PROCESSOS DE PASSEIO NA RETA CONTÍNUA DANIELA TRENTIN NAVA Orienador: Prof. Ph.D. Andrei Toom Área de concenração: Probabilidade Disseração submeida como requerimeno parcial para obenção do grau de Mesre em Esaísica pela Universidade Federal de Pernambuco Recife, fevereiro de 2006
. Não há ramo da Maemáica, por mais absrao que seja, que não possa um dia vir a ser aplicado aos fenômenos do mundo real. (Lobachevsky) i
Agradecimenos Não, não é simplesmene agradecer que quero nese momeno, mas sim expliciar minha profunda graidão a odos aqueles que de alguma forma me ajudaram e incenivaram a não perder a garra e a vibração, muio obrigada! Agradeço, acima de odas as coisas, a Deus pelo dom da vida, sabedoria e misericórdia infinia. Agradeço a inerseceção e o colo de minha mãezinha, Maria. À Paulina e Celesio, que me ensinaram que a maior de odas as virudes é a humildade. Eles se ornaram o maior exemplo de família que um ser humano pode almejar er. Ao professor Andrei Toom, meu orienador, pela paciência e grande enusiasmo para a realização desa disseração. Aproveio a oporunidade para demonsrar meu grande apreço e admiração pelo grande profissional e inelecual que é o professor Toom. A Paric, meu maninho, pelo carinho e incenivo a mim dedicados. E, aos não menos irmãos, Renaa companheira fiel e presene nos melhores e piores momenos em que esive aqui. Carlos e Tiago pelos longos papos e momenos de desconração que propiciaram momenos de grande alegria. A Milena pela amizade e alegria. Themis por grandes discussões que edificaram e consolidaram conhecimenos. Ao professor Miguel Angel Uribe Opazo, grande responsável e incenivador pela minha inscrição e poserior vinda para ese mesrado. Agradeço a Cláudio por er sido o anjo enviado por Deus em momenos exremamene imporanes, pelo carinho e aenção. E ambém a anos ouros anjos, que não ouso ciar os nomes mas que passaram deixando o perfume e a presença de Deus. Aos professores da pós graduação em Esaísica da UFPE pelo grande aprendizado. Desaco enre eles: Francisco Cribari, Klaus, Cláudia e Audrey. À Valéria pela grande ajuda e auxílio com ramies burocráicos. Agradeço a odos os colegas da pós com quem comparilhei momenos especiais. A amigas muio especiais, que mesmo de muio longe não deixaram que eu me senisse sozinha: Marinez, Aracéli, Gisele, Valderice e Mari. À CAPES pelo apoio financeiro. ii
. À Paulina e Celesio. iii
Resumo Esudamos uma propriedade similar a ergodicidade para uma classe de processos aleaórios com ineração local, espaço conínuo e empo discreo. Nosso processo é uma seqüência de subconjunos aleaórios U da rea real em que = 0, 1, 2, 3, é chamado empo. Eses conjunos são de ipo especial: suas inersecções com qualquer pedaço limiado da rea real são combinações lineares de uma lisa finia de δ medidas, cada uma concenrada em um conjuno que consise de vários segmenos fechados cujas inersecções são vazias, os quais chamamos de blocos. Eses conjunos são gerados induivamene. Inicialmene, quando = 0, emos que o conjuno U 0 é vazio. A cada passo de empo rês operadores são aplicados em U para ober U +1. O primeiro operador, W α, inclui no conjuno segmenos [i, i + 1] onde i Z, de maneira aleaória: cada segmeno é incluído com probabilidade α independenemene dos ouros. O segundo operador, W D, inclui em nosso conjuno odas as brechas com disâncias pequenas enre cada dois blocos. A ação do erceiro operador, W pas, depende das variáveis aleaórias discreas L e R, cada omando somene um conjuno finio de valores. Cada aplicação de W pas faz com que o limie esquerdo de cada bloco realize um passo de passeio aleaório disribuído como a variável L independenemene de cada ouro. O mesmo ocorre com o limie direio de cada bloco, mas com a variável R ao invés de L. Dizemos que nosso processo enche a rea se para algum segmeno limiado, a probabilidade que U inclua ese segmeno ende para um quando o empo ende para infinio. (Iso é análogo a ergodicidade.) Mosramos que nosso processo em dois ipos de comporameno: Se E(L) < E(R) (em que E( ) significa esperança maemáica), nosso processo enche a rea para qualquer α > 0. Se E(L) > E(R), nosso processo não enche a rea se α for pequeno o basane. Ese conrase já havia sido mosrado considerando o espaço discreo, agora nós o generalizamos para o espaço conínuo. Nossa aproximação serve de base para a eoria de processos com ineração local em um espaço conínuo, que ainda é pouco desenvolvida. iv
Absrac We sudy a propery similar o ergodiciy of a class of random processes wih local ineracion wih coninuous space and discree ime. Our process is a sequence of random subses U of a real line, where = 0, 1, 2, 3,... is called ime. These ses are of a special kind: heir inersecions wih any limied piece of he real line are linear combinaions of a finie lis of δ-measures, each concenraed in a se consising of several closed muually non-inersecing segmens, which we call blocks. These ses are generaed inducively. Iniially, when = 0, our se U 0 is empy. A every ime sep hree operaors are applied o U o obain U +1. The firs operaor, W α, includes ino our se some of he segmens [i,i + 1], where i Z, chosen a random: each segmen is included wih a probabiliy α independenly of ohers. The second operaor, W D, includes ino our se all small enough gaps beween he blocks. The acion of he hird operaor, W pas, depends on wo discree random variables L and R, each aking only a finie se of values. A one applicaion of W pas, lef ends of all he blocks perform one sep of random walk disribued as L independenly from each oher. The righ ends of all he blocks do he same, only using he random variable R insead of L. We say ha our process fills he line if for any limied segmen he probabiliy ha U includes his segmen ends o one when ime ends o infiniy. (This is analog of ergodiciy.) We show ha our process has wo ypes of behavior: If E(L) < E(R) (where E means mahemaical expecaion), our process fills he line for any α > 0. If E(L) > E(R), our process does no fill he line if α is small enough. This conras has been shown for he discree line and now we generalize i o he coninuous line. Our approach paves he way for a heory of processes wih local ineracion on a real line, which remains lile developed ill now. v
SUMÁRIO Lisa de Figuras viii 1 Inrodução 1 2 Conceios iniciais 3 2.1 Definição dos operadores............................ 4 3 O eorema principal 7 3.1 Ilusração do processo............................. 7 3.2 Consrução do conjuno aleaório U em R R +............... 8 3.3 Lemas sobre aplicação de nossos operadores................. 10 3.4 O eorema principal............................... 11 4 Monoonicidade 12 5 Demonsração pare I 15 5.1 O problema da ruína do jogador........................ 16 5.1.1 Generalização do problema da ruína do jogador........... 16 5.2 Demonsração do iem i) do eorema principal................ 18 5.2.1 Lemas auxiliares............................ 19 6 Demonsração pare II 22 6.1 Algumas definições............................... 22 6.2 Classificação de U [0,T] em classes de equivalência.............. 24 vi
6.3 Caminhos.................................... 25 6.3.1 Caminho correo............................ 26 6.3.2 Código correo............................. 27 6.3.3 Peso do caminho e peso do código................... 29 6.3.4 Relações enre caminhos e códigos................... 29 6.4 Esimações................................... 34 7 Discussões e sugesões de pesquisa 43 Referências Bibliográficas 44 vii
LISTA DE FIGURAS 3.1 Fragmeno do processo, onde há um conorno em vola do segmeno [a,b]. Seas vericais represenam a ação de W α e W D, seas inclinadas represenam a ação de W pas............................... 8 4.1 Ilusração de duas medidas regulares obidas após a ação de W D em que µ ν uilizando a écnica do acoplameno................... 14 6.1 Ilusração de um possível fragmeno de caminho durane o processo ieraivo. Esa é a classe que inclui o segmeno [(a,t), (b,t)]. Nese fragmeno será excluída a pare preenchida com ponos.................. 25 6.2 Exemplo de um possível caminho que pode ocorrer em [1,T] para a classe J. 26 6.3 Ilusração do caso (a) do lema 6.5 desacando a seqüência de símbolos: α....................................... 31 6.4 Ilusração da seqüência de passos impossíveis α, pois a disância enre os ponos abaixo dos passos e é menor que 2D + 2............ 32 6.5 Ilusração do iem (b) do lema 6.5 onde um passo de ipo D pode ser precedido por passos de ipo ou α e sucedido por passos de ipo ou α.. 33 viii
CAPÍTULO 1 Inrodução Auômaos celulares (AC) são idealizações maemáicas de sisemas físicos que envolvem espaço, empo e um conjuno de possíveis esados, cada um deses podendo ser discreo ou conínuo. Chamemos de versão discrea quando odos eses rês conjunos são discreos. A primeira pessoa a uilizar AC na forma discrea e deerminísica foi John Von Neumann (Neumann, 1963). Ele criou uma máquina composa de uma grade regular bidimensional com células que ineragem com células vizinhas. Cada célula podia assumir vários esados, e, devido à complexidade, ese AC foi apenas parcialmene implemenado no compuador. Nese caso, o esado da componene no empo imediaamene poserior é resulado da ação da função de ransição sobre uma vizinhança da mesma componene no empo anerior. AC s êm um poencial enorme. Como exemplos emos que qualquer sisema físico saisfazendo equações diferenciais pode ser aproximado com AC. A versão dinâmica do modelo de Ising e ouros sisemas de grade como spins são AC. Esruura espacial de urbulência de fluidos pode ser modelada usando AC a parir da aproximação do campo de velocidade como uma grade de células, cada uma conendo ou não um redemoinho, que ineragem com as células vizinhas. Ainda, sisemas físicos podem ambém ser descrios como AC s com esados de valores represenando exciações no meio correspondene. Trabalhos sobre processos com ineração local êm sido realizados há várias décadas. Exemplos sobre processos do caso discreo podem ser visos em Toom (1976), Toom e. al (1990), Toom (1995) e Toom (2001), por exemplo. Os maiores resulados desa disseração seguem as idéias de Toom e. al. (1990), 1
especialmene dos capíulos 6 e 11. A diferença é que esamos considerando um espaço conínuo, ainda que o empo seja discreo e cada componene possa assumir somene dois esados. Esa diferença parece ser pequena, porém envolve grandes dificuldades conceiuais. Esa disseração esá organizada da seguine maneira: no Capíulo 2, discuimos algumas das principais definições e resulados necessários para a consrução do nosso processo. No capíulo 3, enunciamos o eorema principal. No capíulo 4, apresenamos o conceio de monoonicidade para nosso caso. No capíulo 5, provamos o iem i) do eorema principal. No capíulo 6 provamos o iem ii) do eorema. E, no capíulo 7 são apresenadas discussões, comenários e sugesões para fuuras pesquisas. 2
CAPÍTULO 2 Conceios iniciais Em nosso esudo usaremos como configurações alguns subconjunos de R, o conjuno dos números reais. Consideraremos somene casos cuja probabilidade é posiiva. Definição 2.1. Para cada C > 0, chamemos um subconjuno R [ C,C] regular se R pode ser apresenado como união finia de segmenos fechados. Observe que cada conjuno regular é fechado. Cada conjuno regular pode ser apresenado como uma união de segmenos do ipo [a i,b i ] que não êm ponos em comum. Chamemos eses segmenos de blocos. Definição 2.2. Chamemos uma medida µ, em uma família de subconjunos regulares de R, de medida regular se para cada S > 0 a resrição µ [ S,S] pode ser apresenada como uma combinação linear de uma lisa finia de δ -medidas, em cada uma é concenrada num subconjuno regular de [ S,S]. Seja Ω o conjuno das medidas regulares. Denoaremos por M a família de medidas regulares normalizadas em Ω. Em alguns momenos do exo uilizaremos conjunos aleaórios em vez de medidas regulares, eses conceios são idênicos e os uilizaremos oporunamene. Definiremos agora os rês ipos de variáveis aleaórias auxiliares de que vamos precisar para definir o nosso processo. Para odos (i,) emos variáveis aleaórias independenes { Q 1, com probabilidade α, i = (V 1 ) 0, com probabilidade 1 α. 3
Também precisaremos de duas famílias de variáveis aleaórias independenes e idenicamene disribuídas: L h e R h, onde h R, {0, 1, 2, }. Cada uma delas é discrea e assume apenas um conjuno finio de valores: l 1, com probabilidade θ1, l l L 2, com probabilidade θ2, l h =. l ξ, com probabilidade θξ l. e As variáveis L h e R h r 1, com probabilidade θ1, r r Rh 2, com probabilidade θ2, r =. r η, com probabilidade θη. r (V 2 ) (V 3 ) serão usadas para efeuar mudanças nas froneiras esquerda e direia de segmenos de nosso conjuno e as variáveis Q i um segmeno com probabilidade α. Denoamos de Aux o espaço produo: ( R Z+. Aux = {0, 1} Z Z + {l 1,,l ξ } {r 1,,r η }) deerminam o surgimeno de Denoamos por π a medida-produo em Aux, al que cada componene é independene de ouras e disribuída segundo as fórmulas (V 1,V 2,V 3 ). Nosso processo será induzido por esa medida. 2.1 Definição dos operadores Definição 2.3. Para cada v R, definimos a ranslação τ v : R R, onde τ v (h) = h+v. Depois podemos definir a ranslação no espaço de conjunos aleaórios τ v : Ω Ω da seguine maneira: para cada conjuno aleaório µ, e cada h R (τ v µ) h = µ h v. Uilizaremos a mesma lera τ v para a ranslação correspondene de M para M. Dá-se o nome de operador aleaório a qualquer mapa P : M M. Dizemos que um operador D é deerminísico se D : Ω Ω. Cada operador deerminísico pode ser considerado como um operador aleaório. 4
Definição 2.4. Quando um operador P : M M comua com odas as ranslações, ou seja, denominamos o operador de uniforme. v : Pτ v = τ v P, Se um operador P : M M comua com odas as ranslações ineiras, ou seja v Z : Pτ v = τ v P, dizemos que ese operador é ineiramene uniforme. Ao resulado de aplicações de P em qualquer medida regular µ denoaremos por P µ. Uma medida µ M é dia ser invariane para P se Pµ = µ. Definiremos, inicialmene, o operador de nascimeno W α : M M. Informalmene, o operador de nascimeno inclui no conjuno aleaório aual subconjunos fechados [i, i+1] com probabilidade α > 0 independenemene uns dos ouros para odos i ineiros. Para cada i Z definimos o conjuno aleaório {, se Q i = 0, S i = [i,i + 1], se Q i = 1. Desa maneira, W α age no conjuno aleaório µ da seguine maneira: W α µ = µ i= S i. O operador de nascimeno é ineiramene uniforme. Ouro operador que emos é o operador de enchimeno, W D : Ω Ω. Ese operador é deerminísico e depende do parâmero D = max( l h, r h, 1). Informalmene, ele enche segmenos vazios mais curos que 2D +2. Ou seja, para cada conjuno aleaório µ R, W D µ = µ { h R : j,k µ : j < h < k, k j 2D + 2 }. Denoamos W pas, o operador de passeio aleaório, em que W pas : M M. Ese operador ransforma cada conjuno [a h,b h ], (2.1) h= onde < a 1 b 1 < a 0 b 0 < a 1 b 1 < 5
e a h+1 b h > 2D + 2 para odos h, no conjuno aleaório em que com probabilidade θ l h θr h segmenos (2.1). h= C h = {x R : a h + l h < x < b h + r h }, Os operadores W D e W pas são uniformes. C h, (2.2) onde 1 h ξ, 1 h η independenemene de ouros Definiremos um operador composo da superposição deses rês operadores e esudaremos seu comporameno; mais precisamene, vamos esudar se ele esquece a condição inicial. Observe que aplicaremos odos eses operadores para conjunos aleaórios da rea oda. Assim, ao longo desa disseração esaremos ineressados no comporameno da superposição deses operadores em que primeiro age W α seguido de W D e por úlimo W pas, esudaremos o que aconece com a condição inicial concenrada no espaço vazio sob a ação ieraiva da superposição deses rês operadores. O nosso maior resulado é o eorema principal, enunciado no capíulo 3 e demonsrado nos capíulos 5 e 6. 6
CAPÍTULO 3 O eorema principal Apresenamos nese capíulo o maior resulado desa disseração. De fao, consideremos a superposição dos operadores W pas W D W α, em que W α age primeiro, em seguida W D e depois W pas. No esado inicial emos a medida δ consideraremos a seqüência (W pas W D W α ) δ e esudaremos o comporameno do processo quando. 3.1 Ilusração do processo concenrada no conjuno vazio, A Figura 3.1 é um exemplo da ação do operador W pas W D W α. Inicialmene ocorre a ação do operador de nascimeno W α, que inclui inervalos escolhidos ao acaso com comprimeno [i, i + 1] onde i é ineiro. Em seguida, o operador de enchimeno age unindo inervalos com disância menor ou igual a 2D + 2. E, por úlimo, o operador W pas age fazendo com que os limies esquerdo e direio dos inervalos sofram mudanças aleaórias a cada passo de empo de acordo com as variáveis aleaórias L e R, em que L caraceriza o passeio aleaório do limie esquerdo de cada inervalo e R caraceriza o passeio aleaório do limie direio, respecivamene. Consideremos o empo conado a cada erço de unidade, ou seja, omando valores: 1 = 0,, 2, 1, ec. Esa conagem de empo é conforável pois no empo = 1 emos 3 3 3 o conjuno aleaório após a ação do operador W α. No empo = 2, o resulado após a 3 ação do operador W D e, finalmene em = 1 o resulado obido após a ação de W pas ; o processo coninua ieraivamene aé um empo T. Na Figura 3.1, os segmenos que perencem ao nosso conjuno aleaório foram preenchi- 7
dos com ponos, chamaremos ese conjuno de U, faremos a consrução formal dese conjuno na próxima seção. = 3 = 2 = 1 = 2/3 = 1/3 = 0 x 1 a b x 2 [ ] :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: :::::::::: ::::::::::: ::::::::::: :::::::::: ::::::::::: ::::::::::: ::::::::::::: ::::::::::::::::::: :::::::: :::::::: ::::::::::::::::::::::::: ::::::::::: ::::::::::::::::::::::::: ::::::::::: ::::::::::::::::::::::::: ::::::::::: ::::::::::::::::::::::::: ::::::::::: ::::::::::::::::::: ::::::::::: :::::::::: :::::::::: :::::::::: :::::::::: Figura 3.1: Fragmeno do processo, onde há um conorno em vola do segmeno [a,b]. Seas vericais represenam a ação de W α e W D, seas inclinadas represenam a ação de W pas. 3.2 Consrução do conjuno aleaório U em R R + Para cada conjuno regular consruiremos o conjuno U R R +. Para al, consruímos induivamene uma seqüência de conjunos onde = 0, 1, 2,. Base de indução: U 0 =. U, U [, +1/3], U [+1/3, +2/3] [+2/3, +1], U Passo de indução: Temos que U já esá definido. O conjuno U sempre perence a rea y =. Definiremos U + = U (pedaços), onde pedaços são os inervalos fechados que foram incluídos pela ação de W α. 8
Definiremos agora um conjuno que imia o funcionameno do operador de nascimeno, a saber: U [, +1/3] = {(x,y) : x U +, y + 1/3}. Lembramos que D = max( l h, r h, 1). Definimos U +1/3+ = U + {h R : j < h < k : j,k U +,k j 2D + 2}. Enão, o conjuno que imia o funcionameno do operador W D, é dado por: U [+1/3, +2/3] = {(x,y) : x U +1/3+, + 1/3 y + 2/3}. Definiremos agora o conjuno que imia o operador W pas. No inervalo de empo + 2/3 y + 1 devido à ação de W pas cada bloco [a h,b h ] ransforma-se em [a h + l h, b h + r h ], com probabilidade θ l h θr h ; l h e r h são valores das variáveis auxilares L e R, respecivamene. Um rapézio é um quadriláero que possui dois lados paralelos. Denoaremos por T h o rapézio fechado com bases [ ] [ ] (a h, + 2/3), (b h, + 2/3) e (a h + l h, + 1), (b h + r h, + 1). (3.1) A base alera-se devido às mudanças que ocorrem nos limies esquerdo e direio do bloco [a h,b h ] a cada aplicação do operador de passeio aleaório. Enão U [+2/3, +1] = h T h, e U +1 = {x : (x, + 1) U [+2/3, +1] }. O passo de indução esá definido. O conjuno U bidimensional é obido da união de odos os conjunos consruídos como acima, a saber: ) U = (U [, +1/3] U [+1/3, +2/3] U [+2/3, +1]. =0 Afirmamos que o conjuno U é fechado e mosraremos isso a seguir. Chamemos de bola com cenro s = (x 0,y 0 ) e raio r, o conjuno B(s,r) = {(x,y) : (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 r}. (3.2) 9
Definição 3.1. Seja C R 2 e s um pono do plano, não necessariamene perencene a C. Diz-se que s é pono de acumulação de C se oda bola com cenro s coném pelo menos um pono s 1 C diferene de s. Dizemos que um conjuno é fechado se coném odos os seus ponos de acumulação. Lema 3.1. Cada bola em inersecção não-vazia apenas com conjuno finio de reângulos gerados pelos operadores W α e W D e rapézios gerados pelo operador W pas. Demonsração: É basane evidene por isso omiiremos a prova. Lema 3.2. Seja C R 2. Se a inersecção de C com cada bola é fechada, enão C é fechado. Demonsração: Supomos que C não é fechado. Logo p / C : B(p,r), s C B(p,r), em ouras palavras, p é pono de acumulação de C que não perence a C. Logo p é pono de acumulação de C B(p,r) que não perence a C B(p,r). Mas iso é impossível pois, por hipóese a inersecção C B(p,r) é fechada. Lema 3.2 esá provado. Lema 3.3. O conjuno U é fechado. Demonsração: Devido ao lema 3.1, U é fechado em cada bola B(k,r). O que significa que U B(k,r) é fechado. Logo U é fechado devido ao lema 3.2. Lema 3.3 esá provado. 3.3 Lemas sobre aplicação de nossos operadores O operador W pas só pode ser aplicado para medidas regulares. Logo devemos consruir o processo e provar que iso é possível em cada passo. Lema 3.4. Para cada medida regular µ e cada S > 0 : (a) a inersecção W α µ [ S, S] depende só das variáveis Q i onde S 1 i S+1, e da resrição µ [ S,S]. (b) a inersecção W D µ [ S, S], depende só da resrição µ [ S,S]. (c) a inersecção W pas µ [ S, S], depende só das variáveis L h, R h, onde S D h S + D e da resrição µ [ S,S]. 10
Demonsração: A demonsração dese lema é evidene pois segue direamene do fao de nossos operadores serem de ineração local. Lema 3.4 esá provado. Lema 3.5. (a) Se aplicarmos o operador W α em uma medida regular, o resulado ambém será uma medida regular. (b) Se aplicarmos o operador W D em uma medida regular, o resulado ambém será uma medida regular. (c) Se aplicarmos o operador W pas em uma medida regular obida após a ação do operador W D, o resulado ambém será uma medida regular. Demonsração: Conseqüência direa do lema 3.4. Lema 3.6 (Lema-Definição.). Definimos o processo (W pas W D W α ) δ, passo a passo, cada vez provando que cada medida obida assim é regular. Demonsração: Conseqüência do lema 3.5, pois a ação de cada operador em medidas regulares resula em medidas regulares, logo a superposição dos operadores ambém resula em medida regular. Lema 3.6 esá provado. 3.4 O eorema principal Nese momeno esamos apos para anunciar o que será o principal resulado desa disseração. Definição 3.2. Dizemos que uma seqüência de conjunos aleaórios µ 1,µ 2, enche a rea se para cada segmeno [a,b] ) lim ([a,b] P µ = 1. em R Teorema 3.1 (Teorema Principal). i) Se E(L) < E(R), enão para cada α > 0 a seqüência (W pas W D W α ) δ enche a rea. ii) Se E(L) > E(R), exise α > 0 al que para odo α < α a seqüência (W pas W D W α ) δ não enche a rea. No capíulo 5 apresenamos a demonsração do iem i) e, no capíulo 6 apresenamos a demonsração do iem ii) dese eorema, respecivamene. 11
CAPÍTULO 4 Monoonicidade Definição 4.1. Chamemos de acoplameno de dois conjunos aleaórios µ e ν em R, um conjuno aleaório ρ em R 2, al que µ e ν são as marginais de ρ. Sejam µ e ν dois conjunos aleaórios. Diremos que µ ν se eles possuem acoplameno ρ al que ρ(µ ν) = 1. Definição 4.2. Um operador aleaório P : M M é chamado monóono se µ ν Pµ Pν. Lema 4.1. Os operadores W α e W D são monóonos. Demonsração: É evidene se uilizar a écnica de acoplameno. Lema 4.1 esá provado. Lema 4.2. Se µ, ν são δ medidas, seu acoplameno é δ medida ambém. Demonsração: Suponha, por conradição, que o acoplameno ρ de µ e ν não é uma δ medida. Logo exise uma componene x j e dois valores diferenes para ela, a e b ais que ρ(x j = a) > 0 e ρ(x j = b) > 0. Se a componene x j perence ao espaço onde µ é dada, enão µ(x j = a) > 0 e µ(x j = b) > 0, logo µ não é δ medida, conradição com a suposição que µ é δ medida. 12
Se considerarmos que a componene x j perence ao espaço onde ν é dada, por analogia, concluiremos que ν não é δ medida, que conradiz a suposição inicial. Lema 4.2 esá provado. Lema 4.3. Se µ, ν são regulares, enão seu acoplameno ambém é regular, iso é, sua resrição para cada [ C,C] [ C,C] é uma combinação linear de δ medidas. Demonsração: Conseqüência direa do lema 4.2 Lema 4.4. O operador W pas é monóono sempre que aplicado em medidas regulares obidas a parir da ação do operador de enchimeno. Demonsração: Sejam µ e ν dois conjunos aleaórios regulares ais que µ ν. Provemos que W pas µ W pas ν. Dado que µ ν, µ e ν êm acoplameno ρ al que ρ(µ ν) = 1. Devido ao lema 4.3 ρ é regular. Tomemos C > 0 qualquer e provemos que (W pas µ)[ C,C] (W pas ν)[ C,C]. Denoamos ρ 1 [ C,C] 2,,ρ k [ C,C] 2 as δ medidas cuja combinação linear é ρ[ C,C] 2. Para cada ρ i denoamos por µ j e ν j suas marginais. É suficiene provar que (W pas µ j )[ C,C] (W pas ν j )[ C,C] para cada j. Como µ j ν j, cada segmeno de µ j esá incluído num segmeno de ν j. Para cada segmeno de ν j denoamos de x 1 l j seu pono final esquerdo e por x 2 l j o pono final esquerdo do mais esquerdo segmeno de µ j conido nele. Analogamene, para cada segmeno de ν j denoamos de x 1 r j seu pono final direio e por x 2 r j o pono final direio do segmeno mais direio de µ j conido em ν j. Supomos o acoplameno de medidas auxiliares ζ. Nese acoplameno os valores de ξ(x 1 l j ) e ξ(x 2 l j ) coincidem, bem como os valores η(x 1 r j ) e η(x 2 r j ). Seguine ese acoplameno, ζ(w pas µ)[ C, C] ζ(w pas ν)[ C, C]. Lema 4.4 esá provado. Ilusramos ese fao na figura a seguir: 13
ν [ ] a j = x 1 l j b j = x 1 r j µ [ ] x 2 l j = c j,1 d j,1 [ ] c j,nj d j,nj = x 2 r j Figura 4.1: Ilusração de duas medidas regulares obidas após a ação de W D µ ν uilizando a écnica do acoplameno. em que Definição 4.3. Sejam P e Q operadores. Dizemos que P precede Q, e denoamos P Q se Pµ Qµ para cada conjuno aleaório µ. Lema 4.5. Para cada medida regular µ : (i) µ W D µ; (ii) µ W α µ; Demonsração: É evidene pois os operadores W D e W α aumenam o conjuno aleaório a cada passo do processo de ieração. Lema 4.6. W pas W pas W D W α. Demonsração: Observamos que µ W D W α µ para odo µ regular, conseqüência direa da monoonicidade dos operadores W D e W α e do lema 4.5. Observamos que W pas sempre é monóono se aplicado em medidas regulares obidas após a ação de W D, do lema 4.2. Logo W pas µ W pas W D W α µ pois é uma superposição de operadores monóonos. Lema 4.6 esá provado. 14
CAPÍTULO 5 Demonsração pare I Suporemos que E(L) < E(R). Por conveniência gosaríamos que E(L) < 0 e E(R) > 0. Devido a uniformidade de W pas, podemos definir L = L + s e R = R + s, variáveis aleaórias discreas acrescidas de uma consane real s, onde Desa maneira: s = 1 (E(L) + E(R)). 2 E(L ) = E(L + s) = E(L) + s = E(L) 1 2 (E(L) + E(R)) = 1 (E(L) E(R)), 2 uilizando a suposição que E(L) < E(R), em-se analogamene, fazemos E(L ) = 1 (E(L) E(R)) < 0, (5.1) 2 E(R ) = E(R + s) = E(R) + s = E(R) 1 2 (E(L) + E(R)) = 1 (E(R) E(L)), 2 segue que: E(R ) = 1 (E(R) E(L)) > 0. (5.2) 2 Após ermos feio esa mudança, renomeamos R = R e L = L e passamos a usar simplesmene R e L. Para a demonsração do iem i) do eorema principal, faremos uma analogia com o problema da ruína do jogador uilizando uma versão generalizada. 15
5.1 O problema da ruína do jogador Ese é um problema clássico da eoria de Probabilidade e consise de um jogador que possui um capial inicial C, e a cada jogada ganha uma moeda com probabilidade p, e perde uma moeda com probabilidade 1 p. O jogo ermina quando o capial do jogador ermina, ou seja, o jogador fica arruinado. Aplicações da Física sugerem uma versão mais geral. Uma parícula em esado inicial em C, e se move em cada passo de empo discreo de uma unidade posiiva, ou negaiva. O passeio ermina quando a parícula chega em 0. Físicos uilizam modelos de passeios aleaórios para aproximar uma difusão unidimensional ou o movimeno Browniano, onde a parícula física é exposa a um grande número de choques moleculares que produzem um movimeno aleaório, (Feller, 1968). 5.1.1 Generalização do problema da ruína do jogador Nesa seção consideraremos uma generalização do problema da ruína do jogador. Para al admiimos que a cada passo do processo o jogador pode ganhar qualquer valor real limiado (posiivo, em caso de viória, ou negaivo em caso de perda). Consideremos uma seqüência de variáveis aleaórias independenes e idenicamene disribuídas G 1,G 2,. Cada v.a. G j represena o ganho em cada passo do processo. Assumimos g 1, com probabilidade θ1, g g 2, com probabilidade θ2, g G j =. g h, com probabilidade θ g h. Enão: S = G 1 + G 2 + + G + C, (5.3) onde C é o capial inicial do jogador e S é o capial no empo. Mosraremos aravés dos lemas seguines que, se o capial inicial C for suficienemene grande, a probabilidade do jogador ficar arruinado é pequena. Lema 5.1. Se E(G 1 ) > 0, exise q (0, 1) al que E(q G 1 ) < 1. Demonsração: Chamemos f(q) = E(q G 1 ) = n q gj P(G 1 = g j ). (5.4) j=1 16
A derivada de f(q) com respeio a q é: df dq = d ( ) E(q G 1 ) dq ( ) d = E dq (qg 1 ) = = = n j=1 n j=1 d dq (qg j )P(G 1 = g j ) θ g j d dq (qg j ) n θ g j g j q gj 1. j=1 Se q = 1, emos f(1) = E(1 G 1 ) = E(1) = 1, e df dq = q=1 n n g j θ g j = g j P(G 1 = g j ) = E(G 1 ). j=1 j=1 Da hipóese do nosso lema, E(G 1 ) > 0. Logo a função f(q) é crescene no pono q = 1. Desa maneira exise q (0, 1) al que f(q) < 1, logo E(q G 1 ) < 1. Lema 5.1 esá provado. Lema 5.2. Se 0 < q < 1, P(S < 0) E(q S ). (5.5) Demonsração: Dado que q < 1 enão q j > 1 para cada i < 0. Logo E(q S ) = j q j P(S = j) j<0 q j P(S = j) j<0 P(S = j) = P(S < 0). Lema 5.2 esá provado. 17
Para a demonsração do próximo lema uilizaremos a seguine igualdade: E(q S ) = E(q C+G 1+ +G ) = E(q C q G1 q G ) = q C E(q G 1 ) E(q G ) pois G j são variáveis aleaórias i.i.d. e C é o capial inicial. Lema 5.3. Se E(G 1 ) > 0 enão Demonsração: É claro que = q C (E(q G 1 )), (5.6) lim P( : S < 0) = 0. C P( : S < 0) P(S < 0). Sabemos do lema 5.2 que para odo q (0, 1) P(S < 0) E(q S ). Por ouro lado, do lema 5.1 exise q (0, 1) al que E(q G 1 ) < 1. Ainda, de (5.6) E(q S ) = = q C q C (E(q G 1 )) (E(q G 1 )) (5.7) ende para zero quando C ende para infinio. Assim: Lema 5.3 esá provado. = q C E(q G 1 ) 1 E(q G 1 ). (5.7) lim P( : S < 0) = 0. C 5.2 Demonsração do iem i) do eorema principal Anunciaremos inicialmene alguns lemas que serão necessários para esa demonsração. 18
5.2.1 Lemas auxiliares Suponhamos que em algum deerminado empo 0 o conjuno regular µ possua um segmeno [a,b], onde a S C, b S + C, aqui S é uma consane fixa que escolhemos. Vamos analisar o que aconece com ese inervalo quando o empo cresce para infinio. Devido ao lema 4.6, podemos supor que só o operador W pas operadores W D e W α. A cada passo do empo a froneira esquerda pode se deslocar por um valor l h age sem os probabilidade θh l, correspondene à variável L. Siuação análoga ocorre com a froneira direia e a variável R, desa maneira cada froneira sofre uma mudança aleaória em cada passo de empo. Lema 5.4. Seja E(L) < 0 e E(R) > 0. Para cada ε > 0 e cada S, exise C al que se omarmos o conjuno regular inicial [a,b], onde com a S C, b S + C e aplicarmos o operador W pas ieraivamene, a probabilidade de que o segmeno ( S, S) sempre é cheio não é menor que 1 ε. Demonsração: Seja ε > 0 qualquer. Baseado no lema 5.3 podemos escolher C al que para odos C > C a froneira esquerda do inervalo [a,b] desloca-se para o lado direio de S com probabilidade não mais que ε/2. De maneira análoga, ainda do lema 5.3, podemos escolher C al que para odos C > C a froneira direia do inervalo desloca-se para o lado esquerdo de S com probabilidade não mais que ε/2. De onde podemos concluir que a probabilidade de que pelo menos um deses aconece não é maior que ε. Lema 5.4 esá provado. Lema 5.5. Seja E(L) < 0, E(R) > 0 e α > 0. Logo (W pas W D W α ) δ enche a rea quando. Demonsração: Denoamos µ = (W pas W D W α ) δ. Devemos provar que para cada a e b, em que a < b : ( ) ε > 0 T T : P µ [a,b] 1 ε. (5.8) 19
Escolhemos ε > 0 qualquer. Uilizamos ambém os parâmeros T e C, cujos valores escolheremos poseriormene. Para cada [1, T] consideramos o eveno: E = {Q : i [a C 1, b + C + 1] : Q i = 1}. O eveno E é uma garania de que µ inclui o segmeno [a C, b + C]. As variáveis auxiliares Q i são independenes. Cada uma assume valor 1 com probabilidade α e zero com probabilidade 1 α. Desa maneira, P(E ) α 2C+b a+2 logo P(não E ) 1 α 2C+b a+2. Chamemos de primeiro fracasso o eveno: E não aconece para nenhum [1,T]. Assim a probabilidade do primeiro fracasso ocorrer é (1 α 2C+b a+2 ) T. Esa probabilidade ende para zero quando T. Logo para cada C exise T al que (1 α 2C+b a+2 ) T ε 3. [F 1] Vamos escolher primeiro C; logo que C seja escolhido, escolhemos depois o valor de T. Suponhamos que o primeiro fracasso não aconece, iso é, pelo menos um eveno E aconeceu. Denoamos por 0 o valor de quando E aconece pela primeira vez. Em seguida definimos as seqüências de variáveis aleaórias A 0,A 0 +1, e B 0,B 0 +1, de maneira induiva: Base de indução: se = 0, A 0 = a C. Passo de indução: A 0 +1 = A 0 + L 0. De maneira análoga, Base de indução: se = 0, B 0 = b + C. Passo de indução: B 0 +1 = B 0 + R 0. Esas seqüências de variáveis aleaórias perfazem passeios aleaórios nas froneiras esquerda e direia do inervalo aleaório que perence ao nosso conjuno, respecivamene. Do lema 5.4 emos que: P( : A 0 > a) ε 3, [F 2] 20
ainda P( : B 0 < b) ε 3. [F 3] Chamemos de fracasso de ipo dois o eveno { : A 0 > a}. Informalmene, o fracasso ipo dois aconece quando a froneira esquerda do nosso inervalo aleaório passa aravés de a. A fórmula [F 2 ] significa que a probabilidade dese fracasso não excede ε/3. E fracasso de ipo rês o eveno: { : B 0 < b} iso é, a froneira direia do inervalo aleaório que perence ao nosso conjuno passa aravés de b. A probabilidade dese eveno ambém não excede ε/3. Dos rês resulados aneriores, emos que a probabilidade de cada fracasso não excede ε/3, logo a probabilidade que nenhum fracasso aconece não é menor que 1 ε. Mas a ausência de odos os rês fracassos é uma garania de ocorrência do eveno: µ [a,b] para odos T. Logo a desigualdade (5.8) esá verificada. Lema 5.5 esá provado. Conseqüenemene, para provarmos o iem i) do eorema principal basa observarmos do lema 5.5 que se E(L) < E(R), enão a seqüência (W pas W D W α ) δ enche a rea, e iso é o que queremos provar. Iem i) do eorema principal esá provado. 21
CAPÍTULO 6 Demonsração pare II Nese capíulo provaremos o iem ii) do eorema principal. Para al mosraremos que para odas L, R onde E(L) > E(R) exise α > 0 al que se α < α, a seqüência de medidas µ = (W pas W D W α ) δ não enche a rea. Para provar iso, vamos esimar a probabilidade de presença do inervalo [a, b] no conjuno aleaório, iso é ) P ([a,b] µ. Incluímos ese eveno numa união de vários evenos. Logo sua probabilidade não excede a soma das probabilidades deses evenos. 6.1 Algumas definições Supomos que E(L) > E(R), mas gosaríamos de er mais, ou seja gosaríamos que E(L) > 0 e E(R) < 0. Para ano definimos as variáveis aleaórias como fizemos no capíulo 5: L = L + s e R = R + s. Com L e R assim definidas emos que E(L ) > 0 e E(R ) < 0. Tão logo enhamos esas propriedades, renomeamos L = L e R = R. Uilizaremos as seguines definições na demonsração do iem ii) do nosso eorema principal. Definição 6.1. Diremos que uma mariz de elemenos reais M = m lk, (l = 1,,j; k = 1,,k) 22
é não negaiva e escrevemos: M 0 (posiiva e escrevemos: M > 0 ), se odos os elemenos m lk 0 ( m lk > 0 ). Definição 6.2. Seja M uma mariz quadrada de ordem n. M é dia ser reduível se exise uma permuação de índices que a reduz na forma: ( ) M M11 0 = M 21 M 22 onde M 11 e M 22 são marizes quadradas. Em ouro caso M é dia ser irreduível. Definição 6.3. Se M é uma mariz quadrada de ordem n e I é a mariz idenidade de mesma ordem n, definimos o polinômio caracerísico de M como: p(λ) = de(λi M). Dizemos que um auovalor é dominane, se ele é uma raiz simples posiiva do polinômio caracerísico p(λ). Consideremos agora o eorema: Teorema 6.1 (Perron-Frobenius). Seja M uma mariz quadrada irreduível nãonegaiva de ordem n. Enão sempre exise um auovalor r, que é uma raiz simples do polinômio caracerísico de M. Os módulos de odos os ouros auovalores são menores que r. A ese auovalor dominane r, emos um auoveor associado com coordenadas posiivas. Demonsração: Desde sua publicação em 1907, várias demonsrações surgiram para ese eorema, uma das quais pode ser visa em Ganmacher (1959). Corolário 6.1. Uma condição necessária e suficiene para que o número real λ seja maior que o auovalor dominane r da mariz quadrada de ordem n, M = (m lk ) 0, r < λ é que, para ese valor de λ, odos os menores principais dominanes da mariz caracerísica M λ = λi M sejam posiivos, iso é: λ m 11 > 0, λ m λ m 11 m 12 m 1n 11 m 12 m 21 λ m 22 > 0,, m 21 λ m 22 m 2n > 0 m n1 m n2 λ m nn Demonsração: A demonsração dese corolário pode ser visa em Ganmacher, (1959). 23
6.2 Classificação de U [0, T] em classes de equivalência Denoamos U [0,T] = {(x,) U : T }. Definição 6.4. Uma curva do pono (x 0,y 0 ) ao pono (x 1,y 1 ) no plano R 2 função conínua f x : [0, 1] R 2 al que f(0) = (x 0,y 0 ) e f(1) = (x 1,y 1 ). é uma Seja um conjuno C R 2, e dois ponos a,b C. Dizemos que a relaciona-se com b em C e noamos a b, se exise uma curva em C onde a é pono inicial e b é pono final. Lema 6.1. Para cada C a relação a b é uma relação de equivalência. Demonsração: Devemos verificar as seguines relações: (i) a : a a. Seja a = (x,y). Enão definimos h : f(h) (x,y). Ou seja, para qualquer que seja h [0, 1] emos uma curva consane em a. (ii) a,b : a b b a. Suponhamos que a b, logo emos uma curva de a a b. Para verificar a relação (ii) basa considerarmos a função f (h) = f(1 h), a parir dela emos uma curva com pono inicial em b e pono final em a, ou ainda: b a. (iii) a,b,c : a b, b c a c. Seja f 1 uma curva de a = (x 0,y 0 ) a b = (x 1,y 1 ). E seja f 2 uma curva de b = (x 1,y 1 ) a c = (x 2,y 2 ). Definimos a nova curva f 3 assim: { f 3 f 1 (2h), 0 h 1/2, (h) = f 2 (2h 1), 1/2 h 1. Lema 6.1 esá provado. Devido ao lema 6.1 cada conjuno no plano pode ser parido em classes de equi-valência onde dois ponos a e b são equivalenes se a b. Consideramos a parição de U [0, T] nesas classes de equivalência e omamos a classe que inclui o segmeno [(a,t), (b,t)] e a denoamos por J. 24
Definição 6.5. Uma curva é dia ser fechada se seus ponos inicial e final coincidem, ou seja f(0) = f(1). A froneira de J é uma curva fechada. Se percorrida no senido posiivo (ani-horário) ela consise do segmeno [a,b] (passado de b para a ) e uma seqüência de segmenos. 6.3 Caminhos Durane o processo ieraivo pode ocorrer que um segmeno [i,i + 1] onde i Z, cruza uma componene de nosso conjuno, conforme ilusramos a seguir: = 5 = 4 = 3 = 2 = 1 = 0 α α :::: :::::::::::: :::::::::::::::: α Figura 6.1: Ilusração de um possível fragmeno de caminho durane o processo ieraivo. Esa é a classe que inclui o segmeno [(a,t), (b,t)]. Nese fragmeno será excluída a pare preenchida com ponos. Eliminaremos a pare da componene que fica abaixo dese segmeno (pare cheia com ponos) e consideraremos no caminho o passo de ipo α. De cada curva fechada de J eliminamos odos os passos vericais, ou seja odos os passos para baixo e para cima gerados pelos operadores W α e W D e definimos nosso caminho como: Definição 6.6. O caminho, salvo [a,b], é a seqüência de segmenos descrios abaixo. (i) para baixo do ipo : são segmenos ( x, ), onde x { l 1,, l ξ } e = 1. (ii) horizonal para a direia do ipo α : são segmenos ( x, ), onde x (0, 1] e = 0. 25
(iii) horizonal para a direia do ipo D : são segmenos ( x, ), onde x (0, 2D + 2] e = 0. (iv) para cima do ipo : são segmenos ( x, ), onde x {r 1,,r η } e = 1. A Figura 6.2 é um exemplo de caminho que possui os quaro ipos de passos enunciados aneriormene. Ese é um caminho correo, que definiremos na próxima seção. α D D α α Figura 6.2: Exemplo de um possível caminho que pode ocorrer em [1,T] para a classe J. 6.3.1 Caminho correo Chamaremos de caminho correo H, cada caminho que possui as seguines propriedades: a) o caminho começa num pono (x 1,T), x 1 a. b) o caminho é uma seqüência de segmenos de reas. Chamaremos eses segmenos de passos. Cada passo pode ser considerado como um veor ( x, ). 26
c) Cada passo do caminho pode er um dos ipos, α, D,. Enão: se emos passo do ipo j, x { l 1,, l ξ }, = 1, se emos passo do ipo α, x (0, 1], = 0, se emos passo do ipo D, x (0, 2D + 2], = 0, se emos passo do ipo k, x {r 1,,r η }, = 1. d) Cada seqüência de dois passos permiida em um caminho esá apresenada na abela abaixo. Represenamos com o sinal + uma seqüência permiida e com 0 uma que não é permiida. Segundo passo α D + + 0 0 Primeiro α + + + + passo D + + 0 0 0 + + + Esa mesma abela pode ser represenada pelo seguine diagrama: D α e) O primeiro passo é do ipo ou α; f) O úlimo passo em ipo α ou ; g) O caminho acaba num pono (x 2,T), x 2 b. À diferença x 2 x 1 chamaremos de avanço do caminho. Denoamos por H o comprimeno do caminho, ou seja, número de passos no caminho. 6.3.2 Código correo Para cada caminho H associamos um código C, iso é, a seqüência de ipos de passos dese caminho. Logo, Definição 6.7. Um código C é uma seqüência finia de símbolos al que cada símbolo perence ao conjuno: { 1,, ξ, α, D, 1,, η }. 27
Chamemos 1,, ξ de símbolos para baixo, α e D símbolos horizonais e 1,, η símbolos para cima. Chamemos de comprimeno do código, e denoamos por C, o número de símbolos do código. Para cada símbolo definimos o avanço horizonal, o qual denoamos por AH(C). Definimos ambém, o avanço verical denoado por AV (C). A abela a seguir explicia o avanço horizonal e verical de cada símbolo: Símbolo AH(C) AV (C) j l j -1 k r k 1 α 1 0 D 2D + 2 0 Definição 6.8. Dizemos que um código é correo se saisfaz as condições: 1. Seu primeiro símbolo é para baixo ou horizonal. 2. Se s j e s j+1 são símbolos consecuivos, são proibidas as seguines seqüências de símbolos: s j é para baixo, s j+1 é para cima, s j é para baixo, s j+1 é D, s j é D, s j+1 é D, s j é D, s j+1 é para cima, s j é para cima, s j+1 é para baixo Noa: Observe que a condição 2. da definição de código correo corresponde à condição d) da definição de caminho correo. 3. AH(C) b a e AV (C) = 0. 4. Seu úlimo símbolo é horizonal ou para cima. Dizemos que um caminho realiza um código C se a seqüência de ipos de passos dese caminho coincide com o código C. 28
6.3.3 Peso do caminho e peso do código Definição 6.9. Definimos por peso do passo a probabilidade do passo ocorrer. Enão Peso do passo j P(L = l j ), Peso do passo k P(R = r k ), Peso do passo α α, Peso do passo D 1. Chamaremos de peso do caminho o produo dos pesos de seus passos. Definição 6.10. Definimos peso do símbolo como a seguir Peso do símbolo j P(L = l j ), Peso do símbolo k P(R = r k ), Peso do símbolo α α, Peso do símbolo D 2D + 3. Chamaremos de peso do código o produo dos pesos de seus símbolos. Noa. Observe que os pesos dos passos são iguais aos pesos dos símbolos, com exceção de um caso, a saber: o passo de ipo D em peso 1, enquano que o símbolo de ipo D em peso igual a 2D + 3. 6.3.4 Relações enre caminhos e códigos Lembramos que esamos ineressados na probabilidade do eveno ([a,b] µ T ) ocorrer. Como já mencionado no início dese capíulo, incluímos ese eveno numa união de evenos, logo: Lema 6.2. Para odos T, ) P ([a,b] µ T Demonsração: O eveno é a froneira de J, odos caminhos correos ([a,b] µ T ) odos caminhos correos peso(h) (6.1) esá incluso na união de evenos: ese caminho (ese caminho percorre a froneira de J ), logo a probabilidade dele não excede a soma de probabilidades deses evenos, o que implica (6.1). Lema 6.2 esá provado. 29
Lema 6.3. Suponha que o caminho H realiza o código C. Enão AH(H) AH(C). Demonsração: Dado que o caminho H realiza o código C, enão cada símbolo horizonal de ipo α e D dese código assume o valor maximal 1 e 2D+2, respecivamene. Lema 6.3 esá provado. Lema 6.4. (a) O final de cada passo de ipo α que é sucedido por um passo de ipo é um número ineiro. (b) O início de cada passo de ipo α que é precedido por um passo de ipo é um número ineiro. Demonsração: Ese fao é evidene por isso omiiremos a prova. Lema 6.5. Sejam H 1 e H 2 dois caminhos que realizam o mesmo código C : (a) Consideremos um símbolo ipo α em C. A diferença dos comprimenos dos passos em H 1 e H 2 que correspondem a ese símbolo é um número ineiro. (b) Consideremos um símbolo ipo D em C. A diferença dos comprimenos dos passos em H 1 e H 2 que correspondem a ese símbolo é um número ineiro. (c) A diferença enre avanços horizonais de H 1 e H 2 é um número ineiro. Aribuímos para cada símbolo no código C uma alura, a qual é dada por T acrescido da soma de avanços vericais de odos os símbolos aneriores incluindo ese símbolo. A alura do primeiro símbolo é T. Demonsração de (a) Faremos indução na ordem de crescimeno de. Base de indução: Consideremos o valor minimal de, para o qual emos um símbolo α. Enão pode aconecer somene um dos casos: αα, ααα, αα, α. Em cada deses casos ambos ponos finais de nosso passo são ineiros, pois é conseqüência direa do lema 6.4. Passo de indução: Suponha que nossa afirmação já esá provada para valores menores de. Devemos mosrar a veracidade para. Temos um deses casos: α, αα, α, αα, ααα, αα, αα, α, αd, αd. 30
Sejam h 1 e h 2 os passos nos caminhos H 1 e H 2, respecivamene, que correspondem a ese símbolo α. caso α : Segundo o lema 6.4, as coordenadas iniciais x 1 do passo h 1 e x 1 do passo h 2 são números ineiros. Depois de h 1 e h 2 podem ocorrer vários passos de ipo, os quais são sucedidos por um passo de ipo α. As coordenadas iniciais dese passo, x 2 para H 1 e x 2 para H 2, são números ineiros, conseqüência do lema 6.4. O comprimeno de h 1 é dado pela diferença: (x 2 k) x 1, onde k é o avanço horizonal dos passos ipo. Analogamene, o comprimeno de h 2 é dado por: (x 2 k) x 1. E porano a diferença dos comprimenos de h 1 e h 2 é um número ineiro. Ilusramos ese possível caso aravés da Figura 6.2. α α = 0 Figura 6.3: Ilusração do caso (a) do lema 6.5 desacando a seqüência de símbolos: α. caso ααα : Devido a definição do operador W α, as coordenadas inicial e final de cada passo ipo α são ineiras, logo as diferenças dos comprimenos dos passos h 1 e h 2 são ineiras. De maneira basane parecida mosra-se para odos os ouros casos que a diferença de comprimenos dos passos h 1 e h 2 que correspondem ao mesmo símbolo α é um número ineiro. Noa: Observe que o caso α é impossível. Suponha que emos um passo de ipo α precedido por um passo de ipo e sucedido por um passo. Enão AH( ) D, AH( ) D e AH(α) 1. Porano o avanço horizonal desa seqüência não excede 2D + 1. Logo anes dese caso aconecer o buraco seria enchido devido ao passo de ipo D. Ilusramos ese caso a seguir: Demonsração do iem (b) Suponha que emos um símbolo D; vamos analisar o que 31
α = 0 Figura 6.4: Ilusração da seqüência de passos impossíveis α, pois a disância enre os ponos abaixo dos passos e é menor que 2D + 2. aconece anes e depois de D. Aqui emos quaro possíveis seqüências, a saber: αdα, Dα, αd, D. Todas elas são análogas. Consideraremos o caso mais complicado, D. Sejam h 1 e h 2 os passos nos caminhos H 1 e H 2, respecivamene, que correspondem a ese símbolo D. Anes de h 1 e h 2 exisem vários (alvez nenhum) passos de ipo precedidos por um passo α, cuja coordenada final é um número ineiro, do lema 6.4. Depois de cada h 1 e h 2 exisem vários (alvez nenhum) passos de ipo, sucedidos por passos de ipo α cujo começo em coordenada ineira, do lema 6.4. O comprimeno de h 1 é dado por: (x 2 k 2 ) (x 1+k 1 ) em que k 1, k 2 são os avanços horizonais dos passos e, respecivamene. De maneira análoga, o comprimeno de h 2 é (x 2 k 2 ) (x 1 + k 1 ). Porano, a diferença dos comprimenos de h 1 e h 2 é um número ineiro. Ilusramos a seguir ese caso: Demonsração de (c) Conseqüência do fao da diferença dos comprimenos de cada dois passos horizonais (ipo α ou D ) serem um número ineiro, como demonsrado pelos íens (a) e (b). Lema 6.5 esá provado. Lema 6.6. Sejam H 1 e H 2 dois caminhos que realizam o mesmo código C : (a) Os comprimenos de passos em H 1 e H 2 que correspondem a α são iguais. (b) Para cada símbolo de ipo D dese código exisem não mais que 2D + 2 possíveis valores de comprimenos (ou avanços horizonais) de passos que realizam ese símbolo. 32
α D α = 0 Figura 6.5: Ilusração do iem (b) do lema 6.5 onde um passo de ipo D pode ser precedido por passos de ipo ou α e sucedido por passos de ipo ou α. Demonsração de (a) Conseqüência imediaa do fao de que o comprimeno de qualquer passo de ipo α perence a [0, 1] e do lema 6.5. Demonsração de (b) Evidene pois exise número d (0, 1], quais realizam ese símbolo, al que odos passos omam só valores d, d + 1,, d + 2D + 1. Lema 6.6 esá provado. Lema 6.7. Para cada código C o número de caminhos, que realizam ese código não excede o avanço horizonal dese código muliplicado por (2D + 2) k onde k é o número de passos de ipo D dese código. Demonsração: Dizemos que dois caminhos são congruenes se um pode ser obido do ouro por uma ranslação horizonal. Consideremos classes de equivalência, onde caminhos congruenes são equivalenes. Do lema 6.6 iem (b), para cada símbolo de ipo D, os passos correspondenes podem er no máximo 2D+2 possíveis comprimenos, logo o número de possíveis caminhos não congruenes que realizam ese código não excede (2D + 2) k, em que k é o número de símbolos ipo D em C. Segundo o lema 6.5 iem (c), para cada dois caminhos que realizam o mesmo código C, a diferença enre os avanços horizonais deses caminhos é um número ineiro. Logo o número de possíveis caminhos em cada classe de equivalência não excede (x 2 x 1 ). Porano, o número de caminhos que realizam o código C não excede (x 2 x 1 ) (2D+2) k. Lema 6.7 esá provado. 33
Lema 6.8. O comprimeno do código correo C não é menor que AH(C) (2D + 2). (6.2) Demonsração: Como o avanço horizonal de cada símbolo não excede 2D + 2, emos que AH(C) (2D + 2) C. de onde segue imediaamene (6.2). Lema 6.8 esá provado. Lema 6.9. Para cada n, o conjuno de caminhos correos com n passos é finio. Demonsração: Conseqüência direa do lema 6.7. 6.4 Esimações T, A parir do lema 6.7 emos que a soma do lado direio de (6.1) não excede, para odos ) P ([a,b] µ T peso(c) AH(C) (2D + 2) k, (6.3) onde o somaório é feio sobre odos os códigos correos. Lembremos que AH(C) b a e AV (C) = 0, para odo código correo. Aqui k é o número de símbolos ipo D no código C. Logo nossa arefa é esimar o lado direio de (6.3). Definição 6.11. Dizemos que um código é quase-correo se saisfaz as condições 1, 2 e 3 da definição 6.8 (definição de código correo). Definição 6.12. Denoamos por σ n m(x,) (6.4) a soma dos pesos dos códigos quase-correos, os quais em avanço horizonal x, avanço verical, comprimeno n e o n ésimo símbolo de ipo m {, α, D, }. Noa: Observe que σm(x,) n é finio para odo n naural, pois é soma de pesos de códigos, os quais por sua vez são finios. Denoamos, A = θ1 l p l 1 + θ2 l p l 2 + + θξ l p l ξ = θj l p l j = E(p L ), j B = θ1 r p r 1 + θ2 r p r 2 + + θη r p rη = θj r p r j = E(p R ). j (6.5) 34