Aplicação do Método dos Elementos de Contorno com Dupla Reciprocidade em Problemas Difusivos-Advectivos Não Lineares

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1 Universidade Federal de São João Del-Rei MG 26 a 28 de maio de 2010 Associação Brasileira de Métodos Computacionais em Engenharia Aplicação do Método dos Elementos de Contorno com Dupla Reciprocidade em Problemas Difusivos-Advectivos Não Lineares C. F. Loeffler 1 ; F. P. Neves. 2 ; P. C. Oliveira 3 1 Programa de Pós-Graduação em Engenharia Mecânica Universidade Federal do Espírito Santo, Vitória, ES Brasil CEP carlosloeffler@bol.com.br 2 Corpo de Bombeiros Militar do Espírito Santo, Vitória, ES Brasil patriciofire@gmail.com 3 Universidade Federal do Espírito Santo, Alegre, ES Brasil pacololiveira@yahoo.com.br Resumo: Neste trabalho desenvolve-se um modelo numérico para simular computacionalmente a distribuição de pressões, velocidades, temperaturas e fluxos de calor estacionários em volumes de controle bidimensionais. O campo de temperaturas e velocidades é governado pela equação da Difusão-Advecção, resolvida através da formulação com Dupla Reciprocidade do Método dos Elementos de Contorno. Admite-se a lei de Darcy para representar a Equação de Momentum, associando pressão e velocidade, que no caso linear consiste num modelo matemático dado pela Equação de Laplace. A análise não-linear é caracterizada pela dependência do campo de velocidade com a temperatura, resultando num modelo expresso pela Equação de Poisson. Os resultados para a velocidade são, então, implementados na Equação da Difusão-Advecção, gerando temperaturas e fluxos de calor. Estes valores são re-introduzidos na Equação de Poisson para gerar novas pressões e campos de velocidade. O processo é repetido até que haja convergência dos resultados para valores estáveis. Palavras chaves: Método dos Elementos de Contorno; Problemas Difusivos-Advectivos; Formulação com Dupla Reciprocidade; Modelos Darcianos em Escoamentos.

2 1 INTRODUÇÃO São muito freqüentes na engenharia problemas físicos que envolvem transporte de massa ou energia através de difusão associada à advecção, seja em escoamentos, misturas ou deslocamento de particulados. Os casos mais conhecidos consistem na transferência de calor junto à camada limite do fluido em escoamentos laminares, típico em aletas de trocadores de calor e em aerofólios, e do transporte de fluidos incompressíveis com baixa viscosidade em tubulações sujeitas a diferenciais de temperatura. Existem ainda situações menos tradicionais, mas não menos importantes, como a dispersão superficial de poluentes ou misturas em meio aquosos homogêneos, a secagem de produtos agrícolas, a absorção de líquidos em região não saturada ou a extração de óleo em meio poroso, este último problema atualmente de grande interesse na indústria de petróleo. Outro caso interessante consiste dos problemas de aeração em ambientes fechados, onde o conhecimento das regiões de estagnação e os principais pontos de insuflamento são importantes. No caso geral, à complexidade dos fenômenos físicos associados a esses problemas corresponde uma modelagem matemática igualmente elaborada, composta por equações diferenciais parciais não-lineares, que requerem necessariamente o emprego de métodos numéricos para sua solução aproximada. No entanto, o tratamento desses casos usualmente é substituído pela adoção de modelos simplificados, que viabilizam sua solução e ao mesmo tempo atendam às necessidades práticas. Nesse trabalho, adota-se um modelo nãolinear mais acessível para a equação de momentum linear, gerado a partir da Lei de Darcy, que resulta numa relação escalar entre velocidades e o campo de pressões atuantes. 2 PROBLEMA FÍSICO E EQUAÇÕES BÁSICAS O domínio físico compõe-se de um volume de controle bidimensional Ω(x,y), dentro do qual atua um campo de velocidades e pressões e em cujas fronteiras Γ(x,y) são prescritas temperaturas ou fluxos. A figura 1 ilustra tais características: Figura 1: Volume de Controle atravessado por campo de velocidades (v x,v y ) Considerando-se escoamentos incompressíveis homogêneos, em regime permanente e com propriedades isotrópicas, a Equação da Continuidade (White, 1986) se expressa por: v x v y + = 0 (1) Na equação anterior, v x e v y são as componentes do vetor velocidade V do escoamento, enquanto x e y caracterizam as coordenadas globais do volume de controle. A Equação da Energia (White, 1986), no caso é dada pela Equação da Difusão-Advecção: 2 2 C T T T T ρ v[ v x + v y ] = K[ + ] (2) 2 2

3 Onde Cv é o calor específico a volume constante e K é a condutividade térmica do meio fluido. A Equação do Momentum (Özisik, 1968), admitindo-se presença de forças de corpo b x e b y, escreve-se como: V V 2 ρ [ vx + v y] = p+µ V+ρb (3) Onde ρ é a massa específica, p é o campo de pressão no fluido e µ é a viscosidade. A derivada total presente no lado esquerdo da equação (3) é proporcional à força requerida para sobrepujar a inércia do elemento fluido e esse termo pode ser omitido das equações quando se admite o fluxo viscoso, ou seja, escoamentos com Número de Reynolds (Ra) bastante baixos (Bejan, 1993). Nessas condições, a mencionada equação para um fluido incompressível se simplifica e é dada por: 2 p=ρ b+µ V (4) Tal hipótese se aplica na descrição do escoamento de partículas com massa desprezível através de um meio fluido. Essa hipótese também é pertinente no equacionamento dos problemas de escoamento em meios porosos, nos quais pode se aplicar a lei de Darcy. 3 MODELO DARCIANO Admitindo-se que a porosidade seja relativamente baixa no meio, vigora a Lei de Darcy (Bennett and Myers, 1982). Ressalta-se que tal lei é válida somente para fluxo lento e viscoso. Nessas condições, pode-se escrever: µφ V =ρ b p χ Onde χ é a permeabilidade do meio e Φ é a porosidade. Assim, nas condições de escoamento laminar, da comparação entre o valor do campo de velocidade dado pela Lei de Darcy e a expressão correlata dada pela Equação de Momentum para o escoamento viscoso incompressível, tem-se: φ 2 V = V χ (5) (6) 4 APROXIMAÇÃO DE BOUSISINESQ Para poros rochosos saturados, a aproximação de Boussinesq (Zhao et al, 1996) pode ser empregada para descrever a mudança na massa específica dos poros devido à mudança na temperatura. Tal aproximação estabelece que nos casos em que atua a força gravitacional, as alterações na massa específica não são pequenas suficientemente para serem desprezadas. Expressando a massa específica como uma função da temperatura: ρ F=ρO[1 β(t T O)] (7) Onde ρ F é a massa específica a uma temperatura T F qualquer, enquanto ρ O é a massa específica na temperatura T O de referência do meio e β é o coeficiente de expansão térmica do meio poroso. Considerando-se agora a variação da massa específica, tem-se: µφ V =ρ o[1 β (T T o)]b p χ Adimensionalizando-se a equação anterior, seus componentes reescrevem-se como: (8)

4 * X p* * Y p* vx = R AT*, vy = R AT* * * (9) A equação de Momentum fica, então, dada por: 2 X T * Y T * p* = (R A + R A ) (10) 5 SOLUÇÃO DO PROBLEMA ACOPLADO Devido à aproximação de Boussinesq, a equação da Difusão-Advecção está acoplada à Equação de Poisson, uma vez que ambas dependem da temperatura. Isto significa que o problema como um todo não é linear. Aqui se utiliza um processo iterativo para resolver esse acoplamento, de modo que para iniciar o processo, toma-se o lado direito da Eq. (10) como um termo fonte, em que os fluxos iniciais são identificados de acordo com alguma referência. Resolvendo essa equação, determina-se o campo de pressões e velocidades necessário para compor a equação da Difusão-Advecção. Obtidos novos valores de temperaturas e fluxos, o termo de fonte previamente arbitrado é reajustado e a Equação de Poisson é resolvida novamente, fornecendo novos valores de pressões e velocidades. O processo continua até que as magnitudes das grandezas envolvidas já não sofram alterações significativas entre duas iterações sucessivas. 6 FORMULAÇÃO DO MEC PARA A EQUAÇÃO DE MOMENTUM O tratamento matemático tradicional com o Método dos Elementos de Contorno (MEC) para o lado esquerdo da Equação de Momentum é bem conhecido na literatura (Brebbia, 1978). Consiste do estabelecimento do modelo numa forma integral, usando-se uma função auxiliar, u*(ξ;x,y), a solução fundamental. Por ser um operador auto-adjunto, o Laplaciano permite a aplicação dupla do esquema de integração por partes, ou seja: p * p * u * u * [ + ]u *d Ω= [ + ]p *d Ω {p *q*}d Γ+ {v * u*}dγ (11) Ω Ω Γ Γ Onde foi aplicado devidamente o Teorema da Divergência. Nessa última equação figuram: u * u * u * p* p* p* q* = + =, v* = + = n n n n n n (12) Devido às propriedades da solução fundamental u*(ξ;x,y), sua substituição no lado direito da equação (13) permite transformá-la numa expressão constituída de integrais de contorno e uma função de ponto, tal que a Equação de Poisson na forma integral fica: (13) * C( ξ)p *( ξ ) + {p *q*}d Γ {v * u*}dγ= qu dω Ω Γ Γ O coeficiente C(ξ) está ligado ao posicionamento do ponto fonte ξ com relação ao domínio físico Ω(x,y). Para contornos suaves, se o ponto fonte se situa sobre o contorno, C(ξ)=0,5. Já o lado direito da equação (17) pode ser interpretado como um termo fonte e para esse existem algumas alternativas de abordagem. A mais elementar é o uso de células, muito similar ao utilizado pelo Método dos Elementos Finitos, mas que requer a discretização do domínio. Uma opção mais elegante e já bem consolidada com o MEC é o uso da Formulação com Dupla Reciprocidade (FDR) (Partridge et al, 1992), que interpola a função distribuída no domínio empregando usualmente funções radiais de base e

5 escolhendo adequadamente tais funções de modo a se transformar todas as integrais de domínio em integrais de contorno. A FDR propõe substituir a ação de domínio q(x,y) por uma soma finita composta por novas funções auxiliares α j F j (x,y), onde α j são coeficientes inicialmente desconhecidos e as F j são funções de aproximação, cuja quantificação depende de pontos X j escolhidos tanto no contorno, quanto no interior do domínio. Assim, o lado direito da equação (17) pode ser reescrito como se segue: * j j * j j * j * j qu dω = α Ψ, iiu dω =α η u dγ- Ψ q dγ-c( ξ) Ψ ( ξ) (14) Ω Ω Γ Γ Ressalta-se que η j e ψ j j são funções conhecidas dependentes apenas das funções F, que podem ser escolhidas arbitrariamente. A escolha das funções interpolantes F j é conteúdo de muitas pesquisas, mas a classe de funções mais flexível é a das funções radiais de base, devido à sua flexibilidade, invariância, entre outras propriedades. 7 FORMULAÇÃO DO MEC PARA A EQUAÇÃO DA ENERGIA Existem formulações outras do MEC para o tratamento de problemas difusivosadvectivos (Ramachandran, 1994). No entanto, para o tratamento da Equação da Energia também foi escolhida a FDR, pois além de não impor restrições ao campo de velocidades, aproveita-se a simplicidade matemática da formulação difusiva para se resolver o termo advectivo, conforme procedimento similar ao exposto anteriormente. Deste modo, admitese que o termo advectivo seja considerado tal como uma ação de domínio g(x,y), ou seja: j j j * j j * j gu d Ω= γ η ( X ;X) u ( ξ;x) Ψ ( X ;X) q ( ξ;x) dγ C( ξ) Ψ ( ξ) (15) Ω Γ 8 DISCRETIZAÇÃO E FORMAÇÃO DAS EQUAÇÕES MATRICIAIS O procedimento de discretização com o MEC é bastante conhecido e muito simples. Divide-se o contorno Γ(x) em N elementos discretos, nos quais a variável básica e derivada normal e a forma geométrica dos elementos, todos são aproximados por funções típicas de interpolação. Usualmente, toma-se o ponto fonte coincidente com os pontos nodais, gerando um conjunto de equações resolvível. No caso da FDR, também as funções de interpolação são aproximadas ao longo dos elementos de contorno. No caso da Equação de Poisson, o lado esquerdo gera as tradicionais matrizes H e G referentes ao problema de Laplace (Brebbia, 1978); no lado direito, graças à reciprocidade das integrais, tem-se: 1 Hp Gv {H G } {H G }F q Q = Ψ η α= Ψ η = (16) Onde foi escolhido um número de funções F j igual ao número de nós de discretização para substituição do vetor de coeficientes α. Na Equação da Energia, o procedimento é similar: ρc HT Gq = v {HΨ G η} γ (17) K No entanto, a explicitação dos coeficientes α agora é mais elaborada: ρc ρc ρc = Ψ η γ= Ψ η = [ Ψ η ] (18) K K K v v 1 v 1 HT Gq {H G } {H G }F g H G F VT, i i As derivadas espaciais da temperatura podem ser eliminadas simplesmente por interpolação, de modo que o equacionamento matricial definitivo pode ser escrito como:

6 ρc K [ ] -1-1 v HT -Gq = HΨ -GN F VF, i i F T = RT (HT - RT) = Gq (19) Ressalta-se que o campo de velocidades deve ser completamente conhecido nas fronteiras do volume de controle; considerando que a solução da Equação de Poisson fornece apenas os valores das velocidades normais, as demais componentes precisam ser calculadas para compor o campo de velocidades na Equação da Difusão-Advecção. Tais velocidades podem ser obtidas usando-se funções de base radial, ou seja: 1 p, i vi F, i F, i F p = = β= (20) O mesmo procedimento é requerido para a determinação das derivadas tangenciais da temperatura, que compõem o termo fonte da Equação de Poisson. Também os valores dos fluxos em pontos internos necessitam ser calculados, especialmente de maneira a melhorar a precisão do procedimento interpolativo da FDR na solução da Equação de Poisson. 9 EXEMPLO O exemplo consiste de um silo vertical, no qual atuam campos de pressão, velocidade e temperatura, conforme mostra a Figura 2 (a-c). Na composição da malha foram empregados 40 elementos de contorno constantes, de mesmo tamanho. A numeração dos elementos é crescente no sentido trigonométrico ao longo do contorno, a partir da origem. Para melhor entendimento dos resultados, as faces do volume de controle são devidamente numeradas, conforme destacado na Figura 2(d). Figura 2: (a) características geométricas; (b) pressões prescritas no contorno; (c) temperaturas prescritas no contorno; (d) especificação das diferentes faces do silo. Conforme mencionado previamente, o problema é não-linear. Duas partes distintas compõem a solução completa, na qual o campo de velocidades é obtido inicialmente e então aplicado na equação da Difusão-advecção para determinação do campo de temperaturas e fluxos. Novos valores dos fluxos integram o termo fonte da Equação de Poisson. Para o problema proposto os valores de temperatura são adimensionais, sendo o valor de referência igual a 100 o C. O número de Rayleigh (R A ) considerado é igual a 5. As curvas presentes na Figura 3 mostram os valores da componente normal das velocidades atuantes na face 3, calculadas para as três iterações realizadas. Da primeira para a segunda iteração, é significativa a diferença dos valores obtidos, devido à inserção do efeito gravitacional. No entanto, não foi necessário um maior número de interações com o valor do R A adotado, pois nenhuma diferença significativa ocorreu da segunda para a terceira iteração. Ainda sobre a Figura 3, pode ser percebido que a presença do efeito gravitacional reduziu a intensidade das componentes normais da velocidade ao longo da face, conforme esperado.

7 Figura 3: Velocidades Normais nos pontos nodais localizados na face 3. O efeito gravitacional também reduz a intensidade da pressão no fundo do silo (face 1), conforme mostrado na Figura 4. A queda na magnitude dos valores da pressão ao longo da direção vertical se deve ao distanciamento da entrada com maior valor de pressão, localizada na face 4. Figura 4: Valores de Pressão nos pontos nodais localizados na face 1. Figura 5: Valores do Fluxo Difusivo nos pontos nodais localizados na face 3. Diferentemente do cálculo das pressões e velocidades normais, a solução do problema de temperaturas e fluxos praticamente não foi afetada pela ação gravitacional, tal como mostra a figura 5, onde os resultados para as iterações realizadas praticamente coincidem.

8 10 CONCLUSÕES Muitos experimentos numéricos preliminares mostraram que o MEC se aplica com precisão necessária em problemas governados separadamente pela Equação de Laplace, Poisson e da Difusão-Advecção (Ramachandran, 1994), este último modelo considerando casos em que o número de Peclet não é elevado, ou seja, quando o fenômeno difusivo não é desprezível. Assim, esperava-se que o método poderia ser aplicado com sucesso em casos onde houvesse a presença de não-linearidades como as produzidas pelo acoplamento entre o modelo difusivo-advectivo e o campo de pressão, gerado pela inclusão da ação gravitacional. Este é um problema que normalmente se manifesta no caso de escoamentos em meios porosos. De fato, a aplicação do FDR foi satisfatória, pois se conseguiram resultados aproximados com facilidade e rapidez para as diversas variáveis de estado que compõem o problema físico proposto, tais como os valores da velocidade normal e tangencial, pressões, temperaturas e fluxos de calor, normal e tangencial, seja nas paredes do silo como no seu interior. Por razões de espaço, apenas uma pequena parte deles pode ser aqui apresentada. Pela mesma razão não pode ser mostrada a comparação dos resultados do MEC com o Método dos Volumes Finitos, que tiveram excelente concordância, exceto junto aos pontos nodais dos elementos dos cantos. Destaca-se que para o modelo numérico proposto, o custo da solução computacional foi muito reduzido. Ressalta-se ainda a facilidade de entrada de dados e interatividade entre os resultados obtidos pela solução das equações de Poisson e Difusão-Advecção. 11 BIBLIOGRAFIA Bejan, A., 1993, Heat Transfer, John Wiley & Sons, New York. Bennet, C.O., Myers, J.E., 1982, Momentum, Heat and Mass Transfer, McGraw-Hill, New York. Brebbia, C.A., 1978, The Boundary Element Method for Engineers, Pentech Press, London. Özisik, M.N., 1968, Boundary Value Problems of Heat Conduction, Dover Publ., New York. Partridge P.W., Brebbia C.A., Wrobel L.C., 1992, The Dual Reciprocity Boundary Element Method, Computational Mechanics Publications and Elsevier, London. Ramachandran P.A.,1994, Boundary Element Methods in Transport Phenomena, Computational Mechanics Publication and Elsevier Applied Science, London. White F.M., 1986, Fluid Mechanics, McGraw-Hill Int., Singapore. Zhao, C., Hobbs, B.E., Muhlhaus, H.B., Finite Element Modelling of Temperature Gradient Driven Rock Alteration and Mineralization in Porous Rock Masses, Int. J. Numer. Anal. Meth. Geomech., 21, Zhao, C., Hobbs, B.E., Hornby, P., Ord. A., Peng, S., Numerical Modelling of Fluids Mixing, Heat Transfer and Non-equilibrium Redox Chemical Reactions in Fluidsaturated Porous Rocks, Int. Journal for Num. Methods in Engineering, 66, DIREITOS AUTORAIS Os autores são os únicos responsáveis pelo conteúdo do material impresso incluído no seu trabalho.