A dimensão de Gelfand-Kirillov de certas álgebras. Lucas Galvão

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1 A dimensão de Gelfand-Kirillov de certas álgebras Lucas Galvão

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3 SERVIÇO DE PÓS-GRADUAÇÃO DO ICMC-USP Data de Depósito: Assinatura: A dimensão de Gelfand-Kirillov de certas álgebras Lucas Galvão Orientador: Prof. Dr. Daniel Levcovitz Dissertação apresentada ao Instituto de Ciências Matemáticas e de Computação - ICMC-USP, como parte dos requisitos para obtenção do título de Mestre em Ciências - Matemática. VERSÃO REVISADA USP São Carlos Outubro de 2014

4 Ficha catalográfica elaborada pela Biblioteca Prof. Achille Bassi e Seção Técnica de Informática, ICMC/USP, com os dados fornecidos pelo(a) autor(a) G182d Galvão, Lucas A dimensão de Gelfand-Kirillov de certas álgebras / Lucas Galvão; orientador Daniel Levcovitz. -- São Carlos, p. Dissertação (Mestrado - Programa de Pós-Graduação em Matemática) -- Instituto de Ciências Matemáticas e de Computação, Universidade de São Paulo, Álgebra não comutativa. 2. Crescimento de álgebras. 3. Dimensão de Gelfand-Kirillov. I. Levcovitz, Daniel, orient. II. Título.

5 iii Agradecimentos Primeiramente aos meus pais, por todo o apoio e incentivo, principalmente nos momentos de maior dificuldade. Não fosse por eles, certamente eu não teria chegado até aqui. Ao meu orientador, Prof. Daniel Levcovitz, pela sua paciência, amizade, seus ensinamentos e principalmente pela confiança depositada. Agradeço também a todos aqueles que me apoiaram durante meu período de mestrado. Porém, faço um agradecimento especial a Renan Mezabarba, pelas discussões matemáticas (ou não) na biblioteca do ICMC, onde frequentemente incomodávamos os funcionários pela altura dos risos. Também faço agradecimentos especiais a Renan Metzker e Ivan Bolorino, amigos dos tempos de graduação na UNESP, não só pelo apoio, mas também pelas horas de descontração (compartilhadas por meio virtual). Por fim, agradeço a CAPES pelo apoio financeiro durante um ano.

6 iv Resumo A dimensão de Gelfand-Kirillov mede a taxa de crescimento assintótico de álgebras. Como fornece informações importantes sobre a sua estrutura, este invariante se tornou uma das ferramentas padrão no estudo de álgebras de dimensão infinita. Neste trabalho apresentamos as propriedades básicas da dimensão de Gelfand-Kirillov de álgebras e de módulos, e também mostramos o cálculo da dimensão de Gelfand-Kirillov de algumas álgebras e módulos, sendo o exemplo mais importante o cálculo da dimensão de Gelfand-Kirillov da álgebra de Weyl A n. Palavras-chave: Kirillov. Álgebra não comutativa. Crescimento de álgebras. Dimensão de Gelfand-

7 v Abstract The Gelfand-Kirillov dimension measures the asymptotic rate of growth of algebras. Since it provides important structural information, this invariant has become one of the standard tools in the study of infinite dimensional algebras. In this work we present the basic properties of the Gelfand-Kirillov dimension of algebras and modules, and we also show the calculation of the Gelfand-Kirillov dimension of some algebras and modules, being the most important example the calculation of the Gelfand-Kirillov dimension of the Weyl algebra A n. Keywords: Noncommutative algebra. Growth of algebras. Gelfand-Kirillov dimension.

8 CONTEÚDO Introdução 3 1 Preliminares Crescimento de Álgebras A Dimensão de Gelfand-Kirillov A álgebra de Weyl e sua dimensão de Gelfand-Kirillov (via extensões iteradas de Ore) A dimensão de Gelfand-Kirillov de algumas álgebras A álgebra de Weyl e sua dimensão de Gelfand-Kirillov A álgebra de Weyl como o anel de operadores diferenciais do anel de polinômios K[x 1,, x n ] Módulos e Álgebras Filtrados e Graduados A dimensão de Gelfand-Kirillov de um módulo Álgebras filtradas e graduadas Álgebras quase-comutativas Álgebras quase-comutativas A dimensão de Gelfand-Kirillov de A n -módulos

9 CONTEÚDO 2 Bibliografia 50

10 INTRODUÇÃO Seja K um corpo, e seja A uma K-álgebra finitamente gerada. Escolha um K-subespaço de dimensão finita V (com unidade) de A, tal que A é gerado por V como álgebra sobre K. Há uma cadeia de subespaços K V V 2... V n... V n = A com dim K (V n ) <, para cada n N. O comportamento assintótico da sequência (dim K (V n )) n N nos dá um invariante útil da álgebra A, chamado dimensão de Gelfand-Kirillov de A, e definido por n=0 GKdim(A) = lim log dim K(V n ). log n No Capítulo 1, primeiramente definimos o crescimento de uma função, a fim de estudar a sequência (dim K (V n )) n N. Então, através da introdução de uma relação de equivalência adequada, eliminamos a dependência da escolha de um subespaço gerador V de A, tornando possível definir o crescimento de uma álgebra. Em seguida definimos a dimensão de Gelfand- Kirillov de uma álgebra. No Capítulo 2 apresentamos alguns resultados básicos referentes à dimensão de Gelfand- Kirillov, assim como alguns exemplos, sendo que o mais importante é o cálculo da dimensão de Gelfand-Kirillov das álgebras de Weyl, também definida neste capítulo. 3

11 4 Então, no Capítulo 3, estendemos a dimensão de Gelfand-Kirillov para módulos. Além disso, se V é um subespaço de dimensão finita de uma K-álgebra A, então o conjunto formado pelos subespaços {V n } n=0 fornece uma filtração natural de A, e o anel graduado associado gr(a) n=0v n /V n 1 pode ser formado. Para qualquer módulo M A é possível construir o módulo graduado associado gr(m) gr(a). As relações entre M A e gr(m) gr(a) também são estudadas no Capítulo 3. Por fim, no Capítulo 4 nos dedicamos ao estudo de álgebras quase comutatuvas, ou seja, álgebras A tais que gr(a) é comutativo. Também damos uma segunda demonstração do fato de que a dimensão de Gelfand-Kirillov da n-ésima álgebra de Weyl é 2n. Por fim, provamos a desigualdade de Bernstein, a qual fornece um limitante inferior para a dimensão de Gelfand-Kirillov de um módulo sobre A.

12 CAPÍTULO 1 PRELIMINARES 1.1 Crescimento de Álgebras Neste primeiro capítulo apresentaremos algumas definições e resultados básicos que serão utilizados no decorrer do presente texto. Entretanto, omitiremos as demonstrações. Ao leitor interessado, seguem as referências. Seja K um corpo. Uma K-álgebra finitamente gerada A (a qual vamos assumir que é associativa e tem elemento unitário 1) com conjunto gerador {a 1,, a m } possui um subespaço gerador V de dimensão finita (por exemplo, o K-espaço vetorial gerado por a 1,, a m ) no sentido de que todo elemento de A é uma combinação K-linear de monômios formados pelos elementos a 1,, a m. Portanto, se V 0 = K, e para n 1, V n denotar o subespaço gerado por todos os monômios em a 1,, a m de comprimento n, então A = A n, onde A n = K + V + V 2 + V n. n=0 Se A possui dimensão finita, então A = A n para algum n, e a função d V = dim K (A n ) se torna estacionária. Em geral, esta função é monótona crescente, e suas propriedades podem ser usadas para distinguir entre as várias K-álgebras. Entretanto, a função d V é muito específica, pois depende da escolha do subespaço gerador V. A dependência pode ser 5

13 Seção 1.1 Crescimento de Álgebras 6 removida ao introduzirmos uma relação de equivalência adequada. Definição Seja Φ o conjunto de todas as funções f : N R que são monótonas crescentes a partir de um determinado ponto e a valores positivos, ou seja, para as quais existe n 0 = n 0 (f) N, tal que f(n) R + e f(n + 1) f(n) para todo n n 0. Para f, g Φ dizemos que f g se, e somente se, existem c, m N tais que f(n) cg(mn) para quase todo n N, e f g se, e somente se, f g e g f. Para f Φ a classe de equivalência G(f) Φ/ é chamada crescimento de f. A ordem parcial no conjunto Φ/ induzida por é denotada por. Observações: (a) Se f e g são funções polinomiais, pode ser mostrado que f e g possuem o mesmo crescimento se, e somente se, deg(f) = deg(g). Para um número γ 0 o crescimento da função p γ : n n γ é denotado por P γ. (b) Para um número real positivo ɛ, o crescimento de q ɛ : n e nɛ é denotado por E ɛ. Claramente, ɛ < η se, e somente se, E ɛ < E η. (c) Seja f(n) = log(n). Então f Φ e G(f) > P 0. É fácil ver que G(f) < P ɛ para qualquer ɛ > 0. (d) Notemos que G(f) e G(g) não precisam ser comparáveis para duas funções f e g em Φ. Lema ([4], página 6) Seja A uma K-álgebra finitamente gerada com subespaços geradores V e W. Se d V (n) e d W (n) denotam as dimensões de n i=0 V i e n i=0 W i, respectivamente, então G(d V ) = G(d W ). O fato de que o crescimento da função dimensão de uma K-álgebra finitamente gerada independe do subespaço gerador de dimensão finita V considerado motiva a próxima definição.

14 Cap. 1 Preliminares 7 Definição Seja A uma K-álgebra finitamente gerada, e seja V um subespaço gerador de dimensão finita de A. Então G(A) := G(d V ) é chamado de crescimento de A. Além disso dizemos que A possui crescimento polinomial se G(A) = P m, para algum m N, crescimento exponencial se G(A) = E 1, Exemplo Seja A = K x, y a álgebra livre em dois geradores. Então Kx + Ky é um subespaço gerador de A, e ( n d V (n) = dim K V i) = n = 2 n+1 1. i=0 Logo G(A) = E 1. O resultado seguinte, devido a Borho e Kraft, mostra que o crescimento exponencial é o maior crescimento possível para uma álgebra finitamente gerada. Proposição Se A é finitamente gerada mas não possui dimensão finita, então P 1 G(A) E 1. Demonstração: Seja V um subespaço gerador de dimensão finita para A, e assuma que 1 V. Então d V (n) = dim(v n ) dim(v V ) = (dimv ) n, portanto G(A) = G(d V ) E 1. Por outro lado, as inclusões na sequência V 0 V 1 V 2 são todas próprias, pois se V n = V n+1 para algum n, então V n = A, e A possui dimensão finita. Logo d V (n) n, para todo n, e consequentemente G(A) = G(d V ) P 1. Muitas das álgebras que estudaremos terão crescimento polinomial. De modo a determinar os respectivos polinômios, o seguinte lema será útil. Lema ([4], página 7) Seja Q o corpo dos números racionais.

15 Seção 1.1 Crescimento de Álgebras 8 (a) Se 0 f Q[x] é um polinômio de grau d, então existem números racionais a 0, a 1,, a d tais que f(n) = a d ( n d para todo número natural n. ) ( ) ( ) n n + a d a 1 + a 0 d 1 1 (b) As seguintes propriedades de uma função f : N Q são equivalentes. i. Existem a 0, a 1,, a d Q e um inteiro m 0 tal que para todo n m f(n) = a d ( n d ) ( ) ( ) n n + a d a 1 + a 0. d 1 1 ii. Existem a 1,..., a d Q e um inteiro m 0 tal que para todo n m ( ) ( ) n n f(n + 1) f(n) = a d + + a 2 + a 1. d 1 1 (c) Se f(n) está no formato descrito em (a) e se f(n) Z para todo n suficientemente grande, então a i Z para i = 0, 1,, d. (d) Se f(n) está no formato descrito em (a) e se f(n) N e f(n + 1) f(n) 0 para todo n suficientemente grande, então a d é um inteiro positivo. Exemplo Considere A = K[x 1,..., x d ], a álgebra polinomial comutativa. O espaço vetorial V = Kx Kx d é um subespaço gerador de A, e é fácil ver que ( ) n d 1 dim(v n+1 ) = = d 1 ( ) n + d, d 1 que é um polinômio em n de grau d 1. Como dim(v n+1 ) = d V (n + 1) d V (n), segue da parte (b) do lema anterior que d V (n) é um polinômio em n de grau d; logo G(A) = P d. De fato, as partes (c) e (d) do lema anterior mostram que os coeficientes de d V que seu coeficiente dominante é um inteiro positivo. são inteiros, e

16 Cap. 1 Preliminares A Dimensão de Gelfand-Kirillov O crescimento de uma álgebra frequentemente é difícil de determinar e se mostra uma ferramenta de difícil aplicação quando são consideradas álgebras relacionadas, como subálgebras, quocientes, extensões de Ore, etc. Então é apropriado utilizar o comportamento assintótico das funções monótonas crescentes a fim de fazermos identificações que vão além do crescimento. Teoricamente há várias possibilidades para prosseguir, mas na prática o seguinte limite superior log f(n) lim log n se mostra um dos mais úteis. No que se segue, utilizaremos a notação log n f(n) para denotar log f(n)/ log n. Lema ([4], página 13) Sejam f, g Φ. Então lim log n f(n) = {inf ρ R, f(n) n ρ para quase todo n} = {inf ρ R, G P ρ } Se G(f) = G(g), então lim log n f(n) = lim log n g(n) Podemos agora dar a próxima definição. K-álgebra finitamente gerada. Note que nela não supomos que A é uma Definição A dimensão de Gelfand-Kirillov de uma K-álgebra A é GKdim(A) = sup lim log n d V (n), V onde o supremo é tomado sobre todos os subespaços finitamente dimensionais V de A. Observação O Lema diz que para uma K-álgebra finitamente gerada B com subespaço gerador de dimensão finita V, o crescimento de B independe da escolha particular de V. Logo GKdim(B) = lim log n d V (n)

17 Seção 1.2 A Dimensão de Gelfand-Kirillov 10 neste caso. Como todo subespaço de dimensão finita de uma K-álgebra geral A, não necessariamente finitamente gerada, pode ser visto como o subespaço gerador para uma álgebra finitamente gerada B de A, a definição da dimensão de Gelfand-Kirillov de A pode ser reescrita como GKdim(A) = sup{gkdim(b), B A, B subálgebra finitamente gerada.} B A dimensão de Gelfand-Kirillov de uma álgebra também pode ser infinita, como veremos no exemplo a seguir. Exemplo Seja A a álgebra do Exemplo 1.1.4, a qual é finitamente gerada. Como d V (n) = 2 n+1 1, temos que lim log n d V (n) = lim log n 2 n+1 1 = lim((n + 1) log n 2 log n 1) =. Logo a dimensão de Gelfand-Kirillov da álgebra acima é infinita. No entanto, enfatizamos que nesta dissertação estamos interessados somente em K-álgebras A que são finitamente geradas. A seguinte questão segue naturalmente: quais números reais podem ser assumidos pela dimensão de Gelfand-Kirillov de uma K-álgebra? É fácil ver que GKdim(A) = 0 se, e somente se, A é localmente de dimensão finita, ou seja, se toda subálgebra finitamente gerada possui dimensão finita. Segue da Proposição que GKdim(A) 1 para qualquer álgebra A que não é localmente de dimensão finita. Além disso, temos do Exemplo que todo número natural ocorre como dimensão de Gelfand-Kirillov de uma álgebra polinomial comutativa. positivos. Há dois resultados que respondem a essa pergunta para os outros números Teorema ([4], página 18) Nenhuma álgebra possui dimensão de Gelfand-Kirillov estritamente entre 1 e 2. Teorema ([4], página 21) Para qualquer número real r 2 existe uma álgebra A = K x, y /{Z} com dois geradores tal que GKdim(A) = r.

18 CAPÍTULO 2 A ÁLGEBRA DE WEYL E SUA DIMENSÃO DE GELFAND-KIRILLOV (VIA EXTENSÕES ITERADAS DE ORE) 2.1 A dimensão de Gelfand-Kirillov de algumas álgebras Para que a dimensão de Gelfand-Kirillov seja um método útil para o estudo de álgebras, é necessário conhecer seu comportamento quando passamos de uma álgebra A para anéis relacionados como subálgebras, álgebras quocientes, somas diretas e extensões de Ore. Neste capítulo estas álgebras serão estudadas. Como uma aplicação obteremos o resultado fundamental deste capítulo, que é a dimensão de Gelfand-Kirillov das álgebras de Weyl. Lema Se B é uma subálgebra ou uma imagem homomorfa de uma K-álgebra A, então GKdim(B) GKdim(A). 11

19 Seção 2.1 A dimensão de Gelfand-Kirillov de algumas álgebras 12 Demonstração: Para subálgebras a afirmação decorre como consequência imediata da definição da dimensão de Gelfand-Kirillov. Para uma álgebra quociente A de A, observe que qualquer conjunto de representantes das classes laterais para os elementos da base de um subespaço V de A com dimensão finita forma uma base de um subespaço de dimensão finita V de A que satisfaz dim(v n ) dim(v n ), para todo n natural. Então e portanto, lim log n dim(v n ) lim log n dim(v n ) sup V lim log n dim(v n ) sup lim log n dim(v n ). V Proposição Se A 1 e A 2 são K-álgebras, então GKdim(A 1 A 2 ) = max{gkdim(a 1 ), GKdim(A 2 )}. Demonstração: Pelo Lema 2.1.1, temos γ := max{gkdim(a 1 ), GKdim(A 2 )} GKdim(A 1 A 2 ), e a igualdade vale se γ =. Vamos assumir que γ é finito, e seja W um subespaço de dimensão finita de A 1 A 2. Sejam U e V as projeções canônicas de W sobre A 1 e A 2 respectivamente. Então Dado ɛ > 0, segue do Lema que W U V e W n (U V ) n = U n V n. d U (n) < n γ+ ɛ 2 e d V (n) < n γ+ ɛ 2. para quase todo n, pois lim log n d U (n) GKdim(A 1 ) γ e o mesmo vale para para d V (n). Como n ɛ 2 > 2 para n suficientemente grande, d W (n) d U (n) + d V (n) 2n γ+ ɛ 2 < n ɛ 2 n γ+ ɛ 2 = n γ+ɛ

20 Cap. 2 A álgebra de Weyl e sua dimensão de Gelfand-Kirillov (via extensões iteradas de Ore) 13 para quase todo n. Logo lim log n d W (n) γ, pelo Lema Portanto, GKdim(A 1 A 2 ) = sup lim log n d W (n) γ. W Muitas álgebras são extensões de Ore de outras álgebras, sendo as álgebras de Weyl talvez o exemplo mais conhecido. Definição Uma K-derivação δ de uma K-álgebra A é um K-endomorfismo de A que satisfaz δ(ab) = δ(a)b + aδ(b) para todo a, b A. Definição Seja A uma K-álgebra com uma K-derivação δ. A K-álgebra B = A[x; δ] dos polinômios a 0 + a 1 x a n x n, a i A, sujeita à relação xa ax = δ(a) é chamada extensão de Ore de A com respeito à δ. Lema Seja A uma K-álgebra com K-derivação δ, e seja B = A[x; δ]. Então GKdim(B) GKdim(A) + 1. Demonstração: Seja A f uma subálgebra finitamente gerada de A e seja V um subespaço gerador de dimensão finita para A f, com unidade. O subespaço de dimensão finita W = V + Kx de B satisfaz logo (n + 1)d V (n) d W (2n). Então V n V n x V n x n (V + Kx) 2n = W 2n ; e portanto, GKdim(B) lim log n d W (n) lim log n (n + 1)d V (n) = lim n log n (n + 1) + lim log n d V (n) = 1 + GKdim(A f ), GKdim(B) sup A f {1 + GKdim(A f )} = 1 + sup A f {GKdim(A f )} = 1 + GKdim(A).

21 Seção 2.1 A dimensão de Gelfand-Kirillov de algumas álgebras 14 É natural querer saber quando a desigualdade no lema anterior se torna uma igualdade. O resultado seguinte mostra que a igualdade vale para uma grande classe de álgebras consideradas nas aplicações, em particular, para o caso δ = 0, isto é, para a álgebra polinomial B = A[x], e para o caso quando A é uma álgebra finitamente gerada. Proposição Seja A uma K-álgebra com K-derivação δ tal que todo subespaço de dimensão finita está contido em uma subálgebra δ-estável de A. Então GKdim(A[x; δ]) = GKdim(A) + 1. Demonstração: Seja B uma subálgebra finitamente gerada de B = A[x; δ]. O espaço vetorial gerado pelos coeficientes dos finitos polinômios que geram B é de dimensão finita e portanto está contido em uma subálgebra A δ-estável finitamente gerada de A. Como B A [x; δ], o resultado segue se mostrarmos que GKdim(B ) GKdim(A ) + 1. Desta forma podemos assumir que A é finitamente gerada. Se V é um subespaço gerador de dimensão finita de A que contém 1, então W := V + Kx é um subespaço gerador de dimensão finita para B = A[x; δ]. Os espaços V n formam uma filtração exaustiva de A; logo δ(v ) V m para algum inteiro m > 0, e consequentemente δ(v q ) V m+q para todo q = 1, 2,. Afirmamos que W n = (V + Kx) n V mn + V mn x + V mn x V mn x n, e portanto que d W (n) (n + 1)d V (mn), para todo número natural n. Isto é trivial para n = 0; então vamos assumir que vale para n 0. Logo, V W n n V mn+1 x i n V m(n+1) x i (2.1) e i=0 i=0 xw n n xv mn x i n V mn x i+1 + n δ(v mn )x i. (2.2) Uma vez que i=0 i=0 i=0 δ(v mn ) n V j δ(v )V mn j 1 j=0 mn 1 j=0 V j V m V mn j 1 = V m(n+1) 1 V m(n+1), (2.3)

22 Cap. 2 A álgebra de Weyl e sua dimensão de Gelfand-Kirillov (via extensões iteradas de Ore) 15 temos, por 2.2 e 2.3, que Por 2.1 e 2.4, segue que n+1 xw n V m(n+1) x i. (2.4) i=0 n+1 W n+1 = (V + Kx)W n = V W n + xw n V m(n+1) x i, completando o passo indutivo. Portanto, i=0 GKdim(B) = lim log n d W (n) lim log n ((n + 1)d V (mn)) = lim n log n (n + 1) + lim log n d V (n) = 1 + GKdim(A). Exemplo Seja A uma K-álgebra e seja B = A[x 1,, x n ]. Então GKdim(B) = GKdim(A) + n, aplicando repetidamente a Proposição no caso em que a derivação é nula. Exemplo Seja A = R[[x]] a R-álgebra formada por todas as séries de potências com coeficientes reais. Seja {r i, i = 1, 2, } um conjunto infinito enumerável de números reais linearmente independentes sobre o corpo Q. Então o conjunto das funções {f i (x) = e rix, i = 1, 2, } é algebricamente independente sobre R. Cada uma das funções f i pode ser vista como um elemento de A através de sua série de McLaurin. Logo A possui uma subálgebra isomorfa à álgebra polinomial R[x 1,, x n ] para cada n N. Segue do Lema e do Exemplo que GKdim(A) =. Observação A desigualdade no Lema pode, de fato, ocorrer, como mostra o resultado abaixo. Proposição ([4], página 27) Seja p um inteiro positivo. Existe uma K-álgebra localmente de dimensão finita A p com K-derivação δ p, tal que GKdim(A p [t; δ p ]) = p. Existe uma K-álgebra localmente de dimensão finita A com K-derivação δ, tal que GKdim(A[t; δ]) =.

23 Seção 2.2 A álgebra de Weyl e sua dimensão de Gelfand-Kirillov A álgebra de Weyl e sua dimensão de Gelfand-Kirillov O objetivo desta seção é calcular a dimensão de Gelfand-Kirillov da álgebra de Weyl A n. No que se segue, vamos definir tal álgebra. Definição A álgebra de Weyl A n = A n (K) é o anel de polinômios em 2n variáveis x 1,, x n, y 1,, y n com coeficientes em K, sujeitas às relações onde δ ij é o símbolo de Kronecker. x i x j = x j x i, y i y j = y j y i, e x i y j y j x i = δ ij, Proposição Vale o isomorfismo abaixo: A n+1 = An [y n+1 ][x n+1 ; δ], onde δ = y n+1. Demonstração: Primeiramente, como y n+1 comuta com os elementos de A n, resta mostrar que x n+1 satisfaz as relações que definem a álgebra de Weyl. De fato, para i = 1,, n, temos e x i x n+1 x n+1 x i = δ(x i ) = 0 Para i = n + 1, temos y i x n+1 x n+1 y i = δ(y i ) = 0. y n+1 x n+1 x n+1 y n+1 = δ(y n+1 ) = 1, provando o resultado. Teorema A dimensão de Gelfand-Kirillov da n-ésima álgebra de Weyl A n é 2n.

24 Cap. 2 A álgebra de Weyl e sua dimensão de Gelfand-Kirillov (via extensões iteradas de Ore) 17 Demonstração: O resultado é provado por indução. Para n = 0, o resultado é válido pois A 0 (K) = K. Suponhamos que a dimensão de A k = 2k. Pelo Exemplo GKdim(A n [y n+1 ]) = GKdim(A n ) + 1 = 2n + 1. Da Proposição 2.1.6, decorre que GKdim(A n+1 ) = GKdim(A n [y n+1 ]) + 1 = 2(n + 1). 2.3 A álgebra de Weyl como o anel de operadores diferenciais do anel de polinômios K[x 1,, x n ] Uma outra definição da álgebra de Weyl é encontrada com frequência. Por conveniência, denotaremos por K[X] o anel K[x 1,, x n ]. Definição Sejam ˆx 1,, ˆx n os operadores de K[X] definidos sobre um polinômio f K[X] pelas fórmulas ˆx i (f) = x i.f. Analogamente, 1,, n são os operadores definidos por i = f/ x i. Estes são operadores lineares de K[X]. A n-ésima álgebra de Weyl A n é a K-subálgebra de End K (K[X]) gerada pelos operadores ˆx 1,, ˆx n e 1,, n. De acordo com a definição acima, os elementos de A n são combinações lineares sobre K de monômios em ˆx 1,, ˆx n, 1,, n. Porém, vale ressaltar que esta álgebra não é comutativa. De fato, consideremos o operador i.ˆx i e vamos aplicá-lo no polinômio f K[X]. Usando a regra de derivação do produto, obtemos i.ˆx i (f) = x i f/ x i + f. Em outras palavras, i.ˆx i = ˆx i. i + 1, onde 1 corresponde ao operador identidade. Utilizando a notação de comutadores, a expressão acima se torna [ i, ˆx i ] = 1. Através de cálculos similares obtemos que [ i, ˆx j ] = δ ij.1 e [ i, j ] = [ˆx i, ˆx j ] = 0, onde mais uma vez δ ij é o símbolo de Kronecker, e 1 i, j n. Denotaremos abaixo os operadores ˆx i simplesmente por x i para simplificar a notação. O primeiro passo para mostrar a equivalência destas definições é construir uma base para a álgebra de Weyl como K-espaço vetorial, a qual chamaremos base canônica. Ela será

25 Seção 2.3 A álgebra de Weyl como o anel de operadores diferenciais do anel de polinômios K[x 1,, x n ] 18 descrita através de multi-índices, ou seja, elementos α N n tais que α = (α 1,..., α n ). Por x α denotaremos o monômio x α 1 1 x αn n. O grau deste monômio é o comprimento α do multi-índice α, ou seja, α = α α n. Também definimos o fatorial de um multi-índice β N n por β! = β 1! β n! Lema Sejam α, β N n e suponhamos que α β. Então β (x α ) = β! se α = β e zero, caso contrário. Demonstração: Se α = β, o resultado decorre da regra do produto, uma vez que α i i (x α i i ) = α i!. Se α β, existe 1 n 0 n tal que α n0 < β n0. Como βn 0 (x α n0 ) = 0, segue que β (x α ) = 0. Lema Seja f K[X]. Então [ i, f] = f/ x i. Demonstração: Pelas relações apresentadas acima e pelo fato de o comutador ser linear, é suficiente mostrar que [ i, x n i ] = nx n 1 i. Para n = 0, o resultado é trivial. Suponhamos que a identidade seja válida para n = k. Como, dados a, b, c A n, [a, bc] = b[a, c] + [a, b]c, temos que [ i, x k+1 i ] = x i [ i, x k i ] + [ i, x i ]x k i = x i k x k 1 i + x k i = (k + 1)x k i. Proposição O conjunto B = {x α β, α, β N n } é uma base de A n como espaço vetorial sobre K. Demonstração: Dado um monômio de A n, pelo Lema é possível escrevê-lo como uma soma de monômios com potências dos operadores x i à esquerda e potências dos operadores i à direita. Desta forma, segue que qualquer elemento de A n pode ser escrito como combinação linear de elementos de B. Agora mostremos que os elementos de B são linearmente independentes. Consideremos uma combinação linear finita D = c αβ x α β de elementos de B. Queremos mostrar que se algum c αβ 0, então D 0. Mas D é um operador linear em K[X]. Portanto D 0 se, e somente se, existe um polinômio f tal que D(f) 0. Construiremos tal f.

26 Cap. 2 A álgebra de Weyl e sua dimensão de Gelfand-Kirillov (via extensões iteradas de Ore) 19 Seja σ um multi-índice que satisfaz c ασ 0 para algum índice α, mas c αβ = 0 para todo índice β tal que β < σ. Pelo Lema 2.3.2, temos que D(x σ ) = σ! α c ασx α 0, pois um dos c ασ é diferente de zero, pela escolha de σ. Logo f = x σ é o polinômio procurado. Agora vamos mostrar que as duas definições são equivalentes. Seja K z 1,, z 2n a álgebra livre em 2n geradores, ou seja, o conjunto de todas as combinações lineares finitas de palavras em z 1,..., z 2n. Podemos definir um homomorfismo sobrejetor φ : K z 1,, z 2n A n tal que φ(z i ) = x i e φ(z i+n ) = i, para i = 1,..., n. Seja J o ideal bilateral gerado por [z i+n, z i ] 1, para i = 1, 2,, n e [z i, z j ] para j i + n e 1 i, j n Segue das relações do início desta seção que J Ker(φ). Logo φ induz um homomorfismo de K-álgebras ˆφ : K z 1,, z 2n /J A n. Teorema A aplicação ˆφ : K z 1,, z 2n /J A n é um isomorfismo de K-álgebras. Demonstração: Assim como na prova da Proposição 2.3.4, podemos usar as relações entre as classes z i + J para mostrar que todo elemento de K z 1,, z 2n pode ser escrito como uma combinação linear de monômios do tipo z m 1 1 z m 2n 2n. Pela Proposição 2.3.4, a imagem desses monômios por ˆφ é uma base de A n como espaço vetorial sobre K. Em particular, os monômios são linearmente independentes em K z 1,, z 2n /J. Portanto ˆφ é um isomorfismo de espaços vetoriais, uma vez que já é um isomorfismo de anéis.

27 CAPÍTULO 3 MÓDULOS E ÁLGEBRAS FILTRADOS E GRADUADOS A dimensão clássica de Krull, definida em termos de cadeias descendentes de ideais primos, não é uma ferramenta muito adequada no estudo de anéis não comutativos, principalmente por não se aplicar a módulos. Por outro lado, a dimensão de Gelfand-Kirillov pode ser estendida a módulos. Um primeiro estudo dessa extensão foi feito por Bernstein e, posteriormente, um estudo sistemático foi feito por Joseph e Small. Neste capítulo definiremos a dimensão de Gelfand-Kirillov para módulos e apresentaremos os resultados básicos sobre módulos filtrados e graduados. 3.1 A dimensão de Gelfand-Kirillov de um módulo Seja A uma K-álgebra finitamente gerada com subespaço gerador de dimensão finita V que contém 1, e seja M um A-módulo à direita finitamente gerado com um espaço vetorial F de dimensão finita que gera M como A-módulo. Então M = F V n. n=0 20

28 Cap. 3 Módulos e Álgebras Filtrados e Graduados 21 Assim como no Lema é possível verificar que o crescimento G(d V,F ) da função d V,F (n) = dim K (F V n ) não depende das escolhas particulares para os espaços V e F ; portanto nos referimos ao crescimento G(M) do módulo M, e definimos GKdim(M) = lim log n d V,F (n). Mais geralmente, definimos Definição Seja A uma K-álgebra, e seja M um A-módulo à direita. A dimensão de Gelfand-Kirillov de M é dada por GKdim(M) = sup lim log n dim K (F V n ) V,F onde o supremo é tomado sobre todos os subespaços V de dimensão finita de A que contém 1 e todos os subespaços F de dimensão finita de M. Alternativamente, GKdim(M A ) = sup GKdim(N B ), B,N onde o supremo é tomado sobre todas as subálgebras B de A finitamente geradas e todos os B-submódulos à direita N de M finitamente gerados. Notemos que GKdim(0) = Segue da definição que GKdim(A), a dimensão de Gelfand-Kirillov de A como álgebra, e GKdim(A A ), a dimensão de A como A-módulo à direita, coincidem. Lema Se B é submódulo ou imagem homomorfa de um módulo A, então GKdim(B) GKdim(A). Demonstração: Para submódulos o resultado é imediato. Para um módulo quociente M de M consideramos subespaços V de A e F de M de dimensão finita. A partir dos elementos da base de F podemos obter, em M, um conjunto de representantes, os quais formam uma base de um subespaço F de M, de dimensão finita. Assim, temos que dim(f V n ) (dimf V n ), para todo n N. Então e portanto, lim log n dim(f V n ) lim log n dim(f V n )

29 Seção 3.1 A dimensão de Gelfand-Kirillov de um módulo 22 sup V,F lim log n dim(f V n ) sup lim log n dim(f V n ). V,F Proposição Seja A uma K-álgebra, e seja M um A-módulo à direita. Então (a) Se M = n i=1m i, então GKdim(M) = max i {GKdim(M i )}. (b) Se 0 K ψ M φ L 0 é uma sequência exata de A-módulos à direita, então GKdim(M) max{gkdim(k), GKdim(L)}. (c) Se MI = 0 para um ideal I de A, então GKdim(M A ) = GKdim(M A/I ). (d) GKdim(M A ) GKdim(A). (e) Se M é finitamente gerado e α End A (M) é injetor, então GKdim(M/α(M)) GKdim(M) 1. Demonstração: (a) Da definição da dimensão de Gelfand-Kirillov para módulos e do Lema 3.1.2, temos que γ := max{gkdim(m i )} GKdim( n i=1m i ), e a igualdade vale se GKdim(M i ) = para algum M i. Suponhamos que γ é finito e n = 2, sem perda de generalidade. Seja F W tal que F = F 1 F 2 é subespaço de M, onde F 1 e F 2 geram M 1 e M 2, respectivamente, e ambos são de dimensão finita, e W subespaço de A de dimensão finita que contém 1. Temos F = F 1 F 2 F V = (F 1 F 2 )V = F 1 V F 2 V.

30 Cap. 3 Módulos e Álgebras Filtrados e Graduados 23 Pelo Lema 1.2.1, temos d V,F1 (n) n γ+ ɛ 2 e d V,F2 (n) n γ+ ɛ 2 para quase todo n. Como n ɛ 2 > 2 para algum n suficientemente grande, temos d V,F (n) = d V,F1 (n) + d V,F2 (n) 2n γ+ ɛ 2 < n ɛ 2 n γ+ ɛ 2 = n γ+ɛ para quase todo n. Então lim log n d V,F γ pelo Lema 1.2.1, e portanto GKdim(M 1 M 2 ) = sup lim log n d W (n) γ. (b) Como K = ψ(k) (pois é injetora) e dim K (K) dim K (M), segue que GKdim(K) GKdim(M). Quanto à outra desigualdade, como φ é sobrejetora, sabemos que L = M/Kerφ. Logo, pelo 3.1.2, GKdim(L) GKdim(M). (c) Seja F subespaço de M, V subespaço gerador de A com unidade. Como MI = 0, M pode ser visto como um A/I-módulo tal que m.a := ma. Seja V o conjunto formado pelos elementos correspondentes de V em A/I. Então Consequentemente dim(f V n ) = dim(f V n ). Então lim log n dim(f V n ) = lim log n dim(f V n ). lim log n dim(f V n ) sup F,W lim log n dim(f W n ) sup F,V lim log n dim(f V n ) sup lim log n dim(f W n ), F,W onde o supremo é tomado sobre todos os subespaços geradores com unidade W de A/I. A desigualdade inversa é obtida de maneira análoga a partir da igualdade acima. (d) Seja F um subespaço de dimensão finita de M, e seja V um subespaço de dimensão finita de A que contém 1. Claramente, dim K (F V n ) dim K (F )dim K (V n ). Logo G(d F,V ) G(d V ). Portanto GKdim(M A ) GKdim(A).

31 Seção 3.1 A dimensão de Gelfand-Kirillov de um módulo 24 (e) Seja V um subespaço de dimensão finita de A, com unidade, e seja F um subespaço de dimensão finita de M = M/α(M) que gera M como A-módulo. Como α(m) também é finitamente gerado, existe um subespaço F de M de dimensão finita tal que F gera M como A-módulo e F é a imagem de F sob o homomorfismo canônico M M/α(M). Para cada inteiro n > 0, seja C n o espaço vetorial complementar a α(m) F V n em F V n ; logo C n = F V n. Como C n α(m) = 0, a soma C n + α(c n ) + α 2 (C n ) + + α j (C n ) de subespaços é direta para todo j. De fato, se a 0 x 0 + a 1 α(x 1 ) + + a j α j (x j ) = 0, onde x i C n e a i K, 0 i j, temos α(a 1 x a j α j 1 (x j )) = a 0 x 0. Como a 0 x 0 está em C n e em α(m), se a 0 0, segue que x 0 = 0. Como α é injetor, isto implica que a 1 x a j α j 1 (x j ) = 0. Aplicando este processo recursivamente, temos que a i α i (x i ) = 0 para todo i, provando que a soma é direta. Como α(f ) tem dimensão finita e F gera M como A-módulo, existe um subespaço de dimensão finita W V de A tal que α(f ) F W. Assim, n α j (C n ) n α j (F V n ) = n α j (F )V n n F W j W n F W 2n, j=0 j=0 j=0 j=0 e consequentemente dim K (F W 2n ) (n + 1)dim K (C n ) = (n + 1)dim K (F V n ) de onde segue o resultado. Em geral, a parte (e) do teorema acima não é válida se M não é um A-módulo à direita finitamente gerado. Se M = K[x] é considerado como um K-módulo à direita, então GKdim(M K ) = 0. Notemos que a multiplicação à direita por x induz um K-homomorfismo α de M. Então

32 Cap. 3 Módulos e Álgebras Filtrados e Graduados 25 GKdim(M/α(M)) = 0 = GKdim(M), uma vez que M/α(M) = K. Há situações onde a desigualdade em (b) pode ser uma igualdade, o que motiva a próxima definição. Definição Seja A uma K-álgebra. A dimensão de Gelfand-Kirillov é exata para A-módulos à direita se GKdim(M) = max{gkdim(l), GKdim(N)} para qualquer sequência exata curta 0 L M N 0 de A-módulos à direita. 3.2 Álgebras filtradas e graduadas Frequentemente, as álgebras são munidas de uma filtração natural, e informações podem ser obtidas ao passar para a álgebra graduada associada, e então trazendo os resultados de volta para a álgebra inicial. Isto é particularmente útil se a álgebra é filtrada por subespaços de dimensão finita tais que a álgebra graduada associada é comutativa - esse tipo de álgebra é chamado álgebra quase-comutativa. A dimensão de Gelfand-Kirillov é uma ferramenta efetiva no seu estudo, o qual será feito no capítulo seguinte. Apesar de graduações gerais já terem sido estudadas, nos preocuparemos com graduações cujas componentes estão indexadas por números naturais ou inteiros. Além disso, nos restringiremos às graduações por subespaços de dimensão finita, as chamadas graduações finitas. Definição Uma graduação A = {A i } i Z da K-álgebra A é uma sequência de K- subespaços A i de A tais que A = A i e A i A j A i+j para todo i, j Z. i Z Uma álgebra com uma graduação A é chamada A-graduada, ou simplesmente graduada; é finitamente graduada se cada uma das componentes A i é um K-espaço vetorial de dimensão finita. Os elementos de A n são ditos homogêneos de grau n. A componente A 0

33 Seção 3.2 Álgebras filtradas e graduadas 26 é uma subálgebra de A que contém 1 A e portanto contém o corpo base K. Se A é finitamente graduada, A 0 = K, e A i = 0 para todo i < 0, então A é chamado graduada conexa. Definição Seja A uma K-álgebra com graduação A = {A i } i Z. Um A-módulo à direita M é A-graduado, ou simplesmente graduado, se existem subespaços M i tais que M = M i e M i A j M i+j para todo i, j Z. i Z Se cada M i possui dimensão finita sobre K, então M é dito finitamente graduado. Os elementos de M n são chamados homogêneos de grau n. Seja A = i Z A i uma K-álgebra finitamente graduada, e seja M = i Z M i um A-módulo finitamente graduado. Defina n A(n) = A i, d A (n) = dim K A(n), e i= n n M(n) = M i, i= n d M (n) = dim K M(n). O lema seguinte mostra que G(d M ) fornece um limitante superior para o crescimento do módulo M e que a igualdade vale se A é uma álgebra finitamente gerada e M é um A-módulo finitamente gerado à direita. Lema Seja A uma K-álgebra finitamente graduada, e seja M um A-módulo finitamente graduado. Então (a) Se V é um subespaço de dimensão finita de A que contém 1 e E é um subespaço de dimensão finita de M, então G(d V,E ) G(d M ), e portanto GKdim(M) lim log n d M (n). (b) Se A é finitamente gerado como álgebra e M A é finitamente gerado, então G(M) = G(d M ) e portanto GKdim(M) = lim log n d M (n). Demonstração: (a) Como V e E possuem dimensão finita, existe um número natural p tal que V A(p) e E M(p). Portanto EV n EA(np) M(np + p) M(2pn)

34 Cap. 3 Módulos e Álgebras Filtrados e Graduados 27 para qualquer inteiro n 1. Consequentemente, d V,E (n) d M (2pn), e segue a afirmação. (b) Para p inteiro suficientemente grande, o espaço vetorial V = A(p) gera A e contém 1, e E = M(p) gera M como A-módulo. Queremos mostrar que M(n) EV n para todo n > 0, e é suficiente mostrar que M n + M n EV n. Demonstraremos que M n EV n ; um argumento simétrico nos dá que M n EV n. Como os subespaços EV m, m = 0, 1,, fornecem uma filtração exaustiva de M, M n EV r para algum inteiro positivo r. Cada elemento 0 x M n é, portanto, uma soma de elementos não nulos v 0 v 1 v s com elementos homogêneos v 0 E, v i V, 1 i s, onde s < r. Vamos assumir que cada monômio foi simplificado ao máximo, isto é, assumiremos que v 0 v 1 / E = M(p) e v i v i+1 / V = A(p) para i 1 ou, equivalentemente, que deg(v i v i+1 ) > p, para i 0. Como deg(v 0 v 1 v s ) = deg(v 0 ) + deg(v 1 ) + + deg(v s ) = n > 0, pelo menos um dos v i deve ter grau positivo. Suponhamos que deg(v i ) > 0, mas deg(v i+1 ) 0 para algum i. Então deg(v i v i+1 ) max{ deg(v i ), deg(v i+1 ) } p, uma contradição (para i=s, considerar v s 1 v s ). Portanto todo v i possui grau positivo, logo n s + 1 e consequentemente v 0 v 1 v s EV n, logo M n EV n. Definição Uma Z-filtração, ou simplesmente uma filtração de uma K-álgebra A é uma sequência de K-subespaços tal que A i 1 A i A i+1, i Z, 1 A 0, A i A j A i+j para todo i, j Z, e A = i Z A i.

35 Seção 3.2 Álgebras filtradas e graduadas 28 Uma filtração é chamada finita se cada A i tem dimensão finita sobre K, e é chamada discreta se A i = 0 para todo i < n 0 para algum inteiro n 0 0. O K-espaço vetorial gr(a) = i Z A i /A i 1, munido de uma multiplicação dada pela regra (x + A i 1 ) (y + A j 1 ) = xy + A i+j 1, onde x e y sao elementos homogêneos de gr(a), é chamado álgebra graduada associada. A operação se estende aos demais elementos de A por linearidade. Veremos abaixo que se a álgebra graduada associada de uma K-álgebra discretamente filtrada A é finitamente gerada, então A é finitamente gerado. Suponhamos que gr(a) é gerado por x 1,, x r. Podemos supor que cada um desses geradores é homogêneo, sem perda de generalidade. Desta forma, a cada x i podemos associar um x i A. Seja B A a subálgebra gerada por x 1,, x r. Vamos mostrar que A B. Por indução, mostraremos que cada A n B, n n 0. Decorre da hipótese de a filtração ser discreta que A n0 B, uma vez que a primeira parcela não nula de gr(a) = A i /A i 1 é justamente A n0. Suponhamos agora que A k B, para k n 0. Mostremos que A k+1 B. Seja y A k+1. Ele possui um elemento correspondente y A k+1 /A k. Como gr(a) é finitamente gerado, podemos escrever y = j α j x i1 x s, onde 1 i 1,, i s r. Isto significa que y j α jx i1 x is A k. Como, pela hipótese de indução, A k B e j α jx i1 x is B, segue que y B. Definição Seja A uma K-álgebra filtrada por subespaços A i, i Z, e seja M um A-módulo à direita. Uma filtração de M é uma sequência de subespaços tal que M i 1 M i M i+1, i Z,

36 Cap. 3 Módulos e Álgebras Filtrados e Graduados 29 M i A j M i+j para todo i, j Z, e M = i Z M i. Uma filtração é finita se cada um dos espaços vetoriais M i tem dimensão finita sobre K, e é discreta se M i = 0 para todo i < n 0 para algum inteiro n 0. O K-espaço vetorial gr(m) = i Z M i /M i 1, com a estrutura de gr(a)-módulo dada pela regra (m + M i 1 ) (a + A j 1 ) = ma + M i+j 1, onde m e a são elementos homogêneos de gr(m) e gr(a), respectivamente, é chamado módulo graduado associado. A operação se estende aos demais elementos de M por linearidade. De forma análoga à que vimos anteriormente, é possível mostrar que se o módulo graduado associado de um módulo discretamente filtrado é finitamente gerado, então o módulo original também é finitamente gerado. Seja A uma K-álgebra com filtração {A i } i Z, e seja M um A-módulo à direita com filtração {M i } i Z. Utilizando os homomorfismos canônicos gr i : M i M i /M i 1, defina gr(e) = i Z gr i (E M i ) para qualquer subespaço E de M. Se E é um submódulo de M, é fácil ver que gr(e) é um gr(a)-submódulo de gr(m) gr(a). A aplicação E gr(e) preserva a ordem entre os submódulos de M A e os submódulos de gr(m) gr(a). Se a filtração é discreta, então esta aplicação preserva inclusões estritas, como veremos a seguir. Sejam E e F submódulos de M A tais que E F e gr(e) = gr(f ). Vamos assumir que F \ E e tome i minimal com relação à propriedade de que existe um elemento f F M i, f / E - a existência deste i é garantida pelo fato de a filtração ser discreta. Como gr(e) = gr(f ), temos que gr i (f) = f + M i 1 = e + M i 1 = gr i (e)

37 Seção 3.2 Álgebras filtradas e graduadas 30 para algum e E. Portanto, f e M i 1. Como E F, segue que f e F. Pela minimalidade de i, segue que f e E, de onde decorre que f E, uma contradição. Deste fato segue o próximo resultado. Proposição Seja A uma K-álgebra filtrada, e seja M um A-módulo discretamente filtrado. Se gr(m) gr(a) é noetheriano, então M A é noetheriano. Lema Seja A uma K-álgebra com uma filtração {A i } i Z, e seja M um A-módulo à direita filtrado com filtração {M i } i Z. Então GKdim(gr(M) gr(a) ) GKdim(M A ). Demonstração: Seja W um subespaço de dimensão finita de gr(a) que contém 1, e seja F um subespaço de dimensão finita de gr(m). Então existe um subespaço V de A de dimensão finita que contém 1 e um subespaço de dimensão finita E de M tal que W gr(v ) e F gr(e). Então uma vez que F W n gr(e)gr(v ) n gr(e)gr(v n ) gr(ev n ) gr(ev n ) = (EV n M i ) + M i 1 (EV n M i ) = M i 1 (EV n M i 1 ), i Z i Z e como dim K (EV n ) <, segue que dim K (F W n ) dim K (EV n ) para todo inteiro n > 0. Pela definição da dimensão de Gelfand-Kirillov para módulos, segue o resultado. Temos interesse especial no caso em que a desigualdade acima é uma igualdade. Proposição Seja A uma K-álgebra com filtração finita {A n } i Z tal que gr(a) é finitamente gerado, e seja M um A-módulo à direita com filtração discreta finita M = {M n } i Z tal que gr(m) gr(a) é finitamente gerado. Se d M := dim K M n, para n N, então e portanto, em particular, G(gr(M)) = G(M) = G(d M ) = G(d gr(m) ), GKdim(gr(M) gr(a) ) = GKdim(M A ) = lim log n d M (n).

38 Cap. 3 Módulos e Álgebras Filtrados e Graduados 31 Demonstração: Por hipótese, existe um número natural q tal que M i = 0 para todo i < q. Logo gr(m)(n) = n i= n M i M i 1 = Mn como K-módulos, para todo n q, implicando que d M d gr(m), e consequentemente que Pelo Lema (b), temos que G(d M ) = G(d gr(m) ). G(gr(M)) = G(d gr(m) ). Segue das hipóteses que A é uma álgebra finitamente gerada e que M é um A-módulo finitamente gerado. Seja V um subespaço gerador de A, de dimensão finita e que contém 1, e seja E um subespaço de dimensão finita de M que gera M como A-módulo à direita. Existe um número natural p tal que V A p e E M p. Então de forma que EV n M p A n p M p A np M 2pn para todo n 1, Por fim, temos do lema anterior que d V,E (n) d M (2pn); portanto G(M) G(d M ). G(gr(M)) = G(M). O resultado acima é amplamente aplicável pois, como o lema seguinte mostra, qualquer módulo finitamente gerado sobre uma K-álgebra filtrada possui uma filtração tal que o módulo graduado associado é finitamente gerado. Lema Seja A uma K-álgebra com filtração {A i } i Z, e seja M um A-módulo finitamente gerado, M = EA, onde E é um subespaço de dimensão finita de M. Então gr(m) gr(a), o módulo graduado sob a filtração {EA i } i Z, é finitamente gerado.

39 Seção 3.2 Álgebras filtradas e graduadas 32 Demonstração: Seja x + EA i 1 EA i /EA i 1 um elemento homogêneo de gr(m). Se os elementos e 1,, e m constituem uma base para o espaço vetorial E EA 0, então x = n j=1 e ja ij com a ij A i. Portanto n x + EA i 1 = (e j + EA 1 )(a ij + A i 1 ), j=1 mostrando que os elementos e j + EA 1, 1 j r, geram gr(m) como gr(a)-módulo. Definição Seja A uma K-álgebra com uma filtração {A i } i Z e seja M um A-módulo finitamente gerado à direita, M = EA, para algum subespaço de dimensão finita E de M. A filtração {EA i } i Z é uma filtração standard de M. Pela Proposição 3.2.8, o comportamento do crescimento de duas filtrações discretas finitas com módulos graduados associados finitamente gerados é essencialmente o mesmo para qualquer A-módulo, onde A é uma K-álgebra finitamente filtrada e gr(a) é finitamente gerada. De fato, tais filtrações do A-módulo à direita M estão ainda mais relacionadas, e são equivalentes no seguinte sentido. Definição Sejam M = {M i } i Z e N = {N i } i Z duas filtrações do A-módulo à direita M, onde A é uma K-álgebra filtrada. Então M e N são equivalentes se há um número natural n tal que N i M i+n e M i N i+n para todo i Z. Proposição Seja A = {A i } i Z uma filtração discreta finita de uma K-álgebra A, e sejam M = {M i } i Z e N = {N i } i Z duas filtrações discretas finitas de um A-módulo à direita M. Se gr(m) gr(a) é finitamente gerado, então existe um número natural n tal que M i N i+n para todo i Z. Demonstração: Como vamos assumir que todas as filtrações são discretas, existe um número natural q tal que A s = 0, e N s = M s = 0, s < q. Como gr(m) gr(a) é finitamente gerado, existe um inteiro r q tal que

40 Cap. 3 Módulos e Álgebras Filtrados e Graduados 33 r gr M (M)(r) = M j M j= q j 1 é um subespaço gerador de dimensão finita. Como M r possui dimensão finita, existe um número natural n tal que M r N n q. Portanto, se q i r, então n q n + i e consequentemente M i M r N n q N i+n. Agora, seja i > r, e assuma que M j N j+n já foi estabelecido para j < i. Como gr M (M)(r) gera gr M (M) como gr(a)-módulo, segue que e portanto que M i M i+1 = r (M j /M j 1 )(A i j /A i j 1 ), j= q r r M i = (M j A i j ) + M i 1 (N j+n A i j ) + N i 1+n N i+n. j= q j= q E portanto o resultado segue por indução. Corolário Seja A uma K-álgebra discreta e finitamente filtrada, e seja M um A- módulo à direita. Então duas filtrações discretas finitas de M são equivalentes, sempre que seus módulos graduados associados sejam gr(a)-módulos à direita finitamente gerados. Em particular, segue do corolário acima e do Lema que qualquer filtração discreta e finita de um A-módulo finitamente gerado é equivalente à filtração standard. Lema Seja A = i=0a i uma K-álgebra graduada, gerada como álgebra por A 1, e seja M = i=0m i um A-módulo graduado à direita com um sistema de geradores homogêneos {m λ } λ Λ tal que deg(m λ ) n 0 para algum n 0 N. Então M n+j = M n A j para todo n n 0 e todo 0 j Z.

41 Seção 3.2 Álgebras filtradas e graduadas 34 Demonstração: Seja n n 0, e seja m M n+1. Então m = λ Λ 0 m λ a λ para um subconjunto finito Λ 0 de Λ, e podemos supor que os elementos a λ A são homogêneos de grau n + 1 deg(m λ ). Como a álgebra A é gerada por A 1, e como deg(a λ ) 0 para cada λ Λ 0, cada a λ é uma soma de termos da forma cb com b A 1 e um elemento c A que é homogêneo de grau n deg(m λ ). Logo m M n A 1, portanto M n+1 = M n A 1, e o resultado segue por indução. Como vimos no início deste capítulo, a dimensão de Gelfand-Kirillov nem sempre é exata. Como a exatidão é a chave no estudo de inúmeros resultados relacionados a estrutura de álgebras, o teorema seguinte é importante para o estudo de álgebras noetherianas. Teorema Seja A = {A i } i Z uma filtração discreta finita de uma K-álgebra A, tal que a álgebra graduada associada gr A (A) é finitamente gerada e noetheriana à direita. Então GKdim(M) = max{gkdim(n), GKdim(P )} para toda sequência exata 0 N M P 0 de A-módulos à direita finitamente gerados. Demonstração: Como M A é finitamente gerado, M = EA para um subespaço E de dimensão finita. Seja M = {EA i } i Z a filtração canônica resultante. Pelo Lema 3.2.9, o módulo graduado associado gr M (M) é finitamente gerado e, portanto, noetheriano, pois gr(a) é noetheriano à direita por hipótese. As filtrações induzidas levam à seqüência exata { } Mi + N N = {M i N} i Z e P = N i Z 0 gr N (N) gr M (M) gr P (P ) 0 de gr(a)-módulos graduados à direita. Como gr M (M) é noetheriano, gr N (N) e gr P (P ) são finitamente gerados. Note que todas as filtrações são finitas e que d M (n) = dim K (M n ) = dim K (M n N) + dim K ((M n + N)/N) = d N (n) + d P (n)

42 Cap. 3 Módulos e Álgebras Filtrados e Graduados 35 para qualquer número natural n. Segue do Lema e da Proposição que Pela Proposição 3.2.8, temos lim log n d M (n) = max{lim log n d N (n), lim log n d P (n)} GKdim(M A ) = GKdim(gr M (M) gr(a) ) = lim log n d M (n) = max{lim log n d N (n), lim log n d P (n)} = max{gkdim(gr N (N) gr(a) ), GKdim(gr P (P ) gr(a) )} = max{gkdim(n A ), GKdim(P A )}.

43 CAPÍTULO 4 ÁLGEBRAS QUASE-COMUTATIVAS 4.1 Álgebras quase-comutativas Definição Uma K-álgebra é quase-comutativa se existe uma filtração tal que A 0 A 1 A i = A i=0 (a) A 0 = K. (b) A 1 tem dimensão finita e A i = A i 1 para todo i 1. (c) A álgebra graduada associada é comutativa. gr(a) = 36 A i A i=0 i 1

44 Cap. 4 Álgebras quase-comutativas 37 Pelo Teorema , o resultado seguinte mostra que a dimensão de Gelfand-Kirillov é exata para módulos finitamente gerados sobre uma álgebra quase-comutativa. Teorema Seja A uma K-álgebra quase-comutativa com respeito à filtração A = {A i } i=0. Então (a) gr A (A) é uma álgebra comutativa noetheriana finitamente gerada. (b) A e noetheriano à esquerda e à direita. Demonstração: (b) decorre de (a) pela Proposição Como uma álgebra, gr(a) é gerada por A 1 /A 0, e cada A i /A i 1 é gerado pelas palavras de comprimento i compostas por finitos elementos da base o espaço vetorial A 1 /A 0. Então existe um homomorfismo de K-álgebras graduadas da álgebra simétrica S = S(A 1 /A 0 ) sobre gr(a). S é noetheriano pelo Teorema da Base de Hilbert, logo gr(a) é noetheriano. Exemplo Seja A n = A n (K) a n-ésima álgebra de Weyl com geradores x 1,, x n, 1,, n. Um elemento a A n pode ser escrito unicamente como uma combinação linear finita de monômios x i 1 1 x in n j 1 1 jn n, onde os expoentes são inteiros não-negativos. O grau de tal monômio é a soma de seus expoentes, e o grau deg(a) do elemento a é o maior valor que ocorre como um dos graus dos monômios que compõem a. Isto nos dá uma filtração natural de A n por subespaços de dimensão finita M 0 = K, M i = {a A n, deg(a) i}. Esta filtração é chamada filtração de Bernstein de A n. Teorema A álgebra graduada gr(a n ) segundo a filtração de Bernstein é isomorfa ao anel de polinômios sobre K em 2n variáveis.