O SOFTWARE GEOGEBRA E A ÁLGEBRA GEOMÉTRICA DE EUCLIDES EL SOFTWARE GEOGEBRA Y EL ÁLGEBRA GEOMÉTRICA DE EUCLIDES

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1 O SOFTWARE GEOGEBRA E A ÁLGEBRA GEOMÉTRICA DE EUCLIDES EL SOFTWARE GEOGEBRA Y EL ÁLGEBRA GEOMÉTRICA DE EUCLIDES Prof. Dr. José Carlos Pinto Leivas leivasjc@yahoo.com.br Mini-Curso Medio, Terciario y Educación de Adultos Tema: 4. Uso de tecnologías Palavras-chave: unidades figurais elementares; álgebra geométrica; Geogebra. Resumo: Em Os Elementos Euclides preocupou-se em obter e comparar áreas de regiões poligonais. Para tal, utilizou-se da decomposição de polígonos em figuras com áreas equivalentes, a saber, em triângulos e efetuou a chamada álgebra geométrica. Obteve, por meio de operações com régua e compasso, um paralelogramo, um retângulo e um quadrado, todos de mesma área. Para reunir dois quadrados de áreas distintas num terceiro quadrado, cuja área corresponda à soma das áreas dos respectivos, utilizou o Teorema de Pitágoras. O Mini-Curso ilustra o caminho realizado por Euclides, à luz das unidades figurais de um objeto geométrico da teoria de Duval e a correspondente reconfiguração, particularmente ilustrando o emprego da média geométrica em seu aspecto geométrico. Como metodologia de trabalho utilizaremos o software Geogebra nas construções em um ambiente computacional em que os participantes deverão atuar efetivamente. Resumen: Euclides trato de obtener y comparar áreas de regiones poligonales y ha utilizado la descomposición de polígonos en regiones triangulares con áreas equivalentes y realizó el álgebra geométrica. Obtuvo, con regla y compás, paralelogramo, rectángulo y cuadrado, todos con la misma área. Para el montaje de dos plazas de diferentes áreas en el tercer cuadrado, cuya área corresponde a la suma de sus áreas, se utiliza del Teorema de Pitágoras. El Mini-Curso ilustra la forma realizada por Euclides, a la luz de las unidades figurales elementales de una figura geométrica de un objeto de la teoría de Duval y la reconfiguración correspondiente, en particular, ilustra el uso de la media geométrica en su aspecto geométrico. La metodología a utilizar es en un entorno informático con el software Geogebra en el que los participantes trabajarán con eficacia en las construcciones. Palabras-clave: unidades figurales elementales; álgebra geométrica; Geogebra. Desenvolvimento: Encontramos no livro I de Euclides as definições 13 e 14: E fronteira é aquilo que é extremidade de alguma coisa; Figura é o que é contido por alguma ou algumas fronteiras. (Euclides, 2009, p. 97). A linguagem e os termos utilizados à época têm se modernizado? Esta é uma pergunta que frequentemente me faço e também a repito aos meus alunos. Não seria este um bom motivo para a falta de interesse dos alunos, nos diversos níveis de ensino, 215

2 pela aprendizagem de Geometria, especialmente em tempos de modernização e, especialmente, pelo uso das tecnologias? Se as mudanças tecnológicas influenciaram e influenciam as sociais, então porque não pensar de que formas elas poderiam influenciar no ensino de Matemática e, particularmente, no ensino de Geometria de modo a melhor a aprendizagem desta área do conhecimento. Schaff (apud Borba e Villarreal, 2006, p. 9) previu que a perda de empregos provocada pela introdução de computadores em diversos setores da atividade social também pode trazer mudanças no setor educacional. Suas previsões quanto a um crescente papel para a educação são verdadeiras, pois a própria tecnologia abriu possibilidades e necessidade de educação ao longo da vida. Assim, olhar para a Geometria sob um enfoque computacional é importante, especialmente na formação do professor de Matemática. Aspectos visuais oferecidos pelos softwares de Geometria Dinâmica têm sido, em nossa opinião, um aliado imprescindível do professor na busca do crescimento e de um desenvolvimento de raciocínio e pensamento geométrico nos estudantes nos diversos níveis de ensino. O tema visualização tem sido estudado por muitos autores, sendo um tema de pesquisa atual e relevante, inclusive merecendo atenção especial em trabalhos junto ao Grupo de Psicologia da Educação Matemática PME. Leivas (2009, p. 22) define visualização como um processo de formar imagens mentais, com a finalidade de construir e comunicar determinado conceito matemático, com vistas a auxiliar na resolução de problemas analíticos ou geométricos. Entendemos que visualizar vai muito além de ver com os olhos e, desta forma, fazer uso de um software para desenvolver o cálculo de áreas de regiões poligonais não regulares torna-se acessível, dinâmico e prazeiroso para estudantes e professores. Leivas (2007) utiliza régua e compasso para obter o cálculo de áreas de regiões poligonais utilizando o princípio das representações semióticas de Duval. Para tal faz uma passagem de registros de representação de média geométrica entre dois números reais positivos p e q, ou seja, a raiz quadrada do produto destes dois números e relações trigonométricas no triângulo retângulo. Por exemplo, a altura relativa à hipotenusa é igual à raiz quadrada do produto das duas projeções dos catetos sobre ela ( média geométrica entre p e q). A forma ali construída permite uma forma de visualização obtida por meio do lápis e papel e não é a única uma vez que nos propomos, neste minicurso, utilizar os recursos tecnológicos da ferramenta computacional Geogebra para percorrer um caminho similar ao descrito po Euclides em sua álgebra geométrica (livro I, proposições 42, 47 e livro II, proposição 14, por exemplo). 216

3 O Geogebra é um software livre e pode ser baixado diretamente no computador do usuário pelo endereço e proporciona uma excelente interface na conexão de problemas a serem resolvidos algébrica e geometricamente. Na medida em que se realizam atividades geométricas na tela do computador, uma janela mostra ao usuário os registros algébricos que são realizados. A figura 1, a seguir, ilustra a interface em que na parte superior são mostradas as janelas e as ferramentas disponíveis, podendo, entretanto, serem criadas novas ferramentas, principalmente, as macro construções. Na janela geométrica é visualizado um triângulo ABC e a região plana limitada pelo mesmo. Esta é a primeira construção a ser feita no minicurso, a qual será base para construção de nossa álgebra geométrica. Figura 1. A interface do Geogebra com a janela algébrica à esquerda. No que segue, por meio da reta r passando pelos pontos médios de dois lados do triângulo, o transformaremos em um paralelogramo de mesma área do triângulo, como mostrado nas figuras 2, a seguir. Figura 2. Rotação do triângulo DEB em torno do ponto E. Observamos que a reta r, ao seccionar os lados AB e BC do triângulo, determina o segmento de reta DE denominado de mediana de Euler, o qual tem por medida a metade da 217

4 medida do lado AC. O triângulo DEB fazendo uma rotação em torno do ponto E é levado ao triângulo D E B, de mesma área. O software permite elaborar uma tabela com o cálculo de áreas das figuras e, assim obtémse uma comparação entre as áreas do triângulo ABC e do paralelogramo ADD C, devendose concluir que são iguais, mostrando, assim a existência de um paralelogramo com a mesma área do triângulo inicial (figura 3) Figura 3. Comparação entre as áreas do triângulo ABC e do paralelogramo ADD C. No que segue, devemos transformar o paralelogramo ADD C num retângulo FED 1 F de mesma área e para tal faremos uso da ferramenta translação disponível na barra de ferramentas do Geogebra. Devemos, pois, transladar o triângulo AFD segundo um vetor AC conveniente, como mostrado na figura 4. Dessa forma, obtemos a transformação do paralelogramo ADD C num retângulo FDD F de mesma área e que, por conseqüência, com a mesma área do triângulo ABC. Figura 4. Transformação do paralelogramo num retângulo de mesma área. Seguindo nossa álgebra geométrica com o uso do software Geogebra iremos transformar o retângulo em um quadrado de mesma área e, para tal, utilizaremos o conceito de média 218

5 geométrica. Iremos propor a construção do segmento FH cujo comprimento é igual à soma dos comprimentos dos dois lados do retângulo, como na figura 5 da esquerda. Para isto, solicitaremos obter o ponto médio C do segmento FH, I, que é centro de uma semicircunferência de raio FC, na qual se inscreve um triângulo retângulo FLH como indicado na segunda figura. Figura 5. Triângulo retângulo inscrito em uma semicircunferência. A altura do triângulo relativa à hipotenusa, LF, é igual à média geométrica entre as projeções dos catetos sobre a hipotenusa, que são as duas dimensões do retângulo e corresponde ao lado do quadrado de mesma área do retângulo, como mostra a figura 6. Figura 6. Quadrado de mesma área do triângulo. A sequência de figuras acima ilustra uma possibilidade de transformar um triângulo em um quadrado de mesma área, ou seja, estamos obtendo uma equivalência de áreas com o uso do software Geogebra. A partir disto ilustraremos como é possível obter a área de uma região poligonal pela decomposição desta região em triângulos e, seguindo a álgebra geométrica ilustrada anteriormente, transformar cada um destes triângulos em um quadrado de mesma área. 219

6 A fim de reunir as áreas de dois triângulos ou equivalentemente de dois quadrados empregaremos o teorema de Pitágoras. Assim, dados dois triângulos T 1 e T 2, os transformamos geometricamente em dois quadrados Q 1 e Q 2 de mesma área. Digamos que o quadrado Q 1 tem lado medindo l 1 e Q 2 tem lado medindo l 2. Construímos um triângulo retângulo cujos catetos são l 1 e l 2. Portanto, a hipotenusa corresponde ao lado de um terceiro quadrado cuja área corresponde à de um quadrado Q 3 e, assim, a área de Q 3 é igual à soma das áreas de Q 1 e Q 2. Portanto, Q 3 corresponde à área da região definida pelos triângulos T 1 e T 2. (figura 7) Figura 7. Soma de áreas de dois quadrados usando Pitágoras. Concluindo: Não é raro alunos questionarem seus professores a respeito de razões pelas quais é necessário que aprendam determinados conteúdos ou técnicas de ensino e, muitas vezes, desejam saber em que ou onde utilizarão o que está sendo ensinado. Davis e Hersh (1995, p. 89) questionam: Que aplicações de matemática são de utilidade comum? Respondem: A resposta a esta questão tem, obviamente, implicações profundas para a educação, para a preparação de textos e para a investigação. Contudo, a resposta está rodeada de mito, ignorância, desinformação e confusão entre desejos e realidade. Acreditamos que a oficina poderá dar algumas respostas sobre o porquê de utilizar certos conceitos matemáticos que os alunos têm, muitas vezes, dificuldades de compreender em Geometria pela forma dedutiva como ela é apresentada. Ao discutirmos os principais axiomas de Hilbert à luz dos recursos disponibilizados pelo Geogebra, entendemos que estaremos proporcionando ao professor que atua na Escola Básica e também no Ensino Superior algumas sugestões de como utilizar as tecnologias para inovar e, principalmente, 220

7 motivar os alunos para o estudo dessa área do conhecimento que vem sendo esquecida e, porque não, em alguns momentos abandonada na escola. Retomamos aqui o dito por Freudenthal (1973, p. 402) Se hoje há motivos para se preocupar com o futuro do ensino da Geometria e, mesmo temer que ela possa desaparecer do currículo, em primeiro lugar os culpados são aqueles que, ativa ou passivamente, têm resistido em inovar o ensino da Matemática. Dessa forma, utilizar os recursos oferecidos pelo Geogebra na construção do conhecimento geométrico por meio de oficina corrobora o que indicou Papert (1994) de que na abordagem construcionista a forma de pensamento dos alunos é explicitada e o professor, como orientador do processo, acompanha o desenvolvimento das atividades que o aluno desenvolve no computador por meio de constantes questionamentos sobre a forma como o aluno realiza suas tarefas. Entendo que a visualização, com o sentido dado pelo autor deste trabalho no início do artigo, encontra guarida nos indicativos fornecidos pelo NCTM (2008) para as medidas por níveis de escolaridade. O documento indica que os programas de ensino, desde o préescolar ao último ano do Ensino Médio, deverão qualificar os alunos para Usar a visualização e a modelação geométrica para resolver problemas. E, para concluir, cremos na contribuição que a oficina possa dar para que o professor, partindo das atividades exploratórias realizadas, possa ter subsídios para criar e selecionar outras atividades de acordo com o nível de sua turma e da escola em que está inserido. Referências: Bicudo, Irineu (trad.) Os Elementos/Euclides. São Paulo: Editora da UNESP. Borba, M.C. and Villarreal, M. (2006). Humans-with-media and the reorganization of mathematical thinking: information and communication technologies, modeling, experimentation an visualization. USA: Springer. Davis, P. e Hersh, R. (1995). A experiência matemática. Lisboa: Gradiva. Freudenthal, Hans (1973). Mathematics as an educational task. Holland: D. Reidel Publishing Company. Leivas, J. C. P. (2007). Euclides e o Cálculo de Áreas de Regiões Poligonais. In: Educação Matemática em Revista RS. Ano 8, 2007, n. 8, pp (2009). Imaginação, Intuição e Visualização: a riqueza de possibilidades da abordagem geométrica no currículo de cursos de licenciatura de 221

8 matemática Tese (Doutorado em Educação) Universidade Federal do Paraná. Curitiba, 2009, 294 p. NCTM (2008). Princípios e normas para a matemática escolar. Lisboa: APM. Papert, S. (1994). A Máquina das Crianças. (repensando a escola na era da informática). Rio Grande do Sul: Artes Médicas. 222