UTILIZAÇÃO DO MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS EM RETROANÁLISE DE PAVIMENTOS FLEXÍVEIS

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1 UTILIZAÇÃO DO MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS EM RETROANÁLISE DE PAVIMENTOS FLEXÍVEIS Samuel de Almeida Torquato e Silva Jorge Barbosa Soares Áurea Silva de Holanda Jardel Andrade de Oliveira

2 UTILIZAÇÃO DO MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS EM RETROANÁLISE DE PAVIMENTOS FLEXÍVEIS Samuel de Almeida Torquato e Silva Jorge Barbosa Soares Aurea Silva de Holanda Jardel Andrade de Oliveira Universidade Federal do Ceará Departamento de Engenharia de Transportes Programa de Pós-Graduação em Engenharia de Transportes - PETRAN RESUMO Este trabalho apresenta uma metodologia de retroanálise de pavimentos flexíveis baseada no Método dos Elementos Finitos. Esta metodologia permite um número qualquer de camadas e considera carregamento estático O material das camadas é considerado elástico linear, embora o algoritmo aqui proposto não necessite desta premissa. Levantamentos deflectométricos foram realizados em vários pontos de um trecho de rodovia utilizando o aparelho Falling Weight Deflectometer (FWD) e, nos mesmos pontos, foram coletados corpos de prova do revestimento e materiais das subcamadas. Ensaios de laboratório foram realizados com o objetivo de comparar os valores de rigidez obtidos através das metodologias destrutiva e não destrutiva. Os resultados obtidos foram considerados satisfatórios, pois ambas as metodologias foram capazes de descrever de maneira adequada o estado estrutural do trecho analisado. Palavras chave:retroanálise, Método dos Elementos Finitos, FWD ABSTRACT This paper presents a methodology to backcalculate flexible pavement layer moduli based on the Finite Element Method. This procedure allows any number of layers and considers static loading. The material of each layer is assumed linear elastic, although this assumption is not necessary to the algorithm used. Falling Weight Deflectometer measurements were performed at some points of a road pavement, and specimens of the asphalt surface course and granular materials were collected from the same points. Laboratory tests were carried out in order to compare the resilient moduli obtained from the destructive and the non-destructive methodologies. The obtained results were satisfactory as both methodologies were able to describe the structural integrity of the road pavement. Keywords:Backcalculation, Finite Element Method, FWD 1. CONSIDERAÇÕES INICIAIS A metodologia empírica de dimensionamento de pavimentos asfálticos, realizada com base em ensaios laboratoriais e no desempenho de pistas experimentais, limita o seu uso a casos similares àqueles da sua formulação. Modernamente, as metodologias de dimensionamento de pavimentos asfálticos ditas mecanístico-empíricas fazem uso da análise estrutural dos pavimentos, utilizando métodos analíticos, como a Teoria das Multicamadas Elásticas (TME) ou métodos numéricos, como o Método dos Elementos Finitos (MEF). Desta forma, é possível aplicá-los para diferentes níveis de carregamento, condições ambientais, materiais utilizados, dentre outros fatores particulares a cada projeto de pavimentação. Na Teoria da Elasticidade os parâmetros mecanísticos que descrevem os materiais das camadas são o Módulo de Resiliência e o coeficiente de Poisson. O primeiro é a relação entre a tensão aplicada e a deformação elástica em um material e tem forte influência sobre a resposta mecânica deste quando submetido a cargas operacionais (veículos). O coeficiente de Poisson é a razão entre a deformação radial e axial dos materiais. Segundo estudos paramétricos, o coeficiente de Poisson tem influência relevante apenas sobre as deformações 1

3 radiais, sendo pouco influente sobre os demais valores de tensões e deformações (Ullidtz, 1977). Por esse motivo, não será objeto de estudo deste trabalho. Há dois principais métodos de obtenção in-situ do Módulo de Resiliência das camadas de uma estrutura de pavimento, ambos realizados no presente estudo: Ensaios Destrutivos: através de ensaios laboratoriais de compressão diametral, no caso de misturas asfálticas, ou triaxial dinâmico, para materiais granulares das subcamadas, executados em corpos de prova moldados em laboratório ou extraídos da seção avaliada no caso do revestimento. Ensaios Não Destrutivos: através de um procedimento denominado de retroanálise, que consiste em estimar os Módulos de Resiliência das camadas a partir de medições deflectométricas. As sondagens realizadas para extração dos corpos de prova com vistas à execução dos ensaios laboratoriais são onerosas e demoradas, além de serem realizadas em geral para extração apenas da camada de revestimento, uma vez que ensaios em amostras não deformadas de subcamadas de pavimentos são pouco práticas (Cabral, 2005). De acordo com Broutin (2010), há dúvidas sobre a representatividade dos ensaios laboratoriais, uma vez que as camadas do pavimento não são homogêneas e a compactação de campo é difícil de replicar em laboratório. Apesar de ambas as metodologias, destrutiva e não destrutiva, serem eficazes em calcular o valor do MR das camadas in-situ, vários fatores contribuem para que os valores encontrados sejam diferentes para ambas, quais sejam: diferenças de compactação entre campo e laboratório; diferenças de carregamento entre o Falling Weight Deflectometer (FWD) e os ensaios triaxial dinâmico (para solos das subcamadas) e compressão diametral (para misturas do revestimento); condições de confinamento de campo que o ensaio de laboratório não simula com precisão (Von Quintus & Killingsworth, 1998). De acordo com Albernaz (1997), módulos obtidos através da retroanálise não representam, necessariamente, os módulos reais dos materiais das camadas, mas um módulo equivalente, pois ele depende de fatores de campo, como grau de compactação, umidade, homogeneidade, temperatura e outros. Diante do exposto, o objetivo geral deste trabalho é realizar um estudo comparativo entre as metodologias de obtenção de MR, quais sejam, em campo, através de retroanálise com os dados do ensaio de FWD, e em laboratório, através dos ensaios de compressão diametral (misturas asfálticas) e triaxial dinâmico (materiais granulares). A retroanálise será feita utilizando o Método dos Elementos Finitos (MEF) e o programa CAP3D (Holanda et al., 2006), que utiliza também elementos infinitos (lagrangeanos de 6 nós). A vantagem da utilização do MEF é sua generalidade, tanto em relação ao número de camadas quanto ao uso de diferentes modelos constitutivos e tipos de carregamento. A metodologia aqui proposta pode ser utilizada também para outras leis constitutivas além da elástica linear e não limita o número de camadas. É feita a assunção de carregamento estático, uma vez que apenas os valores de pico do carregamento do FWD estão disponíveis para a realização da retroanálise. 2

4 2. METODOLOGIA A metodologia de desenvolvimento deste trabalho apresentou as seguintes etapas: coleta de dados, realização de ensaios laboratoriais, retroanálise e tratamento estatístico. 2.1 Coleta de Dados e Ensaios Laboratoriais A coleta de dados foi realizada a partir da extração de corpos de prova (CP) do revestimento asfáltico e amostras de solos das subcamadas da rodovia em estudo. Para a caracterização do trecho em análise, foram realizados os seguintes ensaios de laboratório: MR (DNIT 135/2010) nos CPs do revestimento e MR (DNIT-ME 134/2010) nas amostras de solo das subcamadas. Os ensaios de deflectometria foram executados com o aparelho FWD (DNER-PRO 273/96), que possui placa de carregamento cujo raio é 15cm e 7 sensores de deflexão, localizados a 0, 20, 30, 45, 60, 90 e 120cm do centro da placa. 2.2 Retroanálise Nesta seção são apresentados os programas computacionais e a metodologia utilizada para retroanálise. O algoritmo de processamento da retroanálise é uma particularização daquele proposto por Broutin (2010). Enquanto o referido trabalho apresentou a solução para modelos dinâmicos, neste trabalho o algoritmo apresentado se propõe a realizar retroanálise seguindo a premissa de estaticidade do carregamento. É importante ressaltar que a metodologia de retroanálise aqui desenvolvida não limita a quantidade de camadas nem faz simplificações nesse sentido, sendo cada camada da estrutura real considerada no modelo. O programa RETROANA, utilizado por Macedo (1996) considera o pavimento como um sistema equivalente de 3 camadas, onde a primeira corresponde ao conjunto das camadas betuminosas, a segunda equivale à camada de base e a terceira ao conjunto sub-base/subleito. O programa RETRAN-2L, desenvolvido por Albernaz (1997), simplifica a estrutura em 2 camadas, a superior representando o pavimento e a inferior o subleito. Esta simplificação é o que ocorre no estado da prática no Brasil. Na mais recente versão desse programa, RETRAN-5L, Albernaz (2014) realizou retroanálises admitindo a estrutura composta por 4 camadas.o programa Sispav (Franco, 2007) também apresenta uma ferramenta de retroanálise de bacias deflectométricas obtidas por equipamentos tipo FWD, permitindo que até 8 camadas sejam retroanalisadas (Fonseca, 2013) Pré-Processamento O processo de retroanálise foi realizado a partir da implementação de uma rotina no programa de análise CAP3D (Computational Analysis of Pavements 3D) e do aprimoramento do préprocessador PMG (Pavement Mesh Generator) (Cavalcante et al., 2008; Coutinho et al., 2008;Botelho et al., 2009), ambos desenvolvidos no Laboratório de Mecânica dos Pavimentos da Universidade Federal do Ceará - LMP/UFC. O pré-processador PMG realiza a geração de malhas axissimétricas para análise de pavimentos no CAP3D e, por estarem integrados, tornam o processo de análise mais eficiente (Silva et al., 2013). Neste trabalho o programa PMG foi modificado para possibilitar a geração de malhas específicas para a realização de retroanálise. No processo de geração implementado os nós da malha são posicionados nas coordenadas dos sensores de deflexão. Além disso, alterações na interface para possibilitar a inserção de bacias deflectométricas por parte do usuário foram realizadas (Figura 1). 3

5 Figura 1. PMG - Bacia deflectométrica As camadas foram consideradas elásticas, lineares, homogêneas e isotrópicas, mas deve-see ressaltar que o uso do MEF permite que novos modelos constitutivos sejam considerados em trabalhos futuros. O carregamento foi considerado uniforme e circular distribuído enquanto o módulo da cargaa varia ao longo dos pontos experimentados Processamento A partir da malha de elementos finitos e das propriedades geométricas adequadamentee fornecidas na etapa de pré-processamento, o processamentoo trata de determinar os módulos das camadas que condigam com os dados fornecidos pelo ensaio FWD. Desta forma, dados o carregamento imposto, as deflexões mensuradas e as espessuras das camadas, a rotina trata de estimar as rigidezes das camadas. Esta etapa pode ser resumida pelo fluxograma apresentado na Figura 2, onde RMSE (Equação 1) significa Root Mean Square Error, explicado adiante. Figura 2. Fluxograma do processamento da retroanálise 4

6 A função custo (Equação 2) a ser minimizada pelo algoritmo é o somatório dos quadrados das diferenças entre as deflexões teóricas e medidas (que está contida no numerador na função RMSE). (2) Onde Mr é o vetor que contém os módulos das 4 camadas, w i é a deflexão teórica e d i a deflexão experimental do sensor de deflexão i, e n é a quantidade de sensores de deflexão. Aplicando o operador gradiente em relação aos módulos desconhecidos e igualando o vetor resultado desta operação a zero, temos: 0 (3) Ou, simplesmente: 2 0 (4) A derivada é calculada numericamente utilizando a série de Taylor e desprezando os termos de segunda ordem e superiores. O incremento diferencial dmr j utilizado é 0,01% de Mr j.,,,, (5) Forma-se, portanto, um sistema não linear de equações de dimensão igual ao número de módulos icógnitos. A resolução deste sistema é realizada iterativamente através do método de Newton-Rhapson. Para o cálculo dos novos módulos para a consecução das iterações, é utilizada uma função de sensibilidade, ou matriz Hessiana: (1) (6) De modo que o vetor de incremento de módulos para a iteração seguinte é dada por: (7) O critério de tolerância adotado para o ajuste da bacia é um RMSE de no máximo 5%, conforme adotado por Albernaz et al.(2014), haja vista que é virtualmente impossível resolver de maneira exata o sistema definido pela Equação 3. Os valores do vetor solução Mr que satisfazem esse critério são considerados como os módulos das camadas no ponto em estudo. 2.3 Tratamento estatístico Em um primeiro momento foi verificada a correlação entre os módulos obtidos com os ensaios laboratoriais e os obtidos através de retroanálise. Posteriormente, realizou-se, para cada camada, um teste de diferença de médias entre os módulos obtidos com as duas metodologias, a fim de detectar se as diferenças são significativas ou estão dentro de um padrão de variação esperado. Isto é, verificar se, apesar das diferenças esperadas entre os resultados de ambas as metodologias, as médias delas ao longo do trecho são estatisticamente diferentes ou não. As hipóteses do teste estatístico são: 5

7 : (8) : (9) Onde é a média dos módulos determinados em laboratório e é a média dos módulos determinados a partir de retroanálise. O nível de significância adotado é de 10%. 3. EXEMPLO NUMÉRICO O LMP/UFC realizou recentemente uma avaliação estrutural de um trecho de uma rodovia no Ceará com vistas a diagnosticar um trincamento prematuro existente. Detalhes deste levantamento não são fornecidos neste artigo por serem para os objetivos do mesmo de caráter secundário. A Tabela 1 apresenta os pontos de extração dos corpos de prova, bem como os resultados dos ensaios deflectométricos. Tabela 1: Descrição dos pontos Espessura (cm) Ponto Subbase Revestimento Base 1* * X** *Não houve levantamento deflectométrico nestes pontos, apenas extração de corpos de prova. **Espessura não mensurada. Na geração da malha de EF, o carregamento foi considerado uniforme e circular distribuído em um raio de 15cm, enquanto o módulo da carga variou ao longo dos pontos ensaiados sem um padrão definido. Os coeficientes de Poisson adotados para o revestimento, base, sub-base e subleito foram, respectivamente, 0,35, 0,30, 0,30 e 0,40. 6

8 A malha utilizada (Figura 3) é composta de elementos finitos quadrilaterais quadráticos (Q8) e infinitos (lagrangeanos de 6 nós). A particularidade da malha destinada à retroanálise é que faz-se necessário haver nós nas posições dos sensores, de modo que se possa extrair a deflexão teórica nessas posições. Foi inserido um elemento finito a cada 5cm de carga, assim como a cada 5cm de separação entre os sensores de deflexão, por exemplo, entre os sensores 2 e 3 são inseridos dois elementos Q8. Figura 3. PMG - Malha de elementos finitos e infinitos A Figura 4 exibe os valores de deflexão abaixo do carregamento do FWD, isto é, a deflexão máxima nos 19 pontos analisados (nos ponto 1 e 2, dos 21 totais, não houve levantamento de bacia, apenas extração de corpos de prova), além da delimitação do grau de severidade adotado pelo Departamento Estadual de Rodovias do Ceará (DER-CE), que usa os limites de classificação de deflexão indicados na Tabela 2. Nota-se que 6 (32%) pontos estão na categoria Baixo, enquanto 6 (32%) são classificados como Médio, 5 (26%) como Alto e 2 (11%) como Muito Alto. Esses valores sugerem que o pavimento esteja em processo de deterioração, especialmente no trecho compreendido entre os pontos 7e 12. Tabela 2: Grau de severidade (DER-CE) Grau de severidade Limites Baixo Até 60 x 10-2 mm Médio 60 a 100 x 10-2 mm Alto 100 a 150 x 10-2 mm Muito Alto Acima de 150 x 10-2 mm 7

9 Deflexão (1/100 mm) Muito Alto Alto Médio Baixo Ponto Figura 4. Deflexões máximas ao longo do trecho avaliado A fim de aprofundar a análise, utilizando os valores de deflexão de todos os sensores, foi realizada a retroanálise nos pontos de ensaio. Os resultados das bacias ajustadas constam na Tabela 3. Observa-se que o ponto 20 foi descartado por não apresentar convergência no ajuste da bacia. Os pontos 6 e 14 foram descartados da retroanálise devido aos módulos excessivamente elevados, considerados como outliers por estarem acima de 2 desvios padrões de distância da média. Tabela 3:Ajuste de bacias deflectométricas (1/100mm) Ponto Carga (N/m²) Deflexões Experimentais (1/100 mm) Deflexões Teóricas D0 D1 D2 D3 D4 D5 D6 D0 D1 D2 D3 D4 D5 D6 RMSE (%) , , , , , , , , , , , , , , , , , ,2 Os resultados dos ensaios laboratoriais e das retroanálises dos MRs são mostrados na Tabela 4, bem como o R² entre as duas metodologias para cada camada. Os pontos que não possuem 8

10 algum valor de MR foram desprezados para o cálculo da correlação linear, apenas para o cálculo dos outros parâmetros estatísticos. Tabela 4:Resultados de MR (MPa) determinados em laboratório (Lab) e a partir de retroanálise (FWD) Ponto Revestimento Base Sub-base Subleito Lab FWD Lab FWD Lab FWD Lab FWD Média Desvio Padrão CV 31% 66% 25% 61% 37% 70% 31% 63% R² 0,001 0,013 0,222 0,009 Cerca de 80% dos valores de MR dos corpos de prova do CA do revestimento apresentaram valores elevados em relação ao usual ( MPa) para misturas com o CAP 50/70 da Petrobras-Lubnor, faixa C do DNIT (Soares et al., 2000). O valor médio de MR da camada de revestimento determinado através de retroanálise é, por outro lado, baixo em relação aos valores usuais. Além disso, os módulos determinados por retroanálise apresentam maior dispersão em relação aos determinados em laboratório. Tanto o baixo valor médio quanto a maior dispersão podem ser explicados devido ao estado de trincamento do pavimento investigado, que não é previsto no modelo de retroanálise. Este tende a diminuir o módulo do revestimento no ajuste das bacias deflectométricas para os pontos em que esta camada se encontra danificada. 9

11 No que diz respeito às camadas granulares, percebe-se que o MR médio da base é bastante próximo segundo os dois métodos e se encontra na faixa de valores esperada para brita graduada simples, que varia entre 100 e 400 MPa, de acordo com Bernucci et al. (2010). O mesmo se verifica para o subleito. Por outro lado, os módulos da sub-base encontrados a partir de retroanálise são, em média, cerca de 27% dos valores determinados através dos ensaios laboratoriais, portanto, bastante inferiores. Ainda que segundo os resultados apresentados na Tabela 4 não haja correlação entre os pares ordenados de módulo em cada ponto, a fim de avaliar se há diferenças significativas entre a média dos MRs encontrados em campo e em laboratório, realizou-se um teste t (Tabela 5). Tabela 5. Teste de diferença de médias de MR (MPa) Revestimento Base Sub-base Subleito Lab FWD Lab FWD Lab FWD Lab FWD Média Desvio N t 2,98 0,96 7,28 1,68 p-value 0,53% 34,21% 0,00% 10,23% Conforme pode ser observado, no que se referem à média, os módulos para a base e para o subleito não são significantemente diferentes se determinados em laboratório ou em campo. Apesar disso, é importante ressaltar que os valores encontrados com FWD são mais dispersos. Por outro lado, os módulos médios encontrados em campo para o revestimento e para a subbase são significantemente inferiores aos determinados em laboratório. No que diz respeito ao revestimento, além do estado de trincamento da camada, a diferença pode estar relacionada a diversos outros fatores. Sabe-se que a temperatura exerce influência significativa na rigidez do revestimento asfáltico. Desta forma, os valores mais altos de temperatura do revestimento em campo (43ºC, em média, medidos quando do ensaio FWD, contra os 25ºC do ensaio de laboratório) diminuem o valor da rigidez do revestimento. Há ainda a heterogeneidade do material, que o modelo desconsidera. Para a sub-base, os valores médios significantemente diferentes entre campo e laboratório podem sugerir que há problemas de compactação nesta camada. Esse fator, somado aos baixos valores de MR do revestimento, são prováveis causas dos 37% de deflexões classificadas como Alta ou Muito Alta na Tabela CONCLUSÕES A metodologia de retroanálise aqui desenvolvida apresentou resultados satisfatórios no que diz respeito à convergência dos ajustes das bacias de deflexão, que não ocorreu em apenas um único ponto. O mesmo pode ser dito no que concerne aos valores de MR encontrados que, confrontados com os dados de laboratórios, mostraram-se capazes de fornecer subsídios para um diagnóstico do trecho. Destaca-se como contribuição deste artigo a utilização do MEF para a retroanálise, que comumente é realizada no estado-da-prática nacional utilizando a Teoria das Multicamadas Elásticas. Não apenas o MEF foi usado, como também elementos infinitos. O uso destas técnicas mais avançadas elimina a limitação do número de camadas e, 10

12 principalmente, permite que, futuramente, novos modelos constitutivos e outros tipos de carregamento possam ser implementados. Agradecimentos Os autores agradecem à Rede Temática de Asfalto da Petrobras e à REDE ASFALTO N/NE da FINEP/Petrobras pelo suporte financeiro e equipamentos envolvidos na coleta dos dados em campo. Agradecimentos especiais são devidos à Alessandra Honório e Synardo Leonardo do LMP/UFC pelo esforço dispensado à recuperação e disponibilização dos dados. REFERÊNCIASBIBLIOGRÁFICAS Albernaz, C. A. (1997). Método simplificado de retroanálise de módulos de resiliência de pavimentos flexíveis a partir da bacia de deflexão. Dissertação de Mestrado, 99. Rio de Janeiro, Rj: Ufrj. Albernaz, C., Fritzen, M., Motta, L., & Medrado, W. (2014). Avaliação de trechos experimentais de solo fino e tratamento superficial em Minas Gerais.21º Encontro de Asfalto - Ibp. Rio de Janeiro. Bernucci, L. B., Motta, L. M., Ceratti, J. A., & Soares, J. B. (2010). Pavimentação Asfáltica: Formação Básica Para Engenheiros. Rio de Janeiro: Petrobras,Abeda. Botelho, R. P., Cavalcante, R. N., Coutinho, R. P., Holanda, A. S., & Parente Jr., E. (2009). Desenvolvimento de um sistema gráfico para análise numérica de pavimentos asfálticos.iv Simpósio Internacional de Avaliação de Pavimentos e Projetos de Reforço, Fortaleza, Ce. Broutin, M. (2010). Assessment of flexible airfield pavements using Heavy Weight Deflectometer.Tese de Doutorado, 370. Paris, França: ENPC. Burmister, D. (1943). The theory of stresses and displacement systems and applications to the design of airport runways. Highway Research Board, Proc. Cabral, B. (2005). Verificação da anisotropia em solos do subleito da Região Metropolitana de Fortaleza pertencentes à formação Barreiras. Dissertação de Mestrado. Fortaleza. Cavalcante, R. N., Coutinho, R. P., Holanda, A. S., & Parente Jr., E. (2008). Gerador de malha bidimensional para análise de tensões e deformações em pavimentos asfálticos. Anais do XXIX Iberian Latin American Congress on Computational Methods in Engineering, CILAMCE, Coutinho, R. P., Cavalcante, R. N., Holanda, A. S., & Parente Jr., E. (2008). Desenvolvimento de um gerador de malhas para análise de pavimentos pelo Método dos Elementos Finitos. Anais Do XXII Congresso De Pesquisa e Ensino em Transportes, Anpet, Fortaleza, Ce. DNIT-ME 134/2010: Pavimentação - Solos - Determinação do Módulo de Resiliência Método de ensaio. Departamento Nacional de Infraestrutura de Transportes, Rio de Janeiro. DNIT-ME 135/2010: Pavimentação asfáltica - Misturas asfálticas - Determinação do módulo de resiliência Método de ensaio. Departamento Nacional de Infraestrutura de Transportes, Rio de Janeiro. DNER-PRO 273/96: Determinação de deflexão utilizando deflectômetro de impacto tipo Falling Weight Deflectometer (FWD). Fonseca, L. F. S. (2013). Análise das soluções de pavimentação do programa CREMA 2ª. Etapa do Departamento Nacional de Infraestrutura de Transportes. Dissertação de Mestrado. Universidade Federal do Rio de Janeiro, COPPE/UFRJ. Rio de Janeiro, RJ. Franco, F. A. C. P. (2007). Método de dimensionamento mecanístico-empírico de pavimentos asfálticos SisPav. Tese de Doutorado. Universidade Federal do Rio de Janeiro, COPPE/UFRJ. Rio de Janeiro, RJ. Holanda, A., Parente Jr., E., Melo, L., Evangelista Jr., F., & Soares, J. (2006). Finite Element Modeling of Flexible Pavements. XXVII Iberian Latin-American Congress on Computational Methods in Engineering (CILAMCE). Belém, Pará. Kallas, B. (1970). Dynamic modulus of asphalt concrete in tension and tension-compression. Association of Asphalt Paving Technologist, V. 39, Nunes, F., Frota, C., & Soares, J. (2005). Efeito da consideração de camadas asfálticas bimodulares na análise de pavimentos flexíveis. 36.A Reunião Anual De Pavimentação. Curitiba - Pr. Silva, S., Vidal, P., Holanda, A., & Parente Jr., E. (2013). Análise viscoelástica de pavimentos asfálticos utilizando elementos finitos e infinitos. Transportes. v. 21, p Rio de Janeiro Soares, J., Motta, L., Paiva, J., & Castelo Branco, J. (2000). Propriedades mecânicas de misturas asfálticas com variação de granulometria e de CAP. 15º Encontro de Asfalto - Ibp.Rio de Janeiro. Ullidtz, P. (1977). Overlay And Stage By Stage Design. 4th International Conference On Structural Design Of Asphalt Pavement, Proc. Von Quintus, H., & Killingsworth, B. (1998). Analyses relating to pavement material characterizations and their effects on pavement performance. FHWA-Rd , Federal Highway Administration. Mclean, Va. 11