CÁLCULO DE FLUXO DE POTÊNCIA NA DISTRIBUIÇÃO COM ROTAÇÃO DE EIXOS

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2 UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ SETOR DE TECNOLOGIA CENTRO POLITÉCNICO DEPARTAMENTO DE ELETRICIDADE CURSO DE ENGENHARIA ELÉTRICA JOSÉ LUIZ GRAVENA JR. LUIZ CARLOS CAVAGNOLI CÁLCULO DE FLUXO DE POTÊNCIA NA DISTRIBUIÇÃO COM ROTAÇÃO DE EIXOS Trabalho de graduação apresentado à disciplina Projeto de Graduação, sob a Orientação do Professor Odilon Luís Tortelli. Curitiba - PR Julho

3 Sumário 1 INTRODUÇÃO: O SISTEMA ELÉTRICO DE POTÊNCIA Histórico Considerações sobre a estrutura da rede elétrica tradicional Evolução do Sistema Objetivos Revisão bibliográfica das técnicas de solução do fluxo de potência Estrutura da dissertação MÉTODOS DE SOLUÇÃO DO FLUXO DE POTÊNCIA Introdução O problema Fluxo de Potência Subsistema Método de Newton-Raphson Aplicação do Método de Newton Algoritmo básico para a resolução dos subsistemas 1 e 2 pelo método de Newton-Raphson SUBSISTEMA SUBSISTEMA Considerações finais quanto ao método de Newton-Rapshon Método Desacoplado Método de Newton Desacoplado SUBSISTEMA SUBSISTEMA Método de Newton Desacoplado Rápido (NDR) Considerações finais NORMALIZAÇÃO COMPLEXA Introdução... 34

4 3.2 Rotação de Eixos Normalização Complexa por Unidade Cálculo do Ângulo de Rotação ou Ângulo de Base Ângulo Ótimo Orientado ao Ramo Ângulo Ótimo Orientado a Barra Considerações finais RESULTADOS Introdução Sistemas Teste Sistema teste de 7 barras Sistema Teste de 20 barras Copel Baixa Tensão Sistema Teste de 34 barras IEEE (modificado) Sistema Teste de 118 barras do IEEE modificado Considerações finais CONCLUSÃO Referencias Bibliograficas... 57

5 1 INTRODUÇÃO: O SISTEMA ELÉTRICO DE POTÊNCIA. 1.1 Histórico A implantação de energia elétrica no Brasil teve inicio em 1879, ainda no Brasil império, com uma usina termoelétrica a carvão no estado do Rio de Janeiro, para a iluminação da então estação central Dom Pedro II, hoje estação Central do Brasil. Logo após em 1881 tem-se a primeira iluminação elétrica externa da América do Sul em São Paulo. A primeira usina hidroelétrica do Brasil entrou em operação em 1883 em Diamantina/MG, que além de fornecer energia para mineradoras locais também alimentava a iluminação municipal. Este foi o cenário de evolução da energia elétrica no país até os anos 1930, caracterizado pela localização da geração muito próxima da carga e falta de diferenciação entre transmissão e distribuição, pois com linhas de transmissão bem curtas e ainda com poucos pontos de carga, estas praticamente faziam o papel da distribuição. A partir dos anos 1930 com o avanço do Brasil-Indústria e a necessidade crescente de energia, foi preciso que se buscassem fontes maiores de energia de maior porte, localizadas principalmente na região Sudeste do país (Minas Gerais, São Paulo e Rio de Janeiro) conectadas agora com linhas mais longas aos centros de carga. Em 1963 é inaugurada a usina de Furnas, permitindo o início da interligação do sistema elétrico de potência no Brasil, na época ligando RJ, MG e SP. A década de 1980 foi bastante promissora quanto ao desenvolvimento do sistema elétrico de potência no Brasil. Em 1984 entra em operação a Usina Hidroelétrica de Itaipu Binacional, até hoje a maior geradora energia elétrica do mundo. Em 1986 teve início o processo de interligação dos subsistemas brasileiros, inicialmente coma interligação do sistema Sul-Sudeste conduzindo no final da década de 1990 à configuração atual do sistema elétrico brasileiro, o Sistema Interligado Nacional (SIN).

6 Hoje tem-se 96,6% do sistema nacional interligado. Com isso pode-se dizer que, devido ao tamanho e a potencia gerada, este sistema é um dos mais complexos do mundo, tendo potencia instalada de 122,3GW, dos quais 62,3% são provindas de energia hidráulica, 26,1% de energia térmica e apenas 3% de pequenas centrais hidroelétricas (PCH) [1].Esta grande potência instalada consegue ser entregue aos quatro cantos do país graças as grandes linhas de transmissão. Este cenário exigiu que os grandes centros geradores como a UHE de Tucuruí com 8300MW e a UHE de Itaipú com 14000MW instalados, fossem bem utilizados com linhas de transmissão de 2000km e 1000km respectivamente, ligando ao principal centro de consumo do país. O tamanho destas linhas implica em uma série de variáveis, tais como as perdas e a manutenção de linhas. Estas características não podem ser ditas como vantagens ou desvantagens do sistema, elas são apresentadas aqui para expor a evolução do mesmo. Um dado relevante que poderá ser melhorado é, por exemplo, o prejuízo econômico causado ao país devido a um grande apagão, como aconteceu em 2001 e custou R$ 44 bilhões, segundo as contas da União. O processo de evolução não irá acabar com apagões, mas irá diminuir a probabilidade de que eles venham a ocorrer.

7 1.2 Considerações sobre a estrutura da rede elétrica tradicional O sistema elétrico de transmissão é composto por uma rede malhada de linhas, com tensões variando de 69 kv até 764 kv com capacidade de transmissão de grande quantidade de energia, na ordem de centenas de MVA. O termo rede malhada de transmissão se deve ao fato de ter mais de um caminho elétrico entre dois pontos do sistema, facilitando o fluxo de potência. Pequenos trechos operando de forma radial podem ser encontrados nas redes de transmissão. Estes casos são poucos freqüentes e contemplam pequenas distâncias, portanto, não apresentam maiores prejuízos à característica malhada dos sistemas de transmissão. Já os sistemas de distribuição são basicamente radiais, caracterizados por ter em um único caminho entre cada consumidor e o alimentador de distribuição. A potência flui da subestação para os consumidores através de um caminho simples, o qual, em caso de interrupção, resulta na perda total de energia para os consumidores à jusante do defeito. Os sistemas radiais de distribuição podem apresentar uma característica de fracamente malhados, termo adotado para indicar a possibilidade de realização da interligação de dois ramais de um mesmo alimentador, sem que seja necessário o desligamento deste alimentador. Outra condição de operação do sistema de distribuição, denominada paralelismo, consiste em se ter à possibilidade de conexão entre dois alimentadores distintos através de uma chave seccionadora. Esta configuração disponibiliza dois caminhos distintos entre a fonte de potência e os consumidores, podendo ser em duas subestações diferentes, a mesma subestação com dois transformadores diferentes ou mesmo o mesmo transformador. Este sistema por ser mais complexo que o sistema radial em termos de proteção do sistema, só pode ser adotado de maneira momentânea (com uma duração máxima da ordem de dezenas de minutos). A sua vantagem está na melhoria do serviço de entrega de energia, que passa a não se interrompido para a maioria dos consumidores quando um segmento da rede é desligado, uma vez que existe um caminho alternativo para o fluxo de potência, através do fechamento da citada chave de interligação.

8 1.3 Evolução do Sistema O contínuo crescimento da economia, bem como dos bens industrializados e o consumo cada vez maior de tecnologia, exigirá cada vez maior quantidade e qualidade de energia. O próximo passo para a melhoria e o aumento da produtividade do sistema passa, sem dúvida, pela diversificação das opções de geração, com a maior utilização de usinas eólicas, painéis solares, geradores a diesel/biodiesel e o melhor aproveitamento de pequenas centrais hidroelétricas (PCH s). Desta forma, esta diversificação, trará benefícios como: maior quantidade de energia gerada, menores perdas, a viabilidade do consumidor/gerador (o consumidor poderá gerar a energia que irá usar) diminuindo as perdas causadas pela transmissão, além de maior segurança na operação, pois, quanto maior for o número de geradores, menor será a possibilidade de uma falha total do sistema e menor a chance de uma sobrecarga do mesmo. Todos estes benefícios estão logo a nossa frente. Em um futuro muito próximo não serão apenas uma vantagem, mas também uma necessidade gerada pela produção, industrialização e/ou modernização de todos os setores a nossa volta. Embora a qualidade dos produtos encontrados no mercado hoje em dia, seja cada vez maior quando se fala em eficiência energética, por outro lado, temse também cada vez mais máquinas produzindo estes produtos. Antigamente, existiam famílias que tinham uma televisão em casa, por exemplo, ou ainda várias famílias que se juntavam para assistir televisão na casa de um dos vizinhos, e hoje a grande maioria das casas possui um destes aparelhos por morador. Estas mesmas famílias que antes tinham uma geladeira, se é que tinham, hoje tem uma geladeira, um freezer, dentre outros aspectos da vida moderna. Então hoje, além do grande aumento do consumo de energia de consumidores de baixa tensão também existe a mecanização das indústrias que precisaram aumentar seu poder de produção automatizando seu processo para atender a demanda em suas respectivas áreas, sejam elas agrícola, eletrônica, automobilística, madeireira, etc.

9 Esta evolução do perfil social traz hoje cada vez mais a necessidade de uma evolução também no atendimento deste consumo de energia, e quando é dito evolução no fornecimento de energia elétrica não basta apenas criar mais uma grande hidroelétrica. É necessário pensar em viabilizar alternativas visando aproveitar os inúmeros pequenos rios com PCH s, aproveitar os grandes campos e planícies neste país geograficamente favorável à geração eólica, aproveitar o pioneirismo do desenvolvimento de um combustível natural e renovável como o biodiesel e tirar o máximo proveito destas fontes alternativas. É importante destacar que, todo este desenvolvimento do setor elétrico não seria possível se o atual sistema elétrico não estivesse instalado, ou seja, o sistema elétrico do futuro não é em hipótese alguma uma substituição do atual sistema elétrico, mas sim, uma evolução do mesmo, buscando sempre tirar ao máximo benefícios para aqueles que produzem, fornecem e consomem esta energia.

10 1.4 Objetivos Como descrito anteriormente a evolução natural do sistema elétrico brasileiro mostra uma situação em que tem-se atualmente grandes centros de carga a grandes distâncias dos grandes centros geradores de energia elétrica. Com relação à interação entre transmissão e distribuição, tem-se atualmente a seguinte visão: a operação da transmissão vê o sistema de distribuição não como um todo, mas sim como uma carga fixa, conectada no barramento da subestação de distribuição, enquanto a operação da distribuição enxerga a transmissão apenas como um gerador conectado no lugar da subestação de tratamento de energia. Como ilustrado na figura 1. Resumindo, pode-se dizer que cada sistema enxerga o outro, apenas como um ponto de entrada ou saída de potência. Para um melhor aproveitamento de recursos energéticos num futuro não muito distante tem-se a perspectiva de ampliação da geração local. A geração junto à carga irá aumentar a quantidade de energia disponível e diminuir as perdas causadas pela transmissão. Com isso todos ganham, concessionárias com mais opções de fornecimento, consumidores com energia de mais qualidade e mais barata e ainda, maior disponibilidade de fornecimento sendo que apagões seriam menos frequentes e mais isolados, diminuindo impactos como os apagões de 1998 e o de 2001 por exemplo.

11 FIGURA 1 Um dos entraves para a operação de um sistema elétrico com tais características é a dificuldade para execução de análises como a de fluxo de potência, tendo em vista que os métodos de cálculo empregados para analisar a rede de distribuição não funcionam para a rede de transmissão e vice-verso. O que este trabalho vem contribuir no estudo do emprego de uma técnica que permita que estes dois sistemas possam sim, interagir de forma mais amiga, possibilitando que o sistema de distribuição seja visto de forma completa pela rede de transmissão, inclusive quando operar injetando potência na transmissão. Para a adequação destes dados será utilizado a normalização complexa dos dados dos sistemas. Neste trabalho será enfocado o sistema de distribuição buscando demonstrar a eficácia da normalização complexa visando uma futura integração computacional para análise conjunta de fluxo de potencia nas rdes de transmissão e distribuição.

12 1.5 Revisão bibliográfica das técnicas de solução do fluxo de potência. Desde a formulação inicial na década de 60, vários métodos vêm sido propostos para resolver o problema de fluxo de potência para sistemas de distribuição radiais. Alguns deles serão destacados a seguir por ordem cronológica: Nos anos 50, empregava-se o método de Gauss-Siedel para a resolução do fluxo de potência. Apesar de eficiente, é considerado muito lento, pois necessita de um número excessivo de iterações para encontrar a solução. Aliado à baixa capacidade de processamento dos computadores da época, tornava o método pouco utilizável. No final dos anos 60, W.F. Tinney ET AL. (1967) apresenta a resolução do problema de fluxo de potência pelo método Newton-Raphson, cujo desenvolvimento considera apenas as características dos sistemas de transmissão de energia (sistemas malhados), sem explorar computacionalmente características típicas de redes de distribuição (redes radiais). O Método de Newton passou a ser uma referência no cálculo do fluxo de potência para redes malhadas, pois apresenta uma convergência rápida e eficiente. Em 1967 surge o primeiro trabalho desenvolvido exclusivamente para sistemas de distribuição, R. Berg ET AL (1967) " Mechanized calculation of unbalanced load flow on radial distribuition circuits," que pode ser considerado como base para o sistema Backward/Forward e para todas as variantes que seguiram após a efetivação do método. O método Backward/Forward Sweep, foi proposto por D. Shimohammadi et al. (1976). O método de resolução consiste em dois passos básicos, varredura backward, onde são calculados as correntes ou fluxos de potência nas linhas, iniciando das barras finais em direção a subestação e a varredura forward, que realiza os cálculos das quedas de tensão com as atualizações das correntes ou fluxos de potência, partindo da subestação alimentadora em direção as barras no final do alimentador. Esses passos são repetidos até que se obtenha a convergência do algoritmo. Por possuir boa características de convergência e ser muito robusto tornou-se o principal método de solução, e serviu como base para

13 muitos métodos propostos posteriormente. Este método pode ser aplicado também para sistemas fracamente malhados, ou seja, sistemas que apresentam poucas interligações, onde são convertidos em redes radiais. Porém, enquanto muitos pesquisadores buscavam aperfeiçoar e desenvolver técnicas para resolver o problema de FP voltado para redes de transmissão, as pesquisas para as redes de distribuição não tiveram tanta ênfase. Os estudos de FP para distribuição eram realizados com pouca ou nenhuma análise. No final dos anos 80, com a modernização da legislação e o aumento da competitividade, bem como a necessidade de uma melhora da qualidade da energia fornecida, como decorrência do aparecimento de cargas sensíveis com a variação da tensão, o setor da distribuição de energia passou a ser estudado de maneira mais intensa. Em 1984 A. V. Garcia, A. J. Monticeli et al. [5] propõem um método para solução do fluxo de potência na distribuição utilizando o método Desacoplado Rápido pois apresenta uma convergência rápida e eficiente, no entanto propõe uma modificação no método para compensar a alta relação de resistência e reatância nas linha r/x encontradas nos sistemas de distribuição, que provoca dificuldades na convergência para esses sistemas. A modificação proposta é a rotação dos eixos das impedâncias, fazendo com que a rede de distribuição assuma parâmetros de uma de alta tensão. Em 1989, M.E.Baran e F. F. Wu apresentaram o método baseado no método Newton Raphson, porém levando em consideração as características dos sistemas de distribuição, o que torna esse método exclusivo para o sistema radiais de energia elétrica. O método propõe um novo modelo de equações para o cálculo de fluxo de potência, diferente, portanto das equações de fluxo de potência para sistemas de transmissão. Essas equações são denominadas pelos autores de equações de fluxo de ramos ou então DistFlow. Outra melhoria importante para a convergência do método é o uso de uma matriz de sensibilidade (Jacobiana) modificada que atende as características radiais dos sistemas de distribuição. H.D. Chiang (1991) apresenta o método de uma maneira mais detalhada onde realiza um estudo dos algoritmos e convergência. Em 1990, R. Céspedes apresentou o método Soma de Potências,

14 baseado no método Backward/Forward. O método Soma de Potências tem, como característica básica, a possibilidade de transformar o problema de cálculo em um conjunto de subproblemas que por sua vez podem ser resolvidos através das equações que relacionam as tensões entre dois nós de um alimentador de distribuição, com as potências equivalentes dos nós. Essa potência equivalente é a soma de todas as potências a jusante da barra, incluindo as perdas e é alocada na posição correspondente a barra (carga equivalente), ou seja, calcula-se as cargas equivalentes para cada barra de carga. Este procedimento se dá no sentido das barras terminais para as subestações. Partindo da barra da subestação, calculam-se as tensões do lado da carga para todas as barras. Com as novas tensões recalculam-se as perdas e com isto recalculam-se as novas cargas. Repetindo o processo até se atingir a convergência. Em 1992 é apresentado por A. S. Barbosa, E. Colman, et al. [7] um trabalho onde é realizado a comparação da utilização do fluxo de potência em redes de distribuição utilizando-se o método da rotação de eixos e da soma equivalente de potência, mostrando que ainda não existia um unanimidade sobre quais propostas seriam mais eficientes para o problema do fluxo de potência para as rede de distribuição. No método proposto em 1992, por S.K. Goswani e S.K. Basu, o processo de resolução é iniciado a partir da subestação considerando as cargas equivalentes da mesma forma que R. Cepedes (1990) propôs. A diferença esta na primeira iteração, onde não são levadas em conta as perdas das linhas, e também no equacionamento, já que neste método ele utiliza o fluxo de correntes nos ramos. A cada iteração então são encontradas novas perdas no sistema que são utilizadas no processo do método Soma de Potência. D. Rajicic et al. (1994) propuseram um método que se baseia na ordenação e orientação da matriz impedância Z junto com o método da Soma das Potências, porém o método se demonstra eficiente apenas para redes fracamente malhadas. C.S. Chen e D. Shirmohammadi (1994) apresentam um método para sistemas de distribuição trifásicos desequilibrados, também baseados no método Backward/Forward Sweep.

15 O método proposto por em 1994, por R. D. Zimmerman e H. D. Chiang é o método desacoplado rápido para sistemas de distribuição. Foi baseado na formulação proposta de M.E. Baran e F.F. Wu, mas com a diferença de utilizar o fluxo de corrente nos ramos ao invés de utilizar as potências como no método original. Utiliza uma matriz jacobiana aproximada, com isso consegue diminuir o tempo computacional, já que é necessária somente uma inversão da matriz. Em 1999 A.G. Exposito e E.R. Ramos apresentaram um método para resolver o problema de fluxo de potência em redes radiais. O algoritmo apresentado segue uma aproximação diferente, apontada para aumentar a taxa de convergência. Está baseado na idéia intuitiva que quanto mais linear um sistema de equações melhor é sua taxa de convergência. Para alcançar esta meta, as equações de fluxo de carga foram escritas em termos de variáveis "alternativas" que conduzem a um conjunto de 3N equações (2N equações lineares e N quadráticas) para uma rede com N+1barras. Um algoritmo computacional é baseado no método de Newton-Raphson, proposto para resolver o sistema de equação resultante. O Trabalho apresentado em 2000 M. H. Haque [14] calcula o fluxo de carga para sistemas de distribuição radiais ou fracamente malhados. O sistema de distribuição é convertido primeiro a uma rede equivalente com configuração radial. As características do sistema original são preservadas injetando potência apropriada nos pontos em que foram abertos os circuitos no sistema equivalente. As potências injetadas são calculadas e atualizadas durante o processo iterativo. Em 2000, S. Jovanovic e F. Milicevic explora a topologia espacial dos sistemas de distribuição para formular o método triangular de fluxo de carga de distribuição. Utiliza em sua formulação uma matriz triangular T, que é formada por NXM, constante durante o processo iterativo. Após a formulação da matriz calcula-se o fluxo de potência através de um processo baseado no backward Sweep. A vantagem deste método é a simplicidade de sua formulação. O artigo de T. L. Baldwin s S.A. Lewis (2003) apresenta uma revisão dos métodos clássicos e propõe uma nova metodologia, baseado no trabalho de S.Jovanovic e F. Milicevic (2000) e no método Backward/Forward Sweep. Outra

16 contribuição do método apresentado está na inclusão de múltiplas gerações, ou seja, não somente uma fonte (subestação) de alimentação. O artigo de R. Ciric et al. (2004) apresenta uma metodologia baseada no método Backward/Forward Sweep, para cálculo de fluxo de potência de sistemas de distribuição com retorno por terra.

17 1.6 Estrutura da dissertação No capítulo 2 os métodos de cálculo de fluxo de potência, Newton- Raphson é apresentado de maneira resumida, objetivando o entendimento de sua variação, o método Desacoplado Rápido. O método Desacoplado Rápido é apresentado de maneira resumida, objetivando o entendimento posterior das modificações a serem introduzidas pela nova metodologia. No capítulo 3 é apresentada a metodologia proposta no trabalho, tanto para a resolução da rotação dos eixos de resistências e admitâncias como a metodologia de escolha do melhor ângulo de rotação. No capítulo 4 são apresentados os resultados das simulações com a aplicação da metodologia proposta para os sistemas de distribuição radial IEEE de 34 barras e 118 barras, um sistema real da copel com 20 barras em baixa tensão, um sistema de 70 barras, além de um sistema de fictício 7 barras. As conclusões gerais são apresentadas no capítulo 5.

18 2 MÉTODOS DE SOLUÇÃO DO FLUXO DE POTÊNCIA 2.1 Introdução Neste capítulo serão apresentados o problema do fluxo de potência, os métodos de cálculo e os algoritmos utilizados para a solução do mesmo. 2.2 O problema Fluxo de Potência As equações de potência nodais para as barras da rede, resultantes da aplicação da lei de Kirchhoff das correntes. As injeções de potência ativa e reativa na barra k podem ser expressas por: (2.1) (2.2) onde k= 1, NB; sendo NB o número de barras da rede. As equações (2.12) e (2.13) indicam a existência de 4 variáveis por barra, quais sejam, injeção de potência ativa, injeção de potência reativa, modulo e ângulo da tensão na barra: Vk, θk, Pk e Qk. Essas variáveis nodais podem configurar como incógnitas ou dados de entrada dependendo da classificação da barra, definida em três tipos: 1 - Barra tipo PQ são especificados os valores de Pk e Qk e calculados os valores de Qk e θk. 2 - Barra tipo PV são especificados os valores de Pk e Vk e calculados os valores de Vk e θk. 3 Barra de Referência - são especificados os valores de Vk e θk e calculados os valores de Pk e Qk. Para se obter o estado da rede é necessário conhecer os valores magnitudes das tensões (V) e os ângulos de fase (θ) destas tensões de todas as

19 barras do sistema. A partir desses fasores, conhecendo-se também os parâmetros do sistema de transmissão é possível determinar a distribuição de fluxo através de todo o sistema [2]. Tem-se, assim, para cada barra, duas equações de potências nodais e duas variáveis conhecidas. As outras duas variáveis devem ser encontradas através do método de Newton-Raphson, criando-se assim um problema com 2NB equações e 2NB incógnitas: (2.3) Normalmente um sistema elétrico é composto de NPQ barras do tipo PQ; NPV barras do tipo PV; e 1 barra do tipo Vθ, tomada como referência para as tensões. Sendo assim, o sistema possui:. 2 (NPQ + NPV + 1) variáveis especificadas. 2 (NPQ + NPV + 1) incógnitas Com isto foi criado um processo matemático que permitir uma resolução mais rápida do sistema. Esse processo se resume em criar dois subsistemas, um para cálculo das variáveis de estado de todas as barras do sistema, ou seja, calcular V e θ para as barras PQ; e θ para as barras PV. Este subsistema é normalmente chamado de subsistema 1 [2]. O outro subsistema permite calcular as potências nodais de todas as barras do sistema, ou seja, P e Q da barra Vθ e Q das barras PV, além da determinação da distribuição dos fluxos de potência ativa e reativa das perdas do sistema. Este subsistema é normalmente chamado de subsistema 2 [2], e pode ser obtido diretamente, ou seja, sem a necessidade de processo iterativo. A seguir iremos detalhar melhor o processo matemático para resolução do subsistema 1 que, por envolver soluçai de equações algébricas não lineares, exige a aplicação de métodos iterativos.

20 2.2.1 Subsistema1 Conforme já mencionado este subsistema permite obter os valores de V e θ desconhecidos das barras da rede. Como para as barras do tipo Vθ, a solução já é conhecida, estas barras não entram nesta etapa, apenas as barras do tipo PQ e PV são consideradas, visto que os valores de V e θ são desconhecidos para as barras PQ e os valores de Q e θ são desconhecidos paras barras do tipo PV. Tem-se, assim, um sistema determinado: (2NPQ + NPV) dados especificados: P e Q das barras PQ; P das barras PV (2NPQ + NPV) incógnitas: V e θ das barras PQ; θ das barras PV Chamando de e os valores conhecidos de P e Q, então o objetivo é resolver: (2.4) As incógnitas do Subsistema 1 podem ser agrupadas no vetor de estado x tal que: [ ] (2.5) Onde θ é o vetor dos ângulos das tensões das barras PQ e PV e tem dimensão (NPQ + NPV), e V é o vetor das magnitudes de tensões das barras PQ e tem dimensão NPQ. Com o sistema (2.14) reescrito, podemos obter:

21 (2.6) Sendo que: e são os resíduos ou mis matches de potência ativa e reativa da barra k; e são os valores já conhecidos de P e Q; e são calculados através das equações (2.12) e (2.13) de potências nodais. Os valores de obtidos são validos para as barras tipo PQ e PV, já os valores de são validos para as barras do tipo PQ. Definindo a função vetorial g(x) por: [ ] (2.7) NPV) e Onde é um vetor de desvios de potência ativa de dimensão (NPQ + é um vetor de desvios de potência reativa de dimensão NPQ. 2.3 Método de Newton-Raphson O método de Newton-Raphson é uma ferramenta numérica bastante utilizada para resoluções de sistemas de equações não-lineares e consiste basicamente num processo no qual iterações lineares dos sistemas são montadas e resolvidas. Devido à sua eficiência, Com estas características este método ficou sendo um dos principais para soluções de cálculo de fluxo de potência de rede elétricas, principalmente para redes malhadas como a de sistemas de transmissão.

22 2.3.1 Aplicação do Método de Newton Pelo método iterativo de Newton, para cada iteração v, tem-se: ( ) ( ) (2.8) Onde: J é a matriz Jacobiana das derivadas de a x; é o vetor de correção de estado calculado a cada iteração. Com o apresentado acima e realizando manipulações algébricas é possível obter-se o sistema linear do problema de fluxo de potência a ser resolvido a cada iteração v: [ ] [ ] [ ] (2.9) pelas Sendo assim é possível perceber que a matriz Jacobiana é composta submatrizes chamadas de H, N, M e L definidas por: (2.10) Como para redes de transmissão malhadas a matriz admitância Y é simétrica é possível calcular os elementos de cada submatriz através das equações 2.22, 2.23, 2.24 e 2.24, indicadas a seguir: (2.11)

23 (2.12) (2.13) (2.14) A dimensão de cada submatrizes é: Matriz H: [(NPQ + NPV) (NPQ + NPV)]; Matriz N: [(NPQ + NPV) NPQ] Matriz M: [NPQ (NPQ + NPV)] Matriz L: [NPQ NPQ] O vetor de correções de variáveis, para uma determinada iteração, é obtido através de: [ ] [[ ] ] [ ] (2.15) A solução do processo iterativo ocorre quando, para um determinado estado (θ, V), os desvios de potência estiverem bem próximos de zero, ou seja, as potências ativas e reativas calculadas para as barras do tipo PQ devem ser iguais ou estar bem próximas das especificadas. O mesmo valendo para os valores das potências ativas das barras tipo PV.

24 Usualmente são determinadas as seguintes condições de convergência utilizando os desvios de potência: εp, para as barras k do tipo PQ e PV εq, para as barras k do tipo PQ Onde εp e εq são as tolerâncias admitidas para os mismatches de potência ativa e reativa, respectivamente Algoritmo básico para a resolução dos subsistemas 1 e 2 pelo método de Newton-Raphson As etapas para a resolução do problema de fluxo de potência carga pelo método de Newton-Raphson são descritas a seguir. SUBSISTEMA 1 1. Fazer v=0 (contador de iterações) e escolher valores iniciais dos ângulos das tensões das barras PQ e PV, e as magnitudes das tensões das barras PQ. Criando assim o vetor: [ ] (2.16) 2. Calcular (, ) para as barras PQ e PV. E (, ) para as barras PQ e determinar os respectivos desvios de potência:. 3. Testar a convergência: Se max { }k=pq, PV εp e max { }k=pq εq Então o processo iterativo convergiu para a solução (, ), ir para o passo 7. Caso Contrário executar o passo seguinte. 4. Calcular a matriz jacobiana [ ]=[ ]x [ ] (2.17)

25 E determinar a nova solução: 6. Fazer (k+1 = k) e voltar ao passo 2. SUBSISTEMA 2 7. Calcular Pk e Qk para a barra de referência e Qk para as barras tipo e PV, calcular fluxos de potência ativa e reativa dos elementos da rede, calcular perdas Considerações finais quanto ao método de Newton-Rapshon O método de Newton Raphson aplicado à resolução de fluxo de potência de redes elétricas é hoje a mais difundida e robusta ferramenta usada para obtenção da solução dos valores das tensões complexas das barras do sistema. No entanto sob certas condições, o método pode não apresentar convergência como no caso de redes radiais, ou encontrar uma solução para o sistema nãofactível para a rede elétrica. Isto principalmente em redes de distribuição com características radiais, onde dois fatores contribuem para a não convergência do sistema. Um dos fatores seria, como já mencionado anteriormente a relação r/x do sistema de distribuição ser diferente da relação r/x do sistema de transmissão e outra razão seria o condicionamento da matriz Jacobiana. Em [12] é apresentada análise onde se verifica que no caso de redes em anel (redes malhadas) a matriz Jacobiana apresenta a característica de ser diagonalmente dominante, ou seja, o elemento da diagonal principal é maior que a soma de todos os elementos, da mesma linha, fora a diagonal. Em sistemas radiais esta característica não se repete indicando que a convergência do sistema se torna mais difícil. Com o passar do tempo este método foi aprimorado com diversos tipos de controle e limites, entre os principais podemos citar o controle dos valores de

26 tensão das barras, injeção de potências ativas e reativas bem como a inclusão de taps de transformadores. E também ocorreram implementações no método de Newton-Raphson para um melhor desempenho devido ao poucos recursos computacionais existentes anteriormente, entre uma dessas variações está o Método de Newton Desacoplado Rápido (NDR) que será alvo de estudo do próximo capítulo. 2.4 Método Desacoplado O método desacoplado e, subseqüentemente, o método desacoplado rápido foram desenvolvidos com uma variação do método de Newton-Raphson para que o processo de cálculo do fluxo de potência pudesse convergir de maneira mais rápida e para isso forma utilizadas algumas simplificações aproximações O primeiro considera a existência de uma baixa interação entre [P e V] e entre [Q e θ]. O segundo vai além, realizando simplificações em algumas grandezas elétricas e obtendo uma notória redução de custo computacional. A seguir iremos descrever resumidamente estes dois métodos Método de Newton Desacoplado Foram descritas anteriormente, as submatrizes H, N, M e L que compõem a matriz Jacobiana (J), as quais indicam as sensibilidades entre as potências (ativas e reativas) e as tensões complexas (magnitudes e ângulos de fase). Sendo possível observar para estas submatrizes, que as sensibilidades entre [P e θ] e entre [Q e V] são bem maiores que aquelas entre [P e V] e [Q e θ]. Quando existe uma sensibilidade forte entre duas variáveis, se diz que existe um acoplamento forte e quando a sensibilidade é fraca pode-se dizer que existe um desacoplamento. Com estas premissas foi deduzido o método de Newton Desacoplado no qual são desprezadas as submatrizes N e M, já que seus valores são substancialmente menores que os de H e L. Utilizando estas simplificações é possível deduzir que:

27 =. =. (2.18) (2.19) As equações (2.18) e (2.19) são chamadas de resolução simultânea, pois os mismatches de potências ativa e reativa são calculados com base nos valores de estado da iteração anterior. Uma maneira de melhorar a característica de convergência do sistema é utilizando o esquema de solução alternado, no qual tem-se: =. =. (2.20) (2.21) Sendo que o sistema (2.20) constitui a meia-iteração, através da qual é feita a atualização dos ângulos de fase das tensões das barras, relacionados aos mismatches de potência ativa (meia-iteração ativa). O sistema (2.21) compõe a outra meia-iteração, na qual é feita a atualização das magnitudes das tensões das barras, relacionadas aos mismatches de potência reativa (meia-iteração reativa). Aqui, utilizam-se os valores atualizados dos ângulos de fase, melhorando o

28 desempenho do método. Tem-se, portanto, uma atualização de variáveis de estado a cada meia iteração Algoritmo básico para a resolução dos subsistemas 1 e 2 pelo método Desacoplado Seja p e q como os contadores das meias-iterações ativa e reativa, respectivamente e KP e KQ como os indicadores de convergência dos subproblemas ativo e reativo, respectivamente. Esses têm a função de sinalizadores (semáforos) computacionais: sempre que alguma variável de estado é alterada, o indicador de convergência do outro subproblema é igualado a 1, provocando uma avaliação dos mismatches deste outro subproblema, mesmo que já tenha convergido em uma iteração anterior. Com isso, evita-se afastamento do ponto de solução. SUBSISTEMA Atribuir os valores iniciais: KP =KQ =1, p =q =0. Escolher valores iniciais para as magnitudes (barras PQ) e ângulos de fase (barras PQ e PV) das tensões nodais não fornecidas. Com isso, tem-se o vetor. [ ] (2.22) 2 - Calcular Pk(θp, Vq )para as barras PQ e PV. Calcular os respectivos mismatches de potência Pk. 3 - Testar a convergência: Se Max{ }, para k=pq, (2.23) ir para o passo 13, caso contrário ir para o próximo passo.

29 4. Calcular a matriz H. Calcular os vetores de correções para θ, resolvendo e determinar o novo valor = (2.24) (2.25) 4. Incrementar o contador de meias-iterações ativas (p p +1). 6. Fazer KQ =1. 7. Calcular Qk (θp, Vq) para as barras PQ. Calcular os respectivos mismatches de potência Qk. 8. Testar a convergência: se Max{ }, para k=pq (2.26) ir para o passo 13, se não convergiu, ir para o próximo passo 9. Calcular a matriz L. Calcular os vetores de correções para V, resolvendo E determinar o novo valor = (2.27) (2.28) 10. Incrementar o contador de meias-iterações reativas (q q +1). 11. Fazer KP = voltar ao passo Fazer KP =0.Testar: se KQ =0, o processo convergiu. Se sim, ir para o passo 14, se não, voltar para o passo Fazer KQ =0.Testar: se KP =0, o processo convergiu. Se sim, ir para o passo 14, se não, voltar para o passo 2

30 SUBSISTEMA Calcular Pk e Qk para a barra de referência e Qk para as barras tipo PV, calcular fluxos de potência nos elementos da rede e calcular perdas. Neste algoritmo, os passos 2 a 6 e 13 correspondem à meia-iteração ativa. Os passos 7 a 12 e 14 correspondem à meia-iteração reativa. A resolução do subsistema 2 (passo 14) igual ao método de Newton-Raphson Método de Newton Desacoplado Rápido (NDR) Baseando-se no método desacoplado, faz-se em algumas considerações a fim de se chegar a um método de cálculo mais rápido. Seja a matriz diagonal de magnitude de tensões, cuja dimensão é definida de acordo com as dimensões de H e L, ou seja: V=[ ] (2.29) De forma que definem-se duas novas matrizes, H e L, dadas por: (2.30) (2.31) (2.32) (2.33)

31 Assim o método desacoplado fica: (2.34) (2.35) Levando em conta as seguintes considerações: é pequeno, de tal forma que é muito próximo de 1. Esta aproximação é válida para sistemas de transmissão de Extra Alta Tensão e Ultra Alta Tensão e também para sistemas de distribuição, já que para estes últimos as aberturas angulares são em geral pequenas; é, em magnitude, muito maior que. Para Extra Alta Tensão, a relação é da ordem de 4, e para de UAT a relação pode atingir a ordem de 20. é, em magnitude, muito maior que. Isso indica que as reatâncias shunt são, na grande parte dos casos, muito maiores que as reatâncias série (linhas e transformadores); As tensões são próximas da unidade (em p.u.). Aplicando estas aproximações às matrizes H e L chega-se a duas novas matrizes, chamadas de B e B, respectivamente: { (2.36) { (2.37) Vê-se aqui um resultado bastante interessante: as matrizes B e B dependem apenas dos parâmetros da rede (impedâncias e suceptâncias dos ramos e elementos shunt), ficando, portanto, independentes das variáveis de estado do sistema (magnitudes e ângulos das tensões nodais). As novas matrizes

32 aproximam-se bastante da matriz susceptância nodal B, com a ressalva de que em B não constam as linhas e colunas referentes à barra Vθ, e em B não constam as linhas e colunas referentes às barras Vθ e PV. Essas matrizes são constantes ao longo do processo iterativo (diz-se que o método apresenta "tangente fixa"), diminuindo o tempo computacional e a quantidade de memória antes usada para calcular e inverter H e L a cada iteração. Daí o método ser denominado desacoplado rápido, cujas equações são: (2.38) (2.39) Estas equações passam a substituir os passos 4 e 9 do algoritmo do método desacoplado, apresentado na seção O restante do algoritmo não é alterado. As matrizes constantes B e B são calculadas logo no passo 1, apenas uma vez para todo o processo iterativo Versões do Método Desacoplado Rápido Com um estudo mais aprofundado do método desacoplado rápido foram propostas e avaliadas 4 (quatro) versões deste método, sendo assim nomeados, versão BB, versão XB, versão BX e versão XX [14, 16]. Resumidamente a diferença entre os quatro métodos esta em se usar ou não os valores das resistências das linhas e se não for utilizada onde desprezar estes valores. A versão BB não despreza os valores das resistências e pode ser disser que é o método desacoplado rápido propriamente dito. A versão XB despreza os valores das resistências para a formação da matriz B, sendo este o método mais utilizado. A versão BX despreza os valores das resistências para a formação da matriz B.

33 A versão XX despreza os valores das resistências para a formação tanto da matriz B como da matriz B 2.5 Considerações finais Neste capítulo foi apresentado o problema do fluxo de potência junto com os métodos de resolução: o Newton-Raphson tradicional e os métodos Desacoplados, derivados do método Newton.

34 3 NORMALIZAÇÃO COMPLEXA 3.1 Introdução As aproximações usadas durante a apresentação e dedução do Método Desacoplado Rápido aplicam-se bem onde a relação reatância e resistência (x/r) dos ramos são altas, característica das redes de alta tensão, como a dos sistemas de transmissão. Quanto mais alto o nível de tensão, maiores são as relações x/r e consequentemente, maior é o acoplamento P-θ e Q-V e, portanto, mais adequadas são as aproximações propostas, fazendo o método convergir de maneira satisfatória. Porém, no sistema de distribuição, a relação x/r é muito baixa, podendo chegar em valores inferiores à unidade. Assim, os métodos desacoplados apresentados, em sua forma simples e convencional, não podem ser aplicados de maneira satisfatória nos sistemas de distribuição. A técnica de rotação de eixos utilizada neste trabalho foi apresentada na década de 80 [5] e consiste em mudar, temporariamente, o sistema de referência complexo para a rede de estudo. Utilizando-se deste artifício, é possível fazer com que a relação x/r do novo sistema se aproxime da relação típica de sistema de alta tensão, sendo assim favorável para a utilização dos métodos desacoplados. Neste capítulo, será apresentada a técnica de normalização complexa, que é baseada na normalização do módulo e dos ângulos das impedâncias adotando uma base complexa de potência e possibilitando a adequação da relação x/r de forma similar à técnica de rotação de eixos. 3.2 Rotação de Eixos Como já dito anteriormente, os sistemas de distribuição possuem linhas de transmissão com valores de reatância e resistência séries de ordem

35 equivalentes e que podem chegar, em alguns casos, em relações x/r inferiores à unidade.. As figuras 3.1 e 3.2 ilustram as representações gráficas das impedâncias séries típicas de linhas de transmissão de um sistema de alta tensão e de um sistema de baixa tensão respectivamente. A figura 3.3 ilustra a rotação de eixos complexos aplicada a uma impedância típica de uma rede de distribuição. FIGURA 3.1 Representação gráfica da impedância típica de Alta Tensão Na figura 3.1 é possível observar que o valor da reatância x (Ω ou p.u.) é maior em relação ao valor da resistência r (Ω ou p.u.). Essas características dos sistemas de alta tensão implicam em um forte acoplamento entre o fluxo de potência ativa e a abertura angular e entre o fluxo de potência reativa e a diferença de potencial. Resultando no conhecido desacoplamento Pθ-QV. Figura 3.2 Representação típica de impedância de Baixa Tensão Ao contrário da figura anterior, a figura 3.2 ilustra a impedância série típica de um sistema de baixa tensão, onde a reatância x (Ω ou p.u.) e a resistência r (Ω ou p.u.) possuem proporções equivalentes. Essa característica

36 restringe o uso das técnicas de desacoplamento, adotados pelos métodos desacoplados. Seja a impedância z = r + jx, representada no plano complexo (Real, Imag), conforme a figura 3.3: Figura 3.3 Rotação de eixos de uma impedância de Baixa Tensão A rotação de eixos [5] consiste em mudar o sistema de referência complexo da rede em estudo através de uma rotação de eixos real e imaginário. Na figura 3.3 existe um outro plano (Real rot, Imag rot ), rotacionado de um ângulo ɸ em relação ao primeiro. Neste, o ponto correspondente à impedância z torna-se Sendo assim, devido à rotação: ɸ (3.1) de onde, aplicando a relação de Euller: ɸ ɸ (3.2)

37 ɸ ɸ (3.3) Sendo todos os ramos rotacionados de um mesmo ângulo ɸ, a relação r/x de cada ramo passa a ser: ɸ ɸ ɸ ɸ (3.4) Trabalhando com esse novo sistema de referência, é possível obter relações x/r que sejam mais favoráveis à aplicação do método desacoplado rápido, dependendo do ângulo de rotação ɸ. No entanto, para evitar a necessidade de uma aplicação de um processo de desrotação aos estados da rede, é preciso que se mantenha o mesmo estado de operação da rede original, isto é, as mesmas magnitudes e ângulos de tensão em cada barra da rede fictícia. Para que isso aconteça, é necessário rotacionar também as injeções de potência ativa e reativa. Sendo assim, das relações: (3.5) (3.6) tem-se, após substituir z por ɸ : ɸ (3.7)

38 Podemos observar da equação (3.7) que, se for aplicada uma rotação de mesmo ângulo nas correntes, mas de sentido oposto à aplicada as impedâncias, as tensões complexas serão as mesmas do sistema original. ɸ (3.8) Assim, para a potência complexa, tem-se: (3.9) ou ɸ (3.10) Ou seja, as potências são rotacionadas de maneira idêntica às impedâncias, daí tem-se: e ɸ ɸ (3.11) ɸ ɸ (3.12) Desse modo, após a aplicação da rotação de eixos aos valores especificados de potência ativa e reativa, bem como aos valores de impedância série, tem-se uma nova rede fictícia para qual o método desacoplado rápido obtém um bom desempenho e o estado fornecido (tensões complexas) é o

39 mesmo que o da rede original. Após a resolução do problema, aplica-se uma rotação inversa às grandezas de interesse, obtendo então o resultado final, ou seja, os valores reais da rede. 3.2 Normalização Complexa por Unidade A Normalização Complexa por unidade [12] nada mais é do que uma outra maneira de explicar a rotação de eixos descrita na seção anterior. Esta técnica é baseada nos conceitos de normalização das grandezas elétricas dos sistemas de energia. O Sistema por unidade, ou sistema p.u., como é mais conhecido, consiste na definição de valores de base para as grandezas (tensão, corrente, potência, etc.), seguida da substituição dos valores das variáveis e constantes (expressas no Sistema Internacional de Unidades) pelas suas relações com os valores de base pré-definidos. (3.13) As quatro grandezas fundamentais (tensão, corrente, potência e impedância) se relacionam entre si de tal forma que a escolha de valores base para quaisquer duas delas determina os valores de base para outras duas. Como podemos observar nas equações a seguir: (3.14) (3.15) Num sistema de energia, normalmente, definem-se como bases independentes a potência aparente total, S base, para o sistema e a tensão, V base, para um barramento determinado. Em uma rede com vários níveis de tensão, cujas zonas são definidas pelos transformadores existentes, haverá uma base de tensão para cada zona existente, sendo conveniente que as relações entre as

40 bases de zonas adjacentes sejam iguais às relações de transformação dos transformadores que as ligam. Consequentemente, os valores bases de corrente e impedância são calculados através das equações (3.14) e (3.15). É importante ressaltar que, normalmente, as grandezas potência e tensão de base são valores reais, resultando em valores reais de corrente e impedância. Dessa forma, somente os módulos das grandezas envolvidas são afetados, sendo assim, os ângulos de fase não são alterados. Neste trabalho, será considerado a possibilidade de adoção de uma base de potência complexa (em VA), ou seja: ɸ (3.16) As grandezas bases de tensão são definidas da mesma forma que na normalização p.u. convencional, isto é, um diferente valor de magnitude é escolhido para cada nível de tensão do sistema de acordo com as relações de transformação enquanto que o ângulo da tensão de base é nulo. Sendo assim, enquanto a base da potência é complexa, as bases para as tensões são reais, de tal forma que: (3.17) Logo, a partir das equações (3.16) e (3.17), é possível concluir que o valor de base de impedância Z base será também complexo e expresso por: ɸ (3.18) ɸ (3.19) A partir da equação (3.19) é possível verificar que a impedância na representação em p.u. terá sua magnitude normalizada e esta dependerá dos valores base adotados de potência e tensão, da mesma forma que na definição convencional por unidade. Porém, diferentemente da normalização convencional, os novos valores de impedância em p.u. terão defasagem angular definida pelo

41 ângulo de fase da impedância base, que é o mesmo ângulo da potência base, com sinal contrário, isto é: ɸ ɸ (3.20) ɸ ɸ (3.21) onde ɸ orig é o ângulo original da impedância série do elemento. Assim, os valores da parte real (resistência) e da parte imaginária (reatância) em p.u., são definidos por: ɸ ɸ (3.22) ɸ ɸ (3.23) Portanto, a relação x/r na nova normalização p.u. complexa é dada por: ɸ ɸ (3.24) Assim, de forma similar, as injeções de potência ativa e reativa são devidamente normalizadas pela base de potência (VA) complexa, ou seja: (3.24) e

42 ɸ ɸ (3.26) ɸ ɸ (3.27) Observando as equações (3.22), (3.23), (3.26) e (3.27) é possível notar uma nova relação entre o fluxo de potência ativa e potência reativa, assim como entre os valores da resistência e reatância do ramo é obtida para o sistema normalizado. Sendo assim, as relações x/r representadas pela equação (3.24) podem ser ajustadas pela definição do ângulo de fase da potência de base ɸ base, resolvendo assim os problemas sobre a convergência do método desacoplado rápido para o sistema de distribuição que possuem uma baixa relação x/r, podendo esta relação ser contornada através da escolha/cálculo adequado do ângulo ɸ base. É importante observar que, a solução obtida através da aplicação do cálculo de fluxo de potência para o sistema normalizado com o uso de uma base complexa é a mesma que a solução obtida usando a base real (p.u. convencional). Tal fato é esperado, já que as bases de tensão são mantidas reais na nova abordagem. 3.4 Cálculo do Ângulo de Rotação ou Ângulo de Base Os estudos feitos nas seções anteriores demonstraram quão importante é o ângulo de rotação ou ângulo de fase para a aplicação da metodologia que será utilizada neste trabalho Serão apresentados nas próximas seções dois métodos para o cálculo desse ângulo. [18] Ângulo Ótimo Orientado ao Ramo Como citado anteriormente, o ângulo de rotação (ɸ) ou de base (ɸ base ) precisa ser ajustado às necessidades do sistema. Portanto, busca-se um valor único e ideal para cada ramo alimentado. Uma solução é realizar uma rotação automática, que será apresentada a seguir.

43 O método Desacoplado Rápido para o cálculo de fluxo de carga se baseia em um desacoplamento que desconsidera o efeito dos módulos das tensões nas barras sobre a injeção de potência ativa e o efeito dos ângulos das mesmas na injeção de potência reativa. Assim, utiliza-se um critério para realizar o cálculo do ângulo de rotação que consiste em minimizar os acoplamentos entre P e V e entre Q e θ, ou seja, o ângulo ɸ deve fazer com que as submatrizes N e M [18], obtidas após a rotação, tenham valores próximos a zero. Com o uso desta técnica, é possível obter, para cada trecho k-m, um ângulo de rotação, diferentemente de um mesmo ângulo aplicado a toda rede. Assim, cada equação nodal possui seu respectivo ângulo otimizado. Inicialmente, são calculados os ângulos das impedâncias de cada trecho k-m da rede de distribuição, definido por (α km ): (3.28) A seguir, determina-se o ângulo ideal da rotação para cada trecho. Considerando que se pretende determinar a maior relação x/r possível. Assim, o ângulo de rotação de cada trecho, (ɸ km ) é determinado por: ɸ (3.29) A partir das equações (3.28) e (3.29), é possível verificar que para cada trecho k- m da rede de distribuição, o objetivo é simplesmente fazer com que a resistência rotacionada do ramo seja igual a zero ( =0). Finalmente, um ângulo único para toda rede é determinado a partir da média aritmética simples de todos os ângulos envolvidos, conforme proposto em [4] ɸ ( ) ɸ (3.30) onde N l é o número total de ramos do sistema. A partir deste ângulo são determinados os valores rotacionados de resistência e reatância de cada ramo, ou seja:

44 (ɸ ) (ɸ ) (3.31) e (ɸ ) (ɸ ) (3.32) Assim, as potências ativa e reativa, injetadas no sistema são igualmente rotacionadas para garantir que o estado obtido para rede fictícia seja o mesmo da rede original. Então: (ɸ ) (ɸ ) (3.33) e (ɸ ) (ɸ ) (3.34) Ângulo Ótimo Orientado a Barra Uma outra forma de cálculo do ângulo de rotação, que seria direcionado a barra, é um processo mais complexo e não apresenta ganhos significativos quando comparado ao método proposto anteriormente. A diferença básica deste método está em calcular o ângulo ótimo para rotacionar uma barra k de maneira que as considerações de desacoplamento de um ramo k-m sejam mantidas. Sendo este ângulo calculado para uma barra, é preciso que novos cálculos sejam feitos para determinar o valor dos ângulos de todos os ramos conectados a mesma barra, tornando o ângulo calculado para k-m ser diferente do ângulo m-k. Assim, uma alternativa encontrada para minimizar a influência do conjunto de ramos ligado à barra k é utilizar o critério dos mínimos quadrados. Demonstrando matematicamente:

45 ɸ (3.34) { ( ɸ ) } (3.36) ɸ ( ɸ ) ɸ ɸ (3.37) ɸ ( ) (3.38) ɸ ( ( )) (3.39) onde N k é o número de barras conectadas à barra k. Este método duplica o número de admitâncias da rede e provoca a perda da simetria da matriz admitância nodal, além da rede elétrica perder sua representação física. A seguir, é mostrado o fluxograma simplificado para a realização da rotação de eixos das impedâncias da rede de distribuição.

46 Figura 3.4 Fluxograma para aplicação da Normalização Complexa

47 3.5 Considerações finais Neste capítulo apresentou-se a metodologia utilizada neste trabalho para o estudo dos sistemas que serão comentados nas seções a seguir. Utilizando-se da Normalização Complexa e seus métodos de cálculo dos ângulos de rotação é possível adequar as relações x/r dos sistemas de distribuição para a utilização dos métodos de Newton e os métodos desacoplados.

48 4 RESULTADOS 4.1 Introdução Neste trabalho, foram realizados estudos e simulações utilizando-se 5 sistemas testes. Sendo eles de 7, 20, 34, 70 e 118 barras. Para a realização das simulações, foi utilizada uma rotina para normalização complexa desenvolvida na plataforma Matlab e o toolbox Matpower, cálculo do fluxo de potência. Inicialmente, foram feitas simulações para verificar a convergência dos sistemas em sua configuração original e em seguida, utilizando o conceito de rotação de eixos e da normalização complexa foram feitas novas simulações para verificar a consistência e adequação do método utilizado quando comparado com as simulações feitas sem a rotação de eixos. As simulações foram feitas utilizando os métodos de Newton-Rapson, Desacoplado Rápido XB, Desacoplado Rápido BX e o Gauss-Seidel. Nas seções a seguir serão apresentados os sistemas detalhadamente, bem como os resultados obtidos. 4.2 Sistemas Teste Os dados de todos os sistemas teste encontram-se em anexo Sistema teste de 7 barras A figura 4.1 mostra o diagrama unifilar do sistema de 7 barras. Inicialmente, as simulações foram feitas baseadas no sistema original que possuía: 1 barra de geração, 7 barras de carga e 6 linhas de transmissão.

49 Posteriormente, algumas mudanças foram adotadas resultando em 8 cenários de operação diferentes baseadas neste mesmo sistema. Figura 4.1 Diagrama Unifilar Sistema 7 barras Os 4 primeiros cenários foram baseados na topologia original, modificando-se a relação x/r e incluindo em alguns casos geração distribuída nas barras 6 e 7. Já nos outros 4 cenários, além das mudanças semelhantes as 4 primeiras, foram incluídas 2 linhas de transmissão entre as barras 6-7 e 7-5, transformando a topologia em um sistema fracamente malhado.. Os diferentes cenários são resumidos na tabela 4.1 e os resultados obtidos sem rotação de eixos e com rotação de eixos comparados em termos de número de iterações para convergência são mostrados nas tabelas 4.2 e 4.3. RADIAL RADIAL RADIAL RADIAL ANEL ANEL ANEL ANEL R<X R>X R<X R>X R<X R>X R<X R>X s/ GD s/ GD c/ GD c/ GD s/ GD s/ GD c/ GD c/ GD Tabela 5.1 Topologias Sistema 7 Barras

50 Tabela 4.2 Resultados das simulações sem rotação de eixos Os resultados sem rotação, baseados nos 4 métodos de cálculo de fluxo de potência, foram como esperados. Os casos com a relação x/r característicos de um sistema de distribuição, ou seja: x<r, não apresentaram convergência com nenhum dos 4 métodos tanto no sistema radial quanto no sistema em anel sem geração distribuída. Com a geração distribuída, os sistemas só convergiram com o método de Newton e com o método de Gauss-Seidel, não convergindo para os métodos desacoplados. Tabela 5.3 Resultados das simulações com rotação de eixos