Teoria da Decisão. Abordagem Clássica para Tomada de Decisão Multicritério. Prof. Lucas S. Batista.

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1 Teoria da Decisão Prof. Lucas S. Batista lusoba Universidade Federal de Minas Gerais Escola de Engenharia Graduação em Engenharia de Sistemas

2 Abordagem Bellman-Zadeh Sumário 1 Abordagem Bellman-Zadeh Abordagem Clássica para tratamento de Incerteza Critérios de Escolha Generalização da Abordagem Clássica Modificação dos Critérios de Escolha Exemplo de Aplicação 2 / 50

3 Abordagem Bellman-Zadeh A abordagem clássica Bellman-Zadeh é aplicada para tomada de decisão em ambientes fuzzy para o tratamento de problemas multicritério; Nessa abordagem, cada função objetivo F p (x) pode ser substituída por uma função objetivo fuzzy ou conjunto fuzzy A p ; Uma solução fuzzy D é obtida a partir da interseção D = q p=1 A p; 3 / 50

4 Abordagem Bellman-Zadeh A função de pertinência de D é definida como: D(x) = q p=1 A p(x) = min A p(x), p=1,...,q x L Esta função permite determinar a solução x com maior pertinência à solução fuzzy D: max D(x) = max x L O problema de decisão torna-se então: x = arg max x L min A p(x) p=1,...,q min A p(x) p=1,...,q 4 / 50

5 Abordagem Bellman-Zadeh Exemplo As funções de pertinência de três funções objetivo fuzzy A 1 (x), A 2 (x) e A 3 (x) são apresentadas a seguir: Figura: Funções de pertinência de funções objetivo fuzzy 5 / 50

6 Abordagem Bellman-Zadeh Exemplo A solução fuzzy D(x) é apresentada a seguir, a qual fornece a solução x = 5. Figura: Função de pertinência de uma solução fuzzy 6 / 50

7 Abordagem Bellman-Zadeh Ao considerar problemas multiobjetivo: para obter x é necessário construir as funções de pertinência A p (x), p = 1,..., q; cada função de pertinência deve refletir o grau de aproximação do próprio ótimo para F p (x), x L, p = 1,..., q. 7 / 50

8 Abordagem Bellman-Zadeh Para funções objetivo de minimização: [ max x L F p (x) F p (x) A p (x) = max x L F p (x) min x L F p (x) ] λp Para funções objetivo de maximização: [ F p (x) min x L F p (x) A p (x) = max x L F p (x) min x L F p (x) ] λp 8 / 50

9 Abordagem Bellman-Zadeh Existem diferentes operadores de agregação que podem ser usados no lugar do operador min; Assim, D(x) pode ser obtido da seguinte forma geral: D(x) = agg(a 1 (x), A 2 (x),..., A q (x)), x L Entretanto, essa escolha é baseada na experiência do DM. 9 / 50

10 Abordagem Bellman-Zadeh Além do operador min, o operador produto também tem sido muito empregado em problemas de tomada de decisão; Nesse caso, tem-se: q D(x) = A p (x), p=1 x L max D(x) = max x L x = arg max x L q A p (x) p=1 q A p (x) p=1 10 / 50

11 Abordagem Clássica para tratamento de Incerteza Sumário 1 Abordagem Bellman-Zadeh Abordagem Clássica para tratamento de Incerteza Critérios de Escolha Generalização da Abordagem Clássica Modificação dos Critérios de Escolha Exemplo de Aplicação 11 / 50

12 Abordagem Clássica para tratamento de Incerteza A abordagem clássica define inicialmente uma matriz de compromisso considerando as alternativas de projeto e possíveis estados de natureza (cenários), em que alternativas: X k, k = 1, 2,..., K ; cenários: Y s, s = 1, 2,..., S; 12 / 50

13 Abordagem Clássica para tratamento de Incerteza Matriz de compromisso A matriz de compromisso quantifica os efeitos (consequências) das ações X k, k = 1, 2,..., K nos possíveis cenários Y s, s = 1, 2,..., S. Figura: Matriz de compromisso 13 / 50

14 Abordagem Clássica para tratamento de Incerteza A análise da matriz de compromisso e a escolha de uma solução racional são baseados em critérios de escolha; Os critérios de escolha mais utilizados são os critérios de Wald, Laplace, Savage e Hurwicz; 14 / 50

15 Abordagem Clássica para tratamento de Incerteza Matriz de compromisso com estimativas de características Os critérios de escolha permitem incorporar estimativas de características à matriz de compromisso: Figura: Matriz de compromisso com estimativas de características 15 / 50

16 Abordagem Clássica para tratamento de Incerteza Estimativas de características Nível máximo da função objetivo: F max (X k ) = max 1 s S F (X k, Y s ) Este nível é determinado para uma dada solução e representa: a estimativa mais otimista quando deseja-se maximizar F, ou a estimativa mais pessimista quando deseja-se minimizar F. 16 / 50

17 Abordagem Clássica para tratamento de Incerteza Estimativas de características Nível mínimo da função objetivo: F min (X k ) = min F(X k, Y s ) 1 s S Este nível é determinado para uma dada solução e representa: a estimativa mais pessimista quando deseja-se maximizar F, ou a estimativa mais otimista quando deseja-se minimizar F. 17 / 50

18 Abordagem Clássica para tratamento de Incerteza Estimativas de características Nível médio da função objetivo: F (X k ) = 1 S S F (X k, Y s ) s=1 Este nível é determinado para uma dada solução e representa uma estimativa média da sua qualidade em relação aos cenários possíveis. 18 / 50

19 Abordagem Clássica para tratamento de Incerteza Estimativas de características Nível máximo de risco: r max (X k ) = max 1 s S r(x k, Y s ) em que r(x k, Y s ) é uma medida de risco (arrependimento), r(x k, Y s ) = F max (Y s ) F(X k, Y s ), em que, r(x k, Y s ) = F (X k, Y s ) F min (Y s ), se deseja-se maximizar F se deseja-se minimizar F F max (Y s ) = max F(X k, Y s ) e F min (Y s ) = min F (X k, Y s ) 1 k K 1 k K 19 / 50

20 Abordagem Clássica para tratamento de Incerteza Matriz de risco Calculando o nível de risco para todo X k, k = 1, 2,..., K e Y s, s = 1, 2,..., S, obtém-se a matriz de risco a seguir: Figura: Matriz de risco 20 / 50

21 Critérios de Escolha Sumário 1 Abordagem Bellman-Zadeh Abordagem Clássica para tratamento de Incerteza Critérios de Escolha Generalização da Abordagem Clássica Modificação dos Critérios de Escolha Exemplo de Aplicação 21 / 50

22 Critérios de Escolha Os critérios de escolha de Wald, Laplace, Savage e Hurwicz são baseados nas estimativas de características F max (X k ), F min (X k ), F(X k ) e r max (X k ); Nos próximos slides, os critérios de escolha são definidos considerando que se deseja maximizar a função objetivo F. 22 / 50

23 Critérios de Escolha Critério de Wald O critério de Wald se baseia em F min (X k ): max F min (X k ) = max min F (X k, Y s ) 1 k K 1 k K 1 s S Critério de Laplace O critério de Laplace se baseia em F (X k ): max F (X 1 k) = max 1 k K 1 k K S S F(X k, Y s ) s=1 23 / 50

24 Critérios de Escolha Critério de Savage O critério de Savage se baseia em r max (X k ): min r max (X k ) = 1 k K min 1 k K max r(x k, Y s ) 1 s S 24 / 50

25 Critérios de Escolha Critério de Hurwicz O critério de Hurwicz se baseia em F min (X k ) e F max (X k ): max [αf min (X k ) + (1 α)f max (X k )] = 1 k K [ ] max α min F (X k, Y s ) + (1 α) max F(X k, Y s ) 1 k K 1 s S 1 s S em que α [0, 1] é o índice pessimismo-otimismo (usualmente, α = 0.75). 25 / 50

26 Generalização da Abordagem Clássica Sumário 1 Abordagem Bellman-Zadeh Abordagem Clássica para tratamento de Incerteza Critérios de Escolha Generalização da Abordagem Clássica Modificação dos Critérios de Escolha Exemplo de Aplicação 26 / 50

27 Generalização da Abordagem Clássica A abordagem Bellman-Zadeh pode ser aplicada para a solução de problemas de tomada de decisão multiobjetivo; Esta abordagem clássica pode ser generalizada a partir da maximização de D(x); Nesse caso, ao lidar com q funções objetivo, q matrizes de compromisso deverão ser geradas e analizadas; 27 / 50

28 Generalização da Abordagem Clássica A matriz de compromisso modificada (normalizada) relacionada ao p-ésimo critério fica da seguinte forma: Figura: Matriz de compromisso normalizada 28 / 50

29 Generalização da Abordagem Clássica A disponibilidade das q matrizes de compromisso modificadas permite a construção da matriz de compromisso agregada: Figura: Matriz de compromisso agregada com estimativas de características 29 / 50

30 Generalização da Abordagem Clássica Estimativas de características Função de pertinência de nível máximo (estimativa otimista): D max (X k ) = max 1 s S D(X k, Y s ) Estimativas de características Função de pertinência de nível mínimo (estimativa pessimista): D min (X k ) = min D(X k, Y s ) 1 s S 30 / 50

31 Generalização da Abordagem Clássica Estimativas de características Função de pertinência de nível médio: D(X k ) = 1 S S D(X k, Y s ) s=1 31 / 50

32 Generalização da Abordagem Clássica Estimativas de características Risco de nível máximo: em que, r(x k, Y s ) = D max (Y s ) D(X k, Y s ) D max (Y s ) = max 1 k K D(X k, Y s ) 32 / 50

33 Modificação dos Critérios de Escolha Sumário 1 Abordagem Bellman-Zadeh Abordagem Clássica para tratamento de Incerteza Critérios de Escolha Generalização da Abordagem Clássica Modificação dos Critérios de Escolha Exemplo de Aplicação 33 / 50

34 Modificação dos Critérios de Escolha Critério de Wald modificado O critério de Wald é definido como: max D(X k) = max 1 k K 1 k K min 1 s S min A p(x k, Y s ) 1 p q Critério de Laplace modificado O critério de Laplace é definido como: max D(X 1 k) = max 1 k K 1 k K S S min A p(x k, Y s ) 1 p q s=1 34 / 50

35 Modificação dos Critérios de Escolha Critério de Savage modificado O critério de Savage é definido como: min 1 k K [ max 1 s S max 1 k K min r max (X k ) = 1 k K ] min A p(x k, Y s ) min A p(x k, Y s ) 1 p q 1 p q 35 / 50

36 Modificação dos Critérios de Escolha Critério de Hurwicz modificado O critério de Hurwicz é definido como: [ max α min 1 k K 1 k K max 1 k K [ α min 1 k K D(X k) + (1 α) max 1 k K D(X k) min D(X k, Y s ) + (1 α) max 1 p q 1 k K ] = ] min D(X k, Y s ) 1 p q 36 / 50

37 Modificação dos Critérios de Escolha Embora a abordagem apresentada considere os critérios de Wald, Laplace, Savage e Hurwicz, outros critérios disponíveis na literatura podem ser aplicados; Entretanto, estes outros critérios frequentemente assumem a disponibilidade de certos tipos de informação sobre os estados de natureza; Além disso, existem inúmeros trabalhos que sugerem o pontecial dos critérios de Wald, Laplace, Savage e Hurwicz. 37 / 50

38 Exemplo de Aplicação Sumário 1 Abordagem Bellman-Zadeh Abordagem Clássica para tratamento de Incerteza Critérios de Escolha Generalização da Abordagem Clássica Modificação dos Critérios de Escolha Exemplo de Aplicação 38 / 50

39 Exemplo de Aplicação A abordagem geral para tomada de decisão multicritério sob incerteza envolve três etapas: Fase 1: Construção das q matrizes de compromisso a partir das funções F p (X k, Y s ); Nesta etapa pode ser necessário resolver modelos X, M para a geração de soluções factíveis; Alternativamente, um conjunto de soluções viáveis pode ser fornecido diretamente pelo DM; 39 / 50

40 Exemplo de Aplicação Fase 2: Análise das matrizes de compromisso; O procedimento geral pode conduzir a mais de uma solução (ordem parcial); Esta etapa ajuda a avaliar tanto os riscos particulares quanto agregados em relação a cada alternativa de projeto; 40 / 50

41 Exemplo de Aplicação Fase 3: Construção e análise de modelos X, R para a contração subsequente do domínio de incerteza de decisão; Os modelos X, R permitem considerar índices quantitativos e qualitativos baseados no conhecimento, experiência e intuição dos especialistas; 41 / 50

42 Exemplo de Aplicação Exemplo de aplicação Considere o seguinte problema multiobjetivo: min F 1 (x) = [2.70, 3.30]x 1 + [11.70, 14.30]x 2 + [7.20, 8.80]x 3 min F 2 (x) = [5.40, 6.60]x 1 + [3.60, 4.40]x 2 + [4.50, 5.50]x 3 sujeito às restrições: 0 x x x 3 14 x 1 + x 2 + x 3 = / 50

43 Exemplo de Aplicação Exemplo de aplicação Matriz de compromisso do critério F 1 : Figura: Matriz de compromisso do critério F 1 43 / 50

44 Exemplo de Aplicação Exemplo de aplicação Matriz de compromisso com estimativas de características de F 1 : Figura: Matriz de compromisso com estimativas de características de F 1 Os critérios de Wald, Laplace, Savage e Hurwicz sugerem X / 50

45 Exemplo de Aplicação Exemplo de aplicação Matriz de compromisso do critério F 2 : Figura: Matriz de compromisso do critério F 2 45 / 50

46 Exemplo de Aplicação Exemplo de aplicação Matriz de compromisso com estimativas de características de F 2 : Figura: Matriz de compromisso com estimativas de características de F 2 Os critérios de Wald, Laplace e Savage sugerem X 1, enquanto o critério de Hurwicz indica X 4. Formalmente, X 1 e X 4 são indiferentes. 46 / 50

47 Exemplo de Aplicação Exemplo de aplicação Matriz de compromisso normalizada de F 1 : Figura: Matriz de compromisso normalizada de F 1 47 / 50

48 Exemplo de Aplicação Exemplo de aplicação Matriz de compromisso normalizada de F 2 : Figura: Matriz de compromisso normalizada de F 2 48 / 50

49 Exemplo de Aplicação Exemplo de aplicação Matriz de compromisso agregada com estimativas de características: Figura: Matriz de compromisso agregada com estimativas de características Os critérios de Wald, Laplace e Hurwicz sugerem X 4, enquanto o critério de Savage indica X 3. Este resultado requer uso da fase / 50

50 W. Pedrycz, P. Ekel, R. Parreiras, Fuzzy Multicriteria Decision-Making: Models, Methods and Applications, John Wiley & Sons, (section 4.5 and chapter 8) Inicio 50 / 50