Fourier inversa de um retângulo, correspondente ao filtro ideal): p t AsincR t. (.) b Na figura. é apresentada a forma de onda com formatação de pulsos do sinal para a sequência binária em PNRZ, com amplitude A= V. O pulso toma, como se pretende, o valor ±A para t= e nos instantes múltiplos de T b, ou seja, para t= T b, T b,, não interferindo nos instantes de amostragem dos outros símbolos. Verifica-se que apesar das variações lentas o código toma os valores A nos instantes de zero de ISI (a meio do símbolo).

108 Transmissão de dados Carlos Meneses, ,, -, t /Tb -, Figura. Resposta do filtro ideal de formatação de pulsos para o código de linha PNRZ. com A= V, tendo como entrada a sequência binária. Na figura.3 é apresentada a cadeia transmissor canal recetor, em que à saída do transmissor é colocado o filtro de formatação de pulsos. Para que não haja distorção no canal este deve ter uma largura de banda superior à largura de banda dos códigos de linha após a formatação. O recetor pode amostrar o sinal a meio dos símbolos nos instantes de zero de ISI tomando a decisão sobre o nível lógico correspondente. Para tal é necessário sincronismo de símbolo no recetor. Figura.3 Transmissão de códigos PNRZ com formatação de pulsos por filtro ideal. O sinal transmitido é filtrado no transmissor de modo a limitar a largura de banda, mas criando um ponto de zero de interferência intersimbólica. Este ponto pode servir no recetor para tomar uma decisão sobre qual o bit enviado. É contudo impossível realizar uma filtragem passa-baixo ideal e possíveis aproximações são não causais e com a cauda da função sinc correspondente à resposta impulsiva exibindo um decaimento lento, criando maior atraso e sendo difíceis de realizar.

109 Largura de banda 3.3. Filtro de cosseno elevado A filtragem ideal para zero de ISI pode ser alterada de modo a que a resposta ao impulso mantenha o termo da equação. e portanto continue a seguir o critério de Nyquist, com um fator que torne a resposta em frequência mais suave, logo mais fácil de realizar. O pulso toma a forma: p t cos Rbt AsincRb t, (.3) R t b em que é denominado fator de rolloff, variando entre e. Este pulso é apresentado na figura.4-a e a respetiva resposta em frequência na figura.4-b, para diversos valores do fator de rolloff. Como se pretende, quanto maior for o fator de rolloff mais depressa decai a cauda da função sinc correspondente à resposta impulsiva, produzindo menor atraso e sendo mais fácil de realizar. p (t ) = P (f ) /Rb = =,5 = =,5 = t /Tb ,3,5,5,75 f /Rb (a) Figura.4 Filtro de cosseno elevado. (a) Pulsos de formatação de pulsos para diversos valores de. (b) Respetiva resposta em frequência. (b)

110 4 Transmissão de dados Carlos Meneses A resposta em frequência tem a forma de um cosseno elevado, dando o nome ao filtro respetivo (raised cosine filter). Esta é dada por: P f Rb Rb cos Rb f Rb Rb f R b b f Rb f R. (.4) Este filtro continua a ser do tipo passa-baixo e produz sinais com uma largura de banda dada por: Rb B T, (.5) que é tanto maior quanto maior for o fator de rolloff. Tomando = obtêm-se a filtragem ideal e, no outro extremo, com =, duplica-se a largura de banda. Na figura.5 é apresentada a forma de onda do sinal para a sequência binária em PNRZ, com amplitude A= V. Pode-se verificar que apesar das variações lentas o código toma o valor de A nos instantes de zero de ISI (a meio do símbolo), independentemente do valor do fator de rolloff. O filtro ideal (=) tem como vantagem impor uma menor largura de banda, mas esta é a única vantagem em relação ao filtro de cosseno elevado. Para além do maior atraso e da dificuldade de realização devido à maior energia da cauda da função sinc, outra desvantagem do filtro ideal advêm do facto de que a sua resposta impulsiva manifesta uma grande variação no instante de zero de ISI nos símbolos adjacentes, correspondendo às passagens por zero da função sinc. Esta característica torna o filtro sensível a erros de sincronismo de símbolo no recetor, já que uma pequena variação no instante de amostragem corresponde a obter um valor bastante diferente do desejado. Com o aumento do fator de rolloff, como se pode verificar nas figuras.4 e.5,

111 Largura de banda 5 provoca-se menor variação do sinal, sendo mais robusto na presença de erros de sincronismo de símbolo no recetor. Também se pode verificar da comparação das figuras.5-a e.5-b que com = as passagens por zero do sinal formatado coincidem com as do sinal original, ao contrário do que acontece com fatores de rolloff mais pequenos, facilitando o sincronismo de símbolo., ,, -, t /Tb -, (a) =,5, ,, -, t /Tb -, (b) = Figura.5 Resposta do filtro de formatação de pulsos para o código de linha PNRZ A= V, tendo como entrada a sequência ; (a) =,5; (b) =. Verifica-se que quanto maior for o fator de rolloff menor é a energia da cauda da função sinc e as passagens por zero do sinal aproximam-se das do sinal original. A maior robustez a erros de sincronismo, menor atraso e maior facilidade de realização do filtro tem como contrapartida um aumento da largura de banda, sendo a escolha do fator de rolloff claramente um compromisso entre estes atributos.

112 6 Transmissão de dados Carlos Meneses.3.3 Largura de banda e eficiência espetral Para os códigos de linha sem retorno a zero (PNRZ, UNRZ e BNRZ) a largura de banda é dada pela equação.5, pois sendo códigos em que a tensão se mantêm fixa durante todo o tempo de bit necessita apenas de um instante de zero de ISI por bit (abertura da função sinc na origem de T b ). Note-se que todos estes códigos têm um número máximo de transições por segundo de equação 8.6, vem: R b. A eficiência espetral, dada pela R B b T. (.6) No caso dos códigos de linha PRZ e Manchester, estes são definidos por dois níveis de tensão por símbolo, pelo que têm um número máximo de transições por segundo de Rb. Necessitam para cada um destes níveis de um instante de zero de ISI, pelo que o símbolo é definido por dois pulsos que têm uma abertura de apenas T b, pelo que a sua largura de banda vem o dobro da produzida pelos códigos sem retorno a zero: B. (.7) T R b A eficiência espetral vem: R B b T. (.8) Para códigos de linha binários a melhor eficiência espetral é de bits por segundo por Hertz, obtido para códigos NRZ com fator de rolloff de. A pior situação corresponde a uma eficiência espetral de,5 bits por segundo por Hertz, obtido para códigos RZ e Manchester com fator de rolloff de. Note-se que, para qualquer código de linha, a largura de banda é proporcional ao número máximo de transições por segundo. Este valor corresponde exatamente à largura de banda máxima pelo critério de primeiro zero espetral e à pior situação (=) usando o critério de Nyquist.

113 Largura de banda 7.4 Padrão de olho Existem essencialmente duas causas, no canal de comunicação, que levam ao aumento da BER num sistema de comunicação: () a interferência intersimbólica; () e o ruído no canal. A influência destes dois factos pode ser aferida visualmente através do padrão de olho (eyes pattern). O padrão de olho tem o aspeto corresponde à figura apresentada por um osciloscópio, tendo como sinal de entrada o sinal recebido s R t e sincronizado no início do símbolo, mas em que a luminosidade de cada varrimento não desaparece. Este tem a aparência de um olho (ou dois caso o varrimento corresponda a dois bits), que está tanto mais aberto quanto melhor for o desempenho do sistema. Na figura.6 é apresentado um padrão de olho de um código de linha PNRZ sem formatação de pulsos, em que o canal não tem ruído e a largura de banda corresponde à do primeiro zero espetral ( B R ). T b Padrão de Olho Canal passa-baixo Bc=Rb Pn=. Watt Figura.6 Padrão de olho com bits consecutivos e varrimento do código de linha PNRZ. Canal sem ruído, do tipo passa-baixo de ª ordem, com B c =R b (primeiro zero espetral). O eixo das abcissas está normalizado em múltiplos de T b. Os instantes de deteção correspondem a.5 e.5.

114 8 Transmissão de dados Carlos Meneses Pode-se verificar a interferência intersimbólica correspondente à transição lenta entre símbolos, mas o sinal a meio do bit, aonde se dá a deteção no recetor, está perto do nível correto. Na figura.7 é apresentado um padrão de olho para o mesmo código da figura.6, mas de modo a se verificar o efeito da interferência intersimbólica o canal tem metade da largura de banda exigida pelo critério do primeiro zero espetral. O olho apresenta-se mais fechado devido às transições mais lentas entre símbolos, diminuindo a qualidade da comunicação e estando sujeito mais facilmente a erros de bit. Comparando as figuras.6 e.7, verifica-se que quanto maior for a largura de banda do canal mais aberto se apresenta o olho e o pulso aproxima-se do pulso original sem interferência intersimbólica. Esta melhoria contudo é conseguida através do aumento da largura de banda. Padrão de Olho Canal passa-baixo Bc=Rb/ Pn=. Watt Figura.7 Padrão de olho com bits consecutivos de um código de linha PNRZ. Canal passa-baixo de ª ordem, com B c =R b / e sem ruído. De modo a verificar o efeito do ruído é apresentado na figura.8 um padrão de olho para o mesmo código e o mesmo canal da figura.6 (B c =R b ), mas com uma relação sinal-ruído de 3 db. Pode-se verificar também o fecho do olho, mas agora

115 Largura de banda 9 devido ao ruído e não devido ao efeito a interferência intersimbólica. Na figura.9 é apresentado o efeito conjunto da ISI e do ruído. Padrão de Olho Canal passa-baixo Bc=Rb Pn=.5 Watt Figura.8 Padrão de olho com bits consecutivos de um código de linha PNRZ. Canal passa-baixo de ª ordem, com B c =R b e 3 db de SNR. Padrão de Olho Canal passa-baixo Bc=Rb/ Pn=.5 Watt Figura.9 Padrão de olho com bits consecutivos de um código de linha PNRZ. Canal passa-baixo de ª ordem, com B c =R b / e 3 db de SNR.

116 Transmissão de dados Carlos Meneses Na figura. é apresentado o padrão de olho para um código PNRZ com formatação de pulsos para =. Pode-se verificar que a meio do bit não existe interferência intersimbólica. Contudo, com ruído, como apresentado na figura., o olho fecha-se deteriorando a qualidade da transmissão..5 Padrão de Olho rolloff= Pn=. Watt Figura. Padrão de olho com bits consecutivos de um código de linha PNRZ. Formatação de pulsos com fator de rolloff = e sem ruído..5 Padrão de Olho rolloff= Pn=.5 Watt Figura. Padrão de olho com bits consecutivos de um código de linha PNRZ. Formatação de pulsos com fator de rolloff = e 3 db de SNR.

117 Largura de banda Na figura. é apresentado o padrão de olho correspondente ao da figura. mas com =. A variação a meio do bit não é tão acentuada, sendo mais robusto em relação a erros de sincronismo. Contudo o sinal tem o dobro da largura de banda. Na figura.3 ilustra-se o padrão de olho correspondente ao da figura. mas com 3 db de relação sinal-ruído..5 Padrão de Olho rolloff= Pn=. Watt Figura. Padrão de olho com bits consecutivos de um código de linha PNRZ. Formatação de pulsos com fator de rolloff = e sem ruído..5 Padrão de Olho rolloff= Pn=.5 Watt Figura.3 Padrão de olho com bits consecutivos de um código de linha PNRZ. Formatação de pulsos com fator de rolloff = e 3 db de SNR.

118

119 Recetor ótimo 3 Recetor ótimo Num canal de comunicação AWGN, ao sinal transmitido é adicionado ruído branco e gaussiano. Esta situação é ilustrada na figura. para a mesma sequência binária da figura. e.5, com código PNRZ. São exemplificadas as situações sem formatação de bit, com formatação de bit com fator de rolloff, =, com e sem ruído., ,, -, t /Tb -, Figura. Código PNRZ com ruído. Sequência em PNRZ com A= V, =, ao qual foi adicionado ruído gaussiano. Caso a deteção fosse efetuada por comparação num ponto intermédio entre os níveis lógicos (= volt), pode-se verificar no bit 5 um erro devido ao ruído. À entrada do recetor deve ser colocado um filtro passa-baixo que deixe passar o sinal mas que corte o ruído fora da sua banda, tendo por isso uma largura de banda Como deduzido adiante, a estimativa da probabilidade de erro de bit depende da relação entre a energia média por bit e a densidade espetral de potência do ruído, E b N B. T. Esta relação não tem em conta a eficiência espetral mas apenas a limitação de energia. A relação sinal-ruído entre a potência do sinal recebido e a potência do ruído na banda do sinal ( SNR equação 9.) entra em conta com a eficiência espetral, já que estas são c calculadas apenas na banda do sinal.

120 4 Transmissão de dados Carlos Meneses. Descodificador de máximo a posteriori Denominando por y o valor observado após filtragem nos instante de zero de interferência intersimbólica após o filtro de entrada do recetor, por y e y os valores correspondentes sem ruído quando enviados respetivamente o nível lógico e e assumindo que o filtro não afeta a amplitude do sinal (continuando o exemplo da figura., em PNRZ), y y A, (.) A correspondendo A à amplitude do código à entrada do recetor. Note-se que, sendo esta descodificação efetuada no recetor, assume-se sempre nesta secção amplitudes e energias recebidas e não transmitidas. Como ilustrado na figura., a função densidade de probabilidade das amplitudes após o filtro, dado enviado o símbolo, é uma distribuição normal, f y "" N(, ) y n, com média y e variância densidade de probabilidade f y "" N(, ) média y e a mesma variância. y n (equação 9.). A função n c, quando enviado o símbolo, tem Figura. Funções densidade de probabilidade do ruído em códigos de linha binários. d é a distância do símbolo sem ruído após filtragem ao valor ótimo de decisão ot. n é a potência do ruído após filtragem.

121 Recetor ótimo 5 As funções densidade de probabilidade condicionada (a posteriori) de ter sido transmitido cada um dos símbolos lógicos, dada a observação da tensão y após filtragem no instante de amostragem, segue a Lei de Bayes 5, f "" y f "" y f f y "" p f ( y) y "" p f ( y) para o nível lógico para o nível lógico "", (.) "" em que p e p são as probabilidades a priori de ocorrência dos níveis lógicos e, respetivamente. O critério ótimo de descodificação de qual o nível lógico emitido, pois minimiza a probabilidade de erro, corresponde a selecionar o nível lógico com a maior probabilidade a posteriori (MAP Máximo a posteriori), ou seja, f f "" y f "" y "" y f "" y detecta - seo nível lógico detecta - se o nível lógico "". (.3) "". Descodificador de máxima verosimilhança Assumindo que as probabilidades a priori são iguais (p =p =,5) a descodificação MAP, que é ótima no sentido de minimizar a BER, é equivalente à descodificação com um critério de máxima verosimilhança (MV Máxima verosimilhança), dada por, f f y "" f y "" y "" f y "" detecta - se o nível lógico "". (.4) detecta - se o nível lógico "" Este critério, utilizado na maioria das aplicações, é assumido neste texto, simplificando a estimativa da probabilidade de erro de bit. Note-se que os valores das probabilidades a priori, necessárias no critério MAP, não são conhecidos no recetor antes de se começar a deteção, mas o valor de tem de ser conhecido nessa altura. No caso em análise da descodificação em duas classes em que as distribuições de 5 Thomas Bayes, Inglês, matemático e pastor presbiteriano.

122 6 Transmissão de dados Carlos Meneses probabilidade são ambas normais com a mesma variância, este critério corresponde a assumir um limiar de decisão cujo valor ótimo ot (figura.) é o valor médio entre as tensões dos dois símbolos sem ruído, y y ot (.5) A figura.3 apresenta o diagrama de blocos do recetor, com o filtro passa-baixo que atenua o ruído e o descodificador implementado através do comparador com o valor ótimo de decisão ot Figura.3 Diagrama de blocos do recetor binário. Recetor constituído por filtragem passa-baixo na banda e descodificador MAP. A decisão é efetuada uma vez por símbolo, sincronizado (sincronismo de símbolo) no instante de zero de ISI, sendo este implementado pelo circuito de amostragem e retenção (S&H sampling & hold). A saída deste bloco conterá a sequência binária com eventuais erros de bit, em que cada nível lógico é representado pelas correspondentes tensões de saturação do comparador..3 Probabilidade de erro de bit A probabilidade de erro de bit, independentemente do critério utilizado (MAP, MV ou outro, nomeadamente utilizando um valor arbitrário do limiar de decisão ) é dada pela probabilidade de erro em cada nível lógico pesadas pelas respetivas probabilidades a priori, ou seja, BER p, (.6) p p p

123 Recetor ótimo 7 em que p é a probabilidade de errar o nível lógico (enviar o nível lógico mas descodificar o nível lógico ) e p é a probabilidade de errar o nível lógico. Estas probabilidades são definidas por, p p f f y "". (.7) y "" Utilizando o valor ótimo de, equidistante de y e y, determinado pela equação.5, tendo em conta a figura. e a função complementar de erro (Apêndice 8): p p opt opt f f y "" dy erfc y "" dy erfc d n d n. (.8) Note-se que as probabilidades de errar os bits ao nível lógico e ao nível lógico são iguais. A probabilidade de erro de bit corresponderá à soma destas probabilidades pesadas pelas probabilidades a priori, ou seja: d BER p p p p erfc n. (.9) Assinale-se que a BER depende da diferença de tensão entre os símbolos e não dos seus valores absolutos, uma vez que, d y y. (.) Se em vez de um critério de máxima verosimilhança (MV) fosse utilizado um critério de máximo a posteriori (MAP) as adaptações da figura. e das equações.5,.9 e. seriam as apresentadas no Apêndice 9.

124 8 Transmissão de dados Carlos Meneses.3. Código PNRZ Com o código PNRZ exemplificado na figura., d A, a largura de banda é dada pela equação.5 e a energia média por símbolo dada pela equação 8.8 (assumindo a amplitude e a energia recebida), pelo que a BER vem: BER p p erfc A N B T erfc E b N. (.) Tendo em conta a relação sinal-ruído (equação 9.) tem-se ainda: SNR BER erfc c. (.).3. Código UNRZ Se o código for UNRZ, então os valores das tensões sem ruído no instante de amostragem resultam: y A. (.3) y Pela figura. d A, a largura de banda é dada pela equação.5 e a energia média por símbolo dada pela equação 8.9 e obtêm-se para a BER: BER erfc A 4 N B T erfc N E b. (.4) Comparando as equações. e.4, para que a BER seja igual com os códigos PNRZ e UNRZ, a relação E b N tem que ser o dobro (+3 db) em UNRZ do que a do PNRZ. Isto deve-se ao facto de a componente DC dos códigos UNRZ consumirem metade da energia mas não servirem para distanciar os dois símbolos.

125 Recetor ótimo 9.4 Filtro adaptado O recetor estudado nos pontos anteriores assume filtragem passa-baixo ideal, com frequência de corte igual à largura de banda do sinal recebido, de modo a eliminar o ruído fora da banda. Assume ainda um instante de amostragem em que não exista interferência intersimbólica. Contudo, nem sempre é possível definir um instante de zero de ISI e a filtragem apenas tem em conta a largura de banda e não a forma do sinal transmitido. Para resolver estes problemas o Norte-Americano Dwight North concebeu, em 943, o filtro ótimo (matched filter) para deteção de um sinal conhecido, corrompido por ruído branco e aditivo. Considere-se que o símbolo transmitido é s l t, com l igual ou, respetivamente para os símbolos correspondentes aos níveis lógicos e. A este sinal é adicionado ruído w (t) no canal de comunicação, sendo recebido o sinal sr ( t) sl ( t) w( t). Se for efetuada uma projeção sobre um sinal ks j (t), como mostrado na figura.4, é anulada a componente do ruído perpendicular ao símbolo, permanecendo apenas a componente do ruído colinear ao símbolo. Figura.4 Interpretação vetorial do filtro adaptado. Esta projeção é realizada através do produto interno entre o sinal recebido com ruído e um vetor de base, por exemplo proporcional ao símbolo (j=l). c t é então, t c t ks. (.5) O produto interno é determinado através do integral do produto entre o sinal de entrada s R (t) e o vetor de base c(t). Se fosse possível integrar, como definido pelo

126 Transmissão de dados Carlos Meneses produto interno, em tempo infinito e sendo o ruído ortogonal aos símbolos, o ruído seria totalmente eliminado. Não é no entanto possível que este integral seja efetuado em tempo infinito mas apenas no tempo de símbolo T b, pois é necessária uma decisão por símbolo. Nestas circunstâncias o produto interno é definido por: b T b t y( T ) c s ( t) dt, (.6) R que corresponde a uma filtragem em que a resposta impulsiva corresponde a: h t ct t ks T t, (.7) b pelo que se designa de filtro adaptado (ao símbolo ). O diagrama de blocos do recetor, completo, que é ótimo no sentido que minimiza a BER, é apresentado na figura.5. Com este filtro é retirado o ruído ortogonal ao sinal, que corresponde a todo o ruído fora da banda mas também algum ruído na banda do sinal. b Figura.5 Diagrama de blocos do recetor ótimo. Recetor constituído por filtro adaptado e deteção MAP. O integrador é colocado a zero no início de cada símbolo, representado na figura.5 pela entrada T b +, sendo tomada uma decisão no fim do símbolo, amostrando y(t) nos instantes T b, imediatamente antes de o integrador ser recolocado a zero e se reiniciar o processo para descodificação do próximo símbolo. Com a integração no tempo de bit, a função de verosimilhança para cada símbolo l tem uma distribuição normal N(, ), sendo para a filtragem adaptada y l n

127 Recetor ótimo válida a figura.. y l, com l igual ou, corresponde às tensões sem ruído para os símbolos e respetivamente. A projeção obtêm-se de, y( T ) b T b t c sr ( t) dt Tb ks t s l ( t) w( t) dt Tb Tb ks t sl t dt ks Tb y ks w( t) dt l t t w( t) dt l= ou. (.8) O segundo termo desta equação corresponde ao resultado da filtragem do ruído introduzido pelo canal. Note-se que para todos os códigos de linha o símbolo ou é nulo (unipolar, bipolar) ou simétrico ao símbolo (polar, bipolar). Deste modo os valores da projeção sem ruído correspondem a, y y y ke ke polar unipolar. (.9) Definindo A eq como a área equivalente do ruído no filtro adaptado (Apêndice ), numericamente igual à energia do vetor de base e correspondente ao dobro da largura de banda de um filtro ideal passa-baixo de ganho unitário: A eq T b T b t dt k s t dt k E c, (.) a componente filtrada do ruído tem uma distribuição normal com média nula e potência dada por (Apêndice ): N N N n Aeq Ec k E. (.)

128 Transmissão de dados Carlos Meneses.5 Filtro adaptado normado Assumindo que o vetor de base c(t) tem energia unitária, a área equivalente do ruído é também unitária (filtro adaptado normado 6 ): A, (.) eq e da equação., o fator de escala k vem: k. (.3) E As tensões sem ruído no instante de amostragem, para o filtro adaptado normado (equações.9 e.3) resultam: y y y E E polar unipolar, (.4) e a potência do ruído vem (equações. e.), N n. (.5) Nesta situação a equação.9 pode ser reescrita como: d BER erfc. (.6) N Note-se que assumir o vetor de base normado, ou tomando qualquer outro valor arbitrário, não altera a probabilidade de erro, já que a amplitude de c(t) tanto afeta o sinal como o ruído. Torna no entanto mais fácil a comparação com espaços vetoriais e simplifica as expressões da potência do ruído após filtragem e da BER. 6 Referencial com vetor de base com norma unitária.

129 Recetor ótimo 3.6 Código PNRZ Retomando o exemplo com código PNRZ, os símbolos correspondem a tensões contínuas localizadas com amplitude A ou A. Com o filtro adaptado ao símbolo, c(t)=ka=c. O Valor de C, impondo que o filtro está normado, é determinado por 7, A eq Tb b t C dt C T c C R. (.7) b Nesta situação y é determinado por: y Tb Tb c t) s( t) dt Rb Adt Rb ATb A Tb E ( E, (.8) b como já definido pela equação.4. O valor de y, também como na equação.4, é igual a y, uma vez que os símbolos são simétricos e, pela mesma razão, (equação.5). O valor de d é definido pela equação.: ot d y y E b, (.9) A figura.6 é uma adaptação da figura. para a situação PNRZ com filtro adaptado normado. Desta figura, e das equações.6 e.9, a BER em PNRZ resulta: BER erfc E N b. (.3) Ao contrário da equação., deduzida com filtro de banda plano, com um filtro cuja resposta em frequência é dada (filtro adaptado) pela transformada de Fourier dos símbolos (símbolo ), ao contrário da equação., a BER deixa de ser 7 O resultado da eq..7 é válido para todos os códigos apresentados com exceção do código PRZ e Manchester. Para código PRZ o resultado é C R de a T e de b b T b a b Manchester a amplitude é dada por.7 mas com a forma de onda do código Manchester. T. Para código

130 4 Transmissão de dados Carlos Meneses dependente do fator de rolloff e passa a depender apenas da relação sinal-ruído entre energias Eb/No, proporcional à SNR c no canal (equação 9.). Figura.6 Funções densidade de probabilidade do ruído em PNRZ com filtro adaptado normado. Adaptação da figura., com ot, d E, N. b n vem: Mantendo a potência recebida e tendo em conta a equação 8.8, a equação.3 BER erfc A T b S R erfc. (.3) N Rb N Desta equação deduz-se que, desde que não se altere a potência recebida, o aumento do débito binário e consequente diminuição da energia de bit, corresponde a um aumento na probabilidade de erro de bit. Para manter a probabilidade de erro de bit, ao aumento do débito binário terá que corresponder um aumento da potência recebida. As formas de onda para o código PNRZ, ao longo do recetor ótimo normado, são apresentadas na figura.7.

131 Recetor ótimo 5 Figura.7 Formas de onda no recetor ótimo com código PNRZ com ruído. a) Sequência de símbolos com ruído; b) Sinal após filtragem c) bits descodificados. A tracejado, forma de onda se não houvesse ruído. A descodificação dos bits insere símbolo de atraso devido à decisão ser tomada apenas no fim do bit. Apesar do ruído não existem erros.

132 6 Transmissão de dados Carlos Meneses.7 BER em códigos de linha binários Seguidamente deduz-se a equação da BER para os diversos códigos em estudo neste texto..7. Códigos polares Genericamente para os casos dos códigos de linha polares (PNRZ, PRZ, Manchester), em que os símbolos estão relacionados por : t t s s. (.3) As tensões no instante de amostragem correspondem a (equação.9): y y ke ke Nesta situação o valor ótimo de decisão vem, keb. (.33) ke b Eb Eb ot. (.34) O valor de d é determinado por: d y ot ke b. (.35) A potência do ruído é dada pela equação. e a BER vem (equação.9), BER erfc d n erfc k Eb k E N b erfc E N b. (.36)

133 Recetor ótimo 7.7. Códigos unipolares A figura.8 apresenta a adaptação da figura. para o caso dos códigos de linha unipolares (UNRZ), em que o símbolo corresponde a V e o filtro adaptado é não normado. As tensões de observação de cada símbolo sem ruído no instante de amostragem são (equação.9): y ke ke b. (.37) y Figura.8 Funções densidade de probabilidade do ruído em UNRZ com filtro adaptado não normado. Adaptação da figura., com ke, d ke, E N b n k b Nesta situação o valor ótimo de decisão é determinado por, ot b ke b ot keb. (.38) O valor de d é obtido de: d y ke ke ke ot b b b. (.39) Uma vez que a potência do ruído é dada pela equação. e.: n k EbN. (.4)

134 8 Transmissão de dados Carlos Meneses A BER vem (equação.9): BER erfc d n erfc k Eb k E N b erfc Eb N. (.4) Como nos códigos polares, a probabilidade de erro de bit depende apenas da relação sinal ruído E b N e não, como na equação.4, do fator de rolloff. Se o filtro adaptado estiver normado, c(t) é o mesmo que o deduzido na equação.7 pois os símbolos lógicos em PNRZ e UNRZ são iguais..7.3 Código BNRZ Na situação do código de linha bipolar sem retorno a zero existem duas possibilidades quando se transmite o nível lógico : ou se transmite o símbolo A ou se transmite o símbolo A, situações que ocorrem alternadamente e portanto com a mesma probabilidade. A figura. é então adaptada para três símbolos, conforme mostrado na figura.9. As tensões no instante de amostragem do filtro adaptado, denominadas respetivamente por y e y e y, são dadas por: y y y ke ke ke b ke O valor de d é definido pela equação., pelo que: b. (.4) d ke ke b keb. (.43)

135 Recetor ótimo 9 Figura.9 Funções densidade de probabilidade na receção do código BNRZ. São apresentados 3 símbolos (pseudo-ternário), pois existem dois símbolos correspondentes ao símbolo lógico. O nível lógico é descodificado com erro se o valor de y for maior que d ou menor que d ( vezes a área abaixo da curva de Gauss). Cada um dos dois símbolos, representando o nível lógico com polarização positiva ou negativa, tem probabilidade a priori de metade da probabilidade a priori deste nível lógico. O esquema de blocos do recetor BNRZ é apresentado na figura., em que o comparador que efetua a descodificação MV é substituído por um quantificador de três níveis. Figura. Recetor ótimo para o código BNRZ. Pode-se trocar a posição dos comparadores e do S&H. Havendo 3 símbolos o comparador é substituído por um quantificador de três níveis.

136 3 Transmissão de dados Carlos Meneses Deste modo resulta para a BER: BER erfc d p erfc p erfc p n n n d d. (.44) Assumindo os níveis lógicos equiprováveis esta equação reduz-se a: BER 3 erfc 4 d n, (.45) pelo que, utilizando as equações 8.9,. e.43, vem: BER 3 erfc 4 k E b 3 E b erfc. (.46) k E N b 4 N Este valor da BER não entra em conta com a capacidade deste código detetar erros por violação da regra de polaridade alternada quando do envio de níveis lógicos. Se houver a capacidade do recetor informar o transmissor destes erros, a informação poderá ser reenviada. Por exemplo, erros isolados conseguem sempre ser detetados se: O último nível lógico foi codificado com determinada polaridade e o nível lógico consequente é incorretamente descodificado para com a mesma polaridade; O último nível lógico foi codificado com determinada polaridade e o nível lógico consequente é incorretamente descodificado para a polaridade contrária. No próximo nível lógico haverá uma violação; Havendo erro num nível lógico que foi entendido como nível lógico, haverá uma violação no próximo nível lógico transmitido.

137 Recetor ótimo Códigos diferenciais Nos códigos diferenciais, um erro de símbolo isolado (antes da pós-codificação) origina dois erros de bit seguidos (após a pós-descodificação), uma vez que cada símbolo contém informação sobre o nível lógico presente e o imediatamente posterior. Uma vez que estes códigos são insensíveis à polaridade, se antes da pós-descodificação forem cometidos erros consecutivos de símbolos, apenas são produzidos dois erros de bit com pós-descodificação, na posição do primeiro erro de símbolo e na posição seguinte ao último símbolo errado. Os códigos diferenciais exibem então uma BER inferior ao do dobro da BER do respetivo código não diferencial. Para os códigos NRZI e Manchester diferencial tem-se que, da equação.36: BER erfc E b N. (.47) Desde que a probabilidade de erro de símbolo seja baixa a BER tende para a igualdade na equação.47. Esta é a situação mais realista que sendo um limite máximo vai ser adotada no resto do texto..8 Regeneração do sinal Por vezes é necessário comunicar a distâncias consideráveis (maior atenuação) e através de canais que inserem bastante ruído, o que faz aumentar a probabilidade de erros. Uma estratégia para evitar estes erros é a regeneração. Por regenerar o sinal entende-se, em pontos intermédios do canal, detetar os símbolos e retransmiti-los sem ruído (e.g. nos equipamentos da rede como hubs, switchs e routers), como mostrado na figura.. Figura. Cadeia Transmissor-canal-regenerador-canal-recetor. Por regenerar o sinal entende-se detetar os símbolos e retransmiti-los sem ruído, em pontos intermédios, por exemplo nos equipamentos da rede.

138 3 Transmissão de dados Carlos Meneses Se a atenuação ainda não for grande e o sinal ainda não tiver sido muito afetado pelo ruído, é possível regenerar o sinal praticamente sem erros. Note-se que não é possível regenerar um sinal analógico mas apenas amplificá-lo, o que implica amplificar também o ruído..9 Comparação entre códigos de linha binários Na figura. são apresentados os valores da probabilidade de erro dos diversos códigos de linha binários apresentados, função da relação entre a energia média por bit e a potência por Hertz (Eb/No) em decibéis. Figura. BER dos diversos códigos em função da relação sinal-ruído Eb/No. O melhor desempenho (BER) para a menor relação Eb/No é conseguido pelos códigos polares. Os códigos unipolares precisam de +3dB de Eb/No para obter o mesmo desempenho. Os códigos diferenciais têm o dobro da BER para a mesma Eb/No. Os códigos BNRZ têm o pior desempenho mas possuem capacidade de deteção de erros.

139 Recetor ótimo 33 Desta figura podem ser tiradas várias conclusões comparativas sobre o desempenho em termos da probabilidade de erro de bit, tais como: Os códigos de linha polares (PNRZ, PRZ, Manchester), com símbolos simétricos, obtêm o melhor desempenho em termos da BER, pois são os que têm a menor energia para o máximo afastamento entre símbolos. Os códigos unipolares (UNRZ) estão distanciados dos códigos polares de / 3 log db de relação Eb/No, ou seja, têm o mesmo desempenho para +3 db (o dobro em linear) de relação Eb/No; Para a mesma relação Eb/No, os códigos diferenciais polares (NRZI, Manchester diferencial) têm o dobro da BER alcançada pelos códigos polares; Os códigos BNRZ são os que têm pior desempenho em termos da BER. No entanto esta comparação não entra em consideração com sua a capacidade de deteção de erros isolados, embora necessite de mecanismos de reenvio. Para além do desempenho em termos da probabilidade de erro de bit apresentam-se seguidamente, conforme refletido na tabela., algumas características e compromissos dos códigos de linha binários: Os códigos com melhor capacidade de sincronismo (PRZ, Manchester) porque têm o mecanismo de sincronismo incorporado devido à transição na sua forma de onda, são aqueles que pelo mesmo motivo exibem a pior eficiência espectral. A facilidade no sincronismo implica recetores mais baratos; Os códigos BNRZ são os que têm pior desempenho em termos da BER mas, em seu favor, têm boa capacidade de sincronismo desde que utilize a técnica BNZS, ocupando a largura de banda dos códigos PNRZ e UNRZ e não do Manchester e do PRZ que têm o mecanismo de sincronismo incorporado. Também não têm componente DC nem sofrem de desvanecimento. No entanto aumentam a complexidade do transmissor e do recetor, devido à implementação da técnica BNZS e à descodificação de três símbolos;

140 34 Transmissão de dados Carlos Meneses PNRZ PRZ UNRZ Manch. BNRZ NRZI Manch. Dif E b (mesma BER) - DC BER (mesma E ) - b Deteção de Erros Capacidade de Sincronismo - Complexidade do transmissor Complexidade do recetor - Inversão de polaridade Tabela. Códigos com melhor, ( ) e pior ( ) desempenho em termos de atributos. Como se pode verificar, existem compromissos entre os diversos códigos, não existindo nenhum com melhor desempenho para todos os seus atributos. Nos códigos de linha polares o valor ótimo de decisão (figura.5) é sempre ot, ao contrário dos códigos não polares em que este valor depende da amplitude do sinal recebido e portanto da atenuação ao longo do canal. Consequentemente o recetor torna-se mais simples de implementar que os códigos unipolares e bipolares ; Os códigos unipolares necessitam de fontes de alimentação com apenas uma polaridade, o que se reflete na diminuição do preço dos equipamentos; Para todos os códigos, quanto maior for o débito binário maior necessidade de serem implementados com dispositivos eletrónicos mais rápidos, o que se reflete no aumento do preço dos equipamentos; Para a definição da complexidade dos transmissores e dos recetores é necessário entrar em consideração com vários fatores, tais como a capacidade de sincronismo de símbolo, a simplicidade na definição do valor ótimo de decisão ot, o tipo de polaridade da fonte de alimentação e o débito binário.

141 Transmissão M-ária em banda de base 35 Transmissão M-ária em banda de base Como visto na secção, a largura de banda depende do número máximo de transições por segundo produzido pelo código de linha. Uma maneira de diminuir o número de transições e consequentemente a largura de banda é fazer com que o símbolo contenha informação de mais do que bit, diminuindo o débito de símbolos R s (baud rate) sem diminuir o débito binário. O símbolo deixa de ser binário para ser M-ária, ou seja, com M formas de onda possíveis.. Modulação por amplitude de pulsos digital Um código de linha M-ária, em que os símbolos são representados por diferentes amplitudes, apresentado na figura., é denominado PAM (pulse amplitude modulation) digital 8 (ou PNRZ M-ária). Figura. Código PAM digital. M símbolos simétricos em torno do zero. A distância entre símbolos adjacentes é de a. O número de bits por símbolo K e o número de símbolos diferentes M (neste caso amplitudes diferentes) do código estão relacionados por: K M. (.) 8 Em contraste com o PAM analógico, em que são transmitidos diretamente as amplitudes de um sinal analógico após amostragem, podendo estes ter uma gama contínua de valores.

142 36 Transmissão de dados Carlos Meneses O tempo de símbolo T s e o tempo (médio) de bit estão relacionados por: Ts KT b. (.) O débito de símbolos, R s, está relacionado com o débito binário por: Rb Rs. (.3) K. Energia média por símbolo Denominando a como a tensão entre símbolos adjacentes, a energia média por símbolo, assumindo que estes são equiprováveis, é dada por, E s a Ts M M / k a ( M ) 4 3 ( M ) 3 k,5 Ts Emin, (.4) que aumenta com o quadrado de a e de M. energia, com amplitude a/: E min é a energia do símbolo de menor E min T s a. (.5) A energia média por bit vem: E E s b K. (.6).3 Largura de banda Assumindo o instante de zero de ISI a meio dos símbolos, a abertura dos pulsos com critério de Nyquist é de Ts e a largura de banda vem: Rs Rb BT. (.7) K

143 Transmissão M-ária em banda de base 37 Como se pretende, a largura de banda diminui com o aumento do número de bits por símbolo. A equação.7 é um caso geral da equação.5, substituindo R b por R s. A eficiência espetral (equação 8.6) também melhora com o aumento do número de bits por símbolo: R B b T K. (.8).4 Probabilidade de erro de símbolo O recetor ótimo para códigos PAM digital é mostrado na figura. e é idêntico ao do recetor binário da figura.5, mas com o comparador substituído por um quantificador/codificador de modo a detetar M níveis de saída do filtro adaptado. Figura. Recetor ótimo normado PAM digital. Filtro adaptado (normado) seguido de quantificador/codificador. Assumido que o filtro ótimo está normado e dado que os símbolos correspondem a tensões contínuas localizadas, c(t)=c, pela equação.: A eq Ts s t C dt C T c C R, (.9) s que é um caso geral da equação.7, outra vez substituindo R b por R s. As funções densidade de probabilidade do ruído, para os diversos símbolos, à saída do filtro no momento de amostragem, são apresentadas na figura.3. O valor de d para o cálculo da probabilidade de erro de símbolo vem:

144 38 Transmissão de dados Carlos Meneses d T s s s a a a ct dt R T Ts Emin. (.) Figura.3 Funções densidade de probabilidade no código PAM digital. Adaptação da figura. para M-ária. No cálculo da probabilidade de erro de símbolo terá de se ter em conta com as áreas acima de d à esquerda e à direita, a menos das duas funções densidade de probabilidade das pontas, em que esta área só contará uma vez. A probabilidade de erro de símbolo, ( SER Symbol error rate), vem então, assumindo que todos os símbolos são equiprováveis: M d d SER ercf ercf. (.) M N M N Através das equações.6,.4,. e., chega-se a: ( M ) SER ercf M E N min ( M ) ercf M 3K E b M N. (.).5 Probabilidade de erro de bit Um símbolo representa um conjunto de K bits. Para o cálculo da probabilidade de erro de bit em função da probabilidade erro de símbolo irão admitir-se duas situações na disposição dos bits em cada símbolo: () disposição aleatória: erro de símbolo

145 Transmissão M-ária em banda de base 39 corresponde a errar de a K bits de um modo equiprovável; () código Gray: erro de símbolo corresponde com maior probabilidade ao erro de apenas bit..5. Código aleatório Se não houver qualquer preocupação no modo em como se define o código de K bits do símbolo, poderá assumir-se que quando se erra um símbolo estarão errados quaisquer número de bits entre e K. Em média estarão errados (K+)/ bits, pelo que: K K símbolos bits símbolo errado bits errados, (.3) SER SER e a BER é dada por: K K SER BER. (.4) K SER K.5. Código Gray A probabilidade de, quando existe um erro de símbolo, ser descodificado um dos dois símbolos adjacente (amplitudes adjacentes) é muito maior do que ser descodificado qualquer outro símbolo. Se houver o cuidado que a símbolos adjacentes correspondam códigos apenas com bit de diferença, como num código Gray, então quando se erra símbolo apenas bit está errado. A tabela. ilustra o código Gray para 4 bits Nestas circunstâncias, vem: Tabela. Código Gray de 4 bits. Duas palavras consecutivas apenas têm um bit trocado, minimizando os erros de bit. K símbolos bits símbolo errado bit errado, (.5) SER SER

146 4 Transmissão de dados Carlos Meneses pelo que, SER BER. (.6) K Sendo esta uma situação mais favorável que a utilização de uma disposição aleatória, deve-se assumir desde que nada seja dito em contrário a utilização de um código Gray. Para uma transmissão M-ária a BER vem então, pelas equações. e.6: ( M ) BER erfc KM 3K E b M N. (.7).6 Código BQ Um bom compromisso entre o desempenho e a complexidade corresponde a utilizar um código PAM digital com bits por símbolo (BQ binary quaternary) e código Gray, apresentado na figura.4. Figura.4 Código BQ Correspondente a PAM digital quaternário ou 4-área, utilizando código Gray. Aplicando a equação.7 com K= bits por símbolo, obtêm-se: 3 BER erfc 8 E 5N b. (.8) A largura de banda vem, pela equação.7: Rb B T. (.9) 4

147 Transmissão M-ária em banda de base 4 Obtém-se então metade da largura de banda comparando com um código PNRZ (M=), com um aumento moderado da complexidade e da BER. O recetor ótimo deste código corresponde ao da figura., mas em que o quantificador/codificador é de apenas bits em código Gray. Na figura.5 é apresentado o padrão de olho do código BQ com fator de rolloff = e distância entre símbolos adjacentes a= V. Pode-se verificar os instantes sem ISI a meio dos símbolos, com tensões V e 3 V Padrão de Olho.5.5 rolloff= Pn=. Watt/Hz Figura.5 Padrão de olho do código BQ = e a=, sem ruído. O código BQ é utilizado por exemplo em RDIS (Rede Digital Integrada de Serviços) entre a central telefónica e o equipamento de entrada que fará a distribuição. A RDIS utiliza o sistema telefónico, permitindo dois canais de 64 kbit/s mais um canal de 6 kbit/s para sinalização e controlo.

148 4 Transmissão de dados Carlos Meneses.7 Comparação do desempenho Na figura.6 e tabela. é apresentada uma comparação entre as probabilidades de erro para diversos números de bits por símbolo (M=, 4, 8, 6). Pode-se verificar o aumento da BER à medida que se aumenta M, mas relembre-se que se diminui a largura de banda ocupada (equação.7). Figura.6 BER em função da relação, para PAM digital. Código Gray com M a variar entre e 6. E b N M= M=4 M=8 M=6 eficiência espetral (+) 4(+) 6(+) 8(+) Eb/No db (BER= -6 ),5 4,4 8,8 3,5 BER (Eb/No=5 db) 8,9x -6,8x -7 7,7x -4 x - Tabela. Compromisso entre a eficiência espetral e BER para PAM digital. Quanto maior for o número de bits por símbolo e portanto melhor a eficiência espetral, pior será a BER do sistema.

149 Transmissão M-ária em banda de base 43.8 Capacidade de canal Assumindo a largura de banda mínima do critério de Nyquist (=) para transmissão sem ISI, das equações.7 e. vem, R b BT K BT log M. (.) Das equações.4 e.5 vem, S R De. e., S M M Es a R. (.) T a s S R Rb BT log. (.) a Considerando um canal com ruído gaussiano e de banda limitada B c, sendo recebido um sinal com potência S R, Shannon demonstrou em 949 que existe um débito binário máximo para transmissão com probabilidade de erro de bit arbitrariamente pequena, denominando-o de capacidade de canal. A equação da capacidade de canal (gaussiano) é semelhante à equação.: C B C S R S R log BC log. (.3) σc NBC Este é um limite teórico, conhecido por Lei de Hartley 9 -Shannon. Se o débito binário for superior à capacidade de canal não é possível transmitir sem erros. Shannon não especificou qual o método de codificação e descodificação capaz de atingir este limite, mas a Lei de Hartley-Shannon tem vindo a servir de referência de modo a verificar a eficiência de uma transmissão. 9 Ralph Vinton Lyon Hartley, Americano, engenheiro eletrotécnico.

150 44 Transmissão de dados Carlos Meneses Para determinada capacidade de canal pode-se reduzir a largura de banda à custa do aumento da potência transmitida ou vice-versa. Note-se que a capacidade de canal depende linearmente da largura de banda mas para se obter o mesmo efeito é necessário alterar a potência transmitida exponencialmente. A limitação de potência estabelece um número máximo de bits por símbolo para determinada SNR, de modo a que os níveis correspondentes aos diversos símbolos estejam suficientemente espaçados para que o ruído não interfira na sua descodificação.

151 Codificação para controlo de erros 45 3 Codificação para controlo de erros Num sistema de comunicação digital existem dois tipos de erros de bit: os erros devido aos efeitos do canal AWGN; e os erros devido a interferências eletromagnéticas esporádicas ou a variações rápidas das condições do próprio canal. Os primeiros correspondem a erros aleatórios independentes, como apresentado nas secções e. Os segundos correspondem a erros em rajada. Dependendo do tipo de erros existem estratégias diferenciadas para, no recetor, os detetar ou mesmo corrigir. Em qualquer dos casos, como ilustrado na figura 3., é necessário no transmissor introduzir bits com informação redundante (codificação para controlo de erros), produzindo um aumento do débito binário de R b (débito binário da informação) para R b (débito binário no canal de comunicação). O efeito da codificação para o controlo de erros é a diminuição da probabilidade de erro de bit de BER para BER (descodificação para controlo de erros). Figura 3. Cadeia transmissor-canal-recetor com codificação para controlo de erros. A codificação de erros no transmissor coloca bits de redundância aumentando o débito binário. No recetor, após deteção ou correção de erros, os bits de redundância são retirados. 3. Atributos dos códigos de controlo de erros Seguidamente descrevem-se os atributos dos códigos de controlo de erros, que devem ser ponderados face ao tipo de aplicação desejada.

152 46 Transmissão de dados Carlos Meneses 3.. Razão do código Um código composto por um bloco de dimensão fixa é denominado código de bloco. Ao contrário, existem códigos, denominados códigos convolucionais, que estendem a sua atuação a todos os bits transmitidos em vez de estarem limitados a dimensões fixas. Este texto focará apenas os códigos de bloco. A dimensão do bloco é denominada n, com k (k<n) bits de informação, sendo referido como código de bloco (n, k). Este código contém k palavras de código (blocos válidos) diferentes. Quando os k bits de informação são transmitidos sem qualquer alteração o código é denominado de código sistemático. Os códigos apresentados neste texto são todos sistemáticos, sendo mais fáceis de tratar do que os códigos não sistemáticos. A razão do código, R c, é uma medida da eficiência do código no sentido em que mede os bits de informação em relação ao número total de bits do código (e não no sentido do que é que o código é capaz de detetar ou corrigir), sendo dada por: R c ' k Rb R c. (3.) n R b Com o aumento do número de bits devido à inserção do código, duas situações (ou uma situação intermédia) podem ocorrer em relação à situação sem codificação: ) Mantêm-se o tempo de transmissão da informação. Aumenta-se o débito binário no canal de comunicação de modo a transmitir a informação com o mesmo débito binário ' R b. Este procedimento diminui a energia por bit, que por sua vez aumenta a BER. Espera-se contudo que, após deteção ou correção, o valor da BER seja mais baixo que o valor da BER inicial sem codificação. ) Mantêm-se o débito binário Rb no canal de comunicação. Diminui-se o débito binário da informação e demora-se mais tempo a transmitir: T Tcom codificação. (3.) sem codificação R c

153 Codificação para controlo de erros Códigos de deteção e correção Existem códigos de controlo de erros que levam a que seja possível afirmar que num conjunto de bits alguns estão errados, mas não se sabe quais. Estes códigos denominam-se de códigos de deteção de erros. Nalgumas aplicações o recetor descarta esta informação mas consegue continuar a operar. Noutras aplicações, contudo, tem que existir um mecanismo para que o recetor informe o transmissor da presença desses erros, para que a informação seja retransmitida (ARQ Automatic repeat request). Para que haja retransmissão o sistema tem que ser bidirecional (ligações half-duplex ou full-duplex). Caso se consiga encontrar a posição dos erros, estes podem ser corrigidos (FEC Forward error correction) por inversão do valor lógico do respetivo bit. Estes códigos denominam-se códigos de correção de erros. Ao contrário dos códigos de deteção, os códigos de correção não necessitam de ligações bidirecionais e portanto não necessitam (ou não podem) esperar que a informação seja retransmitida. A capacidade de deteção de bits errados mede-se através do número máximo de bits errados capazes de ser sempre detetados. A capacidade de correção mede-se através do número máximo de bits errados capazes de ser sempre corrigidos. Na situação de correção, se estes números forem ultrapassados duas situações podem acontecer: manter a informação recebida; ou inverter bits corretos originando mais erros. Para a mesma capacidade de deteção e correção, os códigos de correção necessitam de colocar maior redundância no canal do que os códigos de deteção, apresentando portanto uma razão de código menor. Não sendo possível detetar ou corrigir todos os erros é importante medir a diminuição da probabilidade de erro após correção, BER em relação à BER, que mede o ganho efetivo da introdução destes códigos. Numa ligação half-duplex há transmissão no canal nos dois sentidos, mas não simultaneamente. Numa ligação full-duplex pode haver transmissão no canal nos dois sentidos simultaneamente.

154 48 Transmissão de dados Carlos Meneses A razão do código e a capacidade de deteção e correção são de difícil otimização em conjunto. Como exposto adiante, quanto maior for a razão do código menor a capacidade de deteção e/ou correção de bits do código e vice-versa. A solução a implementar corresponde assim a um compromisso entre estes dois atributos Controlo de erros aleatórios e erros em rajada Algumas perturbações, como por exemplo descargas eletromagnéticas, podem corromper um bloco de dados com vários erros, sendo este efeito denominado de rajada de erros. Define-se dimensão de uma rajada como o número de bits entre o primeiro e o último erro, inclusive. Dentro da rajada os bits podem ou não estar errados. Haverá entre rajadas pelo menos determinado número de bits corretos que fará parte da definição da rajada. Alguns códigos têm apenas a capacidade de detetar ou corrigir erros aleatórios independentes, e não rajadas de erros. Outros, contudo, são capazes de detetar rajadas de erros, sendo esta capacidade medida através do comprimento máximo da rajada que é sempre detetada e pela relação total de rajadas não detetadas. Não é possível corrigir diretamente os erros de uma rajada, mas através da técnica interleaving, apresentada adiante, é possível converter os erros em rajada em erros isolados, sendo estes corrigidos. 3. Probabilidade de erro de bloco Assume-se neste texto que a probabilidade de geração dos símbolos lógicos e a respetiva probabilidade de os descodificar erradamente, BER, é a mesma (canal binário simétrico). Num bloco de n bits, a probabilidade de errar i bits, independentemente da posição no bloco, é dada pela função de probabilidade binomial (Apêndice ): f n i n i n BER C BER BER i,. (3.3) i A probabilidade de errar i ou mais bits é dada pela soma das respetivas probabilidades:

155 Codificação para controlo de erros 49 n n j i mais n, BER C j BER BER f ou. (3.4) ji Para i, valores típicos de BER pequenos e nber ( nber corresponde ao valor médio), a equação 3.4 simplifica-se para: f n j n i i mais n, BER f i n, BER C i BER ou. (3.5) O número médio de erros num bloco de n bits iguala a média (A..3): erros nber. (3.6) A probabilidade de um bloco de n bits não conter erros vem: f n, BER BER n. (3.7) Havendo bits com erros aleatórios com probabilidade BER, é produzido em média erro de /BER em /BER bits. O tempo médio entre erros vem igual a esse valor multiplicado pelo tempo de cada bit, ou seja: T e Tb. (3.8) BER R BER b 3.3 Código de paridade A paridade de um bloco de bits é considerada par se o número de bits com valor lógico for par e considerada ímpar se este número for ímpar. Um código de paridade é constituído por n bits, dos quais k=n são bits de informação, sendo adicionado um bit de modo a garantir a paridade desejada. Ao conjunto dos bits de informação e bit de paridade denomina-se palavra de código. Este texto assume sempre paridade par. Para n=3, as palavras de código válidas são,, e, correspondendo o último bit ao bit de paridade colocado pelo transmissor. No recetor, caso se receba um bloco com paridade ímpar,

156 5 Transmissão de dados Carlos Meneses como por exemplo, conclui-se que foi produzido entre o transmissor e o recetor pelo menos erro e o bloco deve ser retransmitido. Caso se produzam dois erros a paridade vem novamente correta. Por exemplo, caso se transmita e se receba, são produzidos erros nos primeiro e terceiro bits, mas o bloco corresponde a uma palavra de código válida. De facto só é possível detetar um número ímpar de erros. Assumindo a aproximação da equação 3.5, a probabilidade do recetor não detetar erros corresponderá à probabilidade de errar bits no bloco de n bits: n n n Pb f n, BER C BER BER. (3.9) Nesta situação estarão errados apenas bits em n bits, pelo que a probabilidade de erro de bit vem, aproximadamente: BER Pb n BER. (3.) n Este código tem uma fraca capacidade de deteção (máximo bit errado), não sendo capaz de corrigir qualquer bit. Pelo contrário, dado que os bits de informação são k n, a razão do código é a melhor possível para o mesmo n: n R c, (3.) n O tempo médio entre erros após correção corresponde à aplicação da equação 3.8, substituindo BER por BER e com um débito binário R b sem os bits de redundância. Este é um tempo médio entre erros mas note-se que, num código de paridade, os erros sucedem-se aos pares no mesmo bloco. A melhoria na probabilidade de erro de bit é conseguida à custa da implementação de um sistema de retransmissão e de um maior número de bits transmitidos (bits de paridade e bits retransmitidos).

157 Codificação para controlo de erros 5 A probabilidade de retransmissão, que iguala a probabilidade de errar um número ímpar de bits, é aproximadamente igual à probabilidade de errar bit no bloco: P r f n n n, BER C BER( BER nber. (3.) ) 3.4 Carácter de verificação de bloco Um bloco de bits pode ser subdividido em sub-blocos, em que cada sub-bloco está protegido através de um bit de paridade. Por exemplo, na transmissão de caracteres ASCII (7 bits), cada carácter pode estar protegido por bit de paridade ( p x ). Este procedimento está ilustrado na figura 3., em que cada carácter é apresentado em cada linha. Por sua vez cada coluna, correspondente ao bit com o mesmo peso de cada carácter, está também protegida por bit de paridade, produzindo um carácter de verificação ( c x ), que dá o nome ao código de carácter de verificação de bloco (BCC Block check character). m 7 m 6 m 5 m 4 m 3 m m p m 7 m 6 m 5 m 4 m 73 m 63 m m 74 m 64 m 54 m m 75 m 65 m 55 m m 76 m 66 m 56 m m 77 m 67 m 57 m c7 c6 c5 c4 3 m 3 m m p m m 33 m 3 m 3 p 3 m m 4 m 4 p 4 m m 5 m 5 p 5 m m 6 m 6 p 6 m m 7 m 7 p 7 c c c c Figura 3. Código de carácter de verificação de bloco. m bits de mensagem; p bits de paridade; c carácter de verificação de bloco. A relação de código é função do número de colunas (cl) e linhas (li): R c cl li cl li. (3.3)

158 5 Transmissão de dados Carlos Meneses Neste código, embora bits errados possam escapar à deteção numa linha, não passam na deteção de bloco (coluna) e vice-versa. Dois erros, desde que não na mesma linha ou na mesma coluna, são também detetados, mas não é possível corrigi-los porque a posição dos erros fica indefinida entre duas hipóteses (duas diagonais). Três erros são também sempre detetados. No caso de número ímpar de erros na mesma linha (ou na mesma coluna) é mesmo possível encontrar a posição dos bits errados e corrigi-los por inversão do seu valor lógico. Uma situação de erros não detetados corresponde a quatro erros nos vértices de um retângulo. O código BCC é também capaz de detetar rajadas de erros. Se os bits forem enviados por linha, uma rajada de erros de dimensão máxima igual ao número de colunas produz apenas bit errado por coluna e esta situação é verificada através do carácter de verificação de bloco. Se o número de linhas for maior que o número de colunas os bits devem ser transmitidos por coluna e não por linha, para permitir detetar rajadas com maior dimensão. A dimensão máxima da rajada sempre detetada, coincide assim com o número máximo entre o número de linhas ou colunas. b max, b max( cl, li). (3.4) max 3.5 Distância de Hamming e capacidade de deteção e correção Dado um bloco (palavra de código com ou sem erros) recebido, br, a função de probabilidade condicionada (probabilidade a posteriori) de ter sido transmitida a palavra de código c j, é dada por: f br c j pc f c br j j. (3.5) f ( br) Como código corretor e utilizando um critério de máximo a posteriori é descodificada a palavra de código c j com maior probabilidade a posteriori (MAP). Assumindo que todas as palavras de código são equiprováveis, o critério de máximo

159 Codificação para controlo de erros 53 a posteriori é equivalente ao critério de máxima verosimilhança (MV), pelo que é descodificada a palavra de código c j que maximiza a função de verosimilhança: c j f br. (3.6) Pela análise da função de probabilidade binomial (equação 3.5 com BER muito pequeno e nber <<), verifica-se que a função de verosimilhança é tanto maior quanto menor for o número de bits diferentes entre br e c j. Define-se distância de Hamming entre dois blocos, br d,, como o número de bits diferentes entre br e c j, em igual c j posição. Por exemplo os blocos e terão uma distância de Hamming de, porque os º e 3º bits são diferentes. Para correção de erros, o critério de máxima verosimilhança é equivalente a: Descodificar a palavra de código que diste a menor distância de Hamming em relação ao bloco recebido. Define-se distância mínima de Hamming de um código, d min, como a menor distância de Hamming entre todas as palavras desse código. Este é um parâmetro que limita a capacidade de deteção e de correção. Se o número de erros for igual a d o min bloco recebido pode corresponder a outra palavra de código. Consequentemente, como ilustrado na figura 3.3, para deteção de erros o número de erros tem que ser inferior a d. Para correção, se o número de erros for superior a metade de min d pode existir min outra palavra de código com distância de Hamming menor, e a tentativa de correção dá origem a descodificar uma palavra de código errada. A capacidade de deteção e correção vêm: Deteção até l erros l d min (3.7-a) Richard W. Hamming, Americano, trabalhou nos Laboratórios Bell e foi professor na Naval Postgraduate School.

160 54 Transmissão de dados Carlos Meneses Correção até t erros d min t (3.7-b) Figura 3.3 Capacidade de deteção e correção. Exemplo de código com d =5. min Bloco recebido r a d(r, c i )= bits e d(r, c j )=3 bits. Código de deteção uma vez que não é uma palavra de código, são detetados erros. Código de correção descodificado c i, já que é esta palavra de código que lhe fica mais próxima (menor distância de Hamming). Note-se que os códigos com distância mínima de Hamming superior a podem funcionar como código de correção ou deteção. Os códigos com distância mínima de Hamming de, como o código de paridade, não conseguem corrigir qualquer erro e só conseguindo detetar bit errado, pois neste caso ocorrem sempre pelo menos duas palavras de código com distância de Hamming de. Em contrapartida tem a razão do código (equação 3.) a maior possível para o mesmo valor de n. O código BCC tem uma distância mínima de Hamming de 4 bits, já que consegue sempre corrigir bit errado e detetar sempre ou 3 bits errados. Este valor também podia ser obtido observando que, ao alterar bit de informação, altera-se a paridade da sua linha e coluna, e altera-se c, paridade dos bits de paridade. Para um código de dimensão n ser capaz de corrigir bit, tem que haver por cada uma das k palavras de código pelo menos mais n blocos não válidos, cada um correspondendo a erro em cada uma das n posições. Como ao todo existem n blocos diferentes de n bits: k n n. (3.8)

161 Codificação para controlo de erros 55 Para que se consiga corrigir até bits tem que se acrescentar ao lado direito desta inequação o número de combinações de n, a. Define-se limite de Hamming como o número mínimo de bits de redundância, n k, a colocar para se corrigir até t bits, que satisfaz a inequação: t nk n n n n C... Ct C j. (3.9) j Um código corretor que utilize o mínimo de bits de redundância, seguindo o limite de Hamming, designa-se de código perfeito de correção de t bis. Pelo limite de Hamming, depreende-se que para uma maior capacidade de correção maior terá que ser o número de bits de redundância, n k. Contudo, nem todos os códigos que satisfaçam esta inequação conseguem de facto corrigir t bits errados (limite de Hamming é condição necessária mas não suficiente), sendo necessário também que o código tenha uma distância mínima de Hamming que respeite a equação 3.7-b. 3.6 Códigos lineares Um código linear é aquele em que a adição em aritmética em módulo- de quaisquer duas das suas palavras ( ou exclusivo bit a bit; paridade par) de código dá origem a outra palavra do código. Contem ainda a palavra de código nula, com todos os bits ao nível lógico. O peso de Hamming de uma palavra de código é definido como o número de elementos não dessa palavra. A distância mínima de Hamming de um código linear corresponde ao menor peso de Hamming de todas as palavras do código, com exceção da palavra de código nula. Caso haja erros, definidos por um padrão de erro E, em que: e i quando é produzidoum erro na posição quando não existe erro na posição i, (3.) i o efeito do canal corresponde a somar (módulo-) os bits transmitidos com o padrão de erro. Se um código for linear e o padrão de erro coincidir com uma palavra de código o

162 56 Transmissão de dados Carlos Meneses bloco recebido corresponde a outra palavra de código e os erros não serão detetados. Esta é uma propriedade importante dos códigos lineares. Note-se que um código de paridade ímpar não é linear, pois não contém a palavra de código nula nem a adição de duas palavras de código dá em geral um bloco com paridade ímpar. A maior dificuldade em tratar estes códigos leva a que neste texto sejam apenas referidos códigos de paridade par. 3.7 Código de repetição Um código de repetição corresponde a repetir um bit de informação n vezes, produzindo um código (n, ), também denominado R(n), com n ímpar. Por exemplo para n=5, as duas palavras de código são e. A distância de Hamming entre as palavras de código é de n, (de n bits a até n bits a ) pelo que se corrige até n bits errados (regra por maioria). Por exemplo, se, para n=5, for recebido o bloco é descodificado o nível lógico, pois existem uma maioria de recebidos. Para n ou mais bits errados, a descodificação produz um erro. A probabilidade de erro vem então: n n n BER' C BER. (3.) A razão do código de repetição (k=) é dada por, R c. (3.) n Para o mesmo n, o código de repetição tem a razão de código menor (pior) possível, pois o numerador da equação 3. é k=. Como contrapartida é o código que consegue corrigir o maior número de erros, ou seja, até metade (exclusivo) de n. Ao contrário, o código de paridade cuja razão é a maior (melhor) possível para o mesmo n, consegue apenas detetar um erro de bit, encontrando-se estes códigos nos dois extremos de razão do código versus capacidade de deteção e correção.

163 Codificação para controlo de erros 57 Na figura 3.4 apresentam-se os blocos possíveis de 3 bits num espaço tridimensional, em que cada bloco corresponde a um vértice de um cubo. Os pontos a cheio representam as palavras de código. Blocos separados de uma aresta têm distância de Hamming de bit. Errar bit corresponde ao deslocamento numa aresta. (a) (b) Figura 3.4 Blocos de 3 bits num espaço tridimensional. (a) Código de repetição (b) Código de paridade. Palavras de código. Errar bit corresponde ao deslocamento numa aresta. O código de repetição tem maior separação entre palavras de código (3 arestas ou distância de Hamming de 3) do que o código de paridade ( arestas ou distância de Hamming de ). Utilizando o código de paridade, quando existe erro o bloco recebido fica posicionado num vértice, à distância de aresta de 3 palavras de código diferentes, todas com a mesma probabilidade. No código de repetição o bloco recebido fica a uma aresta da palavra original e a duas da outra palavra de código, corrigindo-se para a palavra de código correta. Embora com uma razão do código muito baixa, o código de repetição é utilizado no armazenamento de dados que necessitem de alta proteção, como por exemplo os dados de clientes num banco, colocando n discos em paralelo. Quando da escrita a mesma informação é gravada em todos os discos. Quando a informação é lida é aplicada uma regra por maioria de modo a corrigir eventuais erros. Erros sistemáticos num dos discos conseguem ser detetados sem por em causa a informação, de modo a poder ser substituído.

164 58 Transmissão de dados Carlos Meneses 3.8 Código de Hamming Um código perfeito com uma distância de Hamming mínima de 3, capaz de corrigir bit ou detetar bits errados, é o código de Hamming. Para ilustrar este código considere-se uma mensagem de 4 bits, por exemplo. Este código requer 3 bits de paridade, num total de 7 bits (equação 3.8 com código perfeito), correspondendo a um código H(7,4) (Hamming (7,4)). Coloque-se os bits de informação da esquerda para a direita, respetivamente nas posições: m7 m6 m5 p4 m3 p p x x x Os 3 bits marcados com x, que estão nas posições condizentes com potências de, corresponderão aos bits de paridade. Coloque-se agora os bits de mensagem nas posições indicadas na figura 3.5-a, como ilustrado na figura 3.5-b. (a) (b) Figura 3.5 Cálculo dos bits de redundância do código de Hamming (7,4). (a) Diagrama genérico (b) Exemplo. Os bits de paridade correspondem ao cálculo da paridade par dentro do mesmo círculo. Os bits transmitidos, incluindo os bits de paridade, são: m7 m6 m5 p4 m3 p p bits transmitidos Caso haja um erro, por exemplo em m6, os bits recebidos são: m7 m6 m5 p4 m3 p p bits recebidos

165 Codificação para controlo de erros 59 O procedimento de correção a ser efetuado no recetor é o seguinte: ) Recalculam-se os bits de paridade, sem ter em conta os bits de paridade recebidos. Figura 3.6 Cálculo do código de Hamming (7,4). No recetor, recalcula-se os bits de paridade para comparação com os recebidos. ) Adicionam-se (módulo-) os bits de paridade recebidos e calculados correspondentes (ou, de um modo equivalente, calcula-se a paridade par), produzindo um número denominado síndrome; m7 m6 m5 p4 m3 p p bits recebidos bits calculados Síndrome 3) Lendo os bits da síndrome da esquerda para a direita, e transformando-a em decimal 6, então o bit errado é o bit m6; 4) Inverte-se o nível lógico do bit errado e retiram-se os bits de paridade, descodificando os bits m7, m6, m5, m3 =, os bits corretos; 5) Quando não há erros os bits de paridade recebidos e recalculados são iguais, pelo que a síndrome vem, indicando não haver erros. Note-se pelo diagrama da figura 3.5-a, que o bit m6 influência as paridades (p4, p) exatamente as posições com nível lógico da conversão para binário do seu índice (6 ), assumindo as posições pela ordem (p4, p, p). Esta situação

166 6 Transmissão de dados Carlos Meneses repete-se para todos os outros bits de informação e é por este facto que a síndrome corresponde ao bit errado. Uma alternativa ao cálculo dos bits de paridade no código de Hamming corresponde a adicionar em módulo- as posições em binário dos bits de informação ao nível lógico. Com o exemplo da sequência binária, o bit m7 e m3 estão ao nível lógico, pelo que: p4 p p 7 3 Paridade No recetor, repete-se o procedimento, incluindo os bits de paridade. Neste caso acrescenta-se p4 que está ao nível lógico, Se a síndrome der não existem erros: p4 p p Síndrome Assumindo um erro na posição m6, a síndrome corresponde novamente à posição errada, bastando para corrigir o bit inverter o seu nível lógico. p4 p p Síndrome 6 Em alternativa ao diagrama da figura 3.6, um código em que os bits de redundância são definidos por paridades de subconjuntos do bits de entrada estes podem também ser definido com a operação ou exclusivo ou. Para o código de Hamming (7,4) tem-se (figura 3.5): p4 m5 m6 m7 p m3 m6 m7 p m3 m5 m7. (3.3)

167 Codificação para controlo de erros 6 Num código de Hamming, para qualquer que seja o número de bits de paridade é apenas possível corrigir bit, pois a distância mínima de Hamming é sempre 3. A relação entre o número de bits de informação e a dimensão do código torna o código de Hamming perfeito, ou seja, corresponde ao menor valor de n da inequação 3.8, dado pela equação: n nk. (3.4) Segundo a equação 3.4 aplicada para bits de paridade, é gerado um código (3,), corresponde a um código de repetição de 3 bits. No entanto, embora gozando das propriedades dos códigos de Hamming, este não é considerado como tal: m3 p p Com 4 bits de paridade o código corresponde a um código H(5,): m5 m4 m3 m m m m9 p8 m7 m6 m5 p4 m3 p p Qualquer que seja o código de Hamming, uma vez que a distância mínima de Hamming é sempre 3, a probabilidade de errar um bloco corresponde à probabilidade de errar bits (ou mais): P b n n n f n, BER C BER BER. (3.5) Nesta situação o bit corrigido é sempre um terceiro bit (mal corrigido), o que corresponde no final a 3 bits errados em n, pelo que: 3 3 BER' Pb n BER. (3.6) n Na figura 3.7 é apresentada uma comparação entre os códigos de repetição e de Hamming, para BER= -5. Realça-se o compromisso entre a razão do código e a capacidade de correção. Num código de repetição, quanto maior for o número de bits repetidos mais bits se conseguem corrigir mas a razão do código decai também muito

168 BER' 6 Transmissão de dados Carlos Meneses rapidamente. Os códigos de Hamming, mantendo constante a capacidade de corrigir bit, melhoram a razão do código à medida que vão protegendo maior número de bits de informação e-4.e-8.e-.e-6.e- R(5) R(3)=H(3,) H(7,4) H(5,) H(3,6).E-4.E-8.E-3.E-36.E-4.E-44.E-48.E-5.E-56.E-6.E-64.E-68.E-7 R(3) Razão do código Figura 3.7 Desempenho dos códigos de repetição e códigos de Hamming. Exemplo com para BER= -5. A probabilidade de erro após correção é tanto maior (pior) quanto maior (melhor) for a razão do código. 3.9 Matriz geradora Códigos lineares e sistemáticos podem ser gerados através de um produto matricial em aritmética de módulo-. Considere-se um conjunto de bits de informação representados sob a forma de um vetor linha m (, k): m m... m m, (3.7) k e uma matriz geradora do código G (k, n), definida por: G I k P, (3.8)

169 Codificação para controlo de erros 63 em que I k (k, k) é uma matriz identidade e P (k, n k) é uma matriz que define os bits de paridade. O vetor linha c (, n) representado as palavras de código é definido por: c mg. (3.9) Devido à matriz identidade, os bits de informação são copiados para o código, tornando-o sistemático. Note-se que a soma de duas palavras de código origina outra palavra de código, tornando-o linear: c c m G m G m m G. (3.3) i j i j i j Cada linha da matriz geradora corresponde a uma palavra de código. Esta é gerada quando apenas um e um só bit de informação se apresenta ao nível lógico. Da esquerda para a direita, se o bit j for o único bit ao nível lógico, a palavra de código correspondente é dado pela linha j. Todas as outras palavras de código correspondem à combinação linear (módulo-) das respetivas linhas da matriz geradora. Por exemplo, se o bit i e o bit j estiverem ao nível lógico, a palavra de código correspondente é dada pela combinação linear das linhas i e j. De modo a que no recetor se consiga perceber se houve erros na transmissão, assume-se a matriz de verificação de paridade, H T (n, n k): T P H, (3.3) Ink em que I n-k (n k, n k) é uma matriz identidade. Verifica-se que: T S ch.... (3.3) O produto com a matriz P recalcula a paridade (linha) e o produto com a matriz I n-k compara este resultado com a paridade, que sendo a mesma dá resultado em todas as colunas.

170 64 Transmissão de dados Carlos Meneses Caso haja erros representados pelo padrão de erro da equação 3., o que é recebido é c E. Multiplicando por H T obtêm-se: T T T T c EH ch EH EH S. (3.33) O resultado, S, da verificação, depende apenas do padrão de erro e não do código enviado. Caso este resultado seja não há erros. Se o limite de Hamming (equação 3.9) e a distância mínima de Hamming (equação 3.7-b) forem suficientes, este resultado corresponde a uma síndrome capaz de indicar quais os bits errados. Caso haja apenas bit errado na posição j (da esquerda para a direita), a síndrome corresponde à linha j da matriz de verificação. Caso haja mais do que erro a síndrome corresponde à combinação linear das respetivas linhas da matriz de verificação. Como em qualquer código linear, caso o padrão de erro coincida com uma palavra de código a síndrome anula-se e embora existam erros estes não são detetados Código de paridade Num código de paridade todos os bits de informação influenciam o único bit de paridade, pelo que a matriz de paridade P (k, ) corresponde a um vetor coluna com todos os elementos iguais a. Apresenta-se seguidamente a matriz geradora e a matriz de verificação de paridade para um código de dimensão 5: G T H. (3.34) 3.9. Código de repetição Num código de repetição de n bits, (n, ), existe apenas bit de informação e duas palavras de código. Todos os bits de paridade são iguais ao bit de informação. A matriz P (, n ) e a matriz geradora G (, n) correspondem a vetores linha com todos

171 Codificação para controlo de erros 65 os elementos iguais a. Apresenta-se seguidamente a matriz geradora e a matriz de verificação de paridade para um código de repetição de 5 bits: G T H. (3.35) Código de Hamming H(7, 4) Para um código de Hamming H(7,4), em que os 4 bits de informação são representados pelo vetor linha: m m m m m, (3.36) e o código representado por, p p p m m m m c, (3.37) a matriz geradora é definida por (equação 3.3 ou figura 3.5-a): G. (3.38) Note-se que o bit m7 influência os 3 bits de paridade (ª linha), o bit m6 influência os bits de paridade p4 e p (ª linha), o bit m5 influência os bits de paridade p4 e p (3ª linha) e o bit m3 influência os bits de paridade p e p (4ª linha). Caso o vetor de entrada estivesse representado por outra ordem na equação 3.36 as linhas da matriz P estariam também por outra ordem. Da mesma forma, se a ordem dos bits de paridade fosse diferente na equação 3.37 a matriz P teria também colunas trocadas.

172 66 Transmissão de dados Carlos Meneses Visto a partir das colunas, o bit de paridade p4 é função dos correspondentes bits ao nível lógico da primeira coluna desta matriz, bits m7, m6 e m5, pelo que as três primeiras posições desta coluna são e a última posição que depende do bit m3 está a. O bit de paridade p é função dos correspondentes bits ao nível lógico da primeira coluna desta matriz, bits m7, m6 e m3, pelo que as respetivas posições da ª coluna são e a 3ª posição que depende do bit m5 está a. O mesmo raciocínio se aplica para p. A matriz de verificação de paridade (equações 3.8 e 3.3 e 3.38) vem: T H. (3.39) Existindo um erro, por exemplo na posição 6, o padrão de erro vem: dando origem a uma síndrome: E, (3.4) T S EH, (3.4) que corresponde à segunda linha da matriz de verificação de paridade, estando por isso errado o segundo bit a contar da esquerda no padrão de erro. Generalizando este raciocínio, para um código de correção de bit, o bit errado corresponde ao índice da linha coincidente com a síndrome. Estas linhas têm que ser todas diferentes para que o bit errado seja inequívoco.

173 Codificação para controlo de erros Códigos cíclicos Os códigos cíclicos são uma subclasse dos códigos lineares, com uma estrutura algébrica bem definida e simples de implementar. O princípio dos códigos cíclicos é o seguinte: suponha-se um número a enviar entre o transmissor e o recetor. No transmissor, faça-se a divisão inteira deste número por um dividendo conhecido no transmissor e no recetor. É enviado o número original e o resto da divisão inteira. No recetor é novamente efetuada a divisão e os restos são comparados. Caso sejam iguais é considerado que não há erros. Contudo, erros em que resulte um resto igual não serão detetados. Aplicando este princípio para transmissão binária, considerando: x m polinómio de grau k ( k bits ou coeficientes do polinómio, tomando valores ou, correspondentes à mensagem a enviar ); g x divisor ou polinómio gerador, de grau n k ; r x polinómio correspondente aos resto da divisão inteira com g x n k (com n k coeficientes);, de grau tem-se que, e, n m x x g n x gx m x k x r k x q q x x r g r g x x x x, (3.4) r g x x qx. (3.43) colocar os idêntico). nk As palavras de código correspondem a Tx mxx rx n k bits de x nk r nos bits à direita de m x x, equivalente a (somar ou subtrair é m x tem exatamente k bits e são adicionados n k bits de redundância (resto) pelo que este código corresponde a um código (n, k). Para x= os polinómios correspondem à leitura dos bits em binário.

174 68 Transmissão de dados Carlos Meneses No recetor o polinómio recebido é também dividido por g x, não se obtendo resto como resulta da equação Como consequência todas as palavras de código são múltiplas (módulo-) do polinómio gerador g x. Havendo erros representados pelo padrão de erro da equação 3., o que é recebido é x Ex verificar o resto: T. Este polinómio é dividido pelo polinómio gerador para se T x Ex gx T g x x E g x x. (3.44) Como T x gx produz resto zero, os erros só não são detetados se E x gx não produzir resto zero. Esta situação dá-se quando o padrão de erro é múltiplo do polinómio gerador, coincidindo com uma das palavras de código. A mesma conclusão é tirada da propriedade dos códigos lineares segundo a qual os padrões de erro correspondentes às palavras de código não são detetados. Se uma palavra de código for rodada para a esquerda, colocando o coeficiente de ordem n na posição do coeficiente de ordem, o resultado é outra palavra de código. É esta característica que dá o nome de códigos cíclicos. É também a estrutura cíclica que torna este código fácil de implementar. Contudo, para se garantir que um código com dimensão n é cíclico, duas condições devem ser satisfeitas: () x n g tem que ser um fator de x ; () O coeficiente de ordem de g x tem que ser. Se a condição () não fosse satisfeita, o bit mais à direita do resto e portanto das palavras de código seria sempre, independentemente dos bits a transmitir, o que para além de tornar o código não cíclico é inútil. 3.. Códigos cíclicos como códigos de correção Para além das condições para que o código seja cíclico, para corrigir t bits o número de bits de redundância a introduzir deverá satisfazer o limite de Hamming dado

175 Codificação para controlo de erros 69 pela equação 3.9. Uma escolha apropriada do polinómio gerador deverá ainda atender à distância mínima de Hamming, satisfazendo a equação 3.7-b. A informação sobre quais os bits errados é dada pelo resto, que opera como síndrome. Apresentam-se três exemplos de polinómios geradores: os polinómios dos códigos H(7,4) e H(5,), com distância mínima de Hamming de 3; e o polinómio do código de Goley (3, ), com distância mínima de Hamming de 7, único código perfeito conhecido para correção de 3 bit. Hamming (7,4) (m5 m7 m6 m3) x 3 +x+ Hamming (5,) x 4 +x+ (3.45) Código de Goley (3, ) x +x 9 +x 7 + x 6 +x 5 +x+ 3.. CRC Verificação cíclica de redundância Na transmissão de pacotes em redes de computadores estes atingem uma dimensão de centenas ou mesmo milhares de bits, sendo de dimensão variável. A implementação de códigos corretores para estas dimensões é uma tarefa complexa, nomeadamente na presença de erros em rajada. Contudo, para o código funcionar apenas como detetor de erros, basta verificar se o resto é diferente de zero. O resto não opera como síndrome, pelo que não há qualquer restrição ao número de bits de informação em relação à dimensão total do código. Note-se que o código deixa de ser cíclico uma vez que x n g deixa de ser um fator de x. Daqui se conclui que, quando se pretende apenas detetar erros, qualquer polinómio gerador pode ser utilizado qualquer que seja a dimensão dos bits a transmitir. Neste contexto os códigos cíclicos tomam o nome de códigos de verificação cíclica de redundância (CRC Cyclic redundancy check). Uma das grandes vantagens do código CRC é como detetor de rajadas de erros. Segundo a equação 3.44, não se deteta erros se o padrão de erro for múltiplo do polinómio gerador. Relembrando que uma rajada começa e acaba sempre com um erro, existem três casos a serem considerados:

176 7 Transmissão de dados Carlos Meneses () Rajadas de dimensão menor ou igual ao grau (n k) do polinómio g x não poderão corresponder aos seus múltiplos e são todas detetadas; () Para rajadas com dimensão (n k+) existe apenas um padrão de erro múltiplo de g x, que condiz exatamente com g x, em ( nk ) padrões de erro possíveis, devidas a (n k+) bits no interior da rajada. Assumindo que estes padrões são equiprováveis, vem para a relação de rajadas não detetadas: ( nk ) ( k ), (3.46) n definindo relação de rajadas não detetadas como a relação entre o número de rajadas não detetadas e o número total de rajadas; (3) Para rajadas de dimensão (n k+) existe apenas um múltiplo de g x em ( ) nk padrões de erro possíveis, devidas a (n k+) bits no interior da rajada. Por cada bit que se aumenta na rajada o número de padrões de erro diferentes duplica mas também duplica o número de múltiplos de g x, mantendo-se a mesma relação ( nk). A relação total de rajadas não detetadas numa trama, BFER, (Burst frame error rate) entre o número de rajadas não detetadas e o número total de rajadas, corresponde ao valor médio das três situações anteriores. Dado que o somatório de padrões de erro da situação () iguala os da situação (), a sua média iguala a da situação (3). A relação de rajadas não detetadas BFER, assumindo que todas as dimensões de rajadas de erros e todos os padrões de erro são equiprováveis, vem: BFER rajadas não detectadas nº totalde rajadas ( nk). (3.47) Apesar da dimensão do polinómio gerador não estar à partida definido, este é um parâmetro importante que determina a dimensão das rajadas de erros a detetar. Com o aumento da dimensão (n k) do polinómio gerador, a razão do código diminui. Contudo, aumenta a dimensão mínima (n k) da dimensão das rajadas sempre detetadas

177 Codificação para controlo de erros 7 e diminui, segundo a equação 3.47, a relação de rajadas não detetadas. Note-se ainda que, mesmo para um polinómio gerador com uma ordem moderada, são detetados a maioria dos padrões de erro. Alguns exemplos de polinómios utilizados como CRC são: Paridade x+ CRC 5 USB x 5 +x + CRC8 ITU T x 8 +x 7 +x 3 +x + (3.48) CRC6 ITU T x 6 +x +x 5 + CRC6 (USA) x 6 +x 5 +x + Os códigos CRC são utilizados por exemplo na interface USB e em redes de computadores, ou na escrita e leitura de ficheiros em computadores Códigos cíclicos e matriz geradora Os códigos lineares podem ser implementados através de diversos métodos. A divisão pelo polinómio gerador g x aqui descrita e a geração através de multiplicação por uma matriz geradora G, descrita anteriormente, são dois destes métodos. Relacionando-os e relembrando que a j-ésima linha da matriz geradora corresponde à palavra de código com apenas bit de informação na posição j (da esquerda para a direita) ao nível lógico : () A última linha (k) da matriz G é igual aos coeficientes de g x, pois este corresponde à palavra de código com apenas o bit de informação na coluna k ao nível lógico e com zeros à esquerda; () A linha k de G corresponde à linha k rodada para a esquerda (estrutura cíclica), desde que a nova coluna k não seja, de modo a manter a matriz identidade da equação 3.8. Caso contrário soma-se a linha k (código linear) forçando esta posição a zero; (3) Repete-se o procedimento () paras as linhas acima seguintes, partindo sempre da linha anterior, até se chegar à linha.

178 7 Transmissão de dados Carlos Meneses 3. IP Checksum Um código robusto de deteção de erros, embora não linear, é o código IP checksum, utilizado na deteção de erros dos cabeçalhos do protocolo TCP/IP. Considere-se que se divide os bits de informação em sub-blocos, M i, com dimensão (n k) bits. O código IP checksum utiliza sub-blocos de dimensão de 6 bits. O checksum corresponde ao complemento para um (negação) da adição a (n k) bits em complemento para um de todos os sub-blocos. CS ~ X ~ M M M3 M 4... Mj. (3.49) A adição em complemento para um tem a mesma dimensão das parcelas, qualquer que seja o número de parcelas, pois, ao contrário da adição vulgar, os bits de arrasto são adicionados aos bits menos significativos. CS tem portanto (n k) bits correspondendo aos bits de redundância. O código é sistemático, sendo a palavra de código constituída pelos bits de informação e pelo checksum. A adição em complemento para um goza das propriedades comutativa e associativa da adição vulgar. Estas propriedades podem ser utilizadas para diminuir a complexidade na implementação, quer em hardware quer em software, nomeadamente efetuando a adição aos pares ou em paralelo. M M M 3 M 4... Mj M M M 3 M 4... M M M 3 M 4... Mj Mj. (3.5) No recetor, repete-se o procedimento do transmissor, incluindo o checksum. Correspondendo o checksum ao complemento para um da adição em complemento para um, o resultado final é zero: CS ~ X ~ X ~ X. (3.5) Caso este valor não seja é porque foram produzidos erros entre o transmissor e o recetor e o pacote deve ser retransmitido.

179 Codificação para controlo de erros Interleaving As rajadas de erros podem ser detetadas com códigos adequados, como por exemplo os códigos BCC e CRC. Estes códigos, contudo, não têm capacidade para corrigir bits mas apenas para detetar a presença de erros. De modo a resolver esta insuficiência, o interleaving (entrelaçamento) é uma técnica capaz de converter erros em rajada em erros isolados, para que estes sejam corrigidos através de um qualquer código corretor. O interleaving é implementado criando uma matriz, em que os bits são colocados por linha, mas transmitidos por coluna. No recetor, os bits são recolocados na sua ordem original. Os bits que no canal faziam parte de uma rajada passam a estar distanciados. Na figura 3.8 apresenta-se um exemplo em que os bits são substituídos por letras, para mais fácil demonstração do procedimento. E x e m p l o D e T r a n s m i s s a o I n t e r l e a v i n g ó ó ó ó ó çã Figura 3.8 Exemplo de código com interleaving. A dimensão da rajada de erros é de 6, menor que o número de linhas, 8. Nesta condição os erros em rajada transformam-se em erros isolados espaçados do número de colunas, 4. Se a rajada de erros tiver uma dimensão inferior ao número de linhas, erros em rajada transformam-se em erros isolados espaçados da dimensão do número de colunas. Note-se que o interleaving não é um código, tendo-se que recorrer a um código corretor de erros aleatórios. Se, por exemplo, forem colocados os bits de um código de

180 74 Transmissão de dados Carlos Meneses bloco de correção em cada linha, os erros são corrigidos se não for ultrapassada a sua capacidade de correção. Se o código corretor tiver a capacidade de corrigir apenas bit (por exemplo o código de Hamming), a dimensão máxima da rajada é igual ao número de linhas. Utilizando um código de correção de t bits, a dimensão máxima da rajada detetada e corrigida, b max, é de: bmax t li, (3.5) em que li é o número de linhas, ou número de blocos do código de correção utilizado. No projeto de um interleaving toma-se então em consideração o número de bits n código corretor que se quer utilizar (número de colunas: cl=n) e, em função do número de bits máximo corrigidos e da dimensão máxima da rajada que se quer corrigir (número de linhas: li=bmax/t). A razão de código final é a razão do código de correção utilizado em cada linha. Se não for já inerente um atraso na transmissão, como por exemplo na transmissão de um pacote em redes de computadores, o interleaving impõe um atraso correspondente à dimensão do número de bits da matriz, já que no recetor é preciso ter acesso a todos os bits para os poder recolocar.

181 Discussão sobre comunicação de dados 75 4 Discussão sobre comunicação de dados Esta segunda parte do texto corresponde a uma introdução sobre a interface elétrica da camada física do modelo OSI e os algoritmos de controlo de erros de bit das camadas superiores dependentes da rede e da camada de transporte. Estes blocos de um sistema de comunicação digital são apresentados como solução para lidar com as limitações do canal de comunicação, otimizando recursos importantes como a energia e a largura de banda disponível. Foram descritos os principais códigos de linha, binários e M-ária, para transmissão em canais passa-baixo. Constituem atributos dos códigos de linha a energia média por bit (esforço), o débito binário e eficiência espetral (velocidade), a probabilidade de erro de bit (qualidade), a presença de componente DC, a capacidade de deteção de erros, a facilidade de sincronismo de símbolo e a complexidade de implementação dos transmissores e recetores. Existem claramente compromissos em relação a estes atributos, já que, por exemplo, para diminuir a largura de banda ocupada diminui-se o número de transições por segundo, o que dificulta o sincronismo de símbolo, que por sua vez aumenta a complexidade do recetor. Num outro exemplo, para melhorar a probabilidade de erro de bit pode-se aumentar a energia por bit e vice-versa. Para todos os códigos de linha apresentados foram deduzidas as expressões da energia média por bit, da probabilidade de erro de bit e da largura de banda. Para a largura de banda foi utilizado o critério de primeiro zero espetral, já razoável para atenuar a interferência intersimbólica, e segundo o critério de Nyquist, que a evita completamente. Foram apresentados os recetores ótimos, realizados com filtro adaptado e deteção segundo o critério de máxima verosimilhança. Tendo sido assumido que os símbolos são equiprováveis, a deteção de máxima verosimilhança é de facto equivalente à deteção ótima com critério de máximo a posteriori. Os códigos de linha M-ária correspondem também a compromissos, já que a sua implementação tem maior complexidade e para a mesma relação entre a energia média

182 76 Transmissão de dados Carlos Meneses por bit e potência de ruído por Hertz, apresentam a probabilidade de erro de bit maior, mas conseguem uma melhor eficiência espetral, ou seja, transmitem um maior débito binário numa menor largura de banda. De modo a diminuir a probabilidade de erro é possível regenerar o sinal em pontos intermédios do canal de comunicação, por exemplo nos equipamentos da rede (e.g. hubs, switchs, routers). Se a atenuação ainda não for demasiada e o sinal ainda não tiver sido muito afetado pelo ruído é possível regenerar o sinal praticamente sem erros. Note-se que não é possível regenerar um sinal analógico mas apenas amplificá-lo, o que implica amplificar também o ruído. Devido ao ruído no canal de comunicação é impossível evitar erros de bit entre o transmissor e o recetor. Inserindo bits de redundância é contudo possível detetar ou, se o número de bits de redundância introduzidos for suficientes, corrigir estes erros. Para os códigos de deteção de erros é necessário um mecanismo que informe o transmissor destes erros, para que a informação seja retransmitida. São apresentados alguns dos principais códigos de deteção e correção de erros e suas limitações. São deduzidas as probabilidades de erro após retransmissão no caso da utilização de códigos detetores, ou correção no caso da utilização de códigos corretores. É ainda apresentado o interleaving, procedimento para lidar com erros em rajada mas utilizando códigos para erros aleatórios. Como código para lidar diretamente com os erros em rajada é apresentado o CRC e calculada a respetiva relação de rajadas não detetadas, que funciona como medida de qualidade da transmissão na presença deste tipo de erros.

183 Interleaving 77 Apêndices Principais Equações Perguntas Teóricas Exercícios Resolvidos Exercícios Propostos Exercícios em MATLAB

184 78 Apêndices Carlos Meneses Apêndice Estimação estatística da potência de um sinal Assumindo um sinal x t com função densidade de probabilidade das amplitudes f x verifica-se que o seu valor médio corresponde à componente contínua e o valor esperado de segunda ordem corresponde à potência do sinal: T / x lim xt dt xf xdx T T (A..) T / T / Px lim x t dt x f xdx T T (A..) T / Tem-se ainda que, P x P P, (A..3) x x xdc xac em que P xdc é a potência da componente contínua e PxAC a po ncia da componente AC ou variável. Se a componente DC for V, o que acontece na maioria dos sinais de interesse: P x x x f xdx Estes conceitos podem ser estendidos a sinais discretos: (A..4) N / x lim xn xf xdx N N (A..5) n. N / N / Px lim x n x f xdx N N (A..6) nn / O que estas equações traduzem é que não é preciso conhecer um sinal em todos os instantes, mas apenas a função densidade de probabilidade das amplitudes, para estimar a sua componente contínua e a sua potência. Esta conclusão é de extrema utilidade quando se analisam sinais aleatórios como o ruído (e.g. com distribuição de amplitudes uniforme ou normal).

185 Apêndice Estimação estatística da potência de um sinal 79 Exemplo: Calcule o valor da componente contínua e a potência de um sinal dente de serra mt com período T e amplitude m max. No domínio do tempo, uma vez que o sinal é periódico, o valor médio é dado por, m DC T T m T T max m t dt T max T T m tdt T max t T T m T max T 4 T 4 P m T T T m T max t 4m dt T max 3 T T 4m t dt 3T max 3 t 3 T T 4m 3T max 3 T T m 8 3 max Uma vez que as amplitudes do sinal dente de serra tem distribuição uniforme entre mmax e mmax, m max max m mmax mmax mdc mf mdm mdx (A..7) mmax 4mmax 4m m max max m mmax P x m max m max 3 max 3 3 m mmax mmax mmax m f mdm m dx m (A..8) max 6mmax 6mmax 3 m mmax Segundo as equações A.. e A.., o cálculo no domínio do tempo ou no domínio das amplitudes dão valores iguais.

186 8 Apêndices Carlos Meneses Apêndice Decibéis O Decibel (db) é uma unidade que expressa a relação entre duas grandezas físicas, geralmente entre duas potências (S e S ), através de uma escala logarítmica, sendo definido como: S log S. (A..) O Decibel corresponde a um décimo de Bel, nome atribuído em homenagem ao fundador da companhia de telefones Bell (877), nos Estados Unidos da América. Seguidamente apresentam-se utilizações típicas do Decibel enquanto medida: Relação sinal ruído Medida de qualidade entre dois sinais analógicos que deveriam ser iguais, mas em que um deles (normalmente os sinal de saída de um sistema) está contaminado com ruído. Mede-se assim a qualidade através da SNR (Signal to noise ratio), relação entre a potência do sinal (P) e a potência do ruído (N): P log. (A..) N SNR db Atenuação Relação entre a potência de entrada e a potência de saída de um sistema que atenua um sinal, por exemplo um canal de comunicação, em que a potência do sinal no recetor, S R é menor que a potência no transmissor, S T : At S T log log At S, (A..3) R db em que A t é a atenuação em relação linear. Amplificação Relação entre a potência de saída (S o ) e entrada (S i ) de um sistema (e.g. amplificador) que amplifica um sinal: S o vo log log, (A..4) Si vi GdB considerando v o e v i respetivamente como as tensões de saída e entrada do sistema (assumindo sobre a mesma carga).

187 Apêndice Decibéis 8 Decibel como valor absoluto Um valor de potência é expresso em relação a um valor de referência, como por exemplo W, dando origem à unidade dbw: S S dbw log. (A..5) Note-se que, por exemplo, que uma potência de W corresponde a dbw, W a 3 dbw, W a dbw e mw a 3 dbw. Sinais com potência menor que W tornam o valor em dbw negativo, o que é evitado tomando como referência mw em vez de W, definido como dbm (ou mesmo W, definindo-se como db): S S dbm log. (A..6) 3 Para converter potencias em dbw para dbm tem-se que: S dbm S log log 3 3 S log S 3 dbw. (A..7) As principais vantagens da utilização do Decibel são: - O resultado dos ganhos e atenuações de sistemas consecutivos correspondem à sua soma (ou subtração) em decibéis, e não à multiplicação (ou divisão); S S Si G SidBW GdB (A..8) dbw log log S RdBW S S R T log log STdBW AtdB A (A..9) t - Transforma números muito pequenos ou muito grandes em números mais fáceis de operar; - Na acústica, está mais próximo da sensibilidade do ouvido humano, que tem uma resposta logarítmica da sensação em relação à potência.

188 8 Apêndices Carlos Meneses Apêndice 3 Algoritmo de quantificação ótima Entradas: Número L de valores de quantificação; Histograma normalizado dos valores de entrada m i : i=:k; k>>l; Histograma normalizado dos valores de entrada f M (m i ): i=:k; Índice de distorção ; Inicialização: ) Calculam-se arbitrariamente L níveis de quantificação v j ; j=:l; (e.g.: quantificação uniforme); ) Assume-se a potência do ruído de quantificação da iteração, ( ) ; 3) Ordem de iteração n=; q Iteração: ) Calculam-se os espaços S j, j=:l com m i S j se, (m i v j ) (m i v l ), l j, l=:l; j=:l; ) Calcula-se a potência do ruído de quantificação da iteração n, ( n ), m v f ( m ) ( n) m, m i S j ; q j i i q ( n ) q ( n) 3) Se calculam-se as saídas e termina-se o algoritmo; ( n) q 4) Calculam-se novos valores de quantificação como a média normalizada dos espaços S j : j i 5) Incrementa-se n e retorna-se ao ponto ); v i i j mi f M ( mi ) j=:l, m i S j ; f ( m ) M i q Saídas: Valores de quantificação: v j, j=:l Valores de decisão: (L ) valores equidistantes dos valores de quantificação;

189 Apêndice 4 Parecença entre sinais e vetores 83 Apêndice 4 Parecença entre sinais e vetores Pretende-se representar o vetor x à custa do vetor de base c, por, a c, de modo que a norma do vetor de erro e resultante da representação seja a menor possível. Esta representação dá-se pela projeção na ortogonal, ou seja, pelo produto interno entre x e c, normalizado pela norma ao quadrado do vetor de base, a x, c, c, c Pretende-se representar o sinal de energia t t, por, x à custa do sinal de base a c t, de modo que a energia Ee do sinal de erro e t resultante da representação seja a menor possível. Esta representação dá-se pela projeção na ortogonal. c E e e t dt x t ac t dt. Para minimizar E e é necessário derivar a sua expressão em ordem a a e igualar a. a E e a x t a c t xt a c t dt x c cos( ) a. (A.4.) c a c t xt c t dt x t c t c a. (A.4.) dt t Comparando as equações A.4. e A.4., as equações são análogas, desde que se denomine produto interno entre dois sinais de energia x t e t dt y, t yt xt yt x, dt. (A.4.3)

190 84 Apêndices Carlos Meneses Se a base for composta por mais do que uma direção, a projeção em cada um dos vetores de base c n é dada por, a x, c n n. cn, cn Se a base for ortogonal (vetores de base ortogonais, pelo que o seu produto interno é ) e completa, o vetor x é representado pela soma das suas componentes em cada direção, x n a n c n. Pelo teorema de Pitágoras 3 generalizado, o quadrado da norma do vetor x pode ser calculado pela soma dos quadrados das normas das componentes, x a c n n. n 3 Pitágoras, viveu por volta de a.c.. Grego. Filósofo e Matemático. Se a base for composta por mais do que um sinal, a projeção em cada um dos sinais de base c n t é dada por, t t x, cn an. c ( t), c ( t) n Se a base for ortogonal (sinais de base ortogonais, pelo que o seu produto interno é ) e completa, o sinal x t é representado pela soma das suas componentes em cada direção, x t n t a c. n Pelo teorema de Rayleigh, a energia do sinal xt pode ser calculada pela soma das energias das suas componentes, E x n O mesmo tipo de analogia se pode fazer para sinais de potência, pelo que: xt, yt lim xt ct dt, T T T e em particular para sinais periódicos: x a T n n n E en t, yt xt ct T Por analogia com a análise vetorial, a raiz quadrada da potência, denominada de valor médio quadrático ou RMS, pode ser denominada de norma. T. dt

191 Apêndice 5 Função de autocorrelação 85 Apêndice 5 Função de autocorrelação A função de autocorrelação temporal (não estatística) de sinais discretos é definida por N lim, (A.5.) N mnm n k R k N nn correspondendo ao produto interno do sinal com a sua versão deslocada de k amostras. A autocorrelação normalizada é dada pela relação entre a autocorrelação e a potência (autocorrelação de ordem ), e torna esta independente da amplitude do sinal. r k R k R k. (A.5.) P R A função de autocorrelação para sinais em tempo contínuo corresponde ao produto interno do sinal e da sua versão deslocada do tempo : R mt mt T Exemplo para uma sinusoide: t m f t T lim dt. (A.5.3) T T m max cos, de período fundamental T o. Opta-se por a calcular em tempo contínuo e amostrar seguidamente. R m R / T max T / m cos f t m cosf ( t ) T cos f cos4 f t f max dt f T / T / max mmax cos dt t T / T T T / Amostrando esta função com período T A autocorrelação normalizada vem: r mmax R cos f (A.5.4) vem, s kt s R k m R cos f rk R cos max R k R f k (A.5.5) fs f cos k. (A.5.6) f s A autocorrelação de uma sinusoide não depende da fase inicial. A autocorrelação de uma sinusoide discreta depende da relação f /f s e não dos seus valores absolutos.

192 86 Apêndices Carlos Meneses Apêndice 6 Sinusoide com preditor unitário mmax Prova que, V, com preditor unitário, é exato para entrada sinusoidal: G p i. Pela equação 5.5, G p r ii. A autocorrelação de uma sinusoide normalizada (A.5.6) para uma amostra de atraso f vem r cos, pelo que: G. p f s f cos f s iii. Assumindo a aproximação da equação 5., m max f f f mmax cos mmax 4sin mmax sin Gp f s f s f V s, (A.6.) que corresponde de facto, para uma sinusoide, à máxima variação no tempo T s, que se dá na zona de maior declive, ou seja, à volta de, como se pode verificar pela figura seguinte: Figura A.6. Maior variação de uma sinusoide amostrada. iv. Para DM e com a certeza que o sinal de entrada é uma sinusoide, f V mmax sin, f s (A.6.) é uma melhor (menor) estimativa de do que a produzida por m f. Estas aproximam-se se f f s, pois nestas condições f f. (A.6.3) ' m maxts mmax sin mmax f s fs max f s

193 Densidade Espectral de Potência Apêndice 7 Funções densidade espetral de potência em códigos de linha 87 Apêndice 7 Funções densidade espetral de potência em códigos de linha PNRZ PRZ UNRZ BNRZ Manchester NRZI G G G G G G f f f f f f A R A 4R f sinc (A.7.) b R b f sinc b R b (A.7.) A f A sinc f 4R b R (A.7.3) b 4 A R b A R b A R f f sinc sin (A.7.4) Rb Rb f sinc Rb sin f R b (A.7.5) f sinc (A.7.6) b R b.75 PNRZ BNRZ Manchester PNRZ PRZ UNRZ Manchester BNRZ.5 PRZ.5 UNRZ f /Rb Figura A.7. Funções densidade espetral de potência dos diversos códigos de linha. Assume-se para todos os códigos uma potência de W (e não a amplitude), geração independente e equiprovável dos níveis lógicos.

194 88 Apêndices Carlos Meneses Apêndice 8 Função complementar de erro A função Figura A.8. Distribuição normal ou gaussiana. erfc x está tabelada e é definida por: e sabendo que a área a tracejado é dada por: x erfc x e d Área y d y y y e y dy (A.8.) (A.8.) Fazendo a mudança de variável: y dy d y y y y y d y y y yd Área d y e y y d d y e d Área erfc d erfc y x, (A.8.3) d x. (A.8.4) y d erfc Nota: Q x x e x (A.8.5)

195 Apêndice 8 Função complementar de erro 89 x ½ erfc(x) x ½ erfc(x) x ½ erfc(x) 5,E,339E 3 4 7,79E 9,5 4,78E,5,87E 3 4,5 5,94E 9, 4,438E,,49E 3 4, 3,35E 9,5 4,6E,5,8E 3 4,5,9E 9, 3,886E, 9,34E 4 4,,48E 9,5 3,68E,5 7,34E 4 4,5 9,53E,3 3,357E,3 5,76E 4 4,3 5,967E,35 3,3E,35 4,446E 4 4,35 3,83E,4,858E,4 3,443E 4 4,4,446E,45,63E,45,653E 4 4,45,554E,5,398E,5,35E 4 4,5 9,83E,55,83E,55,553E 4 4,55 6,87E,6,98E,6,8E 4 4,6 3,875E,65,79E,65 8,94E 5 4,65,45E,7,6E,7 6,77E 5 4,7,498E,75,444E,75 5,3E 5 4,75 9,43E,8,89E,8 3,75E 5 4,8 5,676E,85,47E,85,783E 5 4,85 3,469E,9,5E,9,55E 5 4,9,9E,95 8,955E,95,5E 5 4,95,77E 7,865E 3,5E 5 5 7,687E 3,5 6,878E 3,5 8,4E 6 5,5 4,66E 3, 5,99E 3, 5,84E 6 5,,747E 3,5 5,94E 3,5 4,99E 6 5,5,63E 3, 4,484E 3, 3,3E 6 5, 9,66E 4,5 3,855E 3,5,5E 6 5,5 5,657E 4,3 3,3E 3,3,59E 6 5,3 3,38E 4,35,8E 3,35,8E 6 5,35,96E 4,4,386E 3,4 7,6E 7 5,4,6E 4,45,5E 3,45 5,33E 7 5,45 6,439E 5,5,695E 3,5 3,75E 7 5,5 3,664E 5,55,49E 3,55,577E 7 5,55,9E 5,6,83E 3,6,779E 7 5,6,66E 5,65 9,8E 3 3,65,E 7 5,65 6,66E 6,7 8,5E 3 3,7 8,358E 8 5,7 3,886E 6,75 6,664E 3 3,75 5,686E 8 5,75,E 6,8 5,455E 3 3,8 3,85E 8 5,8,E 6,85 4,444E 3 3,85,594E 8 5,85 5,55E 7,9 3,65E 3 3,9,74E 8 5,9 5,55E 7,95,9E 3 3,95,6E 8 5,95,E+

196 9 Apêndices Carlos Meneses Apêndice 9 BER com critério MAP Numa transmissão binária num canal AWGN (Additive White Gaussian Noise) em que os símbolos não têm a mesma probabilidade, a distribuição do ruído no instante de amostragem é ilustrado pela figura: Figura A.9. Funções densidade de probabilidade com critério MAP. Assumindo um critério de máximo a posterior (MAP), retira-se da figura: d y opt d y opt, (A.9.) p d p d BER p p p p erfc erfc n n. (A.9.) Note-se que estas equações são válidas para qualquer valor de, p e p, e não apenas para a situação ótima. O valor ótimo de decisão, ot, é o ponto y de intersecção das densidades espetrais de potência do ruído, distribuições normal com variância idêntica respetivas probabilidades a priori: n, pesadas pelas y "" p f y "" y ot p f. (A.9.3)

197 Apêndice 9 BER com critério MAP 9 Desta equação, após alguma manipulação algébrica, obtêm-se: y y n p ln ot. (A.9.4) p y y y Figura A.9. BER em função do valor de decisão. Assume-se y= ; y= ; p=,5, p=,85, n, 4 Em cima: Funções densidade de probabilidade de y para cada um dos níveis lógicos. Em baixo: BER em função do valor de decisão. O valor ótimo de decisão ot =,347 (equação A.9.4), a que corresponde o mínimo da BER de,37 (equação A.9.).

198 9 Apêndices Carlos Meneses Apêndice Largura de banda equivalente do ruído Função densidade espetral de potência do sinal de entrada: Função densidade espetral de potência do sinal de saída: Potência do sinal de saída: P y [W] Resposta em frequência do filtro: H f [ ] Densidade espetral de potência do ruído branco: Potência do ruído na saída do filtro: n [W] Largura de banda equivalente do ruído: B eq [Hz] G x f [W/Hz] G y f [W/Hz] G w f [W/Hz] Área equivalente do ruído: A eq [Hz] Das relações de densidade espetral de potência num SLIT tem-se: f G f H f Gy x, (A..) P y G y f df G f H f x df. (A..) O ruído branco é caracterizado por ter uma função densidade espetral de potência constante para todas as frequências: f N G w. (A..3) Tendo o sinal de entrada uma distribuição de amplitudes normal, a distribuição das amplitudes do sinal de saída é também normal. Tendo o filtro à entrada ruído branco, obtêm-se para a potência do ruído filtrado: N n Gy f df Gw f H f df H f df. (A..4)

199 Apêndice Largura de banda equivalente do ruído 93 Se o filtro tiver característica passa-baixo ideal de banda B e ganho g, N B n g df NBg. (A..5) B Define-se largura de banda equivalente do ruído, resposta em frequência arbitrária B eq, de um filtro de ganho g e H f, como sendo a largura de banda de um filtro ideal com o mesmo ganho g e cuja saída produza a mesma potência do ruído. Igualando as equações A..4 e A..5 tem-se que: B eq H f g df. (A..6) Define-se a área equivalente do ruído como: A eq f B g H df h( t) dt, (A..7) eq correspondente ao dobro da largura de banda (bilateral) de um filtro ideal com ganho unitário cuja saída gere a mesma potência do ruído que um filtro com ganho g. Da equação A..4 vem, para a potência do ruído à saída do filtro: N N N n H f df ht dt NBeqg Aeq. (A..8) Note-se que quer a área equivalente quer a largura de banda equivalente referem-se a uma largura de banda e têm como unidades Hertz. Note-se ainda que o valor da área equivalente corresponde numericamente (A..7) à energia da resposta impulsiva do SLIT (embora tenha como unidades Hertz e não Joules).

200 94 Apêndices Carlos Meneses Apêndice BER em sistemas discretos ) Num canal AWGN (Additive White Gaussian Noise) simulado discretamente, assumindo uma sequência de ruído branco gaussiano n Xun em que u n tem média nula e variância unitária, então: w com potência w e N / w lim w N N N nn / N N / n lim X u n X nn / X w. (A..) ) é a potência total do ruído entre f e. Para um sistema discreto w s f s assume-se uma frequência de amostragem normalizada f Hz. s N N w f s (A..) 3) O recetor ótimo discreto, com os símbolos definidos por T pontos, é representado pelo diagrama de blocos seguinte: Figura A.. Recetor ótimo binário discreto. 4) A potência do ruído n (figura.) após a filtragem é dada por: No No n Aeq Ec Ec w. (A..3)