COMPORTAMENTO AO CISALHAMENTO DE NÓS DE PÓRTICO EXTERNOS DE CONCRETO ARMADO: SIMULAÇÕES NUMÉRICAS

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1 ISSN COMPORTAMENTO AO CISALHAMENTO DE NÓS DE PÓRTICO EXTERNOS DE CONCRETO ARMADO: SIMULAÇÕES NUMÉRICAS Mateus Fernandes de Araújo Silva 1 & ladimir Guilerme Haac 2 Resumo Os nós de órtico externos são eças estruturais que garantem a ligação entre as vigas e ilares. Assume-se geralmente de maneira errônea que a caacidade da ligação é igual a do elemento estrutural (viga ou ilar) com menor caacidade resistente. No entanto, o comortamento do nó frente ao cisalamento ainda é ouco entendido e camo de muitos estudos, rincialmente quando se trata de analisar a influência das rinciais variáveis como geometria da ligação, nível de solicitação axial do ilar, taxa de armadura da viga e taxa de estribos na ligação. Foi feito um conjunto de simulações numéricas utilizando o software DIANA a fim de investigar a resistência ao cisalamento dos nós de órtico externos variando a geometria da ligação e o nível de solicitação normal no ilar. Por meio dos resultados, cega-se a uma exressão analítica ara o cálculo da resistência ao cisalamento que descreve de maneira satisfatória o comortamento encontrado numericamente nestes elementos estruturais. Palavras-cave: Nós de órtico. Cisalamento. Método dos elementos finitos. Concreto armado. SHEAR BEHAIOUR OF RC BEAM COLUMN JOINTS: NUMERICAL SIMULATIONS Abstract Te exterior beam-column joints are structural comonents tat ensure te connection between te beams and columns. It is generally assumed erroneously tat te joint caacity is equal to te structural element wit lower load caacity (beam or column). However, te sear beaviour of te joint is still oorly understood and is a subject of many studies, esecially wen it comes to analyzing te influence of te main variables, suc as geometry of te connection, stress level in te column, reinforcement ratio of beam and stirru ratio. It was made a set of numerical simulations using te DIANA software to investigate te sear strengt of te exterior joints, varying te geometry of te connection and te stress level of te column. By te results, it is obtained an analytical exression for calculating te sear strengt wic satisfactorily describes te numerical beaviour of tese structural elements. Keywords: Beam column. Sear. Finite element metod. Reinforced Concrete. 1 Aluno de mestrado do Deartamento de Engenaria de Estruturas da EESC-USP, mateusilva@us.br 2 Professor Doutor do Deartamento de Engenaria de Estruturas da EESC-USP, vgaac@sc.us.br

2 86 Comortamento ao cisalamento de nós de órtico externos de concreto... 1 INTRODUÇÃO O crescente aumento de resistência dos concretos associado à confiança estrutural adquirida nos últimos anos elos engeneiros estruturais tem levado a redução do tamano dos elementos estruturais em edifícios usuais de concreto armado. Consequentemente as dimensões dos nós ou ligações entre vigas e ilares são reduzidas contribuindo ara a ocorrência de elevados valores de tensões cisalantes nestes elementos e congestionamento de armaduras (ver Figura 1), mau adensamento do concreto durante a concretagem e éssimas condições de ancoragem das armaduras longitudinais dos elementos que aí convergem. Os nós constituem ontos imortantes da estrutura de concreto armado visto que são eles resonsáveis ela união solidária entre vigas e ilares e consequentemente imortantes ara a formação dos órticos tão imortantes ara o contraventamento das estruturas. Na Figura 2a, são aresentados os diferentes tios de nós resentes nas estruturas de concreto armado, e na Figura 2b alguns casos de arranjo de nós de órtico externos, com a resença de vigas na direção erendicular ao lano do órtico com e sem continuidade destas. Figura 1 Congestionamento de armaduras na ligação viga-ilar 3. (a) (b) Figura 2 (a) Tios de nós de órtico; (b) Arranjos ara nós de órtico externos. 3 [disonível em tt:// Acesso em 24 abr. 2012]

3 Mateus Fernandes de Araújo Silva & ladimir Guilerme Haac 87 Os nós de órtico quando carregados monotonicamente odem entrar em colaso basicamente or: a) ruína frágil or tensão de tração diagonal; essas tensões surgem em função da mudança de direção dos esforços internos longitudinais da viga e ilar; b) ruína frágil or tensões de tração normais às armaduras rinciais da viga e ilar; c) ruína or escoamento das armaduras rinciais, que conduz a grandes deformações; d) ruína or ancoragem inadequada das armaduras; e) ruína or esmagamento do concreto nas bielas ou regiões nodais. PARK E PAULAY (1975) comentam que as resultantes de esforços nos nós induzem tensões de tração diagonais (ver Figura 3a), odendo estas terem grandes valores quando os elementos adjacentes atingem sua caacidade ultima. A severidade destas tensões, segundo o autor, é influenciada ela magnitude da carga axial no ilar e ela quantidade de armadura longitudinal dos elementos adjacentes. A força cisalante orizontal atuante no núcleo do nó é dada ela Equação (1), considerando que a viga tena atingido seu estado limite ultimo. Do onto de vista estrutural refere-se que a essa atinja rimeiro o ELU em comaração com o ilar. Os esforços atuantes na ligação são aresentados na Figura 3b. (a) (b) Figura 3 (a) Tensões de aderência e rinciais no núcleo do nó de órtico; (b) Esforços solicitantes na ligação. j T (1) b onde T b é a força resultante na armadura tracionada da viga; é o esforço cortante no ilar. A ruína ao cisalamento de uma ligação ode acontecer antes que a seção transversal da viga atinja sua caacidade ultima a flexão. KUANG E WONG (2006) afirmam que o ior cenário é quando a ruína do nó ao cisalamento ocorre quando o momento fletor atuante na viga cega a somente 50% da caacidade ultima a flexão desta eça, ou seja, quando a viga ainda é solicitada em situações de serviço. É imortante enfatizar na verificação da região nodal, tratando-a como uma eça estrutural, visto que sua ruína geralmente se dá de maneira frágil e sem aviso.

4 88 Comortamento ao cisalamento de nós de órtico externos de concreto... Comumente assume-se na literatura sobre nós de órtico que sua resistência ao cisalamento é dada ela soma de duas arcelas: a arcela contribuinte do concreto ( c ) e a arcela contribuinte dos estribos ( s ) sendo c roorcional à resistência a comressão do concreto e s roorcional à taxa de armadura transversal resente no núcleo da ligação. ORTIZ (1993) afirma que somente os estribos orizontais do ilar situados entre o banzo comrimido e a armadura longitudinal tracionada da viga são realmente efetivos na resistência ao cisalamento. RUSSO E SOMMA (2004) comentam que o confinamento vertical no nó roveniente da carga axial e das armaduras longitudinais do ilar contribuem na arcela resistente do concreto na resistência ao cisalamento. OLLUM E NEWMAN (1999) afirmam que a resistência ao cisalamento do nó ara modelos exerimentais com relação ( v / ) entre 1,33 e 1,4 é aroximadamente roorcional à raiz quadrada da resistência á comressão do concreto. No entanto, os mesmos autores afirmam que existem oucos dados exerimentais que confirmem conclusivamente a influencia da relação v / na resistência ao cisalamento or causa da dificuldade, se não imossível, de isolar a influência desta relação das outras variáveis. HEGGER, SHERIF E ROESER (2004) conclui com base em resultados de simulações numéricas que o aumento da relação v / rovoca diminuição na resistência ao cisalamento dos nós de órtico externos. Comarando dois de seus modelos exerimentais, com iguais a 0,2 aroximadamente, o modelo numérico com relação v / igual a 2,0 aresentou uma redução de resistência de 22 % em relação ao modelo numérico com v / igual a 1,5. Os mesmos autores com base em seus resultados numéricos indicam um leve incremento da caacidade resistente do nó ao cisalamento ara incrementos de até aroximadamente 0,25. Acima deste limite as tensões normais no ilar resultam em decréscimos na resistência ao cisalamento. WONG E KUANG (2008) comaram os resultados de dois modelos exerimentais ensaiados or eles. A resistência ao cisalamento do modelo exerimental com v / igual a 2,0 foi cerca de 56 % da resistência de um modelo com esta relação de 1,0. Comarando com o modelo exerimental com v / igual a 1,5, esta orcentagem aumenta ara 82 %, como ode ser visto. Os mesmos autores afirmam que a relação v / tem ouca influência na resistência ao cisalamento ara valores maiores do que 2,0. Figura 4 ariação da resistência ao cisalamento com a relação v/. Adatado de WONG E KUANG (2008) SCOTT (1996) ensaiou 17 modelos de ligação viga-ilar como aresentado na Figura 5. Em suas recomendações, o autor comenta que um gruo de modelos exerimentais com cargas axiais altas nos ilares e barras tracionadas da viga dobradas e ancoradas a 90º ara baixo no ilar obtiveram melores comortamentos, or causa da sua caacidade de desenvolver rótulas lásticas, enquanto que modelos semelantes com baixa carga axial aenas desenvolveram metade da resistência à flexão das vigas no instante da formação das rimeiras fissuras no nó e

5 Mateus Fernandes de Araújo Silva & ladimir Guilerme Haac 89 deois disso mal atingiram sua caacidade ultima, sofrendo ruína or causa da fissuração diagonal do nó. Uma imlicação disso segundo SCOTT (1996), é que em edifícios de múltilos avimentos o modo de ruína or rótulas na viga é mais rovável nos rimeiros avimentos, enquanto que o modo de ruína or fissuração diagonal é mais rovável em níveis sueriores, onde as cargas axiais nos ilares são menores. Figura 5 Ensaio realizado or SCOTT (1992) Segundo a BS 8110 (1997), em eças de concreto armado submetidas a uma combinação de esforços cisalantes e normais, a resistência ao cisalamento dessas eças sem estribos é dada or: ' N d c c 0,75 (2) A M ' onde: c é a resistência ao cisalamento modificada or causa dos efeitos da força normal; N é a força de comressão atuante; é o esforço cortante; M é o momento fletor; A é área da seção transversal da eça; e d a altura útil da eça. 2 SIMULAÇÕES NUMÉRICAS EM NÓS DE PÓRTICO EXTERNOS Na literatura, assume-se de maneira simlista que as variáveis como relação v /, nível de força normal no ilar ( ), taxa de armadura longitudinal da viga ( s,viga ), taxa de estribos ( s ) e taxa de armadura longitudinal do ilar ( s,il ) têm influências individuais mesmo quando reconecese sua interdeendência. Além do mais, os dados exerimentais ossuem uma estreita faixa de valores ara estas variáveis, obrigando muitos autores a recorrerem a aroximações um tanto grosseiras ara o comortamento do nó de órtico.

6 90 Comortamento ao cisalamento de nós de órtico externos de concreto... Neste trabalo, foram feitas análises aramétricas envolvendo a relação v / e o nível de solicitação axial no ilar ( ), or meio do software DIANA. Estas simulações numéricas acabam or reencer a falta de dados mais abrangentes sobre estas duas variáveis na literatura. No total, as análises aramétricas englobam 75 modelos numéricos lanos. Estas simulações numéricas tem como onto forte sua caacidade satisfatória de reresentatividade de modelos exerimentais ensaiados na literatura, como aresentado em SILA (2013). Neste item fazem-se comentários a reseito das roriedades gerais dos modelos numéricos. Pretende-se assim aresentar um quadro geral das considerações feitas nos modelos das análises aramétricas. 2.1 PROPRIEDADES DOS MODELOS NUMÉRICOS GEOMETRIA As roriedades geométricas (ver Figura 6) foram mantidas constantes em todas as simulações, com exceção da altura da seção da viga e do ilar, que sofreram variações ara que a relação v / variasse. Foram simuladas cinco alturas diferentes ara a viga ( v = 30, 40, 50, 60 e 70 cm) e cinco alturas diferentes ara o ilar ( = 20, 30, 40, 50 e 60 cm). Com as combinações feitas têm-se 25 modelos numéricos com carga axial do ilar igual a 0,1. Foram feitos mais dois acotes ara igual a 0,3 e 0,5, totalizando assim 75 modelos numéricos. Seção da viga: Seção do ilar: Figura 6 Geometria básica dos modelos numéricos simulados

7 Mateus Fernandes de Araújo Silva & ladimir Guilerme Haac PROPRIEDADES DOS MATERIAIS CONCRETO Para o concreto foi adotado o modelo de fissuração fixa baseado na deformação total (Total Strain Fixed Crack Model) disonível no rograma DIANA. Adotou-se um comortamento linear ara o enrijecimento à tração do concreto baseada na energia de fratura. A energia de fratura à tração foi tomada segundo o CEB 90, sendo: G (3) 0,7 f G f 0 (fc /10) onde: 0,025 f 0,030 [N.mm/mm²] ara diâmetros máximos de agregado 0,038 G 0 8mm d a 16mm. 32mm A largura de banda de fissuração foi tomada igual a: 2 G f (4) u ft onde f t é a resistência à tração do concreto; e u é a deformação ultima do concreto à tração, adotada como sendo igual à deformação a nível de escoamento de uma barra de aço CA50. Um valor único e igual a 18,68mm foi adotado ara a largura de banda de fissuração em todos os modelos numéricos. O comortamento do concreto ao cisalamento foi simulado elo DIANA levando em conta um modelo de retenção ao cisalamento com fator de retenção constante e igual a 0,2. O comortamento da curva tensão-deformação do concreto à comressão uniaxial foi tomado como sendo arabólico segundo função ré-definida no DIANA (ver Figura 7). A curva arabólica é baseada na energia de fratura a comressão do concreto e ela largura de banda de fissuração. Figura 7 Curva tensão deformação arabólica adotada no DIANA

8 92 Comortamento ao cisalamento de nós de órtico externos de concreto... Para consideração do amolecimento do concreto or causa da ação das fissuras, foi adotado um modelo da biblioteca do DIANA. Um modelo de confinamento que descreve o aumento da resistência à comressão do concreto or causa do confinamento lateral também foi adotado. Os dados do concreto encontram-se resumidos na Tabela 1. Tabela 1 Proriedades mecânicas do concreto f c E f ct G f G c (MPa) (GPa) (MPa) (N/mm) (N/mm) (mm) 30,0 31,00 2,93 0,0661 0,640 0,2 18, AÇO O material aço foi adotado como tendo comortamento elasto-lástico erfeito, com comortamento igual na tração e comressão e critério de lastificação de on Mises. Todas as armaduras nos modelos numéricos ossuem tensão de escoamento de 500 MPa, módulo de elasticidade de 210 GPa e coeficiente de Poisson de 0, MALHA DE ELEMENTOS FINITOS Elementos bidimensionais quadriláteros (ver Figura 8a) em estado lano de tensão foram utilizados, com 16 graus de liberdade sendo dois de translação ara cada um dos 8 nós (Elemento CQ16M do DIANA ). Esse elemento finito ossui uma aroximação quadrática ara os deslocamentos e camo de deformação linear. As armaduras longitudinais e transversais foram reresentadas or barras embutidas nos elementos finitos (ver Figura 8b). Nesse caso suõe-se erfeita aderência entre o concreto e armadura. Foram tomados cuidados na elaboração da mala de elementos finitos mantendo-os semre com relação entre largura e altura não suerior a dois e tamano máximo dos elementos finitos variando entre 30 e 50 mm. Figura 8 Modelo numérico 4030: (a) Mala de elementos finitos; (b) Armaduras embutidas na mala

9 Mateus Fernandes de Araújo Silva & ladimir Guilerme Haac CONDIÇÕES DE CONTORNO Com algumas aroximações, os modelos numéricos foram construídos de tal maneira que suas condições de contorno fossem as mais fiéis ossíveis às condições de contorno de um ensaio exerimental de ligação viga-ilar. Em um órtico de concreto armado devido à ação gravitacional surge a situação deformada aresentada na Figura 9a, onde nota-se a resença de ontos de inflexão osicionados na metade dos tramos dos ilares externos. Desta maneira, em um modelo de nó de órtico, as extremidades dos ilares devem estar rotuladas enquanto se alica o carregamento na extremidade em balanço da viga. (ver Figura 9b). No modelo numérico, o too do ilar sofre restrição de translação orizontal e ara o aoio inferior foram adotadas restrições de translação orizontal e vertical. O carregamento no modelo numérico segue duas fases: na rimeira é alicada uma força distribuída no too do ilar até o nível de solicitação axial desejado; na segunda são alicados deslocamentos na extremidade da viga até a ruína do modelo numérico. Para gerar uma melor distribuição de tensões foi inserida uma condição de contorno nos nós dos elementos vizinos ao onto de alicação do deslocamento na viga (ver Figura 9c). Essa condição de contorno considera uma interolação linear dos deslocamentos verticais dos nós intermediários com os deslocamentos dos nós das extremidades desta região. Esta consideração acaba simulando bem a alicação de deslocamentos verticais na extremidade da viga or meio de um atuador com uma caa rígida rotulada em ensaios exerimentais vistos na literatura (HAACH, 2005; ALA, 2004). Em torno do aoio inferior do ilar foi feita uma consideração ara levar em conta que esta seção ermanece lana e sofre um giro (ver Figura 9c). Foi imosto que os ares de nós dos elementos finitos simétricos ao eixo do ilar ossuem o mesmo deslocamento vertical absoluto, orém com sentidos contrários. Figura 9 Condições de contorno: (a) Pórtico em situação deformada; (b) Modelo em barras; (c) Modelo numérico.

10 94 Comortamento ao cisalamento de nós de órtico externos de concreto... Os carregamentos foram alicados de maneira incremental segundo algoritmo de solução de Newton-Rason oferecido elo DIANA. Para o carregamento do ilar foi utilizado controle de forças e ara o carregamento da viga, controle de deslocamentos. Um critério de convergência foi adotado variando de acordo com a simulação entre 0,001 e 0,05 N.mm. Também foi utilizada a técnica de solução avançada Line Searc oferecida elo mesmo rograma. 3 RESULTADOS E ANÁLISES Nas Tabelas 2, 3 e 4 odem ser vistas, de maneira resumida as alturas de cada seção transversal da viga e do ilar, os momentos fletores resistentes de cada seção transversal, forças máximas alicadas na viga e o modo de ruína. Aqui é adotada uma nomenclatura ara os modelos numéricos em que os dois rimeiros dígitos referem-se à altura da seção transversal da viga e os dois últimos à altura da seção transversal do ilar em centímetros. Tabela 2 Análise aramétrica de v / ara =0,1 = 0,1 Força máxima alicada. (cm) Características da ruína 20 M ELU = 36,7 kn.m 30 M ELU = 69,77 kn.m 40 M ELU = 108,24 kn.m 50 M ELU = 151,98 kn.m 60 M ELU = 201,12 kn.m (cm) 30 M ELU = 112,06 kn.m 40 M ELU = 162,29 kn.m 50 M ELU = 214,42 kn.m 60 M ELU = 264,79 kn.m 70 M ELU = 316,86 kn.m 1.50 P max = 15,37 kn 1.00 P max = 25,82 kn 0.75 P max = 28,87 kn 0.60 P max = 29,36 kn 0.50 P max = 30,51 kn Fissuração Diagonal Fissuração Diagonal 2.00 P max = 19,19 kn 1.33 P max = 34,38 kn 1.00 P max = 43,48 kn 0.80 P max = 47,42 kn 0.67 P max = 48,6 kn Fissuração Diagonal Fissuração Diagonal 2.50 P max = 25,09 kn 1.67 P max = 39,29 kn 1.25 P max = 58,36 kn 1.00 P max = 65,08 kn 0.83 P max = 67,87 kn Fissuração Diagonal Fissuração Diagonal Fissuração Diagonal 3.00 P max = 28,87 kn 2.00 P max = 50,31 kn 1.50 P max = 73,67 kn 1.20 P max = 87,39 kn 1.00 P max = 87,28 kn P Fissuração Diagonal Fissuração Diagonal 3.50 P max = 29,9 kn 2.33 P max = 57,56 kn 1.75 P max = 85,69 kn 1.40 P max = 103,30 kn 1.17 P max = 110,0 kn P P Fissuração Diagonal Tabela 3 Análise aramétrica de v / ara =0,3 = 0,3 Força máxima alicada. (cm) Características da ruína 20 M ELU = 48,2 kn.m 30 M ELU = 97,77 kn.m 40 M ELU = 157,96 kn.m 50 M ELU = 229,59 kn.m 60 M ELU = 312,69 kn.m P max = 20,32 kn 1.00 P max = 28,88 kn 0.75 P max = 30,12 kn 0.60 P max = 30,54 kn 0.50 P max = 31,22 kn M ELU = 112,06 kn.m Fissuração Diagonal P max = 25,03 kn 1.33 P max = 43,42 kn 1.00 P max = 50,04 kn 0.80 P max = 51,02 kn 0.67 P max = 53,74 kn M ELU = 162,29 kn.m Fissuração Diagonal Fissuração Diagonal (cm) P max = 30,19 kn 1.67 P max = 49,32 kn 1.25 P max = 68,07 kn 1.00 P max = 72,24 kn 0.83 P max = 73,13 kn M ELU = 214,42 kn.m P Fissuração Diagonal P max = 34,06 kn 2.00 P max = 60,44 kn 1.50 P max = 86,46 kn 1.20 P max = 98,91 kn 1.00 P max = 102,4 kn M ELU = 264,79 kn.m P Fissuração Diagonal Fissuração Diagonal Fissuração Diagonal P max = 35,77 kn 2.33 P max = 74,15 kn 1.75 P max = 109,8 kn 1.40 P max = 129,2 kn 1.17 P max = 121,1 kn M ELU = 316,86 kn.m P Fissuração Diagonal Fissuração Diagonal Fissuração Diagonal

11 Mateus Fernandes de Araújo Silva & ladimir Guilerme Haac 95 Tabela 4 Análise aramétrica de v / ara =0,5 Força máxima alicada. = 0,5 (cm) Características de ruína 20 M ELU = 36,7 kn.m 30 M ELU = 69,77 kn.m 40 M ELU = 108,24 kn.m 50 M ELU = 151,98 kn.m 60 M ELU = 201,12 kn.m P max = 20,23 kn 1.00 P max = 31,01 kn 0.75 P max = 37,34 kn 0.60 P max = 38,93 kn 0.50 P max = 32,62 kn M ELU = 112,06 kn.m Fissuração Diagonal P max = 21,76 kn 1.33 P max = 35,63 kn 1.00 P max = 48,53 kn 0.80 P max = 53,00 kn 0.67 P max = 51,4 kn M ELU = 162,29 kn.m P P (cm) P max = 25,88 kn 1.67 P max = 52,39 kn 1.25 P max = 70,30 kn 1.00 P max = 76,99 kn 0.83 P max = 73,50 kn M ELU = 214,42 kn.m P Fissuração Diagonal P max = 25,00 kn 2.00 P max = 53,33 kn 1.50 P max = 80,78 kn 1.20 P max = 99,82 kn 1.00 P max = 105,1 kn M ELU = 264,79 kn.m P Fissuração Diagonal P max = 27,71 kn 2.33 P max = 54,40 kn 1.75 P max = 93,35 kn 1.40 P max = 105,3 kn 1.17 P max = 119,9 kn M ELU = 316,86 kn.m P P P P P Em todos os modelos numéricos não se atingiu a caacidade das vigas e ilares à flexão e ao cisalamento. Assume-se então que a ruína destes modelos foi or causa da ruína do nó. Mais detales dos modos de ruína observados odem ser vistos em SILA (2013). Os esforços cisalantes ara cada modelo numérico foram calculados com base na Equação 1: observadas as tensões na armadura tracionada da viga cega-se a T b ; calcula-se o cortante no ilar, elo equilíbrio estático do modelo numérico tendo a força máxima alicada em cada modelo P max. A variável força cisalante (ver Equação 5) foi então calculada de maneira adimensional já levando em consideração a resistência à comressão do concreto como variável influente. j / fc (5) b v f c Da análise dos dados tratados, cega-se a ontos imortantes sobre o comortamento do nós de órtico externos: a) Há um efeito benéfico da variável até valores róximos a 0,3 na resistência ao cisalamento; acima deste valor á uma tendência de queda na resistência ao cisalamento; b) Há uma tendência de queda de resistência ao cisalamento à medida que a relação v / aumenta; no entanto alguns modelos numéricos com v / aroximadamente igual a 2,0 e = 0,3-0,4 têm resistência ao cisalamento maiores do que modelos com v / igual a 1,0 e =0,5-0,7; c) Existe um efeito benéfico da variável maior ara modelos em que a relação v / é maior do que 1,67, cegando a resistência aumentar em até 3,9 vezes ara um modelo com v / =2,0. Pode-se adotar uma exressão analítica da variável / f em função da relação v/ e do nível de solicitação axial do ilar. Faz-se então uma regressão múltila de variáveis indeendentes v / e com a seguinte exressão: c / f com as c

12 96 Comortamento ao cisalamento de nós de órtico externos de concreto... v v v / fc (A B) ² (C D) (E F) (6) onde as constantes A, B, C, D, E e F são determinadas or meio da regressão em função do conjunto de 75 modelos numéricos com dados de /, v / e ara cada um. Fazendo a regressão ara os resultados da análise aramétrica cega-se: fc v v v / fc ( 1,51 0,66) ² (0,87 0,11) ( 0,24 0,68) (7) com R² 0, 584. Na Figura 10 aresentam-se as curvas de isovalores ara a Equação 7. Observe que existem valores negativos revistos ara a variável /, logo sem sentido físico. No entanto, estes valores são revistos ara casos ouco usuais de geometria e carregamento de nós de órtico externos de concreto armado. Por exemlo, um nó com relação v / igual a 2,5 com igual a 0,7 é ouco usual e teria resultados seguindo a Equação 7 nada satisfatórios. fc Figura 10 Curvas de isovalores de / f roosto ela Equação 7 c Na Figura 10, os resultados da Equação 7 são comarados com os resultados dos 75 modelos numéricos. Da análise estatística dos dados obtém-se uma média de 0,983, um desvio adrão de 0,245 e um coeficiente de variação de 24,89%. As iores revisões da regressão são ara os modelos numéricos 6020 ( =0,1) e 7020 ( =0,1). Os valores observados numericamente ara / fc são de 0,054 e 0,014 resectivamente; e os valores calculados ela exressão analítica foram de 0,1572 e 0,0711. Note que a variável v / é igual a 3,0 e 3,5 ara os dois modelos numéricos em questão, tornando estes modelos numéricos casos incomuns na rática. Se a exressão analítica for alicada nos demais modelos numéricos sem os modelos 6020 ( =0,1) e 7020 ( =0,1) e comarada com os

13 Mateus Fernandes de Araújo Silva & ladimir Guilerme Haac 97 valores observados numericamente cega-se a uma média de 1,00, desvio adrão de 0,22 e coeficiente de variação de 21,62 % Média = 0,983 Des. Pad. = 0,245 Coef. ar. = 24,89 % /f c 0,5 )num. / /f c 0,5 )ana MODELOS Figura 11 Comaração entre resultados obtidos numericamente e ela formula analítica 4 CONCLUSÕES O trabalo aresentou as considerações feitas ara as simulações numéricas realizadas. Tais considerações são as mais róximas ossíveis das condições de ensaios em laboratório de nós de órtico externos de concreto armado. Os resultados aresentam tendências de comortamento ao cisalamento ara os nós à medida que se variou a relação v / e o nível de solicitação axial do ilar ( ). Por meio de regressão linear cegou-se a uma formulação ara a resistência ao cisalamento destes elementos estruturais sem resença de estribos transversais. A formulação roosta, embora simles, reresenta bem as tendências dos resultados encontrados numericamente. É interessante destacar também que ara geometrias e níveis de carga axial do ilar fora de rática, a exressão analítica revê valores sem sentido físico. Nos casos usuais, a exressão fornece bons resultados. 5 AGRADECIMENTOS A CAPES Coordenação de Pessoal de Nível Suerior elo aoio financeiro a esta esquisa. 6 REFERÊNCIAS ALA, G. M. S. Estudo teórico-exerimental do comortamento dos nós de órtico de concreto armado submetidos a ações cíclicas Tese (Doutorado em Engenaria de Estruturas) Escola de Engenaria de São Carlos, Universidade de São Paulo, São Carlos, 2004.

14 98 Comortamento ao cisalamento de nós de órtico externos de concreto... BS Structural use of concrete : Part 1: Code of ractice for design and construction, London, Britis Standards Institution, CEB-FIP MODEL CODE 1990 final draft. Bulletin D Information, n ; HAACH,. G. Análise teórico-exerimental da influência da força normal em nós de órtico externos de concreto armado Dissertação (Mestrado em Engenaria de Estruturas) Escola de Engenaria de São Carlos, Universidade de São Paulo, São Carlos, HEGGER, S. J.; SHERIF, A.; ROESER, W. Non seismic design of beam-column joints. ACI Structural Journal, v.100, n.5, , Se. /Oct., KUANG, J. S.; WONG, H. F. Effects of beam bar ancorage on beam-column joint beavior. Structures & Buildings, v.159, n.2, , Aril, ORTIZ, I. R. Strut-and-tie modeling of reinforced concrete: sort beams and beam-column joints A Tesis submitted for te doctor of Pilosoy University of Westminster, London, United Kingdom, PARK, R.; PAULAY, T. Beam-column joints. In: Reinforced Concrete Structures. New Zealand, RUSSO., G.; SOMMA, G. A design formula for redicting te sear strengt of exterior beam column joints under seismic loading. In: WORLD CONFERENCE ON EARTHQUAKE ENGINEERING, 13, 2004, ancouver. Proceedings ancouver: Pergamon, Oxford, aer SCOTT, R. H. Intrinsic mecanisms in reinforced concrete beam-column connection beavior. ACI Structural Journal, v.93, n.3, , May./June, SCOTT, R. H. Te effects of detailing on RC beam/column connection beaviour. Te Structural Engineer, v.70, n.18, , Setember, SILA, M. F. A. Desenvolvimento de modelo analítico ara cálculo de resistência ao cisalamento de nós de órtico externos de concreto armado Dissertação (Mestrado em Engenaria de Estruturas) Escola de Engenaria de São Carlos, Universidade de São Paulo, São Carlos, OLLUM, R. L.; NEWMAN, J. B. Te design of external reinforced concrete beam-to-column joints. Te Structural Engineer, v. 77, n.23/24, , December, WONG, H. F.; KUANG, J. S. Effects of beam-column det ratio on joint seismic beavior. Structures & Buildings, v.161, n.2, , Aril, 2008.