FÍSICA (ELETROMAGNETISMO) CAMPOS MAGNÉTICOS
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- Rafael Custódio Palhares
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1 FÍSICA (ELETROMAGNETISMO) CAMPOS MAGNÉTICOS 1 O MAGNETISMO Na Grécia antiga já eram conhecidas as propriedades de um minério de ferro encontrado na região da Magnésia, a magnetita (Fe3O4): um pedaço de magnetita é um ímã permanente, que atrai pequenos fragmentos de ferro. Em 1100 A.C., os chineses já haviam descoberto que uma agulha de magnetita capaz de se orientar livremente num plano horizontal alinha-se aproximadamente na direção norte-sul, e usavam este aparelho, a bússola, na navegação. Em 1600, William Gilbert publicou um importante tratado sobre o magnetismo, onde observa, pela primeira vez, que a própria Terra atua como um grande ímã. Um ímã permanente (em particular, a agulha magnética de uma bússola) tem um polo norte (N) e um polo sul (S), e é fácil verificar, com dois ímãs, que seus polos de mesmo nome (N e N ou S e S) se repelem, e que seus polos de nomes contrários (N e S) se atraem. Em 1822, durante uma aula experimental, o professor de física dinamarquês Hans Christian Oersted descobriu que uma corrente elétrica passando por um fio deslocava a agulha de uma bússola que estava por perto. Essa foi uma das mais importantes descobertas da eletricidade, possibilitando, a seguir, a construção de motores e geradores que fazem parte essencial da vida moderna. Poderíamos pensar em descrever o magnetismo produzido por ímãs permanentes de forma análoga à eletrostática, introduzindo cargas magnéticas N e S (em analogia com cargas elétricas + e -). Porém, a experiência mostra que não é possível isolar os polos N e S de um ímã. Se o partirmos em dois, cada um deles continuará tendo polos N e S. Recentemente, fez-se um grande esforço experimental para verificar se existem partículas com carga magnética, que seriam polos N ou S isolados (monopolos magnéticos). Nenhum jamais foi detectado. É, portanto um fato experimental básico no estudo do magnetismo que não existem cargas magnéticas (polos magnéticos isolados). Podemos pensar numa barra ou agulha imantada como análoga a um dipolo magnético em lugar de elétrico. A barra magnética seria análoga a um dielétrico polarizado, e os polos norte e sul que aparecem em suas faces seriam análogos às cargas de polarização ligadas sobre as extremidades de uma barra dielétrica polarizada (note que, também neste caso, se partíssemos uma barra em duas, cargas superficiais de polarização apareceriam nas novas faces). Sabemos que a posição de equilíbrio de um dipolo num campo elétrico uniforme corresponde ao dipolo alinhado com o campo. Por analogia, podemos mapear a direção e o sentido de um campo magnético num dado ponto como a direção de equilíbrio e o sentido S N de uma pequena bússola colocada neste ponto. Quando salpicamos limalha de ferro sobre um ímã, cada pequeno fragmento de ferro se magnetiza por indução e funciona como uma minúscula agulha imantada (bússola), indicando a direção do campo, de modo que materializamos assim as linhas de força magnéticas. Moyses Nussenzveig, Física Básica, Vol. 3 2 O CAMPO MAGNÉTICO Assim como uma barra de plástico carregada produz um campo elétrico E em todos os pontos do espaço ao seu redor, um imã produz um campo magnético B em todos os pontos ao seu redor. Uma bobina é um tipo familiar de ímã produzido a partir do enrolamento de um fio ao redor de um núcleo de ferro. Uma corrente é enviada através da bobina, e determina a intensidade do campo magnético. Tais cargas são chamadas de fato, de monopolos magnéticos, porém sua existência nunca foi confirmada.
2 Comparativamente ao estudo das cargas elétricas, espera se que uma carga magnética crie um campo magnético ao seu redor capaz de afetar outras cargas magnéticas. Porém, como são criados os campos magnéticos? 1) Partículas carregadas eletricamente em movimento corrente em um fio criam campos magnéticos. 2) Partículas elementares tais como o elétron possuem um campo magnético intrínseco ao seu redor. Quando uma partícula carregada se move através de um campo magnético, uma força devida ao campo pode atuar sobre a partícula. 3 DEFINIÇÃO DE B Determinamos o campo elétrico E em um ponto colocando uma partícula teste de carga q em repouso neste ponto e medimos a força elétrica que atua sobre a partícula. Assim, definimos E = F / q. Se houvesse um monopolo magnético poderíamos definir B da mesma maneira. Como não temos, vamos defini-lo de outra forma, em termos da força magnética exercida sobre uma partícula teste eletricamente carregada de carga q em movimento com uma velocidade v. Suponha que uma partícula carregada q seja disparada em várias direções num ponto no qual B deve ser definido. A força F é proporcional à q, a v, e é perpendicular ao campo magnético B e à velocidade v. F é proporcional a sin θ. é nula se a carga é zero ou se a partícula estiver estacionária, ou ainda, se v e B forem paralelos (φ = 0 ) ou antiparalelos (φ = 180 ); atingirá um máximo quando v e B forem perpendiculares um ao outro. Podemos resumir esses resultados na equação vetorial F B = qv B F B = q. v. B. sin Sabemos que o produto vetorial v x B é um vetor perpendicular aos dois vetores, v e B, que pode ser obtido através da regra da mão direita. Logo, além da magnitude da força, é possível conhecer a direção e o sentido da força, usando corretamente a regra da mão-direita. A direção do vetor c obtido através do produto vetorial é sempre perpendicular ao plano formado pelos vetores a e b e seu sentido é dado pela regra da mão direita. Nesta regra devem-se apontar os dedos da mão direita na direção de a e curvar na direção do vetor b pelo menor ângulo possível entre eles. Mantendo o polegar estendido; o polegar apontará no sentido do produto vetorial a b. A regra da mão direita diz que o dedo polegar da mão direita aponta na direção v x B quando os outros dedos giram v fazendo-o coincidir com B. F B nunca possui uma componente paralela a v, por isso nunca consegue alterar a velocidade escalar da partícula, mas pode alterar a direção de v, podendo com isto, acelerar a partícula. Unidades no SI: 1 tesla = 1 T = 1 newton / (Coulomb/(metro/segundo)) = 1 N/(A.m) Uma unidade mais antiga ainda em uso: 1 tesla = 10 4 Gauss
3 TESTE.1 Respostas: +z, -x, 0 Linhas de campo magnético Podemos representar campos magnéticos com linhas de campo. (1) A direção da tangente a uma linha de campo magnético em qualquer ponto fornece a direção de B nesse ponto; (2) o espaçamento entre as linhas representa a intensidade do campo. Polos magnéticos iguais se repelem, e contrários se atraem. As linhas de campo entram por uma extremidade do imã (polo sul) e saem pela outra extremidade (polo norte). 4 O MAGNETISMO DA TERRA A Terra pode ser considerada um imã gigantesco. O magnetismo terrestre é atribuído a enormes correntes elétricas que circulam no núcleo do planeta, constituído de ferro e níquel no estado líquido, devido às altas temperaturas. Podemos detectar o campo magnético da Terra com uma bússola, que é uma barra fina imantada apoiada sobre um pivô com atrito reduzido. Por convenção, chamamos de polo norte da agulha de uma bússola, aquele que aponta para o polo norte geográfico. Entretanto, como sabemos, polos de mesmo nome se repelem e de nomes contrários se atraem. Então podemos concluir que: 1) se a agulha aponta para o polo norte geográfico, então nessa região existe um polo sul magnético; 2) se a agulha aponta para o polo sul geográfico, então nessa região existe um polo norte magnético.
4 5 PARTÍCULA CARREGADA DESCREVENDO CÍRCULO Uma partícula carregada com massa m e carga q se movendo com velocidade v perpendicular a um campo magnético uniforme B desenvolve uma trajetória circular. Aplicando a segunda lei de Newton ao movimento circular tem-se, F = m v2 r Podemos determinar o raio do círculo: r = mv qb Uma aplicação importante: o espectrômetro de massa qvb = m v2 r A frequência de revolução f, a frequência angular e o período T são dados por f = 1 T = ω 2π = q. B 2π. m A figura a seguir mostra um feixe de elétrons projetado para dentro de uma câmara por uma pistola de elétrons G. Os elétrons entram no plano da tela com velocidade escalar v e depois se deslocam em uma região de campo magnético B, dirigido para for a deste plano. Uma força magnética deflete continuamente os elétrons, fazendo-os seguir uma trajetória circular.
5 A trajetória dos elétrons é o círculo reluzente, e é visível porque os átomos de gás na câmara emitem luz quando alguns dos elétrons circulando colidem com eles. 6 FORÇA MAGNÉTICA SOBRE UM FIO CONDUZINDO CORRENTE Um campo magnético exerce uma força lateral sobre elétrons que se movem em um fio. Esta força deve ser transmitida ao próprio fio, pois os elétrons de condução não conseguem escapar para fora do fio. Esta força é F B = q. v. B. sin Supondo que existam N elétrons no segmento L do fio (seção reta A), tem-se que a densidade eletrônica será Sabemos que J = nev, logo, n = N L. A J = i A v = il Ne A partir desses resultados, a força sobre um elétron resulta e a força sobre o segmento de fio é dada por A expressão geral é dada por F = ilb N F fio = N. F eletron = ilb F = il B L é um vetor comprimento que possui intensidade L e aponta no sentido da corrente.
6 Um fio flexível passa entre as faces dos polos de um ímã. Sem corrente no fio, o fio permanece reto. Por outro lado, com uma corrente para cima, o fio é defletido para a direita. Com uma corrente para baixo, a deflexão é para a esquerda. Uma vista superior detalhada de uma seção do fio da figura ao lado. O sentido da corrente é para cima, o que significa que os elétrons são arrastados para baixo. Um campo magnético que emerge do plano da página faz com que os elétrons e o fio sejam defletidos para a direita. 7 MOVIMENTO DE PARTÍCULAS CARREGADAS EM CAMPOS MAGNÉTICOS Trajetórias Helicoidais - Suponha que uma partícula carregada entre num campo magnético uniforme com uma velocidade que não é perpendicular a B. A Fig. (a) mostra o vetor velocidade de uma partícula decomposta em duas componentes, uma paralela à B e outra perpendicular à B. A componente paralela determina o passo p da hélice. A componente perpendicular determina o raio da hélice, Fig. (b).
7 A Fig. (c) mostra uma partícula carregada movendo-se em espiral em um campo magnético não uniforme. As linhas de campo com menor espaçamento nos lados direito e esquerdo indicam que o campo magnético é mais intenso nessas regiões. A partícula pode ficar confinada, movendo-se em espiral de um lado para outro entre as regiões de campo forte, em ambas as extremidades. Garrafa magnética - quando uma partícula carregada se move entre os extremos do campo magnético mostrado na figura (c), que é intenso nas extremidades e fraco na região central, a partícula fica confinada e se move para frente e para trás, espiralando em torno das linhas de campo. Fenômeno semelhante é o da oscilação de íons entre o polo norte e polo sul da Terra, nos cinturões de Van Allen Elétrons e prótons estão desta maneira aprisionados pelo campo magnético terrestre; as partículas aprisionadas formam os cinturões de Van Allen, que se deslocam em laços bem acima da atmosfera terrestre entre os pólos geomagnéticos da norte e sul da Terra. Quando uma grande erupção solar lança prótons e elétrons adicionais de alta energia para dentro dos cinturões, um campo elétrico é produzido na região onde os elétrons normalmente se refletem. Este campo elimina a reflexão e em vez disso empurra os elétrons para baixo, para dentro da atmosfera, onde eles colidem com átomos e moléculas de ar, fazendo com que esse ar emita luz. 8 TORQUE SOBRE UMA ESPIRA DE CORRENTE As forças que um campo magnético exerce sobre um fio que transporta corrente pode agora ser estendida para o estudo de uma única espira transportando corrente imersa num campo magnético. A figura a seguir mostra um motor elétrico simples, formado por uma única espira transportando corrente imersa em um campo magnético B. As duas forças F e -F produzem um torque sobre a espira, tendendo a girá-la em torno do seu eixo central.
8 Considere agora a espira retangular ao lado de lados a e b, transportando uma corrente i que atravessa um campo magnético B. Suponha que a espira seja colocada de modo que seus lados mais compridos, 1 e 3, estejam perpendiculares à direção do campo, mas os seus lados mais curtos não estejam. Fios de ligação que permitam a corrente entrar e sair são necessários, mas por simplicidade não são mostrados. Para definirmos a orientação da espira no campo magnético, usamos o vetor normal n, que é perpendicular ao plano da espira. Aponte ou curve seus dedos (apenas os quatro dedos, e não o polegar) da sua mão direita no sentido da corrente em qualquer ponto da espira. Seu dedo polegar estendido aponta na direção e no sentido do vetor normal. Na figura a seguir o vetor normal da espira é mostrado fazendo um ângulo θ com a direção do campo magnético. Queremos determinar a força resultante e o torque resultante que atuam sobre a espira nesta orientação.
9 A força resultante sobre a espira é a soma vetorial das forças que agem sobre os seus quatro lados. Para o lado 2, o vetor L aponta na direção da corrente e possui intensidade b. O ângulo entre L e B para o lado 2 é igual a 90º - θ. F 2 = ibb sin(90 0 θ) = ibb cos θ F4 possui a mesma intensidade de F2, mas em sentido contrário. Assim F2 e F4 se cancelam. Sua força resultante é nula, e como a sua linha de ação comum passa pelo centro da espira, seu torque também é nulo. Nos lados 1 e 3 a situação é diferente. L é perpendicular à B, então as forças F1 e F3 possuem a mesma intensidade iab. Como estas duas forças possuem mesma direção, mas sentidos opostos, elas não tendem a mover a espira nem para cima nem para baixo, pois estas forças não compartilham a mesma linha de ação, logo elas produzem um torque resultante. O torque tende a girar a espira de modo a alinhar o seu vetor normal n com a direção do campo magnético B. Esse torque possui um braço de alavanca igual (b/2) sin θ, em torno do eixo central da espira. A intensidade do torque devido à F1 e F2 é τ = (iab b 2 sin θ) + (iab b sin θ) = iabb sin θ 2 Suponha que seja substituída agora a única espira de corrente por uma bobina de N espiras - bobina plana. O torque total sobre a bobina é τ = N. τ = NiabB. sin θ A = ab é a área delimitada pela bobina. Uma bobina plana transportando corrente colocada em um campo magnético tenderá a girar de modo que n tenha a mesma direção do campo. Em um motor a corrente é invertida quando n começa a se alinhar com o campo, de modo que um torque continue a girar a bobina. Essa inversão automática da corrente é feita através de um comutador que conecta eletricamente a bobina girante com os contatos estacionários nos fios que fornecem a corrente a partir de alguma fonte. Momento de Dipolo Magnético Uma bobina que transporta corrente pode ser descrita pelo vetor momento de dipolo magnético μ. A direção de μ é a mesma do vetor normal ao plano da bobina: μ = NiA τ = μb sin θ τ = μ B
10 EXERCÍCIOS 1. Dos três vetores na equação F B = q. v B, que pares são sempre ortogonais entre si? Que pares podem formar um ângulo entre si? 2. Imagine que você esteja sentado numa sala com as costas voltadas para a parede, da qual emerge um feixe de elétrons que se move horizontalmente na direção da parede em frente. Se o feixe de elétrons for desviado para a sua direita, qual será a direção e o sentido do campo magnético existente na sala? 3. Um elétron tem velocidade v = 40i + 35j km s, num campo magnético uniforme. Sabendo-se que Bx = 0, calcule o campo magnético que exerce sobre o elétron uma força F = 4,2i + 4,8j N. 4. Um elétron tem uma velocidade inicial de 12,0j + 15,0k km s e uma aceleração constante de (2, m s 2 )i no interior de uma região onde existem um campo elétrico e um campo magnético uniformes. Determinar o campo elétrico E, sabendo-se que B = 400i μt. 5. Um elétron num tubo de TV está se movendo a 7,2 x 10 6 m/s num campo magnético de intensidade 83 mt. (a) Sem conhecermos a direção do campo, quais são o maior e o menor módulo da força que o elétron pode sentir devido a este campo? (b) Num certo ponto a aceleração é 4,9 x m/s 2. Qual é o ângulo entre a velocidade do elétron e o campo magnético? 6. Um próton que se m ove num ângulo de 23 0 em relação a um campo magnético de intensidade 2,6 mt experimenta uma força magnética de 6,5 x N. Calcular: (a) a velocidade escalar e (b) a energia cinética em elétron-volt. 7. Um condutor horizontal numa linha de força transporta uma corrente de 5000 A do sul para o norte. O campo magnético da Terra (60 μt) está direcionado para o norte e inclinado para baixo de um ângulo de 70 0 com a linha horizontal. Determine o módulo, a direção e o sentido da força magnética devida ao campo da Terra sobre 100 m do condutor. 8. Um fio de 1,80 m de comprimento transporta uma corrente de 13 A e faz um ângulo de 35 0 com um campo magnético uniforme B = 1,5 T. Calcular a força magnética sobre o fio. RESPOSTAS 1) Esta questão é apenas uma revisão de álgebra vetorial: o vetor que resulta de um produto vetorial de dois outros vetores deve sempre ser ortogonal aos vetores dos quais descende. Portanto os vetores v e B podem fazer um angulo arbitrário entre si. Mas F B será necessariamente perpendicular tanto a v quanto a B 2) Vertical para baixo. Pois fazendo o produto vetorial v B vemos que a força magnética aponta para a esquerda, fornecendo a direção para onde partículas carregadas positivamente são desviadas. Elétrons desviam-se para a direita. 3) B = 0,75 T k 4) E = (-11,4 i 6,00 j + 4,80 k) N/C 5) (a) Fmax = 9,56 x N, Fmin = 0; (b) θ = 0, ) (a) v = 4 x 10 5 m/s; (b) K = 1,34 x J = 835 ev 7) F = 28,2 N (oeste) 8) F = N
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