METODOLOGIA MULTICRITÉRIO: Estruturação vs. avaliação

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1 MODELOS DE APOIO À DECISÃO Métodos para definição de pesos inter-critérios Carlos Bana e Costa João Lourenço Mónica Oliveira 2 METODOLOGIA MULTICRITÉRIO: Estruturação vs. avaliação OPÇÕES ESTRUTURAÇÃO AVALIAÇÃO Pontos de vista Descritores de performances plausíveis Perfis de performance das opções Valores Parciais Análises de Sensibilidade e de Robustez Pesos

2 Modelo de Avaliação Global 3 V(a) = n j== k.v (a) j j V(a) v j (a) valor global da opção a valor parcial da opção a no PVF/critério j Com: v j ( melhorj ) = 00, j v j ( piorj ) = 0, j V ( melhor em tudo) = 00 V ( pior em tudo) = 0 k j coeficiente de ponderação (peso relativo) do PVF/critério j n kj = e k j > 0 ( j =,,n ) j= 4 O que é que representam os coeficientes de ponderação? São factores de escala, constantes de escala, ou pesos na linguagem comum Representam o contributo para a pontuação global de cada unidade de pontuação segundo o ponto de vista j Permitem transformar cada unidade de valor parcial vj em unidades de valor global V(.) Têm em conta a natureza das taxas de substituição entre PVF/critérios operacionalizam a noção de compensação Nao podem ser vistos como indicadores directos de importância! 2

3 5 Erro mais comum na ponderação: não determinar os coeficientes de ponderação com referência aos níveis de performance! Os intervalos de variação dos níveis de performance dos pontos de vista são elementos determinantes para a obtenção dos valores dos coeficientes de ponderação. A determinação dos coeficientes de ponderação exige sempre a comparação das alternativas de referência: Pior vs. Melhor Neutro (nem bom nem mau) vs. Bom 6 Modelo Aditivo Hierárquico aplicado a uma árvore de pontos de vista O cálculo do valor global faz-se de baixo para cima (Lourenço, 2002) 3

4 7 Métodos para Ponderação de Pesos Swing weights Trade-off procedure MACBETH Método dos Swing Weights 4

5 9 Swing Weighting Procedure: 3 etapas. Estabelece-se uma ordenação dos coeficientes de ponderação dos pontos de vista. 2. Procede-se à sua quantificação. 3. Normalizam-se os valores obtidos para que a sua soma seja igual à unidade. Nota: Nos exemplos usamos como referência os níveis pior e melhor em cada PVF, aos quais se fazem corresponder os valores de 0 e 00, respectivamente. Poderiam ter sido adoptados quaisquer outros dois níveis de referência suficientemente distintos (como por exemplo, os níveis neutro e bom ou neutro e positivo ). Primeira etapa: ordenação dos coeficientes de ponderação 0 O facilitador pede ao decisor que considere todos os pontos de vista fundamentais do problema de decisão (representados por PV, PV 2, PV 3 e PV 4 ) que se apresentam nos piores níveis. melhor melhor 2 melhor 3 melhor 4 pior pior 2 pior 3 pior 4 PV PV 2 PV3 PV4 5

6 Primeira etapa: ordenação dos coeficientes de ponderação Posteriormente, pergunta-se ao decisor: Se fosse possível passar do pior nível para o melhor num único ponto de vista, qual era o ponto de vista que seleccionaria para essa mudança? melhor melhor 2 melhor 3 melhor 4 Resposta do decisor: Privilegiaria passar do pior nível para o melhor no ponto de vista PV2. pior pior 2 pior 3 pior 4 PV PV 2 PV 3 PV 4 Primeira etapa: ordenação dos coeficientes de ponderação Próxima pergunta: Excluindo o PV2 que já foi por si seleccionado, qual seria o ponto de vista que escolheria de seguida para passar do pior nível para o melhor nível? Resposta: Escolheria o ponto de vista PV. Continuar-se-ia a questionar sucessivamente o agente de Continuar-se-ia a questionar sucessivamente o agente de decisão sobre qual o ponto de vista que seleccionaria para passar do pior nível para o melhor nível, excluindo os pontos de vista escolhidos anteriormente, até que restasse somente um ponto de vista por seleccionar. Resultado: uma sequência 2 6

7 3 Primeira etapa: ordenação dos coeficientes de ponderação melhor melhor 2 melhor 3 melhor 4 pior pior 2 pior 3 pior 4 O agente de decisão indicou que passar do nível pior para o nível melhor em PV 2 era preferível a passar do nível pior para o nível melhor em PV, que por sua vez era preferível a passar do nível pior para o nível melhor em PV 4, que por sua vez Esta relação de preferência pode ser simbolicamente representada por: PV PV 2 PV 3 PV 4 ( melhor, pior ) f ( melhor, pior ) f ( melhor, pior ) f ( melhor, pior ) f ( pior ) 2 j 2 j 4 j 4 3 j 3 j, Onde: X fy indica que X é preferível a Y. j Primeira etapa: ordenação dos coeficientes de ponderação 4 Se forem atribuídos 00 pontos aos níveis melhores e zero pontos aos níveis piores, representando k j o coeficiente de ponderação do ponto de vista j, virá: ( - 0) k > ( 00-0) k > ( 00-0) k > ( 00-0) k O que equivale a: 2 > k > k > k 4 > k 3 2 > 0 7

8 Segunda etapa: quantificação dos valores a atribuir aos coeficientes de ponderação dos pontos de vista Etapa de quantificação dos factores de escala dos PV. Comparam-se os incrementos (swings) do pior nível para o melhor nível em cada um dos pontos de vista com o swing do pior nível para o melhor num ponto de vista de referência ao qual é atribuído 00 pontos. Nota: Qualquer ponto de vista poderá servir de PV de referência. Maioritariamente usa-se o ponto de vista que na primeira etapa foi escolhido em primeiro lugar. 5 Segunda etapa: quantificação dos valores a atribuir aos coeficientes de ponderação dos pontos de vista Pergunta: Em quanto é que quantificaria uma passagem do pior nível para o melhor nível no ponto de vista PV sabendo que ao swing do pior nível para o melhor nível em PV2 foram atribuídos oo pontos? Resposta: Para mim passar do pior nível para o melhor em PV é equivalente a 80% do swing em PV melhor 2 melhor melhor 4 melhor 3 pior PV4 PV3 pior 2 pior 4 pior 3 PV 2 PV 6 8

9 7 Segunda etapa: quantificação dos valores a atribuir aos coeficientes de ponderação dos pontos de vista Repete-se o processo: o decisor compara a passagem do pior nível para o melhor nível do ponto de vista PV4 com o incremento do pior nível para o melhor nível de PV2, e repete-se a questão utilizando na comparação PV melhor 2 melhor melhor 4 melhor 3 pior PV4 PV3 pior 2 pior 4 pior 3 PV 2 PV Supondo que o decisor responde respectivamente 60 e 20, corresponderia a dizer que atribuiu estes valores às constantes de escala dos pontos de vista 4 e 3, ficando assim concluída a segunda etapa deste procedimento Terceira etapa: normalização dos coeficientes de ponderação Normalização dos coeficientes de ponderação obtidos na etapa precedente, para que a sua soma seja igual a, utilizando a expressão seguinte: k k, com (j =,, n) ' j j = n ' k j j= onde: ' k j k j - é o coeficiente de ponderação não normalizado do ponto de vista j (obtido na segunda etapa); - é o coeficiente de ponderação normalizado do ponto de vista j. 8 9

10 Terceira etapa: normalização dos coeficientes de ponderação Para o nosso exemplo, resultariam os seguintes coeficientes de ponderação normalizados: 80 k = = 0, k = = 0, k 3 = = 0, k 4 = = 0, Swing Weights no modelo aditivo hierárquico Foi descrita a situação mais simples! A aplicação deste procedimento de ponderação a uma estrutura arborescente de pontos de vista com mais do que um nível hierárquico é significativamente mais complexa. Deverá repetir-se o procedimento de ponderação tantas vezes quantas o número de sub-árvores existentes na árvore de pontos de vista. As questões a colocar ao agente de decisão terão de ser adaptadas à hierarquia de pontos de vista existente. Para se determinar os coeficientes de ponderação dos vários pontos de vista dever-se-á utilizar uma abordagem de baixo para cima: A. Ponderar os PVF B. Depois passar à determinação dos coeficientes dos PV hierarquicamente superiores a estes PVF e proceder assim sucessivamente até se chegar ao topo da hierarquia. 20 0

11 2 Swing Weights no modelo aditivo hierárquico - Exemplo Global PV PV 2 PV 3 PV. PV.2 PV 3. PV PV.. PV..2 PV..3 PV.2. PV.2.2 PV.2.3 PV Swing Weights no modelo aditivo hierárquico - Exemplo Para a determinação dos coeficientes de ponderação de PV. e de PV.2 existem duas opções (ou combinações destas duas opções): ª Opção: Compara-se o swing dos níveis de referência inferiores para os níveis de referência superiores de todos os pontos de vista fundamentais de PV. (em simultâneo) com o swing equivalente de todos os pontos de vista fundamentais de PV.2 (em simultâneo); 2ª Opção: Compara-se o swing do nível de referência inferior para o nível de referência superior de um ponto de vista fundamental de PV. com o swing equivalente de um ponto de vista fundamental de PV.2. 22

12 ª opção: Swing Weights no modelo aditivo hierárquico Questão inicial a colocar ao decisor: Se todos os pontos de vista fundamentais (PVFs) de PV. e de PV.2 estivessem nos níveis de referência inferiores, qual desses dois conjuntos de pontos de vista seleccionaria para passar em primeiro lugar para os níveis de referência superiores?. Resposta: O conjunto dos pontos de vista de PV.. Questão seguinte: Em quanto é que quantificaria o swing dos níveis de referência inferiores i para os níveis de referência superiores nos PVFs de PV.2 sabendo que ao swing equivalente nos PVFs de PV. foram atribuídos 00 pontos?. Resposta : Esse swing equivale a 60% do swing nos PVFs de PV.. Então os coeficientes de ponderação de PV. e de PV.2 seriam respectivamente 0,625 e 0,375 (obtidos respectivamente de 00/60 e 60/60). 23 2ª opção: Swing Weights no modelo aditivo hierárquico Opção mais simples. Primeiro são seleccionados dois PVFs, um de PV. e outro de PV.2, para servirem de base de comparação. Supondo que se escolhiam para esse efeito os PVFs de maior coeficiente i de ponderação em cada sub-árvore, ou seja, PV.. e PV.2.. Num primeiro passo, teria de se estabelecer uma ordenação de preferência entre esses dois PVFs. 24 2

13 2ª opção: Swing Weights no modelo aditivo hierárquico Pergunta ao decisor: Estando os dois PVFs nos níveis de referência inferiores, qual deles é que seleccionaria em primeiro lugar para passar para o nível de referência superior? Resposta: PV.. Questão seguinte: Em quanto é que quantificaria passar do nível de referência inferior para o nível de referência superior em PV.2. sabendo que ao swing equivalente em PV.. foram atribuídos 00 pontos? Resposta: Quantifico esse swing em 48% do swing em PV ª opção: Swing Weights no modelo aditivo hierárquico Os coeficientes de ponderação de PV. e de PV.2 seriam então calculados através das seguintes expressões: 3 '' ' k.. k..j j= k. =, 3 4 '' ' '' ' k.. k j..j + k. 2. k 2j.2.j j= j= = = '' ' k. 2. k.2.j j= k.2 =, 3 4 '' ' '' ' k.. k..j + k. 2. k.2.j j= j= = =

14 27 Duas abordagens possíveis para o Swing Weights no modelo aditivo hierárquico Opção de comparação por níveis Teria de comparar-se os swings dos níveis de referência inferiores para os níveis de referência superiores dos pontos de vista hierarquicamente inferiores a PV (os quais por sua vez correspondem aos mesmos swings em todos os PVFs de PV. e de PV.2) com os swings em PV2 e em PV3 (correspondendo este aos swings nos seus PVFs). Opção de comparação entre níveis Poder-se-ia comparar swings de pontos de vista em quaisquer níveis hierárquicos, oferecendo-se essa escolha ao agente de decisão, ficando o ónus da complexidade dos cálculos por conta do facilitador. Método Trade-Off A ideia chave deste procedimento de ponderação consiste p p ç em comparar 2 alternativas fictícias de cada vez, alternativas estas cuja performance difere apenas em 2 PVF (consequentemente, as 2 alternativas têm a mesma performance nos restantes PV). 4

15 29 Introdução A alternativa A tem uma performance ao nível de referência superior no PV C e uma performance ao nível de referência inferior no PV C 2 ; a alternativa B tem uma performance ao nível de referência inferior no PV C e uma performance ao nível de referência superior no C 2. SUP C C 2 A B SUP 2 INF INF 2 30 Introdução A escolha da alternativa preferida pelo agente de decisão indica que PV, de entre os dois considerados, tem a maior importância relativa, ou seja, qual é o que tem maior coeficiente de ponderação (neste caso terá sido escolhida a alternativa A, portanto o C terá maior peso que o C2). O PV com maior peso serve tipicamente de PV de referência, embora possa ser seleccionado outro PV para esse efeito. O trade-off deste procedimento consiste em ajustar o nível de impacte de uma das alternativas no PV de referência para se conseguir obter uma relação de indiferença entre as duas alternativas. 5

16 3 Introdução Para isso, ou se piora o impacte da alternativa que está ao nível de referência superior no PV de referência, ou se melhora o impacte da alternativa que está ao nível de referência inferior no PV de referência. C = Referência C 2 SUP SUP 2 A B INF INF 2 32 Introdução Estes ajustamentos terão de repetir-se para n pares de alternativas fictícias significativas! Se as funções de valor associadas aos PV forem conhecidas, os coeficientes de ponderação dos PV podem ser determinados pela resolução de um sistema de equações que incorpore a restrição de normalização e as n relações de indiferença obtidas anteriormente. 6

17 33 Exemplo Supondo que existe um problema que envolve a decisão de aquisição de um novo escritório onde se vão utilizar os três PV apresentados na tabela seguinte (onde também se mostram as melhores e piores performances das alternativas que se analisaram): PV/Critério Descrição Melhor Pior Preço (Mio ) Centralidade (distância ao centro em km) Estacionamento (n.º de lugares) V(preço) Exemplo ,2,4,6,8 2 Preço (0 6 ) o) V(distância ao centro Distância ao centro (km) Considere-se que os gráficos representam as funções de valor dos PV (critérios). V(n.º lugares de estacionamento) N.º lugares de estacionamento 7

18 35 Método Trade-Off: Exemplo ª Etapa: Estabelecer uma ordenação de preferência entre os vários PV considerados (etapa idêntica à primeira etapa do método de ponderação Swing Weighting). 2ª Etapa: Selecciona-se o PV que irá servir de referência nas comparações entre alternativas fictícias. Para esse fim, seleccionou-se o PV preço embora qualquer um dos restantes PV pudesse ser utilizado. (cf., Keeney, 980, pp e Keeney et al.,977, pp ) 36 Exemplo Questiona-se o decisor: Considere um escritório A situado no centro da cidade com um preço igual a 2 Mio. Quanto é que deveria ser o preço de um escritório B, situado a 50 km do centro da cidade, para que A e B fossem indiferentes (sabendo que ambos os escritórios têm o mesmo n.º de lugares de estacionamento)? Esta questão pode ser representada pela seguinte expressão (em que o símbolo ~ significa indiferença): (2 Mio, 0 km, x lugares) ~ (?, 50 km, x lugares) 8

19 37 Exemplo Resposta do decisor: Os dois escritórios seriam indiferentes se o preço do escritório B fosse igual a,55 Mio. Resposta simbolicamente representada pela expressão: (2 Mio, 0 km, x lugares) ~ (,55 Mio, 50 km, x lugares) Este trade-off significa que para o decisor, uma variação de preço entre 2 Mio e,55 Mio equivale à diferença entre um escritório estar localizado a 50 km do centro da cidade e um escritório estar localizado no centro. 38 Exemplo 0 No modelo aditivo, esta relação de indiferença pode ser equacionada como: stância ao o (km) PVF 2 Di centro Indiferente 50 2,55 PVF Preço (0 6 ) kv ( ) + k2v2(0km) + k3v3(x lugares) = k v ( ) + k v (50km) + k v (x lugares) 2 Aplicando as funções de valor obtém-se: k2 = 53,75k 9

20 39 Exemplo Questiona-se novamente o decisor (para obter a segunda relação de indiferença): Considere um escritório A que tem 5 lugares de estacionamento e um preço igual a 2 Mio. Quanto é que deveria ser o preço de um escritório B com 5 lugares de estacionamento, para que A e B fossem indiferentes (sabendo que ambos os escritórios se encontram à mesma distância do centro da cidade)? Esta questão pode ser representada pela seguinte expressão (em que o símbolo ~ significa indiferença): ( , y km, 5 lugares) ~ (?, y km, 5 lugares) 40 Exemplo Resposta do decisor: Os dois escritórios seriam indiferentes se o preço do escritório B fosse igual a,7 Mio. Resposta simbolicamente representada pela expressão: ( ,,y km, 5 lugares) ~ ( ,,y km, 5 lugares) Este trade-off significa que para o decisor uma variação de preço entre 2 Mio e,7 Mio equivale à diferença entre um escritório ter 5 ou 5 lugares de estacionamento. 20

21 Exemplo No modelo aditivo, esta relação de indiferença pode ser equacionada como: de lugares de namento PVF 3 N.º estacio 5 4 Indiferente 5 2,7 k v ( ) + k2v2(y km) + k3v3 (5 lugares) = k v ( ) + k2v2(y km) + k3v3(5 lugares) PV Preço(0 6 ) Aplicando as funções de valor obtém-se: 00 k3 = 27,5k 42 Exemplo Como a soma dos pesos tem de ser igual à unidade, adiciona-se uma terceira equação às anteriormente obtidas. Os pesos serão então obtidos resolvendo o seguinte sistema de equações: 00 k2 = 53,75 k k = 055 0,55 00 k3 = 27,5 k k2 = 0,30 k + k2 + k3 = k3 = 0,5 2

22 43 E se o decisor não quer elicitar números? Metodologia MACBETH, a leccionar nas próximas aulas! 44 Referências Keeney, R. L.; 980. Sitting Energy Facilities, Academic Press. Keeney, R. L.; Nair, K.; 977; Selecting Nuclear Power Plant Sites in the Pacific Northwest Using Decision Analysis, in D. E. Bell, R.L. Keeney, H. Raiffa (eds.), Conflicting Objectives in Decisions, John Wiley, Lourenço, J. C. (2002) Modelo aditivo hierárquico: exemplos de métodos de ponderação e problemas associados, Working Paper , CEG-IST. 22