Transformação entre ICRS e ITRS. EAC-066: Geodésia Espacial

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1 EAC-066: Geodésia Espacial Prof. Paulo Augusto Ferreira Borges 1 1/45

2 Transformação entre GCRS e ITRS Objetivo da Aula: Apresentar um estudo da transformação do referencial celeste (ICRS) para o referencial terrestre (ITRS), avaliando as equações e os parâmetros de transformações utilizados. Esta transformação se baseia nos movimentos de precessão, nutação, movimento do pólo e no tempo sideral. Para o entendimento desses diferentes conceitos serão apresentadas as equações utilizadas para o cálculo dos diferentes movimentos, bem como para o cálculo do tempo sideral. Serão apresentados ainda os conceitos principais do ICRS e do ITRS para facilidade de entendimento. Ao final será apresentada a equação atualmente empregada para a transformação do ICRS para o ITRS, baseado na nova Resolução IAU 2000 da IUGG, que passou a vigorar em 1º de janeiro de /45

3 Os Movimentos da Terra Na determinação das coordenadas equatoriais uranográficas deve-se sempre observar o efeito provocado por alguns movimentos da Terra e outros fatores, os quais provocam lentas variações nestas coordenadas em relação ao tempo, geralmente inferiores a 1 de arco durante um ano. Entre as diferentes causas dessas variações podemos citar: movimento do eixo de rotação da Terra e que causam a precessão luni-solar e a nutação; movimento da eclíptica e que ocasiona a precessão planetária; movimento anual da Terra (translação) que produz a paralaxe anual e aberração anual; 3/45

4 Os Movimentos da Terra movimento próprio das estrelas; movimento diário da Terra (rotação) que causa a aberração diária e a paralaxe diária; Esquerda: Aberração devida à velocidade V do observador. A diferença θ θ = α é devida à aberração. Direita: Este efeito é análogo à mudança de direção aparente da chuva quando corremos ou ficamos parado. refração astronômica dos raios luminosos provenientes dos astros; movimento da Terra em relação ao seu eixo originando o movimento do pólo. 4/45

5 Os Movimentos da Terra Movimentos de Rotação (R), Precessão (P) e Nutação (N) do eixo da Terra: 5/45

6 Precessão O movimento de precessão, também chamado de Precessão Luni- Solar ocorre devido ao fato de a terra não ser esférica e sim achatada nos pólos. Este movimento é provocado devido a torques gravitacionais provocados por forças de atração Terra-Lua e Terra-Sol sobre a protuberância equatorial. Este movimento faz com que o eixo de rotação terrestre (eixo médio) gire em torno da eclíptica descrevendo um movimento no sentido retrógrado formando assim, uma superfície cônica de duas folhas com vértice no centro da Terra (GEMAEL, C.; ANDRADE, J. B.; 2004). Devido ao movimento de precessão o eixo de rotação da Terra descreve um cone no espaço com um ângulo de vértice igual a uma vez a cada anos aproximadamente. 6/45

7 Precessão Consequentemente o movimento de precessão faz com que cada pólo (pólo médio) descreva no mesmo período uma circunferência sobre a esfera celeste cujo centro (vértice) será o pólo da eclíptica. Este movimento conhecido como precessão dos equinócios apresenta uma variação de 50,3 ao ano, sendo que 34 ocorre devido a influência atrativa da Lua. 7/45

8 Precessão Segundo GEMAEL e ANDRADE (2004) esta circunferência se mantém imóvel no espaço (em relação à precessão luni-solar) enquanto o equador sofre um balanço para conservar-se (conservação do momento angular) constantemente perpendicular ao eixo de rotação terrestre sem variação na obliqüidade deste, obrigando assim o deslocamento do ponto vernal sobre a eclíptica em sentido contrário ao movimento anual aparente do sol. Além da precessão Luni-Solar há também a Precessão Planetária, causada por combinações de perturbações gravitacionais dos outros planetas do Sistema Solar provocando também uma mudança no plano da órbita da Terra. Entretanto este movimento é menos intenso. 8/45

9 Precessão Tomando-se como referência os quasares (fontes extragalácticas), devido à precessão planetária, o eixo de rotação apresenta uma variação de 20" ao ano, mudando assim sua posição, enquanto que a normal ao plano da órbita varia apenas 0.5" na esfera celeste. Combinando-se os dois movimentos de precessão (Precessão Luni- Solar e Precessão Planetária), determina-se assim o movimento chamado de Precessão Geral. 9/45

10 Precessão Para se determinar o efeito da precessão com uma precisão da ordem de 1 sobre as coordenadas equatoriais uranográficas pode-se utilizar das equações a seguir: δ = n cos α t δ = m + n sen α tan δ t onde m = 3,07419 s/ano e n = 20,0383 s/ano ou s/ano. Tomando-se como referência o ano 2000, estas equações são válidas para uma variação de 20 anos para mais ou para menos. A variação das coordenadas equatoriais ascensão reta (α) e declinação (δ) são expressas em segundos de tempo e segundos de arco, respectivamente. 10/45

11 Precessão Observa-se que a precessão do eixo é muito lenta. De maneira aproximada, a variação de α é da ordem de 3s por ano e a de δ de uns 20"/ano. A seguir, uma figura descrevendo a variação da posição dos pólos celestes devida à precessão. A figura da esquerda mostra a situação no presente, com o pólo norte celeste coincidindo aproximadamente com a estrela Polaris. Daqui a milhares de anos, o mesmo pólo celeste coincidirá aproximadamente com a estrela Vega. 11/45

12 Precessão As equações apresentadas anteriormente nos permitem o cálculo aproximado do efeito da precessão. Segundo o IERS Technical Notes nº 13, o modelo matemático utilizado para a determinação da precessão está em função de parâmetros denominados quantidades de precessão: z, θ e ζ Assim, para se determinar as posições médias em uma época de interesse a partir da época de referência t 0 em J2000, deve-se utilizar a matriz de precessão que é dada por: P = R 3 z R 2 θ R 3 ζ 12/45

13 Precessão Segundo MONICO (2008), as quantidades de precessão determinadas a partir das seguintes expressões: = = ,2181" t + 0,30188" t + 0,017998" t ,3109" t 0,42665" t 0,041833" t z = ,2181" t + 1,09468" t 0,018203" t 13/45 são onde o parâmetro t representa o intervalo, em séculos julianos de dias solares médios, entre a época de referência J2000 e a época da observação. t = Τ TT J2000 DIAS 36525,0 = TT ,0 /36525,0 t = JD + TT h / ,0 Τ36525,0

14 Precessão Aplicando-se a transformação referente à precessão, os resultados serão apresentados no Sistema Celeste Médio, com o equador e o ponto vernal denominados de equador médio e ponto vernal médio. Para se determinar o equador e o ponto vernal verdadeiro e, consequentemente o Sistema Celeste Verdadeiro, deve-se aplicar a transformação referente ao movimento de nutação. A partir da introdução da Resolução IAU 2000 pela IUGG, que passou a ser utilizada a partir de 1º de janeiro de 2003, houve uma mudança nos modelos de precessão e nutação, sendo que a correção da precessão e nutação passou a determinar o que hoje é chamado de Sistema Celeste Intermediário. Assim o pólo celeste realizado é determinado de CIP (Celestial Intermediate Pole) em substituição ao CEP (Celestial Ephemeris Pole). 14/45

15 Nutação Assim como a órbita da Terra, por não ser circular, provoca variações periódicas na distância Terra-Sol, o mesmo ocorre com a Lua, fazendo com que a intensidade das forças de atração tenha variações periódicas. Como o plano da órbita da lua não coincide com a eclíptica, salienta-se que por este motivo também haverá alterações periódicas na direção das forças atrativas. Como resultante destas e de outras diferentes causas surge o movimento de nutação, o qual pode ser descrito como sendo uma pequena oscilação periódica e, portanto, não uniforme, do eixo de rotação da Terra. Pode-se definir também a nutação como sendo a parte irregular do movimento de precessão. 15/45

16 Nutação Movimentos previsíveis do eixo de rotação terrestre em escalas de tempo (períodos) de 300 anos ou menos são combinados para formar o que chamamos de nutação. Segundo o modelo de nutação mais atual, este efeito é composto de 106 termos harmônicos envolvendo senos e cossenos com diferentes frequências, em sua maioria efeitos secundários de torque gravitacional do Sol e da Lua, mais 85 correções devidas a efeitos planetários. Dentre os principais termos da nutação citam-se: um termo de período igual a 18,6 anos (período de precessão da órbita da Lua), um termo de 182,6 dias (meio ano), um outro de 13,7 dias (meio mês) e um de 9,3 anos (período de rotação do perigeu lunar). 16/45

17 Nutação A nutação pode ser decomposta em uma série de movimentos ondulatórios, de longo período (18,6 anos até 35 dias) e de curto período (menos de 35 dias). 17/45

18 Nutação Para se determinar as correções para nutação com precisão da ordem de 1" sobre as coordenadas equatoriais uranográficas, pode-se utilizar das seguintes equações: = ( cos + sen sen tan ) cos tan = sen cos + sen onde Δα e Δδ são adicionadas às coordenadas médias (já corrigidas para precessão), resultando nas chamadas coordenadas aparentes (ou verdadeiras). Na expressão acima, ε é a obliquidade da eclíptica, cujo valor pode ser obtido, dia a dia, no Astronomical Almanac. 18/45

19 Nutação Os termos de nutação em longitude eclíptica ψ e obliquidade eclíptica ε, respectivamente, são também encontrados em anuários como o Astronomical Almanac, ou calculados a partir da teoria de nutação, levando-se em conta os dois termos dominantes. ψ = 17,1996" sen(ω) +0,2062" sen(2ω) 1,3187" sen 2F 2D + 2Ω + + dψ ε = 9,2025" cos(ω) 0,0895" cos(2ω) + 0,5736" cos 2F 2D + 2Ω + + dε ψ e ε são obtidos em segundos de arco. 19/45

20 Nutação Segundo MONICO (2008), para se determinar o Sistema Celeste Verdadeiro, a nutação é determinada através da matriz de nutação, dada por: onde N R ε = obliquidade da eclíptica; Δε = nutação em obliquidade; = Δψ = nutação em longitude ( ) R ( ) ( ) 1 3 R1 Δε e Δψ são denominados de quantidade de nutação e ε é dado por: = '21,448" 46,815" t 0,00059" t + 0,001813" t 20/45

21 Nutação As quantidades de nutação são derivadas da Teoria da Nutação da IUA (International Astronomical Union), utilizandose de um modelo elástico da Terra, em vez de um modelo da Terra Rígida, e obtidas a partir de uma expansão em série envolvendo 64 e 106 coeficientes, para Δε e Δψ, respectivamente. Δψ = 17,1996 sin Ω +0,2062 sin 2Ω 1,3187 sin 2F 2D + 2Ω + + dψ Ω = ,398036" ,2665"t + 7,4722"t² + 0,007702"t³ F = 93, ,8478" t 12,7512" t 2 0,001037" t D = 297, ,2090" t 6,3706" t 2 + 0,006593" t /45

22 Movimento do Polo Ao movimento do eixo de rotação terrestre em torno do eixo de inércia máxima, denomina-se Movimento do Pólo. Este movimento é caracterizado por uma variação na posição relativa de um observador com relação ao eixo de rotação ocasionado por movimentos internos e deformações na forma da Terra. Para um observador qualquer, o movimento do pólo tem o efeito de mudar sua latitude e sua longitude, que por sua vez é necessária nas transformações de coordenadas terrestres para celestes. O IERS (International Earth Rotation Service) define um sistema de referência terrestre baseado em um eixo de referência, chamado de IERS Reference Pole (IRP). 22/45

23 Movimento do Polo Segundo GEMAEL e ANDRADE (2004) a precessão pode ser razoavelmente modelada, enquanto a nutação e o movimento do pólo exigem um monitoramento contínuo, o que vem sendo realizado graças à contribuição dada pelo IERS, o qual utiliza as mais modernas e precisas técnicas: LLR, SLR, VLBI, Doppler e GPS. A principal componente do movimento do pólo tem um período de 430 dias, denominada de Chandler, com uma amplitude de 0,1 a 0,2, correspondente na terra rígida ao período de Euller, de 305 dias. Uma segunda componente de período anual e de menor amplitude também é observada, causada devido ao deslocamento de massas no oceano e na atmosfera. Aliada às duas componentes citadas, soma-se uma terceira, presumivelmente secundária, formando-se assim a trajetória que descreve o pólo, chamada de Polodia. 23/45

24 Movimento do Polo A soma da componente de Chandler com as componentes irregulares é publicada semanalmente no IERS Bulletin A, juntamente com previsões para vários meses de antecipação. De posse das coordenadas do pólo (x P, y P ), publicados pelo IERS ou estimadas a partir das próprias observações, e do tempo sideral verdadeiro de Greenwich (GST), pode se determinar a componente S utilizada na transformação do ICRS (IERS Celestial Reference System) para o ITRS (IERS Terrestrial Reference System), a qual será apresentada mais adiante. 24/45

25 Tempo Sideral Excluindo-se pequenos movimentos (precessão, nutação,...) pode-se tomar como referência reguladora do tempo universal as estrelas ou o Ponto Vernal, uma vez que este apresenta um movimento tão pequeno (movimento retrógrado na ordem de 50,3 ao ano) que pode ser considerado como sendo um astro fixo no espaço. Ao intervalo que decorre entre duas culminações sucessivas do ponto vernal pelo mesmo semimeridiano denomina-se Dia Sideral. Define-se ainda como Hora Sideral, o ângulo horário do ponto vernal (GEMAEL, C.; ANDRADE, J. B.; 2004). O dia sideral tem a duração de 24 horas siderais e começa às 00h 00min 00s, no instante da passagem do meridiano superior do lugar pelo ponto vernal. Cada hora tem 60 minutos e cada minuto tem 60 segundos siderais. 25/45

26 Tempo Sideral O tempo sideral TS local que, por definição, é igual ao ângulo horário do ponto vernal, pode ser obtido através de: TS = α + t onde α representa a ascensão reta do astro (obtida por consulta das suas efemérides). Por outro lado, S pode ser obtido a partir de: TS = T + T Onde T e T representam a indicação do relógio e o estado do relógio, respectivamente. 26/45

27 Tempo Sideral Para calcular o ângulo horário, observador tem que conhecer o estado do relógio num instante anterior, bem como a marcha do relógio (taxa de variação do estado do relógio), e registrar a indicação do relógio no momento da observação. Em consequência da precessão, a duração do dia sideral é da ordem de oito milissegundos menor que a duração determinada a partir de um ponto realmente fixo no espaço. Entretanto, esta diferença se mantém constante, ao contrário das variações periódicas impostas pela nutação. Assim, faz-se necessário distinguir dois tempos siderais: o tempo sideral aparente e o tempo sideral médio. 27/45

28 Tempo Sideral Tempo Sideral aparente (TS A ): é o tempo determinado pelo movimento diurno do ponto vernal verdadeiro e que está sujeito às variações periódicas da nutação. Tempo Sideral Médio (TS M ): é o tempo determinado pelo movimento diurno do ponto vernal médio e que está isento às variações periódicas da nutação. Estes dois tipos de tempos siderais estão registrados no Astronomical Almanac para todos os dias do ano, a partir das 00 h do Tempo Universal (TU), onde se adiciona o índice 0 aos símbolos TS A e TS M. A partir da diferença entre os dois tempos determina-se a equação dos equinócios: TS A TS M = Q 28/45

29 Tempo Sideral Segundo MCCARTHY (1996) in MONICO (2008), o tempo sideral verdadeiro de Greenwich (GST), utilizado na transformação do ITRS para o ICRS, é determinado a partir da equação: GST = GMST + ψ cos ε + 0,00264" sen Ω + 0,000063" sen 2Ω GMST = GMST 0hUT1 + r UT1 UTC + UTC GMST 0hUT1 = 6 h 41 m 50,54841 s , s Tu + 0, s Tu 2 6,2 s 10 6 Tu 3 r = 1, , Tu 5, Tu 2 Tu = Τ JD + UT1 h / , ,0 29/45

30 Tempo Sideral onde o termo do numerador da equação para cálculo de número de Tu corresponde ao número de dias decorridos a partir da época de referência J2000 (1º de janeiro de 2000 às 12 h de UT1), tomado sobre os valores 0,5; 1,5..., e é a longitude média do nodo ascendente do plano orbital da Lua. Ω = ,398036" ,2665"t + 7,4722"t² + 0,007702"t³ Os termos que envolvem na primeira equação para cálculo do GST passaram a constar nos padrões do IERS a partir de 1º de janeiro de /45

31 Transformações A transformação entre o referencial celeste ICRS e o referencial terrestre ITRS é efetuada a partir de uma sequência de rotações, o que implica a consideração da precessão (P), da nutação (N), a rotação e a orientação da Terra (S), sendo esta última obtida a partir do movimento do pólo e da determinação do tempo sideral verdadeiro de Greenwich (GST). Segundo MONICO (2000), a equação utilizada para a transformação do ICRS para o ITRS é dada por: T X = SNP X em que ԦX T e ԦX C são os vetores posicionais nos sistemas terrestre e celeste. 31/45 C

32 A determinação dos valores de P e N foram apresentados anteriormente. Para se determinar o valor de S, utiliza-se a seguinte equação: S = R ( x ) R ( y ) R ( GST ) 2 P 1 P 3 Onde: GST = tempo sideral verdadeiro de Greenwich; x P, y P = coordenadas do pólo, publicadas pelo IERS. 32/45

33 As matrizes de rotação R 1, R 2 e R 3 são obtidas a partir de: R 1 ( y P ) = cos( y P sin( y P ) ) 0 sin( y cos( y P P ) ) cos( ) sin( ) R3 ( y) = sin( ) cos( ) R 2 ( x P ) = cos( x 0 sin( x P P ) ) sin( x 0 cos( x P ) ) P para os ângulos x P, y P e γ = GST, para um sistema cartesiano dextrogiro com rotação no sentido horário. 33/45

34 Transformações de Acordo com a Resolução IAU2000 Desde 1º de janeiro de 2003, a partir da nova Resolução IAU 2000 pela IUGG, o procedimento tradicional de transformação do ICRS para o ITRS descrito, que é baseado no equinócio vernal e no tempo sideral verdadeiro de Greenwich, foi substituído, baseando-se atualmente no CEO (Celestial Ephemeris Origin) e na determinação de θ (ângulo de rotação da Terra), de maneira a apresentar uma relação linear com o UT1. 34/45

35 Sendo assim a transformação do ICRS para o ITRS na época t da observação será efetuada a partir da equação: X T = W t R t Q t X C onde W(t), R(t) e Q(t) são as matrizes de rotação resultante do movimento do pólo, o ângulo de rotação da Terra e o movimento do pólo celeste no sistema celeste (precessão e nutação), respectivamente. Onde W t, R t e Q t são as matrizes de transformação resultantes do movimento polar, da rotação da Terra em torno do eixo do pólo e do movimento do pólo celeste no sistema celeste (precessão e nutação), respectivamente. 35/45

36 O parâmetro t utilizado nas expressões é definido pela equação: t = Τ TT J2000 DIAS 36525,0 = TT ,0 /36525,0 t = Τ JD + TT h / , ,0 Esta definição é consistente com a Resolução C7 (1994) da IAU que recomenda a época J2000,0 seja definida para o geocentro na data de 1º Janeiro de 2000 às 12:00 h (TT = ,00 TT). Conforme a Resolução B1.6, as quantidades de precessão e nutação a serem usadas na matriz de transformação s devem ser baseadas nos modelos de precessão-nutação IAU 2000 A ou IAU 2000 B, conforme a precisão requerida. O primeiro proporciona precisão da ordem de 0,2 mas, enquanto o segundo esse valor aumenta para 1,0 mas. 36/45

37 A matriz W t é obtida a partir da seguinte equação: W t = R 3 s R 2 x p R 1 y p Onde s é uma quantidade que proporciona a posição do TEO (Terrestrial Efhemeris Origin) no ITRS. O valor de s pode ser obtida pela expressão: s = 0,0015 a c 12 + a a 2 t Os termos a c e a a são as amplitudes médias (em segundos de arco) das oscilações anuais e Chandlerianas (componentes do movimento do pólo), respectivamente no período considerado. 37/45

38 Entretanto, o valor de s apresenta resultados significativos para grandes variações no movimento do pólo e será menor que 0,4 mas até o fim do próximo século, mesmo que as oscilações anuais e Chandlerianas atinjam valores da ordem de 0,500 e 0,100, respectivamente. Utilizando as amplitudes médias das oscilações anuais e Chandlerianas o valor de s pode ser dado por: s = 47μas t Onde μas representa microssegundos de arco. A matriz R t é obtida a partir do ângulo de rotação da Terra θ. Esse ângulo é medido sobre o equador do CIP, entre o CEO (Celestial Ephemeris Origin) e o TEO. 38/45

39 O ângulo de rotação θ é obtido a partir da relação convencional com UT1, definido pela equação: θ Tu = 2π 0, , Tu Onde Tu = Data Juliana em UT com UT1 = UTC + UT1 UTC. Os termos CEO e TEO, de acordo com a Resolução B1.8 da IAU2000, referem-se a origens não sujeitas a rotação no CGRS e ITRS, respectivamente. A matriz Q t é obtida a partir da seguinte expressão: Q t = 1 ax 2 axy X axy 1 ay 2 Y R 3 s X Y 1 a X 2 + Y 2 39/45

40 Onde a = X2 + Y 2. As coordenadas X e Y proporcionam a posição do CIP no CGRS, baseadas nos modelos IAU2000A e IAU2000B. A quantidade s proporciona a posição do CEO no equador do CIP. O valor de s é dado por: s t = XY ,35t 119,94t ,09t 3 + Σ k C k sen a k + + 1,71t sen Ω + 3,57t cos 2Ω + 743,53t 2 sen Ω + +56,91t 2 sen 2F 2D + 2Ω + 9,84t 2 sen 2F + 2Ω 8,85t 2 sen 2Ω 40/45

41 Os argumentos da equação Σ k C k sen a k são dados por: 41/45

42 As quantidades X e Y são dadas por: X = തX + ξ 0 dα 0 തY Y = തY + η 0 dα 0 തX Onde ξ 0 e η 0 são os offsets do pólo celeste na época de referência J2000,0 e dα 0 é a ascensão reta do equinócio médio da época J2000,0 no CRS. dα 0 = 0,01460 ± 0,00050 ξ 0 = 0, ± 0, η 0 = 0, ± 0, As quantidades തX e തY são dadas por: തX = sen ω sen ψ തY = sen ε 0 cos ω + cos ε 0 sen ω cos ψ ε 0 = 84381,448 Que é a obliquidade da eclíptica na época J2000,0. 42/45

43 O quantidade ω refere-se à inclinação da eclíptica referente ao equador verdadeiro na época da observação e ψ é a longitude eclíptica. Estas quantidades são dadas por: ω = ω A + Δε 1 ψ = ψ A + Δψ 1 As quantidades ψ A e ω A são as quantidades de precessão em longitude e obliquidade referente à eclíptica na época da observação e Δψ 1 e Δε 1 são os ângulos de nutação em longitude e obliquidade referente à eclíptica na época da observação. Seus valores podem ser obtidos a partir das seguintes expressões: Δψ 1 sen ω A = Δψ sen ε A cos χ A Δε sen χ A Δε 1 = Δψ sen ε A sen χ A Δε cos χ A χ A corresponde à precessão planetária no equador. 43/45

44 As expressões compatíveis com os modelos de precessão e nutação da IAU2000A são: 44/45

45 MONICO, J. F. G. Posicionamento pelo GNSS: Descrição, fundamentos e aplicações. São Paulo: UNESP, p. McCARTHY, D. D. IERS Standards (1992), IERS Technical Note 13, Central Bureau of IERS- Observatoire de Paris, 150p., McCARTHY D. D. IERS Standards (2000), IERS Technical Note 23, Central Bureau of IERS- Observatoire de Paris, 138p., GEMAEL, C.; ANDRADE, J. B. Geodésia Celeste. Curitiba: Ed. UFPR, p. 45/45