Palavras-chave: Arte. Matemática. Fractais. Aprendizagem. Colagem.

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1 GEOMETRIA DOS FRACTAIS: A CONTEMPLAÇÃO ESTÉTICA E MATEMÁTICA DAS ÁRVORES PITAGÓRICAS SOB A TÉCNICA DE COLAGEM DE PABLO PICASSO Juliana do Nascimento Antes 1 Renata Barth Machado 2 Resumo: Este artigo apresenta os resultados de uma atividade interdisciplinar dos Componentes Curriculares de Arte e Matemática nos Anos Finais do Ensino Fundamental da Escola de Educação Básica da URI São Luiz Gonzaga, a partir da construção de colagens em telas, com intuito de promover a aprendizagem de conceitos visuais, artísticos e matemáticos. Estimulando a criatividade, harmonia, estética e o dinamismo dos padrões fractais. Proporcionando assim, uma aprendizagem matemática e contemplativa eficiente e prazerosa. Dessa forma, o estudo das propriedades complexas, infinitas e visuais da geometria fractal surge como uma proposta de ensino nos currículos escolares. Palavras-chave: Arte. Matemática. Fractais. Aprendizagem. Colagem. Uma proposta de trabalho curricular dinâmica e interdisciplinar precisa estar atenta às fontes de informação extraescolar, e incluí-las como possíveis recursos que respondam à demanda sobre um tema proposto. Uma maneira de encaminhar o processo de aprendizagem de maneira dinâmica é a experiência de trabalhos interdisciplinares, os quais substituem o acúmulo linear de informação pela busca de inter-relações entre diferentes fontes e problemas que pretendem conectar-se, em espiral, em torno de estruturas de conhecimento. (HERNÁNDEZ, 1998: 38) A partir desta premissa, surge a proposta de trabalho de Geometria dos Fractais: a contemplação estética e matemática das árvores pitagóricas sob a técnica de colagem de Pablo Picasso, com intuito de que os alunos identifiquem um objeto visual, suas características e 1 Professora de Arte da Escola de Educação Básica URI de São Luiz Gonzaga/RS Brasil. Pós- Graduada Artes Visuais: Cultura & Criação pelo SENAC de Porto Alegre e Aluna Especial do Curso PPGEnCT da URI Santo Ângelo/RS. julianaantes@bol.com 2 Professora de Matemática da Universidade Regional Integrada do Alto Uruguai e das Missões URI de São Luiz Gonzaga/RS Brasil. Mestre em Ensino Científico e Tecnológico do PPGEnCT da URI - Santo Ângelo/RS e Aluna Especial do Doutorado em Educação nas Ciências UNIJUÍ-Ijuí/RS. E- mail:renatahmad@hotmail.com

2 identidade para exercer outra habilidade, a análise, com a qual possa examinar cada elemento componente do objeto representado para comparar ideias, elementos e fenômenos, determinando e estabelecendo relações de igualdade, diferença e classificação, bem como a apreciação estética das obras finalizadas, considerando que a arte com fractais pode ser um caminho para os matemáticos explicarem as suas ideias. Na atualidade, essa geometria é conhecida através de belas gravuras coloridas, que enriqueceram tanto a matemática moderna como a arte, e cujas aplicações já se estendem aos mais distintos ramos da ciência. Considerando o pensamento de Gardner: Certamente, as artes são aprendidas pelo intelecto, mas, com a mesma certeza, elas provocam respostas afetivas e preocupam-se com a qualidade do sentimento. (GARDNER, 1997, p. 61). Desta forma, percebe-se que as atividades interdisciplinares propostas que contemplam estes conceitos de Matemática (Geometria) e Arte (Colagem) possibilitam momentos de investigação e envolvimento na elaboração e articulação de aprendizagens significativas. Colagem como Elemento Estético A arte até o início do século XX se manteve clássica, onde o academicismo figurativo perdurou nas criações artísticas, mas com a virada do século e a modernização, a arte começa a sofrer transformações em sua estética. Dentre os vários movimentos da arte do século XX, está o Cubismo e seu precursor: Pablo Picasso( ) que com seu amigo Georges Braque ( ) criaram a colagem como uma extensão do Cubismo. A proposta da colagem no cubismo era de romper com os padrões aceitos da arte renascentista e libertar o artista da tela para que ele pudesse utilizar outros materiais para expressar a sua arte. A partir daí os elementos da colagem ocupam ou dividem o lugar do desenho e da pintura na composição da obra. A colagem então, surge como procedimento técnico baseando-se na sobreposição, no espaço do quadro, de elementos retirados da realidade, como pedaços de jornal e papéis de todo tipo, tecido, madeira, objeto e outros. A obra, a partir deste contexto, passa a ser concebida como construção sobre um suporte. Após a utilização desta técnica, a colagem é largamente empregada em diferentes escolas e movimentos artísticos, com sentidos muito variados. O uso de papéis colados abre pesquisas cubistas em novas direções. Tendo a utilização cada vez mais livre de materiais diferentes, não só papel, dá origem a objetos tridimensionais e relevos como se fossem esculturas em quadros. De acordo com Rosalind Krauss, crítico e teórico de Arte:

3 A princípio eles parecem se agitar no espaço vazio, aterrissar com leveza na superfície abstrata, folhas amareladas sopradas pelo vento, algumas de cabeça para baixo, outras na posição certa. O jogo é sempre mais brilhante quando as inversões são pares. (2006, p.79). O advento da colagem trouxe novas possibilidades de criações artísticas e geram adeptos em todo o mundo, mas com objetivos bastante distintos entre si. Um exemplo disto, ocorre na França e Itália, as ideias nascidas da colagem provocam a produção de obras de sentido cubista por artistas futuristas com uma releitura da técnica, e uma nova aplicação da mesma com temas frequentes como colagens são a violência, tecnologia e velocidade, por conta do contexto histórico em que se encontravam os artistas do início do século XX, com guerras e a produção tecnológica. Com o Cubismo e a Colagem a reflexão artística não poderia ser diferente, pois, a arte sempre reflete a época contemporânea ao movimento. A expressividade resultante com a colagem é única e distante de todas as outras texturas, que apesar de simples, é uma técnica artística difundida em todo o mundo e com relevante papel em diversas escolas e movimentos artísticos da cultura ocidental, resultando em uma grande quantidade de obras muito diferentes entre si, garantindo uma pluralidade artística muito rica e profunda. Segundo o artista e pensador Julio Plaza (2003), história e arte dinamizam os processos de criação: No processo dialético e dialógico da arte não há como escapar à história. A arte se situa na urdidura indissolúvel entre autonomia e submissão [linguagem?]. Filha de sua época, a arte, como técnica de materializar sentimentos e qualidades [tekhné, ars], realiza-se num constante enfrentamento, encontro-desencontro consigo mesma e sua história. Parafraseando Marx: os artistas não operam de maneira arbitrária, em circunstâncias escolhidas por eles mesmos, mas nas circunstâncias com que se encontram na sua época, determinadas pelos fatos e as tradições. (Plaza, 2003, p.5) Além de Pablo Picasso e Georges Braque há muitos outros nomes importantes para a colagem em todo o mundo, vale ressaltar os artistas: Juan Gris, Albert Gleizes, Louis Marcoussis, André Derain, Robert Delaunay, Sonia Delaunay-Terk, Umberto Boccioni, Gino Severini, Giacomo Balla, Luigi Russolo, Kazimir Malevich, Marcel Duchamp, Francis Picabia, Kurt Schwitters, Max Ernst, Joan Miró, Yves Tanguy, René Magritte, André Masson, Salvador Dalí e Henri Matisse. No cenário artístico brasileiro, os nomes de destaque são: Carlos Scliar, Piza, Guignard, Jorge de Lima, Athos Bulcão, Hélio Oiticica e Lygia Clark. Essa inovação pode ser explicada pela intenção dos artistas em criar efeitos plásticos e de ultrapassar os limites das sensações visuais que a pintura sugere, despertando também no observador as sensações táteis. Para Argan, o plano, suporte ou superfície:

4 Adquire, como entidade plástica, a força de atrair e integrar fragmentos da realidade externa, por exemplo pedaços de jornal, de papelão, de madeira. A técnica da colagem, que quer demonstrar como a obra de arte vive uma existência própria e não mais reflexa, demonstra também que o espaço não é mais concebido como uma entidade homogênea e unitária, mas como uma dimensão indefinida, que apenas pode ser capturada aos bocados, cuja extensão e cuja figura determinam-se a cada vez a partir daquilo que ocorre ou se faz no espaço: concepção que, enquanto de um lado se coaduna com a noção de espaço da ciência moderna, de outro lado reflete a experiência da visão fragmentária, de acordo com situações singulares, difundida pela fotografia e pelo cinema. Como estrutura nova da operação artística, que substitui gradualmente a disposição cromática da pintura e a modelação da escultura, a colagem permanece como uma das técnicas fundamentais da arte moderna, mesmo depois do cubismo e independentemente dele. (Argan, 1988, p.91). No decorrer das primeiras décadas do século XX, o anseio de testar e experimentar métodos, novos processos e materiais tornaram-se uma questão inevitável da prática artística em geral e do cubismo em particular podendo ser considerado como um marco por romper com os modelos estéticos que só valorizavam a perfeição das formas. Teorema de Pitágoras e os Fractais O Teorema de Pitágoras possui grande e fundamental importância para introdução do ensino de geometria no ensino fundamental. Bem como a sua associação ao triângulo retângulo, figura geométrica que desde a antiguidade exerceu uma atração especial sobre os homens. Nas culturas mais antigas encontram-se mosaicos com vários triângulos retângulos. Pesquisas realizadas no campo da História da Matemática indicam que mais de 2000 anos antes dos pitagóricos, na Babilônia, no tempo de Hamurabi (1700 a.c.), muito provavelmente, já se detinha conhecimento de que em um triângulo retângulo, o quadrado da medida da hipotenusa é igual à soma do quadrado das medidas dos catetos. O mais famoso tablete de argila, encontrado na Babilônia, contém sequências de números correspondentes às ternas pitagóricas. No entanto, muitas vezes, os professores desconhecem estes fatos e, baseados nos livros didáticos, ensinam que Pitágoras foi quem descobriu a famosa relação: a 2 = b 2 + c 2, ao se considerar um triângulo retângulo de hipotenusa a e catetos b e c.

5 Figura 1 - Forma tradicional da apresentação gráfica do Teorema de Pitágoras nos textos didáticos de Matemática Várias descobertas feitas pelos babilônios no campo da astronomia eram baseadas nos triângulos retângulos. Os egípcios usavam cordas com 12 nós para construir triângulos retângulos particulares e, assim, obter cantos em ângulos retos. Os antigos egípcios utilizavam uma corda com treze nós, igualmente espaçados, de modo a determinar um ângulo reto ou uma a perpendicular, com a sobreposição do primeiro e do décimo terceiro nós (fig. 2). Ao avaliarmos o emprego da corda de treze nós, fica claro que os egípcios também sabiam que um triângulo de lados 3, 4 e 5 possui um ângulo de 90 o. No entanto, de acordo com Boyer (1996), acredita-se que a primeira demonstração geral desta relação foi dada por Pitágoras ou um dos seus discípulos, no século VI a.c.

6 Figura 2 Modelo da corda de 13 nós empregada pelos antigos egípcios e a formação do triângulo de lados 3, 4, 5 Outro aspecto a ser destacado é que, ao considerar um triângulo retângulo de hipotenusa a e catetos b e c, a relação a 2 = b 2 + c 2 tem centenas de demonstrações distintas. Desde a antiguidade, várias pessoas se dedicaram a prová-la. Os triângulos retângulos são fundamentais para a geometria plana e lembram imediatamente o nome de Pitágoras, pois atribui-se a ele um dos feitos mais importantes relacionados a este tipo de triângulo- o teorema Pitagórico. Além disso, acredita-se que ele tenha obtido estes conhecimentos com os agricultores egípcios, chamados esticadores de cordas, que demarcavam as margens do Rio Nilo quando as águas baixavam, visando utilizálas na agricultura. Por volta de 2000 a.c., os egípcios já sabiam que um triângulo, cujos lados têm comprimento 3,4 e 5 unidades, é um triângulo retângulo. Podemos observar a partir disso que = 5 2, mas que certamente os egípcios não sabiam como provar que o ângulo oposto ao lado de comprimento 5 é um ângulo reto, porém acreditavam nisso e usavam esse fato nos seus cálculos. Para efetivarmos um ensino-aprendizagem significativo em matemática, é necessário utilizarmos as mais diversas atividades que ilustrem os conceitos a serem abordados. Nosso interesse é que através da interdisciplinaridade da matemática com a arte, seja possível trazermos para o ensino da matemática, o máximo de esclarecimentos possíveis sobre determinado tópico matemático. Árvores Pitagóricas: uma proposta de atividade A árvore pitagórica é um fractal plano formado por quadrados. Recebe o nome de Pitágoras, pois cada trio de quadrados que se tocam formam um ângulo reto, em uma configuração tradicionalmente utilizada para descrever o Teorema de Pitágoras. Para o estudo deste conceito tão importante da matemática desenvolvemos paralelamente uma atividade prática de construção de arvores pitagóricas em telas utilizando a técnica de colagem, com diferentes tipos de papéis, tendo como referência as colagens de Pablo Picasso, promovendo assim, um diálogo interdisciplinar entre a arte e matemática, dois campos do conhecimento, que ao longo da história da humanidade se complementaram, através de seus pontos comuns e afinidades.

7 Partindo do pressuposto de que, estas disciplinas podem cooperar de maneira a tornar a geometria, estudo do espaço e da forma, assim como propiciar através de atividades, em que é utilizada a arte, um desenvolvimento do aluno que faça com que ele veja as diversas relações da matemática com outras disciplinas e, em particular com a Arte, mostrando que elas sempre caminharam juntas ao longo da história e como têm sido essenciais na prática educativa, por mobilizar sentidos e capacidades importantes para o desenvolvimento humano, como criatividade, imaginação, observação e senso estético para trazer um olhar múltiplo, característico das artes, para a aula de matemática. Considerações Finais Toda a experiência é válida e só enriquece a nossa vida. Com este pensamento justificase a importância da leitura e da pesquisa em todas as áreas do conhecimento, pois muitas vezes acontecem mudanças no ensino que passam despercebidos, e é através do estudo que se pode perceber a complexidade entre progresso científico e tecnológico, relação esta, estabelecida no mundo com rapidez e modificação. Assim sendo, todo trabalho serve como uma autoavaliação para o professor, na qual o mesmo irá questionar-se sobre qual o verdadeiro papel que exerce em sala de aula como educador, e também qual o tipo de aluno que está preparando. Além disso, podem-se detectar as melhores formas de se trabalhar determinados conceitos, tendo em mente as principais dificuldades dos alunos quanto a sua aceitação. A escolha da proposta do Teorema de Pitágoras é devido a sua grande utilização no ensino da geometria no componente curricular de matemática, que pode ser explorado desde a geometria plana à propriedades fundamentais da trigonometria, aliado a arte para dar um olhar múltiplo trabalhando e aflorando a sensibilidade e o olhar estético com equilíbrio, harmonia, beleza e delicadeza nos detalhes. Nessa perspectiva, desenvolvemos este artigo que tem por objetivo promover uma reflexão aos educadores sobre a inserção de atividades interdisciplinares como potente ferramenta de auxílio lúdico e significativo a prática pedagógica. REFERÊNCIAS ARGAN, Giulio Carlo. Arte e Crítica d Arte, Os movimentos artísticos. 1ª edição. Lisboa: Editorial Estampa, 1988.

8 ARGAN, Giulio Carlo. Arte Moderna. São Paulo: Companhia das Letras, BARBOSA, R M, Descobrindo a Geometria Fractal.Autência Editora, BH: BOYER, C.B História da Matemática São Paulo-Editora Edgard Blücher LTDA GARDNER, Howard. As artes e o desenvolvimento humano. Porto Alegre: Artes Médicas, HERNÁNDEZ, Fernando. VENTURA, Montserrat. A organização do currículo por projetos de trabalho. Porto Alegre: Artes Médicas, PLAZA, J. Tradução Intersemiótica. São Paulo: Perspectiva, KRAUSS, Rosalind E. Os Papéis de Picasso. São Paulo: Iluminuras, 2006.