Eercício : Calcule + e +. Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a istância do Estado do Rio de Janeiro Centro de Educação Superior a istância do Estado do Rio de Janeiro Cálculo IV EP Tutor da onde é a região compreendida pelas retas,, + Solução: Calcular diretamente essa integral seria penoso pela compleidade da região de integração. Mas a ocorrência das epressões e + no integrando e também nas equações da fronteira sugere a seguinte transformação: u + e v donde u + v e u v. O jacobiano J é dado por J, ) u, v) u u v v 4 4. Com essa transformação a fronteira de uv é formada pelas retas v, v, u e u v uv u Assim, pela fórmula da mudança de variáveis temos: + da v uv u J dudv v dudv v uv u u dudv v [ ln u ] dv vln ln ) dv ln v dv ln. 4 Eercício : Use a transformação u e v para determinar primeiro quadrante, limitada por,, e 4. Solução: O esboço da região está representado na figura que se segue. da da região do
Cálculo IV EP Tutor v 4 uv 4 u Com essa transformação, a região transforma-se na região uv limitada pelas retas u, u, v e v 4. Temos: u u J u, v), ) v v u. Logo:, ) u, v) J u u. e u / e v temos que uv. Portanto, o integrando transforma-se em v uv uv. Assim, da fórmula da mudança de variáveis temos: da uv,) uv u, v) dudv uv dudv v dudv uv u uv 4 v dvdu [ v ] 4 du 6 64 ) du 6 [ ] u ). Eercício : Calcule a integral dupla +. e + ) da onde é a região contida na circunferência Solução: O esboço da região está representado na figura que se segue. Consórcio CEERJ
Cálculo IV EP Tutor Passando para coordenadas polares, vemos que + r e da r drdθ. escrição de em coordenadas polares Efetuando uma varredura em no sentido anti-horário a partir do eio positivo vemos que θ π. A equação + transforma-se em r ou r. Assim, para θ fio, fazemos r crescer de r a r. Logo rθ é dado pelas desigualdades θ π e r. Portanto: e + ) da π Eercício 4: Calcule rθ e r r drdθ e r r) drdθ π π [e r] desigualdade + ou + ). e r r drdθ dθ e ) π dθ e ) π. + dd onde é o disco centrado fora da origem, dado pela Solução: O esboço de está representado na figura a seguir. Passando para coordenadas polares temos: r cos θ r sen θ. dd r drdθ + r O integrando + transforma-se em r r /. escrição de em coordenadas polares Efetuando uma varredura em no sentido anti-horário a partir do eio positivo vemos que θ varia de a π. A equação da circunferência + transforma-se, em coordenadas polares, em r r sen θ donde r sen θ é a equação polar da circunferência. { Assim, para θ fio, fazemos θ π r crescer de r a r sen θ. Logo, rθ é dado por rθ : r sen θ. Consórcio CEERJ
Cálculo IV EP Tutor 4 θ π π/ r Então: Mas: + dd r r drdθ r drdθ rθ rθ π [ r ] sen θ dθ 8 π sen θ dθ. sen θ sen θ sen θ cos θ ) sen θ. π sen θ r drdθ Fazendo u cos θ temos du sen θ dθ. Para θ temos u e para θ π temos u. Então: I 8 8 π cos θ ) sen θ dθ 8 u )du 8 ] [u u 8 u ) du) 8 [ ) + u ) du )] 8 ) 9. OBS.: Vocês notaram que um disco centrado na origem transforma-se em um retângulo no plano rθ e que um disco centrado fora da origem não se transforma em um retângulo no plano rθ? Eercício 5: Calcule da onde é a região no primeiro quadrante fora da circunferência + r e dentro do cardióide r + cosθ). Solução: Passsando para coordenadas polares temos r sen θ, + r e da r drdθ. Esboço de Seja r + cosθ). Para θ, θ π/, θ π, θ π/ e θ π temos, respectivamente, r 4, r, r e r. e r 4 temos + 4. Assim, o esboço da região está representado na figura que se segue. Consórcio CEERJ
Cálculo IV EP Tutor 5 P sai em r + cos θ) entra em r 4 Efetuando uma varredura em no sentido anti-horário a partir do eio positivo onde θ ) até o eio positivo onde θ π/), vemos que θ π/. Considerando um ponto P no interior de, vemos que { a semirreta OP entra em em r e sai de em r + cosθ). θ π/ Então temos que rθ : r + cosθ). Assim: da + π/ π/ sen θ π/ [ +cos θ) r sen θ rθ r r drdθ r drdθ r sen θ drdθ rθ π/ [ r sen θ ] +cos θ) dθ sen θ [ 4 + cosθ) 4 ] π/ 4 + cosθ + cos θ ) sen θ dθ cos θ + cos θ ) cos sen θ) dθ [ θ + )] 8. ] + cos θ π/ Eercício 6: Calcule as integrais transformando-as em coordenadas polares. a) + ) / dd b) 8 sen + + )dd Solução: a) Temos que: onde I + ) / dd + ) / dd {,) R, }. Consórcio CEERJ
Cálculo IV EP Tutor 6 Logo, está entre as retas e e está limitada inferiormente pela reta e superiormente pela curva ou + ), com. Assim, o esboço da região está representado na figura que se segue. Passando para { coordenadas polares temos + r e da rdrdθ e, rθ é dado pelas desigualdades rθ : θ π r. Então: I ) r / r drdθ r 4 drdθ rθ rθ π r 4 dθdr π [ r 4 r 5 dr π 5 ] π 5. b) Temos que: I 8 sen + + ) dd sen + + ) dd onde : {,) R, 8 }. Logo está entre as retas verticais e e é limitada inferiormente pela reta e superiormente pela curva 8 ou + 8, com. e e + 8, com temos 9. Como, temos donde. Logo o ponto de interseção é o ponto, ). Assim, o esboço de está representado na figura que se segue. sai em r 8 8 P,) π/4 entra em r Consórcio CEERJ
Cálculo IV EP Tutor 7 escrição de em coordenadas polares Efetuando uma varredura em no sentido anti-horário a partir da reta reta onde θ π/4) até o eio positivo onde θ π/) vemos que θ varia de π/4 a π/. Considerando um ponto P no interior de vemos que a semirreta OP entra em em r e sai de em r { 8. Então π/4 θ π/ temos rθ : r. Então: 8 I sen r + ) r drdθ rθ 8 sen r + ) π/ r dθdr π 8 sen r + ) r dr. π/4 4 Fazendo u r + temos du r dr donde r dr du/. Para r temos u e para r 8 temos u 9. Então: I π 4 9 sen u ) du π [ ] 9 cos u π cos cos 9). 8 8 Eercício 7: etermine o volume do sólido W limitado pelo parabolóide z 4 e pelo plano. Solução: O esboço de W está representado na figura que se segue. z 4 W piso : + 4 Temos: V W) f,) dd Passando para coordenadas polares temos r cos θ r sen θ dd r drdθ + r 4 ) dd. Consórcio CEERJ
Cálculo IV EP Tutor 8 e rθ : { θ π r. Então: V W) ) 4 r r drdθ ) π 4r r dθdr π rθ ] π [r r4 π8 4) 8π u.v. 4 4r r ) dr Eercício 8: etermine o volume do sólido W no interior da esfera + + z 4 e do cilindro + ) e acima do plano z. Solução: O esboço de W está representado na figura que se segue. z z teto W W piso Consórcio CEERJ
Cálculo IV EP Tutor 9 Por simetria, temos que V W) V W ) onde W {,,z) R,) : + ), e z } 4. Vemos também que o teto de W é a superfície z 4 f,) e o piso é o semidisco : + ), com. Logo: V W) V W ) f,)dd 4 dd. Pasando para coordenadas polares temos que + r e dd r drdθ. A equação + ) ou + transforma-se em r r sen θ ou rr { sen θ) donde r θ π/ ou r sen θ. Então o semidisco em coordenadas polares é rθ : r sen θ. Então: V W) ) 4 r / r drdθ rθ π π/ sen θ 4 r ) / r)drdθ [ 4 ) ] r / sen θ dθ π/ π/ π/ [ 4 4 sen θ ) / 4 /] dθ [ 4 cos θ ) ] / 8 dθ 4 cos θ ) / dθ + 6 π/ Como θ π/ então cos θ donde 4 cos θ) / cos θ) 8 cos θ. Então: π/ dθ. 4 cos θ ) π/ / dθ 8 cos θ cos θ dθ π/ 8 sen θ ) ] dsen θ) 8[sen θ sen θ π/ 8 ) 6. Assim: V W) 6 + 6 π 8 π 4) u.v. 9 Consórcio CEERJ