Contribuições do Uso de Representações Semióticas no Ensino de Sistemas de Equações no Ensino Fundamental

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1 Contribuições do Uso de Representações Semióticas no Ensino de Sistemas de Equações no Ensino Fundamental Michelsch João da Silva 1 GD2 Educação Matemática nos anos finais do Ensino Fundamental Resumo Frente à análise do currículo existente e com base na forma como tradicionalmente o conteúdo de sistemas lineares de duas equações e duas variáveis é trabalhado em sala de aula, sugerimos aqui uma alternativa para abordar tal conteúdo no ensino fundamental de forma diferenciada: invertendo a ordem de apresentação do conteúdo. Buscamos o uso da tecnologia como um facilitador da aprendizagem. Mais precisamente motivamos as atividades no uso do geogebra, acreditando que a representação gráfica da solução de um sistema linear deve auxiliar na compreensão efetiva do conteúdo e encontramos nas representações semióticas os alicerces para embasar e fundamentar o artigo, uma vez que acreditamos que os alunos efetivamente compreendem o conteúdo quando conseguem modificar os registros em que os mesmos se apresentam. Palavras-chave: Sistemas Lineares. Tecnologia. Representações Semióticas. Geogebra. Introdução Enquanto professores de matemática, vivemos na incessante busca de despertar e estimular nos alunos o prazer de aprender essa disciplina. Sabendo que a matemática desempenha tradicionalmente um papel de exclusão na vida estudantil e é considerada uma disciplina difícil pelos alunos (em sua maioria), desenvolvemos um trabalho à procura de uma proposta inovadora para abordar sistemas de equações de duas variáveis com alunos do 8º ano do ensino fundamental. Seguindo orientações dos Parâmetros Curriculares Nacionais (1997. v.1), os alunos que finalizam o ensino fundamental devem ser capazes de: Questionar a realidade formulando-se problemas e tratando de resolvê-los, utilizando para isso o pensamento lógico, a criatividade, a intuição, a capacidade de análise crítica, selecionando procedimentos e verificando sua adequação. E, também, saber utilizar diferentes fontes de informação e recursos tecnológicos para adquirir e construir conhecimentos. 1 Universidade Federal do Rio Grande do Sul, orientador: Marcus Vinícius de Azevedo Basso.

2 Reconhecendo o ensino de sistemas lineares como um conteúdo de fundamental importância para alunos de 8º ano, ensino médio e ensino superior, buscamos por meio desse trabalho fazer o aluno compreender o significado da solução de um sistema linear, bem como variar os registros de suas soluções, convertendo de uma linguagem (algébrica) para outra (geométrica). As representações semióticas Um dos desafios das representações semióticas busca compreender as dificuldades muitas vezes insuperáveis que muitos alunos têm na compreensão da matemática. As representações semióticas são apresentadas como importantes pelo fato de que os objetos matemáticos em geral não são diretamente perceptíveis ou observáveis com a ajuda de instrumentos. Os objetos matemáticos precisam de diferentes representações para ficarem acessíveis, pois em geral não são reais ou físicos. Os objetos matemáticos não devem ser confundidos com as suas representações. Por exemplo, uma reta pode ser representada por uma expressão algébrica do tipo ax by c. Segundo Duval, este referencial teórico é plenamente aplicável no contexto da didática da matemática, pois auxilia o processo de ensino-aprendizagem em diferentes níveis e conteúdos. Para ele as representações podem apresentar registros multifuncionais ou monofuncionais. O primeiro registro são aqueles cujo tratamento não utilizam os algoritmos. Enquanto o segundo são aqueles cujo tratamento são principalmente algoritmos. A originalidade da atividade matemática está na mobilização simultânea de ao menos dois registros de representação ao mesmo tempo ou na possibilidade de trocas a todo o momento de registro de representação. (DUVAL, 2003, p.14) Para que um sistema semiótico seja um registro de representações é necessário que ele permita a transformação de uma representação em uma outra representação de outro registro que conserva a totalidade ou parte do conteúdo da representação inicial. Duval (2003, p.16) afirma que: Do ponto de vista matemático, a conversão intervém somente para escolher o registro no qual os tratamentos a serem efetuados são mais econômicos, mais

3 potentes, ou para obter um segundo registro que serve de suporte ou guia aos tratamentos que se efetuam em um outro registro. Na maioria das vezes, a diferença entre o ponto de vista matemático e o ponto de vista cognitivo não é levado em conta. Entretanto, é muito importante na análise da aprendizagem considerar esses dois pontos de vistas para que não se tenha falsa interpretação. Para exemplificar podemos lembrar o objeto matemático equações de duas variáveis. Em geral os professores discutem o tratamento em diferentes representações (algébrica, tabular e gráfica) e não promovem todas as possíveis conversões. É importante lembrar que o professor deve sempre ter em mente que a chave da aprendizagem está nas conversões. As dificuldades dos alunos surgem com mais freqüência quando as conversões são de representações de registros diferentes. Por exemplo, é o caso que surge na resolução de um sistema linear, quando o aluno necessita passar da linguagem escrita para a linguagem algébrica ou gráfica. O ensino de sistemas lineares surge nas escolas no final do 7º e 8º ano. Muitas vezes, são abordados de forma algébrica, sem ao menos ser mencionado sua solução geométrica ou a representação de uma equação de duas variáveis no plano. Tendo isto em mente, as atividades em sala foram orientadas no sentido de assegurar a apropriação do aluno desses conhecimentos, antes da seqüência para o ensino de sistemas de duas equações como se encontra nos atuais livros didáticos. O uso de tecnologias Tradicionalmente, o papel de repassar informações e conceitos era exclusivo da escola. Os conhecimentos teóricos eram apresentados gradativamente pelo professor, que era considerado o detentor do conhecimento, enquanto os alunos eram agentes passivos que estavam na sala de aula apenas para receber essas informações sem questioná-las. Os conhecimentos eram apresentados em blocos e linearmente. Após um determinado grau de escolarização, a pessoa podia considerar-se formada e já possuía conhecimento suficiente para iniciar alguma profissão. Vani Kenski afirma que o espaço e o tempo de ensinar eram determinados. Ir à escola representava um movimento, um deslocamento até a instituição designada para a tarefa de ensinar aprender. O tempo da escola, também determinado, era considerado como o

4 tempo diário que, tradicionalmente, o homem dedicava à sua aprendizagem sistematizada. Correspondia, também, na sua história de vida à época que o homem dedicava à formação escolar. Porém, as rápidas transformações tecnológicas da atualidade impõem novas dimensões à tarefa de ensinar e aprender. Com tais transformações, é fundamental está em constante estado de aprendizagem e adaptação ao novo. A pessoa jamais atinge uma formação satisfatória, ao contrário, é necessário estar em formação continuada o tempo todo. A escola já não é mais o único espaço de formação. Muitas são as maneiras de ter acesso à informação e transformá-la em conhecimento, além das inúmeras possibilidades de estar informado por meio das interações com todos os tipos de tecnologias. Embora seja visível a evolução da tecnologia nos últimos anos, deve-se perceber que a mesma ainda está distante do dia-a-dia da escola, que muitas vezes ainda encontra-se limitada à quadro, giz e meras aulas expositivas, onde o professor é o detentor do conhecimento e o aluno é um ente passivo que apenas recebe informações. É lamentável que o uso de tecnologias ainda seja visto com muito receio por parte dos professores, pois ainda se ouve muitos professores falarem na insegurança de usar esta ferramenta. Partindo da necessidade de inovar suas aulas, o uso da mesma pode ser uma alternativa viável para auxiliar no processo ensino aprendizagem, tornando suas aulas mais interessantes, criativas e dinâmicas, despertando o interesse dos alunos e motivando-os para o processo educacional. Matematicamente, o uso te tecnologias não se destina apenas a facilitar os cálculos ou torná-los mais rápidos. O uso das mesmas permite transformar os processos de pensamento e construção do conhecimento. Visando fazer as conversões dos registros de uma equação de forma rápida e dinâmica, optamos por usar um software: geogebra. A partir dele, trabalhamos as diversas formas de representação de uma equação e a possibilidade de solucionar um sistema de duas equações e duas variáveis por meio da visualização das retas construídas por esse software. O processo de aprender usando esse software colocou os alunos diante de novos desafios e questionamentos. O processo de manipular a máquina e o software tornaram-se meros detalhes frente às angústias que surgiram ao observarem uma equação se tornar uma reta com apenas um clique.

5 Buscamos agregar o uso de tecnologia em nosso trabalho acreditando que o acesso as novas tecnologias seja software, internet, TV, vídeo, etc faz com que o professor deixa de ser o centro do saber e passa a se tornar um orientador do processo de aprendizagem, integrando de forma equilibrada tecnologias, sala de aula e conhecimento. Masetto (p. 30) afirma que O professor é um pesquisador em serviço. Aprende com a prática e a pesquisa e ensina a partir do que aprende. Realiza-se aprendendo-pesquisandoensinando-aprendendo. O seu papel é fundamentalmente de um orientador/mediador. Não basta integrar tecnologias, é preciso ter novas metodologias, atividades. É preciso aproximar um software, por exemplo, à novas atividades, para que os alunos transitem facilmente de um meio para outro, usando diferentes formas de representação. Experimentar diferentes atividades em diversas formas. É preciso também variar a forma de ministrar aula, dinamizar as técnicas usadas em sala de aula e fora dela, variar as atividades solicitadas, as dinâmicas propostas, o processo de avaliação. Torna-se fundamental planejar e replanejar, aprender a improvisar, prever e ajustar-se à presença do novo. Adaptar-se continuamente. É preciso valorizar a tecnologia no que ela tem de melhor. Metodologia e desenvolvimento da proposta A atividade desenvolvida foi um estudo de caso realizado por meio de dez (10) encontros numa turma de 7º ano de uma tradicional escola particular de Florianópolis. Optamos por trabalhar em duplas de alunos, visando enriquecer as discussões entre eles. Fazendo um estudo em alguns livros didáticos podemos perceber que o ensino de sistemas lineares no ensino fundamental vem sendo trabalhado de forma fragmentada: muitas vezes coloca-se um problema que deve ser resolvido por meio de sistemas lineares de duas equações e duas variáveis, resolve-se exemplos que devem ser seguidos como modelo e apresenta-se uma lista de exercícios para o aluno resolver. Em sua maioria, não apresenta soluções na forma geométrica e quando o fazem, destinam meia página do livro para apenas abordar o assunto de forma sucinta. Com base nessa avaliação, elaboramos uma seqüência didática com uma abordagem diferente da apresentada pelos livros: buscamos trabalhar a representação geométrica dos

6 sistemas lineares e, a partir das construções feitas por meio do geogebra, discutir suas soluções e classificação. O primeiro encontro foi orientado para uma familiarização com o geogebra e destinado a entender algumas funções básicas que serviriam como base para encontros posteriores: inserção de pontos, construção de retas por meio de pontos, inserção de tabelas, construção de retas por meio de tabelas, determinação de pontos que encontram-se em cima de retas, mudança de escalas, etc. A partir do segundo encontro começou a discussão acerca da construção de retas por meio de equações. Num primeiro momento, disponibilizamos aos alunos algumas equações e propomos que construíssem as retas por meio do geogebra. Posteriormente disponibilizamos as mesmas equações e solicitamos que encontrassem soluções para as equações e plotassem os pontos no gráfico e num terceiro momento, usando a função reta definida por dois pontos, construíssem as retas (figura 1) que representavam as equações. Figura 1 - Construção da dupla 04. Os alunos rapidamente perceberam o alinhamento entre os pontos que representavam soluções da equação. Fato perceptível pelas colocações de alguns alunos ao mencionar que houve um ou outro ponto da sua atividade que deviam estar errados, pois estavam desalinhados em relação aos outros. O aluno 01 disse: Professor, eu acho que meu ponto C está errado, pois não tá na linha dos outros. Segue ilustração na figura 2.

7 Figura 2 - Construção da dupla 01. Ainda nesse bloco de atividades, disponibilizamos algumas equações e pares ordenados, solicitando que os alunos fizessem a verificação se os pares representavam soluções das equações dadas. Todos entenderam que um ponto só seria solução da equação se pertencesse a reta construída. Veja figura 03. Figura 3 - Construção da dupla 02. O próximo bloco de atividades consistia em resolver sistemas de equações de duas variáveis. O professor disponibilizou alguns exercícios (problemas de geometria, idades dos alunos, entre outros) que seriam resolvidos por meio desse objeto matemático e solicitou que os alunos os resolvessem, construindo as retas e determinando a solução. As aulas foram extremamente produtivas e após analisar o roteiro das aulas e verificar que todas as duplas responderam corretamente todos os exercícios, sentimo-nos imensamente satisfeitos com as atividades propostas.

8 Cabe ressaltar a resposta (figura 04) dada pela dupla F quando perguntamos a respeito da solução de um sistema linear de duas equações e duas variáveis e sua relação com as retas construídas por meio destas equações. Figura 4 - Construção da dupla 06. Observando o arquivo do geogebra (figura 05), verificamos a exatidão da solução. Figura 5 - Construção da dupla 06. O terceiro bloco de atividades buscava apresentar e discutir acerca da quantidade de soluções existentes em um sistema de equações de duas variáveis. Inicialmente apresentamos um sistema impossível de ser resolvido e pedimos a solução (figura 06) Figura 6 - Enunciado de uma atividade.

9 Os alunos rapidamente perceberam a inexistência da solução e o aluno 03 fez uma importante observação ao verificar que as retas não se cruzavam: É claro, né fessô, como que eu posso somar dois números iguais e dá 5 e 6 ao mesmo tempo? Nunca vai dá. Buscando fazê-los compreender as relações entre os coeficientes e termos independente de duas equações que compõem um sistema para ser determinado (ou não) sua solução, propomos uma atividade conforme figura 07 apresentada abaixo e vemos que alguns alunos cometeram alguns erros, sendo necessário e intervenção do professor para garantir o entendimento correto do conteúdo. Figura 7 - Construção da dupla 04. Para trabalhar o sistema que possui infinitas soluções, as atividades seguiram a mesma dinâmica proposta anteriormente. Finalizando a sequência didática, fizemos uma discussão na lousa quanto à classificação dos sistemas lineares de duas equações e duas variáveis e a relação entre número de soluções existentes para o sistema: a) SPD (Sistema possível e determinado) se possuir apenas uma solução; b) SPI (Sistema possível e indeterminado) se possuir infinitas soluções; c) SI (Sistema impossível) se não possuir solução; Na sequencia, propomos seis exercícios, que solicitava apenas a classificação de determinados sistemas lineares de duas equações e duas variáveis. Para isto, porém, os alunos não podiam usar a ferramenta computacional e deveria também justificar a classificação dada. Com isso, esperávamos que os alunos retomassem as discussões promovidas nas aulas anteriores e associassem as posições relativas das retas com a classificação do sistema. É interessante observar o empenho e dedicação com que realizaram a atividade: muitos alunos discutindo os exercícios e explicando um ao outro como resolvê-los e justificando

10 suas colocações respaldados nas aulas trabalhadas com o auxílio do geogebra. Cabe salientar a resposta (figura 08) colocada pela dupla 05: Figura 8 - Construção da dupla 05. A dupla solicitou ao professor uma folha de rascunho. O professor disponibilizou o material solicitado e imaginando que os alunos fariam cálculos, pediu-lhes que entregassem as folhas de rascunho juntamente com os exercícios contidos no roteiro. O professor ficou feliz (e surpreso) ao receber a folha (figura 09 e 10) e verificar que os alunos construíram gráficos para auxiliar nas suas repostas. Figura 9 - Construção da dupla 06 atividade c).

11 Figura 10 - Construção da dupla 06 atividade d). Considerações finais As atividades que propusemos nesse trabalho nos reforça acreditar no potencial do uso de tecnologia em sala de aula e mostra como os alunos sentem-se motivados quando desafiados a resolver problemas diferentes daqueles tradicionalmente abordados em sala de aula. A manipulação do software possibilita uma maior interação com os exercícios sugeridos e coloca o aluno diante de situações que precisam compreender o conteúdo como um todo, uma vez que o foco da atividade proposta estava nas conversões e compreensão das soluções e não em sua solução algébrica. Os resultados obtidos com essa atividade nos coloca diante da situação de sugerir aos professores que realizem trabalhos com essa perspectiva, uma vez que verificamos que os alunos são capazes de compreender e resolver sistemas lineares de forma geométrica, sem necessariamente conhecer a forma algébrica de solucioná-los. Mais ainda, a obtenção da solução por meio das construções gráficas, permitindo aos alunos que possam visualizá-las geometricamente, garante uma melhor compreensão da solução de um sistema linear. Deixamos aqui sugestão de um trabalho que busca modificar a forma de trabalhar um conteúdo abordado no ensino fundamental. Desejamos que os professores sintam-se entusiasmados e desenvolvam novos trabalhos procurando atingir os mesmo objetivos.

12 Referências ALMEIDA, M. E.; MORAN, J. M. Integração das tecnologias na educação. Brasília : MEC/SEED, BRASIL. Ministério da Educação. Parâmetros Curriculares Nacionais: Introdução. Brasília, v.1 DUVAL, R. Registro e representações semióticas e funcionamento cognitivo da compreensão em matemática. In: MACHADO, S. B. A. Aprendizagem em matemática: registro e representações. Campinas: Papirus, p DUVAL, R. Registros semióticos em matemática. Disponível em: <www.grupoenfoco.com.br/programaçãohtm>. Acesso em 11 out KENSKI, V. M. Tecnologias e ensino presencial e a distância. 4ª. ed. Campinas: Papirus, LÉVY, Pierre. MORAN, José Manuel, MASETTO, Marcos & BEHRENS, Marilda. Novas tecnologias e mediação pedagógica. 3a edição, Campinas: Papirus, 2001

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