Há alunos que pensam que a disciplina foi feita sob medida para atormentálos, simplesmente.

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1 METODOLOGIA DO ENSINO DE MATEMÁTICA E CIÊNCIAS 1. POR QUE ENSINAR MATEMÁTICA? Alguns questionamentos em relação à matemática estão presentes na vida de nossos alunos da escola de ensino fundamental, e um deles, sem dúvida, é a necessidade do estudo da matemática em suas vidas. Afinal qual será sua real importância? Muitos alunos e professores acreditam que a matemática seja uma disciplina destinada aos deuses, àquelas pessoas consideradas mais inteligentes ou especialistas. Há alunos que pensam que a disciplina foi feita sob medida para atormentálos, simplesmente. Alguns professores apontam que seus alunos não são bem-sucedidos no estudo da matemática ou porque não recebem incentivos e ajuda de seus familiares, que não têm conhecimento para ajudar ou ensinar os alunos nas tarefas de casa, ou devido à progressão continuada, em que o aluno é aprovado sem saber o conteúdo; ou ainda pela disciplina envolver conceitos a serem memorizados tornando-a chata e monótona. Encontramos nos Parâmetros Curriculares Nacionais (PCNs) de 1997, a declaração de que muitos dos problemas ocorridos no ensino da matemática se devem à formação inicial e/ou continuada de nossos professores a respeito da disciplina, forçando-os a se apoiarem unicamente em livros didáticos e, muitas vezes, com conteúdos de qualidade insatisfatória. Esclarecem que há necessidade de propostas inovadoras, muitas vezes impedidas pela falta de formação profissional qualificada de nossos professores, por suas concepções pedagógicas inadequadas e condições de trabalho desfavoráveis. Em reuniões de formação, constatamos o descontentamento por parte de alguns professores ao alegarem que não gostam da disciplina, pois quando percebem que os alunos não demonstram qualquer interesse por ela, sentemse desmotivados; outros dizem que não se sentem familiarizados com a matemática ou com o conteúdo que precisam trabalhar; outros afirmam terem deixado de trabalhar com alguns conteúdos por considerarem desnecessários ao aluno e por não estarem seguros quanto aos conceitos que estão previstos no planejamento do curso. Experiências mal-sucedidas com o conhecimento e com a aprendizagem do aluno podem influenciá-lo a não gostar da matemática, tê-la como algo intransponível ou dominar conceitos errôneos que o levem ao desânimo em soluções de problemas.

2 Os autores Marília Toledo e Mauro Toledo (1997, p. 8) ressaltam alguns preconceitos que as pessoas têm em relação à mate mática; como achar que a disciplina é difícil, impenetrável, repleta de regras e normas a serem memorizadas, incompreensível e obscurecida. Os autores também destacam o papel do professor como um mediador entre a intuição matemática, existente em todos os alunos, e a teoria formal da matemática. Por isso, sugerem uma metodologia de sala de aula que valorize a troca entre as impressões e experiências trazidas pelo aluno daquilo o que acredita e aprendeu de sua realidade e os conteúdos e conceitos a serem trabalhados na disciplina, com o objetivo de desenvolver as habilidades de comunicação e formulação de hipóteses no aluno. Devido a muitos professores trabalharem com a disciplina de forma expositiva, longe da realidade, muitos alunos questionam o fato de a disciplina de matemática constar no currículo escolar e qual a sua real necessidade. Marília Toledo e Mauro Toledo (1997) apresentam duas respostas a esses questionamentos: a matemática é uma disciplina necessária em atividades cotidianas, porque envolve aspectos quantitativos e qualitativos da realidade como, por exemplo, as ações de lidar com as grandezas, a contagem, as medidas, as técnicas de cálculo, etc.; a matemática desenvolve o raciocínio lógico, a capacidade de abstrair, generalizar, projetar, transcender o que é imediatamente sensível. Os PCNs (1997), além de sugerirem a busca por uma nova prática, esclarecem que a matemática: é um componente importante na construção da cidadania, na medida em que possibilita ao aluno apropriar-se de conhecimentos científicos e tecnológicos, cada vez mais utilizados na sociedade atual; é uma atividade que tem por base a análise e a reflexão e, portanto, pode capacitar o aluno a resolver problemas, a compreender e transformar a própria realidade; é um dos meios que possibilita ao aluno falar e escrever com representações gráficas, desenhos, construções, esquemas, tabelas, além de organizar e tratar dados da realidade; é uma forma de o aluno relacionar e estabelecer conexões entre a disciplina e as outras áreas, seus conceitos e seu cotidiano e entre os diferentes temas matemáticos;

3 é um conhecimento historicamente construído e em permanente transformação, assim, o conhecimento de seu contexto histórico permite ao aluno compreendê-la em sua dimensão filosófica, científica e social e seu lugar no mundo. Ao observarmos a prática de alguns professores, encontramos ações embasadas na crença de que os alunos das séries iniciais apresentam um grau de abstração e formalização dos quadros lógicos muito próximo ao do adulto e que conseguem, individualmente, pensar, analisar, deduzir, apreender e aplicar os conhecimentos ministrados pelo professor em sala de aula, sem ter dúvidas a respeito do conteúdo. Acreditam que o aluno analisa, conclui e acerta as hipóteses criadas durante o estudo do conteúdo na sala de aula, aprendendo com a simples explanação teórica do professor na lousa, sem nenhuma aplicação ou experiência em situações concretas. O que acontece, no entanto, é a memorização das teorias matemáticas, de modo distante e sem nenhuma ligação com a sua prática cotidiana. Podemos apreender das pesquisas de Piaget que os alunos não são meros depositários das aulas dos professores. Pelo contrário, são participantes ativos na construção de sua aprendizagem. Suas pesquisas não sugerem aulas expositivas de matemática que excluam o aluno do pensar, refletir, relacionar, testar e intervir com o objeto de sua aprendizagem. O aluno só é capaz de exercer certas atividades quando está desenvolvido intelectualmente, pois sua aprendizagem depende de seu desenvolvimento cognitivo, da fase em que se encontra, portanto, um aluno que está na fase concreta, abordada por Piaget, tem dificuldade de pensar abstratamente determinados conteúdos, quando distantes do concreto de suas vidas. Como forma de conseguir atender às expectativas do professor e dos degraus impostos pela escola, o aluno acaba memorizando fórmulas e procedimentos matemáticos para recitá-los nas avaliações e conseguir ser aprovado, o que não implica em construção do conhecimento por parte do aluno. A criança interage com o objeto de seu conhecimento, portanto, a aprendizagem dos conceitos matemáticos deve estar ligada ao dia a dia da criança, envolvendo aspectos quantitativos da realidade e relacionando-os. Muitos professores resistem ao uso da tecnologia como uma ferramenta que pode auxiliar na prática educativa e não permitem que seus alunos utilizem calculadoras, computadores, videogames e outros aparelhos tão comuns em suas vidas diárias. Esses professores perdem a oportunidade de observar e analisar como seus alunos pensam, resolvem os problemas propostos e utilizam tais ferramentas.

4 O que está por trás dessa atitude são concepções que o professor tem a respeito do ensino da matemática. Algumas dessas crenças são as de que: a matemática envolve processos algoritmos 1 rígidos, resultados de uma única forma de fazer e agir para uma única resposta precisa. Nesse tipo de visão, não se observa como e o que a criança pensou para chegar àquele resultado e, muito menos, contribui-se para que o próprio aluno chegue à conclusão de que sua hipótese de raciocínio não foi adequada; pelo contrário, estimula-se a memorização do modo de fazer igual ao do professor ou ao do livro didático; a matemática é algo específico para crianças consideradas muito inteligentes ou para especialistas. 1.1 A matemática e o dia a dia Os objetivos do ensino da matemática apontados por Marília Toledo e Mauro Toledo (1997) são: preparar o aluno para lidar com as mais diferentes situações que envolvam aspectos quantitativos da realidade. Nesse objetivoo aluno não precisa ter as fórmulas decoradas para empregá-las no seu dia a dia, mas resolver as situações diárias utilizando hipóteses adequadas para a solução dos diferentes impasses da realidade; favorecer situações que possibilitem ao aluno o estabelecimento de vínculos entre o que aprendeu na sala de aula e as situações do seu dia a dia. Os PCNs (1997, p.43) indicam objetivos do ensino da disciplina nas séries iniciais e que estão relacionados à matemática do dia a dia dos alunos; são eles: a construção do significado do número natural nas diferentes situações do contexto social em que os alunos vivem, por meio de contagens, medidas e códigos numéricos; a interpretação, a produção de escritas numéricas e a criação de hipóteses baseadas na observação do meio e expressas pela linguagem oral, registros informais e linguagem matemática; a resolução de situações-problema pela construção dos significados das operações fundamentais e pelo reconhecimento de que uma operação pode estar relacionada a diferentes problemas ou de que um mesmo problema pode ser resolvido por várias e diferentes operações; 1 Algoritmo: é uma sequência de um número fi nito de procedimentos, realizados para se chegar ao resultado de um cálculo.

5 o desenvolvimento de procedimentos de cálculo mental, a obtenção de resultados, exatos ou aproximados, e a observação de regularidades e propriedades das operações pela verificação dos resultados obtidos; a reflexão da grandeza numérica, pelo uso da calculadora como instrumento de produção e análise das escritas; o estabelecimento de pontos de referência no sentido de o aluno situar-se, posicionar-se e se deslocar no espaço; a identificação das relações de posição entre objetos no espaço e a interpretação e o fornecimento de instruções usando terminologia adequada; a percepção de semelhanças e diferenças entre objetos no espaço e a identificação de formas tridimensionais ou bidimensionais por meio de descrições orais, construções e representações; o reconhecimento de grandezas mensuráveis como comprimento, massa, capacidade e elaboração de estratégias pessoais de medida; a utilização de informações sobre o tempo e a temperatura; a utilização de instrumentos de medida, usuais ou não, a estimação e a expressão de resultados por meio de representações convencionais ou não; a identificação e o uso de tabelas e gráficos de leitura e a interpretação de dados e informações como forma de registro e comunicação pessoal. Os PCNs (1997, p. 9) norteiam o ensino das diferentes disciplinas nas séries do ensino fundamental como forma de possibilitar ao aluno: (...) questionar a realidade, formulando-se problemas e tratando de resolvêlos, utilizando para isso o pensamento lógico, a criatividade, a intuição, a capacidade de análise crítica, selecionando procedimentos e verificando sua adequação. 2. COMO ENSINAR MATEMÁTICA? A revista Nova Escola (2008, n. 216, p. 63) citou alguns mitos que permeiam a prática pedagógica de alguns professores e prejudicam o ensino da disciplina. Aproveitamos o texto da revista e o reescrevemos na forma de perguntas e respostas.

6 Em Didática de matemática como dois e dois: a construção de matemática, Marília Toledo e Mauro Toledo (1997, p. 14-5) descrevem as várias propostas de trabalho que poderão ser utilizadas pelos professores para o ensino de matemática. São elas: 1. resolução de problemas: essa proposta de trabalho visa a promover situações didáticas que estimulem a construção de conceitos matemáticos pelos alunos, utilizando a sua curiosidade matemática. Diante de uma situação-problema proposta, o aluno cria hipóteses, investiga, interpreta o fenômeno matemático e o explica dentro de sua concepção matemática; 2. modelagem: essa proposta de trabalho visa a aproximar as teorias matemáticas formais e a sua utilidade na vida real. É uma forma de estudar e analisar os problemas do dia a dia, à luz dos conteúdos científicos da matemática; 3. etnomatemática: o termo etnomatemática foi criado por Ubiratan D Ambrosio com o intuito de ensinar matemática por meio do estudo das práticas matemáticas de diferentes grupos culturais. Essa proposta de trabalho visa a valorizar conceitos matemáticos informais construídos pelos alunos por meio de suas experiências fora do contexto escolar; 4. história da matemática: essa proposta de trabalho tem por objetivo promover o desenvolvimento de conceitos matemáticos por meio do estudo da construção histórica dos conhecimentos matemáticos adquiridos nesse processo. Conforme tal abordagem, se estudarmos a construção histórica do conhecimento matemático, podemos com preender a evolução e as dificuldades dos conceitos matemáticos. Essa proposta está relacionada à etnomatemática, na medida em que estuda os estágios de desenvolvimento matemático de diferentes grupos culturais e os compara aos estágios de desenvolvimento histórico de diferentes conceitos matemáticos; 5. o uso de computadores: nesta proposta de trabalho, o aluno cria autoconfiança em sua capacidade de criar e fazer matemática, deixando de

7 lado conhecimentos prontos, transmitidos, para utilizar conhecimentos na construção dos conceitos matemáticos; 6. jogos matemáticos: essa forma de ensino privilegia o desenvolvimento do pensamento lógico-matemático e do espacial por meio da utilização de jogos como estratégia. Trabalha, também, com a estimativa e o cálculo mental. Os autores Marília Toledo e Mauro Toledo (1997) enfatizam que a melhor proposta é aquela que desenvolve a matemática de forma rica com todos os alunos e sugere uma linha metodológica que utilize as várias propostas abordadas, pois elas se complementam. 2.1 O conceito de número Para entendermos como o aluno constrói o conceito de número, é interessante observarmos como as pessoas definem número. Número é: quantidade; um símbolo; um símbolo representativo de uma quantidade; um numeral, e não um símbolo. Marília Toledo e Mauro Toledo (1997) esclarecem a dificuldade e a divergência que alguns autores tiveram ao tentar definir o que eram números. Veja algumas definições: É a expressão que determina uma quantidade de coisas da mesma espécie (Baltzer, ). É a adição sucessiva de uma unidade (Kant, ). É uma coleção de objetos de cuja natureza fazemos abstração (Broutroux, ). É a classe de todas as classes equivalentes a uma classe (Russell, ). Até 1960, as noções e os conceitos matemáticos eram ensinados como se esses conceitos pudessem ser aprendidos por meio da memorização do que lhes fora transmitido o conteúdo ministrado de matemática era trabalhado como se a aprendizagem estivesse relacionada ao conhecimento social. Com todo esse trabalho citado, algumas crianças não conseguiam construir o conceito de número, e os professores não conseguiam ajudá-las com suas aulas expositivas. Os estudos da matemática moderna contribuíram para mudanças no currículo.

8 Segundo os autores Marília e Mauro Toledo (1997), a matemática moderna contribuiu para a construção do conceito de número, porque enfatizou a teoria dos conjuntos. Essa ênfase concordou com as pesquisas realizadas por Piaget a respeito da construção do conceito de número pela criança. Os mesmos autores (1997, p. 17) ainda afirmam que alguns professores acreditam facilitar a aprendizagem do conceito de número por seus alunos, porque trabalham com conjuntos. Esses professores definem número como a denominação da quantidade de uma classe com a mesma quantidade de elementos (aspecto cardinal) e que ocupam certa posição em uma série (aspecto ordinal). Nenhum aspecto da matemática foi tão analisado à luz da teoria piagetiana quanto o número. Os resultados encontrados por Piaget e Szeminska e publicados no livro A gênese do número na criança, geraram, também, inúmeras publicações acerca das suas possíveis implicações pedagógicas. Fonte: br/index.php/rbep/article/view/29. Acesso em: 19/01/2009. Segundo os autores, o que os professores acabaram por valorizar foi o trabalho de representação simbólica com o uso de símbolos como pertence, não pertence, contém, não contém, etc. Por isso, apontam para a necessidade do trabalho com coleções de objetos junto aos alunos, resultado das avaliações realizadas com o trabalho com conjuntos, erros e acertos, relacionando-os com a evolução do conceito de número. O professor deve criar situações que possibilitem ao aluno manipular, observar, descobrir propriedades, juntar objetos por semelhanças, separar objetos por diferenças, estabelecer correspondências um a um entre os elementos de duas coleções para comparar quantidades. Por meio de suas pesquisas, Piaget esclareceu os três tipos de conhecimento humano: o físico, o social e o lógico-matemático. Conhecimento físico: é o conhecimento adquirido por meio da observação do meio em que a pessoa vive. Observamos aspectos de determinado objeto, como sua cor, seu tamanho, sua forma, seu uso, seu peso, sua consistência e aprendemos com esse objeto. O conhecimento físico pode ser explorado pelo professor por meio de atividades que favoreçam ao aluno a observação da realidade, seus problemas e os conceitos matemáticos envolvidos. Conhecimento social: é o conhecimento que herdamos da cultura do meio em que vivemos, pela transmissão e pela memorização de dados e conteúdos.

9 Às vezes, é necessário que o professor trabalhe com o conhecimento social, como, por exemplo, a memorização da tabuada, tão necessária na vida das pessoas. O aluno pode memorizar, mas não apenas decorar, e sim entender em que momentos é necessária, como é realizada, os porquês e como utilizá-la na realidade. Conhecimento lógico-matemático: é o conhecimento adquirido como resultado das relações que o sujeito estabelece com ou entre os objetos. O conhecimento lógico-matemático tem origem no próprio sujeito, na medida em que se relaciona com o objeto. Os três tipos de conhecimento acontecem juntos, são inseparáveis. A criança, desde muito pequena, entra em contato com os números em seu meio porque vê o adulto utilizando, fala a sua idade, lida com número de telefone, número do seu canal de televisão preferido, etc. É por meio desse contato informal que a criança se familiariza com o conceito de número, cria as primeiras hipóteses a respeito do processo de representação das quantidades dos objetos, conforme Marília e Mauro Toledo (1997) explicam. Quando uma criança lida com o número dizendo ser o de sua casa, registra o número de brinquedos que ganhou, o dia, o mês e o ano em que nasceu, não significa que tenha construído o número, conforme veremos a seguir. Como a criança constrói a noção de número? Quais são as estruturas operatórias envolvidas nesse processo? Marília Toledo e Mauro Toledo (1997, p. 21) se reportam a Constance Kamii (1984), pesquisadora piagetiana, para afirmar a necessidade de a criança sintetizar dois tipos de relação com os objetos para construir a noção de número: a ordem e a inclusão hierárquica. Ordem e inclusão hierárquica Piaget definia ordem como a necessidade lógica de organizar os objetos; essa ordem não precisa ser espacial para sabermos que contamos todos os objetos e que nenhum foi contado mais de uma vez. Podemos observar a criança quando inicia o contato com os números: ela recita os números como se fossem os nomes próprios de cada objeto, como se estivesse recitando os nomes de algumas pessoas. Marília Toledo e Mauro Toledo (1997) explicam que a criança conta cinco brinquedos, e se pedirmos o número cinco, ela aponta para o quinto dizendo que é o número cinco, como se estivesse dizendo o nome do objeto.

10 Conforme Piaget, inclusão hierárquica 2 é a capacidade de entender: o um está incluído no dois, o dois no três, e assim por diante. Kamii (1984) conclui que a inclusão hierárquica envolve a conexidade. A conexidade, portanto, é o entendimento que a criança alcança quando percebe que os números consecutivos estão conectados pela operação de +1. Cada vez que uma criança ordena grupos de cinco objetos, por exemplo, e em momentos diferentes, não precisa recomeçar a contagem pelo número um até o cinco; ela pega exatamente o que lhe é pedido, os cinco objetos. Piaget explicou a necessidade da criança de conservar quantidades para chegar ao conceito de número. Marília Toledo e Mauro Toledo (1997) definem a conservação de quantidades como um processo que ocorre gradualmente, portanto, a criança pode conservar quantidades discretas, mas não massa ou volume do objeto, por exemplo. Segundo Piaget, a conservação de quantidades depende do que chamou de reversibilidade, a capacidade de fazer e desfazer mentalmente a mesma ação. Marília Toledo e Mauro Toledo (1997) citam uma das provas piagetianas sobre a conservação de quantidades discretas: apresenta-se à criança, de três ou quatro anos, uma fila com cerca de oito fichas amarelas. Pede-se à criança que faça uma nova fila com fichas azuis com o mesmo tanto das fichas amarelas. Num primeiro momento, a criança utiliza todas as fichas azuis disponíveis para montar a fila com o mesmo tanto da fila de fichas amarelas. Uma criança de uma fase mais avançada não se preocupa com a quantidade de fichas azuis em relação às fichas amarelas; preocupa-se apenas em deixar as fichas azuis com uma disposição tal que contenha o mesmo espaço utilizado pelas fichas amarelas. A criança de uma etapa seguinte se preocupa com a quantidade e faz o pareamento das fichas azuis e amarelas colocando-as arrumadas. Para desafiar a criança, podemos pedir que compare as duas filas de fichas e arrume as fichas azuis em sua frente, espaçando-as. Marília Toledo e Mauro Toledo (1997) descrevem duas atitudes possíveis da criança: 1. ela pode dizer que a fila mais comprida tem maior número de fichas; 2 Inclusão hierárquica: a criança que observa cinco brinquedos, por exemplo, percebe que os cinco brinquedos são o grupo todo.

11 2. ela pode ficar em dúvida entre achar que as quantidades são iguais ou que a fila mais comprida tem maior quantidade de fichas. Quando a criança apresenta conservação de quantidades, afirma que a quantidade não foi alterada e continua a mesma. Em contraposição ao pensamento de alguns professores quanto a aplicar várias atividades como essa até a criança chegar à conservação de quantidades, Marília Toledo e Mauro Toledo (1997) dizem que a função da escola não é esperar que a criança por si aprenda o conceito de número, mas ajudá-la a construir essa noção colocando-a em contato com situações que a estimulem a buscar soluções, a estabelecer relações e a realizar operações como a comparação de quantidades, classificação e seriação para a fundamentação do conceito de número. A seguir, colocamos um quadro com as definições de noções numéricas básicas: Fonte: Representação escrita dos números Desde os primórdios da humanidade, o homem utiliza diferentes formas para representar suas ideias. Essa representação não é a ideia, mas uma forma de expressar o que o homem pensa. Os povos primitivos utilizavam pedrinhas, dedos, entalhes em madeira, desenhos, marcas nas paredes das cavernas para representar suas ideias, contagem, medição e ordenação. César Coll e Ana Teberosky (2002) esclarecem que as marcas utilizadas pelos povos primitivos não substituíam os objetos representados, mas permitiam ao homem tomar decisões baseadas na representação sem a necessidade de lidar concretamente com as situações representadas, surgindo, dessa forma, os numerais ou algarismos 3. O aluno das séries iniciais do ensino fundamental precisa entender a noção de quantidade para poder representá-la. Para se ensinar o número que representa a quantidade, o professor pode iniciar seu trabalho por símbolos que representem uma dada realidade. 3 Algarismo: é cada um dos símbolos usados para escrever os números.

12 O símbolo utilizado pode, inicialmente, ser o desenho de pedrinhas, palitos, bolinhas. que representem a quantidade desejada de uma situação concreta. Os símbolos podem ou não ter semelhança com o que se quer representar. Numa determinada atividade, o aluno pode representar quantidade com os numerais, com riscos como /////, com desenhos. César Coll e Ana Teberosky (2002, p. 21) apontam para dois tipos de sistemas de numeração, o sistema romano e o dos maias; descrevem como os romanos utilizaram letras maiúsculas para escrever os números, e os maias utilizaram três sinais. Com o passar do tempo, as pessoas foram tendo a necessidade de representar quantidades com números maiores e tiveram, portanto, que aumentar a quantidade de algarismos em cada número; por exemplo: 100, 200,1.000, , etc Operações com números naturais Cálculo mental: uma das necessidades no ensino de matemática na sala de aula é promover condições para que o aluno pense e busque soluções que resolvam situações propostas pelo professor. Infelizmente, a escola pouco trabalha no sentido de promover situaçõesproblema do cotidiano da criança, e muito menos propõe ao aluno o pensar e o analisar com a perspectiva de sugerir uma solução. Torna-se mais fácil colocar na lousa o conteúdo e pedir para o aluno copiá-lo e estudá-lo para resolver de um mesmo jeito o que é proposto pelo professor.

13 Não há oportunidade para discussões de outras possibilidades de soluções a serem propostas pelos diferentes alunos em trabalhos de grupos. Os autores Marília Toledo e Mauro Toledo (1997) apontam para alguns benefícios que o cálculo mental incentivado pelo professor em sala de aula promove: o desenvolvimento da rapidez e exatidão de resultados e resposta a problemas propostos; segurança psicológica de propor sugestões e hipóteses analisadas pelo próprio aluno; criatividade nas atividades com números e maior autonomia de raciocínio na resolução de problemas. Outra situação citada quanto à familiarização dos alunos com os números, é a capacidade de estabelecer relações e descobrir suas propriedades e utilização. Os autores sugerem para o trabalho com jogos, que o professor peça aos alunos que eles mesmos, sob sua orientação, organizem suas equipes, discutam e definam regras para o jogo, providenciem material suficiente e necessário para a execução do trabalho proposto, estabeleçam a ordem da jogada e os pontos obtidos pelos grupos. Atividades com essa metodologia promovem, ainda segundo Marília e Mauro Toledo (1997, p. 99): (...) o raciocínio e a capacidade de argumentação para defender seu ponto de vista; a capacidade de análise crítica ao examinar os diversos encaminhamentos de soluções. A criatividade 4 na elaboração de novas regras para o jogo; a autonomia, social, moral e intelectual. Frequentemente, efetuamos operações básicas com os números e as quantidades: adicionar, subtrair, multiplicar e dividir; com o aluno não é diferente, acontece muito antes de chegar à sala de aula. O professor precisa trabalhar com a sistematização, com o registro das operações e abrir um leque de possibilidades ao aluno para que utilize as operações com eficácia nas diferentes situações. Adição e subtração: realizamos operações de adição e subtração em diferentes situações de nossas vidas. A adição deveria ser uma operação simples na aprendizagem dos nossos alunos, por executarem essa operação concreta e diariamente. 4 Criatividade: há várias maneiras, tipos de raciocínios que podem nos levar ao mesmo resultado, portanto, o professor deve respeitar as diversas formas de pensar e não ser rígido com o aluno a ponto de aceitar apenas um único modo de se fazer um cálculo.

14 Muitos professores se preocupam em cobrar de seus alunos as nomenclaturas das operações e se esquecem de trabalhar com os algoritmos, ou seja, com o quê e como o aluno pensa a execução da operação. Segundo César Coll e Ana Teberosky (2002, p. 21), a adição e a subtração são operações praticadas com coleções de objetos, em ações como anexar, tirar, juntar, unir, aumentar, acrescentar, completar, ganhar, separar, perder, diminuir, comparar e deixar. Muitos professores ensinam a adição e a subtração como o ajuntamento ou a diminuição de elementos do conjunto. Quando a criança se vê em situações do dia a dia diferentes do único jeito de adicionar e subtrair que o professor ensinou, muitas vezes, tem dificuldade de associar o que viu em sala de aula com o que vê em sua realidade. O aluno deve aprender adição e subtração enquanto vivencia experiências diversificadas e concretas. É nessas situações que o aluno aprende a pensar, a calcular, a realizar o algoritmo, esquematizando, primeiramente, no plano de sua mente, para depois executar na tentativa de solucionar as suas necessidades e situações-problema. O professor não pode trabalhar em sala de aula separando os conceitos da adição dos conceitos da subtração, porque na vida cotidiana são operações que permanecem juntas, apesar de serem operações inversas. O aluno pode perceber, por exemplo, que numa determinada situação, pode somar objetos à sua coleção, como também separar alguma quantidade de sua coleção, diminuindo-a. A adição envolve dois tipos de ações: juntar (agregar, reunir) ou acrescentar (somar), e sugerimos ao professor atividades que ajudem o aluno a descobrir propriedades como a comutativa e a associativa e o zero como elemento neutro na adição. Propriedade comutativa da adição: a ordem dos números não altera a soma. Exemplo: = = = 14 Propriedade associativa da adição: a soma não é alterada porque se associou os números de modo diferente. Exemplo: = 14 (5+5) + (2+2) = 14 (5+2) + (5+2) = = 14

15 Zero 5 : é um elemento neutro na adição, por sua presença não se altera a soma. A subtração diz respeito às ações de retirar, comparar (o que tem menos ou quanto tem a mais do que tem menos) ou completar (o que falta para) = = 49 A criança precisa buscar na teoria as ações que a ajudem a pensar e solucionar suas necessidades e problemas, portanto, não há espaço para perguntas ao professor do tipo Que conta eu tenho que fazer? É conta de mais ou de menos? O professor, portanto, deve promover experiências que contenham todas essas ações e utilizar materiais de sucata para promover situações em que o aluno possa empregar as ações citadas. Em algumas atividades de subtração propostas pelo professor, não aparecem frases que indicam a necessidade de subtração dos elementos, o que pode induzir a criança ao erro se ela se basear em expressões como menos. Ações de tirar: são o emprego de contas de tirar elementos de um todo. Estão presentes em situações que temos o total e deste total tiramos determinada quantidade. Muitos professores enfocam apenas a ação de tirar quando trabalham com a subtração, mas existem outras ações ligadas a essa operação, como o comparar e o completar. Ações de comparar: as ações de comparar que envolvem a subtração estão presentes nas situações em que confrontamos duas quantidades independentes; por exemplo, num problema proposto pelo professor, como este: João tinha 12 figurinhas do Corinthians, seu time preferido. Luiz, seu amigo, tinha 22 figurinhas do mesmo time de futebol. Quem tem mais figurinhas? Quanto a mais tem de figurinha? Noutra situação, as ações podem envolver a comparação de uma parte com o todo e depois com a outra parte, por exemplo: João tem doze figurinhas; desse total, cinco são do time de futebol do São Paulo e as demais são do Corinthians. Quantas figurinhas do Corinthians João tem? Ações de completar: as ações de completar aparecem nas situações em que o cálculo começa por uma parte até chegar ao todo. Exemplo: João gostaria de ter 50 figurinhas dos diferentes times de futebol para completar sua coleção. 5 Quando adicionamos o zero a qualquer número, a soma é o próprio número.

16 Acontece que o João tem apenas 28 figurinhas. Quantas figurinhas faltam para João ter as 50 figurinhas? Segundo os autores Marília Toledo e Mauro Toledo (1997, p. 111), muitos livros didáticos enfatizam a ideia de tirar quando tratam da subtração, mas é na ação de comparar e completar que os alunos apresentam maior dificuldade, sendo necessária maior intervenção do professor na proposta de atividades. Os autores (1997, p. 117) denunciam a forma controversa de ensinar subtração por meio do método do emprestando. Abaixo, daremos um exemplo de como é ensinada a subtração pelo empréstimo: 25 8 = 17 Não é possível tirar 8 unidades de 5 unidades, portanto, pede-se emprestado 1 do número 2 ao lado para o número 5, formando 15. Agora é possível tirarmos 8 de 15, e o resultado é 7. Como emprestado na conta é dado, então o número dois agora é o número 1, que menos 0 é o número 1. O resultado da conta é 17. Segundo os autores, o termo emprestar, além de inadequado, trata de um valor errado, como o de emprestar e não pagar o que emprestou. O aluno também efetua uma conta de forma mecânica, não compreende e não sabe o valor das trocas, ou seja, 25 unidades, troca-se 10 unidades por uma dezena que se ajunta com o número 5, tendo condições, portanto, de executar a subtração. Com essa atitude, segundo os autores, o professor estimula o aluno a fazer contas apenas no papel para que tenha condições de realizar os empréstimos e não favorece a aprendizagem das trocas de uma dezena para 10 unidades e assim por diante. Multiplicação e divisão: segundo César Coll e Ana Teberosky (2002, p. 38), tanto a multiplicação como a divisão possuem relação direta com as operações de adição e subtração. Os autores explicam que a multiplicação é utilizada para adicionar um mesmo número várias vezes, e a divisão, para subtrair várias vezes um mesmo número. Muitos professores acreditavam que a multiplicação e a divisão deveriam ser trabalhadas depois que o aluno aprendia e sabia muito bem a operação da adição e a da subtração. Dentro dessa idéia, acreditava-se também que a multiplicação deveria ser ensinada antes da divisão. As últimas pesquisas têm apontado para o ensino da multiplicação e o da divisão acontecerem desde os primeiros anos do ensino fundamental e sem dividi-los, ministrá-los juntos.

17 Uma das justificativas é que o ensino da matemática não deve estar desvinculado da realidade do aluno, portanto, como na vida cotidiana, as operações matemáticas não estão separadas, e o ensino da multiplicação não deve estar separado do ensino da divisão, como também não há uma única forma de se multiplicar ou dividir numa operação. A outra justificativa é a de que os alunos têm contato com os números e com as operações muito antes de frequentarem a escola, portanto, não há motivos para deixar de trabalhar com multiplicação e divisão desde cedo, tendo em vista que possuem experiência (informal) com as operações. Os atuais especialistas orientam que professores devem evidenciar as relações existentes entre as operações antes de trabalhar com o registro e a sistematização dos algoritmos. Esclarecem, também, a necessidade de criar condições para que o aluno compreenda os conceitos envolvidos nas operações ao trabalhar com as estruturas multiplicativas. Podemos trabalhar com três conceitos na operação de multiplicação: a proporcionalidade, a organização retangular e a combinatória. Proporcionalidade: o professor propõe situações-problema para o aluno resolver de forma a empregar a proporcionalidade, observando a idade e operações cognitivas próprias do desenvolvimento do aluno. Nessa atividade, o aluno identifica a ideia de proporção. Marília Toledo e Mauro Toledo (1997, p. 139) dão o seguinte exemplo de uma atividade envolvendo a proporcionalidade: Se tiver que distribuir três lápis para cada aluno de meu grupo: se meu grupo tem dois alunos, quantos lápis eu tenho que pegar? E se forem quatro alunos? E se forem nove? Os autores sugerem, para depois da atividade concreta, a seguinte representação: Outro exemplo é: cada pacote de figurinhas de times de futebol tem cinco figurinhas; João tem um pacote de figurinhas, Marcos tem dois pacotes e Guilherme tem três pacotes. Quantas figurinhas têm João, Marcos e Guilherme?

18 Há também a ideia de proporcionalidade inversa, que significa a diminuição proporcional de um dos elementos com o aumento de outro. Exemplo: uma caixa d água tem seu volume diminuído pela metade a cada semana. Quantas semanas serão necessárias para ser esvaziada? Organização retangular: ações que envolvam a descoberta da área de uma superfície. Exemplos de atividades: situações-problema que solicitem à criança dizer o número de peças que cabem em determinado tabuleiro, o número de casas de um bairro ou propor-lhes que observem o armário de uma dispensa com cinco fileiras de gavetas; cada fileira tem quatro gavetas, e lhes perguntar o número de gavetas que há no local. Essa ação favorece a construção de conhecimentos para a geometria e a percepção de espaço. Análise combinatória: envolve desafiar os alunos com atividades de combinações e análises de possibilidades. Exemplo: a boneca de Alice tem as seguintes roupinhas: cinco camisetas, quatro bermudas, três mochilas e dois pares de sandálias. De quantos modos diferentes é possível vestirmos a boneca de Alice? Marília Toledo e Mauro Toledo (1997, p. 145) definem a divisão como uma subtração reiterada de parcelas iguais. Está ligada, conforme os autores, às ideias de repartir igualmente e medir. A ideia de medir, menos enfatizada do que o repartir igualmente, diz respeito, segundo os autores, a determinar a maior quantidade possível de grupos com uma quantidade prefixada de elementos em cada grupo; por exemplo, tenho uma sala de aula com 27 alunos e preciso formar grupos de 4 pessoas. Quantos grupos existirão nessa sala? Marília Toledo e Mauro Toledo (1997, p. 152) explicam que, para o processo de aprendizagem dos alunos, não interfere o fato de se ensinar a divisão no método longo ou breve, desde que o aluno compreenda o processo da divisão Frações e decimais: as representações dos números racionais

19 César Coll e Ana Teberosky (2002, p. 83) descrevem como os números racionais 6 podem ser escritos: em forma de fração (1/8; 2/3; 16/4; 7+ ½); em forma decimal (0,125; 0,66; 4,0; 7,5). Segundo os autores, podemos decidir por uma forma ou por outra, e dependerá do problema a ser resolvido, do cálculo a ser feito ou da preferência pessoal. A forma decimal é a mais usada para representar as unidades do sistema métrico decimal ou o sistema monetário; por exemplo: 7,5 cm; 6,5 Kg; R$ 11,25. Podemos também representar por meio de fração; por exemplo: ¾ cm; 6 ½ kg. 2.2 Blocos lógicos e material dourado Blocos lógicos Os blocos lógicos são formados por 48 peças com os seguintes atributos e variações: Fonte: TOLEDO, Marília; TOLEDO, Mauro, op. cit., p. 33. Os blocos lógicos foram utilizados e divulgados pelo educador canadense Zoltan Paul Dienes. Dienes defendia a utilização de materiais de apoio no início da construção de um novo conceito matemático pelo aluno. Segundo os autores Marília e Mauro Toledo (1997, p. 34), Dienes concluiu que a construção desses conceitos se processa em seis etapas diferentes: 1ª etapa jogo livre: o aluno utiliza o material, livremente, por meio da brincadeira, e é nesse momento, sem a interferência do professor, que conhece de forma pessoal as características do material; 6 Números racionais são números que podem ser representados por uma razão ou fração entre dois números inteiros.

20 2ª etapa jogos com regras: após o aluno conhecer o material, suas características e seus atributos, o professor começa a estabelecer, gradualmente, regras para a utilização do material visando à condução do aluno para a formação de determinado conceito; 3ª etapa jogos isomorfos entre si: os materiais são diferentes, mas apresentam uma estrutura comum. O objetivo é que o aluno estabeleça relações entre jogos diferentes; 4ª etapa representação: somente após o aluno perceber as estruturas comuns de diferentes jogos ou de relacionar o que é comum entre jogos diferentes, segundo Marília e Mauro Toledo (1997, p. 37), ele terá condições de representar com suas próprias palavras, desenhos, esquemas ou diagramas o que aprendeu; 5ª etapa descoberta de propriedades: o aluno começa a descobrir propriedades e estabelecer relações depois que inicia a construção de um conceito matemático; 6ª etapa generalização: quando o aluno constrói o conceito matemático e o utiliza em diferentes situações. Das pedrinhas aos números Operações lógicas formam a base para o raciocínio matemático Uma criança entenderá melhor os números e as operações matemáticas se puder torná-los palpáveis. De fato, materiais concretos como pedrinhas, barras e blocos lógicos fazem as crianças arrancarem no raciocínio abstrato. Particularmente, os blocos lógicos não ensinam a fazer contas, mas exercitam a lógica. Sua função é dar às crianças a chance de realizar as primeiras operações lógicas, como correspondência e classificação, conceitos que, para nós, adultos, são automáticos quando pensamos nos números. Essa importância atribuída aos materiais concretos tem raiz nas pesquisas do psicólogo suíço Jean Piaget ( ). Segundo Piaget, a aprendizagem da matemática envolve o conhecimento físico e o lógico-matemático. No caso dos blocos, o conhecimento físico ocorre quando a criança pega, observa e identifica os atributos de cada peça. O lógico-matemático se dá quando ela usa esses atributos sem ter o material em mãos (raciocínio abstrato). Fonte: Podemos trabalhar com os blocos lógicos destacando as semelhanças e diferenças de suas peças e atributos e organizando-os a partir de alguma propriedade comum, conforme algum critério escolhido. Com essa atividade, estaremos classificando os objetos.

21 Marília Toledo e Mauro Toledo (1997, p. 30) definem a classificação como uma operação lógica que ajuda a organizar a realidade que nos cerca. Realizamos a classificação dos elementos de uma coleção de objetos quando os separamos em classes com diferentes critérios. Na classificação, trabalha-se com relações de pertinência e inclusão de classes. Na relação de pertinência, o aluno agrupa objetos de uma classe por semelhanças. Por exemplo: separamos os triângulos vermelhos dos triângulos amarelos e azuis. Na relação de inclusão de classe, relacionamos uma subclasse com a classe maior em que o objeto se encaixa; por exemplo: dentro da coleção de triângulos vermelhos, tenho triângulos vermelhos grossos e triângulos vermelhos finos. Marília Toledo e Mauro Toledo (1997, p. 42) relacionam a classificação com o conceito de número no que trata da descoberta de semelhanças entre os próprios conjuntos e no que se refere à quantidade de elementos entre os atributos dos objetos considerados. Material dourado O material dourado pode servir como recurso facilitador na compreensão do valor posicional dos algarismos pelos alunos. O material dourado foi criado pela médica italiana Maria Montessori ( ), inicialmente para ajudar crianças que apresentavam distúrbios de aprendizagem na aquisição de novos conceitos, depois foi utilizado e divulgado por outras escolas comuns, as chamadas escolas montessorianas. A origem do nome material dourado se deve ao fato de sua confecção original ser de plástico transparente na cor dourada. Atualmente, pode ser feito em madeira, EVA ou de outro material. É composto de cubo, placa, barra e cubinho. Uma barra equivale a dez cubinhos, uma placa equivale a dez barras ou cem cubinhos, um cubo equivale a dez placas ou cem barras ou mil cubinhos.

22 Fonte: dourado.html. O material dourado pode ser utilizado pelo professor e facilita a compreensão do sistema de numeração decimal posicional e operações matemáticas de uma forma concreta. Trabalho com agrupamentos e trocas: Marília Toledo e Mauro Toledo (1997, p. 64) afirmam que a ideia-chave do sistema decimal é utilizar o valor posicional dos algarismos para agrupar e trocar. Podemos exemplificar os agrupamentos e trocas a partir do material dourado. Se tiver dez cubinhos que representam uma unidade, posso trocá-los por uma barra que equivale a uma dezena ou dez cubinhos. Posso trocar dez barras ou cem cubinhos por uma placa ou uma centena, e assim por diante. Esse agrupamento e a troca facilitam a compreensão das operações matemáticas, numa subtração, por exemplo, em vez de ensinarmos empréstimos, trocamos uma dezena por dez unidades para efetuarmos a conta. 2.3 Séries e sequências A seriação, como a classificação, é uma operação lógica que visa a organizar a realidade que nos cerca. Seriar é ordenar a partir da análise das diferenças dos objetos com a sua quantificação e ordenação crescente ou decrescente. Em relação aos números, podemos dizer que a série numérica é o resultado da seriação de classes de conjuntos. Portanto, se considerarmos a ordem crescente de quantidade de elementos, qualquer conjunto de três elementos que imaginarmos, estará colocado depois de qualquer conjunto de dois elementos e antes de qualquer conjunto de quatro elementos (Toledo; Toledo, 1997, p. 51). Se observarmos uma série de objetos, podemos identificar que um elemento se compara com seu antecessor ou sucessor em ordem crescente ou

23 decrescente; portanto, podemos inverter a ordem, porque a ordem de comparação também será invertida. A sequência considera as diferenças de natureza qualitativa e não permite, portanto, ordenação crescente ou decrescente. Uma sequência repetitiva apresenta um motivo que se repete formando uma sequência. Exemplo: Uma sequência recursiva apresenta um motivo a cada novo grupo mediante uma regra repetitiva aplicada ao grupo anterior. Exemplo: Marília Toledo e Mauro Toledo (1997, p. 53) esclarecem que algumas sequências são incorporadas pela nossa tradição cultural. Um dos exemplos é o nosso alfabeto. No conjunto dos números naturais, por exemplo, 0,1,2,3,4,5,6 e etc, segundo os autores, encontramos tanto sequências repetitivas quanto recursivas. Repetitivas porque o motivo inicial reaparece a cada nova dezena; por exemplo: 0,1,2,3,4, , 11, 12, 13, 14, , 31, 32, 33, 34,35... Recursivas porque aparece o mesmo motivo inicial quando passamos de uma ordem para a outra. Exemplo: 10, 20, 30, 40, 50, , 200, 300, Multiplica-se por dez os elementos do grupo anterior. 2.4 Espaço e forma Conhecemos a nossa realidade porque nos relacionamos com as pessoas, com os lugares e com os objetos no espaço. Segundo César Coll e Ana Teberosky (2002, p. 165), as pessoas utilizam o próprio corpo para ter contato com os objetos a sua volta e localizar pessoas e

24 coisas que as rodeiam, sendo que a área de conhecimento que trata desse assunto é a geometria. Marília Toledo e Mauro Toledo (1997, p. 221) explicam que os conceitos geométricos fazem parte do currículo de matemática no ensino fundamental porque permitem compreender, descrever e representar, de forma organizada, o mundo em que se vive. Usamos nosso corpo como ponto de referência para encontrar um lugar, ou dar alguma informação: à direita, à esquerda; frente, atrás; para nos referirmos a objetos: para cima, para baixo; para frente, para trás. César Coll e Ana Teberosky (2002, p. 179) explicam que os mapas dos atlas ou das cidades são desenhados sobre um papel quadriculado. Observar o desenho do quadriculado pode nos ajudar a localizar ruas ou cidades. O professor pode trabalhar noções de direção, desenhos de mapas e maquetes para ajudar o aluno, não somente a se expressar, mas a se informar e direcionar os caminhos possíveis por meio de indicações e consultas. Os autores justificam o trabalho com formas geométricas porque elas estão presentes na natureza e nos objetos. Apontam também para a necessidade de nomeá-las, organizá-las, relacioná-las entre si e descrevê-las, de forma a construir modelos físicos de vários tipos e com a abordagem de diferentes aspectos, com o intuito de transformá-las, cortando-as, agrupando-as e decompondo-as para depois reconhecer as formas obtidas. Afirmam que o que facilita esse estudo é que o aluno identifique as formas geométricas em objetos do mundo real. O professor pode trabalhar com seus alunos a observação da natureza, as formas geométricas encontradas e, a partir dessa observação, trabalhar as formas geométricas: triângulos, quadrados, retângulos, trapézio, pentágono, hexágono, que são polígonos; e os círculos ou formas de circunferências, que não são polígonos. O professor não pode trabalhar apenas com o traçado das formas geométricas, mas deve trabalhar também com situações-problema criadas e que têm por objetivo dar condições aos alunos para que calculem a área desenhada, o perímetro, etc., construam modelos de várias dimensões, não somente as planas, leiam, interpretem e registrem listas e tabelas. Segundo Marília Toledo e Mauro Toledo (1997, p. 53), o ensino da geometria na escola contribui para a aprendizagem de números e medidas porque estimula o aluno a observar, a perceber as semelhanças e as diferenças, a identificar regularidades do mundo em que vive. Os autores propõem aos professores, no trabalho com a geometria, não só observar e explorar objetos observados do mundo físico, mas obras de arte,

25 pinturas, desenhos, esculturas e artesanato, permitindo ao aluno estabelecer conexões entre a matemática e as outras áreas do conhecimento. 3. ARTICULAÇÃO DO PENSAMENTO E AS MÚLTIPLAS VIVÊNCIAS NO LABORATÓRIO DA NATUREZA 3.1 Metodologia do ensino de ciências O que garante uma boa aula de ciências? Você pode responder a essa pergunta de várias formas. Em primeiro lugar, pode evocar a formação acadêmica como a única forma de se garantir o sucesso das aulas de ciências. Esse sucesso está ligado ao fato de todos os alunos aprenderem os conteúdos de ciências. O professor com formação acadêmica pode planejar as suas aulas, inovar conteúdos e estratégias, mas não atingir os objetivos da disciplina, de forma a garantir que o aluno construa seu conhecimento. A preocupação com a forma de dar aula apenas, não significa que todos os alunos aprenderão os conteúdos ministrados. O fato de o professor planejar com cuidado as suas aulas e observar as técnicas de ensino, a transmissão de conhecimentos e a forma de dirigir suas aulas também não significa que todos os alunos aprenderão ou que suas aulas darão condições para que o aluno aprenda. Fonte: Deixar de planejar, selecionar, pesquisar os conteúdos a serem trabalhados em sala de aula e priorizar a improvisação, deixa o professor à mercê do que acontece na sala de aula, suscetível ao senso comum por não dominar o contexto da sala e sem promover atitudes sistematizadas para o desenvolvimento do aprendizado do aluno. Salientamos, portanto, que o simples fato de o professor ter formação acadêmica, planejar o processo de ensino e/ou improvisar atividades em sala de aula não garante uma boa aula; mas então, o que garante?