Desigualdade de Carleman e Controlabilidade Nula para uma EDP com Coeficientes Complexos

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1 Desigualdade de Carleman e Controlabilidade Nula para uma EDP com Coeficientes Complexos por Maurício Cardoso Santos sob orientação de Prof. Dr. Fágner Dias Araruna (UFPB) Dissertação apresentada ao Corpo Docente do Programa de Pós-Graduação em Matemática- CCEN-UFPB, como requisito parcial para obtenção do grau de Mestre em Matemática. Agosto/21 João Pessoa - PB

2 Desigualdade de Carleman e Controlabilidade Nula para uma EDP com Coeficientes complexos por Maurício Cardoso Santos Dissertação apresentada ao Departamento de Matemática da Universidade Federal da Paraíba, como requisito parcial para a obtenção do grau de Mestre em Matemática. Área de Concentração: Matemática Aprovada por: Prof. Dr. Fágner Dias Araruna (Presidente) (Universidade Federal da Paraíba - UFPB) Prof. Dr. Manuel Antolino Milla Miranda (Universidade Estadual da Paraíba - UEPB) Prof. Dr. Silvano Dias Bezerra de Menezes (Universidade Federal do Ceará - UFC) Prof. Dr. Milton de Lacerda Oliveira (Suplente) (Universidade Federal da Paraíba - UFPB) Universidade Federal da Paraíba Centro de Ciências Exatas e da Natureza Programa de Pós-Graduação em Matemática Curso de Mestrado em Matemática ii

3 Sumário Introdução iv 1 Alguns resultados de análise funcional Espaços funcionais Distribuições e derivada fraca Espaços de Sobolev Os espaços C([, T ]; X) e L p (, T ; X) Principais resultados utilizados Existência e unicidade de solução Teoria de semigrupos Operadores não limitados em espaços de Hilbert Espaços de Hilbert complexos O semigrupo gerado por um operador m-dissipativo O problema não homogêneo Existência e unicidade de solução fraca Controlabilidade nula Controlabilidade nula no caso real Observabilidade Estimativa de Carleman Controlabilidade nula no caso complexo Considerações finais e problemas em aberto Referências Bibliográficas 54 iii

4 . Resumo Neste trabalho de dissertação, estudaremos a controlabilidade para alguns problemas de evolução que surgem em problemas da física matemática. Por meio do método HUM, veremos que para termos um resultado de controle é suficiente que tenhamos uma desigualdade de observabilidade para o problema adjunto associado. Para chegarmos no resultado desejado estudamos uma desigualdade do tipo Carleman. Precisamente estudaremos resultados de controle para a equação do calor e um problema complexo misto, em outras palavras, uma equação do calor com parte principal complexa. Palavras-Chave: Equação do Calor, Método HUM, Desigualdade de Carleman iv

5 Abstract In this work, we study controllability properties for some physical-mathematical evolution problems. By means of the HUM (Hilbet uniqueness Method), we see that an observability inequality to the adjoint equation is a sufficient condition to controllability. To reach the desired result we study a Carleman type inequality. Precisely we study controllability results to the heat equation and a complex mixed problem, in other words, an complex heat type equation. Key Words: Heat equation, HUM, Carleman Inequality v

6 Introdução A palavra controle tem um significado duplo. Primeiramente, controlar um sistema pode ser simplesmente entendido como testar ou checar se um determinado comportamento é satisfatório. Em um sentido mais profundo, o ato de controlar é agir de modo a garatir que um sistema se comporte da forma desejada. Relembrando um pouco a história, encontramos que os Romanos utilizaram alguns elementos de controle para a construção de seus arquedutos. Mais precisamente, sistemas engenhosos regulavam válvulas de modo a manter um nível de água constante. Algumas pessoas afirmam que na antiga mesopotâmia, mais de 2 anos antes de cristo o sistema de controle de irrigação também era uma arte conhecida. O trabalho de Ch. Huygens e R. Hooke ao final do século XVII sobre oscilação do pêndulo é um dos modelos mais modernos do desenvolvimento da teoria do controle. O objetivo deles era alcançar uma medida precisa de tempo e localização, tão preciosos na navegação. Estes trabalhos futuramente foram adaptados para regular a velocidade de moinhos de vento. O principal mecanismo era baseado em sistemas de esferas girando em torno de um eixo com velocidade proporcional a velocidade do moinho de vento. uando a velocidade rotacional aumentava, as esferas se afastavem do eixo, agindo nas asas do moinho por meio de um mecanismo apropriado. J.Watt adaptou este modelo em seu motor a vapor que constituiu um mecanismo importantíssimo na revolução industrial. Neste mecanismo, quando a velocidade das esferas aumentava, uma ou várias esferas destampavam algumas válvulas diminuindo a pressão e reduzindo a velocidade, consequentemente as esferas voltavam a tampar as válvulas novamente de modo a velocidade aumentar. Este mecanismo tinha o objetivo de controlar a velocidade de forma a ficar aproximadamente constante. O astrônomo britânico G. Airy foi o primeiro a analizar matematicamente o sistema regulador apresentado por Watt. Porém a primeira descrição matemática definitiva foi dada apenas no trabalho de J. C. Maxwell, em 1868, em que alguns comportamentos indesejados encontrados no motor a vapor foram descritos e alguns 1

7 mecanismos de controle foram propostos. Com o passar dos anos, as ideias centrais da teoria de controle sofreram um impacto notável. Em meados de 192, os engenheiros já estavam preferindo usar processamento contínuo usando técnicas de controle automático ou semi automático. E assim, a engenharia de controle germinou e ganhou o reconhecimento de uma área independente. Durante a segunda guerra mundial e os anos seguintes, engenheiros e cientistas melhoraram suas experiências com mecanismos de controle de rastreamento, mísseis balísticos e modelagem de esquadrões aéreos. Depois dos anos 6, os métodos e teorias mencionados acima passaram a ser considerados como parte da teoria clássica do controle. A segunda guerra mundial serviu para perceber que os modelos considerados até o momento não eram suficientes para descrever a complexidade do mundo real. Na verdade, já se sabia que os verdadeiros sistemas eram não lineares ou indetermináveis, desde que estes são afetados por alguma pertubação. As contribuções de R. Bellman no contexto de programação dinâmica, R. Kalman nas técnicas de filtragem e aproximações algébricas a sistemas lineares e Russian L. Pontryagin com o princípio do máximo para problemas de controle óptimo não linear estabeleceram a base para a teoria do controle moderna. Tal teoria ganhou um formalismo ou uma representação matemática de modo a conseguirmos usar as ferramentas matemáticas que temos para solucionarmos tais problemas de controle. Para compreendermos um problema de controle, iremos supor que queremos um bom comportamento para o sitema físico governado pela equação estado A(y) = f(v). Neste caso, y denota o estado, a variável do sistema que planejamos controlar e que pertence a um espaço vetorial Y e v é o controle. Tal controle pertencerá ao conjunto U ad que chamaremos de conjunto dos estados admissíveis. Vamos assumir que A : D(A) Y Y e f : U ad Y são aplicações lineares, ou não lineares, arbitrárias. O operador A determina a equação que deve ser satisfeita pelo estado de acordo com as leis da física. A função f indica a forma que o controle v age no sistema governado pelo estado. Dessa forma, um problema de controle, é encotrar um elemente em U ad, de modo que o seu estado atinja, em algum sentido, 2

8 o resultado desejado. No caso de dimensão finita, ou seja, sistemas modelados por EDO s, existem resultados devidos a R. E. Kalman que nos fornece uma resposta completa a problemas de controlabilidade exata. Kalman mostrou, neste caso, que a dependência do controle da variável tempo é irrelevante. Para sistemas modelados por EDP s, muitos trabalhos que tratam vários tipos de controlabilidade para diversos sistemas que modelam fenômenos que aparecem na natureza. Podemos citar aqui o clássico trabalho de Russel 12 [21] em que foi relatado os progressos e os resultados mais relevantes obtidos neste campo até o momento. Posteriormente J.-L. Lions (ver [18] 14 e [19]) 15 introduziu um método sistemático e construtivo conhecido como HUM (Hilbert Uniqueness Method). O HUM constitui em reduzir a controlabilidade exata de sistemas lineares em um resultado de continução única, que é equivalente à obtenção de uma desigualdade inversa, também denominada por Ho (ver 16 [13]), desigualdade de observabilidade. A partir do HUM muitas descobertas importantes foram feitas neste campo. Para leitores mais interessados em aspectos históricos e resultados recentes sobre a controlabilidade de sistemas governados por equações diferenciais, indicamos os trabalhos [8], 21 [1], 22 [17] 23 e [25]. 24 Nesta dissertação, analizaremos resultados de controlabilidade para dois sistemas governados por equações diferenciais parciais. O primeiro problema está associado à conhecida equação do calor: y t y = v1 ω em = (.T ) Ω, y = em Σ = (, T ) Ω, y() = y em Ω, em que Ω R N é um domínio limitado de classe C 2 e ω é um subconjunto aberto e não vazio de Ω. Temos também que T > é um tempo dado, e 1 ω é a função característica de ω. Os primeiros resultados sobre controlabilidade nula para ( calor 1) aparecem em 12 [21]. Posteriormente, Lebeau e Robbiano 13 [15] provaram, via estimativa de Carleman, a controlabilidade nula sem nenhuma restrição ao aberto ω em que o controle atua e com coeficientes dependendo apenas da variável espacial. Resultados similares, mas num contexto bem mais geral, incluindo a dependência do tempo para os coeficientes, foram provados por Fursikov e Imanuvilov 2 [11] utilizando estimativa de Carleman 3 (1) calor

9 global para a equação do calor. Neste trabalho, estudaremos a controlabilidade nula para ( calor 1) tomando como base o artigo de Fernández-Cara e Guerrero 1 [12], onde além de ter sido feito um estudo da estimativa de Carleman para o problema acima, aplica-se tal estimativas para problemas envolvendo termos de primeira ordem, problemas semilineares, entre outros. No segundo problema, generalizaremos o resultado obtido para o problema ( calor 1), considerando a seguinte EDP linear de segunda ordem com parte principal complexa: (a + ib)y t y = v1 ω em, y = em Σ, (2) 1 y() = y em Ω. Neste caso tomamos como base o trabalho de X. FU 2 [11], em que se encontra a estimativa de Carleman para um problema de segunda ordem com parte principal complexa em que o operador é fortemente elíptico. Se a = 1 e b =, o problema acima é um sistema desacoplado formado por duas equações do calor, e assim, poderemos utilizar os resultado obtidos no caso real. Se a = e b = 1, obtemos uma identidade descrita em 18 [14] para resultados de observabilidade para as equações do tipo Schrödinger não conservativa. Obtemos também resultados de [24] 19 para as equações de placas e problemas inversos para equação de Schrödinger em [2]. 2 O trabalho está dividido em 2 capítulos. No Capítulo 1, iremos expor alguns resultados de análise funcional, apresentando alguns resultados que necessitaremos durante o trabalho, e ainda, garantiremos a existência e unicidade da solução fraca para os problemas considerados acima. No Capítulo 2, veremos o conceito de controlabilidade nula para a equação do calor. Apresentaremos a desigualdade de observabilidade e a desigualdade de Carleman. Mostraremos que por meio da desigualdade de Carleman, podemos obter a desigualdade de observavilidade, que implicará na controlabilidade nula pra a equação do calor. Posteriormente, buscaremos controlabilidade nula para o sistema ( 1 2), com argumentos similares aos do caso real. 4

10 Capítulo 1 Alguns resultados de análise funcional No intuito de deixar o texto mais autosuficiente, vamos definir alguns conceitos básicos e apresentar alguns resultados que serão necessários posteriormente. 1.1 Espaços funcionais Distribuições e derivada fraca Dados Ω R n um aberto e uma função contínua f : Ω K, em que K denota R ou C, define-se o suporte de f e denota-se por supp(f), o fecho em Ω do conjunto {x Ω; f(x) }. Pela continuidade de f, supp(f) é um subconjunto fechado de Ω. Uma n-upla de inteiros não negativos α = (α 1,..., α n ) é denominada multi-índice e sua ordem é definida por α = α α n. Representa-se por D α o operador de derivação de ordem α, isto é, D α = α 1 α αn n Para α = (,,..., ), define-se D u = u, para toda função u. Por C (Ω) denota-se o espaço vetorial, com as operações usuais, das funções infinitamente diferenciáveis e com suporte compacto em Ω. Um exemplo de uma função de C (Ω) é dado por 5

11 Exemplo 1.1. Seja Ω R n um aberto tal que B 1 () Ω em que B 1 () = {x R n ; x R n 1}, e o símbolo denota que B 1 () Ω. Consideremos f : Ω R, tal que em que x = (x 1,..., x n ) e x R n 1 x e 2 R f(x) = n 1, se x R n < 1, se x R n 1 = ( n i=1 x2 i ) 12 é a norma euclidiana de x. Temos que f C (Ω) e supp(f) = B 1 () é compacto, isto é, f C (Ω). Seja Ω um subconjunto aberto de R N., Uma sequência {φ n } de funções pertencendo a C (Ω) é dita convergente no sentido do espaço D(Ω) a uma função φ C (Ω) se as seguintes condições são satisfeitas: i. Existe K Ω tal que Supp(φ n φ) K para todo n, e ii. lim n D α φ n (x) = D α φ(x) O espaço C (Ω), munido com a convergência acima definida, será denotado por D(Ω) e denominado o espaço das funções teste sobre Ω. Observação 1.1. É possível definir em D(Ω) uma topologia de forma que a noção de convergência nessa topologia coincida com a dada acima (veja 7 [22]). Uma distribuição escalar sobre Ω é todo funcional linear contínuo sobre D(Ω). Mais precisamente, uma distribuição sobre Ω é um funcional T : D(Ω) K satisfazendo as seguintes condições: i. T (αϕ + βψ) = αt (ϕ) + βt (ψ) α, β K e ϕ, ψ D(Ω), ii. T é contínua, isto é, se (ϕ n ) n N converge para ϕ, em D(Ω), então (T (ϕ n )) n N converge para T (ϕ) em R. Denotaremos o espaço das distribuições por D (Ω) a qual é espaço vetorial munido das operações: (S + T )(φ) = S(φ) + T (φ), φ D(Ω), (ct )(φ) = ct (φ), c K, ϕ D(Ω). Uma função u definida quase sempre em Ω é dita localmente integrável em Ω se u L 1 (A) para todo A Ω (A Ω), neste caso dizemos que u L 1 Loc (Ω). Para 6

12 cada u L 1 Loc (Ω) definindo T u (φ) = u(x)φ(x)dx, φ D(Ω), podemos mostrar que T u é linear e contínuo(ver 5 [1] p.2), ou seja, T u D (Ω). Isto nos permite identificar L 1 Loc (Ω) com um subconjunto (próprio) de D (Ω). Exemplo 1.2. Consideremos Ω e o funcional δ : D(Ω) R, definido por δ (ϕ) = ϕ(). Em 5 [1] p.2-21, vê-se que δ é uma distribuição sobre Ω. Além disso, mostra-se que δ não pode ser definido por uma função de L 1 Loc (Ω). Seja u C 1 (Ω) e φ D(Ω). Como φ se anula fora de um compacto de Ω, obtemos por integração por partes na variável x j ( u(x))φ(x)dx = u(x)( φ(x))dx. x j x j Ω Similarmente, itegrando por parte α vezes teremos (D α u(x))φ(x)dx = ( 1) α u(x)d α φ(x)dx, Ω se u C α (Ω). Isto motiva a seguinte definição da derivada D α T de uma distribuição T D (Ω) Ω Ω (D α T )(φ) = ( 1) α T (D α (φ)). (1.1) df Observação 1.2. Por ( df 1.1), notamos que T possui derivada de todas as ordem. Observação 1.3. Pode-se mostrar que D α é uma aplicação linear e contínua definida em D(Ω) e, portanto, D α D (Ω)(ver 5 [1] p.21) Espaços de Sobolev Definiremos os espaços de Sobolev e vamos expor algumas propriedades básicas. Tais espaços são definidos sobre um domínio Ω R N e são subespaços vetoriais de vários espaços L p (Ω). No que segue, e (; ) representarão, respectivamente, a norma e o produto interno em L 2 (Ω). Todas as derivadas utilizadas nesta seção, são derivadas fracas ou derivadas no sentido das distribuições definida em ( df 1.1). 7

13 Dado um número inteiro m >, por W m,p (Ω) representa-se o espaço de Sobolev de ordem m, as (classes de) funções u L p (Ω) tais que D α u L p (Ω), para todo multi-índice α com α < m. W m,p (Ω) é um espaço vetorial qualquer que seja 1 p. Munindo das normas { } 1 u m,p = 1 α m Dα u p p p u m, = max 1 α m D α u, se 1 p <, (1.2) 3 os espaços de Sobolev W m,p são espaços de Banach (veja 5 [1] p.6). Pode-se mostrar W m,p (Ω) é um espaço de Banach reflexivo, para 1 p <, e uniformemente convexo, para 1 < p <. Particularmente temos que W m,2 (Ω) é um espaço de Hilbert separável com o produto interno (u, v) m = α m (D α u, D α v). Denotaremos o espaço dual de W m,p (Ω) por W m,p (Ω). Em particular, quando p = 2 denotaremos W m,2 (Ω) = H m (Ω) e seu dual W m,2 (Ω) = H m (Ω). Definiremos agora o espaço W m,p (Ω), 1 p como sendo o fecho de C (Ω) em W m,p (Ω). imersões contínuas: W m,p (Ω) é, também, um espaço de sobolev e valem as seguintes W m,p (Ω) W m,p (Ω) L p (Ω). Seja Ω um domínio limitado, e seja Ω a fronteira de Ω. Temos a seguinte caracterização do espaço H 1 (Ω) onde a prova pode ser encontrada em 5 [1] p.165. zf Teorema 1.1. Seja ϕ H 1 (Ω), então ϕ H 1 (Ω) se, e somente se, u = sobre Ω Os espaços C([, T ]; X) e L p (, T ; X) Dado um espaço de Banach X, denotaremos por C([, T ]; X), o espaço de Banach das funções u, definidas em [, T ], com valores em X que são contínuas em [, T ]. Definimos em tal espaço a norma u = sup u(t) X. t [,T ] De forma análoga, dado um espaço de Banach X, denotaremos por L p (, T ; X), 1 p <, o espaço de Banach das (classes de) funções u, definidas em (, T ) com 8

14 valores em X, que são fortemente mensuráveis e u (t) p X é integrável a Lebesgue em ], T [, com a norma u (t) L p (,T ;X) = ( T u (t) p X dt ) 1 p. Por L (, T ; X) representa-se o espaço de Banach das (classes de) funções u, definidas em ], T [ com valores em X, que são fortemente mensuráveis e u (t) X possui supremo essencial finito em ], T [, com a norma u (t) L (,T ;X) = sup ess u (t) X. t ],T [ Observação 1.4. uando p = 2 e X é um espaço de Hilbert, o espaço L 2 (, T ; X) é um espaço de Hilbert, cujo produto interno é dado por T (u, v) L 2 (,T ;X) = (u (t), v (t)) X dt. 1.2 Principais resultados utilizados min Teorema 1.2. Seja E um espaço de Banach reflexivo, A E um convexo fechado, não vazio e J : A (, + ] uma função convexa, semi contínua inferiormente,ϕ tal que lim x A x E J(x) = +. Então J possui um mínimo sobre A, isto é, existe x tal que ϕ(x ) = min A ϕ. Prova: Veja [3, p.46]. Observação 1.5. Caso J seja estritamente convexa, o mínimo x obtido no Teorema min 1.2 é único. De fato, seja ψ outro mínimo para o funcional ϕ. Dessa forma, J(λψ + (1 λ)x ) < λj(ψ ) + (1 λ)j(x ) = J(x ) t (, 1), o que contradiz o fato de x ser mínimo do funcional J. bab Teorema 1.3. (Banach-Alaoglu-Bourbaki) O conjunto B E = {f E ; f E 1} é compacto pela topologia fraca * σ(e, E), em que E é um espaço de Banach. Prova: veja [3,p.42-43]. 9

15 poincare Teorema 1.4. (Desigualdade de Poincaré) Seja Ω R n limitado em alguma direção x i. Então existe uma constante K > tal que 2 ϕ 2 K ϕ x i para todo ϕ H 1 (Ω). Prova: Veja [19, p.36]. Observação 1.6. Se Ω é um domínio limitado, então ϕ 2 K ϕ 2 para todo ϕ H 1 (Ω). A aplicação H 1 (Ω) = define um norma em H 1 (Ω) a qual, pela desigualdade acima, é equivalente a norma de H 1 (Ω). Assim, podemos definir em H 1 (Ω) a norma H 1 (Ω) que denotaremos simplesmente por. laxmilgram Teorema 1.5. (Lax-Milgram) Seja H um espaço de Hilbert e B(u, v) uma forma bilinear, contínua e conerciva. Então para todo ϕ H existe um único u H tal que B(u, v) = (ϕ, v) v H, em que (, ) denota o produto interno em H. Prova: Veja [3, p.84]. gg Teorema 1.6. (Gauss-Green) Se u C 1 (Ω), então u xi dx = uν i dγ Ω Γ em que ν i é a i-ésima componente do vetor normal a fronteira, para i = 1,..., n. Prova: Ver 11 [6]. 1

16 Capítulo 2 Existência e unicidade de solução 2.1 Teoria de semigrupos A teoria de semigrupos constitui uma ferramenta bastante poderosa para garantir existência e unicidade de soluções para diversos problemas lineares e não lineares. Para isso, precisamos fazer um estudo do operador que constitui a equação de modo a estabelecer condições para que o problema em questão tenha solução. Em outras palavras, a teoria de semigrupos nos fornece condições para que o problema problema u t Au = f(t, u(t)), (2.1) EUACAO1 tenha solução. A teoria aqui apresentada será direcionada a garantir existência e unicidade de solução para o problema ( 1 2). Para um estudo mais detalhado de tal teoria, veja 4 [4]. Observando a seguinte equação diferencial ordinária dx dt temos que sua solução é dada por ax =, em que a é uma constante, x(t) = e at = (at) n. n! n= Desta forma, definindo de forma natural o operador e At = (At) n, n! n= 11

17 vemos que e, portanto, d dt eta = e ta A = Ae ta, de At dt = Ae At. Neste caso, sempre consideraremos um espaço de Banach X, e o operador A : D(A) X X não necessariamente limitado, D(A) representando o domínio do operador A. Para iniciar a teoria necessitaremos das seguintes definições. Definição 2.1. Um operador A em X é dissipativo se u λau X u X para todo u D(A) e λ >. Definição 2.2. Um operador A é m-dissipativo se i. A é dissipativo ii. Para todo λ > e f X, existe u D(A) tal que u λau = f. Observemos que se um operador A é m-dissipativo, então o operador I λa é bijetor e, portanto, existe sua inversa J λ = (I λ) 1, que para cada f X, J λ f = u em que u é a solução do problema u λau = f. Na realidade, veremos que não é necessário verificar a condição (ii.) para todo λ, como vemos na seguinte Proposição 2.1. Seja A um operador dissipativo em X. As seguintes propriedades são equivalentes i. A é m-dissipativo em X; ii. Existe λ > tal que para todo f X, existe uma solução u D(A) de u λ Au = f. Prova: Veja [4, p.19]. 12

18 2.1.1 Operadores não limitados em espaços de Hilbert Definimos o gráfico do operador A por G(A) = {(u, f) X X; u D(A) e f = Au}. Suponhamos que X seja um espaço de Hilbert e denotemos por (, ) X seu produto interno. Se A é um operador linear em X com domínio denso, então G(A ) = {(v, ϕ) X X; (ϕ, u) X = (v, f) X para todo (u, f) G(A)}, define o operador linear A. O domínio de A é dado por D(A ) = {v X, C <, (Au, v) X C u X, u D(A)}, e A satisfaz (A v, u) X = (v, Au) X, u D(A). Com base nisto, podemos deduzir o seguinte resultado Proposição 2.2. A é dissipativo em X se, e somente se, (Au, u) X, para todo u D(A). Prova: veja [4, p.22]. Definição 2.3. Dizemos que um operador A é auto-adjunto se A = A. As propriedades dos operadores auto-adjuntos nos permitem verificar de uma maneira bem mais eficiente se um dado operador A é m-dissipativo, como vemos por meio do Teorema 2.1. Se A é um operador auto-adjunto em X, e se (Au, u) X então A é m-dissipativo. Prova: veja [4, p.24]. 4 Teorema 2.2. Seja A um operador linear em X com dominio denso, tal que G(A) G(A ) e (Au, u). Então A é m-dissipativo se, e somente se, A é auto-adjunto. Prova: Veja [4, p.24]. Observação 2.1. Há outra classe de operadores das quais podemos extrair diversas propriedades interessantes, são os chamados operadores skew adjuntos. Tais Operadores tem a propriedade que A = A. Observemos que se A é auto adjunto, então (ia) = ia, ou seja, ia é um operador skew adjunto. Para mais detalhes, veja 4 [4]. 13

19 2.1.2 Espaços de Hilbert complexos Nesta seção teremos X sendo um espaço de Hilbert complexo. Lembremos que se X é um espaço de Hilbert complexo, então exite um forma R-bilinear b : X X C satisfazendo as seguintes propriedades b(iu, v) = ib(u, v), u, v X X, b(v, u) = b(u, v), u, v X X, b(u, u) = u 2 X, u X. Neste caso (u, v) = re(b(u, v)) é um produto interno real que torna X um espaço de Hilbert. Façamos agora alguns exemplos para ilustrar o que foi exposto até agora. 12 Exemplo 2.1. Seja Ω R N, e seja X = L 2 (Ω). Definiremos o operador linear B em X por D(B) = {u H 1 (Ω); u L 2 (Ω)}, B(u) = u u D(B). Neste caso, queremos mostrar que B é m-dissipativo com domínio denso. Mais precisamente, B é auto adjunto e (Bu, u) X para todo u D(A). Primeiramente, D(Ω) D(B) e assim, D(B) é denso em X. Pelos Teoremas ( zf 1.1) e ( gg 1.6), (Bu, u) = Ω uudx = u 2 Ω e, assim, B é dissipativo. A aplicação bilinear b(u, v) = (uv + u v)vdx, Ω é contínua e coerciva em H 1 (Ω). Então, pelo Teorema laxmilgram 1.5, para toda f L 2 (Ω) existe u H(Ω) 1 tal que (uv + u v)dx = Ω Ω fvdx v H 1 (Ω). Obtemos então que u u = f no sentido das distribuições. Como u H 1 (Ω) e f L 2 (Ω), temos u L 2 (Ω) e, portanto, u D(B). Por conseguinte, B é m-dissipativo. É facil ver que (Bu, v) = (u, Bv). Logo G(B) G(B ) e, pelo Teorema 4 2.2, segue que B é auto-adjunto. 14

20 13 Exemplo 2.2. Consideremos agora X = L 2 (Ω; C) e o operador D(C) = {H(Ω; 1 C), u X} C(u) = (c + id) u u D(B) c > Vejamos que B é m-dissipativo com domínio denso. Com efeito, ( ) (Cu, u) = Re (c + id) uudx Ω ( ) = Re (c + id) u 2 dx Ω = c u 2 dx. Dessa forma, C é dissipativo. Acima percebemos a necessidade de considerarmos c >. Definindo a forma bilinear d : H 1 (Ω; C) H 1 (Ω; C) C por d(u, v) = d é claramente contínua, e ainda Ω ((c + id) u v + uv) dx, Ω d(u, u) ( c 2 + d 2 ) 1 2 u 2. Portanto, pelo Teorema laxmilgram 1.5, para cada f L 2 (Ω; C) existe ξ f H 1 (Ω; C) tal que f(u) = d(ξ f, u), u H 1 (Ω; C). Em outros termos, fudx = ((c + id) ξ f u + ξ f u)dx, Ω Ω ou ainda, ξ f (c + id) ξ f = f em D (Ω; C). Como ξ f H 1 (Ω, C) e f L 2 (Ω; C) teremos que ξ f L 2 (Ω; C) e assim ξ f D(C) e assim C é m-dissipativo O semigrupo gerado por um operador m-dissipativo Seja A um operador m-dissipativo, podemos definir A λ = AJ λ, recordemos que J λ = (I λa) 1. Considerando T λ (t) = e ta λ temos o seguinte teorema 15

21 7 Teorema 2.3. Para todo x X, a sequência u λ (t) = T λ (t)x converge uniformemente em intervalos limitados [, T ] a uma função u C([, ); X), quando λ. Escreveremos T (t)x = u(t), para todo x X e t. Então T (t) L(X) e T 1, t, T () = I, T (t + s) = T (t)t (s) s, t. (2.2) 5 Mais ainda, para todo x D(A), u(t) = T (t)(x) é a única solução do problema u C([, ); D(A)) C 1 ([, ); X), u (t) = Au(t) t, (2.3) 6 u() = x. Prova: veja [4, p.33]. Observação 2.2. No caso em que A é auto adjunto, teremos um resultado similar ao Teorema Mais precisamente, se x X e A é auto adjunto então u(t) = T (t)x satisfaz u C([, ); X) C((, ); D(A)) C 1 ((, ); D(A)), u (t) = Au(t) t, u() = x. Observe que para o caso auto adjunto, conseguimos que a solução seja mais regular que o dado inicial. operador auto adjunto. Este fenômeno é chamado de efeito regularizante do Definição 2.4. Seja (T (t)) t uma família de aplicações de um parâmetro, dizemos que L definido por { D(L) = x X; T (h) I } x possui limite em X quando h, h e é dito gerador da família (T (t)) t. T (h) I Lx = lim x, x D(L), h h Definição 2.5. Dizemos que a família (T (t)) t é um semigrupo de contração se satisfaz as propriedades ( 5 2.2) para todo t. 16

22 9 Teorema 2.4 (Teorema de Hille-Yosida-Philips). Um operador linear A é o gerador de um semigrupo de contração em X se, e somente se, A é m-dissipativo e com domínio denso. Prova: Veja [4, p.4]. 8 Proposição 2.3. Seja A um operador m-dissipativo com domínio denso. Suponha que A é o gerador de um semigrupo de contração (S(t)) t. Então (S(t)) t é o semigrupo correspondente a A no Teorema Prova: Veja [4, p.41]. Observação 2.3. A proposição nos permite concluir a unicidade do semigrupo gerado por um dado operador m-dissipativo. Observação 2.4. O Teorema e o Teorema nos diz que, para sabermos se o problama ( 6 2.3) possui uma única solução (x D(A)), basta verificarmos que o operador A é m-dissipativo com domínio denso, ou então que o semigrupo gerado por A é de contração. Observação 2.5. Como foi mostrado, os operadores B e C definidos nos exemplos e são m-dissipativos com domínio denso e, se x D(A), existe solução para o problema ( 6 2.3) para tais operadores. Como B é auto-adjunto, garantimos solução para x X O problema não homogêneo Seja T > e f : [, T ] X, nosso objetivo é encontrar uma função u C([, T ]; D(A)) C 1 ([, T ]; X), tal que u (t) = Au(t) + f(t), t, u() = x. (2.4) 1 Definição 2.6. Seja A o gerador de um semigrupo (T (t)) t de contração e seja x X e f L 1 ((, T ); X). A função u C([, T ]; X) dada por u(t) = T (t)x + t é chamada solução generalizada do problema ( 1 2.4). 17 T (t s)f(s)ds, (2.5) 11

23 Temos agora o seguinte Lema 2.1. Seja x D(A) e f C([, T ]; X). Se u é solução de ( 1 2.4), então ( ) vale para todo t [, T ]. Prova: Veja [4, p.5]. 15 Proposição 2.4. Seja x D(A) e f C([, T ]; X). Se além disso f L 1 ((, T ); D(A)) ou f W 1,1 ((, T ); X), então u dada por ( 2.5) 11 é solução de ( 2.4). 1 Prova: Veja [4, p.51]. 2.2 Existência e unicidade de solução fraca Vamos agora garantir a existência de uma única solução fraca para o problema ( 2). 1 Definimos o conceito de solução fraca como segue. Definição 2.7. Dizemos que y : C é solução fraca de ( 2) 1 se y C([, T ]; L 2 (Ω; C)) L 2 (, T ; H 1 (Ω, C)), (2.6) sf1 e t com y() = y. (y(s), ϕ )ds = t ((c + id) y(s), ϕ)ds + t (f(s), ϕ)ds, (2.7) sf2 Teorema 2.5. Seja y L 2 (Ω; C) e f L 1 ((, T ); L 2 (Ω; C)) então existe uma única y C([, T ], L 2 (Ω; C)) L 2 ((, T ); H(Ω; 1 C)) solução fraca para o problema y = C(y) + f, em, y =, sobre Σ, y() = y, em Ω, em que C é o operador definido no Exemplo Prova: Sejam (y n) n N e (f n ) n N sequências em C (Ω; C) e C (; C), respectivamente, tal que y n y f n f em L 2 (Ω; C), em L 2 (; C). (2.8) 14 18

24 Como C é m-dissipativo e D(C) é denso em L 2 (Ω; C), temos que C gera um semigrupo de contração e, assim, podemos definir a solução generalizada y n (t) = T (t)y n + t T (t s)f n (s)ds do problema y n(t) = Cy n (t) + f n (t) t, y n () = yn. Por outro lado, é fácil ver que ) y(t) y n (t) 2 L 2 (Ω;C) ( y C n y 2 L 2 (Ω;C) + f n f 2 L 2 (;C). Assim, y n y em C([, T ]; L 2 (Ω; C)), em que y é a solução generalizada do problema y (t) = Cy(t) + f(t) t, y() = y. Pela regulariade dos dados, e pela proposição 2.4, 15 temos que y n satisfaz y n C([, T ]; D(A)) C 1 ([, T ]; X), y n(t) = Cy n (t) + f n (t), t, y n () = yn. (2.9) 16 Multiplicando ( ) 2 por y n, integrando em Ω (, t) e, em seguida, considerando a parte real, temos 1 2 y n(t) 2 + c Ω (,t) y n (s) 2 dxds = 1 2 y n 2 + Ω (,t) f n (s)y n (s)dxds. Pela desigualdade de Young, e pela imersão contínua H(Ω; 1 C) L 2 (Ω; C) temos 1 2 y n(t) 2 + c y n (s) 2 dxds y 2 n f n (s) 2 dxds. 2c Ω (,t) Em virtude das convergências ( ) conluimos que Ω (,T ) y n (t) 2 + t y n (s) 2 ds C, C independe de m e t. Portanto, a menos de subsequências, y n y em L 2 (, T ; H(Ω; 1 C)). (2.1) 31 19

25 Multiplicando ( ) 2 por por uma função teste ϕ D(; C) temos, t (y n (s), ϕ (s))ds = t ((c + id) y n (s), ϕ(s))ds + t (f n (s), ϕ(s))ds, (2.11) 32 o que conclui a prova do resultado. Pelas convergências ( ) e ( ) temos t (y(s), ϕ )ds = t ((c + id) y(s), ϕ)ds + t (f(s), ϕ)ds. obs1 Observação 2.6. Para o problema não homogêneo envolvendo o operador B (veja Exemplo 2.2), 13 temos que dado y L 2 (Ω), existe uma única função y na classe C([, T ]; L 2 (Ω)) L 2 (, T ; H 1 (Ω)), tal que t (y(s), ϕ )ds = t ( y(s), ϕ)ds + t (f(s), ϕ)ds, com y() = y. Notemos que a solução tem um caráter mais regular que o dado inicial, o que caracteriza o efeito regularizante da equação do calor. 2

26 Capítulo 3 Controlabilidade nula 3.1 Controlabilidade nula no caso real Com o intuito de obter alguns resultados de controlabilidade para ( 1 2), estudaremos primeiramente alguns resultados de controlabilidade para o seguinte sistema associado à equação do calor: y t y = v1 O em, y = sobre Σ, y() = y em Ω. Há diferentes noções de controlabilidade que necessitam ser distinguidas. Controlabilidade exata: Dado y 1 L 2 (Ω), queremos encontrar uma função v L 2 (O (, T )) tal que a solução y do problema ( ) seja tal que y(t ) = y 1. O conceito de controlabilidade exata é, em alguns casos, muito forte de modo que dependendo da natureza do problema seja impossível obter tal resultado de controlabilidade. Por este motivo outros conceitos surgem naturalmente, tais como (3.1) 17 Controlabilidade aproximada: Dado y 1 L 2 (Ω), e ɛ >, existe uma função controle v L 2 (Ω) tal que a solução y, do problema ( 3.1), 17 associada ao controle v satisfaz E ainda, y(t ) y 1 < ɛ. Controlabilidade exata para as trajetórias: Se z é uma trajetória, ou seja, z é 21

27 solução do problema z t z = em, z = sobre Σ, z() = z em Ω, (3.2) tj1 em que z é um dado em L 2 (Ω), então existe um controle v L 2 (O (, T )) tal que a solução de ( ) satisfaz y(t ) = y(t ). Controlabilidade nula: ueremos encontrar uma função v L 2 (O (, T )) tal que a solução y do problema ( 3.1) 17 seja tal que y(t ) =. Observação 3.1. Devido ao efeito regularizante da equação do calor (veja Observação 2.6), obs1 não podemos ter controlabilidade exata para ( 3.1). 17 De fato, se y 1 L 2 (Ω) \ H 1 (Ω) temos que para qualquer função controle v L 2 (Ω), y(t ) H 1 (Ω). Dessa forma não poderemos ter y(t ) = y 1. Observação 3.2. Podemos ver, devido a linearidade do problema, que controlabilidade exata para as trajetórias é equivalente a controlabilidade nula. De fato, suponhamos controlabilidade nula. Seja z uma trajetória (ver ( 3.2)). tj1 Temos que existe um controle v tal que a solução do problema y t y = v1 O em, y =, em Σ, y() = y z em Ω. satisfaz y(t ) =. Pela linearidade do problema, a função w = y + z satisfaz w t w = v1 O em, w = sobre Σ, w() = y em Ω, e ainda w(t ) = z(t ). Reciprocamente, se z for a trajetória nula, temos, por hipótese, que existe um controle v tal que a solução y associada ao controle v é tal que y(t ) = z(t ) = Observabilidade Mostraremos que a a controlabilidade nula de ( ) pode ser obtida por meio de uma desigualdade de observabilidade do sistema adjunto associado. 22

28 Para cada ϕ L 2 (Ω), consideremos o seguinte sistema adjunto: ϕ t ϕ = em, ϕ = sobre Σ, ϕ(t ) = ϕ em Ω. (3.3) 18 Observação 3.3. De forma inteiramente análoga a que foi mostrada no primeiro capítulo, podemos assegurar a existência e unicidade da solução fraca para ( 3.3) Teorema 3.1. A controlabilidade nula de ( ) é equivalente a seguinte desigualdade: ϕ() 2 C ϕ 2 dxdt. (3.4) 19 Observação 3.4. A desigualdade ( ) é conhecida como desigualdade de observabilidade, e a constante C é conhecida como constante de observabilidade. Prova: Por simplicidade, dividiremos a prova em três passos. No primeiro passo, obteremos um controle v ɛ por meio da miniminzação de um funcional. No segundo passo obteremos a controlabilidade aproximada para o problema ( ), ou seja, mostraremos que a solução y ɛ associadas ao controle aproximado v ɛ satisfaz y ɛ (T ) ɛ. (3.5) d4 No terceiro passo,combinando a controlabilidade aproximada com a limitação do controle, poderemos concluir a controlabilidade nula. Passo 1: Minimização do funcional. Dados y L 2 (Ω) e ɛ >, consideremos o funcional J ɛ : L 3 (Ω) L 2 (Ω) definido por: J ɛ (ϕ ) = 1 2 ϕ 2 dxdt + ɛ ϕ + (ϕ(), y ), (3.6) 2 em que ϕ é a solução de ( ) com dado ϕ. Mostraremos que o controle aproximado v ɛ que procuramos está relacionado com o mínimo do funcional J ɛ. Para garantir a existência de tal mínimo, faremos uso do Teorema min 1.2. Assim, devemos mostrar que J ɛ é estritamente convexo, contínuo e coercivo. a. J ɛ é estritamente convexo. Sendo a função ϕ ϕ 2 L 2 () estritamente convexa, temos imediatamente a convexidade estrita de J ɛ. 23

29 b. J ɛ é contínuo: Multiplicando ( ) por ϕ e integrando em Ω (t, T ) obtemos Assim, ϕ(t) 2 + Por ( ) e ( ) teremos T t ϕ 2 dxdt = ϕ 2, t [, T ]. ϕ 2 dxdt Ω (,T ) ϕ 2 dxdt CT ϕ 2. (3.7) 21 (ϕ(), y ) ϕ() y C ϕ (3.8) 22 Sejam ϕ e ψ soluções de ( 3.3) 18 com dados ϕ e ψ respectivamente. Pela linearidade do problema, ϕ ψ é solução para o problema ( 3.3) 18 com dado ϕ ψ. Assim, por ( 3.7) 21 e ( 3.8) 22 teremos que J ɛ (ϕ ψ ) C ϕ ψ 2 + C(ɛ) ϕ ψ, o que é suficiente para concluirmos a continuidade de J ɛ. c. J ɛ é coercivo: Para ϕ, temos por ( 3.6) 2 que Se J ɛ (ϕ ) ϕ = 1 ϕ 2 dxdt + ɛ ϕ ϕ (ϕ(), y ). (3.9) 26 ( ) 1 1 lim inf ϕ 2 dxdt + (ϕ(), y ), ϕ ϕ 2 então existe K > tal que ϕ > K implica 1 ϕ 2 dxdt + (ϕ(), y ). 2 Assim, por ( 3.4) Logo, ( ϕ 2 dxdt ϕ 2 dxdt (ϕ(), y ) ) 1 ϕ() y ( C y ϕ 2 dxdt ) C y, para todo ϕ K. (3.1) 24 24

30 Fixado ϕ tal que ϕ K, temos que nϕ K para todo n K. Pela linearidade do problema e por ( 3.1) 24 teremos ( ϕ 2 dxdt donde concluimos que ) 1 2 C n y, para todo ϕ K, ϕ 2 dxdt = sempre que ϕ K. Pela desigualdade de observabilidade ( 3.4), 19 temos também que ϕ() = e, portanto, (ϕ(), y ) =. Dessa forma, segue por ( 3.9) 26 J ɛ (ϕ ) ϕ = ɛ. Caso lim inf ϕ ( ) 1 1 ϕ 2 dxdt + (ϕ(), y ), ϕ 2 teremos diretamente, por ( ),que J ɛ (ϕ ) lim inf ϕ ϕ ɛ. O que nos permite conluir que J ɛ é coercivo. Das propriedades a, b, c provadas acima e pelo Teorema min 1.2, segue que o funcional J ɛ possui um mínimo que denotaremos ϕ ɛ. Passo 2: Controlabilidade aproximada. Consideremos v ɛ = ϕ ɛ, e por y ɛ a solução do problema ( ) com controle v ɛ. Se ϕ ɛ =, então sua solução correspondente ϕ ɛ é a solução nula e, portanto, J ɛ (ϕ ɛ) =. Como ϕ ɛ é o mínimo do funcional J ɛ temos lim t J ɛ (tϕ ) t = ɛ ϕ + (y(t ), ϕ ) J ɛ (ϕ ɛ) =, ϕ L 2 (Ω), e dessa forma (y ɛ (T ), ϕ ) ɛ ϕ ϕ L 2 (Ω). Sabendo que y ɛ (T ) = inf{k > ; (y(t ), ϕ ) k ϕ ϕ L 2 (Ω)}, 25

31 concluimos ( d4 3.5). Caso ϕ ɛ, podemos diferenciar o funcional J ɛ em ϕ ɛ obtendo ϕ ɛ ϕdxdt + ɛ( ϕ ɛ ϕ ɛ, ϕ ) + (ϕ(), y ) =, (3.11) i1 para todo ϕ L 2 (Ω). Como os sistemas ( ) e ( ) estão em dualidade, é valido Substituindo ( ) em ( i1 3.11) deduzimos ( d4 3.5). ϕ ɛ ϕdxdt = (y ɛ (T ), ϕ ) (y, ϕ()). (3.12) 27 Passo 3: Controlabilidade nula. Considerando ϕ = ϕ ɛ em ( 3.11), i1 e utilizando a desigualdade de observabilidade ( 3.4) 19 temos donde concluimos que v ɛ 2 L 2 () (ϕ ɛ (), y ) ϕ ɛ () y ( C ) 1 ϕ ɛ 2 2 dxdt y, v ɛ L 2 () C y, (3.13) d2 em que C é a constante de observabilidade em ( ). Multiplicando ( ) por y ɛ e integrando em Ω (, T ) obtemos, por procedimentos padrões, a seguinte desigualdade de energia y ɛ (t) 2 + T y ɛ (t) C Por ( d2 3.13) e ( d3 3.14) temos que ( ) y 2 + v ɛ 2 L 2 (). (3.14) d3 (v ɛ ) é limitada em L 2 (O (, T )), (3.15) l3 Pelo Teorema bab 1.3, (y ɛ ) é limitada em L 2 (, T ; H 1 (Ω)). (3.16) l1 v ɛ v em L 2 (O (, T )), y ɛ y em L 2 (, T ; H 1 (Ω)). (3.17) 28 26

32 Como y ɛ é solução fraca de ( ) T (y ɛ (s), ϕ (s))ds = T ( y ɛ, ϕ)ds + e pelas convergências temos que T T (y(s), ϕ (s))ds = ( y, ϕ)ds + ou seja, y é solução de ( ) com função controle v. Pela limitação ( l1 3.16) concluimos que v ɛ ϕdxds, vϕdxds, ( y ɛ ) é limitada em L 2 (, T ; H 1 (Ω)). (3.18) l2 Por ( l3 3.15) e ( l2 3.18), e sendo y ɛ solução de ( ), segue que (y ɛ) é limitada em L 2 (, T ; H 1 (Ω)), e assim y ɛ y em L 2 (, T ; H 1 (Ω)). (3.19) c7 Seja v D(Ω) e θ C 1 [, T ], tal que θ() = e θ(t ) = 1. Temos que (y ɛ (T ), v) = T y ɛ(t), v θ(t)dt + T Pelas convergências ( ) 2 e ( c7 3.19) concluimos que (y ɛ (t), v)θ (t)dt. (y ɛ (T ), v) (y(t ), v) para todo v D(Ω). Como L 2 (Ω) é reflexivo, teremos que Por ( d4 3.5) obtemos y ɛ (T ) y(t ) em L 2 (Ω). y(t ) lim inf y ɛ (T ) =. Observação 3.5. Reciprocamente, vamos supor controlabilidade nula para ( ). Suponhamos também que o controle seja limitado, ou seja, para cada y L 2 (Ω) se v L 2 (Ω) é o controle que conduz a solução de ( 3.1) 17 a zero com dado y, então v L 2 () C y. 27

33 Dessa forma, podemos garantir que a desigualdade de observabilidade é válida. De fato, por dualidade temos Nessas condições, (y, ϕ()) = vϕdxdt v L 2 () ϕ L 2 () ( C y ϕ 2 dxdt ϕ() ( C ϕ 2 dxdt ) 1 2. ) 1 2. Nosso objetivo agora é mostrar que ( 3.4) 19 é válida. Faremos uso da desigualdade de Carleman para ( 3.3) 18 a qual tem a seguinte forma Ω (,T ) ρ 2 ϕ 2 dxdt ρ 2 ϕ 2 dxdt, (3.2) onde ρ = ρ(x, t) é uma função peso contínua e estritamente positiva Estimativa de Carleman Para iniciar o estudo da estimativa Carleman para a equação do calor, precisaremos inicialmente do seguinte resultado cuja prova pode ser encontrado em 1 [12]. 3 Lema 3.1. Seja ω Ω um subconjunto aberto e não vazio. Então existe η C 2 (Ω) tal que η > em Ω, η = sobre Ω e η > em Ω \ ω. Tendo em posse o Lema 3 3.1, definamos as seguintes funções peso: α(x, t) = e2λm η e λ(m η +η (x)), t(t t) +η (x)) ξ(x, t) = eλ(m η, t(t t) (3.21) 29 em que (x, t) e m > 1 um número real. Denominamos essas funções por funções peso. As funções definidas em ( ) foram inicialmente introduzidas por Imanuvilov em 1 [12]. Vamos agora ao principal resultado. 28

34 43 Lema 3.2. Existe uma constante λ 1 = λ 1 (Ω, O) 1, s 1 = C(Ω, O)(T + T 2 ) e C 1 (Ω, O) tal que, para qualquer λ λ 1 e qualquer s s 1, a seguinte desigualdade é válida: s 1 λ 1 e 2sα ξ 1 ( q t 2 + q 2 )dxdt + sλ 2 e 2sα ξ q 2 )dxdt ( +s 3 λ 4 e 2sα ξ 3 q 2 dxdt C e 2sα q t + q 2 dxdt ) + s 3 λ 4 ξ 3 e 2sα q 2 dxdt, ω (,T ) para toda q C 2 () com q = em Σ. No que segue, C = C(Ω, O) ou simplesmente C denotará uma constante genérica que depende apenas de Ω e O. Antes de provarmos o Lema 3.2, 43 deduziremos por meio do mesmo, a desigualdade de observabilidade ( 3.4) 19 e, consequentemente, teremos controlabilidade nula para ( 3.1). 17 Por densidade, podemos supor que ( 3.22) carleman é válida para a solução do problema ( 3.3). 18 Então, fixando λ = λ 1, obtemos e 2sα t 3 (T t) 3 ϕ 2 dxdt C para todo s s 1. Utilizandos ( ) e as desigualdades (3.22) carleman e 2sα t 3 (T t) 3 ϕ 2 dxdt, (3.23) 44 e 2s 1α t 3 (T t) 3 e 2C(1+ 1 T ) 1 T 6 em Ω ( T 4, 3T 4 ), e 2s 1α t 3 (T t) 3 e C(1+ 1 T ) 1 T 6 em Ω (, T ), obtemos ϕ 2 dxdt K Ω ( T 4, 3T 4 ) Ω (,T ) ϕ 2 dxdt, (3.24) 48 em que a constante K = K(Ω, O, T ) = e C(1+ 1 T ). Multiplicando ( ) por ϕ e integrando em Ω (, t) obtemos Integrando ( 3.25) 49 em ( T, 3T ) segue que 4 4 ϕ() 2 ϕ(t) 2. (3.25) 49 ϕ() 2 2 T 3T 4 T 4 ϕ(t) 2 dt. (3.26) 5 29

35 Assim, combinando ( 3.24) 48 e ( 3.26) 5 conluimos a desigualdade de observabilidade ( 3.4). 19 Passemos agora para a demonstração do Lema Prova do Lema 3.2: Tomemos q C 2 () tal que q = sobre Σ. Consideremos a mudança de variável ψ = e sα q ou q = e sα ψ. Consideremos também a seguinte função g = e sα f, onde f = q t + q. Observemos que q t = se sα α t ψ + e sα ψ t, e q = e sα ψ + 2se sα α ψ + s 2 e sα α 2 ψ + se sα αψ. Assim, f = e sα ( sα t ψ + ψ t + ψ + 2s α ψ + s 2 α 2 ψ + s αψ ). Multiplicando a expressão acima por e sα obtemos g = sα t ψ + ψ t + ψ + 2s α ψ + s 2 α 2 ψ + s αψ. Como e α = ξλ η, α = λ 2 ξ η 2 λξ η, segue que g = sα t ψ + ψ t + ψ 2sλξ η ψ + s 2 λ 2 ξ 2 η 2 ψ sλ 2 ξ η 2 ψ λξ η ψ. Considerando M 1 ψ = 2sλ 2 η 2 ξψ 2sλξ η ψ + ψ t, M 2 ψ = s 2 λ 2 ξ 2 η 2 ψ + ψ + sα t ψ, (3.27) 52 3

36 temos que M 1 ψ + M 2 ψ = g s,λ, (3.28) 51 onde g s,λ = g + sλ η ξψ sλ 2 η 2 ξψ. Para simplificar a notação, denotaremos (M i ψ) j (i = 1, 2; j = 1, 2, 3) o j-ésimo termo da expressão M i ψ dado em ( 3.27). 52 Com a notação anterior, temos por ( 3.28) 51 que M 1 ψ 2 + M 2 ψ ((M 1 ψ)) i, (M 2 ψ) j ) = g s,λ 2. (3.29) 54 i,j=1 Observação 3.6. A primeira vista, parece natural pôr o termo (M 1 ψ) 1 do lado direito de ( 3.28), 51 entretando decidimos mantê-lo na esquerda pois ajudará a produzir o segundo termo do lado esquerdo de ( 3.22) carleman (Isto será melhor esclarecido mais adiante quando necessitarmos do produto escalar ((M 1 ψ)) 1, (M 2 ψ) 2 ) L 2 ()). O próximo passo é desenvolver os nove termos que surgem do produto interno em ( ). Com esta finalidade, faremos integração por partes várias vezes e, naturalmente, as derivadas das funções peso aparecerão. Portanto precisaremos das estimativas i α = i ξ = λ i η ξ Cλξ, (3.3) 55 α t = (T 2t) e2λm η e λ(m η +η (x)) t 2 (T t) 2 CT ξ 2. (3.31) 56 A última desigualdade segue do fato que e 2λm η e 2λ(m η +η ) em Ω. (3.32) 57 Primeiramente temos ((M 1 ψ) 1, (M 2 ψ) 1 ) = 2s 3 λ 4 η 4 ξ 3 ψ 2 dxdt = A. (3.33) 58 31

37 Temos também ((M 1 ψ) 2, (M 2 ψ) 1 ) = 2s 2 λ 3 = 3s 3 λ 4 + s 3 λ 3 N + 2s 3 λ 3 i,j=1 = B 1 + B 2 + B 3, η 2 ξ 3 ( η ψ)ψdxdt η 4 ξ 3 ψ 2 dxdt η η 2 ξ 3 ψ 2 dxdt (3.34) i η ij η j η ξ 3 ψ 2 dxdt onde B i (i = 1, 2, 3), representa o i-ésimo termo do lado direito de ( 3.34). 53 Claramente temos que A + B 1 é um número positivo e, pelo Lema 3.1, 3 temos T A + B 1 = s 3 λ 4 η 4 ξ 3 ψ 2 dxdt s 3 λ 4 η 4 ξ 3 ψ 2 dxdt T Cs 3 λ 4 = Cs 3 λ 4 = Ã B. Ω\ω Ω\ω ξ 3 ψ 2 dxdt (3.35) T ξ 3 ψ 2 dxdt Cs 3 λ 4 Como η C 2 (), teremos T B 2 Cs 3 λ 3 T B 3 Cs 3 λ 3 ω ξ 3 ψ 2 dxdt ξ 3 ψ 2 dxdt, (3.36) ξ 3 ψ 2 dxdt. (3.37) Dessa forma, se K < C é um número real, considerando λ C segue que K Ã + B 2 + B 3 Cs 3 λ 4 ξ 3 ψ 2 dxdt Cs 3 λ 3 ξ 3 ψ 2 dxdt (3.38) (C K)s 3 λ 4 ξ 3 ψ 2 dxdt = Cs 3 λ 4 ξ 3 ψ 2 dxdt, em que C é uma constante positiva. Assim, podemos observar que B 2 e B 3 foram absorvidas por Ã. Isto foi possível pois as potências de s e λ de B 2 e B 3 são menores que a ordem s 3 λ 4. Notemos agora que ((M 1 ψ) 3, (M 2 ψ) 1 ) = s 2 λ 2 η 2 ξ 2 ψ t ψdxdt, = s 2 λ 2 η 2 ξξ t ψ 2 dxdt. (3.39) 32

38 Como deduzimos que ξ t = ξ T 2t t(t t) CT ξ2, (3.4) ((M 1 ψ) 3, (M 2 ψ) 1 ) Cs 2 λ 2 T ξ 3 ψ 2 dxdt, que também poderá ser absorvido como no caso anterior, bastando considerar λ 1 e s CT. Consequentemente (M 1 ψ, (M 2 ψ) 1 ) L 2 () = ((M 1 ψ) 1 + (M 1 ψ) 2 + (M 1 ψ) 3, (M 2 ψ) 1 ) L 2 () Cs 3 λ 4 ξ 3 ψ 2 dxdt (3.41) para qualquer λ C e s CT. Por outro lado, T Cs 3 λ 4 ((M 1 ψ) 1, (M 2 ψ) 2 ) L 2 () = 2sλ 2 ω = 2sλ 2 ξ 3 ψ 2 dxdt, N + 4sλ 2 i,j=1 + 2sλ 3 = C 1 + C 2 + C 3, η 2 ξ ψψdxdt η 2 ξ ψ 2 dxdt i η ij η ξ j ψψdxdt (3.42) η 2 ξ( η ψ)ψdxdt em que C i (i = 1, 2, 3) representa o i-ésimo termo do lado direito de ( ). Obtemos as seguintes estimativas para C 2 e C 3 : C 2 Csλ 4 ξ ψ 2 dxdt + Cs ξ ψ 2 dxdt (3.43) 62 e C 3 Cs 2 λ 4 ξ ψ 2 dxdt + Cλ 2 Como ξ 1 t(t t), temos que T 2 ξ 2 ξ. Assim, Csλ 4 ξ ψ 2 dxdt CT 2 sλ 4 ψ 2 dxdt. (3.44) 63 ξ 2 ψ 2 dxdt. (3.45) 64 33

39 Dessa forma, C 1 + C 2 + C 3 2sλ 2 η 2 ξ ψ 2 dxdt (3.46) Csλ 4 ξ 2 ψ 2 C (sξ + λ 2 ) ψ 2 dxdt. Sendo ψ = sobre Σ, obtemos i ψ = ψ n ni e, portanto, ((M 1 ψ) 2, (M 2 ψ) 2 ) L 2 () = 2sλ ξ( η ψ) ψdσdt = 2sλ ξ η 2 ψ Σ n n dxdt N + 2sλ ij η ξ i ψ j ψdxdt i,j=1 + 2sλ 2 ξ η ψ 2 dxdt (3.47) + sλ ξ η ψ 2 dxdt = D 1 + D 2 + D 3 + D 4, onde D i (i = 1,..., 4) corresponde ao i-ésimo termo do lado direito de ( ). Observemos que D 3 é um termo positivo, e D 2 Csλ ξ ψ 2 dxdt. (3.48) Após alguns cálculos, obtemos D 4 = sλ ξ η ψ 2 dxdt = sλ ξ η 2 ψ Σ n n dxdt sλ 2 η 2 ξ ψ 2 dxdt sλ 2 η ξ ψ 2 dxdt (3.49) = D 41 + D 42 + D 43 Observação 3.7. Como mencionamos na observação 3.6, é importante salientar nesse ponto a importância de termos preservado, na decomposição ( ), o termo sλ 2 η 2 ξψ em M 1 ψ e em g s,λ. Caso não o tivessemos feito, teríamos M 1 ψ = sλ 2 η 2 ξψ 2sλξ η ψ + ψ t, e g s,λ = g + sλ η ξψ. 34

40 Logo, ((M 1 ψ) 1, (M 2 ψ) 2 ) L 2 () = sλ 2 η 2 ξ ψψdxdt = sλ 2 η 2 ξ ψ 2 dxdt N + 2sλ 2 i,j=1 + sλ 3 = C 1 + C 2 + C 3. i η ij η ξ j ψψdxdt η 2 ξ( η ψ)ψdxdt Assim C 1 + D 42 = e, portanto, perderemos o termo que nos fonece a integral em Ω envolvendo ψ 2 que necessitaremos que fique do lado esquerdo. Notemos que, sendo η uma função positiva que se anula na fronteira, existe uma vizinhança para cada ponto dessa fronteira, tal que η é decrescente. Assim, η n negativa e, por este motivo, D 1 + D 41. Temos ainda que D 43 pode ser limitado da mesma forma que D 2. Portanto, D 1 + D 2 + D 3 + D 4 sλ 2 η 2 ξ ψ 2 dxdt (3.5) Csλ ξ ψ 2 dxdt. Novamente, como ψ = sobre Σ temos ((M 1 ψ) 3, (M 2 ψ) 2 ) L 2 () = ψ t ψdxdt =. (3.51) 69 Assim, combinando ( ), ( ), ( ), ( ) e ( ) concluimos (M 1 ψ, (M 2 ψ) 2 ) L 2 () = ((M 1 ψ) 1 + (M 1 ψ) 2 + (M 1 ψ) 3, (M 2 ψ) 2 ) sλ 2 η 2 ξ ψ 2 dxdt Cs 2 λ 4 ξ 2 ψ 2 dxdt (3.52) C (sλξ + λ 2 ) ψ 2 dxdt = F 1 + F 2 + F 3, para λ 1 e s CT 2, em que F i (i = 1, 2, 3) corresponde ao i-ésimo termo do lado é 35

41 direito de ( 3.52). d5 Notemos que T F 1 Csλ 2 T = Csλ 2 Ω\ω Ω ξ ψ 2 dxdt T ξ ψ 2 dxdt Csλ 2 ω ξ ψ 2 dxdt, (3.53) e ainda F 3 Csλ ξ ψ 2 dxdt + CT 2 λ 2 ψ 2 dxdt. (3.54) 7 Como em ( 3.54) 7 as potências de s e λ sao menores que a ordem sλ 2, estes termos podem, como anteriormente, ser absorvidos. Dessa forma, (M 1 ψ, (M 2 ψ) 2 ) L 2 () Csλ 2 ξ ψ 2 dxdt Cs 2 λ 4 ξ 2 ψ 2 dxdt (3.55) Csλ 2 ξ ψ 2 dxdt, para λ C e s CT 2. Por ( ) temos ((M 1 ψ) 1, (M 2 ψ) 3 ) L 2 () = 2s 2 λ 2 ω (,T ) Cs 2 λ 2 T que é absorvido por Ã, bastando tomar λ 1 e s CT. η 2 α t ξ ψ 2 dxdt ξ 3 ψ 2 dxdt, (3.56) Observemos que ((M 1 ψ) 2, (M 2 ψ) 3 ) L 2 () = 2s 2 λ α t ξ( η ψ)ψdxdt = s 2 λ 2 α t η 2 ξ ψ 2 dxdt (3.57) + s 2 λ α t η ξ ψ 2 dxdt + s 2 λ α t η ξ ψ 2 dxdt. Por ( ) Assim, s2 λ (T 2t) α t = λ t(t t) ξ η. α t η ξ ψ 2 dxdt = s 2 λ 2 (T 2t) t(t t) ξ2 η 2 ψ 2 dxdt Cs 2 λ 2 T ξ 3 ψ 2 dxdt. (3.58) 36

42 Por raciocínio análogo, podemos mostrar que os outros dois termos do lado direito de ( 3.57), 73 também são limitados, em módulo, por Cs 2 λ 2 T ξ3 ψ 2 dxdt (λ 1). Então, Finalmente, ((M 1 ψ) 2, (M 2 ψ) 3 ) L 2 () Cs 2 λ 2 T ξ 3 ψ 2 dxdt. (3.59) 74 ((M 1 ψ) 2, (M 2 ψ) 3 ) L 2 () = s α t ψ t ψdxdt (3.6) = 1 2 s α tt ψ 2 dxdt CsT 2 ξ 3 ψ 2 dxdt, visto que α tt Cξ 2 (1 + T 2 ξ) CT 2 ξ 3. (3.61) alpha1 Por ( ), ( ), ( d6 3.58), ( ) e ( ) concluimos (M 1 ψ, (M 2 ψ) 3 ) L 2 () = ((M 1 ψ) 1 + (M 1 ψ) 2 + (M 1 ψ) 3, (M 2 ψ) 3 ) L 2 () Cs 3 λ 2 ξ 3 ψ 2 dxdt, (3.62) para λ C e s CT. Por ( ), ( ) e ( ) temos (M 1 ψ, M 2 ψ) L 2 (Ω) para qualquer λ C e s C(T + T 2 ). Aplicando ( 3.63) 79 em ( 3.29) 54 obtemos (sλ 2 ξ ψ 2 + s 3 λ 4 ξ 3 ψ 2 )dxdt (3.63) C (sλ 2 ξ ψ 2 + s 3 λ 4 ξ 3 ψ 2 )dσdt, ω (,T ) M 1 ψ 2 + M 2 ψ 2 + (sλ 2 ξ ψ 2 + s 3 λ 4 ξ 3 ψ 2 )dxdt ( ) C g s,λ 2 + (sλ 2 ξ ψ 2 + s 3 λ 4 ξ 3 ψ 2 )dσdt + ω (,T ) ( C e 2sα f 2 dxdt + s 2 λ 4 ξ 2 ψ 2 dxdt (3.64) ) (sλ 2 ξ ψ 2 + s 3 λ 4 ξ 3 ψ 2 )dσdt. ω (,T ) A integral em envolvendo o termo ψ, que se encontra do lado direito de ( ), pode ser facilmente absorvida pelos termos do lado esquerdo, bastando considerar 37

43 s > 2C. Daí M 1 ψ 2 + M 2 ψ 2 + ( C + ω (,T ) (sλ 2 ξ ψ 2 + s 3 λ 4 ξ 3 ψ 2 )dxdt e 2sα f 2 dxdt + ) s 3 λ 4 ξ 3 ψ 2 dσdt. ω (,T ) sλ 2 ξ ψ 2 dσdt (3.65) Nosso objetivo agora é acrescentar as integrais dos termos ψ 2 e ψ t 2 no lado esquerdo de ( 3.65). 81 Por ( 3.27) 52 vemos que s 1 ξ 1 ψ t 2 dxdt C (sλ 2 ξ ψ 2 dxdt (3.66) ) + sλ 4 ξ ψ 2 dxdt + M 1 ψ 2 e s 1 ξ 1 ψ 2 dxdt C (s 3 λ 4 + st 2 ξ 3 ψ 2 dxdt (3.67) ξ 3 ψ 2 dxdt + M 2 ψ 2 ), para s CT 2. Logo, combinando ( ), ( ) e ( ) segue que s 1 ξ 1 ( ψ t 2 + ψ 2 )dxdt + para qualquer λ C e s C(T + T 2 ). + (sλ 2 ξ ψ 2 + s 3 λ 4 ξ 3 ψ 2 )dxdt ( C e 2sα f 2 dxdt + sλ 2 ξ ψ 2 dxdt ω (,T ) ) s 3 λ 4 ξ 3 ψ 2 dxdt, (3.68) ω (,T ) O intuito agora é eliminar a segunda integral do lado direito de ( ). Para este fim, consideremos θ = θ(x) tal que θ C 2 (O), θ 1 em ω, θ 1. (3.69) 85 38

44 Assim sλ 2 ξ ψ 2 dxdt sλ 2 θξ ψ 2 dxdt ω (,T ) = sλ 2 θξ ψψdxdt sλ 2 ξ( θ ψ)ψdxdt (3.7) sλ 3 θξ( η ψ)ψdxdt = G 1 + G 2 + G 3, em que G i (i = 1, 2, 3) representa o i-ésimo termo do lado direito de ( i4 3.7). Pela desigualdade de Young, Temos também que G 1 = sλ s 1 + 2s 3 λ 4 G 2 = sλ 2 = sλ2 2 = sλ3 2 + sλ2 2 sλ 4 θξ ψψdxdt θξ 1 ψ 2 dxdt θξ 3 ψ 2 dxdt. (3.71) ξ( θ ψ)ψdxdt ξ( θ ψ 2 )dxdt ξ( θ η ) ψ 2 dxdt ξ θ ψ 2 dxdt ξ ψ 2 dxdt, (3.72) 39

45 e que G 3 = sλ 3 = sλ3 2 = sλ3 2 + sλ4 2 + sλ3 2 sλ 4 Logo, combinando ( i4 3.7)-( ) sλ 2 ω (,T ) θξ( η ψ)ψdxdt θξ( η ψ 2 )dxdt ξ( η θ) ψ 2 dxdt θξ η 2 ψ 2 dxdt θξ η ψ 2 dxdt ξ ψ 2 dxdt 1 2 s 1 ξ ψ 2 dxdt. (3.73) ξ 1 ψ 2 dxdt + C (s 3 λ 4 ξ 3 ψ 2 dxdt (3.74) ) + sλ 4 ξ ψ 2 dxdt. A desigualdade ( 3.74) 89 é suficiente para removermos a integral em ω (, T ) do termo ψ 2 no lado direito de ( 3.68). 84 Assim, concluimos que ( s 1 ξ 1 ( ψ t 2 + ψ 2 ) + sλ 2 ξ ψ 2 + s 3 λ 4 ξ 3 ψ 2) dxdt (3.75) ( ) C e 2sα f 2 dxdt + s 3 λ 4 ξ 3 ψ 2 dxdt, para λ C e s C(T + T 2 ). Finalmente voltaremos para nossa função original q. diretamente por ( 3.75) 9 que Sendo q = e sα ψ, segue ( s 1 ξ 1 ( ψ t 2 + ψ 2 ) + sλ 2 ξ ψ 2 + s 3 λ 4 e 2sα ξ 3 q 2) dxdt (3.76) Pelo fato que ( ) C e 2sα f 2 dxdt + s 3 λ 4 e 2sα ξ 3 q 2 dxdt. q = e sα ( ψ sλ η ξψ), 4

46 obtemos sλ 2 Por ( ) e ( ) obtemos e 2sα ξ q 2 dxdt Csλ 2 ξ ψ 2 dxdt (3.77) + Cs 3 λ 4 e 2sα ξ 3 q 2 dxdt. ( s 1 ξ 1 ( ψ t 2 + ψ 2 ) + sλ 2 ξ q 2 + s 3 λ 4 e 2sα ξ 3 q 2) dxdt (3.78) ( ) C e 2sα f 2 dxdt + s 3 λ 4 e 2sα ξ 3 q 2 dxdt. Consideremos agora a seguinte identidade: ψ = e sα ( q + sλ η ξq + sλ 2 η 2 ξq + 2sλξ η q + s 2 λ 2 η 2 ξ 2 q). Assim s 1 e 2sα ξ 1 q 2 dxdt C (s 1 e 2sα ξ 1 ψ 2 dxdt + sλ 2 e 2sα ξ q 2 dxdt + sλ 4 e 2sα ξ q 2 dxdt + sλ 2 e 2sα ξ q 2 dxdt ) + s 3 λ 4 e 2sα ξ 3 q 2 dxdt. (3.79) Temos também que q t = sα t q + e sα ψ t, (3.8) e, portanto, s 1 e 2sα ξ 1 q t 2 dxdt C (s 1 e 2sα ξ 1 ψ t 2 dxdt ) + st 2 e 2sα ξ 3 q 2 dxdt. (3.81) Tomando λ 1, s C(T + T 2 ) e combinando ( )-( ), obtemos a desigualdade ( carleman 3.22). 3.2 Controlabilidade nula no caso complexo O objetivo desta seção é o estudo da controlabilidade nula para o problema ( 1 2). De maneira inteiramete análoga ao que fizemos na seção anterior, podemos afirmar 41

47 que, para obtermos um resultado de controlabilidade nula para este problema, é suficiente obtermos uma desigualdade de observabilidade para o sistema adjunto de ( 2). 1 Mais uma vez obteremos a observabilidade como consequência da desigualdade de Carleman. Assim, a obtenção dessa desigualdade nos levará a atingir nossa principal meta. Somos levados a pensar que nosso problema seja talvez seja uma simples adaptação do caso real, mas infelizmente o caso complexo é, sem trocadilhos, de fato mais complexo. Consideremos o seguinte sistema adjunto de ( 2): 1 ( a + ib)ϕ t ϕ = em, ϕ = sobre Σ, ϕ() = ϕ em Ω. Vamos agora ao principal resultado do nosso trabalho. (3.82) a1 Teorema 3.2. Seja a, b R com a >, então existe um λ >, s > tal que para todo λ λ e s s temos s 1 λ 1 e 2sα ξ 1 ( ϕ t 2 + ϕ 2 )dxdt + sλ 2 e 2sα ξ ϕ 2 dxdt ( +s 3 λ 4 e 2sα ξ 3 ϕ 2 dxdt C e 2sα ( a + ib)ϕ t + ϕ 2 dxdt ) + s 3 λ 4 ξ 3 e 2sα ϕ 2 dxdt, ω (,T ) em que ϕ é solução do problema ( a1 3.82). Prova: Tomemos q C 2 (, C) tal que q = sobre Σ. Consideremos a mudança de variável ψ = e sα q ou q = e sα ψ. Consideremos também a seguinte função g = e sα f, em que f = ( a + ib)q t q. Observemos que q t = se sα α t ψ + e sα ψ t, (3.83) carlemanc e q = e sα ψ + 2se sα α ψ + s 2 e sα α 2 ψ + se sα αψ. 42

48 Assim, f = e sα ( ( a + ib)sα t ψ + ( a + ib)ψ t + ψ + 2s α ψ + s 2 α 2 ψ + s αψ ). Multiplicando a expressão acima por e sα obtemos g = ( a + ib)ψ t + ( a + ib)sα t ψ + ψ + 2s α ψ + s 2 α 2 ψ + s αψ. Considerando I 1 ψ = ibψ t asα t ψ + ψ + s 2 α 2 ψ, I 2 ψ = aψ t + ibsα t ψ + 2s α ψ + s αψ, (3.84) c1 temos que ( I 1 ψ 2 + I 2 ψ 2 + I1 ψi 2 ψ + I 1 ψi 2 ψ ) dxdt = g 2. (3.85) c2 Como no caso real, nosso objetivo agora é obter uma estimativa para o termo ( I1 ψi 2 ψ + I 1 ψi 2 ψ ) dxdt. Multiplicando diretamente termo a termo e em seguida considerando a parte real, obtemos a seguinte identidade: I 1 ψi 2 ψ + I 1 ψi 2 ψ = iab(ψ t ψ t ψ t ψ t ) + b 2 sα t (ψ t ψ + ψ t ψ) ib2s[ψ t ( α ψ) ψ t ( α ψ)] ibs α(ψ t ψ ψ t ψ) + a 2 sα t (ψψ t + ψψ t ) iabs 2 α t 2 ( ψ 2 ψ 2 ) 2as 2 α t [ψ( α ψ) + ψ( α ψ)] as 2 α t α(ψψ + ψψ) a( ψψ t + ψψ t ) ibsα t ( ψψ ψψ) (3.86) + 2s[ ψ( α ψ) + ψ( α ψ)] + s α( ψψ + ψψ) as 2 α 2 (ψψ t + ψψ t ) ibs 3 α t α 2 ( ψ 2 ψ 2 ) + 2s 3 α 2 [ψ( α ψ) + ψ( α ψ)] + s 3 α 2 α(ψψ + ψψ) 16 = T j, j=1 em que T j (j = 1,..., 16) representa o j-ésimo termo de ( c3 3.86). Observemos que T 1 = T 6 = T 14 =. 43

49 Tentaremos agora obter uma nova identidade, similar à identidade ( c3 3.86), combinando os termos da mesma. Por meio desta nova identidade, poderemos obter a estimativa desejada para o termo I 1 ψi 2 ψ + I 1 ψi 2. Analizando T 2 temos que T 2 = b 2 sα t (ψ t ψ + ψ t ψ) = b 2 sα t ( ψ 2 ) t = b 2 s(α t ψ 2 ) t b 2 sα tt ψ 2. (3.87) Observemos que T 3 2 = ibs (ψ t ( αψ) ψ t ( αψ) ) + ibs ( ψ t αψ ψ t αψ ) (3.88) + ibs α(ψ t ψ ψ t ψ) = L 1 + L 2 T 4, em que L i (i = 1, 2) corresponde ao i-ésimo elemento do lado direito de ( c4 3.88). E, ainda temos, T 3 2. Combinando ( 3.88) c4 e ( 3.89) c5 obtemos, Para o termo T 5 segue que L 2 = ibs ( ψ t αψ ψ t αψ ) = ibs ( ( ψ α)ψ ( ψ α)ψ ) t (3.89) ibs ( ( ψ α t )ψ ( ψ α t )ψ ) T 3 + T 4 = ibs (ψ t ( αψ) ψ t ( αψ) ) + ibs ( ( ψ α)ψ ( ψ α)ψ ) t (3.9) + ibs α t ( ψψ ψψ). Observemos agora que T 5 = a 2 sα t (ψψ t + ψψ t ) = a 2 sα t ( ψ 2 ) t = a 2 s(α t ψ 2 ) t a 2 sα tt ψ 2. (3.91) T 7 2 = 2as 2 (α t α ψ 2) + 2as 2 ( α t α ψ 2) T 7 2 T 8, 44

50 e, portanto, T 7 + T 8 = 2as 2 (α t α ψ 2) + 2as 2 ( α t α ψ 2). (3.92) Ainda temos que T 9 = a( ψψ t + ψψ t ) (3.93) = a ( ψψ t + ψψ t ) + a( ψ ψ t + ψ ψ t ), e T 1 = ibsα t ( ψψ ψψ) = ibs (α t ( ψψ ψψ) ) + ibs α t ( ψψ ψψ). (3.94) Para T 11, segue que T 11 = 2s( ψ( α ψ) + ψ( α ψ)) (3.95) = s ( ψ( α ψ) + ψ( α ψ) ) 2s( α) ψ 2. Para T 12 e T 13 deduzimos, T 12 = s α( ψψ + ψψ) = s (( α)( ψψ + ψψ)) s ( α) ( ψψ + ψψ) (3.96) 2s( α) ψ 2 e T 13 = as 2 α 2 (ψψ t + ψψ t ) = as 2 α 2 ψ 2 t = as 2 ( α 2 ψ 2 ) t + 2as 2 α α t ψ 2. (3.97) Para finalizar, T 15 2 = 2s 3 ( α 2 α ψ 2) 2s 3 ( α 2 α ψ 2) donde T 15 2 T 16, T 15 + T 16 = 2s 3 ( α 2 α ψ 2) 2s 3 ( α 2 α ψ 2). (3.98) 45

51 Por ( )-( c6 3.98), obtemos a seguinte identidade: I 1 ψi 2 ψ + I 1 ψi 2 ψ = [ ibs α(ψψ t ψ t ψ) 2as 2 α t α ψ 2 a( ψψ t + ψψ t ) ibsα t ( ψψ ψψ) + s( ψ( α ψ) + ψ( α ψ) + α( ψψ + ψψ)) + 2 s 3 α 2 α ψ 2] + [ b 2 sα t ψ 2 + ibs ( ( α ψ)ψ ( α ψ)ψ ) + a 2 sα t ψ 2 as 2 α 2 ψ 2] t (3.99) b 2 sα tt ψ 2 + 2ibs α t ( ψψ ψψ) a 2 sα tt ψ 2 + 4as 2 ( α t α) ψ 2 + a( ψ ψ t + ψ ψ t ) 4s( α) ψ 2 s ( α) ( ψψ + ψψ) 2s 3 ( α 2 α) ψ 2, em que simplesmente escreveremos ( I1 ψi 2 ψ + I 1 ψi 1 ψ ) = H 1 + (H 2 ) t 8 + K j, (3.1) em que H 1 representa todos os termos em que a divergência está aplicada, H 2 todos os termos que a derivação com respeito ao tempo está aplicada, e K j representa o j-ésimo termo seguinte. Por ( 3.61) alpha1 segue que Para K 2, temos que j=1 K 1 CT 2 sξ 3 ψ 2. (3.11) 19 K 2 = 2ibs α t ( ψψ ψψ) = 2ibs T 2t t(t t) ξλ η ( ψψ ψψ). (3.12) Consequentemente K 2 CT 3 sλξ 2 ψ ψ Csλξ ψ 2 + Csλξ 3 ψ 2. (3.13) Novamente por ( 3.61), alpha1 K 3 CT 2 sξ 3 ψ 2. (3.14) Para o termo K 4 obtemos K 4 = 2as 2 ξ 2 ( α t α) v 2 = 2as 2 ξ 2 λ 2 T 2t t(t t) η 2 ψ 2, 46

52 concluindo que K 4 Cs 2 λ 2 T 3 ξ 3 ψ 2. (3.15) Analizando K 6 temos K 6 = 4s( α) ψ 2 = 4sλ 2 η 2 ξ ψ 2 + 4sλ η ξ ψ 2 = K 61 + K 62. Notemos que K 61 nos forenecerá a integral em de ψ 2 que se encontra do lado esquerdo da desigualdade ( 3.83). carlemanc Por outro lado K 62 = 4sλ η ξ ψ 2 Csλξ ψ 2. (3.16) Para K 7 obtemos K 7 = s ( α) ( ψψ + ψψ) = sλ 3 ξ η 2 η ( ψψ + ψψ) + sλ 2 ξ η 2 ( ψψ + ψψ) (3.17) + sλξ ( η ) ( ψψ + ψψ) + sλ 2 ξ η η ( ψψ + ψψ) e para λ 1, obtemos que K 7 Csλ 3 ξ ψ ψ Cλ 2 ψ 2 + Cs 2 λ 4 ξ 2 ψ 2 Cλ 2 T 2 ξ ψ 2 + CT 2 s 2 λ 4 ξ 3 ψ 2. (3.18) Finalmente, para o termo K 8 temos K 8 = 2s 3 ( α 2 α) ψ 2 = 4s 3 λ 4 ξ 3 η 4 ψ 2 + 2s 3 λ 3 ξ 3 η η ψ 2 = K 81 + K 82. (3.19) Notemos que K 81 nos forenecerá a integral em de ψ 2 que se encontra do lado esquerdo da desigualdade ( 3.83), carlemanc mais ainda K 82 Cs 3 λ 3 ξ 3 ψ 2. (3.11)

53 Integrando ( 3.99) 11 em obtemos ( I1 ψi 2 ψ + I 1 ψi 2 ψ ) dxdt s ( ψ( α ψ) + ψ( α ψ) ) νdσ Σ + F ψ (3.111) em que F ψ = n j=1 Por ( 3.11)-( ), 111 e utilizando o fato que K 5 dxdt = a K j dxdt. d dt ψ 2 dxdt =, obtemos, por procedimento inteiramente análoago ao do caso real, que F ψ sλ 2 ξ ψ 2 dxdt + s 3 λ 4 ξ 3 ψ 2 dxdt (3.112) sλ 2 ξ ψ 2 dxdt s 3 λ 4 ξ 3 ψ 2 dxdt. ω (,T ) ω (,T ) Considerando ( ) temos, pelo mesmo arugmento usado para obter ( ), que ψ n s e, portanto Σ ( ) η 2 ψ( α ψ) + ψ( α ψ) νdσ = 2sλ Σ n ξ ψ n dσ (3.113) Assim, por ( 3.111),( ) 115 e ( 3.113) 114 conseguimos obter I 1 ψ 2 + I 2 ψ 2 + sλ 2 ξ ψ 2 dxdt + s 3 λ 4 ξ 3 ψ 2 dxdt (3.114) ( C sλ 2 ξ ψ 2 dxdt + ω (,T ) ω (,T ) s 3 λ 4 ξ 3 ψ 2 dxdt + g 2 ). De forma inteiramente análoga ao caso real, podemos acrescentar as integrais em dos termos ψ t 2 e ψ 2, remover o termo local de ψ 2 e ainda voltar a variável original. 3.3 Considerações finais e problemas em aberto Em se tratando do caso complexo, existem interessantes problemas que podemos tratar de maneira similar ao que fizemos na seção anterior e outros que ainda não possuem uma resposta. 48

54 Sistema Parabólico Geral Linear: Usando as mesmas técnicas de 3 [9], é possível encontrar uma estimativa Carleman para o seguinte sistema: (a ib)ϕ t ϕ B(x, t) ϕ + a(x, t)ϕ = em, ϕ = sobre Σ, ϕ(t ) = ϕ em Ω, com a L () e B L () N. Isto nos permite obter uma desigualdade de observabilidade e, portanto, controlabilidade nula para o problema (a + ib)y t y + (yb(x, t)) + a(x, t)y = v1 O em, y = sobre Σ, y() = y em Ω. Condições de Fronteira: Seria possível obter controlabilidade nula para o problema (a + ib)y t y = v1 ω em, y + a(x, t)y = n sobre Σ, y() = y em Ω, em que a L (Σ) e y L 2 (Ω, C)? Esta é uma questão em aberto. Controle na Fronteira: Outra questão interessante e ainda sem resposta é sobre a controlabilidade do seguinte sistema: (a + ib)y t y = em, y = v1 γ sobre Σ, y() = y em Ω, em que o controle atua na fronteira (ou em parte dela). Importante salientar que para o caso real,todos estes resultados ja são conhecidos (ver 3 [9]). Equação de Schrodinger: Em ( 26 [16]) Lebeau provou que para estudarmos a controlabilidade exata para a equação de Schrödinger, uma condição geométrica é requirida. Tal condição pode ser formulada exigindo que os raios que se propagam dentro de Ω que rebatem em sua fronteira atingem ω em um tempo T finito. 49

55 É possível obter uma versão da desigualdade de Carleman dada por 116 Lema 3.3. Existe um λ >, s > tal que para todo λ λ e s s temos, a seguinte desigualdade é válida: sλ e 2sϕ q 2 )dxdt + s 3 λ 4 e 2sϕ q 2 dxdt ( C e 2sϕ iq t + q 2 dxdt + s 3 λ 4 para toda q C 2 (, C) com q = em Σ. Γ (,T ) e 2sα θ q ) ν 2 dσdt No lema acima temos que ϕ(x, t) = β eλψ(x) (T t)(t + t), θ(x, t) = e λψ(x) (T t)(t + t), e ainda existe x R n, tal que Γ {x Ω : (x x ν )}. Com esta desigualdade, é possível obter controlabilidade nula para o problema iy t y = em, y = v1 γ sobre Σ, y() = y em Ω. Em outros termos, para o caso da equação de Schrödinger, é possível obter uma desigualdade de Carleman que resulte em controlabilidade nula com controle na fronteira. Entretanto, este resultado de controlabilidade nos garante uma (3.115) schf controlabilidade com controle distribuido, ou seja, considerando o problema iy t y = v1 ω em, y = sobre Σ, (3.116) schf y() = y em Ω, em que ω é um aberto que satisfaz uma condição geométrica que mencionamos acima. Consideremos Ω 1 um novo domínio de tal forma que Ω 1 ω e que exista x 1 R n tal que {x R n : (x x 1 ) ν > } Ω 1 ω. 5

56 Alguns cálculos são necessários, mas a idéia é controlar nesse pedaço da fronteira de Ω 1 contido em ω e depois estender a solução para todo o Ω obtendo assim um controle distribuído que garante a controlabilidade nula. Da mesma forma feita no trabalho, poderíamos pensar em obter uma desigualdade global de Carleman distribuída de modo a obtermos a controlabilidade nula por meio dela, entretanto o fato que na equação de Scrhödinger o coeficiente é um número imaginário puro realmente gera muita dificuldade técnica. Podemos ser levados a pensar que na demostração da desigualdade de Carleman para o problema complexo que fizemos, poderíamos ter simplesmente ter considerado a = nos cálculos que tudo se comportaria da mesma forma. No entanto se observarmos a decomposição ( 3.84), c1 se considerarmos a = teriamos que adicionar os termos envolverdo ψ t 2 e ψ 2 apenas com a equação I 1 ψ o que não é possível. Na verdade, esta desigualdade para a equação de Scrhödinger é um problema em aberto. 51