Universidade Federal do Rio de Janeiro

Transcrição

1 Universidade Federal do Rio de Janeiro Bases de Schauder em Espaços de Banach Nelson Dantas Louza Júnior Dissertação de Mestrado apresentada ao Programa de Pós-graduação do Instituto de Matemática, da Universidade Federal do Rio de Janeiro, como parte dos requisitos necessários à obtenção do título de Mestre em Matemática. Orientadora: Luiza Amália de Moraes Rio de Janeiro Novembro de 2008

2

3

4 Aos meus pais Nelson e Deize. Ao meu irmão Bruno e a minha avó Altair. iii

5 Agradecimentos A Deus, por me dar força todos os dias. À minha orientadora, Professora Luiza Amália de Moraes, por todo seu apoio, dedicação, paciência e incentivo ao longo da minha formação superior. Aos professores da graduação Nedir do Espírito Santo e Ivo Fernandez Lopez pelo apoio e dedicação durante o início da minha formação superior. Aos meus parentes e amigos que sempre estiveram ao meu lado incentivando na minha formação matemática. À CAPES e À FAPERJ pelo apoio financeiro durante a realização deste trabalho. iv

6 Resumo Bases de Schauder em Espaços de Banach Nelson Dantas Louza júnior Orientadora: Luiza Amália de Moraes O objetivo desse trabalho é fazer um estudo dos espaços de Banach com base de Schauder. Estudamos as propriedades básicas desses espaços, dando ênfase aos espaços com bases contráteis e aos espaços com bases incondicionais. Provamos os teoremas de Bessaga- Pelczynski, de Johnson-Rosenthal e de Hagler-Johnson. Estes teoremas conduzem às soluções parciais que apresentamos para o seguinte problema proposto por A.Pelczynski: Todo espaço de Banach de dimensão infinita tem um quociente de dimensão infinita com base de Schauder? A partir dos teoremas Johnson-Rosenthal e Hagler-Johnson provamos também o teorema de B. Josefson e A. Nissenzweig que diz que: Se E é um espaço de Banach com dimensão infinita, então existe uma sequência (ψ n ) normalizada tal que lim ψ n (x) = 0 para cada x E. v

7 Abstract Schauder Basis in Banach Spaces Nelson Dantas Louza Júnior Supervisor: Luiza Amália de Moraes The main purpuse of this work is to present a study of Schauder basis of a Banach space. We state the elementary properties of the Banach spaces with Schauder basis, with emphasis in the spaces with shrinking basis and in the spaces with unconditional basis. We present the Bessaga-Pelczynski Theorem, the Johnson-Rosenthal Theorem and the Hagler- Johnson Theorem. Theses theorems lead up to some partial solutions to the following problem proposed by A. Pelczynski: Does every infinite dimensional Banach space have an infinite dimensional quotient with a Schauder basis? By using the Johnson-Rosenthal Theorem and the Hagler-Johnson Theorem we also prove the following result due to B. Josefson and A. Nissenzweig: If E be an infinite dimensional Banach space, then there is a sequence (ψ n ) in E such that ψ n = 1 for every n N and lim ψ n (x) = 0 for every x E. vi

8 Sumário 1 Resultados Preliminares de Análise Funcional e Espaços Métricos 4 2 Bases de Schauder Noções preliminares sobre bases de Schauder Bases contráteis Bases incondicionais O Teorema de Josefson-Nissenzweig 61 vii

9 Introdução Dizemos que uma sequência (x n ) é uma base de Schauder em um espaço de Banach X se para todo x X existe uma única sequência (α n ) de escalares tal que x = α n x n. Neste trabalho faremos um estudo das bases de Schauder de um espaço de Banach e de algumas conseqüências importantes da existência de base de Schauder na estrutura do espaço. É fácil mostrar que todo espaço de Banach com base de Schauder é separável e o problema de decidir se todo espaço de Banach separável teria base de Schauder ficou aberto por muitos anos e é conhecido como o problema de base. Em 1973 P. Enflo mostrou, através de um exemplo, a existência de um espaço de Banach separável sem base de Schauder. Por sua complexidade, decidimos não incluir o exemplo de Enflo aqui mas remetemos o leitor interessado a [4]. Muitos matemáticos trabalharam e trabalham no problema de determinar condições sob as quais um espaço de Banach tem base de Schauder. Nesta dissertação apresentaremos a prova de que todo espaço de Banach de dimensão infinita tem um subespaço de dimensão infinita com base de Schauder. Além disso, apresentaremos resultados que mostram que, sob certas condições, um espaço de Banach X tem um espaço quociente de dimensão infinita com base de Schauder, o que implica na existência de um espaço quociente de dimensão infinita separável. Assim, alguns dos resultados que apresentaremos fornecem soluções parciais para o seguinte problema (ainda aberto no caso geral) apresentado por A. Pelczynski em [12]: Todo espaço de Banach de dimensão infinita tem um quociente de dimensão infinita com base de Schauder? Concluímos nossa dissertação apresentando uma demonstração do Teorema de Josefson- Nissenzweig. Este teorema foi obtido independente e simultaneamente por B. Josefson [6]

10 e A. Nissenzweig [11] e tem aplicações importantes em análise, sobretudo no estudo das funções holomorfas em espaço de Banach de dimensão infinita. Por exemplo, S. Dineen mostrou em [3] que se X é um espaço de Banach de dimensão infinita tal que existe uma seqüência (ϕ n ) S X que seja pontualmente convergente a zero, então existe uma função holomorfa definida em X que não é limitada nos limitados de X. O Teorema de Josefson- Nissenzweig estende o resultado de Dineen a todos os espaços de Banach X de dimensão infinita. Este trabalho está dividido em três capítulos. No Capítulo 1 enunciaremos os resultados de Análise Funcional e da Teoria de Espaços Métricos que serão usados nos Capítulos 2 e 3. O Capítulo 2 está dividido em três seções. Na primeira seção definiremos base de Schauder de um espaço de Banach, daremos exemplos e apresentaremos resultados estabelecendo condições necessárias e suficientes para que uma seqüência (x n ) seja base de Schauder para o espaço span{x n : n IN}, isto é, seja uma seqüência básica. Na segunda seção definimos e estudamos as bases contráteis e as bases limitadamente completas. Na terceira seção introduzimos o conceito de base incondicional e apresentamos condições necessárias e suficientes para que uma seqüência básica seja incondicional. Apresentamos também exemplos de espaços de Banach com base de Schauder incondicional e de um espaço de Banach cuja base de Schauder não é incondicional. Entre os resultados mais importantes do Capítulo 2 estão: Teorema de Mazur: Seja X um espaço de Banach com dimensão infinita. Então existe um subespaço fechado de dimensão infinita de X com uma base de Schauder. Teorema de James: Seja (e n ) uma base de Schauder de um espaço de Banach X. Então X é reflexivo se e somente se (e n ) é uma base contrátil e limitadamente completa. Como corolário do Teorema de James mostramos que se X é um espaço de Banach tal 2

11 que X tem um subespaço reflexivo de dimensão infinita, então X tem um espaço quociente de dimensão infinita com base de Schauder. No Capítulo 3, apresentaremos resultados que estabelecem condições sob as quais um espaço de Banach X tem um quociente isomorfo ao espaço c 0, e condições sob as quais X tem um espaço quociente isomorfo a l 2. Estes resultados são soluções parciais para o problema da existência de quociente de dimensão infinita com base de Schauder. O último resultado que apresentamos é o Teorema de Josefson-Nissenzweig, que diz que se X é um espaço de Banach de dimensão infinita então existe uma seqüência (ϕ n ) X tal que ϕ n = 1 para cada n IN e lim ϕ n (x) = 0 para cada x X. Um dos resultados chave para a demonstração que apresentaremos para o Teorema de Josefson-Nissenzweig é o que diz que se X é um espaço de Banach real tal que X contém uma cópia de l 1 mas nenhuma seqüência pontualmente convergente a zero em X é equivalente à base canônica de l 1, então X contém uma cópia de l 1 (ver Teorema 3.2). 3

12 Capítulo 1 Resultados Preliminares de Análise Funcional e Espaços Métricos O objetivo deste capítulo é tornar nosso trabalho mais acessível, apresentando uma coletânea das definições e resultados da Análise Funcional e da teoria de Espaços Métricos que serão usados nos Capítulos 2 e 3. Daremos sempre referência de onde os resultados não demonstrados podem ser encontrados. Estaremos interessados em espaços vetoriais reais ou complexos, e representaremos por IK o corpo dos reais ou dos complexos. Consideraremos sempre X e Y espaços vetoriais sobre o mesmo corpo IK. Quando X for um espaço normado, denotaremos por B X a bola fechada de centro na origem e raio 1 e por S X a esfera de centro na origem e raio 1, isto é, B X = {x X; x 1} e S X = {x X; x = 1}. Dados a X e r > 0, a bola fechada de centro a e raio r e a bola aberta de centro a e raio r serão denotadas por B r (a) e B r (a), respectivamente. Assim B r (a) = {x X; x a r} e B r (a) = {x X; x a < r}. Dado um conjunto qualquer F denotaremos por F a sua cardinalidade.

13 Lema 1.1. Seja E um espaço vetorial, e sejam ϕ 1,...,ϕ n,ϕ funcionais lineares tais que n ϕ 1 i (0) ϕ 1 (0). Então ϕ é combinação linear de ϕ 1,...,ϕ n. Demonstração. Seja T : E IK definida por T(x) = (ϕ 1 (x),...,ϕ n (x)). Então T é linear, e segue da hipótese que T 1 (0) ϕ 1 (0). Se definimos ψ : T(E) IK por ψ(t(x)) = ϕ(x), então ψ está bem definida e é linear. Seja Ψ : IK n IK uma transformação linear tal que Ψ T(E) = ψ. Se (e 1,...,e n ) é a base canônica de IK n então ϕ(x) = ψ(t(x)) = Ψ(T(x)) = Ψ(ϕ 1 (x),...,ϕ n (x)) = Ψ( ϕ i (x)e i ) = ϕ i (x)ψ(e i ). Como conseqüência deste lema temos a seguinte proposição. Proposição 1.1. Sejam E um espaço vetorial e ϕ 1...ϕ n funcionais lineares definidos em E tais que {ϕ 1...ϕ n } é um conjunto linearmente independente. Então existem x 1,...,x n E n linearmente independentes tais que E = span{x 1,...,x n } ϕ 1 i (0) e ϕ j (x i ) = δ i,j para cada i,j {1,...,n}. Proposição 1.2. Sejam M espaço métrico, X um subconjunto denso de M e N um espaço métrico completo. Se f : X N é uma aplicação uniformemente contínua, então existe uma única extensão uniformemente contínua F : M N. Demonstração. Veja [7] Proposição 10, p

14 Proposição 1.3. (Desigualdade de Hölder) Sejam p, q > 1 tais que 1 p +1 q = 1. Se (x 1,...,x n ), (y 1,...,y n ) IK n então ( ) 1 ( p x i y i x i p Demonstração. Veja [5], Teorema 1.5, p. 3. y i q )1 q. Proposição 1.4. (Desigualdade de Minkowski) Seja p 1. Se (x 1,...,x n ), (y 1,...,y n ) IK n então ( x i + y i p ) 1 p Demonstração. Veja [5], Teorema 1.7, p. 4. ( ) 1 ( p x i p + y i p ) 1 p. A seguir, definiremos alguns espaços de seqüências que são exemplos clássicos de espaços normados e que aparecerão muitas vezes neste trabalho. Todos estes espaços são completos, isto é, são espaços de Banach. Dado 1 p < um número real fixo, definimos l p como sendo o conjunto de todas as seqüências (x n ) tais que x n IK para todo n IN e x n p <. Tornamos l p um espaço vetorial sobre IK com as seguintes operações: se x = (x n ) e y = (y n ) estão em l p e λ IK então x + y = (x n + y n ) e λx = (λx n ). Definindo a norma ( ) 1 p x p = x n p para todo x = (x n ) l p, mostra-se que (l p, p ) é um espaço normado. Além disso (l p, p ) é um espaço completo. A partir de agora denotaremos por l p o espaço de Banach (l p, p ). Definimos l como sendo o conjunto de todas as seqüências (x n ) tais que x n IK para todo n IN e sup x n <. Tornamos l um espaço vetorial com x + y n e λx definidas como em l p. Definindo x = sup x n para todo (x n ) l obtém-se n 6

15 uma norma em l. É fácil ver que (l, ) é um espaço de Banach. Denotaremos este espaço de Banach por l. Definimos c 0 como sendo o conjunto de todas as seqüências (x n ) tais que x n IK para todo n IN e lim x n = 0. Observe que c 0 l e é claro que c 0 é um subespaço fechado de l. Considerando em c 0 a norma induzida pela norma de l, segue que c 0 = (c 0, ) é um espaço de Banach. Denotaremos este espaço de Banach por c 0. Definimos o espaço vetorial L p [0, 1] para p [1, ) como o conjunto das funcões mensuráveis f : [0, 1] IK tais que 1 0 f(x) p dx é finita munido das operações usuais de adição e produto por escalar. A função f p = ( 1 0 f(x) p dx) 1 p para toda f Lp [0, 1] define uma seminorma em L p [0, 1]. Dadas f,g L p [0, 1], dizemos que f é equivalente a g se f(x) = g(x) quase sempre. Seja L p [0, 1] o correspondente espaço quociente, isto é, o conjunto das classes de equivalência munido da norma quociente [f] p = inf{ g : g [f]} para cada [f] L p [0, 1] onde [f] = {g L p [0, 1]; f é equivalente a g}. É fácil verificar que [f] p = f p para cada [f] L p [0, 1] e que este espaço vetorial é um espaço normado completo. (veja [5], Teorema 1.14, página 8). Denotaremos. p =. p e (L p [0, 1],. p ) por L p. Definição 1.1. Sejam X um espaço vetorial e x n é incondicionalmente convergente se IN. Proposição 1.5. Sejam x n uma série em X. Dizemos que a série x π(n) converge para toda permutação π de x n uma série em um espaço de Banach X e x X. São equivalentes: (1) Para todo ǫ > 0, existe um conjunto finito F IN tal que x todo F IN finito com F F. (2) Se π é uma permutação dos naturais então 7 x π(n) = x. n F x n < ǫ para

16 Demonstração. (1) (2): Temos por hipótese que para todo ǫ > 0 existe um conjunto finito F IN tal que x x n < ǫ para todo F IN finito com F F. Como F n F é um conjunto finito, existe n 0 IN tal que o conjunto A = {π(1),...,π(n 0 )} contém F. Assim x x π(n) < ǫ para todo n n 0. (2) (1): Por absurdo suponha que exista ǫ > 0 tal que para cada F IN finito existe F finito tal que F F IN e x x n ǫ. n F Se F 0 = {1} então existe F 1 {1, 2} tal que F 1 < e x x n ǫ. n F 1 Se M 0 = F 1 \ {1} temos que M 0 1 e podemos escrever M 0 = {m 1,...,m M0 } onde 2 = m 1 < m 2 < < m Mo. Seja π : {1, 2,...,1+ M 0 } F 0 M 0 definida por π(1) = 1 e π(1+p) = m p se p {1,..., M 0 }. Observemos que n 0 = 1 < 2 1+ M o = n 1 e que F 1 = n1 {π(1),...,π(1 + M 0 ) = m M0 } de modo que temos x x π(n) = x x n ǫ. n F 1 Consideremos agora o conjunto {1,...,n 1 }. Pela hipótese de absurdo F 2 {1,...,n 1 + 1} tal que F 2 < e x x n ǫ. É claro que F 2 F 1. n F 2 Se M 1 = F 2 \ F 1 temos que M 1 1 e podemos escrever M 1 = {m M0 +1,...,m M0 + M 1 } onde m M0 +1 < m M0 +2 < m M0 + M 1. Observemos que 1 < n 1 = M < n M 0 + M 1 +1 = n 2. Definindo π(1) = 1 e π(1+p) = m p para cada p {1,..., M 0, M 0 + 1,..., M 0 + M 1 } temos: π(1) = 1, π(n 1 ) = π(1 + M 0 ) = m M0, π(n 2 ) = π(1 + M 0 + M 1 ) = m M0 + M 1 e F 2 = F 1 M 1 = {π(1),π(2) = m 1,...,π(1 + M 0 ) = m M0 = π(n 1 ),π(1+ M 0 +1) = m M0 +1,...,π(1+ M 0 + M 1 ) = m M0 + M 1 = π(n 2 )} de modo que n2 x x π(n) = x x n ǫ. É claro que F 2 F 1. Ou seja, existe n 2 > n 1 > 1 n F 2 n2 tal que x n1 x π(n) ǫ, x x π(n) ǫ onde n 1 = 1 + M 0,n 2 = 1 + M 0 + M 1 e π é injetiva, e π({1,...,n 1 }) = F 1 {1, 2} e π({1,...,n 2 }) = F 2 {1,...,m M0 +1}. 8

17 Suponhamos que existam n k > n k 1 > > n 1 > 1, onde n p = 1 + M M p 1 np para cada p {2,...,k}, tal que x x π(n) ǫ para cada p {2,...,k}, π é injetiva e π({1,...,n p }) = F p {π(1),...,π(n p 1 ) + 1} para cada p {2,...,k}. Pela hipótese de absurdo existe F k+1 {π(1),...,π(n k 1 ) + 1} tal que F k+1 < e x x n n F k+1 ǫ. É claro que F k+1 F k. Se M k = F k+1 \ F k temos que M k < e podemos escrever M k = {m 1+ M0 + + M k 1 + 1,...,m 1+ M0 + + M k }. Definamos π : {1,...,m 1+ M0 + + M k } F k M k definida por π({1,...,m 1+ M0 + + M k 1 }) = F k dado pela π da hipótese de indução e π(1 + p) = m p para cada p { M M k 1,..., M M k } temos que π é injetiva e π({1,...,m 1+ M0 + + M k }) = F k+1. nk+1 Consideremos n k+1 = 1 + M M k, temos que n k+1 > n k e x x π(n) x x n ǫ. Por indução existe uma permutação dos naturais π tal que para cada n F k+1 m IN existe n > m onde x x π(n) ǫ. O que contraria a hipótese. Definição 1.2. Dizemos que uma série x n em um espaço de Banach X é uma série incondicionalmente de Cauchy se dado ǫ > 0 existe um conjunto finito F IN tal que < ǫ para qualquer conjunto finito F IN com F F =. n F x n Proposição 1.6. Seja x n uma série em um espaço de Banach X. Então a série é incondicionalmente de Cauchy se somente se é incondicionalmente convergente. x n Demonstração. ( ) Pela Proposição 1.5 existe x X para o qual dado ǫ > 0 tem-se um conjunto finito F IN tal que x n x < ǫ para todo conjunto finito G IN 2 n G que contém F. Sejam F IN finito tal que F F = e considere o conjunto finito 9

18 G IN tal que G = F F. Podemos ver que x n = x n x + x x n n F n G n F x n x + x n x ǫ + ǫ = ǫ. Logo a série x 2 2 n é incondicionalmente de n G Cauchy. n F ( ) Temos por hipótese que dado ǫ > 0 existe um conjunto finito F 1 IN tal que < ǫ se F IN é um conjunto finito com F F 1 =. n F x n Seja ǫ > 0 fixado arbitrariamente. Consideremos n 1 = 1+max F 1. Dados m n n 1 e K = {n,n+1,...,m}, temos que K m F 1 = e assim x i = x n < ǫ. Podemos i=n n K ver desta maneira que a seqüência das somas parciais da série x n é uma seqüência de m Cauchy em X. Portanto existem x X e n 0 IN tais que x i x < ǫ para todo m n 0. i G Podemos supor que n 0 > n 1. Tomando F = {1,...,n 0 } temos que para todo F IN tal que F F basta considerar G = F \F para obter G F = e conseqüentemente x n x = n F n 0 x i + x i x 2ǫ. Daí usando a Proposição 1.5 concluímos a convergência in- condicional da série para x. Proposição 1.7. Seja x i uma série em um espaço de Banach X. São equivalentes: (1) A série (2) A série x i é incondicionalmente convergente. x ni é convergente para toda seqüência crescente (n i ) IN 10

19 (3) A série ǫ i x i é convergente para toda escolha de ǫ i {1, 1}. Demonstração. (1) (2): Como a série x i é incondicionalmente convergente, temos pela Proposição 1.5 que dado ǫ > 0 existe um conjunto finito F IN para o qual < ǫ sempre que o conjunto F IN for finito e F F =. n F x n Sejam (n i ) IN uma seqüência crescente e k 0 IN tal que n k0 > maxf. Sejam k, l IN tais que k l > k 0. Considerando F l = {n l,...,n k } temos que x ni = i=k < ǫ. A partir dai podemos concluir que a série x ni converge. i F x i (2) (1): Pela Proposição 1.6, basta mostrar que a série x i é incondicionalmente de Cauchy. Suponhamos por absurdo que a série x i não seja incondicionalmente de Cauchy. Então existe ǫ 0 > 0 tal que para cada conjunto finito F IN existe um conjunto F IN tal que F F = e ǫ 0. i F x i Tomando F 1 = {1} vai existir um conjunto finito F 1 IN tal que F 1 F 1 = e x i i F ǫ 0. Se F 2 = {1, 2,...,maxF 1} então existe um conjunto finito F 2 IN tal 1 que F 2 F 2 = e x i i F ǫ 0. Podemos ver que maxf 1 < min F 2. Suponha que 2 existam conjuntos finitos F j IN tais que maxf j < minf j+1 e x i ǫ 0 para j {1,...,n 1}. Se F n+1 = {1, 2,...,maxF n} então existe um conjunto finito F n+1 IN i F j 11

20 tal que F n+1 F n+1 =, max F n < minf n+1 e i F n+1 uma seqüência (F i) IN de conjuntos finitos tais que para i IN. Seja p j = x i ǫ 0. Segue por indução que existe x i ǫ 0 e max F i < min F i+1 j F k. Por construção podemos escrever F 1 = {n 1,...,n p1 } onde n 1 < k=1 n 2 < < n p1 e, para todo j > 1, podemos escrever F j = {n pj 1 + 1,...,n pj } onde n pj 1 +1 < n pj 1 +2 < < n pj. Além disso, por construção os conjuntos F j sao dois a dois disjuntos e n pj 1 < n pj para qualquer j = 2, 3 de modo que existe uma enumeração crescente (n j ) j=1dos elementos de F j na qual aparecem primeiro todos os elementos de j=1 F 1 em ordem crescente seguidos por todos elementos de F 2 em ordem crescente e assim por l diante. Por hipótese existe k 0 IN tal que se l j > k 0 temos x i < ǫ 0. Considerando i=j o conjunto finito F k IN tal que min F k > k 0 obtemos x i i F < ǫ 0, o que contradiz a k hipótese de absurdo. (1) (3): Por hipótese temos que dado ǫ > 0 existe um conjunto finito F IN tal que x i < ǫ se F F =. i F Seja n 0 IN tal que n 0 > maxf. Consideremos uma sequência (ǫ i ) onde ǫ i {1, 1}. Dados m n n 0, considere G = {i : n i m; ǫ i = 1} e K = {i : n i m ǫ i = 1}. Podemos ver que, G F = e K F =, e m consequentemente ǫ i x i = x i + x i x i + x i < ǫ + ǫ = 2ǫ. i=n i G i K i G i K Donde concluímos a convergência da série ǫ i x i. i F i (3) (1): Pela Proposição 1.6, negar (1) é negar que a série 12 x i é incondicionalmente

21 de Cauchy. Suponhamos que a série x i não seja incondicionalmente de Cauchy. Então já vimos que existem um ǫ 0 > 0 e uma seqüência (F k ) k=1 IN de conjuntos finitos tais que maxf k < min F k+1 e x i ǫ 0. Definimos uma seqüência de escalares (ǫ i ) tal que i F k ǫ i = 1 para i F k e ǫ i = 1 caso contrário. Considerando a seqüência (n k ) k=1 onde k=1 n k = min F k para cada k IN temos n k = min F k maxf k min F k+1 1 = n k+1 1 < min F k+1 = n k+1, isto é, n k min F k+1 1 = n k+1 1 < n k+1, F k {n k,n k +1,...,n k+1 1} ( ) n k+1 1 n k+1 1 e F j {n k,n k + 1,...,n k+1 1} = então x i + ǫ i x i = 2 x i. Assim j k i=n k i=n k i F k para cada k IN temos que n k+1 1 n k+1 1 x i + n k+1 1 n ǫ i x i k+1 1 x i + ǫ i x i = 2 2ǫ. i=n k i=n k Como por (3) as séries i=n k x i e i=n k i F k x i ǫ i x i convergem, para k suficientemente grande devemos n k+1 1 n k+1 1 ter 2ǫ x i + ǫ i x i < ǫ + ǫ = ǫ o que é um absurdo. Conseqüentemente, a 2 2 i=n k i=n k série é incondicionalmente convergente. x i Sejam X e Y espaços normados. Dizemos que um operador linear T : X Y é limitado se sup T(x) <. Denotamos por L(X,Y ) o conjunto de todos os operadores lineares x 1 T : X Y que são limitados Observação 1.1. Definindo T = inf{c > 0; Tu c u para todo u X} para todo operador linear T : X Y, temos: T u 1) T = sup u u 0 = sup Tu = sup T u. u =1 u 1 2) T é contínuo se, e somente se T <, isto é se e somente se T L(X, Y ). 3) define uma norma em L(X, Y ). 13

22 Proposição 1.8. Se X e Y são espaços normados, então L(X,Y ) é um espaço normado com as operações usuais de funções e com a norma acima. Demonstração. Veja [7] p A partir de agora L(X,Y ) denotará este espaço normado. Definição 1.3. Sejam X e Y espaços normados. Dizemos que uma aplicação T : X Y é um isomorfismo entre X e Y se for uma aplicação linear bijetiva contínua e com inversa contínua. Definição 1.4. Sejam X e Y espaços normados. Dizemos que X e Y são isomorfos se existe um isomorfismo T entre X e Y. Se o isomorfismo T for uma isometria (isto é, Tu = u para todo u X) então dizemos que X e Y são isometricamente isomorfos. Teorema 1.1. Suponhamos que X é um espaço normado de dimensão finita n e seja {x 1,...,x n } uma base de X. Então a aplicação que leva λ i x i X em (λ 1,...,λ n ) IK n estabelece um isomorfismo entre X e IK n. Demonstração. Veja [2], Teorema 1, p. 1. A partir do teorema anterior temos que todo espaço normado de dimensão finita é fechado. Definição 1.5. Seja X um espaço normado. O dual topológico de X, denotado por X, é o espaço normado L(X,IK). Observação 1.2. Se E é um espaço normado, {ϕ 1,...,ϕ n } E, {x 1,...,x n } são os pontos de E dados pela Proposição 1.1 e δ xi (ϕ) = δ ij para cada i,j {1,...,n}, então é fácil verificar que {δ x1,...,δ xn } é um subconjunto linearmente independente de (span{ϕ 1,...,ϕ n }) e, conseqüentemente, gera (span{ϕ 1,...,ϕ n }). Além disso, pelo Teorema 1.1 a função que a cada λ i x i associa λ i δ xi é um isomorfismo entre span{x 1,...,x n } e (span{ϕ 1,...,ϕ n }) 14

23 Teorema 1.2. Sejam X um espaço normado e Y um espaço de Banach. Então L(X, Y ) é um espaço de Banach. Em particular, X é um espaço de Banach. Demonstração. Veja [5], Proposição 1.19, p. 11. Exemplo 1.1. Dado ξ = (ξ n ) l 1, seja T ξ : c 0 IK definido por T ξ (x) = ξ nx n para todo x = (x n ) c 0. A aplicação T : l 1 (c 0 ) definida por T(ξ) = T ξ estabelece um isomorfismo isométrico entre (c 0 ) e l 1, isto é, (c 0 ) = l 1 a menos de uma isometria. Exemplo 1.2. Seja 1 p e tomamos p tal que 1 p + 1 p = 1 se p > 1 (ou p = se p = 1). Dado ξ = (ξ n ) l p, seja T ξ : l p IK definido por T ξ (λ) = ξ nλ n para todo λ = (λ n ) l p. A aplicação T : l p isomorfismo isométrico entre (l p ) e l p, isto é, (l p ) = l p Exemplo 1.3. Seja l m p (l p ) definida por T(ξ) = T ξ estabelece um a menos de uma isometria. = {(λ n ) l p : λ n = 0,n > m}, para 1 p. É claro que l m p l p e a aplicação T do Exemplo 1.2 restrita a lm p estabelece um isomorfismo isométrico entre (l m p ) e l m p. Proposição 1.9. (Extensão de Operadores Lineares Limitados) Sejam X um espaço normado, G um subespaço de X e Y um espaço de Banach. Se T : G Y é um operador linear limitado, então existe extensão T : G Y linear e limitada tal que Tx = Tx para todo x G e T = T. Demonstração. Seja x G. Logo, existe uma seqüência (x n ) em G tal que lim x n = x. Como T é um operador linear limitado, temos que a seqüência (Tx n ) é de Cauchy no espaço de Banach Y. Portanto, existe y Y tal que lim Tx n = y. Como isto vale para todo x G, podemos definir T : G Y como sendo Tx = y, onde y = lim Tx n para alguma seqüência (x n ) em G tal que lim x n = x. Como T é uniformemente contínua, segue que T está bem definida. É fácil ver que T é um operador linear limitado tal que Tx = Tx para todo x G e, além disso, T = T. 15

24 Teorema 1.3. (Teorema de Hahn-Banach) Sejam X um espaço normado e G X um subespaço. Se f : G IK é linear e contínua, então existe f : X IK, linear e contínua tal que f(x) = f(x) para todo x G e f = f. Demonstração. Veja [5], Teorema 2.4, p. 40. Como conseqüências imediatas do Teorema de Hahn-Banach temos: Corolário 1.1. Sejam X um espaço normado e x X, x 0. Então existe f X tal que f = 1 e f(x) = x. Corolário 1.2. Seja X um espaço normado. Se f(x) = 0 para toda f X, então x = 0. Corolário 1.3. Seja X um espaço normado. Para todo x X tem-se x = sup f(x) f B X Lembremos que um subconjunto A de um espaço vetorial é convexo se, dados quaisquer x,y A, o segmento de reta que liga estes dois pontos está contido em A, isto é, tx+(1 t)y A para todo t [0, 1]. Teorema 1.4. (Forma Geométrica do Teorema de Hahn-Banach) Sejam X um espaço normado sobre IR, A e B subconjuntos convexos não vazios de X tais que A B =. Suponhamos que A é aberto. Então existem α IR e f X tais que f(x) < α f(y) para todo x A e y B. Demonstração. Veja [5], Corolário 2.13, p. 43. Teorema 1.5. (Teorema de Banach-Steinhaus) Sejam X um espaço de Banach e Y um espaço normado. Seja (T α ) α I L(X, Y ) tal que sup T α x é finito para cada x X. Então α I tem-se que sup T α é finito. α I 16

25 Demonstração. Veja [5], Teorema 3.12, p. 68. Como conseqüência do Teorema de Banach-Steinhaus temos: Corolário 1.4. Seja B um subconjunto de um espaço normado X. Então B é um subconjunto limitado de X se, e somente se f(b) é um subconjunto limitado de IK para todo f X. Demonstração. Veja [5], Corolário 3.15, p. 69. Teorema 1.6. (Teorema da Aplicação Aberta) Sejam X e Y espaços de Banach. Se T : X Y é uma aplicação linear contínua sobrejetiva então T é uma aplicação aberta. Demonstração. Veja [5], Teorema 2.24, p. 50. Corolário 1.5. Sejam X e Y espaços normados e T : X Y uma aplicação linear contínua. Definindo T : X/kerT Y por T(x) = T(x) para cada x X/ker T temos que T é uma aplicação linear contínua e bijetora. Então X/ kert é isomorfo a Y Definição 1.6. Sejam X e Y espaços normados e T : X Y uma aplicação. O gráfico de T é o conjunto G T = {(x,y) X Y ; y = Tx}. Teorema 1.7. (Teorema do Gráfico Fechado) Sejam X e Y espaços de Banach e seja T : X Y uma aplicação linear. Então T é contínuo se, e somente se o gráfico de T é fechado em X Y. Demonstração. Veja [5], Teorema 2.26, p. 51. Proposição Sejam X e Y espaços de Banach e T L(X, Y ). Se existe δ > 0 tal que para todo x X T(x) δ x ( ) 17

26 então T(X) é fechado em Y. Além disso T é um isomorfismo entre X e T(X) Y. Demonstração. Seja (T(x n )) uma seqüência em T(X) que converge para y. Por sua convergência (T(x n )) é uma seqüência de Cauchy. Dado n,m IN temos T(x n x m ) δ x n x m. Donde concluimos que (x n ) é uma seqüência de Cauchy em X. Como X é um espaço de Banach existe x X tal que lim x n = x. Pela continuidade de T temos que lim T(x n ) = T(x) e conseqüentemente T(x) = y. Donde concluimos que T(X) é um espaço fechado. Diretamente de ( ) vemos que T é uma aplicação injetiva com inversa contínua, concluindo assim a demonstração. Definição 1.7. Sejam X e Y espaços normados e seja T L(X, Y ). Definimos a transposta de T, e denotamos por T, como sendo a aplicação T : Y X definida por T (ϕ) = ϕ T para todo ϕ Y. Observação 1.3. Observe que como T : X Y e ϕ : Y IK são lineares e contínuas, temos que ϕ T : X IK é linear e contínua. Daí T está bem definida. A linearidade de T é clara. Além disso, pelo Teorema de Hahn-Banach (corolário 1.3) temos que sup ϕ(tx) = ϕ 1 Tx, donde segue que T = sup Tx = T. Concluímos daí que T L(Y,X ) e x 1 T = T. Teorema 1.8. Sejam X um espaço de Banach, Y um espaço normado e T : X Y uma aplicação linear com gráfico fechado. Se T tem inversa contínua então T(X) = Y. Demonstração. Veja [17] Teorema 9.4, p

27 Definição 1.8. Seja X um espaço vetorial. Uma aplicação linear P : X X é chamada uma projeção de X sobre o subespaço Y de X se P(X) = Y e P(y) = y para cada y P(X) Observemos que dada uma projeção P : X X é fácil verificar que X = kerp P(X). Definição 1.9. Um subespaço Y de um espaço de Banach X é dito complementado em X se existe uma projeção limitada de X sobre Y. Seja Y 1 um subespaço fechado de um espaço de Banach X. Dizemos que Y 2 é o complemento topológico de Y 1 em X se X = Y 1 Y 2 e Y 2 é um subespaço fechado de X. Proposição Sejam X e Y espaços de Banach e T um isomorfismo de X sobre Y. Se X 1 é complementado em X com complemento topológico X 2, então T(X 1 ) é complementado em Y com complemento topológico T(Y 2 ). Demonstração. Veja [5], Fato 5.4, p Lema 1.2. (Lema de Riesz) Seja X um espaço normado. Se Y é um subespaço fechado próprio de X, então para todo ǫ > 0 existe x S X tal que dist(x,y ) 1 ǫ. Demonstração. Veja [5], Lema 1.23, p. 13 O teorema que enunciaremos a seguir é uma conseqüência do Lema de Riesz. Teorema 1.9. (Teorema de Riesz) Seja X um espaço normado. Então B X é compacta se, e somente se, a dimensão de X é finita. Demonstração. Veja [5], Teorema 1.24, p. 14. Seja (X, Γ) um espaço de topológico. Diremos que uma família B Γ é uma base de Γ se dado U Γ existe C B tal que U = {V : V C} 19

28 Um conjunto S é uma sub-base para uma topologia Γ em X se S é uma coleção de subconjuntos de Γ tal que as interseções finitas de elementos de S formam uma base para Γ. Dada qualquer coleção S de subconjuntos não vazios de X tal que a união dos elementos de S dá X, existe uma topologia em X que tem S como sub-base. A seguir, definiremos uma topologia em espaços normados que, no caso dos espaços de dimensão infinita, é estritamente menos fina do que a topologia da norma e, no caso de espaços de dimensão finita, coincide com a topologia da norma. Esta topologia desempenha um papel muito importante na Análise Funcional. Definição Seja X um espaço normado. A topologia fraca de X, denotada por ω, é a topologia que tem como sub-base a coleção S = {ϕ 1 (A); ϕ X, A IK aberto }. Dizemos que a topologia da norma é a topologia forte de X e indicamos por β. A partir da definição, é fácil ver que ω β. Pela definição de topologia fraca, temos que a coleção {V ϕ,ǫ (x 0 ); x 0 X; ϕ X ; ǫ > 0}, onde V ϕ,ǫ (x 0 ) = {x X; ϕ(x x 0 ) < ǫ} para x 0 X, ϕ X e ǫ > 0, forma uma sub-base para a topologia fraca de X. É fácil verificar que uma seqüência (x n ) converge para x X na topologia fraca se, e somente se, ϕ(x n ) ϕ(x) para toda ϕ X. Neste caso, dizemos que (x n ) converge fracamente para x e indicamos este fato por x ω n x. Denotaremos por (X,ω) o espaço X munido da topologia fraca ω. Dizemos que (x n ) é uma sequência fraca de Cauchy se (f(x n )) é uma sequência de Cauchy para cada f X. Seja K um subconjunto de um espaço normado X. Neste trabalho K representará o fecho de K na topologia da norma e K ω representará o fecho de K na topologia fraca. Em geral, K K ω. O seguinte resultado é uma conseqüência do Teorema de Hahn-Banach: Teorema Sejam X um espaço normado e K um subconjunto convexo de X. Então K ω = K. Demonstração. Veja [1], Teorema III.7, p

29 Teorema Sejam X e Y espaços de Banach. Então T L(X, Y ) se, e somente se T L((X,ω), (Y, ω)). Demonstração. Veja [1], Teorema III.9, p. 39. Sejam X um espaço normado, X o dual de X com a norma usual e representaremos por X o dual topológico de X. Definimos J : X X por Jx = δ x para todo x X, onde δ x : X IK é definida por δ x (f) = f(x) para toda f X. J é chamada de aplicação canônica X em X. É fácil ver que J está bem definida, é linear e é uma isometria entre X e J(X). Portanto X e J(X) X são isometricamente isomorfos. Definição Dizemos que um espaço de Banach X é reflexivo se J for sobrejetora. Neste caso, X e X são isometricamente isomorfos. Teorema Seja X um espaço de Banach. Então X é reflexivo se, e somente se B X é compacta na topologia fraca de X. Demonstração. Veja [1], Teorema III.16, p. 44. Proposição Seja X um espaço de Banach reflexivo. Se M é um subespaço vetorial fechado de X então M é um espaço de Banach reflexivo. Demonstração. Veja [1], Proposição III.17, p. 45. Seja X o dual topológico de um espaço normado X. Podemos considerar em X, além das topologias forte e fraca, uma outra topologia importante, a chamada topologia fraca-estrela, que definiremos a seguir. Definição Seja X um espaço normado. A topologia fraca-estrela de X, denotada por ω, é a topologia que tem como sub-base a coleção S = {ϕ 1 (A); ϕ J(X) X,A IK aberto } = {δ 1 x (A);x X,A IK aberto }. 21

30 É claro que a topologia fraca-estrela de X é menos fina do que a topologia fraca de X. Da definição temos que a coleção S = {W x,ǫ (ϕ 0 ); x X, ϕ 0 X, ǫ > 0}, onde W x,ǫ (ϕ 0 ) = {ψ X ; (ψ ϕ 0 )(x) < ǫ} para x X, ϕ 0 X e ǫ > 0 é uma sub-base para a topologia fraca-estrela. Além disso, uma seqüência (ϕ n ) X converge para ϕ X na topologia fraca-estrela se, e somente se, ϕ n (x) ϕ(x) para todo x X. Neste caso, dizemos que (ϕ n ) converge fraca estrela para ϕ e indicamos este fato por ϕ n ω ϕ. Pelo Teorema de Riesz, a bola unitária de um espaço de Banach X é compacta na topologia da norma, se e somente se, a dimensão de X é finita. O teorema que enunciaremos a seguir mostra que, quando considerarmos em X a topologia fraca-estrela, a situação muda completamente. Teorema (Teorema de Banach-Alaoglu-Bourbaki) Seja X um espaço de Banach. Então o conjunto B X é compacto na topologia fraca-estrela de X. Demonstração. Veja [1], Teorema III.15, p. 42. Teorema Seja X um espaço de Banach. Então (B X,ω ) é metrizável se e somente se X é separável. Demonstração. Veja [5], Teorema 3.24, p. 72. Teorema (Rosenthal) Se E um espaço de Banach que não tem um subespaço isomorfo a l 1 então toda seqüência limitada em E possui uma subseqüência fracamente de Cauchy. Demonstração. Veja [2], p. 201 Teorema (Pelczynski) Seja X um espaço de Banach separável que contém um subespaço isomorfo a l 1. Então X contém um subespaço isomorfo a L 1 [0, 1]. Demonstração. Veja [13], Teorema 3.4, p

31 Teorema Seja X um espaço de Banach. Se X tem um subespaço isomorfo a l 1 então X tem um espaço quociente isomorfo a l 2. Demonstração. Veja [9], Teorema 4.1, p

32 Capítulo 2 Bases de Schauder Neste capítulo definimos base de Schauder de um espaço de Banach, damos exemplos e apresentamos resultados estabelecendo condições necessárias e suficientes para que uma seqüência (x n ) seja base de Schauder para o espaço span{x n : n IN}, isto é, seja uma seqüência básica. Definimos e estudamos também as bases contráteis, limitadamente completas e incondicionais. 2.1 Noções preliminares sobre bases de Schauder Definição 2.1. Uma seqüência (x n ) em um espaço normado X é dita uma base de Schauder de X, se para todo x X existe uma única sequência (α n ) de escalares tal que x = α n x n (onde a série converge em norma). Exemplo 2.1. Consideremos os espaços de seqüência c 0 e l p, para p [1, ). Seja (e n ) a seqüência contida em c 0 e l p, para p [1, ), tal que para cada n IN e n = (δ nk ) k=1 onde δ nn = 1 e δ nk = 0 se n k. É facil verificar que a seqüência (e n) é uma base de Schauder para os espaços c 0 e l p, para p [1, ). Por outro lado, (e n ) não é base de Schauder 24

33 para l pois, por exemplo, não existe (λ n ) IK tal que (1, 1, 1,...) = λ n e n em l. Definição 2.2. Dizemos que um conjunto A é linearmente independente se todo subconjunto finito de A for linearmente independente. Observação 2.1. Toda base de Schauder de um espaço normado X é linearmente independente. Com efeito, suponha por absurdo que exista uma base de Schauder (x n ) que não seja linearmente independente, e seja B = {x i1,...,x in } um subconjunto finito de (x n ) que não é linearmente independente. Então existe um i j {i 1,...,i n } e j 1 β 1,...,β j 1,β j+1,...,β n escalares tais que x nij = β k x ik + β k x ik. Por outro lado, para cada i IN temos que x i = k=1 k=j+1 α n x n onde α n = δ in para cada n IN. Isto contraria o fato de existir uma única seqüência de escalares (α n ) tal que x ij = α n x n. Donde concluímosque toda base de Schauder de um espaço normado é linearmente independente. Definição 2.3. Dizemos que uma seqüência de projeções (P n ) está associada com uma base de Schauder (x n ) de um espaço normado X,se para todo n IN, P n : X X é dada por P n (x) = α i x i para todo x = α i x i X. Cada P n é dita uma projeção associada a (x n ). Lema 2.1. Sejam (x n ) uma base de Schauder de um espaço normado X e (P n ) a seqüência de projeções associada a (x n ). Então temos: (1) dimp n (X) = n para todo n IN. (2) P n P m = P m P n = P min(n,m) para todo n,m IN. (3) lim P n (x) = x. Demonstração. (1): Como para cada x P n (X) temos que x = α i x i com α 1,...,α n IK 25

34 e (x n ) é um conjunto linearmente independente, temos que o conjunto {x 1,...,x n } é uma base para P n (X) e assim dim P n (X) = n. (2): Suponhamos que m n. Se x X então existe uma seqüência de escalares (a n ) tal que x = a i x i. Pela definição de P n e P m temos P n P m (x) = P n P m ( a i x i ) = P n ( m a i x i ) = m a i x i e P m P n (x) = P m P n ( a i x i ) = P m ( a i x i ) = P n P m (x) = P m P n (x) = P min(n,m) (x) para cada x pertencente a X. m a i x i. Assim (3): Se x X então existe uma seqüência de escalares (a n ) tal que x = lim a i x i. Pela definição de P n temos que P n (x) = a i x i para cada n IN. Desta maneira vemos que x = lim P n (x). Proposição 2.1. Seja (P n ) uma seqüência de projeções limitadas definidas em um espaço normado X. Se as projeções satisfazem as condições (1), (2) e (3) do Lema 2.1 então são projeções associadas com uma base de Schauder de X. Demonstração. Pela condição (1), do Lema 2.1, temos que dimp 1 (X) = 1. Assim existe e 1 X, e 1 0 tal que P 1 (X) = span{e 1 }. Afirmamos que kerp 2 kerp 1 e P 1 (X) P 2 (X). Com efeito, seja y kerp 2. Como P 1 P 2 = P 1 temos que P 1 (y) = P 1 P 2 (y) = P 1 (0) = 0. Donde concluímosque y ker P 1. Além disso, dado y P 1 (X) existe um x X tal que y = P 1 (x) X e, como por hipótese P 1 P 2 = P 1 temos que y = P 1 (x) = P 2 (P 1 (y)) donde concluímosque y P 2 (X) e conseqüentemente P 1 (X) P 2 (X). É claro que P 1(X) P 2 (X). Vamos mostrar agora que kerp 1 P 2 (X) {0}. Com efeito, como P 1 (X) P 2 (X) existe u P 2 (X) \ P 1 (X) tal que u 0. Pela observação feita, após a Definição 1.8, podemos escrever X = kerp 1 P 1 (X). Desta maneira existem u 1 P 1 (X) e z kerp 1 tais 26

35 que u = z + u 1. Como u 1 P 2 (X) e u P 2 (X) temos que z P 2 (X). Além disso, se z = 0 então u = u 1 P 1 (X), o que é um absurdo. Assim temos que z 0. Obtemos assim que existe e 2 kerp 1 P 2 (X) e e 2 0 e claramente {e 1,e 2 } é uma base para P 2 (X). Suponhamos, que {e 1,...,e j } é uma base para P j (X) tal que, para cada j {1,,n}, e j kerp j 1 P j (X) e e j 0. Análogamente como foi feito para P 1 e P 2 obtemos que kerp n+1 ker P n, P n (X) P n+1 (X) e kerp n P n+1 (X) {0}. n+1 Seja e n+1 P n+1 (X) \ ker P n tal que e n+1 0. Seja (λ i ) n+1 IK tal que 0 = λ i e i = n+1 λ i e i + λ n+1 e n+1. Temos que 0 = P n (0) = P n ( λ i e i ) = P n ( λ i e i ) + λ n+1 P n (e n+1 ) = λ i P n (e i ) = 0 = λ i e i. Donde concluímos que λ 1 =,...,= λ n = 0. Conseqüentemente, n+1 λ i e i = λ n+1 e n+1 e assim λ n+1 = 0. Desta maneira {e 1,,e n+1 } é um conjunto linearmente independente. Como {e 1,,e n+1 } P n+1 (X) e dim P n+1 (X) = n+1 temos que span{e 1,,e n+1 } = P n+1 (X) Seja x X. É claro que existe um escalar α 1 tal que P 1 (x) = α 1 e 1. Da mesma maneira existem escalares α 1 e α 2 tais que P 2 (x) = α 1e 1 + α 2 e 2. Como P 1 P 2 = P 1 e, por construção, e 2 ker P 1, temos que α 1 e 1 = P 1 (x) = P 1 P 2 (x) = α 1P 1 (e 1 ) + α 2 P 1 (e 2 ) = α 1e 1, donde concluímos que α 1 = α 1 e P 2 (x) = α 1 e 1 +α 2 e 2. Seja n IN. Suponhamos que existam escalares α 1,...,α n tais que P n (x) = α k e k. Como o conjunto {e 1,...,e n+1 } gera P n+1 (X) existem k=1 escalares α 1,...,α n,α n+1 tais que P n+1 (x) = α ke k + α n+1 e n+1. Como P n P n+1 = P n e k=1 27

36 e n+1 kerp n temos que α k e k = P n (x) = P n P n+1 (x) = P n ( α ke k ) + α n+1 P n (e n+1 ) = k=1 k=1 α ke k. Usando o fato do conjunto {e 1,...,e n } ser linearmente independente temos que k=1 n+1 α i = α i para i {1,...,n}, donde concuimos que P n+1 (x) = α k e k. Segue por indução que existe uma seqüência de escalares (α n ) n+1 tal que P n (x) = k=1 α k e k para cada n IN. Além disso, temos também por hipótese que lim P n(x) = x e conseqüentemente, x = n + α i e i. Suponha que exista uma outra seqüência de escalares (β n ) s que x = β i e i. Como para cada n IN P n é contínua obtemos que P n (x) = k=1 β i e i, daí temos que β i e i = P i (x) P i 1 (x) = α i e i. concluímosassim, que a seqüência (e n ) é uma base de Schauder. Definição 2.4. Seja (P n ) uma seqüência de projeções. Dizemos que (P n ) é uniformemente limitada se sup n IN P n < +. Proposição 2.2. Seja (P n ) uma seqüência de projeções associada com a base de Schauder (e n ) de um espaço normado X. Se a seqüência (P n ) é uniformemente limitada então (e n ) também é base de Schauder do fecho de X no completamento de X. Demonstração. Por X ser um espaço normado temos também que X é um subespaço normado do completamento de X. Como X é denso em X, P n é uniformemente contínua em X e P n (X) é completo para cada n IN, pela Proposição 1.2 temos que P n : X P n (X) é uniformemente contínua para cada n IN. Seja n IN. Pela continuidade de P n vemos que P n é uma aplicação linear e sup n IN Pn sup n IN ( P n ). Como P n estende P n, é claro que P n (X) = P n (X) e assim dim P n (X) = n. Se x X então existe (x n ) X tal que lim n + x n = x. Para cada m,n IN temos 28

37 P m (x) x = P m (x) P m (x n ) + P m (x n ) x n + x n x P m x x n + P m (x n ) x n + x n x (sup n IN P n + 1) x x n + P m (x n ) x n Dado ǫ > 0 existe n 0 IN tal que x x n < ǫ/(sup n IN P n + 1) para n IN e n n 0. Fixemos n 0 IN. Temos que existe m 1 IN tal que se m m 1 então P m (x n0 ) x no < ǫ/2. Segue daí existência de m 0 IN tal que Pm (x) x (sup n IN P n + 1) x x n0 + P m (x n0 ) x n0 < (sup n IN P n + 1)ǫ/2(sup n IN P n + 1) + ǫ/2 = ǫ para cada m m 0. Donde concluímos que P m (x) x para cada x X. Seja x X então existe uma seqüência (x n ) contida em X tal que lim x n = x. Se i,j IN, pela continuidade de P i, P j, P i e P j temos que P i (P j (x)) = P i ( lim (P j (x n )) = lim P i (P j (x n )) = lim P i (P j (x n )) = lim (P min{i,j} (x n )) = P min{i,j} (x). Donde concluímos que P i P j = P min{i,j}. De maneira análoga temos que P j P i = P min{i,j}. Como e 1 P 1 (X) e e i P i (X) kerp i 1 para todo i IN temos que e 1 P 1 (X) e e i P i (X) kerp i 1. Segue pela demonstração da Proposição 2.2 que (e i ) é uma base de Schauder de X. 29

38 Lema 2.2. Seja (e i ) uma base de Schauder do espaço de Banach (X,. ). Definimos. em X por x = sup a i e i para x = a i e i X. Então: n IN (1). é uma norma em X, (e i ) é uma base de Schauder do espaço (X,. ) e a seqüência das projeções de (X,. )em (X,. ) associada com esta base de Schauder é limitada por 1. (2). é equivalente a. em X. Demonstração. (1): Primeiro mostraremos que. é uma norma. Como para cada x X existe uma seqüência de escalares (α n ) tal que x = α n x n temos que x = sup n IN a i e i é limitada. É fácil verificar que 0 = 0 e que λx = λ x para cada λ IK. Pela continuidade de. segue que x = lim a i e i = lim a i e i. Como x n a ie i para cada n IN temos que x lim n a ie i = x. Segue daí que se x = 0 temos x = 0. Finalmente, existem seqüências de escalares (a i ) e (b i ) tais que x = a i e i e y = b i e i. Pela definição de. temos que x + y = sup n IN n IN. Podemos ver que (a i + b i )e i. Fixemos 30

39 (a i + b i) e i a i e i + b i e i (a i + b i )e n x + y e conseqüente- Donde concluímos que x + y = sup n IN mente., é uma norma em X. sup a i e i + sup n IN n IN = x + y. b i e i Vamos usar a Proposição 2.1 para mostrar que (e i ) é uma base de Schauder do espaço (X,. ). Para cada n IN considere a projeção P n associada com a base de Schauder (e n ) de (X,. ). Sabemos que P n (X) tem dimensão n e P n (x) = a i e i para todo x = a i e i X. Então a seqüência (P n ) satisfaz as condições (1) e (2) do Lema 2.1 Como a i e i converge em (X,. ), a seqüência (s n ) = ( a i e i ) é uma seqüência de Cauchy em (X,. ). Desta maneira, dado ǫ > 0 existe m 0 IN tal que se n m m 0 então a i e i < ǫ. Tomando m m 0 podemos ver que i=m+1 x P m (x) = sup P n (x P m (x)) = sup P n (x) P n P m (x) n IN n IN = sup P n (x) P m (x) = sup a i e i < ǫ, n IN n m i=m+1 donde concluímos que lim P m(x) = x em (X,. ). Assim, pela Proposição 2.1, m + seqüência (e i ) é uma base de Schauder de (X,. ). a Definimos P n = sup P n (x) a norma da projeção P n : (X,. ) (X,. ). x 1 31

40 Tomando x = sup n IN a i e i 1 temos que conseqüentemente, pela condição (2) do Lema 2.1, P n P m (x) = 1 n m. Vemos assim que para cada n IN fixado a i e i 1 para n IN e a i e i 1 para P m = sup P m (x) = sup x 1 x 1 = sup x 1 sup P n P m (x) = sup 1 n m sup x = 1. x 1 sup P n P m (x) n IN sup x 1 1 n m a i e i (2): Seja X o fecho do espaço (X,. ) no complemento de X. Pela Proposição 2.2, temos que (e i ) i=i é base de Schauder de X. Se x X, existe uma única seqüência de escalares (α i ) para qual x = α i e i na norma.. Como pelo item (1), x x para x X temos que (s n ) = ( α i e i ) é uma seqüência de Cauchy em (X,. ). Por outro lado, (X,. ) é um espaço completo e por isso existe x X para qual x = Pelo item (1) temos que, se x = α i e i na norma.. α i e i = lim m P m(x) = x na norma., então lim m P m(x) = x na norma.. Pela unicidade dos limites temos x = x, o que implica em (X,. ) ser completo. Como a aplicação I X : (X,. ) (X,. ) é uma bijeção linear contínua entre espaços de Banach, temos pelo Teorema da Aplicação Aberta (Teorema 1.6), que as normas. e. são equivalentes em X. Teorema 2.1. (Banach) Se (e i ) é uma base de Schauder de um espaço normado X então 32

41 a seqüência (P n ) das projeções associada com (e i ) é uniformemente limitada. Demonstração. Pelo Lema 2.2, temos que P n 1 para n IN. Como as normas. e. são equivalentes, existe uma constante real positiva a para qual x x a x para cada x X. Segue que P n (x) P n (x) P n x a x para todo n IN e x X. Conseqüentemente sup P n a, ou seja, a seqüência (P n ) é uniformemente n IN limitada. Definição 2.5. Seja (x n ) uma base de Schauder de um espaço de Banach X. Para cada k IN considere o funcional linear x k : X IK tal que x k (x) = a k para todo x = a n x n X. A seqüência (x n) é chamada de seqüência dos funcionais coordenadas da base de Schauder (x n ). É fácil verificar que (x n) é linearmente independente. Observação 2.2. Como x n = P n P n+1, pelo Teorema 2.1 temos que a seqüência dos funcionais coordenadas de uma base de Schauder é uma seqüência de funcionais contínuos. Definição 2.6. Sejam X um espaço vetorial, Λ um conjunto qualquer e (x λ ) λ Λ uma família contida em X. Definimos span{x λ ;λ Λ} como o espaço vetorial gerado pela família (x λ ) λ Λ, isto é, formado pelas combinações lineares finitas dos elementos da família. Proposição 2.3. Sejam (e n ) uma base de Schauder em um espaço de Banach X, (P n ) a seqüência de projeções associada com (e n ) e (e n) a seqüência dos funcionais coordenadas de (e n ). Então: (1) Para cada n IN, se P n : X X é definida por P n(f) = f P n para cada f X e P n : X X, temos que P n(f) = f(e i )e i = J(e i )(f)e i onde J : X X é o mergulho canônico. 33

42 (2) A seqüência (P n(f)) é w*-convergente para f X (3) (e n) é uma base de Schauder do espaço span{e n;n IN}. Em particular lim P n(f) = f para todo f span{e n; n IN} e P n = P n para n IN. Demonstração. (1): Para cada n IN consideremos P n : X X tal que P n(f) = f P n para f X. Como P n é uma aplicação linear contínua temos que P n(f) X para cada f X. Se x X, então x = f(p n (x)) = f( e i(x)e i. Assim, para cada f X podemos escrever P n(f)(x) = e i(x)e i ) = f(e i )e i para f X. (2): Sejam f X e x = f(e i )e i(x) para todo x X. Donde concluimos que P n(f) = e i(x)e i X. Como f é contínua, temos que lim P n(f)(x) = lim f(p n(x)) = f(x), donde concluímos que (P n(f)) é ω -convergente para f X. (3): Por (1), dimp n(x ) = n para cada n IN. Consideremos m,n IN. A igualdade P np m = P mp n = P min(m,n) segue de P np m(f) = f P n P m = f P min(m,n) = P min(m,n) (f) para cada f X. Seja Q n = P n span {e i ;i IN} para cada n IN. Observe que Q n P n e, como P n = P n para cada n IN, pela Observação 1.3, temos que (Q n ) é uma seqüência uniformemente limitada de projeções contínuas definidas em span{e i; i IN}. Dado qualquer f span{e i; i IN}, existem a 1,...,a n IK (com n IN) tais que f = a i e i. Tomando qualquer m IN tal que m n temos Q m = P m(f) = f, de modo que lim Q n (f) = f. Como e 1 Q 1 (span{e i ; i IN}) e e i Q i (span{e i ;i IN}) kerq i 1 para todo i IN, segue pela demonstração da Proposição 2.2, que (e i) é uma base de Schauder do span{e i ;i IN}. Finalmente, como (Q n ) é uma seqüência uniformemente limitada de 34

43 projeções, (e i) é também uma base de Schauder de span{e i ; i IN} pela proposição 2.2. Segue pelo Lema 2.1 que lim P n(f) = f para cada f span{e i ; i IN} Definição 2.7. Uma seqüência de elementos (x n ) de um espaço de Banach é dita uma seqüência básica se (x n ) é uma base de Schauder para span{x n ;n IN}. Observação 2.3. Todo espaço de Banach com base de Schauder é separável. Teorema 2.2. Seja (x n ) uma seqüência de vetores não nulos em um espaço de Banach X. Então (x n ) é uma seqüência básica se e somente se existe uma constante real K > 0 tal que a i x i K m a i x i para quaisquer (a i ) IK e m,n IN com n m. A menor constante que satisfaz ( ) é chamada constante básica, e é denotada por bc{x n }. ( ) Demonstração. ( ): Suponhamos que (x n ) é uma seqüência básica e seja (a i ) IK escolhido arbitrariamente. Seja (P n ) a seqüência de projeções canônicas associada com (x n ). Pelo Teorema 2.1, temos que K = sup P n <. Então para todo n IN x span{x n ; n IN} e m,n IN com n m temos: m a i x i = P n (x) = P n (P m (x)) P n P m (x) K a i x i. ( ): Suponhamos que, (x n ) éuma seqüência de vetores não nulos e existe uma m constante real K > 0 tal que a i x i K a i x i para toda escolha (a i ) IK e m,n IN com n m. 35