UMA PROPOSTA COMPUTACIONAL PARA INFERÊNCIA REVERSA FUZZY

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1 UMA PROPOTA COMPUTACIOAL PARA IFERÊCIA REVERA FUZZY José Arnaldo Barra Montevechi José Hamilton Chaves Gorgulho Júnior Escola Federal de Engenharia de Itajubá - Departamento de Produção Av. BP, 133 Cx.P.: 5 - Tel: (35) Fax: (35) Itajubá - M.G. - CEP: 375- Abstract: In this article a computational procedure for the Fuzzy Backward Reasoning is discribed. The example used is for the classification of new parts in established families, an aplication for Group Technology. Key words: Backward Reasoning, Fuzzy, Group Technology. 1. Introdução O método de Inferência Reversa Fuzzy é uma ferramenta que pode ser utilizada em sistemas de diagnósticos, onde as entradas são os efeitos e as saídas são as causas. Pode ser utilizado, por exemplo, em diagnóstico médico, onde as entradas são os sintomas do paciente e a saída a provável doença. O método, apesar de obter resultados muito interessantes possui um grande inconveniente, devido ao fato de originar várias equações, requer um esforço de resolução grande e desgastante, onde muitas variáveis devem ser observadas simultaneamente para se obter a resposta. Mas, quando se observa a resolução de um problema através deste método, não é difícil perceber a lógica básica que se utiliza. Há uma série de regras e análises que são executadas de uma maneira bastante repetitiva. Torna-se, então, um interessante desafio desenvolver um algoritmo que execute o mesmo procedimento que o raciocínio humano. De posse de tal algoritmo abre-se a possibilidade, até então inexistente, de analisar grandes quantidades de dados. Esse artigo descreve uma proposta para o problema 2. A Inferência Reversa Fuzzy erá tomada como base para análise neste artigo, o primeiro exemplo apresentado por Montevechi [1]. esse artigo o autor utiliza a Inferência Reversa Fuzzy em um problema referente à Tecnologia de Grupo (TG), no qual uma peça rotacional deve ser incluída em uma das cinco famílias de peças já existentes, através da análise de sete características importantes, que permitem diferenciá-las. Este problema leva à relação (1). As incógnitas a1, a2, a3, a4 e a5 representam a pertinência com que a nova peça rotacional pertence a cada uma das cinco famílias, e é isto que se deseja calcular. O vetor da igualdade representa a pertinência da característica para a peça que se deseja classificar (efeito), e a matriz representa a importância de cada característica para cada uma das cinco famílias já formadas.,9,7,7,7 =,9,7,9,9 a1,7,6,2,8 a2,7,6 o a3,9 a4,2,9 a5,9,1 (1) Volume III

2 Usando a regra de composição MAX-MI, tem-se as seguintes equações:,9 = (,9 a1) (,7 a2) ( a3) ( a4) ( a5) (2) = ( a1) ( a2) ( a3) (,9 a4) (,9 a5) (3),7 = (,7 a1) (,6 a2) (,2 a3) ( a4) (,8 a5) (4),7 = ( a1) ( a2) (,7 a3) ( a4) (,6 a5) (5) = ( a1) ( a2) ( a3) (,9 a4) ( a5) (6) = ( a1) (,2 a2) (,9 a3) ( a4) ( a5) (7) = ( a1) (,9 a2) ( a3) (,1 a4) ( a5) (8) Das equações: Equação (2): (,9 a1),9 a1,9 (,7 a2),9 a2 ( a3),9 a3 ( a4),9 a4 ( a5),9 a5 Equação (5): ( a1),7 a1 ( a2),7 a2 (,7 a3),7 a3,7 ( a4),7 a4 (,6 a5),7 a5 Equação (8): ( a1) a1 (,9 a2) a2 = ( a3) a3 (,1 a4) a4 = ( a5) a5 Equação (3): ( a1) a1 ( a2) a2 ( a3) a3 (,9 a4) a4 = (,9 a5) a5 = Equação (6): ( a1) a1 ( a2) a2 ( a3) a3 (,9 a4) a4 = ( a5) a5 Equação (4): (,7 a1),7 a1,7 (,6 a2),7 a2 (,2 a3),7 a3 ( a4),7 a4 (,8 a5),7 a5,7 Equação (7): ( a1),7 a1 (,2 a2),7 a2 (,9 a3),7 a3 =,7 ( a4),7 a4 ( a5),7 a5 Das equações (2) a (8), pode-se concluir: a 1 = ; a 2 = ; a 3 = ; a 4 = e a 5.9. Como a5 é a pertinência mais alta conclue-se que a nova peça deve fazer parte da família A Estrutura do Algoritmo Pode-se ver, no ítem anterior, que a solução do problema requer um elevado esforço. Para resolver o problema com auxílio computacional deve-se elaborar um algoritmo. Através de uma visão geral do procedimento de trabalho utilizado na resolução do problema apresentado, podem-se distinguir as seguintes etapas: 1 - Entrada dos Dados: Fase na qual deve-se entrar com os valores que irão compor o sistema, como na expressão (1); 2 - Montagem das Equações: Permite uma visualização mais adequada do problema e canaliza o raciocínio para cada equação separadamente; 3 - Análise de cada Equação: esta fase observa-se qual o valor (ou faixa de valores) cada variável ai deve possuir para que a equação seja verdadeira; 4 - Análise Global: comparam-se as respostas obtidas para cada variável a i em cada equação e determina-se um valor (ou faixa de valores) que atenda simultaneamente a todas equações; 5 - Comparação de Variáveis: a variável a i com valor mais alto indica a família a qual a nova peça rotacional deverá pertencer. Volume III

3 Vejamos como cada etapa pode ser modelada. Etapa 1: A entrada de dados, por tratar-se de uma etapa bastante comum em qualquer processo numérico, não necessita de nenhuma explanação. Deve-se apenas, neste ponto, padronizar a nomenclatura dos elementos. O vetor de variáveis será A(j); o vetor da nova peça será Y(i); a matriz das famílias será X(i,j). o exemplo i varia de 1 até 7 (n = número de características) e j varia de 1 até 5 (m = número de famílias). Etapa 2: Para facilitar o raciocínio é usual dividir a matriz em equações, possibilitando melhor visão do problema e auxiliando na solução. o algoritmo será desnecessário. Etapa 3: O início do algoritmo propriamente dito está na análise das equações. Através da comparação entre Y(i) e X(i,j) define-se um valor ou faixa de valores para cada variável. Há regras bem definidas para essa comparação e para efeito computacional deve-se armazenar tais resultados durante o processamento. A forma mais apropriada é uma matriz, de forma que cada elemento relacione-se facilmente com os dados que são sua origem. É criada então a matriz AT(i,j) [matriz A Temporária]. Essas regras são apresentadas na figura 1. Y( i ) = e X( i, j ) = AT( i, j ) = qualquer Y( i ) = e X( i, j ) > AT( i, j ) = Y( i ) > e X( i, j ) < Y( i ) AT( i, j )l = qualquer Y( i ) > e X( i, j ) = Y( i ) AT( i, j ) Y( i ) Y( i ) > e X( i, j ) > Y( i ) AT( i, j ) Y( i ) Figura 1 - Regras de comparação. Há ainda uma observação na última regra. e a equação tiver somente uma variável com resposta do tipo menor-igual, (ou seja, demais variáveis são zero ou qualquer) então a variável deixa de ter valor menor-igual-à-y(i) e passa a ter valor igual-à-y(i). Mas há ainda um inconveniente, que é o de armazenar os sinais de igual-a, maior-ou-iguala, menor-ou-igual-a e ainda qualquer. A solução é adotar uma padronização, cuja proposta está apresentada na figura 2. Qualquer AT( i, j ) = AT( i, j ) = Y( i ) AT( i, j ) = Y( i ) Y( i ) AT( i, j ) = -Y( i ) = Y( i ) AT( i, j ) = Y( i ) + 1 Figura 2 - Proposta para padronização dos valores. Aplicando este algoritmo ao exemplo que está sendo analisado (1), obtem-se a matriz AT(i,j), mostrada em (9). Volume III

4 a1.9.7 AT = a 2 a a 4 a5 -.7 (9) A matriz (9) corresponde à análise dos valores (e faixas) possíveis das variáveis a i, que seriam obtidos originalmente através das equações (2) à (8). Etapa 4: A análise global resume-se agora em varrer cada coluna da matriz AT(i,j) e buscar a solução que atenda a todas as equações simultaneamente. Para tanto realiza-se comparações do tipo dois-a-dois, isto é, compara-se dois elementos da coluna e define-se o valor (ou faixa) que atenda os dois. Esse resultado é comparado com o próximo elemento da coluna para se obter nova resposta e assim sucessivamente até o final, onde obtem-se a resposta final da variável em questão. Tomando como exemplo a primeira coluna da matriz AT(i,j) [variável a 1 ], temos na figura 3 uma visualização do processo Figura 3 - Comparação dois-a-dois em uma coluna. ovamente, para efeito computacional, chamemos a primeira variável a ser comparada de P (Primeira) e a segunda de (egunda). ão portanto variáveis auxiliares no processo, bem como a variável R (Resposta) que recebe o valor da comparação. Esta análise será baseada em uma série de doze (12) regras, que estão na figura 4. e P = então R = e = então R = P e P = então R = P e (P = e < ) ou (P < e = ) então R = e (P > e P 1) e ( > e 1) e P > então R = P e (P > e P 1) e ( > e 1) e P < então R = e P < e ( > e 1) e = P * (-1) então R = + 1 e < e (P > e P 1) e P = * (-1) então R = P + 1 e P > 1 e ( > e 1) e P -1 então R = P e > 1 e (P > e P 1) e P -1 então R = e P > 1 e < e * (-1) P - 1 então R = P e > 1 e P < e P * (-1) - 1 então R = Figura 4 - Regras de comparação dois-a-dois. Volume III

5 Este algoritmo, quando aplicado ao exemplo que está sendo analisado, resulta nos seguintes valores das variáveis ai : a1.9 ; a2 = ; a3 =.7 ; a4 = e a5 =. Etapa 5: Finalmente varre-se o vetor A(j) e busca-se o maior valor. O índice desse valor corresponde a família a qual a nova peça deverá pertencer. o exemplo observa-se que a variável a 1 possui o maior valor; logo a nova peça deverá ser incluída na família Limitação Inicial A "Análise Global" (etapa 4) oculta a maior dificuldade do método. Quando não há um valor (ou faixa) que atenda a todas equações simultaneamente pode significar que o sistema não possui solução, mas em certos casos é possível contornar essa dificuldade. O fato de não haver um valor ou uma faixa comum que atenda a todas equações será denominada de incompatibilidade. Mas, para isso, será necessário primeiro detectar a ocorrência da incompatibilidade. Para detectar que, durante a comparação de dois elementos, não há valor ou faixa comum, basta acrescentar às regras de comparação dois-a-dois já existentes outras oito, que estão listadas na figura 5. e (P > e = ) ou (P = e > ) então ICOMPATIBILIDADE e (P > e P 1) e < e P > * (-1) então ICOMPATIBILIDADE e ( > e 1) e P < e > P * (-1) então ICOMPATIBILIDADE e P > 1 e > 1 e P então ICOMPATIBILIDADE e P > 1 e ( > e 1) e > P - 1 então ICOMPATIBILIDADE e > 1 e (P > e P 1) e P > - 1 então ICOMPATIBILIDADE e P > 1 e < e * (-1) < P - 1 então ICOMPATIBILIDADE e > 1 e P < e P * (-1) < - 1 então ICOMPATIBILIDADE Figura 5 - Regras de comparação dois-a-dois para detecção de incompatibilidade Após a detecção da incompatibilidade deve-se proceder a verificação das equações envolvidas. Essa verificação tem por finalidade identificar se uma das equações (ou as duas) admitem o que será chamado de olução Alternativa. Deve-se entender por olução Alternativa a utilização de um valor diferente do valor atribuido originalmente para uma (ou mais) variáveis da equação, sem que esta deixe de ser válida. o exemplo que está sendo utilizado esta análise não foi necessária. Porém no segundo exemplo apresentado por Montevechi [1], quando deseja-se incluir uma nova peça prismática em uma das famílias já existentes, essa análise torna-se inevitável. Percebe-se então que foi atingido um outro ponto crítico da solução do problema e, consequentemente, na elaboração do algoritmo. Para sua viabilização foram adotadas, no momento, algumas limitações, como, por exemplo, ignorar soluções alternativas que alterem valores de variáveis já calculadas. A continuide do desenvolvimento do algoritmo deverá utilizar sistemas de produção [2] na geração de árvores de busca. Deverão ser testados algoritmos com busca em profundidade e busca em amplitude, tentando encontrar meios que definam uma heurística para sua solução. O fluxograma apresentado na figura 6 apresenta a comparação dois-a-dois com a análise de incompatibilidade. A figura 7 mostra, de maneira resumida o algoritmo completo. Volume III

6 Início j =1 P = M(1, j ) i=2 i = 1 = M(i,j ) Compara P e Rotina de Análise de Incompatibilidade i=i+1 P = R Resultado da com paração em R i n Compatível Pode contornar em solução R(j ) = R j =j +1 j m Fim Figura 6 - Fluxograma para comparação dois-a-dois com análise de incompatibilidade. Volume III

7 Início Recebe Dados número de famílias número de características pertinências Calcula a faixa de valores para as incognitas em cada equação (Monta a matriz AT ) R econhece nas equações as incognitas que adm item valores alternativos (Monta a matriz A ) Busca da solução do istema Efetuar correção Incompatível É corrigível Obtida a solução em solução Fim Figura 7 - Fluxograma geral do algoritmo. Volume III

8 5. Conclusão Este artigo mostrou o estágio atual de desenvolvimento de um algoritmo que implementa a técnica de Inferência Reversa Fuzzy, utilizando como exemplo um problema de Tecnologia de Grupo. Apesar de suas limitações, desta fase inicial, obtiveram-se resultados incentivadores. O algoritmo continua a ser desenvolvido para que as limitações citadas sejam contornadas, esperando dotar-lhe de um sistema de inferência que permita tratar as incompatibilidades de forma mais adequada, levando a soluções de forma mais rápida, ou ainda, descobrir rapidamente que o sistema não possui solução (para o exemplo de Tecnologia de Grupo analisado, seria o caso da nova peça ser tão diferente das peças que compõe as famílias já existentes que seria necessário criar uma nova família). Mesmo no atual estágio de desenvolvimento já é possível sua utilização em uma grande gama de aplicações onde, ou torna-se muito lento e susceptível à erros resolver manualmente, ou quando a quantidade de dados toma proporções que dificilmente podem ser analisadas sem o auxílio de um computador. 6. Bibliografia [1] MOTEVECHI, J. A. B.; MIYAGI, P. F.; BARRETTO, M. R. P. e TORRE, G. L. (1994). Inferência Reversa Fuzzy para classificação de novas peças em famílias pré-estabelecidas. 14 EEGEP, João Pessoa, [2] RICK, E.; KIGHT, K. (1994). Inteligência Artificial. Makron Books do Brasil Editora Ltda. Volume III