Cap. 28. Campos Magnéticos. Copyright 2014 John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.

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1 Cap. 28 Campos Magnéticos Copyright

2 28-1 Campos Magnéticos e a Definição de B A Definição de B O Campo. Definimos o campo magnético B como sendo um vetor que existe quando exerce uma força F B numa partícula carregada movendo-se com velocidade v. Podemos então medir o módulo de F B quando v é direcionada perpendicularmente à força e então definimos o módulo de B em termos do módulo da força como: onde q é a carga da partícula. Podemos sintetizar todos estes resultados com a seguinte equação vetorial: isto é, a força F B na partícula pelo campo B é igual à carga q vezes o produto vetorial de sua velocidade v pelo campo B (tudo medido no mesmo referencial). Podemos escrever o módulo de F B como onde ϕ é o ângulo entre as direções da velocidade v e campo magnético B.

3 28-1 Campos Magnéticos e a Definição de B Determinação da Força Magnética Esta equação nos diz a direção de F. Sabemos que o produto vetorial de v e B é um vetor que é perpendicular a estes dois vetores. A regra da mão direita (Figs. a-c) nos diz que o polegar da mão direita aponta na direção de v B quando os dedos fecham de v para B. Se q é positivo, então (pela eq. acima) a força F B tem o mesmo sinal que v B e deve ser no mesmo sentido; isto é, para q positivo, F B é ao longo do polegar (Fig. d). Se q é negativo, então a força F B e o produto vetorial v B têm sinais opostos e então devem estar em sentidos opostos. Para q negativo, F está no sentido oposto ao do polegar (Fig. e).

4 28-1 Campos Magnéticos e a Definição de B Determinação da Força Magnética A força F B agindo sobre uma partícula movendo-se com velocidade v através de um campo magnético B é sempre perpendicular a v e B. Answer: (a) towards the positive z-axis (b) towards the negative x-axis (c) none (cross product is zero)

5 28-1 Campos Magnéticos e a Definição de B Linhas de Campo Magnéticas Podemos representar campos magnéticos com linhas de campo, como para campos elétricos. Regras similares se aplicam: (1) A direção da tangente à linha de campo magnético em um ponto qualquer fornece a direção de B naquele ponto (2) O espaçamento entre as linhas representa o intensidade de B o campo magnético é mais intenso onde as linhas estão próximas. Dois Polos. As linhas de campo (fechadas) entram numa extremidade de um magneto e saem do outro extremo. O lado do magneto a partir do qual as linhas de campo emergem é chamado de polo norte do magneto; o outro lado, onde as linhas de campo entram, é chamado de polo sul. Por conta disto é chamado de dipolo magnético. (a) Linhas de campo de uma barra magnética. (b) Um ímã de vaca ímã em forma de barra introduzido no rúmen das vacas para evitar que pedaços de ferro ingeridos acidentalmente cheguem ao intestino do animal. A limalha de ferro revela as linhas de campo magnético..

6 28-2 Campos Cruzados: Descoberta do Elétron Uma versão moderna do aparelho de J.J. Thomson para medir a razão carga-massa do elétron. Um campo elétrico E é estabelecido ao conectar a fonte entre os terminais da placa defletora. O campo magnético B é formado por meio de uma corrente num sistema de bobinas (não mostrado). O campo magnético mostrado está no plano da fig., como representado pelo conjunto de Xs (os quais lembram partes traseiras de flechas). Se uma carga se move por uma região contendo ambos um campo elétrico e um campo magnético, pode ser afetada por ambas uma força elétrica e uma força magnética. Quando os dois campos são perpendiculares entre si, são ditos serem campos cruzados. Se as forças estão em sentidos opostos, para uma determinada velocidade não haverá nenhuma deflexão da partícula.

7 28-3 Campos Cruzados: O Efeito Hall Como discutido, um feixe de elétrons no vácuo podem ser defletidos por um campo magnético. Os elétrons num fio de cobre serão também afetados por um campo magnético? Em 1879, Edwin H. Hall, então um estudante de 24 anos na Universidade Johns Hopkins, mostrou que sim, podem. Este Efeito Hall permite descobrir se os portadores de carga num condutor são positivos ou negativos. Além disso podemos medir o número destes portadores por unidade de volume do condutor. A figura (a) mostra uma fita de cobre de largura d, com uma corrente i cujo sentido convencional é do topo da figura à parte de baixo. Os portadores de carga são elétrons e, como sabemos, eles derivam (com velocidade de deriva v d ) no sentido oposto, de baixo para cima. Ao passar o tempo, elétrons movem-se para a direita, empilhando-se na borda direita da fita, deixando cargas positivas não compensadas em posições fixas à esquerda como mostrado na figura (b).

8 28-3 Campos Cruzados: O Efeito Hall Quando um campo magnético uniforme B é aplicado em uma fita condutora com uma corrente i, com o campo perpendicular à direção da corrente, é gerada uma diferença de potencial do efeito Hall na fita em questão. A força elétrica F E nos portadores de carga é balanceada pela força magnética F B sobre eles. A densidade n ode portadores de carga pode ser determinada por onde l (= A/d) é a largura da fita. Com esta equação podemos determinar n a partir de grandezas mensuráveis. Quando um condutor se move em um campo magnético uniforme B com uma velocidade v, a diferença V de potencial do efeito Hall é Onde d é a largura perpendicular a ambos a velocidade v e o campo B.

9 28-4 Uma Partícula Carregada em Mov. Circular Um feixe de elétrons é injetado numa câmara por um injetor de elétrons G. Os elétrons entram no plano da página com velocidade v e então move-se numa região de campo magnético uniforme B direcionado para fora daquele plano. Como resultado, uma força magnética F B= q (v B) desvia os elétrons, e uma vez que v e B são sempre perpendiculares entre si, este desvio faz com que os elétrons sigam uma trajetória circular. A trajetória é visível na fig. porque os átomos de gás na câmara emite luz quando alguns dos elétrons circulantes colidem com eles. Aplicando a 2ª. lei de Newton para este movimento Então o raio r da circunferência é

10 28-5 Cíclotrons e Sincrotrons O Cíclotron: A figura é uma visão de cima da região de um cíclotron no qual as partículas (prótons, digamos) circulam. Os dois objetos ocos na forma de D (cada um aberto na sua face reta) são feitos de folhas de cobre. Estes Ds, como são chamados, são parte de um oscilador que alterna a diferença de potencial elétrico entre o vão entre os Ds. Os sinais elétricos dos Ds são alternados em direção, primeiro para um D e então para o outro indefinidamente. Os Ds estão imersos num campo magnético alto dirigido para fora do plano da página. A intensidade de B é ajustada via um controle no magneto produzindo o campo. A chave para a operação do cíclotron é que a frequência f na qual o próton circula no campo magnético (e que não depende de sua velocidade) deve ser igual à frequência fixa f osc do oscilador elétrico, ou Esta condição de ressonância diz que se a energia do próton circulante aumenta, deve-se adicionar energia ao sistema numa frequência f osc que é igual à frequência natural f na qual o próton circula no campo magnético.

11 28-5 Cíclotrons e Sincrotrons Sincrotron com Proton: O campo magnético B e a frequência do oscilador f osc, ao invés de ter valores fixos como num cíclotron convencional, varia com o tempo durante um ciclo de aceleração. Quando isto é feito de maneira adequada, (1) a frequência de circulação dos prótons permanece sincronizado com o oscilador em qualquer tempo, e (2) os prótons seguem uma trajetória circular não uma espiral. Então, o magneto precisa estar apenas naquele trecho da trajetória circular, não sobre todos os m 2. A trajetória circular, entretanto, ainda necessita ser grande se almeja alcançar altas energias.

12 28-6 Força Magnética num Fio Percorrido por Corrente Um fio reto que conduz uma corrente i num campo magnético uniforme sofre uma força lateral Aqui L é o vetor comprimento que tem módulo L e está direcionado ao longo do segmento do fio na direção (convencional) da corrente. Fio Curvo. Se um fio não é reto ou o campo não é uniforme, podemos imaginar o fio quebrado em pequenos seguimentos retos. A força no fio como um todo é então o vetor soma de todas as forças nos segmentos. No limite diferencial, podemos escrever e a direção do vetor comprimento L ou dl é na direção de i. Um fio flexível passa entre os polos de um magneto (somente o polo mais distante é mostrado). (a) Sem corrente no fio, o fio está reto. (b) Com corrente para cima, o fio está desviado, para a direita. (c) Com corrente para baixo, é desviado para a esquerda.

13 28-7 Torque em uma Espira percorrida por Corrente Como mostrado na figura (direita) a força resultante na espira é um vetor soma das forças agindo nos quatro lados e é igual a zero. O torque resultante agindo na bobina tem módulo dado por onde N é o número de voltas na bobina, A é a área de cada volta, i é a corrente, B é o módulo do campo, e θ é o ângulo entre o campo magnético B e o vetor normal à bobina n. Os elementos de um motor elétrico: Uma espira retangular, conduzindo uma corrente e livre para girar em torno do um eixo fixo, é colocada num campo magnético. Forças magnéticas no fio produzem um torque que rotaciona. Um comutador (não mostrado) inverte o sentido da corrente a cada meia volta de modos que o torque sempre age na mesma direção.

14 28-8 O Momento Dipolar Magnético Uma bobina (de área A e N voltas, conduzindo uma corrente i) num campo magnético uniforme B sofrerá um torque τ dado por onde μ é o momento de dipolo magnético da bobina, com módulo μ = NiA e direção e sentido dados pela regra da mão direita. A energia de orientação de um dipolo magnético num campo magnético é Se um agente externo rotaciona um dipolo magnético a partir de uma orientação inicial θ i para alguma outra orientação θ f e o dipolo está estacionário ambos inicialmente e no final, o trabalho W a realizado no dipolo pelo agente é

15 28 Sumário O Campo Magnético B Definido em termos da força F B agindo numa partícula teste com carga q movendo-se através do campo com velocidade v Eq Uma Partícula Carregada em Mov. Circular num Campo Mag. Aplicando a segunda Lei de Newton para o mov. circular leva à Eq A partir daí encontramos o raio da órbita circular como Eq Força Magnética num Fio com uma Corrente Um fio reto com uma corrente i num campo magnético uniforme sofre uma força lateral Eq A força agindo num elemento de corrente i dl num campo magnético é Eq Torque numa Espira percorrida por uma Corrente Uma bobina (de área A e N voltas, com corrente i) num campo mag. uniforme B sofre um torque τ dado por Eq

16 28 Sumário O Efeito Hall Quando uma fita com uma corrente i é colocada num campo magnético uniforme B, alguns portadores de carga (com carga e) acumulam-se num lado do condutor, criando uma diferença de potencial V na fita. As polaridades dos lados indicam o sinal dos portadores de carga. Energia Orientacional de um Dipolo Magnético A energia orientacional de um dipolo magnético em um campo magnético é Eq Se um agente externo gira o dipolo magnético de sua orientação original θ i para uma outra θ f e o dipolo está estacionário ambos inicialmente e ao final, o trabalho W a realizado no dipolo pelo agente é Eq

17 28 Exercícios Halliday 10ª. Edição Cap. 28: Problemas 4; 11; 14; 27; 30; 36; 46; 51; 55; 59

18 28 Problema 28-4 Uma partícula alfa se move com uma velocidade de módulo 550 m/s em uma região onde existe um campo magnético de módulo 0,045 T. (Uma partícula alfa possui uma carga de +3, C e uma massa de 6, kg.) O ângulo entre a velocidade e o campo magnético é 52 o. Determine (a) o módulo da força que o campo magnético exerce sobre a partícula e (b) a aceleração da partícula causada por. (c) A velocidade da partícula aumenta, diminui ou permanece constante?

19 28 Problema Uma fonte de íons está produzindo íons de 6 Li, que possuem carga +e e massa 9, kg. Os íons são acelerados por uma diferença de potencial de 10 kv e passam horizontalmente em uma região onde existe um campo magnético uniforme vertical de módulo B = 1,2 T. Calcule a intensidade do menor campo elétrico que, aplicado na mesma região, permite que os íons de 6 Li atravessem a região sem sofrer um desvio.

20 28 Problema Uma fita metálica com 6,50 cm de comprimento, 0,850 cm de largura e 0,760 mm de espessura está se movendo com velocidade constante em uma região onde existe um campo magnético uniforme B = 1,20 mt perpendicular à fita, como mostra a Fig A diferença de potencial entre os pontos x e y da fita é 3,90 μv. Determine a velocidade escalar v.

21 28 Problema Um espectrômetro de massa (Fig ) é usado para separar íons de urânio de massa 3, kg e carga 3, C de íons semelhantes. Os íons são submetidos a uma diferença de potencial de 100 kv e depois a um campo magnético uniforme que os faz descreverem um arco de circunferência com 1,00 m de raio. Após sofrerem um desvio de 180 o e passarem por uma fenda com 1,00 mm de largura e 1,00 cm de altura, os íons são recolhidos em um recipiente. (a) Qual é o módulo do campo magnético (perpendicular) do separador? Se o aparelho é usado para separar 100 mg de material por hora, calcule (b) a corrente dos íons selecionados pelo aparelho e (c) a energia térmica produzida no recipiente em 1,00 h.

22 28 Problema Na Fig , um elétron com uma energia cinética inicial de 4,0 kev penetra na região 1 no instante t = 0. Nessa região existe um campo magnético uniforme, de módulo 0,010 T, que aponta para dentro do papel. O elétron descreve uma semicircunferência e deixa a região 1, dirigindo-se para a região 2, situada a 25,0 cm de distância da região 1. Existe uma diferença de potencial ΔV = 2000 V entre as duas regiões, com uma polaridade tal que a velocidade do elétron aumenta no percurso entre a região 1 e a região 2. Na região 2 existe um campo magnético uniforme, de módulo 0,020 T, que aponta para fora do papel. O elétron descreve uma semicircunferência e deixa a região 2. Determine o instante t em que isso acontece.

23 28 Problema Um cíclotron, no qual o raio dos dês é 53,0 cm, é operado a uma frequência de 12,0 MHz para acelerar prótons. (a) Qual deve ser o módulo B do campo magnético para que haja ressonância? (b) Para esse valor do campo, qual é a energia cinética dos prótons que saem do cíclotron? Suponha que o campo seja mudado para 1,57 T. (c) Qual deve ser a nova frequência do oscilador para que haja ressonância? (d) Para esse valor da frequência, qual é a energia cinética dos prótons que saem do cíclotron?

24 28 Problema Na Fig , um fio metálico de massa m = 24,1 mg pode deslizar com atrito desprezível em dois trilhos paralelos horizontais separados por uma distância d = 2,56 cm. O conjunto está em uma região onde existe um campo magnético uniforme de módulo 56,3 mt. No instante t = 0, um gerador G é ligado aos trilhos e produz uma corrente constante i = 9,13 ma no fio e nos trilhos (mesmo quando o fio está se movendo). No instante t = 61,1 ms, determine (a) a velocidade escalar do fio e (b) o sentido do movimento do fio (para a esquerda ou para a direita).

25 28 Problema A Fig mostra um cilindro de madeira de massa m = 0,250 kg e comprimento L = 0,100 m, com N = 10,0 espiras de fio enroladas longitudinalmente para formar uma bobina; o plano da bobina passa pelo eixo do cilindro. O cilindro é liberado a partir do repouso em um plano inclinado que faz um ângulo θ com a horizontal, com o plano da bobina paralelo ao plano inclinado. Se o conjunto é submetido a um campo magnético uniforme de módulo 0,500 T, qual é a menor corrente i na bobina que impede que o cilindro entre em movimento?

26 28 Problema Duas espiras circulares concêntricas, de raios r1 = 20,0 cm e r2 = 30,0 cm, estão situadas no plano xy; ambas são percorridas por uma corrente de 7,00 A no sentido horário (Fig ). (a) Determine o módulo do momento dipolar magnético do sistema. (b) Repita o cálculo supondo que a corrente da espira menor mudou de sentido.

27 28 Problema Uma espira que conduz uma corrente de 5,0 A tem a forma de um triângulo retângulo cujos lados medem 30, 40 e 50 cm. A espira é submetida a um campo magnético uniforme de módulo 80 mt paralelo à corrente no lado de 50 cm da bobina. Determine o módulo (a) do momento dipolar magnético da bobina e (b) do torque sobre a bobina.