AVALIAÇÃO DE PROJETOS USANDO JOGOS EVOLUCIONÁRIOS E OPÇÕES REAIS

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1 AVALIAÇÃO DE PROJETOS USANDO JOGOS EVOLUCIONÁRIOS E OPÇÕES REAIS Aluna: Tatiana Kebudi Orlando Orientador: André Barreira da Silva Rocha Introdução A teoria dos jogos evolucionários e as opções reais estão constantemente presentes no ramo industrial, assim como nos de pesquisa. O primeiro tema engloba diversas aplicações que se enquadram da biologia às competições entre grandes empresas. A teoria de opções, a qual inclui tanto as opções reais como as financeiras, têm sido utilizadas com uma alta frequência em decisões empresariais, porém com um maior enfoque nas do último tipo. Ambos os assuntos são complementares e buscam uma análise intrínseca das melhores tomadas de decisões, levando a um estudo conclusivo sobre os envolvidos. Na teoria dos jogos, utiliza-se como players os indivíduos que estarão participando do jogo com uma ou duas populações. Além disso, cada jogador pode possuir mais de duas estratégias, mas o enfoque da pesquisa refina-se a presença de duas populações well-mixed, cada uma delas dotada de duas estratégias. Resultados podem ser antecipados com a aplicação desse método. Um exemplo é o comportamento de espécies. É possível verificar a partir da tomada de ações de cada indivíduo ao longo do tempo a convergência para apenas uma estratégia das duas populações. Dessa forma, extinção de espécies podem ser previstas levando a melhores intervenções. As opções reais ajudam empresas e indivíduos a decidirem a realizar um investimento ou não tendo incertezas sobre o futuro do mercado. Para isso, tem-se o uso de ferramentas tais como: valor presente líquido, custos de oportunidade, valor crítico, variância, desvio padrão, valor esperado, entre outros para construção de um portfólio que obtenha um retorno esperado vantajoso apesar dos riscos impostos. Os processos estocásticos também fazem parte desse conjunto financeiro estudado, tendo como enfoque o Lema de Itô e seus processos relacionados: o movimento browniano aritmético, movimento browniano geométrico e movimento browniano generalizado. A Teoria dos Jogos Evolucionários Foi realizada a revisão da literatura, na primeira etapa apenas sobre teoria dos jogos e em seguida com seu aprofundamento ao incluir a evolução ao longo do tempo. Artigos científicos internacionais, tais como [1], [2], [3], [4], [5], [7] e [8] fizeram parte do estudo para a criação de uma consistente base do assunto. Na conjuntura de diversas aplicações dessa teoria, a relação entre agências de crédito e emissores de dívidas foi o principal tema da pesquisa. Foi desenvolvida uma discussão entre a credibilidade dessas agências e de seus emissores de dívidas, na época da crise americana, mais tardar mundial, a partir do comportamento de cada população. Com base nessa discussão, modelou-se o problema de estudo usando um jogo evolucionário entre duas populações, cada uma dotada de duas estratégias, que interagem entre si: uma população de agências emissoras de nota de crédito e outra de empresas corporativas

2 que precisam emitir dívidas (bonds) de modo a captar recursos no mercado para financiar novos projetos. Os emissores de dívida possuem a opção de serem altamente transparentes, o que é fruto de uma boa governança coorporativa, ou serem pouco transparentes e possuírem um baixo nível de disclosure (informações divulgadas da empresa para o mercado), contando assim com o erro do agente ao avaliar a dívida a ser emitida. Dessa forma, os três parâmetros que influenciam a decisão são: a proporção de emissores que são grau de investimento, a probabilidade de o agente corretamente avaliar o emissor e o valor de retorno. A matriz resultante de retorno para os emissores de dívida segue, já normalizada: Sofisticado Básico Baixa Transparência ʎ(π b π a ) 0 Alta Transparência 0 [(2ʎ 1)(p a π a p b π b ) + (1 ʎ)(π a π b )] Sofisticado Básico Baixa Transparência a 1 0 Alta Transparência 0 a 2 Onde a 1 = ʎ(π b π a ) e a 2 =[(2ʎ 1)(p a π a p b π b ) + (1 ʎ)(π a π b )]. Já as agências de crédito, avaliam a concessão de crédito de modo sofisticado ou básico, levando em consideração a probabilidade de o agente corretamente avaliar o emissor, o valor de retorno, o custo de reputação ao avaliar incorretamente, custo de análise e a taxa de avaliação, também já normalizada: Sofisticado Básico Baixa Transparência (1 p b )[θ(2ʎ 1) + ρ] c b 0 Alta Transparência 0 (1 p a )[θ(1 2ʎ) ρ] + c a Sofisticado Básico Baixa Transparência b 1 0 Alta Transparência 0 b 2 Onde b 1 = (1 p b )[θ(2ʎ 1) + ρ] c b e b 2 = (1 p a )[θ(1 2ʎ) ρ] + c a. Com os retornos esperados de cada população, é desenvolvido o replicador dinâmico para modelar o processo de seleção natural. Supondo x a proporção de emissores de dívidas com práticas pouco transparentes e y a proporção de agentes que usam métodos sofisticados de avaliação, a evolução ao longo do tempo das proporções nas distintas populações é: x = x(1 x)[ a 1 y a 2 (1 y)] y = y(1 y)[ b 1 x b 2 (1 x)] Através da metodologia de [1] e [2], foi possível detectar no mínimo quatro pontos estacionários, isto é, os cantos do espaço composto por um quadrado de tamanho 1x1. Além desses pontos, existe, em alguns casos, um outro localizado no interior desse espaço geométrico (diagrama de fases), calculado através de estratégias mistas (equilíbrio de Nash). Dentre os pontos estacionários, três são assintoticamente estáveis, havendo possibilidade para ocorrência

3 de dois destes pontos simultâneamente. Foram encontrados oito equilíbrios evolucionários e seis destes foram numericamente simulados por dois grupos de parâmetros, considerando a proporção de emissores que são grau de investimento como uma variável e os demais como parâmetros. Figura 1: Usando os seguintes parâmetros: π b = 5.0, π a = 5.5, p l = 0.25, p a = 0.75, ρ = 2.75, θ = 5.0, c b = 1.5, c a = 0.6 Como pode-se observar, nesse primeiro grupo foram encontrados os equilíbrios (1,0) / (Baixa Transparência, Básico), onde, a 1,2 < 0, b 1 < 0 e b 2 > 0, o ciclo, com a 1,2 < 0 e b 1,2 > 0, (0,0) / (Alta Transparência, Básico), com a 1 < 0, a 2 > 0, b 1,2 > 0 e (0,1) / (Alta Transparência, Sofisticado), onde a 1 < 0, a 2 > 0, b 1 > 0 e b 2 < 0, ao decorrer do aumento da proporção de emissores que são grau de investimento. Figura 2: Usando os seguintes parâmetros: π b = 4.75, π a = 5.5, p l = 0.1, p a = 0.55, ρ = 2.75, θ = 5.0,, c b = 1.5, c a = 0.6 Já no segundo grupo de parâmetros, seguindo o mesmo raciocínio, foram encontrados os pontos: (1,0) / (Baixa Transparência, Básico) (já encontrado), ponto de sela, onde a 1,2 < 0 e b 1,2 < 0 e (0,1) / (Alta Transparência, Sofisticado), com a 1,2 < 0, b 1 > 0 e b 2 < 0. Após esse processo, foi desenvolvido um algoritmo em linguagem C seguindo a metodologia do modelo ABS (Agent Based Simulation) com duas populações para um estudo da simulação computacional estocástica com base em replicação por imitação. Cada população é alocada aleatoriamente com suas estratégias proporcionais as condições iniciais préestabelecidas. A cada instante de tempo dois jogadores se enfrentam e simultaneamente outros dois também e assim sucessivamente, tomando uma decisão a cada final de jogo: manter sua estratégia ou mudá-la. Quando todos os agentes, em média, têm a oportunidade de atualizar suas estratégias, completa-se um Passo de Monte Carlo (MSC). O programa foi criado no

4 Microsoft Visual Studio 2010 e cada simulação foi repetida 100 vezes com suficientes passos de Monte Carlo para assegurar que a convergência foi atingida. Foram feitas diversas simulações numéricas e realizadas comparações entre o método analítico e o computacional. Três simulações foram destaque no estudo: o ponto de sela, o ponto (0,0) e o ciclo. O primeiro caso foi rodado com uma condição inicial que se encontra na separatriz do diagrama de fases. O ABS confirmou tal situação ao, após 100 repetições, 54 convergirem para Baixa Transparência/Básico e o restante para Alta Transparência/Sofisticado. A figura a seguir mostra, respectivamente, os equilíbrios: Figura 3: Evolução no Tempo de emissores de dívida (violeta) e agentes de CRA (vermelho) por método analítico (linha contínua) e ABS (tracejado), usando os seguintes parâmetros: π b = 4.75, π a = 5.5, p l = 0.1, p a = 0.55, ρ = 2.75, θ = 5.0,, c b = 1.5, c a = 0.6 Como é possível observar, a disparidade entre os dois métodos não foi de grande expressão, o comportamento das proporções de cada uma respeita uma boa compatibilidade. Isso pode ser confirmado ao utilizar Runge-Kutta e compararmos os pontos de mínimo. Primeiro caso: emissores de dívida Ponto de Mínimo Tempo Analítico ABS Tabela 1: Mínima proporção de emissores de dívida sendo pouco transparentes ao longo do tempo Segundo caso: agentes de CRA Ponto de Mínimo Tempo Analítico ABS Tabela 2: Mínima proporção de agentes avaliando de forma sofisticada ao longo do tempo Além disso, a matriz a seguir, confirma a presença de dois equilíbrios de Nash; que são os pares de estratégias: (AT, SO) ^ (BT, BA). Sofisticado Básico Baixa Transparência , , 0 Alta Transparência 0, , 0.075

5 O segundo caso é a convergência para emissores com boa governança coorporativa e agentes impondo um maior rigor sob as avaliações. Figura 4: Evolução no Tempo de emissores de dívida (violeta) e agentes de CRA (vermelho) por método analítico (linha contínua) e ABS (tracejado) usando os seguintes parâmetros: π b = 5.0, π a = 5.5, p l = 0.25, p a = 0.75, ρ = 2.75, θ = 5.0, c b = 1.5, c a = 0.6 Aqui, as condições iniciais independem em relação ao equilíbrio, isto é, independente das condições iniciais, a convergência se mantêm inalterada. Além disso, é possível notar que esse foi o equilíbrio de melhor compatibilidade entre os dois métodos. Esse fato é ratificado pelas análises feitas por Runge-Kutta: Em relação aos agentes de CRA Ponto de Máximo Tempo Analítico ABS Tabela 3: Máxima proporção de agentes de CRA avaliando de forma sofisticada ao longo do tempo A matriz a seguir mostra a presença de apenas um equilíbrio de Nash, que é perfil de estratégia (AT, BA). Sofisticado Básico Baixa Transparência , Alta Transparência , O terceiro e último caso é o mais peculiar em relação a simultaneidade dos dois modelos. Foi rodado até o passo de Monte Carlo t= para a confirmação que o ciclo continua em vigência, apesar de não acompanhar de uma forma tão precisa como nas outras simulações.

6 Dessa forma, foram retirados três momentos do ciclo para mostrar que modelo ABS não se estabiliza, e sim continua com a alternância de proporções: Figura 5: Evolução no Tempo de emissores de dívida (violeta) e agentes de CRA (vermelho) por método analítico (linha contínua) e ABS (tracejado) usando os seguintes parâmetros: π b = 5.0, π a = 5.5, p l = 0.25, p a = 0.75, ρ = 2.75, θ = 5.0, c b = 1.5, c a = 0.6 Primeiro ciclo Ponto de Mínimo (emissores) Ponto de mínimo (agentes) Analítico ABS Tabela 4: Mínima proporção de emissores de dívida sendo pouco transparentes e agentes de CRA utilizando a estratégia sofisticada ao longo do tempo Primeiro ciclo Ponto de máximo (emissores) Ponto de máximo (agentes) Analítico ABS Tabela 5: Máxima proporção de emissores utilizando baixa transparência e agentes utilizando a estratégia sofistica ao longo do tempo Cada ciclo no modelo analítico ocorre a cada 137 passos de Monte Carlo, enquanto no ABS, a cada 124. A redução das oscilações é explicada devido ao regime transiente, o que torna os resultados instáveis. A matriz a seguir mostra que não há um equilíbrio de Nash em estratégias puras: Sofisticado Básico Baixa Transparência , , 0 Alta Transparência 0, , Esses três casos foram escolhidos devido as suas significantes mudanças de proporção ao longo do tempo para que se ratificasse a precisão e veracidade do algoritmo criado. Opções Reais As principais teorias sobre as opções reais foram estudadas e consequentemente aprofundadas. Os investimentos sob incertezas levaram a diversos métodos para aumentar o retorno do portfólio construído; foram levados em consideração os diversos meios de adquirir o cálculo do portfólio: incentivo/aversão ao risco, o retorno esperado, a robustez da aplicação, dentre outros.

7 As opções de investimentos foram avaliadas a partir do gráfico em ([6]) obtido através do valor da opção, a aplicação inicial, o tempo decorrido e o valor do portfólio, fundamentado em uma variável que se baseia no número de widgets tornando o investimento livre de riscos. As regras para um ótimo investimento variam em relação ao investimento inicial, para a tomada de diferentes decisões. Estas se diferem, em um exemplo de três períodos: nunca realizar o investimento, zerando o valor da opção, investir no segundo período apenas se o preço da ação aumentou no primeiro e segundo período, investir no período um se o preço subir ou nunca investir se o mesmo for menor, se o preço abaixar no período um, então posterga-se o investimento para o segundo, no caso da valorização da carteira ou exercitar desde o período zero. Ademais, o modelo de Black-Scholes foi estudado baseado no Movimento Browniano Geométrico. O modelo foi provado passo a passo na intenção de atingir a equação do calor, uma descoberta desenvolvida por Fischer Black e Myron Scholes, que recebeu o prêmio Nóbel em ciências econômicas. Conclusões O estudo teórico resultou em diversos aprofundamentos em assuntos constantemente discutidos nos dias de hoje e no aperfeiçoamento nas técnicas de programação, o que é de extrema importância na atualidade. A teoria dos jogos evolucionários e as opções reais guiam um detalhamento de situações aplicáveis tanto na prática quanto na teoria possuindo um abrangente leque de possibilidades para futuras pesquisas. Um ramo da teoria dos jogos que se aplicaria a continuidade nas pesquisas seria a estrutura espacial de um jogo. É uma nova aplicabilidade do estudo e de grande potencial para o desenvolvimento de novas técnicas de programação e matemática.

8 Referências Bibliográficas [1] HIRTH, S. Credit Rating Dynamics and Competition. Journal of Banking and Finance, 2014, vol. 49, issue C, páginas Disponível em: [2] XIAO, T., YU, G. Supply Chain disruption management and evolutionary stable strategies of retailers in the quantity-setting duopoly situation with homogeneous goods. European Journal of Operational Research 173 (2006) Disponível em: < [3] ANASTASOPOULOS, N., ANASTASOPOULOS, M. The evolutionary dynamics of audit. European Journal of Operational Research 216 (2012) Disponível em: < [4] CRESSMAN, R., MORRISON, W., WEN, J. On the evolutionary dynamics of crime. Canadian Journal of Economics, Vol 31, nº 5. Novembro de [5] HAUERT, C., Effects of Space in 2 X 2 Games. International Journal of Bifurcation and Chaos, Vol 12, nº 7 (2002) [6] DIXIT, A. K., PINDYCK, R. S. Investment Under Uncertainty. 1 Ed. Princeton. Princeton, New Jersey. [7] BARREIRA DA SILVA ROCHA, A. Evolutionary dynamics of nationalism and migration. Physica A 392 (2013) Disponível em: < [8] SCHIMIT, P.H.T., MONTEIRO, L.H.A., OMAR, N. Cash transfer program and education investment: A model for social evolution. Commun Nonlinear Sci Numer Simmulat 19 (2014) Disponível em: <