UM ESTUDO SOBRE OPERADORES DE CAPTURA DE DESCONTINUIDADES PARA PROBLEMAS DE TRANSPORTE ADVECTIVOS. Carlos Alberto Alvarez Henao

UM ESTUDO SOBRE OPERADORES DE CAPTURA DE DESCONTINUIDADES PARA PROBLEMAS DE TRANSPORTE ADVECTIVOS Carlos Albrto Alvarz Hnao TESE SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DA COORDENAÇÃO DOS PROGRAMAS DE PÓS-GRADUAÇÃO DE ENGENHARIA DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE DOS REQUISITOS NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE MESTRE EM CIÊNCIAS EM ENGENHARIA CIVIL. Aprovada por: Prof. Alvaro Luiz Gayoso d Azrdo Coutino, D.Sc. Prof. Luiz Landau, D.Sc. Prof. Paulo Augusto Brquó D Sampaio, P.D. Dr. André Adriano Bndr, P.D. RIO DE JANEIRO, RJ - BRASIL MAIO DE 2004

Alvarz Hnao, Carlos Albrto Um studo sobr opradors d captura d dscontinuidads para problmas d transport advctivos [Rio d Janiro] 2004 XIII, 106 p. 29,7 cm. (COPPE/UFRJ, M.Sc. Engnaria Civil, 2004) Ts Univrsidad Fdral do Rio d Janiro, COPPE 1. Elmntos Finitos Estabilizados 2. Equação d convcção - difusão 3. Opradors d Captura d Dscontinuidads I. COPPE/UFRJ II. Título (séri) ii

A mina grand Familia: José d Jsús Luz Elna, pais; José Mauricio, Luz Angla Digo Aljandro, irmãos; Elizabt, mu milagro d abril mulr da mina vida! Os srs mais quridos amados, a força qu prcisi para lutar. iii

Agradcimntos Ao Profssor Alvaro Coutino pla orintação no trabalo, assim como plo grand sforço paciência na rvisão do portunol pla oportunidad brindada. Obrigado total. A Jorg Caldron Espranza Hurtado, os grand amigos no Rio, A Paula Ssini Dnis pla amizad, confiança ajuda, A Luciano pla grand amizad, A Claudia M. Dias no LNCC pla colaboração ddicação no momnto prciso, À turma colombiana: Mariana Gabril, Ully (quasi colombiana irmã d coração), Gloria, Srgio Cristina, Javir, Luz Marina, Ana, Luz Stlla,... Ao Médico Paulo Marino pla ajuda amizad nos momntos fracos d saúd, À turma Latino-amricana: Cristian Magna, Robrta, Albrto Jorg, A Mara, Mirian, Marcos, Rubns, Enriqu Rnato pla pronta colaboração, A Isabl pla amizad, curta mas total, Aos ingratamnt squcidos nst momnto..., E ao povo brasiliro pla oportunidad brindada. Obrigado BRASIL! iv

Rsumo da Ts aprsntada a COPPE/UFRJ como part dos rquisitos ncssários para a obtnção do grau d Mstr m Ciências (M. Sc.) Um studo sobr opradors d captura d dscontinuidads para problmas d transport advctivos Carlos Albrto Alvarz Hnao Maio / 2004 Orintador: Alvaro Luiz Gayoso d Azrdo Coutino Programa: Engnaria Civil Est trabalo trata-s d um studo comparativo ntr difrnts squmas d lmntos finitos stabilizados para a quação d advcção difusão. Aprsntam-s os squmas d stabilização propostos por Galão Do Carmo, Codina, Sampaio Coutino, Juans Patzk Tzduyar. São fitos xprimntos numéricos, m problmas m rgim stacionário transint, utilizando lmntos triangulars linars quadrilátros bi-linars com uma técnica d intgração rduzida. São ralizadas comparaçõs ntr os difrnts squmas, rssaltando-s suas vantagns dsvantagns. Os squmas foram implmntados na formulação stabilizada d lmntos finitos SUPG. Para a intgração no tmpo foi utilizado o algoritmo implícito prditor/multi corrtor o algoritmo GMRES para a rsolução dos sistmas d quaçõs linars m cada passo d tmpo. v

Abstract of Tsis prsntd to COPPE/UFRJ as a partial fulfillmnt of t rquirmnts for t dgr of Mastr of Scinc (M.Sc.) A study of discontinuity capturing oprators for finit lmnt simulation of advction-dominatd transport pnomna Carlos Albrto Alvarz Hnao Maio / 2004 Advisor: Alvaro Luiz Gayoso d Azrdo Coutino Dpartmnt: Civil Enginring Tis work rports a comparativ study among svral discontinuity capturing oprators for t finit lmnt simulation of advction-dominatd transport problms. W considr t smi-discrt SUPG finit lmnt formulation addd wit t discontinuity-capturing oprators introducd by Galão and Do Carmo, Codina, Sampaio and Coutino, Juans and Patzk and Tzduyar. Numrical xprimnts, in stady stat and transint problms, using linar triangular lmnts and bilinar quadrilatral lmnts wit rducd intgration tcniqus ar prformd, trying to accss tir rlativ advantags and disadvantags. For tim intgration w us a prdictor/multi-corrctor algoritm, wr t ffctiv systms of linar quations ar solvd by prconditiond GMRES. vi

ÍNDICE 1 Introdução 1 2 Formulação SUPG para a Equação d Transport 5 2.1 Formulação SUPG smi-discrta 5 2.2 Formulação variacional 6 2.3 Formulação Matricial do Elmnto Triangular Linar 8 2.3.1 Discrtização 8 2.3.2 Dtrminação das matrizs ao nívl do lmnto 9 2.4 Elmnto Quadrilátro Bi-Linar com Intgração Rduzida 12 2.4.1 Prliminars 12 2.4.2 Matrizs d lmnto quadrilátro 13 2.5 Intgração no Tmpo 17 3 Formulação dos Opradors d Captura d Dscontinuidads 20 3.1 Formulação Gral 20 3.2 Oprador CAU 23 3.3 Oprador CD 24 vii

3.4 Oprador ETV 26 3.5 Oprador ASGS 27 3.6 Oprador DCDD 29 4 Exmplos d Validação da Implmntação 34 4.1 Exmplo 1 Advcção pura m stado stacionario com lmnto triangular 34 4.2 Exmplo 2 Advcção pura m stado stacionario com lmnto quadrilâtro intgração rduzida 46 4.3 Exmplo 3 Advcção fluxo rotacional m stado stacionario 65 4.4 Exmplo 4 Advcção fluido m moviminto com lmnto triangular 69 4.5 Exmplo 5 Advcção fluido m moviminto com lmnto quadrilátro intgração rduzida 85 4.6 Exmplo 6 Advcção colina m forma d co-sno fluido m rotação 92 5 Conclusõs Trabalos Futuros 99 Rfrências bibliográficas 102 viii

ÍNDICE DE FIGURAS Figura 2.1 Elmnto quadrilátro bi-linar. Plano físico plano d rfrência 13 Figura 3.1 Esquma do OCD 22 Figura 4.1 Convcção através do domínio com condiçõs d contorno omogênas 35 Figura 4.2 Fluxo à 45º, (a)supg, (b)supg+cau, (c)supg+cd, (d)supg+etv, ()SUPG+ASGS, (f)supg+dcdd 37 Figura 4.3 Elmntos triangulars linars, fluxo à 45º, (a)cort transvrsal sobr a diagonal do domínio, (b)convrgência da solução. 39 Figura 4.4 Fluxo à 67.5 o, (a)supg, (b)supg+cau, (c)supg+cd, (d)supg+etv, ()SUPG+ASGS, (f)supg+dcdd 41 Figura 4.5 Elmntos triangulars linars, fluxo à 67.5º, (a)cort transvrsal sobr a diagonal do domínio, (b)convrgência da solução. 42 Figura 4.6 Fluxo à 22.5 o, (a)supg, (b)supg+cau, (c)supg+cd, (d)supg+etv, ()SUPG+ASGS, (f)supg+dcdd 44 Figura 4.7 Elmntos triangulars linars, fluxo à 22.5º, (a)cort transvrsal sobr a diagonal do domínio, (b)convrgência da solução. 45 Figura 4.8 Elmntos quadrilátros com intgração rduzida, ε = 0.0, fluxo à 45º, (a)supg, (b)supg+cau, (c)supg+cd, (d)supg+etv, ()SUPG+ASGS, (f)supg+dcdd 48 ix

Figura 4.9 Elmntos quadrilátros com intgração rduzida, ε = 0.0, fluxo à 45 o, (a) Cort transvrsal sobr a diagonal do domínio, (b) Convrgência da solução. 48 Figura 4.10 Elmntos quadrilátros com intgração rduzida, ε = 1.0, fluxo à 45º, (a)supg, (b)supg+cau, (c)supg+cd, (d)supg+etv, ()SUPG+ASGS, (f)supg+dcdd 51 Figura 4.11 Elmntos quadrilátros com intgração rduzida, ε = 1.0, fluxo à 45 o, (a) Cort transvrsal sobr a diagonal do domínio, (b) Convrgência da solução. 51 Figura 4.12 Elmntos quadrilátros com intgração rduzida, ε = 0.0, fluxo à 67.5º, (a)supg, (b)supg+cau, (c)supg+cd, (d)supg+etv, ()SUPG+ASGS, (f)supg+dcdd 54 Figura 4.13 Elmntos quadrilátros com intgração rduzida, ε = 0.0, fluxo à 67.5 o, (a) Cort transvrsal sobr a diagonal do domínio, (b) Convrgência da solução. 55 Figura 4.14 Elmntos quadrilátros com intgração rduzida, ε = 1.0, fluxo à 67.5º, (a)supg, (b)supg+cau, (c)supg+cd, (d)supg+etv, ()SUPG+ASGS, (f)supg+dcdd 57 Figura 4.15 Elmntos quadrilátros com intgração rduzida, ε = 1.0, fluxo à 67.5 o, (a) Cort transvrsal sobr a diagonal do domínio, (b) Convrgência da solução. 58 Figura 4.16 Elmntos quadrilátros com intgração rduzida, ε = 0.0, fluxo à 22.5º, (a)supg, (b)supg+cau, (c)supg+cd, (d)supg+etv, ()SUPG+ASGS, (f)supg+dcdd 60 Figura 4.17 Elmntos quadrilátros com intgração rduzida, ε = 0.0, fluxo à 22.5 o, (a) Cort transvrsal sobr a diagonal do domínio, (b) Convrgência da solução. 61 Figura 4.18 Elmntos quadrilátros com intgração rduzida, ε = 1.0, fluxo à 22.5º, (a)supg, (b)supg+cau, (c)supg+cd, (d)supg+etv, ()SUPG+ASGS, (f)supg+dcdd 63 x

Figura 4.19 Elmntos quadrilátros com intgração rduzida, ε = 1.0, fluxo à 22.5 o, (a) Cort transvrsal sobr a diagonal do domínio, (b) Convrgência da solução. 64 Figura 4.20 Convcção m um scoamnto circular 65 Figura 4.21 Fluxo rotacional, (a) SUPG, (b)supg+cau, (c)supg+cd, (d)supg+asgs, ()SUPG+ETV, (f)supg+dcdd. 67 Figura 4.22 Fluxo rotacional, cort transvrsal 68 Figura 4.23 Fluxo rotacional, Convrgência da solução 68 Figura 4.24 Advcção d um platô m um fluido m movimnto unidircional 69 Figura 4.25 Advcção d um platô m um fluido m movimnto unidircional, lmntos triangulars linars, passo d tmpo 1. (a)supg, (b)supg+cau, (c)supg+cd, (d)supg+etv, ()SUPG+ASGS, (f)supg+dcdd. 71 Figura 4.26 Advcção d um platô m um fluido m movimnto unidircional, lmntos triangulars linars, passo d tmpo 250. (a)supg, (b)supg+cau, (c)supg+cd, (d)supg+etv, ()SUPG+ASGS, (f)supg+dcdd. 73 Figura 4.27 Advcção d um platô m um fluido m movimnto unidircional, lmntos triangulars linars, passo d tmpo 501. (a)supg, (b)supg+cau, (c)supg+cd, (d)supg+etv, ()SUPG+ASGS, (f)supg+dcdd. 75 Figura 4.28 Fluxo movimnto unidirccional, prfil avanço no tmpo. 78 Figura 4.29 Esquma sm conglamnto 80 Figura 4.30 Esquma tim lagging (Tzduyar) 81 Figura 4.31 Esquma tim lagging modificado 83 xi

Figura 4.32 Platô m movimnto diagonal, quadrilâtro bi-linar com intgração rduzida, passo d tmpo 1; (a)supg, ε=0.0; (b)supg, ε=1.0; (c)cau, ε=0.0; (d)cau, ε=0.05; ()CD, ε=0.0; (f)cd, ε=0.05; (g)etv, ε=0.0; ()ETV, ε=1.0; (i)asgs, ε=0.0; (j)asgs, ε=0.05. 88 Figura 4.33 Platô m movimnto diagonal, quadrilâtro bi-linar com intgração rduzida, passo d tmpo 29, (a)supg, ε=0.0; (b)supg, ε=1.0; (c)cau, ε=0.0; (d)cau, ε=0.05; ()CD, ε=0.0; (f)cd, ε=0.05; (g)etv, ε=0.0; ()ETV, ε=1.0; (i)asgs, ε=0.0; (j)asgs, ε=0.05. 92 Figura 4.34 Advcção d uma colina m forma d co-sno m um fluido m rotação 93 Figura 4.35 Advcção colina m forma d co-sno d um fluido m rotação, passo d tmpo 1. (a)supg, (b)supg+cau, (c)supg+cd, (d)supg+etv, ()SUPG+ASGS, (f)supg+dcdd. 95 Figura 4.36 Advcção colina m forma d co-sno d um fluido m rotação, passo d tmpo 126. (a)supg, (b)supg+cau, (c)supg+cd, (d)supg+etv, ()SUPG+ASGS, (f)supg+dcdd. 97 xii

ÍNDICE DE TABELAS Tabla 4.1 Comparação squmas d conglamnto para o OCD-CAU 83 Tabla 4.2 Comparação squmas d conglamnto para o OCD-CD 83 Tabla 4.3 Comparação squmas d conglamnto para o OCD-ASGS 83 Tabla 4.4 Comparação squmas d conglamnto para o OCD- DCDD 84 xiii

Capítulo 1 Introdução O Método dos Elmntos Finitos, MEF, é uma frramnta numérica dsnvolvida para rsolvr, d manira aproximada, problmas d valors d contorno (Boundary Valu Problms, BVP) problmas d valor inicial qu nvolvm quaçõs difrnciais m drivadas parciais. O MEF foi implmntado, inicialmnt, para a rsolução d problmas da mcânica dos sólidos foi tanto o êxito dsta mtodologia nsta ára, qu rapidamnt foram dsnvolvidas novas aplicaçõs num contxto mais gral da mcânica do mio contínuo. Estas aplicaçõs abrangm as áras da dinâmica dos fluidos computacional (por xmplo, disprsão d polunts no ar na água, simulação d rsrvatórios, injção d traçadors, fluxo m mios porosos, irrigação, drnagm), ltromagntismo, transfrência d calor, ntr outras. Na discrtização spacial, mprgada na mcânica dos sólidos, é utilizado o método d Galrkin, assim como também nos problmas prdominantmnt difusivos. Contudo, na prsnça do trmo convctivo, sta formulação não é satisfatória, aprsntando oscilaçõs spúrias qu não prtncm ao problma físico, mas dvidas à falta d stabilidad da formulação mprgada. D fato, a aplicação do método d Galrkin a problmas d advcção-difusão é muito smlant ao uso d difrnças finitas cntradas, o qu, quando a advcção é dominant conduz a soluçõs compltamnt não físicas. O rmédio clássico d difrnças finitas é tratar-s o trmo advctivo por uma aproximação d primira ordm com um ponto à montant. Os primiros sforços para s obtr soluçõs fisicamnt acitávis com o métodos dos lmntos finitos concntraram-s m mimtizar d alguma forma os fitos da discrtização 1

com um ponto à montant. Porém vrificou-s qu st nfoqu não ra variacionalmnt consistnt pouco prciso. Para maiors dtals sobr a volução dos métodos d lmntos finitos para problmas prdominantmnt convctivos, vja por xmplo, Sampaio Coutino [8]. Dntr as formulaçõs d stabilização d lmntos finitos variacionalmnt consistnts dsnvolvidas na busca d suprimir ssas oscilaçõs tmos: Stramlin/Upwind Ptrov-Galrkin, SUPG [1] Galrkin Last-Squars, GLS [2]. A formulação sguida nst trabalo é a SUPG, ond a corrção introduzida atua na dirção das linas d corrnt, consguindo diminuir aprciavlmnt as oscilaçõs aprsntadas na formulação original d Galrkin. Porém, continuam aparcndo oscilaçõs spúrias nas dirçõs prpndiculars às linas d corrnt na vizinança das camadas limit dvido à prsnça d forts gradints. Como altrnativa d controlar ssas oscilaçõs, foram stão sndo dsnvolvidas psquisas na implmntação d um trmo adicional nas formulaçõs d stabilização. Ess trmo é o Oprador d Captura d Dscontinuidads, qu, transforma m não-linar a formulação SUPG. As primiras abordagns, como vrmos adiant, na dtrminação d uma formulação tipo OCD foram dadas por Hugs Mizukami [4] m 1985 Hugs, Mallt Mizukami [5] m 1986. Nsts artigos mostra-s qu a dirção das linas d corrnt nm smpr é a mais apropriada. A idéia básica dos difrnts métodos qu vm sndo dsnvolvidos é introduzir uma corrção numa dirção apropriada. O trabalo aprsntado por Galão Do Carmo [6] m 1988 utiliza a idéia d uma Dirção aproximada à montant para dsnvolvr o método CAU (Consistnt Approximat Upwind), utilizado com sucsso para rsolução d problmas d transport d uma grandza scalar aprsntando boas caractrísticas d stabilidad, mas quando na prsnça d uma solução suav obsrva-s uma difusão transvrsal não dsjada. Foram dsnvolvidas duas variaçõs dst método qu contornassm a dsvantagm aprsntada: VCAU (Variational CAU) CCAU (Control CAU)[23], qu incorporam uma 2

modificação do parâmtro upwind no primiro uma função d rtroalimntação qu controla o trmo d prturbação d acordo com a rgularidad aprsntada pla solução aproximada, no sgundo. Codina [7] m 1993, propõ um método qu mantém inaltrada a corrção na dirção das linas d corrnt modifica unicamnt a difusão transvrsal (crosswind diffusion) nssa dirção. Sampaio Coutino [8] m 2001 aprsntam uma formulação qu lva a uma drivação imdiata do OCD, qu não prcisa do trmo adicional, qu pod sr facilmnt adicionada a difrnts formulaçõs, tais como, Lax Wndroff, Taylor Galrkin Last Squars. Nss msmo ano, é publicado o trabalo d Juans Patzk [9] qu utilizam a formulação multiscala, proposta por Hugs [10], para rsolvr o problma d transport aplicando-a ao contxto da indústria do ptrólo. Tzduyar [3,11-13] aprsnta uma nova formulação na dtrminação do trmo OCD. É originalmnt dsnvolvida para problmas ond o contorno muda no tmpo (intração fluido strutura, por xmplo) basada nas formulaçõs stabilizadas: SUPG, Galrkin Last Squars (GLS) Prsur-Stabilizing/Ptrov-Galrkin (PSPG). Mais rcntmnt, m 2003, Do Carmo Alvarz [28] dsnvolvram um novo método ond a idéia principal é rsolvr os problmas aprsntados plas formulaçõs SUPG prto da camada limit CAU, com a quda na prcisão m problmas com solução suav, mdiant a modificação da função pso original da formulação SUPG. Outros studos vm sndo dsnvolvidos para caractrizar oscilaçõs spúrias na quação d transport [29-30]. Nst trabalo vamos nos rstringir a xaminar os OCD d Galão Do Carmo, Codina, Sampaio Coutino, Juans Patzk, Tzduyar. Estudou-s uma séri d xmplos propostos na litratura, para comparar os rsultados ants dpois da implmntação dos difrnts tipos d OCD. Todos os opradors foram implmntados m um único programa são usados para a rsolução dos problmas scalar d advcção difusão m rgims stacionário transint, sguindo a implmntação SUPG [14]. A rsolução do sistma d quaçõs rsultant é fito mdiant o algoritmo GMRES [15] com pré-condicionamnto lmnto-por-lmnto Gauss-Sidl. A implmntação dos difrnts opradors foi fita utilizando dois tipos difrnts d lmntos, o triângulo linar o quadrilátro bi-linar com 3

intgração rduzida, sguindo a mtodologia proposta por Dias [16] Dias Coutino [17]. A formulação SUPG acrscida com o trmo OCD transforma o sistma d quaçõs linars num sistma não-linar. Foi utilizado um squma tipo itraçõs sucssivas para a solução do problma não-linar rsultant. Para a intgração no tmpo, na formulação transint, sgu-s o squma prditor multicorrtor d [27] O rstant dsta ts é organizado da sguint forma: No capítulo 2, aprsnta-s a formulação SUPG para o problma d transport, também concida como quação d advcção difusão. São dsnvolvidas as matrizs ao nívl do lmnto tanto para os lmntos triangular linar quanto para o quadrilátro bi-linar utilizando uma técnica d intgração rduzida. Por último s aprsnta uma brv dscrição do algoritmo implícito para intgração no tmpo. No capítulo 3, faz-s uma dscrição dtalada dos difrnts OCD s psquisados, aprsntando-s a rspctiva formulação matricial. No capítulo 4, mostram-s vários xmplos d avaliação das formulaçõs studadas, tanto para o rgim stacionário quanto para o transint, utilizando os lmntos triangular linar quadrilátro bi-linar com intgração rduzida. São fitas comparaçõs da convrgência prcisão das soluçõs obtidas m divrsos casos tsts. No capítulo 5, tm-s as conclusõs prspctivas d trabalos futuros. 4

Capítulo 2 Formulação SUPG para a Equação d Transport Nst capítulo aprsnta-s a formulação Stramlin Upwind / Ptrov Galrkin, SUPG, para a quação d transport m rgim transint m duas dimnsõs. São dsnvolvidas as matrizs d lmnto para o triângulo linar para o lmnto quadrilátro bi-linar com intgração rduzida. Por último, é aprsntado o algoritmo implícito para a intgração no tmpo. 2.1 Formulação SUPG smi-discrta Sja 2 Ω R, é a dimnsão do spaço, com contorno Γ, m um intrvalo d tmpo [0, T], x = ( x, y), um ponto gnérico m Ω = { } n a dirção normal n i xtrna à Γ. Supona qu o contorno Γ sja tal qu, Γg Γq = Γ, Γg Γq = 0. A quação difrncial qu govrna o problma d transport é dada por: φ + β φ D φ = f m Ω [ 0,T ] (2.1) t A quação (2.1) é submtida às condiçõs d contorno ssnciais naturais: φ = g m Γ g (2.2) n D φ = q m Γ q (2.3) condição inicial: x,0) 0 ( x) φ ( = φ (2.4) 5

ond g q são funçõs concidas, Γ g Γ q são subconjuntos complmntars d Γ, φ é a função a sr concida (tmpratura, concntração, tc.), β é o campo d vlocidads concido variávl no tmpo, isto é, ( x,t) β = β (2.5) Além disso, assum-s qu o campo d vlocidads é solnoidal, isto é, β = 0. O tnsor D, é d sgunda ordm contém os coficints d difusão do matrial. Assum-s qu o mio é anisotrópico trogêno, isto é, kxx kxy D = (2.6) k yx kyy Adotando-s a ipóts d matrial ortotrópico, o tnsor D fica dfinido como, kxx 0 D = (2.7) 0 k yy o trmo font concido é dado por f. 2.2 Formulação Variacional A quação (2.1) stá na sua forma fort. Para obtr a formulação variacional quivalnt dfin-s duas classs d funçõs: a primira é a corrspondnt às funçõs tst, φ, qu dvm satisfazr as condiçõs d contorno uma outra class dada plas funçõs pso, w, qu satisfazm condiçõs nulas no contorno. Então o problma fica nunciado como: Acar φ S w V tal qu: S = V = { φ φ H 1, φ = g() t m Γ [ 0, T ]} 1 { w w H, w = 0 m Γ} (2.8) A formulação variacional tipo Galrkin é obtida multiplicando a forma fort por uma função pso w V intgrando-s, rsultando na sguint quação, 6

Ω φ w + β φ + ( D φ ) f dω = 0 (2.9) t A formulação SUPG com o trmo OCD para o problma dado plas quaçõs (2.1 2.4) é: Nl Nl ( ) dω + τ SUPG w L( φ ) dω + δocd w φ dω = 0 w L φ β (2.10) 14444 24444 3 1444 24443 Ω 1 44243 4 Galrkin Ω = 1 SUPG Ω = 1 OCD Nsta quação, a primira parcla corrspond à formulação d Galrkin, a sgunda à formulação SUPG a trcira ao Oprador d Captura d Dscontinuidads, com: φ L( φ ) = + β φ + ( D φ ) f (2.11) t sndo o rsíduo no intrior do lmnto. O supr-índic rfr-s à associação d S V a uma mala d lmntos finitos. O parâmtro d stabilização SUPG é dado por: τ α 1 up SUPG = (2.12) 2 β ond P α up = min, 1 (2.13) 3 P = (2.14) T β Dβ β 3 = 2A (2.15) ond α up é o parâmtro d upwind, é o tamano caractrístico do lmnto, P é o númro d Pclt do lmnto, qu é uma quantidad adimnsional qu md a importância da advcção rlativa à difusão. 7

O parâmtro δ OCD, é camado parâmtro do Oprador d Captura d Dscontinuidads, OCD. Est parâmtro torna não linar a formulação rsultant, como vrmos adiant. Not qu (2.10) é uma formulação variacional consistnt, ond à mdida qu 0, a solução aproximada tnd à solução do problma. 2.3 Formulação Matricial do Elmnto Triangular Linar A sguir aprsntam-s a discrtização spacial da formulação SUPG a dtrminação das matrizs para o lmnto triangular linar. 2.3.1 Discrtização A solução φ a função d pso w são aproximadas plas sguints xprssõs: Nnos i= 1 ( x) d ( t) φ = N (2.16) w = Nnos i= 1 i N i ( ) i x c (2.17) i ond Nnos é o númro d nós da mala d lmntos finitos N é a matriz contndo as funçõs d intrpolação para o lmnto, dpndnts somnt d x, dada por: [ N N ] N = (2.18) 1 2 N3 Substituindo-s a aproximação d lmntos finitos dada por (2.10) m (2.16) (2.17) obtém-s um sistma d quaçõs difrnciais ordinárias não-linar, rprsntado como: M d & + K( d) d = F (2.19) 8

ond M, é a matriz d massa, K é camada d Matriz d Rigidz m analogia à mcânica dos sólidos, d & é um vtor dpndnt somnt do tmpo. As matrizs M K são construídas através do assmbling, rprsntados por A, d todos os lmntos da mala d lmntos finitos. As matrizs rsultants são dadas por: M = M G + M PG K = K + K + K + K + K (2.20) DG CG DPG CPG OCD F = F G + F PG ond os sub-índics G, PG OCD são corrspondnts rspctivamnt às contribuiçõs d Galrkin, Ptrov-Galrkin do Oprador d Captura d Dscontinuidads. Já os sub-índics D C são corrspondnts às parclas da Difusão Convcção, rspctivamnt. 2.3.2 Dtrminação das matrizs ao nívl do lmnto - Matriz d massa d Galrkin: nl MG A = 1 = m (2.21) G G [ mg ] ij m = (2.22) nint φ [ mg ] = w dω = N Ω ( ) ij i N jd N i N j l Ω t Ω l= 1 j w l l (2.23) 2 1 1 A m = G 1 2 1 (2.24) 12 1 1 2 ond j é o jacobiano do lmnto dado por: 9

10 = 2 2 1 1 ξ ξ ξ ξ y x y x j (2.25) - Matriz d difusão d Galrkin: nl DG k K A 1 = = (2.26) Ω Ω Ω Ω = = d x x x y y y A k k x y x y x y A d 21 13 32 12 31 23 22 11 21 12 13 31 32 23 T 2 1 0 0 2 1 DB B k (2.27) ond: = y N y N y N x N x N x N 3 2 1 3 2 1 B (2.28) é o oprador gradint discrto. - Matriz d convcção d Galrkin: CG nl CG k K A 1 = = (2.29) [ ] ij CG CG k = k (2.30) [ ] + = = d y N x N N d w k j y j x i ij CG Ω Ω Ω β β Ω φ β (2.31) Aproximando a intgral por intgração numérica, s obtém: [ ] + l l l l j y j x ij CG w j y N x N Ni k β β (2.32)

qu, intgrando-s com um único ponto rsulta na matriz: y23 y31 y12 x32 x13 x b b 21 β = β x y k + CG y23 y31 y12 x32 x13 x21 6 6 (2.33) y 23 y31 y12 x32 x13 x21 - Matriz d massa d Ptrov-Galrkin: nl M PG A = 1 = m (2.34) PG PG [ mpg ] ij m = (2.35) [ m ] PG ij = = = Ω Ω Ω β τ w 6 w τ β x x φ t dω w + β y y Ni N τ β x + β y x y i φ t N dω j dω (2.36) Aproximando a intgral por intgração numérica, s obtém: Ni Ni [ PG ] ij τ β x + β y N j jlwl m l x y (2.37) qu, avaliada com um ponto rsulta na matriz, l y23 y23 y23 x32 x32 x b b b b 32 τ β = τ β x y m + PG y31 y31 y31 x13 x13 x13 6 6 (2.38) y 12 y12 y12 x21 x21 x21 - Matriz d difusão d Ptrov-Galrkin: nl K DPG A = 1 = k (2. 39) DPG [ k ] = τβ w D 2 φ 2 Ω Ω k = d (2.40) DPG DPG ij Para lmntos linars o Laplaciano da solução é nulo, portanto: 11

k DPG = 0 (2.41) - Matriz d convcção d Ptrov-Galrkin: nl KCPG A = 1 = k (2.42) CPG b [ k ] = τ β w β φ Ω Ω k = d (2.43) CPG CPG ij k CPG b β b x β T = τ B b β y β b x b x b b β x β y BA b b β y β y (2.44) As matrizs corrspondnts à parcla OCD srão studadas no capítulo sguint. 2.4 Elmnto Quadrilátro Bi-Linar com Intgração Rduzida 2.4.1 Prliminars O custo computacional para avaliar as intgrais rsultants da formulação SUPG+OCD é proporcional ao númro d pontos d intgração utilizados na rgra d intgração numérica scolida, gralmnt a quadratura d Gauss. Até agora, a formulação foi fita sobr o lmnto triangular linar somnt prcisamos d um ponto d intgração, no baricntro. Para avaliar as intgrais ao nívl do lmnto utilizando um lmnto quadrilátro bi-linar, são ncssários quatro pontos d intgração por lmnto. Utilizando uma técnica d intgração rduzida somnt prcisa-s d um ponto o gano computacional é dirto. No ntanto, ss tipo d técnica aprsnta oscilaçõs spúrias indsjávis na solução, dvido ao fato d qu o gradint discrto não consgu tr control sobr sts modos pla dficiência d posto das matrizs do lmnto. Por isto, é prciso utilizar uma técnica qu control stas oscilaçõs. Na ts d Dias [16] no trabalo d Coutino Dias [17], utilizou-s um principio variacional smlant àqul da mcânica dos sólidos [26]. 12

As funçõs d intrpolação para o lmnto quadrilátro bi-linar são dadas por: N a 1 = a 1 4 ( 1+ηη )( + ξξ ) a, a = 1,2,3,4 (2.45) Ond 1 ξ 1, 1 η 1, conform mostrado na figura 2.1. 2 y 1 3 2 η x ξ 3 4 4 1 Plano físico (x,y) Plano rfrência (ξ,η) Figura 2.1: Elmnto quadrilátro bi-linar. Plano físico plano d rfrência. 2.4.2 Matrizs d lmnto quadrilátro As matrizs intgradas no ponto (ξ = η = 0) aprsntam dficiência d posto o qu pod ocasionar oscilaçõs spúrias, ou também modos ourglass [26]. Então, torna-s ncssário utilizars uma técnica qu consiga corrigir os fitos dssas oscilaçõs. Na litratura aparcm varias propostas para contornar o problma nst trabalo sgu-s o squma aprsntado m [16, 17] para obtr os trmos d stabilização a srm acrscntados mas matrizs do lmnto. Agindo do msmo modo qu no caso do lmnto triangular linar, mas considrando as funcõs d intrpolação própias do lmnto quadrilátro bilinar daddas pla quação (2.45), as parclas d K M m (2.20) avaliadas através da quadratura d Gauss com um ponto d itngração no baricntro (ξ = η = 0), ficam: M = M + M G G (stab) G 13

M = M + M PG PG (stab) PG K = K + K DG DG (stab) DG K = K + K (2.46) CG CG (stab) CG K = K + K CPG CPG (stab) CPG K = K + K OCD OCD (stab) OCD ond os sub-índics CG, CPG OCD, tm o msmo significado qu os aprsntados na quação (2.20). O supr-índic stab rfr-s aos trmos d stabilização. - Matriz d Massa d Galrkin nl MG = A = 1 m G [ mg ] ab = NaN Ω b T T [ m ] BB = Ab b G dω (2.47) = Ω, a,b = 1,...,4 a b - Matriz d Massa d Ptrov Galrkin nl M PG = A = 1 m PG [ m ] = Ω Ω N βn d PG ab A T [ m ] t( β b ) PG ab τ (2.48) a b = i a, a, b = 1,...,4, i = 1,2 4 - Matriz d difusão d Galrkin nl K DG = A = 1 k 14

[ k ] = Ω Ω N k N d DG ab b j ij a, i T T [ k ] BDB = Ab Db DG ab, (2.49) = Ω a, b = 1,...,4, i = 1,2 a b - Matriz d convcção d Galrkin nl KCG = A = 1 k CG [ kcg ] w u dω = ab β N β N dω (2.50) = Ω Ω A T [ k ] = t( β b ) CG ab 4 i - Matriz d convcção d Ptrov Galrkin a a i b nl KCPG = A = 1 k CPG [ k ] CPG ab = = Ω Ω τβ j w β u τnb, jβ j βin i a, i dω dω (2.51) T [ k ] = τ ( b β β ) CPG A b ab j j i i - Matriz d stabilização da difusão [ ] ( stab ) T γdγ ϑ ϑ Ω Ω K (2.52) = d DG ij, i, i - Matriz d stabilização d advcção [ ] ( stab ) T CG b ij jβiγ K x ϑ dω (2.53) = Ω, j, i - Matriz d stabilização da advcção d Ptrov- Galrkin [ ] ( stab ) T τγβ βγ ϑ ϑ Ω Ω K (2.54) = d CPG ij, i, i 15

Nas quaçõs (2.47 2.53), i, j = 1,2 m ξ = η = 0, A é a ára do lmnto, dada por: 1 A = ( x31y42 x24 y31) (2.55) 2 As parclas b 1 b 2, são as parclas d = [ ] N b 1 b 2, m ξ = η = 0, isto é, 1 b ( ) T 1 = y24 y31 y42 y13 2A (2. 56) 1 b ( ) T 2 = x42 x13 x24 x31 2A (2.57) O vtor t rprsnta o movimnto d corpo rígido, dfinido como, ( 1 1 1 1) T t = (2.58) Pod-s vrificar as sguints propridads d ortogonalização: T b t = 0 i T b i = 0, i = 1,2 (2.59) T t = 0 Sndo é o vtor dos modos ourglass, dfinido como, { 1 1 1 1} T = (2.60) ond o vtor γ é um vtor adicionado ao oprador gradint discrto d modo qu a matriz d rigidz, K, passará a tr posto igual a 3, assim, B T T { b b γ T } = (2.61) 1 T 2 A construção do vtor γ é fita mdiant uma combinação linar dos vtors b i, t. A função ϑ é dada por, 16

1 ϑ = Aξη (2.62) 4 Nas quaçõs (2.52) a (2.54), as intgrais constitum os camados parâmtros d stabilização, 1 ε x j ϑ, i Ω ε = dω, i,j = 1,2, para advcção d Galrkin (2.63) 2 ε ϑ, i ϑ, i Ω ε = dω, i,j = 1,2, para os dmais casos (2.64) O parâmtro ε é o parâmtro d stabilização dos modos ourglass, é utilizado para ajustar a prcisão dos rsultados. Quando ε = 1, K srá xata para malas d lmntos rtangulars parallogramos. Uma dscrição mais dtalada dsta implmntação, assim como as matrizs dsnvolvidas trmo-a-trmo, pod-s ncontrar m [16, 17 31]. 2.5 Intgração no Tmpo Para rsolvr a quação (2.19) foi utilizado o algoritmo implícito prditor multicorrtor, como aprsntado por Hugs [27]. A formulação matricial rsulta m um sistma não simétrico d quaçõs m cada passo d tmpo qu é rsolvido mdiant o algoritmo GMRES com prcondicionamnto à squrda [14, 15]. D forma gral, podmos nunciar o problma na sguint forma: dada uma quação smi-discrta Mv + Kd = F (2.65) com condiçõs iniciais, d ( 0) = d0 ; v ( 0) d0 = & (2.66) o squma d solução é dado plas sguints quaçõs: 17

Mv Kd F (2.67) n+ 1 + n+ 1 = n+ 1 d 1 d tv (2.68) n+ = n + n+θ v ( 1 θ ) vn θv + 1 n+ = + n α (2.69) ond n+1 é o passo d tmpo atual, n o passo d tmpo antrior, d n v n são as aproximaçõs d u u&, θ é um parâmtro dntro do intrvalo [0,1], t é o passo d tmpo F n+1 o vtor dos trmos font. O algoritmo assim dscrito prtnc à família da rgra trapzoidal gnralizada, cujos mmbros são difrnciados pla scola do parâmtro θ. S θ=½, o método é quivalnt ao método da rgra trapzoidal ou Crank- Nicolson. S θ=1, o método é quivalnt ao método d difrnças finitas para atrás. O avanço no tmpo pod sr implmntado na forma prditor multicorrtor ond o valor prditor é dfinido como: ~ d ( 1 ) tvn n+ = dn + θ 1 (2. 70) ~ d d (2.71) ( i) = n+ 1 n+ 1 Avaliando os rsíduos ( i) n 1 = Fn + 1 ( ) ( i M v K d ) F + + (2.72) Obtndo-s a solução v n+1 do sistma d quaçõs ftivo, 1 ( i) ( M ) F v (2.73) ( i) n + 1 = n+ 1 ond, M* = M + θ tk (2.74) É camada d matriz d massa ftiva, qu é sparsa não simétrica. Uma vz concido o valor d v n+1 pod-s corrigir o valor d d n+1 assim: 18

v (2.75) ( i+ 1) ( i) ( i) n + 1 = vn+ 1 + vn+ 1 d = θ tv (2.76) + ( i+ 1) ( i) n+ d + ( i) n 1 1 n 1 + 19

CAPÍTULO 3 Formulação dos Opradors d Captura d Dscontinuidads Nst capítulo aprsntam-s várias formulaçõs propostas na litratura para contornar o problma da aparição d oscilaçõs spúrias m dirçõs qu não são as dirçõs das linas d corrnt. Dntr os studos fitos nst problma, optou-s por xaminar os squmas propostos por Galão Do Carmo [6], Codina [7], Sampaio Coutino [8], Juans Patzk [9], Tzduyar [3,11 13] por srm os mais utilizados rfrnciados na litratura psquisada. 3.1 Formulação Gral Como nunciado no capítulo 1, é sabido qu a formulação d lmntos finitos tipo SUPG aplicada à quação d convcção-difusão não consgu atingir satisfatoriamnt a solução naqulas rgiõs d fort gradint. Oscilaçõs spúrias aparcm nas vizinanças da ocorrência d frnts ou forts dscontinuidads. Isto acontc dvido ao fato qu o método SUPG não satisfaz o princípio d máximo discrto [4]. Nos trabalos d Hugs Mizukami [4] Hugs, Mallt Mizukami [5] dmonstrou-s qu a dirção a montant (upwind) das linas d corrnt (stramlins) não é smpr a mais apropriada para a stabilização das oscilaçõs m rgiõs d fort gradint da solução. Mostra-s um primiro studo dst problma aprsnta-s uma formulação tipo Ptrov Galrkin qu é consrvativa satisfaz o principio d máximo discrto [32]. O principio d máximo discrto, assgura a monotonicidad da solução aproximada nas vizinanças das rgiõs d fort gradint. Um método 20

numérico é monótono s a solução numérica para todo passo d tmpo rtém o sinal do passo d tmpo prévio m todos os nós da mala spacial. A formulação SUPG não é um método monótono. O torma d Godunov stablc qu um método linar qu prsrva a monotonicidad é, no máximo, d primira ordm d prcisão [4]. Com tudo, a idéia básica d um método OCD é d aumntar a stabilidad da solução nas vizinanças d fort gradint da solução. Rtomando a quação d transport (2.10) na sua forma variacional, Nl Nl ( ) dω + τ w L( φ ) dω + δocd w φ dω = 0 w L φ β (3.1) 1444 24443 1444 24443 Ω 1 44243 4 Galrkin Ω = 1 SUPG Ω = 1 OCD a parcla qu ainda não foi dfinida é a trcira qu corrspond ao trmo do Oprador d Captura d Dscontinuidads, OCD. A mtodologia proposta por Hugs, Mallt Mizukami [5] lva m conta a inclusão d um vtor v qu é a projção d β na dirção φ : β φ φ s φ 0 2 v = φ (3.2) β s φ = 0 ond β é o campo d vlocidad concido φ é o gradint da solução. É imdiato obtr a sguint rlação: v φ = β φ (3.3) d uma forma mais gral, dfinindo a dirção β // como: β = β // + w (3.4) ond w é prpndicular a φ, mas arbitrário, pod-s gnralizar a projção (3.3) para: β // φ = β φ (3.5) 21

Esqumaticamnt tm-s w β φ β // Figura 3.1: Esquma do OCD. Isto sugr qu a dirção das linas d corrnt nm smpr é a mais apropriada, mas dixa abrta a possibilidad d construir um novo método qu satisfaça o princípio d máximo discrto mdiant a scola d uma dirção apropriada. Encontrar ssa dirção não é fácil varias psquisas vêm sndo dsnvolvidas para ncontrar uma formulação qu satisfaça os rqurimntos do principio d máximo discrto. Não xist uma formulação mlor, umas aprsntam vantagns sobr as outras m um problma spcífico, mas não consgum os msmos rsultados m outros problmas. Not qu o trmo OCD rsulta numa difusividad artificial na dirção scolida. A inclusão dst trmo torna não-linar a formulação SUPG, já qu o trmo dpnd do gradint da solução. Diz-s artificial porqu o trmo não corrspond ao problma físico, mas sim, ao problma numérico. É important também qu o trmo OCD sja variacionalmnt consistnt. 22

3.2 Oprador CAU O oprador CAU foi formulado por Galão Do Carmo [6], sguindo basicamnt o squma aprsntado por [4,5]. A stabilidad na solução consgu-s modificando as funçõs pso da formulação SUPG, qu passam a agir na dirção do gradint aproximado. Est trmo introduz, d forma consistnt, uma difusividad artificial qu é proporcional ao rsíduo da solução aproximada. O rsultado é uma formulação capaz d contornar as oscilaçõs prsnts na solução. O oprador CAU é dfinido mdiant o tnsor: ( β β ) ( β ) C = (3.6) // β // ond β // é um campo vtorial auxiliar, cujo objtivo é agir na dirção do gradint aproximado, φ. Sua dtrminação rqur [23]: - A satisfação da quação d transport aproximada m cada lmnto, isto é: φ t + β φ D φ f = 0, m cada Ω. (3.7) // - A minimização da quantidad: ( β β ) ( β ) 2 // = Ω // β 0, // Ω β β dω (3.8) Nsta xprssão, rprsnta a norma m L 0,Ω 2 (Ω ), isto é, o spaço das ψ, ψχd. funçõs quadrado intgrávis com produto intrno ( χ ) = Ω Ω Estas condiçõs garantm qu s φ φ quando 0, ntão, β β // quando 0 conduzindo ao sguint rsultado: L ( φ ) φ s φ 0 β // = φ φ (3.9) 0 s φ = 0 ( β ) 23

O parâmtro do Oprador d Captura d Dscontinuidads tipo CAU, δ CAU, é dado pla sguint quação: δ CAU 1 = αc 2 L ( φ ) φ (3.10) ond 1 α c = min P//, 1 (3.11) 4 P // 3 1 β // = (3.12) 2 T ( β ) Dβ // // β // β φ φ φ = 2 (3.13) ond β // é a vlocidad do lmnto na dirção paralla ao gradint da solução, como mostrado na figura 3.1, P // é o númro d Pclt corrspondnt à β ( ) // L φ é o modulo do rsíduo no intrior do lmnto. Uma discussão mais complta rfrnt ao OCD CAU ncontra-s m [23]. 3.3 Oprador CD Est oprador foi proposto por Codina [7] sgu o msmo squma aprsntado nas quaçõs (3.1) (3.2). No ntanto, aprsnta uma difrnça na scola da dirção apropriada. A idéia principal dst método é a d mantr inaltrada a difusão na dirção das linas d corrnt modificar unicamnt a difusão transvrsal às linas d corrnt (crosswind dissipation). O trciro trmo na quação (3.1) pod também sr scrito como: Nl Ω = 1 δ w v φ dω (3.14) OCD 24

ond, ( φ ) 1 L αc s φ 0 δ OCD = 2 φ (3.15) 0 s φ = 0 1 = I β β β v 2 (3.16) com L φ ( φ ): = + φ D φ f t a função α c é dada por β (3.17) { 0, 1/ } α (3.18) = max T P c // sgundo xprimntos fitos plo autor, T 0.7 para lmntos linars bilinars. Calcula-s P // como m (3.12). O trmo d captura d dscontinuidads, CD, fica dfinido como: Nl Ω = 1 1 αc 2 L ( φ ) φ 1 φ I β β φ dω (3.19) 2 β ond I é o tnsor unitário. A parcla v na formulação CAU, s rduz simplsmnt ao tnsor unitário I é nsta modificação qu s ncontra a difrnça ntr ambas as formulaçõs. Sgundo Codina [7], o oprador CD vita amortcimntos xcssivos (ovrdamping) prmit uma pquna quantidad d difusividad nos lugars ond os fitos advctivos não são importants, qu é ond β φ é pquno ou quas nulo. 25

3.4 Oprador ETV A sguint formulação foi proposta por Sampaio Coutino [8]. Nss trabalo a quação (3.1) foi rformulada como s sgu. Considr o campo d vlocidad w alinado com a dirção do gradint da função a concr, φ. Ess campo d vlocidad, camado d Vlocidad Eftiva d Transport (Effctiv Transport Vlocity, ETV), é dfinido da sguint forma: φ φ w = β φ (3.20) φ O nom Vlocidad Eftiva d Transport rsulta do fato qu, w φ = β φ (3.21) Também s dfin o campo d vlocidad v, combinando o campo d vlocidad ral, β, a vlocidad w assim: v = λβ + ( 1 λ)w (3.22) ond 0 λ 1. Obsrv-s qu λ = 1 s φ = 0, assgurando qu o campo d vlocidad v smpr fica bm dfinido. Das quaçõs (3.20) (3.21), conclui-s qu v φ = β φ, ntão s pod rscrvr a quação (2.1) assim: φ + v φ D φ = f (3.23) t Com isto, a formulação SUPG torna-s, [ v φ ] Ω = 0 Nl Ni φ dω + D Ni φ dω + τv N i d Ω Ω = Ω 1 v (3.24) ond v é a rstrição d v ao domínio do lmnto. 26

Not-s qu, na quação acima, somnt tm-s três parclas. A última parcla corrspond tanto ao parâmtro SUPG quanto ao oprador d captura, isto porqu o trmo convctivo foi modificado na quação difrncial original. Rscrvndo-s a quação (3.24) cga-s a, Nl Nl v Niv φdω = Ω = 1 = 1 τ τ N v v N dω (3.25) Ω i j ond, α v τ = θsupg tλ = 1.0 λ (3.26) v Ralizando vários xprimntos numéricos, como rlatado adiant, ncontrous qu o valor d θ =1. 0, aprsnta um mlor comportamnto na rsposta. α t = v v SUPG Pv α v = min, 1 (3.27) 3 O valor 1.0 para α v, é uma aproximação assintótica, v P v = (3.28) D é o númro d Pclt do lmnto associado à vlocidad ftiva d transport v. 3.5 Oprador ASGS O oprador Algbraic SubGrid Scal, ASGS, foi dsnvolvido por Juans Patzk [9] aprsntado amplamnt m [24]. Com sta nova implmntação, os métodos d lmntos finitos stabilizados foram rintrprtados do ponto d 27

vista do fnômno da multiscala, surgindo naturalmnt do método variacional d multiscala [10]. A dcomposição multiscala foi proposta por Hugs [10] o principio fundamntal dsta aproximação manifsta qu a prsnça das scalas finas não pod sr capturada pla mala d lmntos finitos, não ntanto, a influncia das sub-scalas na scala da mala não pod sr dsprzívl. Isto é particularmnt important para os problmas prdominantmnt advctivos, ond a solução aprsnta camadas qu rqurm uma mala com uma rsolução impraticávl. Uma contribuição original dsta formulação é a implmntação no formalismo da multiscala para problmas não linars, qur dizr, a formulação não-linar surg dirtamnt após a discrtização variacional na forma fraca. Est squma é difrnt dos antriors, os quais primiramnt fazm a linarização logo após é fita à inclusão do trmo não linar. A idéia dssa formulação é considrar os spaços contínuos V, spaço das funçõs tst V 0, spaço das funçõs pso, como a soma dirta d dois subspaços: V ~ ~ = V V, V = V V (3.29) 0,0 ond V V,0 são os sub-spaços das scalas rsolvidas (rsolvd scals) V ~ é o spaço das scalas da sub-mala (subgrid scals). A formulação é basada na dcomposição da variávl d intrss, φ V [8]: φ ~ φ + φ = (3.30) ond φ, é a part qu pod sr rsolvida pla mala φ ~ a part não rsolvida. A função φ ~ pod sr calculada utilizando a sguint aproximação proposta por Juans Patzk [9]: ~ φ =τ R ASGS ( φ ) (3.31) 28

O parâmtro τ ASGS, camado d tmpo d rlaxação, (rlaxation tim) srá aprsntado um pouco mais na frnt. As formulaçõs SUPG ASGS são muito similars [22], a difrnça ncontra-s principalmnt na scola do parâmtro δ OCD. Na formulação ASGS d Juans Patzk o parâmtro δ OCD é dado por: ( φ ) τ ASGSR δ OCD = Csc β (3.32) U sc ond R(φ ) é o rsíduo dado por: ( ) = L(φ ) f R φ (3.33) C sc é um coficint constant, U sc é o valor caractrístico da solução prto das dscontinuidads. Nst trabalo sss valors adotados são: C sc = 1.0 U sc = 1.0. Com isto, o parâmtro τ ASGS é dado por: 1 D β τ ASGS = c1 + c 2 2 (3.34) ond é o comprimnto caractrístico do lmnto c 1 =4 c 2 =2 para lmntos linars [9]. 3.6 Oprador DCDD Os parâmtros d stabilização propostos por Tzduyar [3,11 13] foram aprsntados para as formulaçõs smi-discrtas spaço-tmporais das quaçõs d advcção-difusão Navir-Stoks incomprssívis. Esss parâmtros são dsnvolvidos ao nívl das matrizs vtors dos lmntos. A formulação stabilizada SUPG nst casso pod sr r-scrita da sguint manira: 29

Nl ( φ ) dω + w φ dω + τ SUPGβ w R( ) dω + SDCDD = 0 R Ω Ω Ω = 1 w D φ (3.35) ond, R φ ( φ ) + φ = β (3.36) t A quarta parcla é o trmo corrspondnt ao oprador d captura d dscontinuidads tipo DCDD (Discontinuity-Capturing Dirctional Dissipation) dado por: S 2 [ ( rs) ss] ( ) Nl DCDD = ν DCDD w : φ d Ω = 1 rr Ω (3.37) ond, β s = β φ r = (3.38) φ sndo s o vtor unitário na dirção do campo d vlocidads concido r é o vtor unitário na dirção do módulo da grandza (concntração, tmpratura, tc.). Dfinindo as matrizs ao nívl do lmnto: Ω ( r φ ) c = w dω (3.39) r k ~ r Ω ( r w ) ( r φ ) = dω (3.40) o parâmtro d stabilização, v DCDD, também camado viscosidad DCDD, é dado por: v DCDD cr RGN = r β ~ r β (3.41) k 2 r ond, 30

1 = 2 nn RGN r N a (3.42) a= 1 sndo N a é a função d intrpolação associada ao nó a, nn é o númro d nós do lmnto. Nst trabalo, tm-s a aproximação do lmnto. = 2A, ond A é a ára Ainda falta dtrminar o parâmtro τ SUPG. Dfinindo as sguints matrizs d lmnto, m : Ω w φ t dω c : Ω w β φ dω Ω k : w D φ dω (3.43) ~ k : Ω β w β φ dω ~ c : Ω β w φ t dω Not qu stas matrizs são as msmas aprsntadas no capítulo 2 itm 2.3.2, mas sm o parâmtro d stabilização τ. Os númros d grupo adimnsionais ou quivalnts aos númros d Pclt Courant ao nívl do lmnto são dfinidos como: 2 β c R = ~ (3.44) ν k t c Cr = (3.45) 2 m O númro d Courant calculado acima, srv também para dtrminar o tamano para o passo do tmpo na formulação transint. 31

Tzduyar [11 13] propõ como parâmtro τ SUPG a sguint construção: τ s1 = c ~ k t c τ s2 = 2 ~ (3.46) c τ = s3 τ s1 R = c ~ k R 1 r τ 1 1 1 SUPG = + + r r r τ s1 τ s2 τ (3.47) s3 ond o valor d r é um parâmtro intiro qu dtrmina a suavidad da transição ntr os dois limits dos parâmtros SUPG. Nst trabalo, r=2 a norma utilizada é a norma infinita, dfinida como A = max i m i= 1 a ij A formulação matricial rsultant é similar à mostrada nas formulaçõs antriors, só muda a dtrminação dos parâmtros τ SUPG v DCDD. A formulação matricial fica igual à aprsntada no capítulo 2, somnt mudam na formulação as novas matrizs auxiliars a matriz corrspondnt ao OCD. Essas matrizs são: - Matrizs auxiliars: c r T ( r ) dω = N ( r B) = w Ω Ω φ dω (3.48) ~ k r T ( r w ) ( r φ ) dω = B ( r r) = Ω Ω BdΩ (3.49) 32

- Matriz OCD-DCDD S DCDD = = Nl Ω = 1 Nl Ω = 1 ν ν DCDD DCDD w B T 2 [ rr ( rs) ss] ( φ ) dω 2 [ r r ( r s) s s] ( B) dω (3.50) 33

Capítulo 4 Exmplos d Validação da Implmntação Nst capítulo aprsntam-s uma séri d xmplos utilizados na litratura para uma avaliação dos difrnts opradors d captura d dscontinuidads. Os xmplos 4.1 4.3 são problmas m rgim stacionário, já os xmplos 4.4 4.6, m rgim transint. Faz-s uma comparação dos squmas: SUPG, SUPG+CAU, SUPG+CD, SUPG+ETV, SUPG+ASGS SUPG+DCDD, tanto para lmntos triangulars quanto para lmntos quadrilátros bi-linars com intgração rduzida. Mostram-s os gráficos com lvação da variávl incógnita (concntração, tmpratura, p.x.), vista d prfil mdiant um cort transvrsal sobr a diagonal da mala convrgência da solução. Todos os xmplos são m advcçao pura ond o tnsor da difusão é nulo (k xx = k yy = 0). Todas as figuras são fitas utilizando o programa GnuPlot [34] d livr distribuição na intrnt. 4.1 Exmplo 1 Advcção pura m stado stacionário com lmnto triangular Sja o problma d advcção pura (D = 0.0) proposto m [1] dado na figura 4.1, com uma mala d 21 x 21 nós, 800 lmntos triangulars linars. Excutaram-s xmplos para difrnts ângulos na dirção do campo d vlocidad (45º, 67.5º 22.5º,) fluxo unidircional constant, β =1. 0. Na rsolução do sistma linarizado, utilizou-s o algoritmo GMRES com 5 vtors na bas do sub-spaço d Krylov. Exprimntos numéricos mostraram 34

i 1 +1 qu a variação rlativa da solução ( ) + i i d d d m todos os casos, fica stagnada para valors próximos d 10-3, após 3 5 itraçõs não linars. Tndo m conta sta situação, o critério d parada nst xmplo foi o númro d itraçõs igual a 5. φ =0.0 Dirção do fluxo θ φ =1.0 φ=1.0 Figura 4.1 Convcção através do domínio com condiçõs d contorno omogênas (a) 35

(b) (c) (d) 36

() (f) Figura 4.2 Fluxo à 45 o, (a) SUPG, (b) SUPG+CAU, (c) SUPG+CD, (d) SUPG+ETV, () SUPG+ASGS, (f) SUPG+DCDD Na figura 4.2.(a) obsrva-s o comportamnto da solução com a formulação SUPG. Not as oscilaçõs spúrias discutidas nos capítulos 1 2. Nas figuras 4.2.(b) 4.2.(f) aprsntam-s os rsultados obtidos com a formulação SUPG acrscida com os OCD implmntados. Prcb-s claramnt qu os opradors CAU CD consgum contornar d manira satisfatória as oscilaçõs aprsntadas na formulação SUPG original. As formulaçõs ASGS DCDD consgum também um rsultado satisfatório. Já a formulação ETV, mbora mlor a rsposta aprsntada pla formulação 37

SUPG, não consgu rduzir as oscilaçõs ainda prturba o valor da solução para valors ngativos. Na formulação ETV foram fitos xprimntos numéricos modificando o valor do parâmtro λ ntr 1.0 0.0, para tntar mlorar a rsposta. Quando λ =1.0, o rsultado foi idêntico à formulação SUPG original, já para valors iguais ou mnors do qu 0.5 aparcram valors ngativos nos lmntos da diagonal foi prciso liminar o pré-condicionamnto pla diagonal usado no algoritmo GMRES. Nsts casos não s obtv uma rsposta satisfatória, plo qual, adotou-s um valor intrmdiário d λ=0.75. Uma outra modificação fita, difrntmnt do trabalo aprsntado m [8], foi no parâmtro θ. Ao invés do valor original θ=½, foi adotado o valor d θ=1.0, obtndo-s a rsposta aprsntada na figura 4.2.(d). Para o squma CAU foram fitos xprimntos numéricos mudando o parâmtro δ CAU para tntar uma mloria na rsposta, spcialmnt com rspito ao tamano caractrístico do lmnto, altrando su valor d /2 para. Ess xprimnto foi fito sm gano considrávl na solução, plo qu o valor /2 foi mantido. (a) 38

(b) Figura 4.3 Elmntos triangulars linars, fluxo à 45 o (a) Cort transvrsal sobr a diagonal do domínio, (b) Convrgência da solução. Na figura 4.3.(a) mostra-s um prfil fito na diagonal do domínio comparando as difrnts rspostas obtidas. Prcb-s claramnt qu das sis formulaçõs a CAU a CD são as qu mlor controlam as oscilaçõs. Não ntanto as formulaçõs ASGS DCDD consgum rspostas acitávis. A formulação ETV aprsnta uma oscilação com valors ngativos assim como um dslocamnto parallo da rsposta comparativamnt às outras formulaçõs. Na figura 4.3.(b) aprsnta-s o comportamnto da convrgência da solução. Obsrva-s qu a variação rlativa da solução para os difrnts OCD s fica stagnada a partir da sgunda itração m valors próximos d 10-2, somnt o squma DCDD consgu atingir o valor d 10-3. Vrifica-s qu o incrmnto no númro d itraçõs não proporciona mloria nas rspostas, dsta manira justifica-s tr somnt, no máximo, 5 itraçõs para o procsso itrativo sm prda significativa na prcisão da rsposta. Em sguida analisous st problma para os ângulos d 67.5º 22.5º. Os rsultados obtidos ncontram-s nas figuras 4.4 à 4.7. 39

(a) (b) (c) 40

(d) () (f) Figura 4.4 Fluxo a 67.5 o, (a) SUPG, (b) SUPG+ CAU, (c) SUPG+CD, (d) SUPG+ETV, () SUPG+ASGS, (f) SUPG+DCDD. 41

(a) (b) Figura 4.5 Elmntos triangulars linars, fluxo a 67.5 o, (a) Cort transvrsal sobr a diagonal do domínio, (b) Convrgência da solução. 42

(a) (b) (c) 43

(d) () (f) Figura 4.6 fluxo a 22.5 o, (a) SUPG, b) SUPG+CAU, (c) SUPG+CD, (d) SUPG+ETV, () SUPG+ASGS, (f) SUPG+DCDD 44

(a) (b) Figura 4.7 Elmntos triangulars linars, fluxo a 22.5 o, (a) Cort transvrsal sobr a diagonal do domínio, (b) Convrgência da solução. O comportamnto mostrado nas figuras 4.4 4.7, é muito similar ao obsrvado nas figuras 4.2 4.3. Não s aprciam mudanças significativas no comportamnto das soluçõs com a variação no ângulo do fluxo. Em gral, todos os squmas consgum rduzir satisfatoriamnt as oscilaçõs. 45

4.2 Exmplo 2 Advcção pura m stado stacionário com lmnto quadrilátro intgração rduzida Para st xmplo utiliza-s uma mala d 21x21 nós 400 lmntos quadrilátros bi-linars com intgração rduzida difrnts valors para o parâmtro d stabilização dos modos ourglass, ε. Excutam-s para os msmos ângulos d dirção do campo d vlocidad (45º, 67.5º 22.5º), iguais condiçõs d contorno msmos opradors d captura d dscontinuidads utilizados no xmplo 4.1. Os rsultados obtidos para as difrnts dirçõs ncontram-s a sguir. (a) (b) 46

(c) (d) () 47

(f) Figura 4.8 Elmntos quadrilátros com intgração rduzida, ε = 0.0, fluxo à 45 o, (a) SUPG, (b) SUPG+CAU, (c) SUPG+CD, (d) SUPG+ETV, () SUPG+ASGS, (f) SUPG+DCDD. (a) (b) Figura 4.9 Elmntos quadrilátros com intgração rduzida, ε = 0.0, fluxo à 45 o, (a) Cort transvrsal sobr a diagonal do domínio, (b) Convrgência da solução. 48

Nst xmplo, com fluxo à 45 o com o parâmtro d stabilização dos modos ourglass nulo, ε=0.0, é intrssant obsrvar qu as difrnts rspostas obtidas coincidm com a rsposta xata, como aprsntado nas figuras 4.8. Na figura 4.9.(a) aprsnta-s uma vista d prfil sobr a diagonal vrifica-s novamnt o comportamnto dos difrnts OCD s. Na figura 4.9.(b) obsrvas s convrgência das difrnts soluçõs. Cab rssaltar qu as formulaçõs ASGS ETV somnt consgum atingir uma prcisão d 10-5. As outras formulaçõs consgum atingir uma prcisão d 10-15, sndo novamnt o squma DCDD qu consgu o mlor comportamnto. (a) (b) 49

(c) (d) () 50

(f) Figura 4.10 Elmntos quadrilátros com intgração rduzida, ε = 1.0, fluxo à 45 o, (a) SUPG, (b) SUPG+CAU, (c) SUPG+CD, (d) SUPG+ETV, () SUPG+ASGS, (f) SUPG+DCDD. (a) (b) Figura 4.11 Elmntos quadrilátros com intgração rduzida, ε = 1.0, fluxo à 45 o, (a) Cort transvrsal sobr a diagonal do domínio, (b) Convrgência da solução. 51

Com a prsnça do parâmtro d stabilização, ε=1.0, obsrva-s nas figuras 4.10, qu a implmntação ETV mostra um mlor comportamnto. As outras formulaçõs aprsntam uma oscilação qu não tinam quando ε=0.0, isto plo fato do trmo d stabilização proporcionar uma sobr difusão nos outros squmas. Contudo, os modos ourglass não aparcm, sja pla rlação particular qu xist nst xmplo ntr o ângulo do fluxo com a solução xata, ou pla prsnça do trmo d stabilização. Nst caso optou-s por fixar o valor d ε=1.0 para todos os opradors, dvido à qu a mlor rsposta é dada para ε=0.0, porém, para os sguints xmplos cada um dos opradors aprsnta mlors rsultados com valors d ε difrnts ntr ls, portanto, não xist um único valor d ε qu faz com qu a solução sja a mlor para todos os OCD s. Na figura 4.11 (a) tm-s o prfil das difrnts formulaçõs ond aparcm claramnt as oscilaçõs d ourglass. Na figura 4.11 (b) pod-s aprciar qu todas as formulaçõs após 5 itraçõs só rduziram a variação da solução a 10-2. Not qu a solução obtida pla formulação DCDD é aqula com o mnor númro d itraçõs. (a) 52