Unversdade de São Paulo Monografa Estatístca Quântca Gás de Ferm André Hernandes Alves Malavaz SFI5814 - Físca Atômca e Molecular, 17- de novembro de 17
Monografa Físca Atômca e Molecular Estatístca Quântca e o Gás de Férm Resumo Neste trabalho será dscutdo sobre estatístca quântca e sua aplcação para o tratamento de um gás deal de Ferm. Como referênca serão utlzados os lvros A Modern Course n Statstcal Physcs 1 de L. E. Rechl, Equlbrum and Non-Equlbrum Statstcal Thermodynamcs de M. Le Bellac, F. Mortessagne e G. G. Batroun, e Introdução à Físca Estatístca 3 de S. R. A. Salnas. 1 Introdução - O Postulado de Smetrzação é um dos plares essencas da Mecânca Quântca, ele separa as partículas fundamentas em duas classes: bósons, que possuem spns nteros; e férmons, que possuem spns semnteros. É verfcado que o estado global de um sstema de bósons dêntcos deve ser smétrco sob a troca de coordernadas de duas partículas, e antssmétrco para férmons. Este fenômeno tem consequêncas dretas no tratamento estatístco e termodnâmco de um gás quântco. Em baxas temperaturas os comprmentos de onda dos consttuntes do gás se sobrepõem λ T érmco T 1/ e os efetos da ndstngubldade se tornam evdentes, sendo, portanto, necessáro um tratamento quântco. De fato, um gás de bósons ndstnguíves obedece a chamada estatístca de Bose-Ensten, já um gás de férmons obedece a estatístca de Ferm-Drac. É mportante ressaltar que estas dferenças ocorrem ndependente da exstênca ou não de nterações entre as partículas do gás 1. Neste trabalho será tratado um gás quântco deal consttudo por férmons. Na Sessão será apresentado a estatístca de Ferm-Drac, já na Sessão 3 será dscutdo sobre o gás deal de Ferm em dos dferentes regmes: T = K e T T F. Estatístca Quântca - Para obter as estatístcas de Bose-Ensten BE e Ferm-Drac FD será verfcado o comportamento de um gás deal quântco. Note que como não serão consderados nterações entre partículas gás deal o estado total do sstema é o produto dos estados ndvduas de cada elemento, submetdo ao devdo processo de smetrzação. Se o gás se encontra dentro de um volume V L 3 com condções peródcas de contorno, reconhecemos os possíves estados de uma únca partícula como { x, y, z = } com energa ɛ = π ml x + y + z. Sendo assm, seja n o número de partículas ocupando o estado com momento p, o Hamltonano Ĥ e o número total de partículas ˆN no volume são dados pelos operadores Ĥ = ɛ ˆn e ˆN = ˆn. Note que como estamos nteressados na descrção estatístca do sstema, sua confguração é completamente defnda com o conjunto de números de ocupação {n },3. Esta descrção é comumente realzada com o ensemble grande-canônco 1, onde o número total de partículas não é fxo. Este ensemble é utlzado para descrever um sstema aberto em equlíbro. Neste caso, tanto a energa nterna quanto o número de partículas dentro do sstema flutuam medante nteração com um banho externo. Entretanto, a condção de equlíbro fxa seus valores médos em Ĥ e ˆN. A função de{ partção grande-canônca é dada por Z µ T, V = tr e βĥ µ ˆN }. Assm, Z µ T, V = {n } e β ɛ µn = n e βɛ µn Note que neste momento fca claro a dferença entre a natureza das partículas consderadas, para bósons sabe-se que n =, 1,..,, já para férmons n =, 1..1 Estatístca de Ferm-Drac Dado os valores possíves de n o somatóro da função de partção é smplesmente n e βɛ µn = 1
Monografa Físca Atômca e Molecular 1 + e βɛ µ. Entretanto, se levarmos em conta férmons de spn s, teremos g = s+1 estados de spn para cada estado 1. Assm, de forma geral Z F D µ T, V = 1 + e βɛ µ g.1 A partr da função de partção é possível calcular dferentes grandezas termodnâmcas, em partcular estamos nteressados no grande potencal, dado por ΩT, V, µ = k B T lnz µ T, V. Assm, Ω F D T, V, µ = g β ln 1 + e βɛ µ Além dsso, o número total médo de partículas no gás é dado por ˆN Ω = = g µ T,V e βɛ µ + 1 = gz e βɛ + z = n onde n = gz e βɛ +z é o número de ocupação médo do estado, e z = e βµ é denomnado como a fugacdade. É mportante ressaltar que neste caso não há restrção alguma para o potencal químco µ, em contraste com o caso bosônco.. Estatístca de Bose-Ensten Neste caso não há lmtações para o número de ocupação, vsto que n. Esta dferença aparentemente trval trás consequêncas fundamentas, em partcular a exstênca do Condensado de Bose- Ensten, prevsto teorcamente na década de e observado expermentalmente em 1995. Embora a descrção deste caso esteja fora do escopo deste trabalho, é nteressante contemplar a função de partção obtda para bósons e o número médo de ocupação: Zµ BE T, V = 1 e βɛ 1 µ, z n = e βɛ z. Dado as expressões anterores fca claro que µ para um gás de bósons. Em partcular, o lmte em que µ está ntmamente lgado a exstênca do condensado 3. 3 Gás Ideal de Férmons - Estamos nteressados na descrção termodnâmca de um gás deal quântco composto por férmons ndstnguíves. A conexão do ensemble grande-canônco com a termodnâmca clássca é estabelecda através do lmte termodnâmco V com o grande potencal ΩT, V, µ. Neste caso podemos transformar a soma sob os estados em uma ntegral, tal que d = V π 3 d3 k. Assm, como Ĥ = U = ɛ n, ˆN = n e ɛ = ²k m temos 3 U = gv ˆN = gv ΩT, V, µ = gv β = 3 U ɛdɛfɛdɛ Dɛfɛdɛ 3.1 Dɛln 1 + e βɛ µ dɛ onde fɛ = e βɛ µ + 1 1 é a dstrbução de Ferm-Drac e Dɛ = 1 m 3/ 4π² ɛ 1 / = Cɛ 1 / é a densdade de estados. Ademas, como ΩT, V, µ = P V temos que U = 3 P V, resultado que vale mesmo para gases deas monoatômcos clásscos 3. A segur será dscutdo o caso partcular de um gás de Ferm com T = K, subsequentemente será analsado o cenáro um pouco mas geral em que T T F, onde T F é a temperatura de Ferm. fɛ 1 T = K T > ɛ F = µt = Fg. 3.1: Dstrbução de Ferm-Drac fɛ em função da energa ɛ para T = K e T >. A Fgura 3.1 lustra o comportamento da dstrbução de Ferm-Drac fɛ em função da energa ɛ para ambos os casos. No prmero todos os estados com ɛ ɛ F são nteramente ocupados, já no segundo ɛ
Monografa Físca Atômca e Molecular as partículas mas energétcas podem transtar para estados com ɛ > ɛ F devdo a presença de flutuações térmcas. É mportante ressaltar que embora seja uma teora relatvamente smples o gás deal de ferm tem aplcações mportantes e bem suceddas na físca, em partcular na físca do estado sóldo no estudo das propredades térmcas de metas, vsto que - em prmera aproxmação - os elétrons mas energétcos podem ser tratados como um gás de elétrons lvres férmons de spn 1 /. Outras aplcações nteressantes podem ser encontradas em astrofísca 3, na explcação da establdade de algumas estrelas. 3.1 Gás deal de Ferm em T = K Para T = K β o gás se encontra no estado fundamental e é denomnado como completamente degenerado 3. Neste caso cada partícula ocupa o estado menos energétco ɛ dsponível, até a denomnada energa de ferm ɛ F energa da partícula mas energétca de forma que fɛ se comporta como uma função degrau Θµ ɛ Fgura 3.1. É nteressante notar que µt = = ɛ F. A partr das equações 3.1 podemos obter as quantdades de nteresse. Logo, ˆN = 3 gv / Cɛ3 F = p F = ɛ F = U = 5 V gdɛ F ɛ F 1/3 6π g n 6π g n /3 m onde p F = mɛ F é o momento de Ferm e n = ˆN /V a densdade de partículas. É mportante ressaltar que mesmo a T = K a energa nterna do gás não é zero. Por fm, é nteressante notar que: P = U 3 V = 6π /3 5 nɛ F = g n5 / 5m 3. Ou seja, dferentemente do esperado classcamente e daqulo obtdo com um gás de bósons, para T = K a pressão exercda por um gás de férmons não é nula, caracterzando uma consequênca mportante do Prncípo de Exclusão de Paul. Por fm, vsto que a energa de ferm ɛ F é comumente utlzada como uma escala da energa característca de um sstema quântco, defnmos a temperatura de Ferm como T F = ɛ F/k B. Desta forma temos uma escala comparatva de temperatura, em que para T T F não é esperado que efetos quântcos afetem a descrção do sstema, já que corresponde ao lmte clássco onde a dstânca méda das partículas é maor que o comprmento de onda térmco λ T érmco 3. Por outro lado, para T T F é esperado que haja uma descrção quântca do sstema. 3. Gás deal de Ferm em T T F Neste caso o gás de Ferm é dto como degenerado e corresponde a dversas stuações comumente encontradas. Como exemplo usual, para os elétrons de condução do Cu que em prmera aproxmação podem ser descrtos como um gás deal têm-se T F 8.1 4 K, que é muto superor a temperatura ambente, 3. Sendo assm, é nteressante estudarmos o comportamento de um gás de férmon no regme T T F. Pela análse da Fgura 3.1 fca claro que neste regme a dstrbução fɛ dexa de ser exatamente uma função degrau, de fato as partículas mas energétcas podem ocupar estados acma da energa de Ferm. A partr da expansão de Sommerfeld podemos obter expressões assntótcas para as quantdades de nteresse. Note que as ntegras das equações 3.1 são do tpo S = φɛfɛdɛ com φɛ = Aɛ n, onde A é uma constante e n 1 /. Como a dstrbução fɛ é aproxmadamente uma função degrau, sua dervada tem um pco pronuncado em ɛ = µ. Integrando S por partes obtemos S = φɛfɛdɛ = ψɛfɛ ψɛf ɛdɛ onde ψɛ = ɛ φɛ dɛ. Note que ψ = e que fɛ para ɛ, ademas como f ɛ tem um pco em ɛ = µ expandmos ψɛ em torno deste ponto. Assm, S = = ψɛf ɛdɛ f ɛ µ ɛ! d ψ dɛ dɛ 3
Monografa Físca Atômca e Molecular Agora, temos de resolver ntegras do tpo S = f ɛɛ µ dɛ = 1 β βµ e x x e x + 1 dx onde x = βɛ µ. Aleḿ dsso, podemos alterar o lmte nferor de ntegração a custo de um pequeno erro S = 1 β e x x e x + 1 dx + Oe βɛ F Observe que para mpar a ntegral se anula. Assm, para os dos prmeros termos temos S = 1 e S = π 3β². Portanto, S = = ˆ µ d ψ 1 dɛ φɛdɛ + π! S 3.3 dφ dɛ Desta forma, com a expressão 3.3 somos capazes de calcular a forma assntótca de 3.1. A energa nterna U é dada por: U ɛ 3 / fɛdɛ ˆ µ ɛ 3 / dɛ + π 3 µ1 / 5 µ5 / + π 4β² µ1 / E o número médo de partículas é: ˆN ɛ 1 / fɛdɛ ˆ µ ɛ 1 / dɛ + π 3 µ3 / + π 1β² µ 1/ 1 µ 1 / Reescrevendo a expressão de ˆN obtemos: 3 ˆN gv C = µ3 / 1 + π 8β² µ = ɛ 3 / F Ademas, podemos nverter a equação anteror para escrevermos uma expressão assntótca do potencal químco µ, tal que µ = ɛ F 1 π 1β²ɛ F 3.4 Note que no lmte de T β recuperamos os resultados obtdos anterormente em 3.1: µ = ɛ F, ˆN = 3 Dɛ F ɛ F, U = 5 gv Dɛ F ɛ F É mportante observar que para T > teríamos µ < ɛ F. Utlzando 3.4, escrevemos U = 3 5 ˆN ɛ F 1 + 5π k B T 1ɛ F 3.5 A partr da energa nterna podemos calcular um dos resultados mas mportantes obtdos pelo modelo do gás deal de Ferm: o calor específco a volume constante C V. Sabemos que C V = U T, assm ˆN C V = ˆN π k B V, T T F 3.6 Note que o calor específco depende lnearmente de T para temperaturas baxas e va a zero em T = K. Tal comportamento está de acordo com aqulo observado expermentalmente em metas a baxas temperaturas, mas é mportante ressaltar que este cálculo leva em conta somente a contrbução dos elétrons de condução para o calor específco. De fato, há outros parâmetros que devem ser consderados, como a nteração Coulombana entre os elétrons e os fônons da rede com contrbução T 3. Assm, de modo aproxmado, para baxas temperaturas o calor específco de um metal pode ser descrto como C V / ˆN = c V = γt + δt 3, com γ e δ constantes 3. Referêncas 1 L. E. Rechl 4. A Modern Couser n Statstcal Physcs. nd Edton, Wley-VCH. M. Le Bellac, F. Mortessagne, G. G. Batroun 6. Equlbrum and Non-Equlbrum Statstcal Thermodynamcs. Cambrdge Unversty Press. 3 S. R. A. Salnas 13. Introdução à Físca Estatístca. Segunda Edção, Edtora da Unversdade de São Paulo. 4