NOTAS DE AULAS DE CÁLCULO I

UNIVERSIDADE FEDERAL DE CAMPINA GRANDE CENTRO DE EDUCAÇÃO E SAÚDE UNIDADE ACADÊMICA DE EDUCAÇÃO PERÍODO 2012.1 TURNO: DATA: PROFESSORA: CÉLIA MARIA RUFINO FRANCO Aluno (a): NOTAS DE AULAS DE CÁLCULO I

Capítulo 1 Conjuntos Numéricos e os Números Reais Os primeiros números que conhecemos foram os chamados Números Naturais: N = f1; 2; 3; 4; : : :g : No conjunto N estão dedi nas as operações de Adição "+"e Multiplicação ""e a adição e a multiplicação de dois números naturais ainda é um número natural. O conjunto dos Números Naturais apresenta uma de ciência óbvia: a equação m+x = n nem sempre admite uma solução para m e n dados arbitrariamente em N: Por exemplo, 5 + x = 7 admite a solução x = 2; enquanto que 5 + x = 2 não admite solução em N: Essa di cultade é resolvida incluindo-se os números inteiros negativos 1; 2; 3; : : : e o zero para obter o conjunto dos Números Inteiros Z; contendo N como subconjunto próprio, e no qual estão de nidas operações de adição e multiplicação que generalizam as operações correspondentes de N: Destacamos que a soma e o produto de dois números inteiros ainda é um inteiro. Z = f: : : ; 3; 2; 1; 0; 1; 2; 3; : : :g : O conjunto dos Números Inteiros apresenta, por sua vez, a de ciência de que nem sempre uma equação do tipo mx = n pode ser resolvida em Z: Por exemplo, a equação 4x = 8 possui 2

a solução x = 2 enquanto que a equação 6x = 7 não admite solução em Z: Essa de ciência é suprida construindo-se o conjunto dos Números Racionais Q; isto é. p Q = ; p; q 2 Z e q 6= 0 : q Os elementos de Q são também chamados de frações. Em Q de nimos a Igualdade a Adição e a Multiplicação do seguinte modo: Igualdade: p q = m n, pn = qm; q 6= 0 e n 6= 0 Adição: p q + m n np + mq = ; q 6= 0 e n 6= 0: qn Multiplicação: p q m n = pm ; q 6= 0 e n 6= 0: qn Uma fração do tipo p é identi cada com o inteiro p: Com esta identi cação temos que 1 Z é um subconjunto próprio de Q: A forma decimal de um número racional pode ter uma quantidade nita de casas após a vírgula, como 7 = 1; 75; ou pode ser uma dízima periódica como podemos ver em 4 4 = 0; 36363636 : : : = 0; 36: 11 O conjunto dos números racionais ainda apresenta a de ciência de que determinadas equações algébricas, como por exemplo x 2 = 2; não admitem solução em Q: Os números que não podem ser representados na forma p ; com p; q 2 Z e q 6= 0 q são denominados Números Irracionais. Isto é, um número é irracional se não for racional. A forma decimal de um número irracional é in nita e não-periódica. Por exemplo, p 2 = 1; 414213562 : : : ; = 3; 141592654 : : : ; e = 2; 718281828 : : : Observação 1.1 A soma de um número racional com um número irracional é um número irracional. Observação 1.2 O produto de um número racional não-nulo com um número irracional é um número irracional. 3

Observação 1.3 O quociente de um número racional não-nulo por um outro irracional é um número irracional. Observação 1.4 A soma, ou o produto ou o quociente de dois números irracionais pode ser um número racional. De nimos os Números Reais, que denotamos por R; como a união dos racionais com os irracionais e temos as seguintes inclusões N Z Q R. Se x e y são números reais de nimos a sua soma por x + y e seu produto por x y; os quais satisfazem as seguintes propriedades: 1. x + y = y + x e xy = yx; 8x; y 2 R: (comutativa) 2. x + (y + z) = (x + y) + z e x(yz) = (xy)z; 8x; y; z 2 R: (associativa) 3. Existe 0 2 R tal que x + 0 = x e existe 1 2 R tal que x 1 = x; 8x 2 R: 4. 8x 2 R existe x 2 R; tal que x + ( x) = 0 e 8x 2 R; x 6= 0 existe x 1 2 R tal que x x 1 = 1: 5. x(y + z) = xy + xz; 8x; y; z 2 R: (distributiva) De ne-se também: x y = x + ( y) e x y = x 1 ; y 6= 0: y Os números reais podem ser identi cados com os pontos de uma reta. Para representar os números reais, começamos com uma reta horizontal e marcamos o número real zero com o valor 0; a origem. Números positivos estão à direita da oriegm e números negativos, à esquerda. Entre dois números reais na reta existem in nitos números reais. 4

1.1 Ordem dos Números Reais O conjunto dos números reais é ordenado. Isso signi ca que podemos comparar quaisquer dois números reais que não são iguais usando desigualdades (podemos dizer que um é "menor do que"ou "maior do que"o outro). Se x é um número positivo, escrevemos x > 0: Axioma de Ordem: i) Se x; y são positivos então: x + y e xy também são positivos. ii) Se x 2 R então: ou x > 0; ou x = 0 ou x > 0 (neste caso x é negativo e denotamos por x < 0). Observação 1.5 Todo número real x possui uma única raiz quadrada positiva. Os símbolos > (maior do que) e < (menor do que) são de nidos a seguir. De nição 1.1 Sejam a e b dois números reais quaisquer. Dizemos que a é maior do que b; e escrevemos a > b se a b > 0: Dizemos que a é menor do que b; e escrevemos a < b se a b < 0. Exemplo 1.1 3 > 2 pois 3 2 = 1 > 0 e 1 > 2 pois 1 ( 2) = 1 > 0: Escrevemos a b quando a é maior do que ou igual a b: De nição 1.2 Dados a; b 2 R: Dizemos que a b se a b > 0 ou a b = 0: Dizemos que a b se a b < 0 ou a b = 0: Expressões que envolvem os símbolos >; <; ou são chamadas de Desigualdades. Propriedades das Desigualdades Sejam x; y; z e w números reais quaisquer. 1. Se x > y e y > z então x > z: (Transitiva) 2. Se x > y e z é qualquer número real então x + z > y + z: (Adição) 5

3. Se x > y e z > w então x + z > y + w: (Adição) 4. Se x > y e z > 0 então xz > yz: (Multiplicação) 5. Se x > y e z < 0 então xz < yz:(multiplicação) 1.2 Intervalos de Números Reais Intervalos são subconjuntos in nitos de R; para os quais existe uma notação especial. Sejam a e b números reais com a < b: De ne-se o intervalo fechado de extremidades a e b por: [a; b] = fx 2 R; a x bg : O intervalo aberto de extremidades a e b de ne-se por (a; b) = fx 2 R; a < x < bg : Analogamente, de ne-se os intervalos semi-abertos ou semi-fechados da forma: [a; b) = fx 2 R; a x < bg (a; b] = fx 2 R; a < x bg : Temos ainda os intervalos ilimitados que são intervalos in nitos do tipo: [a; +1) = fx 2 R; x ag (a; +1) = fx 2 R; x > ag ( 1; b] = fx 2 R; x bg ( 1; b) = fx 2 R; x < bg : reais. Usamos a notação de intervalo ( 1; +1) para representar todo o conjunto dos números 6

Exercício 1 Descreva e represente gra camente os intervalos de números reais para as desigualdades. a) x < 3 b) 1 < x 4: Exercício 2 Escreva os intervalos de números reais usando desigualdade e represente gra camente: a) Os números reais entre 4 e 0; 5: b) Os números reais maiores ou iguais a zero. Exercício 3 Converta a notação de intervalo para desigualdade ou vice-versa. Encontre os extremos e veri que se o intervalo é limitado, seu tipo e a representação grá ca. a) [ 6; 3) b) ( 1; 1) c) 2 x 3: 1.3 Valor Absoluto ou Módulo de um Número Real Dado x 2 R de nimos o valor absoluto ou módulo de x por: 8 < jxj = : x; se x 0 x; se x < 0 : Exemplo 1.2 j2j = 2; j 3j = ( 3) = 3 e j0j = 0: Outra de nição equivalente é: jxj = máx fx; xg : (1.1) Exemplo 1.3 j2j =máx f2; 2g = 2; j 3j =máx f 3; ( 3)g = máx f 3; 3g = 3: Propriedades 1. jxj x jxj ; 8x 2 R: 2. jxj 0; 8x 2 R e jxj = 0 () x = 0: 3. jxj = p x 2 ; 8x 2 R: 7

4. jxyj = jxj jyj ; 8x; y 2 R. 5. x y = jxj ; se x; y 2 R e y 6= 0: jyj 6. jx + yj jxj + jyj ; 8x; y 2 R. (Desigualdade Triangular). 7. Se a 2 R; a > 0; então jxj a se, e somente se, a x a: 8. Se a 2 R; a > 0; então jxj a se, e somente se, x a ou x a: 1.4 Exemplo 1.4 Encontre os valores de x 2 R para os quais as desigualdades abaixo são veri cadas. Represente gra camente seu conjunto solução. 1. 3(x 1) + 2 5x + 6 2. x 3 + 1 2 > x 4 + 1 3 3. 3 < 2x + 5 3 4. jx 4j < 8 5. j3x 2j 5 5 8

Capítulo 2 Funções As funções descrevem muitas situações do mundo real que relacionam variáveis quantitativas. Por exemplo, o valor pago pela gasolina ao abastecer um veículo depende da quantidade de litros de gasolina colocada. A área de um círculo depende do raio desse círculo. A distância que um objeto percorre a uma velocidade constante, a partir de um ponto inicial, ao longo de uma trajetória reta, depende do tempo transcorrido. Em todos esses casos, o valor de uma variável, que podemos chamar y; depende do valor da outra, que podemos denominar x: Uma vez que o valor de y é completamente determinado pelo valor de x; dizemos que y é uma função de x: Muitas vezes, o valor de y é dado por uma regra ou fórmula que diz como calculá-lo a partir da variável x: Por exemplo, a equação A = r 2 é uma regra que calcula a área A de um círculo a partir de seu raio r: Uma maneira simbólica de dizer que "y é função de x" é escrever y = f(x) (y é igual a f de x). Nessa notação, o símbolo f representa a função. A letra x, chamada variável independente, representa o valor de entrada de f; e y; a variável dependente, representa o valor de saída de f em x: De nição 2.1 Uma função de um conjunto A em um conjunto B é uma regra ou lei que associa para todo elemento x 2 A um único elemento f(x) 2 B: 9

f : A! B x 7! f(x) O conjunto A de todos os possíveis valores de entrada chama-se domínio da função. O conjunto de todos os valores f(x); enquanto x varia ao longo de A; denomina-se imagem da função. Em notação de conjunto, a imagem é: Im(f) = ff(x) 2 B; x 2 Ag : A imagem não inclui necessariamente todos os elementos do conjunto B: Pode ocorrer da função está de nida de um conjunto A em um conjunto C; de modo que esse conjunto C não seja o conjunto imagem. Neste caso, esse conjunto C é conhecido como contradomínio. Neste curso de Cálculo I, trabalharemos com função real de variável real, isto é, função em que o domínio e o contradomínio são subconjuntos de R: O domínio de uma função pode ser restrito pelo contexto. Por exemplo, o domínio da função área dada por A(r) = r 2 exige que o raio seja positivo. Quando de nimos uma função y = f(x) com uma fórmula (ou lei de associação) e o domínio não é citado explicitamente ou restrito pelo contexto, considera-se que o domínio seja o maior conjunto de valores de x 2 R para os quais a fórmula fornece valores reais de y; o chamado domínio natural. Se queremos restringir o domínio de algum modo, devemos explicitá-lo. Se o domínio ao qual aplicarmos a fórmula mudar, normalmente a imagem também mudará. Assim sendo, quando apresentarmos a função y = f(x); cam subentendidos como domínio e contradomínio de f os conjuntos: D(f) = fx 2 R; f(x) 2 Rg e CD(f) = R: Exemplo 2.1 O domínio da função y = x 2 é o conjunto de todos os números reais. Para restringirmos a função a valores positivos de x; devemos escrever y = x 2 ; x > 0: Exemplo 2.2 A imagem de y = x 2 é [0; +1) : A imagem de y = x 2 ; x 2 é [4; +1) : Exercício 4 Encontre o domínio de cada função: 10

1. f(x) = p x 2. f(x) = p 4 x p x 3. f(x) = x 5 4. f(x) = p 1 x 2 : 2.1 Grá cos de Funções Uma outra forma de visualizar uma função é por meio de seu grá co. Se y = f(x) é uma função com domínio A; o grá co de f é o conjunto de todos os pontos (x; f(x)) do plano cartesiano; com x pertencente ao domínio de f: Em notação de conjunto, o grá co é f(x; f(x)); x 2 Ag : Exemplo 2.3 O grá co da função f(x) = x + 2 é o conjunto de pontos com coordenadas (x; y) para os quais y = x + 2: O seu grá co é uma reta. Exemplo 2.4 Trace o grá co da função y = x 2 no intervalo [ 2; 2] : Exercício 5 Encontre o domínio da função f(x) = 1 x dessa função? e esboce o seu grá co. Qual a imagem Observação 2.1 Nem toda curva que você traçar será o grá co de uma função. Uma função f pode ter apenas um valor f(x) para cada x em seu domínio, portanto nenhuma reta vertical poderá cruzar a curva da função mais de uma vez. 2.2 Função De nida por mais de uma sentença As vezes, descrevemos uma função aplicando fórmulas diferentes a partes diferentes de seu domínio. Um exemplo é a função modular 8 < x; se x 0 f(x) = jxj = : x; se x < 0 : 11

Exemplo 2.5 Vamos esboçar o grá co de cada função: 8 x; x < 0 >< 1. f(x) = x 2 ; 0 x 1 >: 1; x > 1 8 < x 2 ; x 0 2. f(x) = : x + 1; x < 0 2.3 Algumas Funções Elementares 1. Função A m: f(x) = mx + b; onde m, b 2 R e m 6= 0: O grá co de f é uma reta e D(f) = Im(f) = R: Quando m > 0, f é crescente e quando m < 0; f é decrescente. Quando b = 0; a função f(x) = mx é chamada função linear e seu grá co é uma reta que passa pela origem. Se b = 0 e m = 1; temos a função identidade f(x) = x: Se m = 0; a função f(x) = b é chamada função constante e seu grá co é uma reta paralela ao eixo x: Neste caso, D(f) = R e Im(f) = fbg : Exemplo: No movimento retilíneo uniforme, o espaço percorrido é uma função do tempo, expresso pela fórmula s = s 0 + vt; onde s 0 ; v são cosntantes e v 6= 0: 2. Função Quadrática: f(x) = ax 2 + bx + c; com a; b; c 2 R e a 6= 0: Seu domínio é D(f) = R e seu grá co é uma parábola: Se a > 0 a parábola tem concavidade voltada para cima. Se a < 0 a parábola tem concavidade voltada para baixo. A interseção b da parábola com o eixo x de ne as raízes da função. O ponto 2a ; ; onde 4a = b 2 4ac é chamado vértice da parábola. Se > 0 a função tem duas raízes reais e distintas. Se = 0 a funtão tem duas raízes reais e iguais. Se < 0 a função não tem raízes reais. Por exemplo, as funções f(x) = 2x 2 x 1; g(x) = 4x 2 12x 9 e h(x) = 2x 2 + x + 1 são funções quadráticas. 12

3. Funções de Potência: f(x) = x a ; onde a é uma constante. Se a 2 N; temos por exemplo x; x 2 ; x 3 ; x 4 ; x 5 e neste caso o domínio de f é o conjunto dos números reais. Para a = 1 ou a = 2; temos f(x) = x 1 = 1 x ou f(x) = x 2 = 1 e neste caso o domínio x2 de f é R f0g : Se a = 1 2 ou a = 1 3 ; temos f(x) = x1=2 = p x ou f(x) = x 1=3 = 3p x que são as funções raiz quadrada e raiz cúbica, respectivamente. O domínio da função raiz quadrada é [0; +1] ; mas a função raiz cúbica é de nida para todos os x reais. Mais geral, se a = p q 2 Q; escrevemos f(x) = x p=q = x 1=q p = (x p ) 1=q : 4. Polinômios: Uma função p é um polinômio se p(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3 + + a n x n onde n é um inteiro não negativo e os números a 0 ; a 1 ; a 2 ;..., a n são constantes reais chamadas coe cientes do polinômio. O domínio de qualquer polinômio é sempre o conjunto dos números reais. Se o coe ciente dominante a n 6= 0 e n > 0; então n é denominado grau do polinômio. Exemplos: A função a m f(x) = ax + b; a 6= 0 é uma função polinomial do 1 o grau. A função quadrática f(x) = ax 2 + bx + c; a 6= 0 é uma função polinomial do 2 o grau. A função f(x) = 5x 5 6x + 7 é uma função polinomial de grau 5: O grá co de um polinômio é uma curva que pode apresentar pontos de máximos e mínimos. Neste curso de Cálculo, faremos esboços de grá cos dessas funções com o auxílio das derivadas. 5. Funções Racionais: Uma função racional é o quociente ou razão de dois polinômios f(x) = p(x) q(x) onde p e q são polinômios. O domínio de uma função racional é o conjunto de todos os x reais para os quais q(x) 6= 0: Por exemplo, a função f(x) = 2x2 5 8x + 3 é uma função racional com domínio fx 2 R; x 6= 3=8g : 13

6. Funções Algébricas: Uma função algébrica é uma função construída a partir de polinômios por meio de operações algébricas (adição, subtração, multiplicação, divisão e extração de raízes). Funções racionais são casos especiais de funções algébricas. Por exemplo, as funções f(x) = p x 1 e g(x) = 3 4 (x2 1) 2=3 são funções algébricas. 7. Funções Exponenciais: Funções com a forma f(x) = a x ; onde a base a > 0 e a 6= 1; são chamadas funções exponenciais. Todas as funções exponencias têm domínio ( 1; +1) e imagem (0; +1): Em particular, se a = e temos a função exponencial natural f(x) = e x : 8. Funções Logarítmicas: São as funções f(x) = log a x; com a base a > 0 e a 6= 1: Elas são as funções inversas das funções exponencias e temos y = log a x, x = a y : As funções logarítmicas têm domínio (0; +1) e imagem ( 1; +1): Se a = e; temos a função logaritmo natural f(x) = log e x = ln x que é a inversa da exponencial natural. Exercício 6 Determine o domínio das funções abaixo: a) f(x) = 1 x 2 4 b) f(x) = x x 2 + 1 c) f(x) = x3 4x 2 + x + 6 : x 2 + x + 1 Exercício 7 Determine o domínio e esboce o grá co das funções abaixo: a) f(x) = x 3=2 b) f(x) = x 2=3 c) f(x) = p x 1 d) f(x) = p 9 x 2. 14

2.4 Funções Trigonométricas 2.4.1 Medida de Ângulos Os ângulos são medidos em graus ou radianos. Em cálculo, entretanto, é melhor fazer uso de unidades radianos, já que elas simpli cam alguns cálculos. Grau (símbolo o ) é um arco unitário igual a 1 da circunferência que contém o arco 360 a ser medido. Radiano (símbolo rad) é um arco unitário cujo comprimento é igual ao raio da circunferência que contém o arco a ser medido. Assim, ao a rmar que um arco AB mede 1 rad estamos dizendo que "esticando"o arco AB obtemos um segmento de reta AB cuja medida é exatamente o raio da circunferência. Como a circunferência mede 2 rad e uma volta inteira equivale a 360 o ; a relação entre graus e radianos é dada por radianos = 180 o : Por exemplo, 45 o em radianos equivale a 45 180 = 4 rad e =6 radianos é igual a 6 180 = 30o : Quando queremos medir em radianos um ângulo a0b; c devemos construir uma circunferência de centro 0 e raio r e veri car quantos radianos mede o arco AB; isto é, calcular o quociente entre o complimento l do arco AB pelo raio r da circunferência: = l r ( em radianos). Por exemplo, se o ângulo central c a0b é tal que determina numa circunferência de raio r = 5 um arco AB de medida l = 8cm; então a medida de c a0b é: = l r = 8 5 = 1; 6 rad. 15

2.4.2 Ciclo Trigonométrico Consideremos a circunferência C de centro 0 e raio r = 1: Observe que o comprimento desta circunferência é 2 pois r = 1: Vamos agora de nir uma aplicação de R sobre C; isto é, vamos associar a cada número real x um único ponto P da circunferência C do seguinte modo: a) Se x = 0; então P coincide com o ponto A(1; 0); b) Se x > 0; então realizamos a partir de A um percurso de comprimento x; no sentido anti-horário, e marcamos P como ponto nal do percurso. c) Se x < 0; então realizamos a partir de A um percurso de comprimento jxj ; no sentido horário, e marcamos P como ponto nal do percurso. A circunferência C acima de nida, com origem em A; é chamada ciclo trigonométrico. Se o ponto P está associado ao número x dizemos que P é a imagem de x no ciclo. Exemplo 2.6 Vamos representar no ciclo trigonométrico os pontos associados aos números: 2 ; 2 ; ; ; 3 2 e 3 2 : Observação 2.2 Se P é a imagem do número x 0 ; então P também é imagem dos elementos do conjunto fx 2 R; x = x 0 + 2k; k 2 Zg : Função Periódica: Uma função f : A! B é periódica se existe um número p > 0 tal que f(x + p) = f(x) 8x 2 A: O menor valor de p que satisfaz a igualdade anterior é chamado período de f: 2.4.3 Funções Seno e Cosseno De nição 2.2 Dado um número real x; seja P sua imagem no ciclo trigonométrico. Denominamos seno de x e indicamos sin x a ordenada OP 1 do ponto P: A função f : R! R que associa a cada número real x o número OP 1 = sin x é denominada função seno e escrevemos f(x) = sin x: 16

Propriedades da Função Seno: 1. A imagem da função seno é o intervalo [ 1; 1] ; isto é, 1 sin x 1 ou, equivalentemente, jsin xj 1: 2. Se x é do primeiro ou segundo quadrante, então sin x é positivo. Se x é do terceiro ou quarto quadrante, então sin x é negativo. 3. A função seno é periódica e seu período é 2: Temos, sin x = sin(x + 2k); k 2 Z: 4. O grá co da função seno é o conjunto dos pontos (x; sin x); x 2 R: Os pontos (0; 0); (=2; 1); (; 0); ( 3 2 ; 1); (2; 0) e ( ; 0) pertencem ao grá co de f: De nição 2.3 Dado um número real x; seja P sua imagem no ciclo trigonométrico. Denominamos cosseno de x e indicamos cos x a abscissa OP 2 do ponto P: A função f : R! R que associa a cada número real x o número OP 2 = cos x é denominada função cosseno e escrevemos f(x) = cos x: Propriedades da Função Cosseno: 1. A imagem da função seno é o intervalo [ 1; 1] ; isto é, 1 cos x 1 ou, equivalentemente, jcos xj 1: 2. Se x é do primeiro ou quarto quadrante, então cos x é positivo. Se x é do segundo ou terceiro quadrante, então cos x é negativo. 3. A função cosseno é periódica e seu período é 2: Temos, cos x = cos(x + 2k); k 2 Z: 4. O grá co da função seno é o conjunto dos pontos (x; cos x); x 2 R: Os pontos (0; 0); (=2; 0); (; 1); ( 3 2 ; 0); (2; 1) e ( ; 0) pertencem ao grá co de f: 2 17

2.4.4 Funções Tangente, Cotangente, Secante e Cossecante. Função Tangente : f(x) = tan x = sin x : O domínio da função tangente é D = cos x nx 2 R; x 6= o 2 + k; k 2 Z e a imagem é todo o conjunto dos números reais. Função Cotangente: f(x) = cot x = cos x : O domínio da função cotangente é sin x D = fx 2 R; x 6= k; k 2 Zg e a imagem é R: 1 Função Secante: f(x) = sec x = : O domínio da função secante é D = cos x nx 2 R; x 6= o 2 + k; k 2 Z e a imagem é R ( 1; 1): 1 Função Cossecante: f(x) = csc x = : O domínio da função cossecante é sin x D = fx 2 R; x 6= k; k 2 Zg e a imagem é R ( 1; 1): 2.4.5 Algumas Identidades Trigonométricas sin 2 + cos 2 = 1 1 + tan 2 = sec 2 1 + cot 2 = csc 2 2.4.6 Exemplos de Funções Não Elementares Exemplo 2.7 A função f : R! R cujo valor em qualquer número x é o maior inteiro menor ou igual a x é chamada função maior inteiro e é denotada por f(x) = [x] : Observe que se 1 x < 0 então f(x) = 1; se 0 x < 1 então f(x) = 0; se 1 x < 2 então f(x) = 1 e se 2 x < 3 então f(x) = 2: Exemplo 2.8 Seja f : R! R tal que 8 < 1 se x 2 Q f(x) = : 0 se x =2 Q : 18

Chamada Função de Dirichlet. 2.4.7 Funções Pares e Ímpares De nição 2.4 Dizemos que uma função y = f(x) é par se f( ímpar se f( x) = f(x) para todo x no domínio da função. x) = f(x) e dizemos que é Exemplo 2.9 Vamos classi car as funções abaixo como par ou ímpar. a) f(x) = x 2 b) f(x) = x 2 +1 c) f(x) = x d) f(x) = x+1 e) f(x) = sin x f) f(x) = cos x: Observação 2.3 Toda função y = f(x) pode ser escrita como a soma de uma função par g(x) = 1 2 [f(x) + f( x)] com uma função ímpar h(x) = 1 [f(x) f( x)] : 2 2.4.8 Operações com Funções Assim como números, as funções podem ser somadas, subtraídas, multiplicadas e divididas (exceto quando o denominador for zero) para produzir novas funções. Se f e g são funções, então para qualquer x que pertença aos domínios de ambos (isto é, para x 2 D(f) \ D(g)), de nimos funções f + g; f g; e fg por meio das fórmulas: (f + g)(x) = f(x) + g(x) (f g)(x) = f(x) g(x) (fg)(x) = f(x)g(x) Em qualquer ponto de D(f)\D(g) no qual g(x) 6= 0; também podemos de nir a função f=g pela fórmula f (x) = f(x) ; onde g(x) 6= 0: g g(x) 19

Funções também podem ser multiplicadas por constantes: se c for um número real, a função cf será de nida para qualquer x no domínio de f por meio de (cf)(x) = cf(x): Exemplo 2.10 A partir das funções f(x) = p x e g(x) = p 1 f g; g f; fg; f=g e g=f: x obtenha as funções: f +g; 2.4.9 Funções Compostas De nição 2.5 Se f e g são funções, de nimos a função composta f g ("f composta com g") por (f g)(x) = f(g(x)): O domínio de f g consiste nos números x do domínio de g para os quais g(x) ca no domínio de f: Exemplo 2.11 A função y = p 1 x 2 é a composição da função f(x) = p x com a função g(x) = 1 x 2 : O domínio da composta é [ 1; 1] : 20

Capítulo 3 Limite e Continuidade de Funções Estamos interessados em saber como uma função f(x) se comporta próximo de um número x = a; onde a pode não estar no domínio de f; isto é, f(a) pode não ser de nida. Consideremos a função f(x) = x2 4 x 2 ; x 6= 2 e estudemos seu comportamento próximo de x = 2: Primeiramente, vamos considerar valores de x próximos de 2, porém menores que 2. Temos a tabela: x 1; 8 1; 88 1; 9 1; 99 1; 999 1; 999999 f(x) 3; 8 3; 88 3; 9 3; 99 3; 999 3; 999999 Para valores de x próximos de 2, porém maiores que 2, consideremos a seguinte tabela: x 2; 2 2; 18 2; 1 2; 06 2; 01 2; 00001 f(x) 4; 2 4; 18 4; 1 4; 06 4; 01 4; 00001 Embora f(2) não esteja de nida, deduzimos das tabelas acima que f(x) ca arbitrariamente próximo de 4 (tão próximo quanto quisermos), para todos os valores de x su cientemente próximos de 2. Neste caso, dizemos que f a 2 e escrevemos lim x!2 f(x) = 4 ou lim 21 x!2 x 2 4 x 2 = 4 tem limite 4 quando x tende

O grá co de f é idêntico ao da reta y = x + 2; exceto em x = 2; onde f não é de nida. De nição 3.1 Seja y = f(x) uma função de nida em um intervalo aberto em torno de a, exceto possivelmente no ponto a: Dizemos que y = f(x) tem limite L quando x se aproxima de a e escrevemos lim f(x) = L se para cada número " > 0 existir um número correspondente > 0; tal que, para todos os valores de x; 0 < jx aj < ) jf(x) Lj < ": Em outras palavras, se x 6= a está variando no intervalo (a ; a + ) então f(x) 2 (L "; L + "); sendo " e números positivos quaisquer, tão pequenos quanto se possa imaginar. Na maioria dos casos dependerá de " e quanto menor o "; menor será o. A de nição acima é chamada de nição formal de limite. Esta de nição não diz como determinar o limite de uma função, mas nos permite veri car se um suposto limite está correto e, em especial, é utilizada para provar teoremas gerais que simpli cam o cálculo de limites especí cos. Exemplo 3.1 Dado " = 0; 03; determine um > 0 tal que 0 < jx ( 2)j < ) j(3x + 7) 1j < ": Exemplo 3.2 Mostre que lim (3x + 7) = 1: x! 2 Exercício 8 Prove os seguintes limites: x 2 4 a) lim x!2 x 2 = 4 b)lim (4x 1) = 11 c)lim(3x + 4) = 19: x!3 x!5 3.1 Propriedades dos Limites 1. lim x = a e lim k = k (k constante) 2. Se lim f(x) = L e lim g(x) = M; então: 22

(a) lim [f(x) + g(x)] = lim f(x)+ lim g(x) = L + M: (b) lim [f(x) g(x)] = limf(x) limg(x) = L M: f(x) lim f(x) (c) lim = g(x) lim g(x) = Em particular, se k é uma constante temos: L ; M 6= 0: M lim [kf(x)] = lim k lim f(x) = klim f(x) e mais, consequentemente lim [ f(x)] = lim f(x) lim [f(x) g(x)] = lim ff(x) + [ = lim f(x) f(x)]g = limf(x) + lim limg(x): [ g(x)] 3. Se lim f(x) = L e m; n são inteiros com n 6= 0; então lim [f(x)]m=n = L m=n ; se L m=n 2 R: Exemplo 3.3 Seja f : R! R tal que f(x) = ax + b; com a; b 2 R e a 6= 0 e seja x 0 2 R: Então: lim x!x0 f(x) = f(x 0 ): Exemplo 3.4 Seja f : R! R tal que f(x) = ax 2 + bx + c; com a; b; c 2 R e a 6= 0 e seja x 0 2 R: Então: lim x!x0 f(x) = f(x 0 ): Proposição 3.1 Se n é um número natural, então lim x!x0 x n = x n 0: Proposição 3.2 Se p(x) é um polinômio, digamos p(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + + a n x n ; com a 0 ; a 1 ; : : : ; a n 2 R; então lim p(x) = p(x 0 ): x!x 0 Exemplo 3.5 Utilize as propriedades dos limites para obter os seguintes limites: 23

1. lim x! 3 5 2. lim (2x + 3) x! 1 3. lim (x 3 + 4x 2 3) 4. lim x! p x 3 5. lim x!3 p x2 + 1 6. lim x!4 3 p 2x + 3 7. lim x! 1 [(x + 4)3 (x + 2) 1 ] x 3 + 2x 1 8. lim : x!1 x 2 + 3 Proposição 3.3 Sejam f e g funções tais que f(x) g(x) para todo x em um intervalo aberto contendo x 0 ; exceto possivelmente em x = x 0 : Se lim x!x0 f(x) e lim x!x0 g(x) existem, então: lim x!x 0 f(x) lim x!x0 g(x): Teorema 3.1 (Teorema do Confronto) Suponha que g(x) f(x) h(x) para todo x em um intervalo aberto contendo x 0 ; exceto possivelmente em x = x 0 : Se então: 1 Exemplo 3.6 Calcule limx 2 sin : x!0 x lim x!x 0 g(x) = lim x!x0 h(x) = L lim f(x) = L: x!x 0 Proposição 3.4 Sejam f e g funções de nidas para todo x em um intervalo aberto contendo x 0 : Suponhamos que lim x!x0 f(x) = 0 e existe C > 0 tal que jg(x)j C para todo x satisfazendo 0 < jx x 0 j < para algum > 0: Então lim x!x0 f(x) g(x) = 0: 24

Exemplo 3.7 Calcule lim x!0 x sin( 1 x ): Exercício 9 Mostre que se lim x!x0 jf(x)j = 0; então lim x!x0 f(x) = 0: Exercício 10 Sabendo que jxj sin x jxj para todo x; calcule lim x!0 sin x: Exercício 11 Sabendo que 0 1 cos x jxj para todo x; calcule lim x!0 cos x: Exemplo 3.8 (Cancelando um fator comum) a) lim x!1 x 2 1 x 1 b) lim x!1 x 3 1 x 1 c) lim x!1 x 2 + x 2 x 2 x : Exemplo 3.9 (Criando e cancelando um fator comum) p p 6 + x 6 a) lim. x!0 x 3.2 Limites Laterais Seja f uma função de nida no intervalo aberto (a; c); a < c: Escrevemos lim +f(x) = L para indicar que f tem limite lateral à direita L quando x se aproxima de a pela direita (x > a). Seja f uma função de nida no intervalo aberto (d; a); d < a: Escrevemos lim f(x) = M para indicar que f tem limite lateral à esquerda M quando x se aproxima de a pela esquerda (x < a). De nição 3.2 lim +f(x) = L se para qualquer número " > 0 existe um número correspondente > 0 tal que para todos os valores de x; a < x < a + ) jf(x) Lj < ": 25

E lim f(x) = M se para qualquer número " > 0 existe um número correspondente > 0 tal que para todos os valores de x; a < x < a ) jf(x) Mj < ": Observação 3.1 As propriedades de limites continuam válidas quando substituirmos x! a por x! a + ou x! a : 8 < Exemplo 3.10 Seja f(x) = : o grá co. jxj x ; x 6= 0 0; x = 0. Determinar lim x!0 +f(x) e lim f(x): Esboçar x!0 Exemplo 3.11 Dada a função f(x) = p x 2: Determinar, se possível, lim x!2 +f(x) e f(x): lim x!2 8 < 2x + 1; x < 3 Exemplo 3.12 Seja f(x) = : 10 x; x 3 : Determinar lim x!3 +f(x) e lim f(x): x!3 Teorema 3.2 Seja f uma função de nida em um intervalo aberto contendo a; exceto possivelmente no ponto a: Então: lim f(x) = L, lim +f(x) = L e lim f(x) = L: Logo, se aproxima de a: lim +f(x) 6= lim f(x) então f não possui limite (bilateral) quando x se Observação 3.2 O limite quando existe é único. Exemplo 3.13 No exemplo (3.10), a função não possui limite quando x tende a 0: No exemplo (3.11) a função também não possui limite quando x tende a 2: Já no exemplo (3.12), a função possui limite 7 quando x tende a 3. 26

3.3 Limites no In nito O símbolo para o in nito (1) não representa um número real. Usaremos 1 para descrever o comportamento de uma função quando os valores em seu domínio ou imagem ultrapassam qualquer limitante. Exemplo 3.14 A função f(x) = 1 é de nida para qualquer valor de x 6= 0: Quando x é x positivo e vai cando cada vez maior, 1=x torna-se cada vez menor e escrevemos lim x!+1 1 x = 0: Quando x é negativo e cada vez maior em módulo, 1=x novamente é cada vez menor e escrevemos lim x! 1 1 x = 0: De nição 3.3 Seja f de nida no intervalo (a; +1). Escrevemos lim f(x) = L x!+1 se dado " > 0 existe um número M > 0 correspondente tal que, para todos os valores de x, x > M ) jf(x) Lj < ": De nição 3.4 Seja f de nida no intervalo ( 1; b). Escrevemos lim f(x) = L x! 1 se dado " > 0 existe um número N < 0 correspondente tal que, para todos os valores de x, x < N ) jf(x) Lj < ": Observação 3.3 As propriedades dos limites permanecem inalteradas quando substituimos x! a por x! +1 ou x! 1: Proposição 3.5 Se n é um inteiro positivo, então i) lim x!+1 1 x = 0 e ii) n lim x! 1 1 x = 0. n 27

Exemplo 3.15 Determinar Exemplo 3.16 Determinar lim x!+1 lim x! 1 2x 2 + x 3 3x 2 2x + 1 : 3x 2 + 2x + 1 : x 3 + 5 3.4 Limites In nitos Vamos analisar novamente a função f(x) = 1=x: Conforme x! 0 + ; os valores de f crescem sem limitação, ultrapassando todo número real positivo. Neste caso, escrevemos 1 lim x!0 + x = +1: Quando x! 0 ; os valores de f(x) = 1=x tornam-se arbitrariamente grandes (em valor absoluto) e negativos. Neste caso, escrevemos lim x!0 1 x = 1: De nição 3.5 Se f é uma função de nida em um intervalo aberto contendo a; exceto possivelmente em x = a: Dizemos que limf(x) = +1 se para qualquer A > 0; existe um > 0 correspondente tal que 0 < jx aj < ) f(x) > A: De nição 3.6 Se f é uma função de nida em um intervalo aberto contendo a; exceto possivelmente em x = a: Dizemos que lim f(x) = 1 se para qualquer B < 0; existe um > 0 correspondente tal que 0 < jx aj < ) f(x) < B: 28

Proposição 3.6 Se n é um inteiro positivo qualquer, então: 8 < i) lim x!0 + 1 = +1 e ii) lim xn x!0 1 x n = : +1; se n é par 1; se n é ímpar : Proposição 3.7 Seja C uma constante diferente de zero. Suponhamos que f e g sejam funções de nidas em um intervalo aberto contendo a; exceto possivelmente em x = a e que lim f(x) = C e limg(x) = 0: i) Se C > 0 e g(x)! 0 positivamente, então f(x) lim g(x) = +1: ii) Se C > 0 e g(x)! 0 negativamente, então f(x) lim g(x) = 1: iii) Se C < 0 e g(x)! 0 positivamente, então f(x) lim g(x) = 1: iv) Se C < 0 e g(x)! 0 negativamente, então f(x) lim g(x) = +1: Observação 3.4 A proposição anterior também vale para limites laterais. Exemplo 3.17 Determinar o limite lim x!0 (x 3 + p x + 1=x 2 ): Exemplo 3.18 Determinar o limite lim x!0 1 Exemplo 3.19 Determinar o limite lim x!2 + x 2 : Exemplo 3.20 Determinar o limite lim x!2 (1=x 3 + 2x + 5): 1 x 2 : Podemos ainda considerar o caso em que tanto x como f(x) tendem para +1 ou 1: Exemplos: a) lim x! 1 x 3 + 1 x 2 1 b) lim x! 1 (7x2 + 3x 3 ) 29

3.5 Assíntotas Em aplicações práticas, encontramos com muita frequência grá cos que se aproximam de uma reta à medida que x cresce ou decresce. Estas retas são chamadas de assíntotas. Vamos analisar as assíntotas horizontais e verticais. De nição 3.7 Dizemos que a reta y = c é uma assíntota horizontal do grá co de uma função y = f(x) se lim f(x) = c ou lim x!+1 f(x) = c: x! 1 Exemplo 3.21 A reta y = 0 (eixo x) é uma assíntota horizontal do grá co de y = e x : Exemplo 3.22 Vamos determinar uma assíntota horizontal do grá co de f(x) = 5x 2 + 8x 3 : 3x 2 + 2 De nição 3.8 Dizemos que a reta x = a é uma assíntota vertical do grá co de uma função y = f(x) se uma das seguintes condições for válida: i) lim +f(x) = +1 ii) lim +f(x) = 1 iii) lim f(x) = +1 iv) lim f(x) = 1: Exemplo 3.23 A reta x = 0 (eixo y) é uma assíntota vertical do grá co de y = 1=x: Exemplo 3.24 A reta x = 0 (eixo y) é uma assíntota vertical do grá co de y = ln x: Exemplo 3.25 A reta x = 2 é uma assíntota vertical do grá co da função y = 1 (x 2) 2 : Exemplo 3.26 Vamos determinar as assíntotas horizontal e vertical do grá co da função f(x) = 3x x 1 : Existem grá cos que possuem in nitas assíntotas. Por exemplo, o grá co da função y = tan x que apresenta assíntotas verticais x = + k; k 2 Z; onde cos x = 0: 2 30

3.6 Dois Limites Fundamentais sin x 1. lim x! 0 x 2. lim x!0 1 cos x x = 1; x em radianos. = 0; x em radianos. Exemplo 3.27 Determinar lim x!0 x sin x sin(2x 2 ) : Exemplo 3.28 Determinar lim x!0 tan x sin x : Proposição 3.8 Se limf(x) existe então: h i i) lim ln [f(x)] = ln lim f(x) ; se limf(x) > 0; h i ii) lim sin [f(x)] = sin lim f(x) ; h i iii) lim cos [f(x)] = cos lim f(x) ; iv) lime f(x) = e lim f(x) : 3.7 Funções Contínuas De nição 3.9 Dizemos que uma função f é contínua no ponto a 2 R se: i) f está de nida em a; ii) lim f(x) existe; iii) lim f(x) = f(a): Observação 3.5 A condição (iii) é equivalente a limf(a + h) = f(a): h!0 E se (iii) é satisfeita, então (i) e (ii) também são veri cadas. Se pelo menos uma das condições (i), (ii) ou (iii) não é satisfeita, então f é dita descontínua em a: 31

8 >< x 2 1 ; se x 6= 1 Exemplo 3.29 Seja f(x) = x 1 : Veri que se f é contínua no ponto >: 1; se x = 1 a = 1. 8 < sin x ; se x 6= 0 Exemplo 3.30 Seja f(x) = x : Veri que se f é contínua no ponto a = 0. : 1; se x = 0 Exemplo 3.31 Seja f(x) = a = 2. 8 >< >: 8 >< Exemplo 3.32 Seja f(x) = >: 1 ; se x 6= 2 (x 2) 2 3; se x = 2 x ; se x 6= 0 jxj 0; se x = 0 : Veri que se f é contínua no ponto : Veri que se f é contínua no ponto a = 0. Exemplo 3.33 As funções constantes, identidade, a m e quadráticas são contínuas em cada ponto a 2 R: Exemplo 3.34 Seja f(x) = x n ; com n natural. Temos que f é contínua em todo ponto a 2 R: Proposição 3.9 Sejam f; g funções contínuas no ponto a 2 R: Então: i) f + g; f g e fg são contínuas no ponto a: ii) f g é contínua no ponto a; se g(a) 6= 0: Exemplo 3.35 Uma função polinomial p(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + + a n x n ; onde a 0 ; a 1 ; : : : ; a n 2 R é contínua em todo número real. Também, toda função racional f(x) = p(x) é contínua em cada ponto a 2 R no qual q(a) 6= 0: q(x) Exemplo 3.36 A função polinomial f(x) = x 3 2x 2 + x 2 é contínua em todo número real. Já a função f(x) = x3 1 só não é contínua em x = 1; pois f( 1) não está de nida. x + 1 De nição 3.10 Uma função f é contínua no intervalo aberto (a; b) R se f for contínua em cada ponto x 0 2 (a; b): 32

Exemplo 3.37 A função f(x) = jxj é contínua em R = ( 1; +1): Exemplo 3.38 A função f(x) = sin x é continua em R: Demonstração. Vamos mostrar que f é contínua em cada ponto a 2 R: Para isso é su ciente mostar que lim h!0 f(a + h) = f(a): Temos, limf(a + h) = lim sin(a + h) h!0 h!0 = lim h!0 [sin(a) cos(h) + sin(h) cos(a)] = lim h!0 sin(a) cos(h) + lim h!0 sin(h) cos(a) = sin(a)lim h!0 cos(h) + cos(a)lim h!0 sin(h) = sin(a) = f(a): Proposição 3.10 Suponha que f é contínua em a e g é contínua em f(a): Então g f é contínua em a: Exemplo 3.39 A função f(x) = cos x é contínua em R: De fato, considere h(x) = 2 x e seja g(x) = sin x; as quais são contínuas em R: Como (g h)(x) = g(h(x)) = g( 2 x) = sin( 2 x) = cos x = f(x); então pela proposição anterior f(x) = cos x é contínua em R: 8 >< 1 x 2 sin ; se x 6= 0 Exemplo 3.40 Seja f(x) = x : Mostre que f é contínua em R: >: 0; se x = 0 Exemplo 3.41 A função exponencial f(x) = e x é contínua em R: Exemplo 3.42 A função logarítmica natural f(x) = ln x é contínua em (0; +1): 33

De nição 3.11 Dizemos que f é contínua no intervalo fechado [a; b] ; quando f for contínua no intervalo aberto (a; b) e vale as igualdades lim +f(x) = f(a) e lim f(x) = f(b): x!b Exemplo 3.43 A função f(x) = p 4 x 2 é contínua em [ 2; 2] : Teorema 3.3 (Teorema do Valor Intermediário) Seja f uma função contínua no intervalo fechado [a; b] e suponha que f(a) 6= f(b): Então f assume todos os valores entre f(a) e f(b): Em outras palavras, se y 0 for qualquer valor entre f(a) e f(b); então y 0 = f(c) para algum c em [a; b] : * Uma consequência para a determinação de raízes Chamamos a solução de uma equação f(x) = 0 uma raiz da equação ou zero da função f: O Teorema do Valor Intermediário nos diz que, se f é contínua, então qualquer intervalo em que f muda de sinal contém um zero da função. Exemplo 3.44 Mostre que a equação x 3 + x intervalo (0; 1): 1 = 0 possui pelo menos uma solução no 34

Capítulo 4 Derivada 4.1 Reta Tangente Dada uma função y = f(x); calculamos a taxa média de variação de y em relação a x no intervalo [x 1 ; x 2 ] dividindo a variação do valor de y; y = f(x 2 ) f(x 1 ); pelo comprimento x = x 2 x 1 = h do intervalo ao longo do qual a variação ocorre. De nição 4.1 A taxa média de variação de y = f(x) em relação a x no intervalo [x 1 ; x 2 ] é f(x 2 ) f(x 1 ) = f(x 1 + h) f(x 1 ) ; h 6= 0: x 2 x 1 h Geometricamente, a taxa de variação de f no intervalo [x 1 ; x 2 ] é o coe ciente angular da reta secante ao grá co de f que passa pelos pontos P (x 1 ; f(x 1 )) e Q(x 2 ; f(x 2 )): O que é uma tangente a uma curva? Uma reta L será tangente a um círculo em um ponto P se L passa por P perpendicularmente ao raio em P: Mas o que signi ca dizer que uma reta L é tangente a uma curva C qualquer em um ponto P? Para de nirmos reta tangente a uma curva dada pelo grá co da função y = f(x); considere um ponto xo P (x 0 ; f(x 0 )) sobre essa curva e vamos estudar o comportamento das secantes que passam por P e pontos próximos Q(x; f(x)); quando Q se move em direção a P ao longo da curva. 35

Começamos calculando o coe ciente angular da secante P Q : f(x) f(x 0 ) x x 0 ou f(x 0 + h) f(x 0 ) ; se x x 0 = h: h Investigamos o limite do coe ciente angular da secante quando Q se aproxima de P; ao longo da curva, porém Q 6= P: Se o limite existe, então o tomamamos como o coe ciente angular da curva em P e de nimos a tangente à curva em P como a reta que passa por P com esse coe ciente angular. De nição 4.2 A reta tangente à curva y = f(x) em P (x 0 ; f(x 0 )) é a reta que passa por P e cujo coe ciente angular é o número desde que o limite exista. f(x) f(x 0 ) f(x 0 + h) f(x 0 ) m = lim = lim x!x0 x x 0 h!0 h Exemplo 4.1 Se o grá co de y = f(x) é uma reta, isto é, f(x) = ax + b então o coe ciente angular da reta tangente ao grá co de f no ponto (x 0 ; f(x 0 )) é: f(x) f(x 0 ) ax + b (ax 0 + b) m = lim = lim x!x0 x x 0 x!x0 x x 0 a(x x 0 ) = lim = lim a = a: x!x0 x x 0 x!x0 Logo, a reta y = ax + b é a própria tangente em qualquer ponto (x 0 ; ax 0 + b): Exemplo 4.2 Determine o coe ciente angular da reta y = 3 2 x 4: Exemplo 4.3 Determine o coe ciente angular da parábola y = x 2 no ponto P (1; 1): Escreva uma equação para a tangente à parábola nesse ponto. 4.2 Derivada em um ponto A expressão f(x 0 + h) f(x 0 ) h 36

é chamada razão incremental de f em x 0 com incremento h: Se a razão incremental tem um limite quando h tende a zero, esse limite é denominado derivada de f em x 0 e denotamos por f 0 (x 0 ) = lim h!0 f(x 0 + h) f(x 0 ) h Se interpretarmos a razão incremental como um coe ciente angular da secante, a derivada nos dá o coe ciente angular da tangente e da curva no ponto onde x = x 0 : Se escrevemos x = x 0 + h; então h = x x 0 e h tende a 0 se, e somente se, x tende a x 0 : Logo, uma de nição equivalente da derivada de f em x 0 é a seguinte: f 0 (x 0 ) = lim x!x0 f(x) f(x 0 ) x x 0 : Exemplo 4.4 Determine a derivada de y = 1=x em x = a 6= 0: Onde o coe ciente angular da curva é 1=4? 4.3 A Derivada como Função De nição 4.3 A derivada de uma função y = f(x) em relação à variável x é a função f 0 cujo valor em x é: desde que o limite exista. f 0 (x) = lim h!0 f(x + h) f(x) h O domínio de f 0 é o conjunto de pontos do domínio de f para os quais o limite existe. O domínio de f 0 pode ser igual ou menor que o domínio de f: Se f 0 (x) existe para um determinado valor de x; dizemos que f é derivável em x: Se f 0 (x) existe em qualquer ponto x do domínio de f, dizemos que f é derivável. Exemplo 4.5 Encontre a derivada de y = p x para x > 0: Determine a equação da reta tangente à curva y = p x no ponto onde x = 4: 37

4.3.1 Notações Há vários modos de representar a derivada de uma função y = f(x); onde a variável independente é x e a dependente é y: Algumas das notações alternativas mais comuns para a derivada são: f 0 (x); y 0 ; dy dx ; df dx ; d dx f(x); D(f)(x); D xf(x): Os símbolos d e D indicam a operação de derivação e são chamados operadores de dx derivação. Para indicar o valor de uma derivada em um número especí co x = a; usamos a notação f 0 dy (a); df dx ; d x=a dx ; x=a dx f(x) : x=a 4.3.2 Derivadas Laterais Uma função y = f(x) será derivável em um intervalo aberto ( nito ou in nito) se tiver uma derivada em cada ponto do intervalo. Será derivável em um intervalo fechado [a; b] se for derivável no interior (a; b) e se os limites f 0 +(a) = lim h!0 + f(a + h) f(a) h e f 0 (b) = lim h!0 f(b + h) h f(b) existirem nas extremidades. Temos que f+(a) 0 é a derivada lateral à direita em a e f 0 (b) é a derivada lateral à esquerda em b: Derivadas à direita e à esquerda podem ser de nidas em qualquer ponto do domínio de uma função. A relação usual entre limites laterais e bilaterais vale para essas derivadas. Assim, uma função terá uma derivada em um ponto se, e somente se, tiver derivadas à direita e à esquerda nesse ponto e se essas derivadas laterais forem iguais. Exemplo 4.6 Mostre que a função f(x) = jxj não é derivável em x = 0: Mostre que f é derivável em ( 1; 0) e (0; +1): Exemplo 4.7 Mostre que a função f(x) = p x não é derivável em x = 0: 38

Exemplo 4.8 Seja f(x) = determine f 0 (1); se existir. 8 < : x 2 ; se x < 1 2x 1; se x 1 : Calcule as derivadas f 0 +(1) e f 0 (1) e Proposição 4.1 Se f é derivável em x = a, então f é contínua em x = a: Demonstração. Se x 6= a considere a igualdade f(x) f(a) = f(x) f(a) x a (x a): Tomando o limite quando x! a e usando que f é derivável em x = a; temos: lim [f(x) f(x) f(a)] = lim x = f 0 (a):0 = 0 f(a) a lim (x a) Logo, ou seja, lim [f(x) f(a)] = 0 limf(x) = f(a) De onde concluímos que f é contínua no ponto x = a: CUIDADO: A recíproca da proposição anterior é falsa. Isto é, uma função pode ser contínua em um ponto e não ser derivável nesse ponto. Por exemplo, a função f(x) = jxj é contínua em R e, no entanto, f 0 (0) não existe. 4.4 Regras de Derivação 1. Derivada de uma função constante: Seja C uma constante e f(x) = C para todo x real. Então f 0 (x) = 0: Exemplo 4.9 Se f(x) = 8 então f 0 (x) = 0: Se g(x) = 2 + p 3 então g 0 (x) = 0: 39

2. Regra da Potência para inteiros positivos: Seja n 2 N e seja f(x) = x n ; então f 0 (x) = nx n 1 : Exemplo 4.10 Se f(x) = x então f 0 (x) = 1: Se f(x) = x 10 ; então f 0 (x) = 10x 9 : 3. Se f e g são funções deriváveis de x; então: f + g; f g; f g; cf; 1 g e f ; g 6= 0 são g deriváveis e: i) (f + g) 0 = f 0 + g 0 ii) (f g) 0 = f 0 g 0 iii) (f g) 0 = f g 0 + f 0 g iv) (cf) 0 = c f 0 ; onde c é constante. 0 1 v) = g0 ; g 6= 0: g g2 0 f vi) = g f 0 f g 0 ; g 6= 0: g g 2 4. Regra da potência para inteiros negativos: Se n 2 N, x 6= 0 e f(x) = x n ; então f 0 (x) = nx n 1 : Observação 4.1 Pode-se estender a regra da potência para expoentes racionais: um número racional e f(x) = x p=q então Se p=q é f 0 (x) = p q xp=q 1 desde que as expressões sejam de nidas. Exemplo 4.11 Encontre a derivada das seguintes funções: a) f(x) = x 2 b) f(x) = 3 2 x 5 c) f(x) = 3x 4 + 8x + 5 d) f(x) = (2x 3 1)(x 4 + x 2 ) 40

e) f(x) = 2x4 3 x 2 5x + 3 f) f(x) = 1 x g) f(x) = p x h) f(x) = 5p x 2 : Observação 4.2 Segue das regras de derivada que qualquer polinômio p(x) = a 0 + a 1 x + +a n x n ; a 0 ; : : : ; a n 2 R; é derivável, como também qualquer função racional f(x) = p(x) q(x) ; q(x) 6= 0: 4.4.1 Derivada de uma função composta Exemplo 4.12 A função y = 3 2 x é a função composta de y = g(u) = 1 u com u = f(x) = 2 3x: Como a derivada dessas funções se relacionam? Solução: Temos que y = (g f)(x) e (g f) 0 (x) = 3 2 : Por outro lado, g0 (u) = 1 2 e f 0 (x) = 3: Como 3 2 = 1 3; concluímos que 2 ou seja, (g f) 0 (x) = g 0 (f(x)) f 0 (x) dy dx = dy du du dx : A derivada de uma função composta g(f(x)) em x é a derivada de g em f(x) multiplicada pela derivada de f em x: Teorema 4.1 (Regra da Cadeia) Se g(u) é derivável no ponto u = f(x) e f(x) é derivável em x; então a função composta (g f)(x) = g(f(x)) é derivável em x e (g f) 0 (x) = g 0 (f(x)) f 0 (x): Se y = g(u) e u = f(x); então dy dx = dy du du dx onde dy du é calculada em u = f(x): 41

Exemplo 4.13 Se y = 6u 9 e u = 1 2 x4 ; determine dy dx : Exemplo 4.14 Encontre a derivada das funções. a) y = (x 3 + 2) 3=2 b) y = (2x 2 5x + 1) 7 c) p = p p 1 t d) y = s(s 2 1) 1=2 : 4.4.2 Derivada das Funções Trigonométricas d 1. (sin x) = cos x dx Demonstração. Seja f(x) = sin x: Temos f 0 f(x + h) f(x) sin(x + h) sin x (x) = lim = lim h!0 h h!0 h sin(x) cos(h) + sin(h) cos(x) sin x = lim h!0 h sin x(cos(h) 1) + sin(h) cos(x) = lim h!0 = lim h!0 sin x h (cos(h) 1) h + sin(h) h cos(x) (cos(h) 1) sin(h) = sin x lim + cos x lim h!0 h h!0 h = sin x 0 + cos x 1 = cos x: d 2. (cos x) = dx sin x Demonstração. Como cos x = sin( 2 d dx (cos x) = cos( 2 = cos( 2 = h cos x); segue da regra da cadeia que x) d dx ( 2 x) x) ( 1) cos x + sin 2 i sin x 2 = [0 cos x + 1 sin x] = sin x: 42

d 3. dx (tan x) = sec2 x d 4. (cot x) = dx csc2 x d 5. (sec x) = sec x tan x dx d 6. (csc x) = csc x cot x dx Exemplo 4.15 Encontre a derivada das funções: a) f(x) = sin(x 2 ) 1 b) y = cos x c) f(t) = t sec(2t + 9) sin x d) f(x) = 1 2 cos x e) f(x) = tan(x 2 ) + 7x 2 f) f(x) = csc x cot x Exercício 12 Use o fato de que jxj = p x 2 para encontrar d (jxj) ; se x 6= 0: dx Exercício 13 Se u é uma função derivável de x; mostre que d dx (juj) = u juj D x(u); 8u 6= 0 Exercício 14 Encontre a derivada da função f(x) = jx 2 + 2j : 4.5 Derivação Implícita Considere a equação F (x; y) = c (4.1) onde c é uma constante e F é uma função. Dizemos que a função y = f(x) é de nida implicitamente pela equação (4.1) se, ao substituirmos y por f(x) em (4.1); obtemos uma identidade. 43

Exemplo 4.16 A equação x 2 + y 2 = 1 de ne implicitamente as funções y = p 1 x 2 e y = p 1 x 2 : Em geral, para derivar as funções de nidas implicitamente não é necessário resolver uma equação para y em termos de x: Exemplo 4.17 Determine dy dx ; sabendo que x2 + y 2 = 1: Exemplo 4.18 Determine dy dx ; sabendo que y2 = x 2 + sin(xy): Exercício 15 Mostre que o ponto (2; 4) está na curva x 3 + y 3 encontre a equação da reta tangente à curva nesse ponto. 9xy = 0: Em seguida, Exercício 16 Seja y = x p=q ; p; q 2 Z e q 6= 0: Mostre que y 0 = p q xp=q 1 para todo x no domínio de x p=q 1 : 4.6 Derivadas Sucessivas Vimos que se y = f(x) é uma função derivável, então sua derivada f 0 (x) também é uma função. Se f 0 também for derivável, então poderemos derivar f 0 a m de obter uma nova função de x denotada por f 00 : Logo, f 00 = (f 0 ) 0 : A função f 00 é chamada derivada segunda de f: Outras notações para a derivada segunda: f 00 (x); y 00 ; d 2 y dx 2 ; d dx dy ; dx d 2 f dx 2 : Se f 00 for ainda uma função derivável, então sua derivada, representada por f 000 é denominada derivada terceira de f: Se a derivada de ordem (n 1) de f existir, representaremos por f (n 1) : Caso f (n 1) seja derivável, representamos sua derivada por f (n) que é chamada derivada de ordem n de f ou enésima derivada de f em relação a x; para qualquer número inteiro positivo n: Outtras notações: y (n) ; d n y dx ; d n f n dx : n 44

Exemplo 4.19 Encontre as três primeiras derivadas de f(x) = x 3 : Exemplo 4.20 Encontre as quatro primeiras derivadas de f(x) = x 4 : De um modo geral, se f(x) = x n então: f (n) (x) = n(n 1)(n 2) 2 1 = n!: Exemplo 4.21 Encontre as quatro primeiras derivadas de f(x) = x 3 3x 2 + 2: Exemplo 4.22 Se f(x) = sin x; então 8 < sin x; se n é par f (n) (x) = : cos x; se n é ímpar : 4.7 Derivada da Função Logarítmica Natural d dx (ln x) = 1 x Se u é uma função derivável de x; então: para x > 0. d dx (ln u) = 1 u D x(u): Exemplo 4.23 Encontre a derivada das funções. a) f(x) = ln(5x 2 + 1) b) f(x) = ln(sin 2 (x)) c) g(t) = x ln x: 4.8 Derivada da Função Exponencial Natural A função exponencial natural f(x) = e x é a inversa da função logarítmica natural ln x: Assim, ln(e x ) = x 45

e portanto Desta forma, D x (ln(e x )) = D x (x) ) 1 e x D x(e x ) = 1 ) D x (e x ) = e x : Se u é uma função derivável de x; então d dx (ex ) = e x para todo x real. D x (e u ) = e u D x (u): Exemplo 4.24 Encontre a derivada das funções: a) f(x) = e x+ln x b) f(x) = e x3 +x c) g(x) = e x sin x Exemplo 4.25 Se f(x) = e x então f (n) (x) = e x : Exercício 17 Se ln(xy) + 8x + y = 10; use derivação implícita para encontrar dy dx : 4.9 Reta Tangente Horizontal Dizemos que a reta tangente ao grá co da função y = f(x) no ponto (x 0 ; y 0 ) é horizontal, se o seu coe ciente angular for zero, isto é f 0 (x 0 ) = 0: Neste caso, a equação da reta tangente é: y = y 0 : De nição 4.4 Dizemos que uma reta é normal ao grá co de y = f(x) no ponto (x 0 ; y 0 ) se for perpendicular à reta tangente ao grá co de f nesse ponto. O coe ciente angular m n da reta normal está relacionado com o coe ciente angular da reta tangente da seguinte forma: m n m = 1 onde m é o coe ciente angular da reta tangente. Exemplo 4.26 Determine a equação da reta normal ao grá co de y = tan x no ponto ( 4 ; 1): 46