Testando a hipótese de contágio entre o Índice Bovespa e o S&P500 ao longo da crise de 2008 com modelos multivariados de volatilidade

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1 Testando a hipótese de contágio entre o Índice Bovespa e o S&P500 ao longo da crise de 2008 com modelos multivariados de volatilidade Testando a hipótese de contágio entre o Índice Bovespa e o S&P500 ao longo da crise de 2008 com modelos multivariados de volatilidade Mestrando em Economia Aplicada e Bacharel em Economia, Insper Instituto de Ensino e Pesquisa Universidade Federal do Rio Grande do Sul - UFRGS/PPGE-EA Rua Damiana da Cunha, 385 apto 111 CEP: São Paulo SP Brasil Resumo A hipótese de contágio entre os mercados financeiros do Brasil e dos Estados Unidos é esperada quando analisados períodos de crise em um dos países. O objetivo desse trabalho é verificar se essa hipótese é confirmada ao longo da crise financeira americana do ano de 2008, ou se ocorreu apenas uma mudança no padrão de interdependência dos mercados. Por meio de modelos multivariados de volatilidade, é calculada a correlação condicional esperada entre os mercados, sendo verificada a ocorrência de quebra estrutural na série, o que confirma a hipótese de contágio entre os mercados. Palavras-chave: Contágio; Interdependência; Volatilidade multivariada; GARCH. Abstract The hypothesis of contagion between the financial markets of Brazil and the United States is expected when periods of crisis in one of those countries are analyzed. The aim of this study is to test whether this hypothesis is confirmed for the 2008 American financial crisis, or there was only a change in the pattern of interdependence between markets. Using multivariate volatility models, the expected conditional correlation between those markets is calculated, leading to the inference that a structural break took place, confirming the hypothesis of contagion between markets. Keywords: Contagion; Interdependence; Multivariate volatility; GARCH. Introdução O objetivo deste trabalho é evidenciar a existência de contágio entre as bolsas de valores de Nova York e São Paulo durante a crise financeira mundial de São considerados o Ibovespa 1 e o índice Standard & Poor s a fim 1. O Ibovespa é o principal índice da Bolsa de Valores de São Paulo, ponderado por liquidez e composto atualmente por 66 papéis. 2. O índice S&P500 mede o valor de uma carteira de 500 ações negociadas na Bolsa de Valores de Nova York (New York Stock Exchange) e no National Association of Securities Dealers Automated Quotation System (NASDAQ), ponderadas por seu valor (capitalização) de mercado. Revista de Economia e Administração, v.10, n.2, p, abr./jun

2 de se medir a correlação entre o mercado americano e o mercado brasileiro em e em anos adjacentes. A hipótese de contágio é testada por meio de modelos multivariados de volatilidade e, caso se observe quebra estrutural nas séries de volatilidades em decorrência da crise financeira, a hipótese de contágio fica evidenciada. A partir da segunda metade de 2008, a economia mundial entrou em crise e muitos países entraram em recessão 3. Desencadeada pela quebra do banco de investimentos Lehman Brothers, a crise financeira norte-americana se tornou uma crise mundial, gerando problemas de liquidez e solvência para governos e grandes empresas. As bolsas de valores do mundo todo passaram a apresentar momentos de grande volatilidade ao longo de semanas, seguidas dos índices das principais bolsas americanas, como Nasdaq, Dow Jones e S&P500. A fim de se verificar se e como a volatilidade do mercado americano foi responsável por acarretar a alta na volatilidade do Ibovespa ao longo da crise, é testada a hipótese de contágio entre os mercados. É esperado que países parceiros comerciais e de grandes relações institucionais e econômicas, como o Brasil e os Estados Unidos tenham suas economias afetadas, uma vez que uma delas sofra um choque qualquer. Todavia, essa é a definição de interdependência e não de contágio. Os mecanismos usuais de transmissão de choques entre economias não seriam capazes de transmitir os efeitos da crise de 2008 tão rápida e abruptamente, e essa quebra no padrão de dependência entre as economias caracterizaria uma situação de contágio. Uma quebra estrutural no padrão da volatilidade ao longo de 2008 evidenciaria essa situação. Nesse trabalho, estimadores de Correlação Condicional Dinâmica, DCC (Dynamic Conditional Correlation) são utilizados, pois apresentam a flexibilidade de um GARCH univariado, mas não a complexidade de um GARCH multivariado convencional, conforme postulado em Engle (2002), e tendo este trabalho como base para a realização das regressões propostas. Estes modelos, cuja correlação condicional é parametrizada diretamente, são estimados em duas etapas: a primeira é uma série de estimativas GARCH univariadas e a segunda a estimativa da correlação. Modelos de Correlação Condicional Dinâmica, inicialmente apresentados por Engle (2002), Tse e Tsui (2002) e Christodoulakis e Satchell (2002), e recentemente aplicados em complexos sistemas financeiros em Engle (2009), permitem que as variâncias condicionais sejam especificadas individualmente, assim como a matriz de correlação (ou outra medida de dependência entre as séries), fornecendo a densidade condicional conjunta. Os modelos da classe DCC apresentam estabilidade numérica até para dimensões mais elevadas, já que pode ser aplicado o procedimento de estimação em duas etapas. A principal vantagem dos modelos DCC sobre os modelos da classe BEKK ou VEC, entretanto, é a parcimônia na parametrização desses modelos, o que permite 3. Dois trimestres consecutivos de crescimento negativo do PIB. Revista de Economia e Administração, v.10, n.2, p, abr./jun

3 Testando a hipótese de contágio entre o Índice Bovespa e o S&P500 ao longo da crise de 2008 com modelos multivariados de volatilidade superar as dificuldades de dimensionamento para casos superiores ao bivariado. Porém, os resultados teóricos sobre ergodicidade, estacionariedade e momentos não podem ser facilmente obtidos como o são para os modelos VEC e BEKK. Os modelos da classe DCC impõem mais restrições sobre o tipo de efeitos dinâmicos do que os modelos BEKK. Em particular, a variância condicional dos retornos somente depende do quadrado dos retornos passados, e podem ocorrer spillovers de volatilidade, que são excluídos dos modelos DCC, conforme Xiao e Dhesi (2010). Contudo, esses métodos têm grandes vantagens computacionais sobre os demais modelos GARCH multivariados, já que o número de parâmetros a serem estimados no processo de correlação não depende do número de séries correlacionadas e, portanto, matrizes de correlação muito grandes também podem ser estimadas, conforme comprovado por Engle e Sheppard (2001). São aqui estimados seis diferentes modelos multivariados de volatilidade e, após determinado o melhor modelo, verifica-se a hipótese de contágio entre as séries ou se temos apenas a presença de interdependência. 2. Contágio e interdependência Faz-se necessário inicialmente diferenciar os conceitos de interdependência e contágio. O primeiro termo é mais amplo e inclui todos os tipos de inter-relações que podem existir entre dois ativos ou mercados, sejam essas relações na média, na variância ou em ambas. Já para o conceito de contágio a literatura a respeito apresenta diferentes definições. Para esse estudo, é utilizada a definição mais restritiva e mais utilizada nos trabalhos da área, segundo Soriano e Climent (2006), que define contágio como um aumento nas correlações cruzadas após uma crise ou choque. Dornbush, Park e Claessens (2000) definem contágio como sendo a disseminação de choques de mercado, com conseqüências negativas na maioria das vezes, de um mercado emergente a outro, observados através de co-movimentos das taxas de câmbio, dos preços de ações, aumentos de riscos soberanos e nos fluxos de capitais. Pritsker (2001) definiu contágio como sendo a ocorrência de um choque em um ou mais mercados, países ou instituições, que se propagam a outros mercados, países ou instituições. Essa definição de contágio é equivalente à definição de spillover 4. O autor distingue entre contágio racional e irracional. No caso de contágio irracional, o choque é transmitido entre os países como resultado da adoção de estratégias de carteira por participantes do mercado que, a priori, não são racionais, ou seja, os agentes não maximizam sua utilidade, dados o ambiente e o comportamento dos demais agentes. A existência de equilíbrios múltiplos difere do contágio irracional, na medida em que, na 4. O termo spillover refere-se ao fenômeno pelo qual a variância de uma série no instante t-1 influencia a variância de outra série no instante t. Ver Engle et al. (1990). Revista de Economia e Administração, v.10, n.2, p, abr./jun

4 forma anterior, os agentes agem racionalmente em cada situação de equilíbrio, seja ele bom ou ruim. Pericoli e Sbracia (2001) listam cinco definições para contágio: Aumento na probabilidade de ocorrer crise em um determinado país, dada a existência de uma crise em outro país. Propagação de volatilidade como uma proxy de incerteza da crise de um país para mercados financeiros de outros países. Aumento em co-movimentos de preços e quantidades entre mercados, dadas crises em um ou mais mercados. Mudança no mecanismo de transmissão ou canal de contágio, com a intensificação do mesmo após a crise. Ocorrência de co-movimentos não explicados por fundamentos. De acordo com os autores, isso implica em dois grupos teóricos que se diferenciam pela existência, ou não, de quebra estrutural na relação entre mercados dada uma crise. Ao mesmo tempo, do ponto de vista empírico, a determinação destes grupos continua controversa. Existem importantes implicações práticas na distinção entre contágio e interdependência, conforme destacado por Pesaran e Pick (2003). Se existe um elevado grau de correlação entre os mercados após choques negativos, a diversificação de portfólio pode ser de pouco efeito. Caso não ocorra uma mudança de um bom equilíbrio para um mau equilíbrio em função do sentimento do mercado, a existência de um emprestador internacional de última instância pode reverter à condição de equilíbrio. Ao mesmo tempo, se há efeito de spillover que é agravado por fundamentos econômicos ruins, o mecanismo de ajuda internacional é insuficiente e exige contrapartidas dos países. Assim como a definição adotada por Marçal e Valls (2008), nesse estudo é considerado como sendo contágio uma mudança temporária e significativa (quebra estrutural) na relação entre mercados. Pode ocorrer que a mudança na correlação entre mercados após um choque seja permanente, e isso é tratado como uma mudança na relação de interdependência dos mercados. Portanto, os termos contágio e interdependência descrevem dois fenômenos bastante diferentes. 3. Base de dados Para testar a hipótese de contágio entre os índices S&P500 e Ibovespa no ano de 2008, foi coletada uma amostra com o valor de fechamento diário, em pontos, de ambos os índices já ajustados para dividendos e splits. A amostra compreende do dia 3 de janeiro de 2007 até o dia 22 de outubro de 2010, totalizando 962 dias úteis com operações em pelo menos uma das bolsas. Como o calendário de dias úteis americano difere do brasileiro, em alguns dias não houve negociações nos Estados Unidos, mas houve no Brasil, e em ou- Revista de Economia e Administração, v.10, n.2, p, abr./jun

5 Testando a hipótese de contágio entre o Índice Bovespa e o S&P500 ao longo da crise de 2008 com modelos multivariados de volatilidade tros dias ocorreu o oposto. Para tratamento de valores ausentes (missing values) em uma amostra de séries temporais, a literatura sugere diversos métodos para imputação de dados a fim de fazer com que duas ou mais séries fiquem com o mesmo número de observações. Em particular, o trabalho de Kalton e Kasprzy (1982) postula que, em amostras grandes com menos de 5% dos dados faltantes esses dados podem ser retirados da amostra, já que a imputação de dados pode distorcer os coeficientes de correlação entre séries a serem analisadas. Uma alternativa é calcular o coeficiente de correlação serial entre as séries antes e depois de realizada qualquer técnica de imputação de dados e verificar o quão diferente ele passa a ser. Os dados faltantes podem ser substituídos pela média da série, por algum método de regressão ou até mesmo por meio de um filtro de Kalman (1960). Para a amostra coletada a fim de realizar esse estudo, a correlação serial entre as séries do Ibovespa e S&P500, considerando a simples eliminação de dados faltantes é de Entretanto, o coeficiente de correlação da série na qual foram mantidas todas as observações, e os dados faltantes foram substituídos pela média dos cinco valores anteriores e posteriores àquele faltando, é praticamente o mesmo, como mostra a Tabela 1. Ainda assim, devido à quantidade de dados faltantes na amostra ser inferior a 5%, é usada a metodologia na qual as observações que faltam na série do Ibovespa são retiradas também da série do S&P500 e, analogamente no caso dos dados ausentes desta segunda série. Por meio do Gráfico 1, verifica-se que as séries apresentam comportamento semelhante ao longo dos anos analisados, sendo que a amplitude das séries tende Tabela 1.- Medidas descritivas das amostras com e sem imputação de dados. Faltantes Média Desvio-Padrão Correlação Observações Média Desvio-Padrão Correlação Observações IBV 37 (3,84%) 56542, , , ,46 S&P500 Imputando dados 0, Excluindo faltantes 0, (1,97%) 1194,65 228, ,82 226,34 Revista de Economia e Administração, v.10, n.2, p, abr./jun

6 Gráfico 1.- Ibovespa e S&P 500 ao longo da amostra. a ser maior conforme nos aproximamos do final da amostra. Para fins desse trabalho, as variáveis são manipuladas em logaritmo neperiano. Conforme Engle (2002), a estimação dos modelos de correlação requer que as séries apresentem média zero. Para isso, é feito um teste de raiz unitária, no qual a hipótese nula é de que exista pelo menos uma raiz unitária na série, conforme proposto em Dickey e Fuller (1979), e em seguida as séries são diferenciadas até se tornarem estacionárias em média igual a zero (uma vez verificado que não há um drift estatisticamente diferente de zero). De acordo com os testes ADF realizados, ambas as séries são integradas de primeira ordem, ou seja, basta tomar apenas uma diferença para que as séries fiquem estacionárias e apresentem médias estatisticamente iguais a zero 5. Tabela 2.- Testes ADF de raiz unitária. ln (S&P500) H 0 : I(1) vs H 1 : I(0) H 0 : I(2) vs H 1 : I(1) Estat. - t Prob. ln (IBV) Estat. - t Prob. -0, , ,2108 0,0000 H 0 : I(1) vs H 1 : I(0) H 0 : I(2) vs H 1 : I(1) 0, , ,7164 0, Em ambos os testes de raiz unitária (nível e primeira diferença), tanto a constante quanto a tendência não foram estatisticamente significativas para as duas séries testadas. Revista de Economia e Administração, v.10, n.2, p, abr./jun

7 Testando a hipótese de contágio entre o Índice Bovespa e o S&P500 ao longo da crise de 2008 com modelos multivariados de volatilidade 4. Metodologia econométrica 4.1 Modelos de correlação Para testar a hipótese de contágio entre os índices S&P500 e Ibovespa no ano de 2008 são utilizados seis modelos diferentes. Inicialmente são apresen tados os modelos de correlação condicional e os modelos de correlação condicional dinâmica, conforme introduzidos na literatura econométrica por Engle (2002). A correlação condicional entre duas variáveis aleatórias r 1 e r 2, cujas médias são iguais a zero, é definida por: (1) De acordo com essa definição, apresentada por Corsetti, Pericoli e Sbracia (2003), a correlação condicional é baseada nas informações disponíveis no período anterior, e previsões para períodos múltiplos podem ser definidas da mesma forma. De acordo com as leis de probabilidade, coeficientes de correlação assumem valores no intervalo [-1; 1]. A correlação condicional satisfaz a essa restrição para todos os possíveis valores obtidos com as informações passadas e para todas as combinações lineares das variáveis. A fim de se explicitar a relação entre correlações condicionais e variâncias condicionais, é conveniente escrever os retornos como o desvio padrão condicional multiplicado por um choque: A variável é uma perturbação padronizada (com média zero e variância unitária) para cada série. Substituindo na equação original, tem-se que: (2) (3) Assim, a correlação condicional é também a covariância condicional entre os choques padronizados. Muitos estimadores foram propostos para correlações condicionais. O mais comum dentre eles é definido para retornos de média zero sendo: (4) De acordo com a equação (4), é possível notar que esse estimador só se torna interessante sob circunstâncias especiais. Em particular, ele dá a mesma ponderação para todas as observações até n períodos, e peso nulo às obser- Revista de Economia e Administração, v.10, n.2, p, abr./jun

8 vações mais antigas, caso contrário o estimador nem sempre pertencerá ao intervalo [-1; 1], uma vez que não é possível impor restrições de forma que a matriz de covariância seja positiva definida nesse modelo, pois a variância não condicional implícita neste modelo é degenerada, conforme demonstrado em Bollerslev (1986) e em Nelson (1991). Portanto, não é claro sob quais suposições este estimador é capaz de estimar as correlações condicionais consistentemente. O suavizador exponencial usa pesos decrescentes baseados em um parâmetro, que enfatiza a data atual, mas não apresenta um ponto de final fixo no passado, em que os dados tornam-se pouco informativos. (5) O estimador descrito na equação (5) também pertencerá ao intervalo [-1; 1]; porém, não há nenhuma orientação a partir dos dados sobre a forma de escolha do parâmetro lambda. Em um contexto multivariado, um mesmo lambda utilizado para todos os ativos não garante uma matriz de correlação positiva definida. Definindo a matriz de covariância condicional dos retornos por: E t-1 (r t r t ) H t (6) Esses estimadores podem ser expressos, respectivamente, em notação matricial, como: (6) Uma alternativa simples para estimar modelos multivariados é o método GARCH Ortogonal ou o método GARCH de componentes principais de Alexander (2001). Tal procedimento consiste em construir combinações das séries r incondicionalmente não correlacionadas. Modelos GARCH univariados são então estimados para algumas ou todas essas combinações, e a matriz de covariâncias é construída supondo correlações condicionais todas iguais a zero. Mais precisamente, encontra-se A tal que y t = Ar t, E (y t y t ) V t seja diagonal. Modelos GARCH univariados são estimados para os elementos de y e combinados à matriz diagonal V t. Fazendo-se uma forte suposição adicional de que E t-1 (y t y t ) = V t é diagonal, então: H t = A -1 V t A -1 (8) No caso bivariado, a matriz A pode ser triangular e estimada por mínimos quadrados, onde r 1 é um componente e os resíduos da regressão de r 1 sobre r 2 são outro. Nessa situação simples, uma abordagem melhor é rodar essa regressão Revista de Economia e Administração, v.10, n.2, p, abr./jun

9 Testando a hipótese de contágio entre o Índice Bovespa e o S&P500 ao longo da crise de 2008 com modelos multivariados de volatilidade como sendo um GARCH e então obter os resíduos, os quais são ortogonais em um modelo GLS 6. Modelos da classe GARCH multivariados são generalizações desse problema. Muitas especificações têm sido consideradas. Entretanto, a maioria é formulada para que as variâncias e covariâncias sejam funções lineares de quadrados e produtos cruzados dos dados. A expressão mais geral desse tipo é chamada de modelo VEC 7, descrito por Engle e Kroner (1995). O modelo VEC parametriza o vetor de todas as covariâncias e variâncias expresso como vec(h t ). No caso de primeira ordem, o vetor é dado por: vech (H t ) = vech (Ω) + Avech (r t-1 r t-1 ) + Bvech (H t-1 ) (9) onde vech denota o vetor operador que empilha a parte superior da matriz simétrica em um vetor coluna. Ω é a matriz de variâncias e covariâncias, que passa a ser um intercepto tido como um vetor (n(n + 1)/2) 1, enquanto A e B são matrizes quadradas de ordem n(n + 1)/2 com estrutura muito semelhante àquela apresentada por H. Sem nenhuma outra restrição, esse modelo não garantirá que a matriz H seja positiva definida. Todavia, por meio de uma decomposição de Cholesky a fim de se garantir uma transformação factível ao modelo de GLS, conforme demonstrado por Davidson e MacKinnon (1999) faz-se possível introduzir restrições de positividade à matriz H, conforme mostrado nos modelos Matriz Diagonal de Ding (1994) e Bollerslev, Engle e Nelson (1994). Restrições necessárias são derivadas da representação BEKK, introduzida na literatura por Engle e Kroner (1995), na qual o caso de primeira ordem pode ser escrito: H t = Ω + A (r r t-1 ) + A + BH B (10) t-1 t-1 Segundo apresentado por Marçal e Valls (2008), um modelo da classe BEKK pode ser representado por: Onde Ω, A 1k e B 1k são matrizes k k e Ω é uma matriz simétrica e positiva definida. No caso de dois ativos e k = 1, têm-se: 6. Generalized least squares: Mínimos Quadrados Generalizados. 7. Vector Error Correction: Vetor de correção de erros. Revista de Economia e Administração, v.10, n.2, p, abr./jun

10 O número de parâmetros nessa forma simplificada do modelo BEKK continua sendo um problema, apesar de ser menor do que na especificação VEC. Já em um modelo da classe BEKK não restrito, o número de parâmetros a serem estimados é maior do que no modelo VEC. A vantagem principal desta especificação ainda reside no fato de não haver necessidade de imposição de alguma restrição sobre o espaço de parâmetros para garantir que H t seja positiva definida. Vários casos especiais têm sido discutidos na literatura, desde modelos em que as matrizes A e B da equação (10) são simplesmente escalar ou diagonal, ao invés de matrizes completas, até modelos complexos altamente parametrizados. Esses modelos são encontrados nos trabalhos de Engle e Krone (1995), Bollerslev, Engle e Nelson (1994), Engle e Mezrich (1996), Kroner e Ng (1998), e Ding e Engle (2001). Neste trabalho, são estimados os modelos SCALAR BEKK e DIAGONAL BEKK. Conforme apresentado em Engle e Mezrich (1996), esses modelos podem ser estimados sob a restrição de variance targeting (variância segmentada), em que a matriz de variâncias e covariâncias de longo prazo é a matriz de covariância amostral. Essa restrição difere do método de estimação por máxima verossimilhança (MLE) somente em amostras finitas, mas reduz o número de parâmetros e apresenta melhores resultados. Em geral, o modelo VEC da equação (9) pode ser expresso por: vech (Ω) = (I A B) vech (S), onde S = t (r t r t ) (11) Essa expressão simplifica os casos de BEKK escalar e diagonal. Por exemplo, para o BEKK escalar, o intercepto é simplesmente dado por: Ω = (1 α β) S (12) 4.2 Modelos de correlação dinâmica O trabalho de Engle (2002) apresenta uma nova classe de estimadores da classe GARCH multivariado, que pode ser considerada uma generalização do trabalho de Bollerslev (1990) para o estimador de correlação condicional constante. Em H t = D t RD t, onde D t = diag (13) R é a matriz de correlação contendo as correlações condicionais, conforme pode ser notado por meio da equação (6) reescrita como: E t 1 (ε t ε t ) = D t 1 H t D t 1 = R, desde que ε t = D t 1 r t (14) As expressões para h são tipicamente vistas como um modelo GARCH univariado; porém, esses modelos poderiam certamente incluir funções das outras Revista de Economia e Administração, v.10, n.2, p, abr./jun

11 Testando a hipótese de contágio entre o Índice Bovespa e o S&P500 ao longo da crise de 2008 com modelos multivariados de volatilidade variáveis no sistema como sendo variáveis pré-determinadas ou exógenas. Uma estimativa simples de R é a matriz de correlação incondicional dos resíduos padronizados. Engle (2002) propõe um estimador chamado de Correlação Condicional Dinâmica (Dynamic Conditional Correlation, DCC). Os modelos de correlação dinâmica se distinguem somente na possibilidade de R ser variante no tempo: H t = D t R t D t (15) Parametrizações de R têm as mesmas suposições que H, exceto que as variâncias condicionais devem ser unitárias. A matriz R t permanece sendo a matriz de correlação. Kroner e Ng (1998) propuseram uma matriz de covariância que é uma matriz ponderada pelas médias do modelo Bollerslev CCC e um BEKK Diagonal, sendo ambas positivas definidas. Provavelmente a especificação mais simples para a matriz de correlação seja o suavizamento exponencial, o qual pode ser expresso por: = [R t ] i,j (16) que é uma média geométrica ponderada dos resíduos padronizados. Essas equações produzirão uma matriz de correlação em cada período. Um modo simples de construir essa correlação é através do suavizamento exponencial. Nesse caso, o processo é seguido por: q i,j,t = (1 ) ( i,t 1 j,t 1 ) + (q i,j,t 1 ), ij,t = (17) com os q s sendo integrados. Uma alternativa natural é sugerida pelo modelo GARCH(1,1): Reescrevendo: (18) (19), enquanto para as va- A esperança incondicional do produto cruzado é riâncias: = 1 (20) O estimador de correlação é: Revista de Economia e Administração, v.10, n.2, p, abr./jun

12 (21) e será positivo definido conforme a matriz de covariância, Q t = [q i,j,t ], que é uma ponderação pela média de uma matriz positiva definida e uma positiva semi-definida. A esperança incondicional do numerador da equação (21) é, e cada termo do denominador tem valor esperado igual a 1. Esse modelo é de média reversiva conforme + < 1, e quando a soma for igual a 1, esse modelo será igual ao exposto na equação (17). As versões matriciais desses estimadores podem ser escritas como: Q t = (1 ) ( t 1 t 1 ) + Q t 1 (22) Q t = S(1 ) + ( t 1 t 1 ) + Q t 1 (23) onde S é a matriz de correlação incondicional dos. Modelos GARCH multivariados positivos e definidos mais complexos poderiam ser utilizados para a parametrização da correlação, conforme os momentos incondicionais fizessem parte da matriz de correlação amostral. Por exemplo, a família de modelos MGARCH, de Ding e Engle (2001), pode ser expressa na forma de primeira ordem como: Q t = S º ( A B) + A º ( t 1 t 1 + B º Q t 1 (24) onde é um vetor unitário e º é produto de Hadamard de duas matrizes de tamanhos idênticos e calculadas simplesmente pela multiplicação de elemento por elemento. Os autores mostram que se A, B e ( A B) são positivas semi- -definidas, então Q é positiva semi-definida. Se qualquer uma das matrizes é positiva definida, então Q também o é. Essa família de modelos inclui ambos os modelos apresentados, assim como muitas generalizações. A log-verossimilhança para esse estimador pode ser expressa por: (25) que pode ser maximizada em relação aos parâmetros do modelo. Porém, um dos objetivos dessa formulação é possibilitar que o modelo seja estimado mais facilmente mesmo quando a matriz de covariância seja muito grande. Revista de Economia e Administração, v.10, n.2, p, abr./jun

13 Testando a hipótese de contágio entre o Índice Bovespa e o S&P500 ao longo da crise de 2008 com modelos multivariados de volatilidade Trocando-se os parâmetros em D por θ, e os parâmetros adicionais em R por ϕ, suponha-se por um instante que θ é conhecido. Assim, a parte relevante da log-verossimilhança passa a ser: (26) que pode ser maximizada diretamente. Se estimativas consistentes de θ podem ser encontradas, então os dois passos da estimação são consistentes, mas não totalmente eficientes. 5. Modelos estimados Foram estimadas versões mais simples dos modelos apresentados na seção anterior, totalizando seis modelos estimados: DCC INT: Correlação Condicional Dinâmica por Log-Verossimilhança para um processo integrado. SCALAR GARCH: Modelo GARCH Multivariado. SCALAR BEKK: versão escalar da equação (10) com variância apresentada na equação (12). DIAG BEKK: versão diagonal da equação (10) com variância apresentada na equação (11). DCC IMA: Correlação Condicional Dinâmica com estimação de média móvel integrada conforme equação (26). DCC LL MR: Correlação Condicional Dinâmica por Log-Verossimilhança com modelo de média reversiva apresentado na equação (24). Com base nas rotinas para EViews disponibilizadas por Robert F. Engle em sua página pessoal 8 na New York University, foram feitas as adaptações para que fossem estimados os modelos e de acordo com a base de dados amostrais. As rotinas exigem que os dados sejam pré-filtrados e usam um vetor auto-regressivo para se obter resíduos com média zero, extraindo qualquer estrutura de média condicional da série. Basicamente, o que as rotinas criadas por Engle fazem é estimar o melhor VAR para as séries de dados proposta, e com os resíduos oriundos dessa estimação são feitas as regressões, uma a uma, dos modelos expostos. O Vetor Auto Regressivo (VAR) consiste em um modelo econométrico amplamente utilizado para capturar a evolução e interdependências entre múltiplas séries de tempo, generalizando os modelos auto-regressivos univariados. Conforme Watson (1994), um vetor auto-regressivo de ordem p pode ser escrito como: y t = c + Φ 1 y t 1 + Φ 2 y t Φ p y t p + ε t 8. Revista de Economia e Administração, v.10, n.2, p, abr./jun

14 onde ε t ~ idd N(0,Ω), y t é um vetor n 1 de variáveis no instante t, e c é um intercepto. Outros componentes determinísticos podem ser acrescentados ao modelo sem prejudicar a análise. Há pn 2 parâmetros nas matrizes Φ. Os Gráficos 2 e 3 apresentam os valores produzidos de resíduos pelo modelo VAR, para o Ibovespa e o S&P 500, respectivamente. Gráfico 2.- Resíduos do Var para o Ibovespa. Gráfico 3.- Resíduos do Var para o S&P 500. Revista de Economia e Administração, v.10, n.2, p, abr./jun

15 Testando a hipótese de contágio entre o Índice Bovespa e o S&P500 ao longo da crise de 2008 com modelos multivariados de volatilidade Conforme o esperado, a volatilidade de ambas as séries torna-se maior a partir de setembro de 2008, com o início da crise financeira. O melhor modelo é escolhido com base nos critérios de informação de cada regressão. A partir desse modelo, são calculadas as correlações dinâmicas para então verificar se houve, ou não, quebra estrutural na série de correlações estimadas. Os critérios de informação utilizados para a escolha do melhor modelo são calculados da seguinte forma: Akaike Info Criterion: AIC = 2(l/T) + 2(k/T) Schwarz Criterion: SC = 2(l/T) + k log(t) / T Hannan-Quinn Criterion: HQ = 2(l/T) + 2k log(log(t)) /T onde l é a log-verossimilhança do modelo estimado, k é o número de parâmetros do modelo e T o número de observações utilizadas. Tabela 3.- Critérios de Informação. Modelos Estimados Critérios de Seleção Akaike Schwarz Hannan-Quinn DCC INT 10,7147* 10,7202* 10,7168* SCALAR GARCH 4,9770* 5,0035* 4,9871* SCALAR BEKK 4,9170* 4,9276* 4,9211* DIAG BEKK 4,9127* 4,9340* 4,9209* DCC IMA 8,9550* 8,9763* 8,9632* DCC LL MR 29,0452* 29,0558* 29,0492* De acordo com os critérios de informação dos modelos estimados, opta- -se pelo modelo cujos critérios apresentam menor valor. Entretanto, apesar de o modelo DIAG BEKK apresentar valores menores para os critérios AIC e HQ dentre os modelos estimados, é escolhido o modelo SCALAR BEKK a fim de se estimar a correlação dinâmica entre o Ibovespa e o S&P500. Isso é feito porque esse foi o modelo que apresentou menor valor para o critério de Schwarz (SIC). O critério de Schwarz, apresentado inicialmente em Schwarz (1978), é uma estatística semelhante à do critério de Akaike, conforme mostrado anteriormente, mas com a característica de impor uma penalidade maior pela inclusão de coeficientes adicionais a serem estimados. Portanto, trata-se de um critério que valoriza a parcimônia. O critério de informação de Akaike seria o melhor dentre modelos não alinhados o que não se aplica nesse trabalho. Revista de Economia e Administração, v.10, n.2, p, abr./jun

16 6. Especificação do melhor modelo O modelo utilizado a fim de se estimar a correlação entre as séries é o SCA- LAR BEKK, que a rotina de Engle estima da seguinte forma: H t = Ω + A (r t 1 r t 1 ) A + BH t 1 B h t = w 11 (1 c 2 c 3 ) + c 2 (y 2 1t 1 + c 3 (h 1,t 1 )) C(2) C(3) Tabela 4.- Estimação do modelo Scalar Bekk. SCALAR BEKK Método de Máxima Verossimilhança (Marquardt) Convergência atingida após 5 interações Coeficiente 0,0963 0,8926 Log Verossimilhança Log Verossimilhança média Observações Erropadrão 0,0014 0, ,955-2, Estatística z 69, ,5320 Critério de Akaike Critério de Schwarz Critério de Hannan-Quinn P- valor 0,0000 0,0000 4,9170 4,9277 4,9211 Em seguida, são apresentadas as séries estimadas de volatilidade condicional do Ibovespa e do S&P 500, covariâncias e correlações entre as séries. Conforme o esperado, as volatilidades condicionais estimadas de ambas as séries apresentam maior variabilidade a partir do terceiro trimestre de 2008, período em que se inicia a crise financeira americana (ver Gráficos 4 e 5). A covariância estimada acompanhou esse comportamento, mostrando que a volatilidade de uma bolsa é repassada à outra no período de crise (ver Gráfico 6). Isso, porém, ainda não é suficiente para se afirmar que a hipótese de contágio foi verificada na amostra com os dados do Ibovespa e do S&P500. Entretanto, esse comportamento já evidencia a relação de interdependência entre os índices, uma vez que estão sendo analisadas séries de economias integradas com grande mobilidade de capitais, relações comerciais e, portanto, com diversos mecanismos de propagação de choques. O Gráfico 7 apresenta a correlação estimada pelo modelo SCALAR BEKK. Ainda que apenas graficamente, fica claro que houve uma quebra estrutural na série de correlações estimadas. Todavia, assim como em Marçal e Valls (2008), a definição de contágio adotada é um aumento de correlação além da esperada por algum padrão de interdependência, ou seja, o contágio estaria associado a um aumento excessivo de correlações entre o país gerador da crise e os demais. A fim de se verificar a hipótese de quebra estrutural na série de correlações estimadas, é proposto um teste Chow de estabilidade para o modelo gerador Revista de Economia e Administração, v.10, n.2, p, abr./jun

17 Testando a hipótese de contágio entre o Índice Bovespa e o S&P500 ao longo da crise de 2008 com modelos multivariados de volatilidade Gráfico 4.- Volatilidade condicional do Ibovespa. Gráfico 5.- Volatilidade condicional do S&P 500. estimado. No teste Chow, sugerido inicialmente em Chow (1960), para verificar a ocorrência de uma única quebra estrutural em uma série temporal, a amostra é dividida em duas sub-amostras no instante em que a quebra tenha ocorrido, e o teste Chow passa a ser a aplicação de um teste F convencional. Revista de Economia e Administração, v.10, n.2, p, abr./jun

18 Gráfico 6.- Covariância condicional entre Ibovespa e S&P 500. Gráfico 7.- Correlação estimada entre Ibovespa e S&P 500. No entanto, faz-se necessário que seja conhecido o instante em que tenha ocorrido a quebra estrutural a ser testada. Para esse trabalho, a hipótese nula a ser testada (estabilidade dos parâmetros) é sobre a série de correlações estima- Revista de Economia e Administração, v.10, n.2, p, abr./jun

19 Testando a hipótese de contágio entre o Índice Bovespa e o S&P500 ao longo da crise de 2008 com modelos multivariados de volatilidade das pelo modelo SCALAR BEKK entre as séries do Ibovespa e do S&P500. O instante de quebra estrutural considerado é o dia em que foi anunciada a quebra do banco de investimentos Lehman Brothers, como sendo o ponto de partida para a crise financeira então iniciada. Como o teste é aplicado a uma série construída a partir de um modelo econométrico, cuja variância é, portanto, maior do que a verdadeira variância da série de correlações, o teste Chow é apenas uma aproximação para um procedimento mais adequado a esse problema, dado que o poder desse teste pode ser afetado ao serem consideradas essas circunstâncias. Além da perda de poder e da necessidade de se conhecer a data exata na qual a quebra estrutural tenha ocorrido, o teste Chow também não permite que sejam testadas múltiplas quebras de uma única vez. Apesar dessas desvantagens, esse procedimento foi adotado diante da forte evidência gráfica de quebra estrutural, não exigindo, portanto, procedimentos mais sofisticados, como os testes SupF de Andrews (1993), ExpF e AveF de Andrews e Ploberger (1994), ou a estatística L de Nyblom (1989), conforme explicitado em Hansen (2000). Tabela 5.- Teste de quebra estrutural Teste Chow de quebra estrutural em 15/09/2008 Hipótese Nula: Não ocorre quebra estrutural no período especificado Estatística F Razão log-versossimilhança Estatística Wald 99, , ,5256 Prob. F(2,901) Prob. Chi-Quadrado (2) Prob. Chi-Quadrado (2) 0,0000 0,0000 0,0000 De acordo com a Tabela 5, o teste Chow rejeita a hipótese nula (em todos os níveis de significância usuais) de que não houve quebra estrutural na série de correlações estimadas a partir do início da crise financeira. Assim, conforme também verificado no Gráfico 7, houve quebra estrutural na série de correlações estimadas entre as séries das bolsas de São Paulo e Nova York. Essa quebra sinaliza que, a partir da crise, além de ter ocorrido uma mudança na estrutura de interdependência entre os dois índices (aumento da interdependência), houve também o fenômeno de contágio, visto que ocorrera um aumento excessivo (além do esperado) da correlação entre as séries a partir da crise financeira de Conclusão A hipótese de contágio entre o Ibovespa e o S&P 500 ao longo da crise financeira de 2008 foi verificada. Por meio de um modelo de volatilidade multivariada da classe BEKK foi estimada a série de correlações e verificado aumento excessivo das correlações. A hipótese de que a relação de interdependência entre os mercados foi alterada pela crise também foi verificada, uma vez que a correlação entre as séries passou a oscilar em um nível mais elevado. Revista de Economia e Administração, v.10, n.2, p, abr./jun

20 Há evidência de comportamento assimétrico nas volatilidades dos índices. O choque negativo causado pela crise acarreta efeitos diferentes sobre o nível de volatilidade e de correlações, o que vai ao encontro dos fatos estilizados da literatura financeira. Esses resultados eram esperados devido à grande integração entre as economias brasileira e americana, permitindo diversos canais de propagação de choques de um mercado ao outro. A verificação de contágio pode, portanto, ser uma medida do grau de abertura de uma economia em relação à outra. De acordo com a série de correlação condicional estimada pelo modelo SCALAR BEKK, cujo critério de Schwarz (SIC) apresentou-se mais favorável dentre todos os modelos testados, observou-se que, no período que antecede a data considerada como inicio da crise (quebra do banco de investimentos Lehman Brothers), a correlação entre o mercado brasileiro e o mercado americano apresentou redução ao longo do tempo. O padrão de interdependência entre os mercados, ainda que lentamente, estava se modificando de forma a tornar esses mercados menos dependentes um do outro. Entretanto, na data considerada como início da crise financeira, ocorre uma quebra estrutural na taxa de correlação estimada, caracterizando o fenômeno como contágio, e elevando as correlações estimadas a valores semelhantes aos apresentados no começo da série, ainda em Ao longo de toda a crise financeira, a correlação entre os mercados permaneceu elevada, voltando a apresentar leve comportamento de queda a partir do final de 2009 período em que a crise financeira já começava a ser controlada por Bancos Centrais mundo afora. Esses resultados sugerem que, durante a crise, ainda que com o aumento da volatilidade em ambos os mercados, o comportamento dos mercados tende a ser mais homogêneo, enquanto que em períodos fora de crise os mercados tendem a apresentar um descolamento gradual entre seus movimentos diários. Para trabalhos futuros, poderia ser verificado se esse comportamento se repetiu inclusive na presença do fenômeno de contágio, ao longo de todas as crises financeiras recentemente enfrentadas por esses países e, caso isso se confirme, a correlação condicional estimada pode ser considerada uma medida de aproximação temporal de crise financeira. Adicionalmente, poderia ser estimada a persistência temporal do fenômeno ao longo de uma crise a fim de se medir a sua duração. 8. Referências ALEXANDER, C. O. Orthogonal GARCH. [S.l.: s.n.], p (Mastering Risk, Financial Times, v 2). Disponível em: < downloads/pubs/alexander_c_ogarch2.pdf>. Acesso em: 01 de out ANDREWS, D. W.; PLOBERGER, W. Optimal tests when a nuisance parameter is present only under the alternative. Econometrica, v. 62, n. 6, p , Nov ANDREWS, D. W. Tests for parameter instability and structural change with unknown change point. Econometrica, Princeton, v. 61, n. 4, p , Jul Revista de Economia e Administração, v.10, n.2, p, abr./jun

21 Testando a hipótese de contágio entre o Índice Bovespa e o S&P500 ao longo da crise de 2008 com modelos multivariados de volatilidade BABA, Y.; ENGLE, R. F.; KRAFT, T. D.; KRONER, K. F. Modeling the coherence in short-run nominal exchange rates: a multivariate generalized ARCH model. Review of Economics and Statistics, Cambridge, v. 72, n.3, p , Aug BOLLERSLEV, T., ENGLE, R. F.; NELSON, D., B. ARCH Models. In: ENGLE, R. F.; MCFADDEN, D. L. (eds.) Handbook of econometrics. Amsterdam: Elsevier, 1994, v. 4. (Handbooks in economics, 2) CHOW, G. C. Tests of equality between sets of coefficients in two linear regressions. Econometrica, v. 28, n. 3, p , Jul CHRISTODOULAKIS, G. A.; SATCHELL, S. E. Correlated ARCH: modelling the time-varying correlation between financial asset returns. European Journal of Operations Research, [S.l.], v. 139, n. 2, p , Jun CORSETTI, G.; PERICOLI, M.; SBRACIA, M. Some contagions, some interdependence - more pitfalls in tests of financial contagion. Journal of International Money and Finance, v. 24, n. 8, p , Dec DAVIDSON, R.; MACKINNON, J. G. Bootstrap testing in nonlinear models. International Economic Review, v. 40, n. 2, p , May DICKEY, D. A.; FULLER, W. A. Distribution of the estimators for autoregressive time series with a unit root. Journal of the American Statistical Association, [S.l.] n. 74, n. 366, p , Jun DING, Z. Time series analysis of speculative returns. San Diego, 1994,131f. (Ph.D. Thesis) - Department of Economics, University of California, San Diego, DING, Z.; ENGLE, R. F. Large scale conditional covariance matrix modeling, estimation and testing. Academia Economic Papers, v. 29, n. 2, p , Jun DORNBUSH, R.; PARK, Y. C.; CLAESSENS, S. Contagion: understanding how it spreads. The World Bank Observer, v. 15, n. 2, p , Aug ENGLE, R. F. Anticipating correlations: a new paradigm for risk management. Princeton University Press, p.. Dynamic conditional correlation: a simple class of multivariate GARCH models. Journal of Business and Economic Statistics, [S.l.], v. 20, n. 3 p , Jul ENGLE, R. F.; ITO, T.; LIN, W. Meteor showers or heat waves? heteroskedastic intra-daily volatility in the foreign exchange market. Econometrica, v. 58, n. 3, p , May, ENGLE, R. F.; KRONER, K. Multivariate simultaneous generalized ARCH. Econometric Theory, v. 11, n.1, p , Mar ENGLE, R. F.; MEZRICH, J. GARCH for groups. Risk, v. 9, n. 8, p , Aug ENGLE, R. F.; SHEPPARD, K. Theoretical and empirical properties of dynamic conditional correlation multivariate GARCH. Cambridge: NBER, Oct (NBER Working Paper, n. 8554). Disponível em: < Acesso em: 04 de jan HANCEN, B. E. Testing for structural change in conditional models. Journal of Econometrics, [S.l.], v. 97, n. 1, p , Sep KALMAN, R.E. A new approach to linear filtering and prediction problems. Transactions of the ASME - Journal of Basic Engineering, n. 82, p , (Series D). Disponível em: < Acesso em: 10 de set Revista de Economia e Administração, v.10, n.2, p, abr./jun

22 KALTON, G.; KASPRZYK, D. Imputing for missing survey res ponses. Proceedings of the Survey Research Methods Section, American Statistical Association, p , Disponível em: < Acesso em: 10 de set KRONER, K. F.; NG, V. K. Modeling asymmetric co-movements of asset returns. Review of Financial Studies, v. 11, n. 4, p , Winter MARÇAL, E. F.; VALLS, P. L. Testing the hypothesis of contagion using multivariate volatility models. Brazilian Review of Econometrics, v. 28, n. 2, p , Nov MASSON, P. R. Contagion: monsoonal effects, spillover and jumps between multiple equilibria. Washington: IMF, (IMF Working Paper, n. 98/142) NELSON, D. B. Conditional heteroskedasticity in asset returns: a new approach. Econometrica, v. 59, n. 2, p , Mar NYBLOM, J. Testing the constancy of parameters over time. Journal of the American Statistical Association, [S.l.], v. 84, n. 5, p , Mar PERICOLI, M.; SBRACIA, M. A primer on financial contagion. Journal of Economic Surveys, v. 17, n. 4 p , Sep PESARAN, M. H.; PICK, A. Econometric issues in the analysis of contagion. [S.l.]: CESinfo, Apr (CESifo Working Paper 1176). PRITSKER, M. The Channels of Finance Contagion. In: CLAESSENS, S.; FORBES, K. (ed.). International Financial Contagion, [S.l]: Springer, p. SCHWARZ, G. Estimating the dimension of a model. Annals of Statistics, [S. l.], v. 6, n. 2, p , Mar SORIANO, P.; CLIMENT, F. J. Volatility transmission models: a survey. Revista de Economía Financiera, n. 10, p , Nov TSE, Y. K.; TSUI, A. K. C. A multivariate generalized autoregressive conditional heteroscedasticity model with time-varying correlations. Journal of Business and Economic Statistics, [S. l.], v. 20, n. 3, p , Jul WATSON, M. W. Vector autoregression and cointegration. In: ENGLE, R. F.; MCFADDEN, D. L. (eds.) Handbook of econometrics. Amsterdam: Elsevier, 1994, v. 4. (Handbooks in economics, 2) XIAO, L.; DHESI, G. Volatility spillover and time-varying conditional correlation between the European and US stock markets. Global Economy and Finance Journal, [S.l.] v. 3, n. 2, p , Sep Submetido em 29 de novembro de 2010 Aprovado em 31 de maio de 2011 Revista de Economia e Administração, v.10, n.2, p, abr./jun

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