NO processo de monitoração, os sinais de tensão e. Considerações Sobre o Uso da DFT na Análise Harmônica de Sistemas de Potência

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1 Considerações Sobre o Uso da DFT na Análise Harmônica de Sistemas de Potência Sebastião do Nascimento Neto, Student Member, IEEE, Anésio de Leles Ferreira Filho, Student Member, IEEE, Pedro de Azevedo Berger, e Francisco Assis O. Nascimento, Member, IEEE Resumo Este trabalho apresenta os resultados da investigação do efeito do uso da DFT (Transformada Discreta de Fourier) na análise espectral em sistemas de potência. Nesses sistemas, a análise é realizada observando-se a forma de onda da tensão ou da corrente. A DFT, de uma maneira geral, é usada para estimar freqüências e intensidades das componentes harmônicas presentes no sinal, adquirido por um processo de digitalização qualquer. Os parâmetros relevantes da Qualidade de Energia Elétrica, como é o caso da Distorção Harmônica Total (THD), são determinados usando essas estimativas. Foi observado que a determinação desses parâmetros são sensíveis ao processo de amostragem, cujo principal fator, é a distorção harmônica provocada pela taxa de digitalização não sincronizada com a freqüência fundamental. Essas distorções, também, foram observadas variando o tamanho da janela usada no cálculo da DFT. A investigação teve como base o modelo matemático usado nas simulações, bem como, experimentos de laboratórios usando-se uma fonte geradora de sinais com harmônicos. Foi proposto, um método para corrigir as distorções provocadas pela não sincronização da taxa de amostragem com fundamental. Palavras Chaves Transformada Discreta de Fourier, Análise Harmônica, Distorção Harmônica Total, Parâmetros de Qualidade de Energia. I. INTRODUÇÃO NO processo de monitoração, os sinais de tensão e corrente, obtidos das redes de energia elétrica devem ser digitalizados para serem analisados com instrumentação de última geração. Esta evolução tecnológica, tem facilitado muito o processo de obter e analisar os parâmetros usados para aferir a qualidade da energia elétrica fornecida. As novas técnicas de processamento digital, desenvolvidas para tratar a informação contida nos sinais elétricos, tornou-se fundamental para a pesquisa de diversos fenômenos relacionados com os sinais que representam a energia elétrica. Vários algoritmos foram desenvolvidos com esse objetivo [] [], porém, pouco cuidado foi tomado na construção de instrumentos de medidas, em alguns detalhes relacionados com o compromisso existente entre a taxa de digitalização (amostragem) e o algoritmo numérico usado no cálculo de parâmetros da qualidade da energia elétrica. Foi observado diferenças significativas, entre os valores encontrados para as medidas de um mesmo parâmetro, quando equipamentos de fabricantes diferentes são usados em condições experimentais equivalentes. Estas diferenças foram investigadas e os motivos evidenciados. Os resultados aqui apresentados foram obtidos investigandose a sensibilidade do resultado do cálculo da distorção Este trabalho foi suportado em parte pela CAPES-Brasil. Os autores estão no Departamento de Engenharia Elétrica da Universidade de Brasilia, DF, Brasil. harmônica à variação da taxa de digitalização, no processo de aquisição e do tamanho da janela usada no cálculo da DFT. Para tal, foi usado um modelamento matemático que leva em consideração a dependência da taxa de digitalização, sincronização com a freqüência fundamental e o tamanho da janela de observação. Foram realizadas simulações em computador e experimentos em laboratório usando uma fonte de alto desempenho, geradora de sinais elétricos com harmônicos. A Distorção Harmônica Total, THD, foi o parâmetro da qualidade da energia elétrica usado para avaliar o algoritmo. Os resultados mostram, a dependência do valor medido para o THD, com o processo de digitalização e com os métodos numéricos usados no cálculo. A digitalização do sinal elétrico nos instrumentos de medidas, são, geralmente, realizadas por conversores A/D, cuja freqüência de amostragem é alta, mas não está adequadamente sincronizada com o sinal elétrico [3]. A preocupação com a necessidade da sincronização, do processo de amostragem, com a freqüência fundamental do sinal elétrico, quando se usa a DFT, não é recente. Em [4] é apresentado um processo iterativo de ajuste fino da escala, no domínio da freqüência, obtida pela aplicação da DFT. Outros trabalhos, como por exemplo, o apresentado em [5], foram realizados com o objetivo de minimizar a influência dos diferentes algoritmos, para cálculo da Transformada Rápida de Fourier (FFT), implementada em processadores digitais de sinais. A contribuição apresentada aqui, é um procedimento para correção do processo de amostragem, para ser aplicado em sinais elétricos, cuja amostragem original não está sincronizada. Esse procedimento, minimiza a influência das distorções provocadas pela amostragem não sincronizada, nos valores dos parâmetros de interesse, cuja base de cálculo é o resultado da análise espectral realizada, usando-se a DFT. Do ponto de vista da qualidade da energia, essa contribuição propicia uma melhoria na acuidade, quando se avalia parâmetros da qualidade usando-se a Transformada de Fourier. II. ANÁLISE ESPECTRAL A Transformada de Fourier (FT) é a ferramenta matemática usada para realizar a análise espectral de diversos sinais contínuos no tempo. A FT requer integração em tempo infinito, sem mencionar que, manusear com sinais analógicos é inapropriado tecnologicamente. A Transformada de Fourier em Tempo Discreto (DTFT) é usada para avaliar a FT quando estamos trabalhando no domínio do tempo discreto. Porém, visando aumentar a eficiência computacional é mais apropriado realizar a segmentação do sinal em análise. Nesse caso

2 é mais interessante usar a Transformada Discreta de Fourier (DFT), a qual é a discretização, no domínio da freqüência, da Transformada de Fourier em Tempo Discreto. A Transformada Rápida de Fourier (FFT) é o algoritmo computacional que calcula eficientemente os coeficientes da DFT [6]. Entretanto, a representação espectral, ou seja, a DFT do sinal de energia elétrica digitalizado pode ser diferente da representação da transformada de Fourier, quando estivermos considerando sinais contínuos no tempo. Os sinais de energia elétrica são constituídos por uma freqüência fundamental e um conjunto de freqüências harmônicas de ordem superior. Em vista disso, a DFT se torna sensível à taxa de digitalização. Outra situação a ser considerada é o tamanho e o tipo da janela usada na segmentação do sinal. A. Notação Ao longo desse trabalho, é usada a notação encontrada regularmente na maioria da literatura sobre esse assunto [7]. Os conceitos básicos descritos aqui usam a Fig. como referência. Fig.. Diagrama em blocos de um sistema genérico de análise espectral discreto no tempo ) Formas de Ondas do Sistema de Energia Elétrica: As formas de ondas da tensão ou corrente, de um sistema de potência trifásico ou monofásico, podem ser representadas por uma soma de vários tipos de eventos [8], ou seja, v(n) = v(t) t=nts = f(n) + h(n) + h t (n) + r(n), () onde, n =,,..., N e T s = f s é o período de amostragem. A componente fundamental f(n) é dada por, f(n) = A o (n) cos(π f o(n) f s n + θ o (n)). () As freqüências harmônicas são múltiplos inteiros da freqüência fundamental. A quantidade finita de freqüências harmônicas h(n) são representadas por, h(n) = M m= A m (n) cos(πm f o(n) f s n + θ m (n)). (3) Os transitórios h t (n) presentes no sinal, como por exemplo, afundamento de tensão, sobre tensão e os transientes impulsivos, são dados por, h t (n) = K h k (n). (4) k= A componente r(n) é um ruído branco com distribuição normal N (, σ r) e independente de (), (3) e (4). Nas expressões () e (3) as amplitudes A o (n) e A m (n), as fases θ o (n) e θ m (n) podem ser escolhidas de forma independente. Deve ficar claro que outros distúrbios poderão estar presentes no sinal de energia elétrica, como por exemplo, freqüências inter-harmônicas [9], não considerados nesse estudo. ) Amostragem: Para poder ser tratada por ferramentas computacionais o sinal v(t) precisa ser digitalizado, ou seja, deve-se fazer t = nt s. Aqui, T s = f s é o período de amostragem. Para realizar essa tarefa a freqüência de amostragem f s deve ser escolhida adequadamente. Deve-se considerar, também, que o sinal v(t) é limitado em banda. Na análise espectral de sistemas de potência, a taxa de amostragem f s é escolhida de modo que f s > kf o. Em geral, k é escolhido grande o suficiente para satisfazer os requisitos de Nyquist que asseguram a inexistência de distorções (aliasing) quando consideramos freqüências harmonicas de alta ordem, por exemplo, M > 5. 3) A Transformada Discreta de Fourier - DFT: O sinal v(t) é coletado durante um longo período de tempo, porém, devemos selecionar um número finito de amostras para realizar a análise de Fourier. Este finito número de amostras são dados por v(k) = [v, v, v,..., v N ], (5) onde t = nt s = k, k N e N é o número de amostras por período da fundamental. Os coeficientes da DFT podem ser escritos como V (k f), onde f = f s /N representa o espaçamento entre freqüências no domínio da transformada. Assim, as DFT direta e inversa para N amostras podem ser escritas como [], V (k f) = v(nt s ) = N N n= N k= v(nt s )e j(πnk/n) ; k N, (6) V (k f)e j(πnk/n) ; n N. (7) Estamos assumindo por conveniência que, N, o número de amostras por período da fundamental seja par e que as N amostras de v(k) representam parte de uma seqüencia, cuja duração é maior que apenas um período. 4) Parâmetros de Qualidade da Energia: O aumento da preocupação com a qualidade da energia elétrica tem exigido uma melhoria significante, no desempenho dos equipamentos de monitoramento, usados para caracterizar os distúrbios que possam degradar a qualidade da energia. Esses equipamentos, analisam os dados coletados e verificam o desempenho de alguns parâmetros, comparando os resultados encontrados, com valores considerados típicos e satisfatórios à qualidade da energia. Dentre eles, a análise do comportamento das freqüências harmônicas presentes no sinal elétrico é de extrema importância. A Distorção Harmônica Total, THD, é a medida do efeito das freqüências harmônicas presentes na corrente ou tensão do sistema de potência. Se V é a intensidade da freqüência fundamental e V h a intensidade das

3 3 freqüências harmônicas presentes, o THD pode ser calculado por M T HD = Vn n= V (%). (8) A quantidade de componentes harmônicas que devem ser consideradas no cálculo é dada por M, usualmente M = 5 ou maior. III. ANÁLISE HARMÔNICA PROPOSTA Dado um conjunto de N amostras de v(n), se f s é a freqüência de amostragem é desejável que f s esteja sincronizada com a freqüência fundamental f o e, também, que o número de amostras N, tamanho da janela usada na análise de Fourier, contenha um múltiplo inteiro de períodos da fundamental. Se esse não é o caso, no resultado da aplicação da FFT aparecerão raias adjacentes indicando a presença de descontinuidade, ou seja, indica a presença de uma quantidade não inteira de períodos da freqüência fundamental na janela em consideração. A Fig. mostra o resultado da análise de uma forma de onda senoidal de 6 Hz. Na análise espectral foi considerada uma janela de,5 períodos. Esse efeito é chamado de vazamento (leakage effect), pois, as raias adjacentes não deviam existir [4], [7]. Esse vazamento provoca uma leitura errada, tanto da intensidade quanto da posição da freqüência presente no sinal em análise Tempo (s) 4 X: Y: Fig.. Análise espectral de uma senóide de 6 Hz, obtida com 6 amostras por período. Foram usados,5 períodos da senóide. A. Método de Correção Seja dado N amostras de v(n), com N o número de amostras por período da fundamental f o, amostrados com f s. A proposta apresentada aqui, para minimizar o problema de vazamento, se resume em encontrar uma nova freqüência de amostragem f, tal que, o novo número de amostras M, seja submúltiplo da janela de amostras que está sendo considerada no cálculo da DFT. Se b = log N, então, M = b N e a nova freqüência de amostragem pode ser dada por f = M f o. Como o cálculo da DFT, via FFT, é otimizado para janelas cujo tamanho é da forma n, tem-se a garantia de que a nova seqüencia de amostras está sincronizada, tanto com a freqüência fundamental quanto com a janela usada para determinar a DFT. Por exemplo, para f s = 56Hz e f o = 6Hz, N = 6 amostras por período da fundamental. Então, M = log(n) = 3 e f = M f o = 9Hz. Esse exemplo mostra que pode-se usar qualquer tamanho de janela maior ou igual a 3 amostras. Como não se tem à mão o sinal original v(t), a nova seqüencia de amostras deve ser obtida por meio da interpolação de v(n). A rigor qualquer processo de interpolação pode ser usado. Entretanto, devido à natureza senoidal do sinal em análise, a interpolação trigonométrica se encaixa de forma mais adequada à esta situação. B. Processo de Interpolação Sem perda de generalidade pode-se supor que v(t) seja periódica com período π. Deseja-se aproximar v(t) pelo polinômio trigonométrico [9], p n (t) = a o + [a k cos(kt) + b k sin(kt)]. (9) k= Se a n + b n =, n é o grau do polinômio. Deseja-se que v(t i ) = p n (t i ), para i =,,,..., n, e ainda, com t < t <... < t n < π. Vale lembrar que e iθ = cos(θ)+j sin(θ). Pode-se reescrever a equação (9) como, p n (t) = c k e jkt. () Desenvolvendo () tem-se, p n (t) = c o + [(c k + c k ) cos kt + j(c k c k ) sin(kt)], k= () sendo c o = a, (c k + c k ) = a k e j(c k c k ) = b k. Se z = e jt, então, p n (t) = c k z k, () ou seja, p n (z i ) = v(t i ), onde i =,,,..., n são n + pontos distintos no circulo unitário z =. É de interesse o caso em que esses pontos são igualmente espaçados, ou seja, quando, t i = π i, (3) n + o que dá, p n (t i ) = c k e jkti, (4) para i =,,..., n. Pode ser mostrado que, c k = n + i= v(t i )e jkti, (5)

4 4 para k = n,...,,... n. Observa-se que a expressão (5) é a Transformada de Discreta de Fourier de v(t i ). Uma vez determinado c k, obtém-se os valores de a o, a k e b k. E finalmente, deve-se calcular a nova seqüencia pela equação (9), a função interpolante de v(n). O processo de interpolação trigonométrica foi demonstrado aqui para um número ímpar de pontos (n+). Para interpolar um número par de pontos basta incluir um ponto adicional referente à freqüência de Nyquist, nos cossenos de (9). IV. RESULTADOS O procedimento de correção proposto foi aplicado em sinais de energia elétrica contendo harmônicas de até a 3 a ordem. A intensidade das freqüências harmônicas foram distorcidas com o objetivo de verificar e evidenciar a eficácia do procedimento. Um sinal v(t) foi amostrado com 6 amostras por período da fundamental, a uma taxa f s = 56Hz = 6 6Hz. O THD, a Distorção Harmônica Total, fornece uma noção de como as freqüências harmônicas estão distorcendo o sinal em consideração. Para se obter o THD deve-se definir uma janela de análise, para o cálculo da DFT. Escolhe-se uma janela de 56 amostras. Como pode ser observado, apesar da freqüência de amostragem ser um múltiplo inteiro da freqüência fundamental, a quantidade de amostras por período da fundamental não é uma potência de, ou seja, não é da forma n. A Fig. 3 mostra que nessas condições aparecem raias adjacentes, indicando que a intensidade e a posição das freqüências harmônicas não está correta Fig. 4. DFT de v(n) interpolada para 3 pontos por período da Freqüência fundamental. 5 THD Erro Percentual May 7 Tiao: PQHarmonics Número de Amostras por Período da Fundamental May 7 Tiao: PQHarmonics Fig. 5. Erro percentual do THD com variação do número de amostras por período da fundamental - Parte. e 6 mostram a sensibilidade do THD, ou seja, o erro percentual no valor do THD com a variação do número de amostras por período da freqüência fundamental. Observa-se, que esse erro é mínimo para o número de amostras, por período da freqüência fundamental do tipo n. Fig. 3. DFT de v(n) para 6 amostras por período da fundamental. Aplicando-se o procedimento de correção, objeto desse trabalho, a nova quantidade de amostras por período da fundamental será 3. Entretanto, como só se tem a seqüencia v(n) e não v(t), deve-se obter as novas amostras por meio de um processo de interpolação. Isso é equivalente a ter uma nova freqüência de amostragem de f = 3 6Hz = 9Hz. Na nova seqüencia interpolada deve-se buscar os pontos corretos para o cálculo da DFT. A Fig. 4 mostra o efeito da correção. Observe a redução da intensidade das raias adjacentes e a correção da posição das raias de maior intensidade. As Figs. 5 V. CONCLUSÃO Foi apresentado nesse trabalho um problema resultante da aplicação de algoritmos matemáticos, na determinação de parâmetros que avaliam a qualidade da energia elétrica. Foi mostrado que o erro resultante da amostragem não sincronizada pode ser minimizado tomando-se alguns cuidados, durante o processo de aquisição, escolhendo-se adequadamente a freqüência de amostragem. Resultados satisfatórios podem ser obtidos quando a correção é feita à partir de formas de ondas de tensão e corrente, adequando-se o número de amostras por período da freqüência fundamental com a ajuda de um processo de interpolação.

5 5 THD Erro Percentual Número de Amostras por Período da Fundamental Fig. 6. Erro percentual do THD com variação do número de amostras por período da fundamental - Parte. REFERÊNCIAS [] C.J. Melhorn and M.F. McGranaghan. Interpretation and Analysis of Power Quality Measurements, Proc. 995 IEEE Annual Technical Conference on Texttile, Fiber and Film Industry, pp. -9. [] I.J. Rivera, A.B. Ramirez and D. Rodriguez. A Time-frequency Signal Analysis System For Power Quality Assessment, Proc. 5 IEEE 48th Midwest Symposium on Circuits and System. [3] L. R. Lisita, J. W. L. Nerys, A. J. Batista, A. M. de Oliveira e A. C. Moreira. Perda Adicional no Núcleo em Transformadores Trifásicos Alimentando Cargas Não-Lineares, IEEE Transactions on Power Delivery, Vol. 6(), pp , Apr.. [4] T.P. Tsao, R.C. Wu and C.C. Ning. The Optimization of Spectral Analysis For Signal Harmonics, IEEE Transactions on Power Delivery, Vol. 6(), pp , Apr.. [5] I. Szolik, K. Kovác and V. Simiesko. Influence of Digital Signal Processing on Precision of Power Quality Parameters Measurement, Measurement Science Review, Vol. 3(),pp , Apr. 3,. [6] S. D. Stearns, R.A. David. Signal Processing Algorithms, st ed., Prentice Hall Ed., Englewood Cliffs, N.J.,3, p.. [7] J.H. McClellan, R.W. Schafer and M.A. Yoder. Signal Processing First, International Edition, Pearson Prentice Hall Ed., Upper Saddle River, NJ,3, p [8] A.S. Cerqueira, C.A. Duque, M.V. Ribeiro e R.M. Trindade. Sistema Digital de Detecção e Classificação de Eventos de Qualidade de Energia, IEEE Latin America Transactions, Vol.4(5), págs , Set. 6. [9] E.Isaacson and H.B. Keller. Analysis of Numerical Methods, Ed. New York: Dover Publications,Inc.,994, p. 3. [] R.D. Strum and D.E. Kirk. First Priciples of Discrete Systems and Digital Signal Processing, st ed., Addison-Wesley Ed., 988, p Anésio de Leles Ferreira Filho nasceu em Patos de Minas, MG, Brasil, em 97. Tornou-se Engenheiro Eletricista pela Universidade Federal de Uberlândia, 994. Recebeu o título de Mestre em engenharia Elétrica, também, pela Universidade Federal de Uberlândia, em 997. Ingressou-se na Universidade de Brasilia em 997, onde, desde então, é Professor do Departamento de Engenharia Elétrica. Seu interesse em pesquisa inclui eletrônica de potência e qualidade de energia. Pedro de Azevedo Berger nasceu em 5//77, no Rio de Janeiro - RJ, Brasil. Cursou Engenharia Elétrica pela Universidade Federal do Ceará (999), mestrado em Engenharia Elétrica pela Universidade de Brasília () e doutorado em Engenharia Elétrica pela Universidade de Brasília (6). Atualmente é professor adjunto no Departamento de Ciência da Computação, da Universidade de Brasília. Tem experiência na área de Engenharia Elétrica, com ênfase em Sistemas de Telecomunicações, atuando principalmente nos seguintes temas: Processamento Digital de Sinais, Compressão de Dados e Comunicação Digital. Francisco Assis O. Nascimento nasceu em Araruama, Rio de Janeiro, Brasil. Recebeu o título de Engenheiro Eletrônico pela Universidade de Brasilia, em 98 e, o de Mestre e Doutor pela Universidade Federal do Rio de Janeiro, Brasil. Em 983, juntou-se ao CEPEL (Centro de Pesquisas de Energia Elétrica), Rio de Janeiro, Brasil, onde foi pesquisador até 986, trabalhando com processamento de sinais, eletrônica de potência e medidas em sistemas de potência. De 986 a 988 estava no Centro Científico IBM, trabalhando com processamento digital de imagens e, de 988 a 99 foi pesquisador titular do Centro de Pesquisas de Desenvolvimento para a Segurança das Comunicações, trabalhando com comunicação digital. Desde 99, está com o Departamento de Engenharia Elétrica da universidade de Brasilia, onde ensina teoria de circuitos e processamento digital de sinais. Seu interesse em pesquisa inclui processamento de sinais, instrumental científica e automação. Sebastião do Nascimento Neto nasceu em Araguari, MG, Brasil, em 954. Tornou-se Engenheiro Eletricista, em 979 e, Mestre em Engenharia Elétrica, em 993, pela Universidade de Brasilia (UnB). Sua experiência profissional inclui pesquisa em comunicação digital na indústria e em órgãos do governo da área de telecomunicações. Seu interesse em pesquisa se concentra nas áreas de codificação de imagens e aplicações de processamento digital de sinal na análise de sistemas de potência. Atualmente, é aluno do curso de doutorado em Engenharia Elétrica na Universidade de Brasilia.