JOGOS DIGITAIS E FATORAÇÃO DE EXPRESSÕES ALGÉBRICAS NO ENSINO FUNDAMENTAL

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1 Resumo: JOGOS DIGITAIS E FATORAÇÃO DE EXPRESSÕES ALGÉBRICAS NO ENSINO FUNDAMENTAL Valdinei Cezar Cardoso Universidade Estadual de Maringá v13dinei@gmail.com Edilson Soares Miranda Universidade Estadual de Maringá esmiranda@uem.br Lilian Akemi Kato Universidade Estadual de Maringá lakato@uem.br Este trabalho é o resultado de uma pesquisa realizada com alunos do oitavo ano do Ensino Fundamental, em uma escola particular da cidade de Maringá-PR. Nosso objetivo foi investigar algumas potencialidades dos jogos digitais para a aprendizagem da fatoração neste nível de ensino. A coleta de dados foi feita durante a interação dos sujeitos com jogos digitais gratuitos e disponíveis na internet. O marco teórico, utilizado para a análise dos dados coletados, foi a Teoria dos Campos Conceituais de Gérard Vergnaud. Os resultados do estudo mostraram que os alunos que utilizaram os jogos digitais: tiveram um rendimento satisfatório em atividades envolvendo fatoração de expressões algébricas e se mostraram motivados para estudar este conteúdo diante dos atrativos oportunizados pelos jogos digitais. Palavras-chave: Teoria dos Campos Conceituais. Linguagem algébrica. Ensino de álgebra. Introdução As discussões relacionadas ao ensino e a aprendizagem de Álgebra vem ganhando espaço na educação básica, onde é cada vez maior a preocupação com o aprendizado conceitual e a generalização de ideias, em detrimento do aprendizado mecânico e descontextualizado (MIGUEL, FIORENTINI e MIORIM, 1992). Alguns trabalhos (LINS, GIMENEZ, 1997; SILVA, SAVIOLI, 2012) concordam que, muitas vezes, as dificuldades no aprendizado da Álgebra são o resultado de uma aprendizagem deficiente da aritmética. Por isso, acreditamos que uma metodologia que privilegie a participação ativa do aluno na resolução de problemas, que envolvem conceitos algébricos, pode contribuir para a aprendizagem conceitual dos estudantes desta área do conhecimento.

2 Diante disso, neste trabalho apresentamos algumas das contribuições e potencialidades, da utilização de jogos digitais nas aulas de Matemática do Ensino Fundamental, com o objetivo de apontar estratégias que favoreçam a melhoria das condições de ensino e de aprendizagem da fatoração de expressões algébricas. Para isso, escolhemos alguns jogos digitais disponíveis no site do Instituto Freudenthal, que contêm situações nas quais a utilização da fatoração de expressões algébricas é necessária. Nosso referencial teórico norteador, para a análise dos conhecimentos envolvidos na formação do campo conceitual da fatoração, é a Teoria dos Campos Conceituais de Vergnaud (1990), que tem como pilares os esquemas, os invariantes e as situações. A coleta de dados ocorreu em três momentos - aplicamos um questionário inicial para entender a relação de cada um dos participantes com o computador e seus conhecimentos preliminares sobre operações com expressões algébricas, no segundo momento após a mediação didática realizada com o auxílio dos jogos digitais, aplicamos um novo questionário composto por situações-problemas relacionadas ao conceito de fatoração de expressões algébricas. Após oito meses, reaplicamos o questionário para analisar a sedimentação dos conceitos de fatoração. Referencial teórico A Teoria dos Campos Conceituais (TCC) começou a ser construída no início da década de 1980 do século passado. Seu criador, Gérard Vergnaud, criou uma teoria que se apoia nos ideais construtivistas de Lev Vygotsky e Jean Piaget, sendo que do primeiro, utiliza a ideia de que a interação social do aprendiz com o meio é fundamental para a construção do conhecimento, do segundo, busca a compreensão da atividade cognitiva do estudante, analisando-se como o indivíduo aprende por meio da reflexão como base para a construção de novos conhecimentos (VAN DE WALLE, 2009). A TCC visa fornecer mecanismos para a construção de um quadro coerente de estudos sobre o desenvolvimento e a aprendizagem de competências complexas, entretanto o desenvolvimento e a aprendizagem de conceitos não são os mesmos de um campo conceitual para outro. Para Vergnaud (1990), a aquisição do sentido ou dos significados de um conceito é obtida a partir do contato dos estudantes com diferentes situações que envolvem um mesmo conceito, é o que Vergnaud denomina processo de elaboração pragmático (GRENIER, 2007, p.1). Um dos pilares da TCC é a noção de esquema, que é a organização invariante que conduz um indivíduo dentro de uma classe de situações. O esquema engloba desde

3 a organização de gestos, linguagem e operações cognitivas chegando até as interações sociais e é fundamental na TCC, justamente pela importância atribuída à interação social, à linguagem e à simbolização no progressivo domínio de um campo conceitual. Nessa teoria, a tarefa mais difícil, para o professor, é a de prover oportunidades aos alunos, para que estes desenvolvam seus esquemas na zona de desenvolvimento proximal. Segundo Vergnaud, o conhecimento é organizado pelo sujeito ao longo do tempo, de acordo com as situações com as quais o sujeito é exposto e por meio das experiências que ele adquire. Tais informações são organizadas em campos conceituais (MOREIRA, 2002). O domínio de um campo conceitual não ocorre em um curto período de tempo, são necessários anos para os esquemas relativos a um determinado campo conceitual se conectem, levando o sujeito à compreensão completa de um determinado conceito. Por isso, nessa teoria, os conhecimentos prévios são fundamentais, pois é por meio deles que a aprendizagem de novos conceitos ocorre. Para que esta aprendizagem ocorra é fundamental a existência de momentos de mudança conceitual, e é visando atingir estas mudanças conceituais que o professor deve propor situações nas quais o estudante utilize conhecimentos prévios e necessite de novas conexões entre seus esquemas. A TCC é uma teoria complexa, pois apreende, em uma única perspectiva teórica, todo o desenvolvimento de situações progressivamente dominadas, os conceitos e teoremas necessários para operar eficientemente nessas situações, as palavras e símbolos que podem representar eficazmente esses conceitos e operações para os estudantes, dependendo de seus níveis cognitivos. Para Vergnaud, na aquisição de conhecimentos, um conceito é construído, por um indivíduo por meio das novas situações em que é submetido, pelos questionamentos ou pela utilização destes conceitos em diferentes situações. Como a escola é um dos principais locais para a construção de esquemas cognitivos, na próxima seção, será apresentada a análise de uma situação envolvendo o ensino e a aprendizagem de álgebra. Desenvolvimento Esta pesquisa foi desenvolvida em três etapas, que correspondem em termos cronológicos a um período de oito meses. Participaram dessa pesquisa alunos do oitavo ano de uma instituição de ensino particular de Maringá.

4 Na primeira etapa, cada aluno passou por uma avaliação prévia que foi utilizada para o diagnóstico preliminar a respeito dos possíveis esquemas utilizados pelos alunos na resolução de problemas que envolvem a linguagem algébrica, embora o fato de o aluno acertar uma questão não significa que ele tenha domínio deste conceito, mas principalmente objetivou-se neste contexto identificar algumas das principais dificuldades apresentadas na resolução de exercícios de fatoração. Após esta coleta, um grupo de 9 alunos estudou várias situações-problemas que envolvem o conceito de fatoração de expressões algébricas, tendo como material didático livros de Matemática e jogos digitais disponíveis na internet. Essa intervenção durou dez aulas de 50 min cada uma, em um período de duas semanas. A segunda etapa, ocorreu após esta primeira intervenção e todos os alunos realizaram novamente vários exercícios de fatoração, com o objetivo de identificar os esquemas, elaborados por eles próprios, para resolver os exercícios. A terceira etapa, ocorreu oito meses após a segunda e teve o objetivo de avaliar se aqueles conhecimentos apresentados na segunda etapa, se tornaram estáveis. Também selecionamos alguns alunos do grupo pesquisado para participarem de uma entrevista, a fim de obter maiores esclarecimentos acerca dos raciocínios, por eles utilizados, durante a resolução de alguns problemas, que envolviam o conhecimento de teoremas em ação específicos sobre fatoração de expressões algébricas. Para isso, pedimos a estes alunos que narrassem os procedimentos e os raciocínios utilizados por eles, durante a resolução destas situações-problemas. Estas entrevistas foram gravadas em áudio e os questionários preenchidos foram recolhidos para estudos posteriores. A escolha da turma do oitavo ano para a realização deste trabalho se deu porque nesta etapa da escolarização, os estudantes começam a substituir as operações aritméticas pelas algébricas, o que aumenta o grau de abstração necessário para a aprendizagem de matemática. Em relação aos jogos escolhidos, selecionamos os jogos do Instituto Freudental pela tradição deste instituto em pesquisas na área de Educação Matemática e pela sua credibilidade junto ao meio científico para a confecção de jogos que utilizam de forma inovadora conceitos essenciais de diversos campos da matemática. A escolha da escola ocorreu porque um dos pesquisadores envolvidos nesta pesquisa já trabalhava neste

5 local, o que facilitou a coleta dos dados e o contato com os alunos, pais e coordenação pedagógica da escola. Os dados resultantes desses conjuntos de questões e as respostas dos alunos aos itens dos quatro questionários aplicados, foram submetidos a uma análise qualitativa com o objetivo de inferir a eventual construção de invariantes operatórios que poderiam surgir nesse processo, evidenciando possíveis dificuldades dos alunos em relação à aprendizagem do conteúdo estudado. Considerando o trabalho de Vergnaud (1990), no qual são propostos teoremas em ação para a aritmética, selecionamos alguns procedimentos que propomos como teoremas em ação, dentro do estudo da linguagem algébrica. Utilizaremos as seguintes siglas: Somar monômios (SM); Multiplicar monômios (PM); Multiplicar um escalar por uma expressão algébrica (PEEA); Encontrar o valor de uma incógnita em uma equação (IE); Fatorar uma expressão algébrica (FEA). Após escolhidos esses teoremas em ação, fizemos um levantamento das situações pelas quais os alunos seriam submetidos durante a resolução das situaçõesproblemas propostas. Para cada situação, detalhamos o que os alunos fariam durante a utilização dos jogos digitais. Com este levantamento organizamos as situações indicadas a seguir: Quadro 01: Distribuição das ações dos estudantes Ações dos sujeitos durante a interação com os jogos A: Digitar pedaços de uma fórmula no Area Algebra". B: Digitar os fatores para o Area Algebra testar o resultado. C: Separar as partes de uma figura no Geometry Algebra 2D. D: Digitar o resultado da multiplicação e pedir para o Area Algebra testar. E: Digitar um valor para a incógnita no Variable Solving. F: Agrupar figuras geométricas na tela do Geometry Algebra 2D. G: Construir uma figura e partir de seus lados no Geometry Algebra 2D. As questões utilizadas no pré-teste foram: 01. Encontrar dois números, cuja soma é 78 e cujo produto é Esta situação-problema exigiu que o estudante executasse a fatoração de dois números, e, no primeiro deles, o 78, o aluno tinha que separar este número em duas parcelas que adicionadas resultavam em 78. Logo após esta separação, os alunos fizeram o teste para verificar se o produto dessas duas parcelas resultava em 1.296, em

6 caso negativo os estudantes precisavam voltar ao primeiro passo e executar novamente o procedimento. Assim, esta situação visava investigar a construção da estrutura aditiva parte-todo pelos estudantes. A segunda situação-problema utilizada no pré-teste, tinha como objetivo investigar os procedimentos dos estudantes durante o cálculo de áreas de figuras planas, cujos lados são representados por medidas algébricas: 02. Um retângulo tem um de seus lados medindo 2x + 7z e o outro 4x + 10z. Desenhe este retângulo e calcule sua área e seu perímetro. Esta situação visou investigar a construção, por parte dos estudantes, da estrutura aditiva de relação parte-todo e a estrutura multiplicativa de proporcionalidade simples. A terceira situação-problema proposta no pré-teste foi a situação-problema 03, que objetivou investigar a formação da estrutura aditiva da composição de relações. 03. Um copo cheio de água tem massa de 325 g. Se jogarmos metade da água fora, sua massa cai para 180 g. A massa do copo vazio é? (A) 20 g (B) 25 g (C) 35 g (D) 40 g E) 45 g A quarta situação-problema teve como objetivo a investigação das estruturas aditivas de relação parte-todo e das multiplicativas de proporcionalidade simples e de proporcionalidade composta. 04. Seu José tem um terreno que tem as dimensões indicadas abaixo. Calcule quantos metros de muro o Seu José precisa construir no terreno, considerando que o portão tem largura y. Calcule também qual a área desse terreno. Figura 01: Dimensões do terreno do Seu José. A quinta situação-problema pretendeu também investigar a estrutura aditiva de relação parte-todo. 05. Lucas tem 3x+4y reais e Joca tem 2x- 3y reais. Os dois amigos decidiram comprar uma bicicleta em sociedade. Escreva a expressão algébrica que representa o valor pago pela bicicleta.

7 Na quinta situação-problema, pretendíamos investigar a estrutura multiplicativa da proporcionalidade simples e para isso os estudantes necessitaram mobilizar as ações previstas no item D do Quadro 01. Logo após a aplicação deste pré-teste inicial, os alunos participaram de uma sequência de dez aulas de 50 min cada uma, nas quais conheceram e interajiram com os seguintes jogos digitais: Variable Solving, Factor Tree, Area Algebra, Geometry Algebra 2d. O jogo Variable Solving é encontrado na página do Vectorkids ( Neste jogo, o jogador deve descobrir e digitar o valor da incógnita x, cada acerto vale 3 pontos. O jogador que conseguia o maior número de acertos dentro de 60 segundos vencia o jogo. Isso gerou uma competitividade muito grande entre os alunos. No início, eles tinham como objetivo colocar seus nomes na lista mundial do jogo, que está disponível on-line. Após alguns minutos de jogo, os alunos começaram a desanimar, pois as pontuações que eles obtinham não lhes possibilitariam o registro de seus nomes na lista mundial. Passado algum tempo, os alunos aperfeiçoaram sua forma de jogar, e ao final da primeira aula (apenas 50 min), vários alunos já tinham conseguido colocar seu nome na lista mundial, que mostrava os jogadores que fizeram acima de 31 acertos em 60 segundos, o que equivale a 93 pontos. Foi muito grande a empolgação dos alunos, com o jogo. Eles competiam entre si, para ver quem conseguia colocar o nome na primeira posição da lista mundial e, após 70 minutos de jogo, nenhum aluno demonstrou cansaço, nem quis mudar de jogo. Nessa parte da aula, os alunos observados já ocupavam cinco posições entre as dez primeiras posições da listagem mundial, isso foi motivo de muito orgulho para a turma. Após essa aula, os alunos pediram o endereço do jogo para praticar em casa, sozinhos ou com os pais. No dia seguinte, na aula de matemática, eles informaram orgulhosos ao professor-pesquisador, que já tinham conseguido chegar até a primeira posição na listagem mundial do jogo. A grande motivação gerada por essa lista é a possibilidade do seu nome ficar disponível neste site para pessoas de todo o mundo. O jogo Factor Tree, tinha o objetivo oportunizar aos estudantes situações onde eles precisavam refletir sobre a fatoração de números inteiros. Esse jogo é útil, pois, uma das grandes dificuldades que os alunos encontram na fatoração de expressões

8 algébricas é a decomposição dos coeficientes de cada variável em fatores primos, seu principal objetivo é proporcionar ao jogador, de uma forma rápida e divertida, a decomposição de diversos números em fatores primos. Durante a participação, nestes jogos, os alunos tiveram contato com situações relativas às ideias de fatoração de números e fatoração de expressões algébricas, essas situações foram organizadas no Quadro 01 e descritas nas ações A até G. A etapa seguinte da nossa pesquisa consistiu na aplicação de um pós-teste, que foi aplicado à turma após as dez aulas da sequência didática. Neste pós-teste, aplicamos situações-problemas que tivessem as mesmas ideias investigadas no pré-teste. As situações propostas no pós-teste foram as seguintes: 01. Para resolver este exercício lembre-se do jogo Variable Solving, do site Vectorkids, em seguida, em cada uma das situações, calcule o valor da incógnita x: a) -3x 8 = -30 b) 6x -34 = 9 c) -8x+4= - 5 d) - 3 8x = - 6 e) 7-9x = 2 Este problema teve como objetivo investigar como as situações que exigem o procedimento do tipo E, que contribui no desenvolvimento de possíveis esquemas para a resolução de equações do primeiro grau. Também investigamos as atitudes dos alunos frente aos problemas que exigiam o raciocínio direto e inverso, e percebemos que os alunos tiveram mais dificuldade nos itens d) e e), nas duas turmas, pois nestas situações, eles precisavam utilizar o raciocínio inverso para encontrar o valor da incógnita x. A segunda situação-problema proposta foi: Em nosso cotidiano, é fundamental saber calcular áreas e perímetros de figuras planas, e as operações com expressões algébricas são um dos caminhos para aperfeiçoar nossas habilidades para esse tipo de cálculo. Pensando nisso, em cada uma das figuras abaixo, encontre os valores desconhecidos e calcule também a área e o perímetro de cada figura. Figura 02: Situação-problema 02. Para resolver este problema, os alunos foram submetidos às ações A, B, D e G, respectivamente, que já tinham sido executadas durante a interação com os jogos digitais educativos. Assim no momento da aplicação do instrumento diagnóstico,

9 investigamos como estas situações vivenciadas, durante os jogos digitais, contribuíram para o seu desempenho durante este teste escrito. A terceira situação-problema aplicada foi: O senhor Gabirovaldo, vai construir uma casa no terreno abaixo. Mas antes de começar a sua casa ele precisa fazer um muro. Para fazer o muro ele precisa descobrir qual a área e o perímetro desse terreno. Ajude o senhor Gabirovaldo, encontrando a área e o perímetro do terreno, na forma fatorada. Figura 03: Situação-problema 03. Neste problema, os estudantes necessitavam mobilizar as ações B, C, D, F e G do Quadro 01. No momento da aplicação do teste, investigamos de que forma estas situações vivenciadas durante os jogos digitais contribuíram para o seu desempenho durante este teste escrito. O quarto problema aplicado foi: Escreva o produto notável que representa a área total hachurada, e o perímetro do desenho. (Represente a área e o perímetro na forma fatorada) Figura 04: Situação-problema 04. Neste problema, os alunos puderam mostrar como as ações D, F e G vivenciadas durante a mediação, contribuíram para a formação de possíveis esquemas relativos à resolução deste tipo de exercício. Os teoremas em ação que buscamos investigar foram aqueles relacionados aos conhecimentos necessários para resolver determinadas situações, eles podem ser

10 corretos ou incorretos e nosso objetivo nessa mediação foi verificar a ocorrência tanto de teoremas em ação corretos, como de teoremas em ação incorretos. No Quadro 02, classificamos os erros e os acertos cometidos pelos estudantes. O código SM indica o teorema em ação somar monômios, já a coluna Resposta referese ao invariante utilizado (correto ou incorreto), as ações A até G são as indicadas no Quadro 01. Para cada situação, existe um número que indica a quantidade de alunos que utilizou o teorema em ação. Por exemplo, na situação F, o números 8 indica oito erros cometidos pelos estudantes. Quadro 02: Erros e acertos cometidos pelos sujeitos da pesquisa Teoremas em ação Situações Cód. Descrição Resposta A B C D E F G SM Somar dois monômios mudando o grau do resultado. Errada SM Agrupar efetuando a soma de monômios que possuem a parte algébrica diferente. Errada PEEA Multiplicar um binômio por uma constante sem utilizar a propriedade distributiva. Errada SM Calcular o perímetro de um retângulo somando apenas dois lados. Errada PM Calcular o produto de dois binômios multiplicando-se apenas o primeiro termo pelo primeiro termo e o segundo termo pelo segundo termo. Errada PM Multiplicar x.x e colocar o resultado x. Errada IE IE Isolar a variável de uma equação do primeiro grau passando o coeficiente para o outro membro da igualdade subtraindo. Isolar uma variável de uma incógnita passando o coeficiente para o outro membro da igualdade como divisor. Errada Errada PM Multiplicar dois monômios somando o grau das variáveis comuns. Correta SM Simplificar expressões algébricas agrupando os monômios que tenham a parte algébrica iguais. Correta SM Calcular o perímetro de um retângulo somando os quatro lados do polígono. Correta FEA Fatorar uma área conhecida obtendo os monômios que multiplicados originaram essa área. Correta IE Comparar duas expressões algébricas isolando suas variáveis. Correta PM Encontrar a área de figuras compostas, cujos lados são representados por expressões algébricas. Correta SM Encontrar o perímetro de figuras compostas, cujos lados são representados por expressões Correta algébricas. PM Calcular a área algébrica de uma figura simples. Correta FEA Fatorar um trinômio quadrado perfeito. Correta Quanto aos teoremas em ação utilizados de forma errada, podemos destacar o item SM na situação F, que foi um ponto de dúvidas por parte dos estudantes, que erraram este tipo de ação em oito oportunidades. Outro erro frequente observado foi o do item PM dentro da situação G, onde observamos 19 erros.

11 Os demais valores indicados no Quadro 02, não tem significância, pois, o número de ocorrências tanto de erros como de acertos foi muito pequena. Concordamos com Matheus, Souza e Moreira (2005), que em seu trabalho indicam que modelos obtidos desta forma podem ter os invariantes operatórios de Vergnaud e tais invariantes podem evoluir para esquemas em situações futuras. Análise dos resultados De um modo geral, percebemos que os estudantes resolveram um número considerável de situações propostas. Acreditamos que tal fato deve-se à contribuição dos jogos digitais para a construção da autonomia e confiança do estudante, pois dentro do ambiente dos jogos, eles aprenderam que caso resolvessem algum exercício de forma incorreta teriam novamente a chance de corrigir o erro, já que o jogo avisava sempre que algo estava sendo resolvido incorretamente. Observe, por exemplo, o recorte de uma atividade apresentada pela aluna RMB, comparando uma de suas respostas antes da mediação com jogos digitais e outra resposta que exigia os mesmos procedimentos, após a sua participação na intervenção com os jogos digitais: Figura 05: Procedimentos da estudante RMB antes da mediação. Figura 06: Procedimentos da estudante RMB depois da mediação. Pelas figuras anteriores podemos notar que equívocos praticados no primeiro recorte (2x.4x = 8x e 7z.10z = 70z) não ocorreram na segunda aplicação, o que pode indicar que a interação com os jogos digitais contribuiu de alguma forma para a sua compreensão acerta dos procedimentos necessários para a fatoração de expressões algébricas. Esta estudante, antes da mediação, não escrevia x.x = x², já no questionário aplicado após a intervenção, podemos notar que ela não cometeu o mesmo erro e efetuou as operações algébricas da forma correta. Isto nos leva a crer que a metodologia

12 que foi utilizada nos jogos digitais ajudou a aluna, na construção de possíveis esquemas sobre a multiplicação de expressões algébricas. Considerações Finais Os estudantes que participaram da mediação utilizando os jogos digitais, deixaram uma pequena quantidade de exercícios sem resolver, fato que possibilita supor que o contato com os jogos digitais aumenta a autoconfiança e a preparação do estudante para enfrentar situações-problemas. O que pode ser altamente positivo para a aprendizagem da álgebra, já que este resultado pode indicar que os estudantes que interagem com os jogos digitais quando estão aprendendo a linguagem algébrica, podem se tornar mais seguros na resolução dos problemas propostos, tanto durante o jogo, como na forma escrita (utilizando lápis e papel) e a consequência de tudo isso pode ser a melhoria na aprendizagem. Em relação aos teoremas em ação utilizados por estes estudantes no início e oito meses depois da pesquisa, alguns pontos merecem destaque e são apresentados nos próximos parágrafos. O primeiro se refere à categorização dos teoremas em ação adotada neste trabalho. Cremos que as categorias indicadas no Quadro 1 e no Quadro 2 podem ser úteis para futuros estudos, pois assim como fizeram Gomes e Vergnaud (2004) em seu artigo On the Learning of geometric concepts using dynamic Geometry Software e Burigato (2007) em sua Dissertação intitulada Estudo de dificuldades de aprendizagem da Fatoração nos Ambientes: Papel e lápis e no software Aplusix, nós selecionamos os procedimentos mais importantes, realizados pelos alunos durante os jogos digitais, e destacamos quais procedimentos eles utilizariam para realizar a mesma tarefa quando não estivessem utilizando os jogos digitais, isso também nos ajudou no momento de analisar os testes que foram realizados com lápis e papel. Algumas provas escritas objetivam simplesmente a reprodução das atividades desenvolvidas durante as aulas e neste cenário, alguns estudantes apenas decoram os conteúdos para posteriormente resolverem aquilo que foi solicitado nas provas, de forma, muitas vezes, mecânica e descontextualizada. Para nós, os jogos digitais contribuem para que os estudantes compreendam os conceitos relacionados à fatoração de expressões algébricas e assim ao resolverem provas escritas ou no computador podem fazê-lo de forma menos mecânica e mais consciente.

13 Entre os erros apresentados pelos estudantes destacamos: a dificuldade para encontrar o fator comum, em expressões como 8x²y + 32xy², na qual alguns estudantes não conseguiam, em muitos casos, calcular o máximo divisor comum entre 8 e 32. Acreditamos que o jogo factor tree possa ajudar nessa compreensão, desde que seja utilizado por um período de tempo maior, que o utilizado por nós, durante o processo de ensino da técnica de fatoração por fator comum. Acreditamos que a dificuldade enfrentada na fatoração algébrica ocorra pela dificuldade dos sujeitos em generalizar o raciocínio aritmético, por meio do raciocínio algébrico. Uma possível saída para superar tal dificuldade seria ensinar a fatoração de expressões algébricas com o auxílio de situações-problemas diversificadas e que levem os estudantes à refletirem a cada nova situação com relação aos procedimentos necessários para passar ao passo seguinte dentro da solução, definindo quais ações seriam pertinentes ou não para chegar à solução da situação-problema. Outro ponto que merece destaque no ensino da fatoração de expressões algébricas é a utilização de resolução de problemas. Essa tendência em Educação Matemática pode contribuir para a construção de teoremas em ação estáveis, uma vez que para resolver uma situação-problema, o sujeito precisa ler, pensar, construir uma estratégia e depois aplicar tudo isso de forma organizada para atacar o problema proposto. Por isso acreditamos que a construção dos teoremas em ação verdadeiros para a fatoração de expressões algébricas seja favorecida pela resolução de problemas em situações de ensino e aprendizagem. Segundo Vernaud em seu capítulo sobre o campo multiplicativo, localizado em Harel e Confrey (1994), é essencial para o progresso dos estudantes, durante a resolução de problemas, que os problemas propostos sejam classificados por níveis de dificuldades, levando em conta o domínio da experiência dos estudantes, para o crescimento da complexidade cognitiva exigida para resolver cada um dos problemas. Esse domínio de complexidade seria marcado pela mudança na utilização de teoremas em ação por parte dos estudantes, na medida em que estes vão compreendendo, de maneira mais aprofundada, os conceitos estudados. Além disso, acreditamos que a forma de ensino, da fatoração de expressões algébricas, poderia ser mais eficiente se fosse feita por meio da utilização dos jogos digitais, pois cada partida faz com que os estudantes utilizem, dentro de variadas

14 situações, diversos teoremas em ação e essa variedade de situações, atrelada à grande motivação dos estudantes durante as partidas, poderia contribuir com a construção de teoremas em ação verdadeiros. Sabemos que a nossa pesquisa investigou apenas parcialmente os esquemas e os raciocínios, elaborados pelos estudantes na resolução dos problemas propostos, e por um pequeno período de tempo. No entanto, os resultados aqui obtidos apontam que os jogos digitais podem contribuir efetivamente para tornar o estudo da fatoração de expressões algébricas, mais interessante para os estudantes e ao mesmo tempo mostrar a eles que a fatoração tem um objetivo e que a prática dessas técnicas pode ajudar na construção de teoremas em ação verdadeiros para os diversos tipos de fatoração. Tal procedimento, para nós, seria mais eficiente do que resolver diversas listas de exercícios envolvendo fatoração de expressões algébricas separados por técnica (fator comum em evidência, trinômio quadrado perfeito, entre outras), que deixam os estudantes cansados e sem curiosidade em aprender. Outro ponto a ser destacado em nosso trabalho se refere ao período em que a mediação foi realizada, o período normal de aula. Percebe-se que a maioria dos trabalhos ocorre com uma turma reduzida de estudantes e em contra turno, o que descaracteriza a relação professor-aluno dentro do ambiente escolar e camufla as reais conclusões em muitos casos. Como nosso trabalho foi realizado pelo próprio professor da turma e no período normal de aulas, acreditamos que tenha o diferencial de ser realista em relação ao ambiente e à logística da sala de aula, durante as aulas de matemática. Além disso, cremos que o jogo digital pode ser uma ponte para o diálogo entre os estudantes que possuem o domínio do conteúdo e os que ainda não possuem este domínio e tal diálogo, que é mediado pelo professor, pode ajudar a fortalecer o grupo de estudantes, o que seria um fator importante na construção da aprendizagem e no bom andamento das aulas já que se os estudantes se ajudarem, a indisciplina e o clima de tensão na sala de aula podem ser reduzidos. Também vale destacar que nas aulas com a interação dos estudantes com os jogos digitais o professor assume um novo papel, deixa de ser o centro das atenções ou desatenções dos estudantes e passa a ser aquele que avalia, orienta e media a relação dos estudantes com o conhecimento.

15 Acreditamos que nosso trabalho contribuirá para o aprofundamento do estudo do campo conceitual da álgebra, já que Vergnaud (1990), em seu trabalho mais conhecido, toca no assunto, mas não dá maiores detalhes sobre a composição desse campo e com isso, espera-se que nossos resultados contribuam com a prática pedagógica em sala de aula e com futuras pesquisas relacionadas às operações com expressões algébricas. Referências BURIGATO, S. M. M. da S.. Estudo de dificuldades de aprendizagem da Fatoração nos Ambientes: Papel e lápis e no software Aplusix. 154f. Dissertação (mestrado) UFMS, Campo Grande, GOMES, A. S.; VERGNAUD, G.. On the learning of the geometric concepts using Dinamic Geometry Software. Centro Integrado de Novas Tecnologias na Educação. Porto Alegre: UFRGS, GRENIER, D.. La théorie des champs conceptuels et le modèle de conception. Spécialité DS, Ditactique dês Sciences, HAREL, G., CONFREY, J.. The development of multiplicative reasoning in the learnig of mathematics. Nova Iorque: State University of New York press, LÉVY, P.. As tecnologias da inteligência: o futuro do pensamento na era da informática. Tradução Carlos Irineu da Costa. Rio de Janeiro: Editora 34, LINS, R. C. e GIMENEZ, J.. Perspectivas em aritmética a álgebra para o século XXI. Campinas: Papirus, LOCHHEAD, J.; MESTRE, J. P.. Das Palavras à Álgebra: corrigindo concepções erradas. In: COXFORD, Arthur F. e SHULTE, Albert P. As ideias da Álgebra. São Paulo: Atual, MATHEUS, T. A. M.; SOUZA, C. M. S. G.; MOREIRA, M. A.. A resolução de situações problemáticas experimentais em física geral à luz da teoria dos campos conceituais. XVI Simpósio Nacional de Ensino de Física, Rio de Janeiro, MIGUEL, A.; FIORENTINI, D.; MIORIM, M. A.. Álgebra ou Geometria: Para onde Pende o Pêndulo? Pró-Posições, v. 3, n. 1(7), p , mar MOREIRA, M. A.. A teoria dos campos conceituais de Vergnaud, o ensino de ciências e a pesquisa nesta área. Investigações em Ensino de Ciências. Porto Alegre, SILVA, D. P. da; SAVIOLI, A. M. P. das D.. Caracterizações do pensamento algébrico em tarefas realizadas por estudantes do Ensino Fundamental I. REVEDUC - Revista Eletrônica de Educação. São Carlos, SP: UFSCar, v. 6, no. 1, p , mai. 2012, VAN DE WALLE, J. A.. Matemática no ensino fundamental: formação de professors e aplicação em sala de aula. Tradução Paulo Henrique Colonese. 6 ed. Porto Alegre: Artmed, VERGNAUD, G.. La théorie des champs conceptuels. Recherches en Didactique dês Mathématiques, vol.10 n 2-3, pp , 1990.

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