ENSAIO SOBRE A FLUÊNCIA NA VIBRAÇÃO DE COLUNAS

Congresso de Méodos Numéricos em Engenharia 215 Lisboa, 29 de Junho a 2 de Julho, 215 APMTAC, Porugal, 215 ENSAIO SOBRE A FLUÊNCIA NA VIBRAÇÃO DE COLUNAS Alexandre de Macêdo Wahrhafig 1 *, Reyolando M. L. R. F. Brasil 2 1: Deparameno de Consrução e Esruuras Escola Poliécnica Universidade Federal da Bahia (UFBa) Rua Arisides Novís, nº 2, 5º andar, Federação, Salvador BA, Brasil, CEP: 421-91 e-mail: alixa@ufa.br, web: hp://laes.cnpq.br/79717169324686 2: Cenro de Engenharia, Modelagem e Ciências Sociais Aplicadas Universidade Federal do ABC (UFABC) Avenida dos Esados, 51, Bangu, Sano André SP, Brasil, CEP: 921-17 e-mail: reyolando.brasil@ufabc.edu.br, web: hp://laes.cnpq.br/18869899354794 Palavras-chave: Fluência, Vibração, Reologia, Méodo de Rayleigh, Rigidez Geomérica. Resumo. O aumeno gradaivo da deformação com o empo é chamado de fluência. É fenômeno que pode ocorrer, predominanemene, no concreo e na madeira, por serem maeriais, por naureza, viscoelásicos. Dessa forma, o conhecimeno sobre o comporameno reológico da curva ensão-deformação é essencial para o projeo de peças longas, pois colunas esbelas comprimidas podem er a rigidez modificada em função da reologia do maerial, mesmo com um nível de ensão consane. Maemaicamene, a deformação devida à fluência pode ser caracerizada por modelos onde a deformação elásica imediaa é acrescida de uma deformação viscosa, resulando em uma função emporal. Em consonância com esse enendimeno, a formulação desenvolvida para calcular a frequência naural de uma coluna deve incluir os efeios reduores da rigidez ano da força axial quano da fluência. O primeiro pode ser considerado por meio da parcela negaiva da mariz de rigidez e o segundo pela inrodução, na parcela elásica, de um módulo de elasicidade variável com o empo, obido em relação ao modelo reológico adoado. A frequência assim calculada resula em uma função do empo. Para avaliar os aspecos aneriores foi realizada uma simulação numérica, considerando uma coluna comprimida na exremidade livre e sujeia a seu peso próprio. Um modelo reológico de rês parâmeros, com o componene viscoso ajusado para a deformação convergir aos novena dias, foi uilizado para ober o módulo de elasicidade variável. Os resulados indicaram uma diferença enre a frequência no insane inicial e aos novena dias que, dependendo do caso, pode represenar significaiva aleração na resposa do sisema frene a soliciações de naureza dinâmica.

1. INTRODUÇÃO O fenômeno do aumeno leno da deformação com o empo sob ensão consane é chamado de fluência. Maemaicamene, a fluência pode ser represenada por uma função dependene do empo, associada a modelos reológicos viscoelásicos capazes de descrever o fenômeno [1]. A deformação lena (Creep) para peças de concreo é um fenômeno dependene do empo, e que, ambém, esá relacionada às cargas e às deformações, definida como sendo o aumeno de uma deformação com o empo sob a ação de cargas ou de ensões permanenes. A deformação lena é parcialmene reversível e que para um descarregameno, após a uma recuperação elásica, ocorre uma recuperação poserior, que é denominada deformação lena recuperável, deformação lena reversível ou ainda deformação elásica reardada e que apenas uma parcela resane da deformação é residual ou irreversível, sendo essa a parcela da deformação que é denominada de fluência [2]. Quando uma amosra de concreo é carregada durane 9 dias e, após, descarregada, a recuperação imediaa ou elásica é aproximadamene da mesma ordem da deformação elásica quando da primeira aplicação da carga. A recuperação imediaa é seguida por uma redução gradual da deformação chamada elasicidade reardada. Embora a recuperação da fluência ocorra mais rapidamene do que a fluência, a reversão não é oal. A pare da fluência que é reversível pode ser aribuída à deformação elásica reardada do maerial, que é oalmene recuperável [3]. De um modo geral, dois grupos de soluções maemáicas são usados para represenar a fluência no âmbio da análise esruural. O primeiro ende a um valor limie da deformação, resringindo-as a inervalos de validade, e o segundo, menos comum, é aquele que leva em consideração um crescimeno monoônico da deformação. Do pono de visa práico, as normas inernacionais levam em cona o fenômeno da fluência no dimensionameno das esruuras por meio de duas considerações, ou propondo um coeficiene de majoração ou minoração da rigidez ou propondo um coeficiene de majoração ou minoração na resisência conforme o empo de auação do carregameno e classe de umidade [4]. No caso específico de colunas comprimidas uma análise realizada de forma premaura pode produzir consequencias indesejadas por ser raar de pare crucial de um projeo e qualquer falha ocasiona efeios caasróficos por envolver o equilíbrio das esruuras [5]. Comumene, a represenação da fluência oma como base modelos reológicos que associam as deformações diferidas no empo. A inclusão desses modelos à análise esáica ou dinâmica das esruuras pode ser feia relacionando esses modelos ao módulo de elasicidade do maerial. No caso da análise dinâmica, a rigidez da esruura deve ser composa por dois ermos, sendo um deles o correspondene à parcela da rigidez convencional e o ouro à parcela da rigidez geomérica [6]. Dessa forma, é possível adapar a primeira mariz, inroduzindo um módulo de elasicidade variável no empo, que permia acompanhar o aumeno das deformações, segundo o modelo reológico adoado, manendo consane o nível de ensão. Assim sendo, a rigidez oal oma a forma na qual a primeira mariz inroduz, via módulo de elasicidade, o modelo reológico que se deseje para represenar a fluência e a segunda é a geomérica, função do esforço normal auane, que deve incluir o peso próprio do elemeno esruural. 2

Ese rabalho visa, porano, avaliar, por modelagem numérica, a frequência fundamenal de vibração livre não amorecida de uma coluna de concreo armado carregada axialmene por uma força concenrada na exremidade livre e por seu peso próprio, com a consideração da fluência. Iso é realizado uilizando uma proposa maemáica de caracerísicas não lineares, na qual se inclue a função emporal da elasicidade. Adicionalmene verificam-se quesões relacionadas à esabilidade da coluna. 3. SUPORTE MATEMÁTICO 3.1. Solução do modelo reológico Um dos modelos usados para represenar o comporameno da fluência é o modelo de rês parâmeros, onde um parâmero elásico E esá associado a um modelo viscoelásico de parâmeros E 1 e η 1, chamado de modelo de Kelvin-Voig (Figura 1) [7]. E 1 E 1 e Elásica v Viscosa A deformação oal desse modelo é dada por Figura 1. Modelo viscoelásico de rês parâmeros. e v, (1) e v onde ε é a deformação no modelo elásico e ε é a deformação no modelo de Kelvin-Voig. Derivando-as no empo, em-se a deformação oal na forma de e v. (2) As equações consiuivas do modelo elásico e do modelo de Kelvin-Voi são respecivamene e v v E e E1 1, (3) onde E é o módulo de elasicidade do modelo elásico, E 1 e η 1 são o modulo de elasicidade e viscosidade do modelo de Kelvin-Voig. Das equações aneriores chaga-se à seguine equação diferencial 3

onde E E E E E, (4) 1 1 1 1, para,, para com represenando o insane de aplicação da carga. Como a ensão é consane, a derivada da ensão em relação ao empo se anula. Aplicando-se as condições de ensão aneriores, reduz-se a equação (4) à seguine equação diferencial ordinária EE E, (6) 1 1 cuja solução geral, para >, com a condição inicial () é E (5) E 1 1 1 ( ) 1- e. E E 1 E1-1 Quando = e 1 (). E E1-1 E E1 ( ) Quando e ( ). EE 1 EE E E E( ) 1 Fazendo E( ) em-se ( ). 1 A deformação com o empo pode ser represenada pelo gráfico da Figura 2. (7) (8) O Figura 2. Convergência da deforção devido à fluência. 4

Obviamene que, se o nível de ensão permenece consane, o módulo de elasicidade deve diminuir concomianemene ao aumeno da deformação, logo E ( ) 3.2. Aspecos da dinâmica esruural 1 e E E1 1 1 1- E 1 A formulação desenvolvida para considerar a fluência na vibração de uma coluna oma por base o princípio dos rabalhos viruais associada à écnica de Rayleigh [8]. Rayleigh assumiu que um sisema conendo infinios graus de liberdade podía ser asociado a ouro com um único grau de liberdade (SDOF - single degree of freedom) para aproximar sua frequência. É imporane observar que a écnica desenvolvida por Rayleigh visava calcular a frequencia fundamenal de vibração dos sisemas elásicos. A precisão obida por ese méodo depende direamene da função escolhida para represenar esse modo de vibração [9]. O conceio básico do méodo é o princípio da conservação da energia, podendo, porano ser aplicável a esruuras lineares ou não [1]. [11] considera que a écnica de Rayleigh é aplicada ano a sisemas com infinios graus de liberdade quano a sisemas conínuos e serve ano para deerminar o período fundamenal de vibração quano à verificação da esabilidade dos sisemas mecánicos, denro da precisão requerida para os problemas de engenharia. O proceso é enão descrio em ralção ao principio dos rabalhos viruais e à escolha adequada da coordenada generalizada que descreve o primeiro modo de vibração. Ao final a equação do movimieno aparece em ermos das propriedades generalizadas do sisema ais como rigidezes e massas, necessárias ao cálculo da frequencia. Considere-se a barra da Figura 3. Assumindo a conhecida função rigronomérica x ( x) 1- cos 2 L pode-se enconrar a rigidez convencional na forma de (9) (1) 2 L 2 d ( x) K( ) E( ) I dx, 2 dx (11) onde E() represena o módulo de elasicidade variável com o empo, conforme enconrado em (9) e I a inercia da seção. A rigidez geomérica é obida pela seguine equação L 2 d( x) Kg N( x) dx, dx (12) com N(x) sendo a função esforço normal, que inclui o peso prórpio da coluna e a força 5

concenrada na exremidade livre. A massa generalizada por sua vez é dada por M m m, (13) onde m é massa concenrada no opo da barra e m é enconrada com L 2 m m ( x) dx, (14) com m sendo a massa por unidade de comprimeno. A frequência naural cíclica é calculada fazendo-se Levando em cona que K () ( ). (15) M K K K g ( ) ( ), (16) chega-se à fórmula da frequencia, em Hz, com efeio geomérico e fluência, com a Eq. (17), 1 4 2 2 2mo ml E() I g mg 3 1 1 1 1 f( ) 32 L 16 L 4, 2 1 3 8 mo ml 2 (17) na qual L é o comprimeno da peça, g é a aceleração da gravidade e E() como obido em (9). Para mais dealhes sobre o presene desenvolvimeno maemáico, pode ser consulado o rabalho anerior realizado por [12]. 4. SIMULAÇÃO NUMÉRICA A simulação numérica foi realizada em relação a uma coluna de concreo armado de alura L, seção ransversal vazada de diâmero exerno D e espessura da parede e, conforme represenação esquemáica na Figura 3. As dimensões da coluna e os parâmeros adicionais esão disposos na Tabela 1. É imporane mencionar que o parâmero viscoso foi ajusado para que as deformações se esabilizassem aos 9 dias (Figura 4), como indicado por [3], obendo-se, com isso, a variação do módulo de elasicidade E() (Figura 5). Ouro aspeco que merece ser mencionado é que a inércia de seção foi majorada em 1,1 para levar em cona a presença da armadura. Esse faor foi esimado considerando o méodo da seção homogeneizada e uma axa de aço usual para esse ipo de esruura. A.aceleração da gravidade g assumida foi 9,8665 m/s 2. 6

Dados da seção Dados da coluna Diâm. exerno Espessura Núm. de barras Diâm. das barras Comprimeno D (cm) e (cm) nb (und) (mm) L (m) Esbelez 4 1 2 13 4 17,56 Parâmeros reológicos Massas Elasicidade (MPa) Viscosidade Densidade Concenrada Por comprimeno E (MPa) E 1 (MPa) (MPa*s) (kg/m 3 ) m (kg) (kg/m) 2671,59 2671,59 2671593737 25 5 235,62 Tabela 1. Dados da simulação numérica. m N(x) e y m L A A z x (a) Coluna D (b) Core A-A Figura 3. Modelo da esruura. 8 1 5 3 1 4 7 1 5 2.5 1 4 ( ) 1 6 6 1 5 5 1 5 E eq ( ) MPa 2 1 4 4 1 5 1.5 1 4 f2 4m 9 f2 L c f2( 4m ) ( ) 1 57i% 3 1 5 2 4 6 8 1 1 1 4 2 4 d Figura 4. Parâmero viscoso ajusado para convegência aos 9 dias. 7

3 1 4 2.5 1 4 E( ) MPa 2 1 4 1.5 1 4 4 6 8 1 1 1 4 2 4 6 8 1 Figura 5. Variação do módulo de elasicidade devido à fluência. A frequencia foi enão calculada no insane zero e aos novena dias por meio da equação (17), que ambém permie acopanhar a variação da frequência naural da esruura no inervalo de empo especificado, conforme se vê no gráfico da Figura 6..2.15 f( L ) Hz.1.5 15 3 45 6 75 9 Figura 6. Variação frequência da esruura em 9 dias. No gráfico da Figura 7 pode ser viso como a frequência da esruura varia no empo, para a alura limie de sua esabilidade, calculada aos 9 dias considerando a fluência (L e = 52,64389635 m). 8

.1.8 f L e.6 Hz.4.2 15 3 45 6 75 9 Figura 7. A frequência da esruura com a alura limie da esabilidade de 52,64 m. Para uma alura de 55 m, por exemplo, er-se-ia o comporameno dado pelo gráfico da Figura 8..8.64.48 f( 55m ) Hz.32.16 2.73 5.47 8.2 1.93 13.67 16.4 12. CONCLUSÕES Figura 8. Colapso de uma esruura com 55 m de alura logo após o 16º dia. - O módulo de elasicidade claculado pela Eq. (8) aos novena dias foi de 1338,53 MPa, o que represena uma diminuição de 5 % em ralção ao valor inicial 9

de 2671,59 MPa (Figura 5). - A frequência da esruura calculada no insane inicial foi de,183 Hz aos 9 dias, de,1938 Hz, represenando uma redução de 4 % (Figura 6). - A esruura simulada enconra seu limie de esabilidade quando alcança 52,64389635 m, colapsando aos novena dias, (Figura 7). Se o efeio da fluência não fosse considerado, a alura limie seria de 66,6762144 m, 21 % superior à primeira, com os resulados da frequência obidos para uma exaidão de cinco casas decimais (f =.). - O aspeco anerior é de relevane imporância, pois se a esruura ivesse alura enre o limie sem a fluência e o definido com a consideração da fluência enraria em colapso anes mesmo de complear 9 dias em serviço. Para uma alura de 55 m, por exemplo, a ruina se daria pouco depois do 16º dia (Figura 8). - Ouros modelos reológicos podem ser usados para avaliar a frequência de uma coluna de concreo armado com a consideração da fluência. AGRADECIMENTO Os auores agradecem ao CNPq (Conselho Nacional de Desenvolvimeno Cienífico e Tecnológico) no Brasil. REFERÊNCIAS [1] W.N. Findley, J. S. Lai, K. Onaran, Creep and Relaxaion of Nonlinear Viscoelasic Maerials, Whi an Inroducion o Linear Viscoelasiciy, Dover Publicaions, Inc, New York, (1989). [2] F. Leohard, E. Mong, Consruções de Concreo Princípios Básicos do Dimensionameno de Esruuras de Concreo armado, 1. ed., v.1, Livraria Inerciência, Rio de Janeiro, (1977). [3] P. K. Meha e P. J. M. Moneiro, Concreo: Esruura, Propriedades e Maeriais. São Paulo: PINI, (1994). [4] A. H. Celia-Silva e C. Calil Júnior, Fluência da madeira, Enconro Brasileiro em madeiras e em esruuras de madeira, 4. Anais São Carlos: Lamem/Eesc-Usp, 1992, EESC - Escola de Engenharia de São Carlos, São Carlos, (1992). [5] Timoshenko e gere, Mecânica dos Sólidos, 2. ed. Rio de Janeiro, Livros Técnicos e Cieníficos, 21, v. 1, (1992). [6] R.W. Clough e J. Penzien, Dynamic of Srucures, Taiwan: McGraw Hill Inernaional Ediions, Second Ediion, (1993). [7] P. M. Pimena, Fundamenos da Mecânica das Esruuras II, Escola Poliécnica da Universidade de São Paulo, São Paulo, (23). [8] Rayleigh, Theory of Sound (wo volumes), Dover Publicaions, New York, reissued. (1877). [9] A.W. Leissa, The hisorical bases of he Rayleigh and Riz mehods, Journal of Sound and Vibraion, Volume 287, Issues 4-5, 4, pp 961-978, (24) doi:1.116/j.jsv.24.12.21. 1

[1] R.W. Clough and J. Penzien, Dynamic of Srucures, McGraw Hill Inernaional Edi-ions, Second Ediion, Taiwan, (1993). [11] G. Temple, and W.G. Bickley, Rayleigh s Principle and is Applicaions o Engineering, Oxford Universiy Press, Humphrey Milford, London, (1933). [12] A.M. Wahrhafig, R. M. L. R. F. Brasil, J.M. Balhazar, The firs frequency of canilevered bars wih geomeric effec: a mahemaical and experimenal evaluaion, J Braz. Soc. Mech. Sci. Eng., (213), doi:1.17/s443-13-43-9. 11