Um esudo de Cinemáica Meu objeivo é expor uma ciência muio nova que raa de um ema muio anigo. Talvez nada na naureza seja mais anigo que o movimeno... Galileu Galilei 1. Inrodução Nese exo focaremos nossa aenção na Cinemáica, mais especificamene, nos conceios necessários para a sua abordagem maemáica e para a análise gráfica dos movimenos que se preende represenar. Como sugerem as palavras de Galileu no início, parece razoável iniciarmos nossa discussão pelo conceio-chave de movimeno. No dia-a-dia cosuma-se associar a idéia de movimeno a udo que eseja em consane mudança, aividade, animação, agiação, evolução, desenvolvimeno, enfim, à vida. Enreano, em Física, a idéia de movimeno assume um significado basane resrio, qual seja: a variação, em função do empo, da posição de um corpo em relação a ouro corpo que serve de referência. Dio desa maneira, o conceio de movimeno embora resrio, carece de precisão. A fim de esclarecermos nosso objeo de esudo, é necessário expliciar o que se enende por posição, corpo e corpo que serve de referência. Eses conceios-chave, junamene com os de disância percorrida, deslocameno, velocidade, rajeória, aceleração, empo e referencial consiuem o arcabouço conceiual necessário para a descrição cinemáica do movimeno de corpos aravés de proposições semânicas (do ipo, quano menor isso...maior aquilo), represenações exernas (como gráficos, abelas e diagramas, ec.) e modelos maemáicos. Um modelo maemáico é um ipo de represenação simbólica que faz uso de enes maemáicos como funções, veores, ec. Em Física, de grande ineresse são os modelos maemáicos que represenam sisemas dinâmicos. Um modelo de sisema dinâmico pode ser enendido como um conjuno de relações maemáicas enre as grandezas que descrevem o sisema e o empo, considerado como variável independene. Mas volemos à idéia cenral de movimeno.. Os conceios de pono maerial e sisema de referência Quando dizemos que um corpo esá em movimeno, devemos expliciar em relação a que ouro corpo, sua posição se alera à medida que o empo passa. Vejamos um exemplo. Imagine um rem que se aproxima de uma esação onde alguns passageiros aguardam senados. Em relação à esação, o rem esá em movimeno e os passageiros esão em repouso. Já em relação ao rem, ano a esação quano os passageiros esão em movimeno. Nesse senido, o conceio de movimeno é relaivo, ou seja, depende do corpo de referência adoado. Como foi dio, a definição apresenada para movimeno se baseia em conceios pouco precisos. Traemos de precisá-los. Para resolvermos esa dificuldade em relação ao corpo que se movimena e ao corpo que serve de referência, inroduziremos os conceios de pono maerial e de sisema de referência. Para ano, suponha que 1
esamos ineressados em deerminar o empo que um ônibus leva para percorrer o recho da Avenida Ipiranga, localizada na cidade de Poro Alegre, indicado na figura abaixo. y Av. Ipiranga x Figura 1. Um recho da exensa Avenida Ipiranga, localizada na cidade de Poro Alegre, obido com o sofware Google Earh. Os veículos que percorrem a avenida aparecem como ponos brancos na figura. Como o recho é muio maior do que o amanho do ônibus, podemos desprezar as dimensões dese úlimo e considerá-lo como um objeo ponual. Sempre que as dimensões do corpo em movimeno puderem ser desprezadas, dizemos que o corpo se compora como um pono maerial. Esa idealização limia-nos ao esudo do movimeno de ranslação de corpos rígidos. Nese caso, odas as parículas que consiuem o corpo rígido sofrem o mesmo deslocameno e, por isso, podemos nos preocupar com o deslocameno de somene uma delas. Além disso, a figura mosra um sisema com dois eixos coordenados, x e y, cuja origem foi fixada num pono da Terra escolhido arbirariamene, de forma conveniene para esabelecer as coordenadas da posição do ônibus. Assim, desprezando as ondulações do erreno e a curvaura da Terra, podemos adoar um sisema de referência bidimensional para o esudo de qualquer movimeno nessa região. Logo, sisema de referência (ou referencial) é odo o sisema de coordenadas em relação ao qual se podem especificar as coordenadas da posição de um pono maerial. Anes de prosseguirmos na discussão de novos conceios, redefinamos o conceio de movimeno, agora, de modo mais preciso: um pono maerial esá em movimeno em relação a um dado referencial, quando sua posição varia no decorrer do empo. 3. O conceio de rajeória Ouro conceio que depende fundamenalmene do referencial adoado é o de rajeória. A rajeória de um corpo pode ser enendida como o caminho que ele
percorreu durane sucessivos insanes de empo, ao longo de seu movimeno. Vejamos um exemplo. Imagine um pára-quedisa que sala do inerior de um avião. Se pudermos desprezar os efeios de resisência do ar, enquano o pára-quedas não se abre, do pono de visa do piloo do avião, a rajeória do pára-quedisa é aproximadamene reilínea e verical. Já para um observador na Terra, a rajeória descria pelo pára-quedisa será parabólica. Assim, os conceios de movimeno, repouso e rajeória dependem do referencial adoado. 4. Os conceios de deslocameno e disância percorrida O conceio de deslocameno decorre da definição de movimeno. Já o conceio de disância percorrida, decorre da definição de rajeória. Vejamos cada um deles, com base na figura abaixo. C 1 d r B Figura. O deslocameno d r de um corpo ao percorrer as rajeórias C 1 e C, enre os ponos A e B. Suponha que um corpo parindo do pono A alcance o pono B ora pelo caminho C 1, ora pelo caminho C. O deslocameno do corpo, em ambos os casos, é o veor d r que une os dois ponos e só depende deles. Assim, dado um sisema de referência, a parir do qual se possa deerminar a posição x r A do pono A e a posição x r B do pono B, definimos o deslocameno d r como sendo: r r r d = x B x A, onde o seu módulo d r se mede em meros, no Sisema Inernacional de Unidades (S.I.). Enreano, as disâncias percorridas dependerão do comprimeno de cada uma das rajeórias (caminhos 1 e ). No caso paricular em que a rajeória seja reilínea e não haja inversão no senido de movimeno, o módulo do deslocameno deverá coincidir com a disância percorrida pelo corpo. 5. Os conceios de velocidade média e velocidade insanânea A A velocidade média é definida a parir do conceio de deslocameno. Ela informa a rapidez com que o corpo se desloca enre duas posições. Como exemplo, suponha que você caminhe uma quadra com 6 m de exensão, em linha rea, em 1 minuo. Logo, erá sofrido um deslocameno, em média, de 1 m a cada 1 s de caminhada. Diz-se, enão, que sua velocidade média foi de 1 m/s. Isso não quer dizer que você enha manido esa velocidade ao longo de oda a quadra. Essa velocidade indica, apenas, que a cada 1 s de caminhada, você variou sua posição de 1 m. Logo, define-se a velocidade média como sendo a razão enre o deslocameno d r e o inervalo de empo associado a ese deslocameno: C 3
onde o seu módulo v r m r v m r d = Δ, se mede em m/s, no S.I. A definição de velocidade insanânea, ou simplesmene velocidade, é similar a de velocidade média. A diferença esá no fao de que Δ é omado como sendo infiniamene pequeno, iso é, o inervalo de empo reduz-se a um insane de empo. Logo, a velocidade média orna-se a velocidade naquele insane. 6. Os conceios de aceleração média e aceleração insanânea O conceio de aceleração média é definido a parir do conceio de velocidade. A aceleração média indica o quano a velocidade de um corpo variou no inervalo de empo correspondene. Vejamos o significado físico da aceleração média aravés de um exemplo. Suponha o movimeno de um carro que durane sua arrancada possui uma aceleração média de 1 km/h/s. Essa aceleração indica que a velocidade insanânea, a velocidade indicada pelo velocímero do carro, esá variando, em média, 1 km/h a cada 1 s de movimeno. Logo, seguindo ese raciocínio, ao parir do repouso, o carro chegaria a uma velocidade de 1 km/h depois de 1 s, aingiria km/h depois de s, 3 km/h depois de 3 s, 4 km/h depois de 4 s, e assim por diane. Logo, define-se a aceleração média como sendo a razão enre a variação da velocidade v r e o inervalo de empo correspondene a m r r r Δv v v = = Δ onde v r é a velocidade associada ao insane de empo final e v r r associada ao insane de empo inicial. O módulo da aceleração média a r m, é a velocidade inicial, no S.I., se mede em m/s/s ou simplesmene m/s. O conceio de aceleração insanânea, ou simplesmene aceleração, é definido similarmene à aceleração média, com a diferença que Δ é omado como sendo infiniamene pequeno, reduzindo-se a um insane de empo. Logo, a aceleração média orna-se a aceleração naquele insane. 7. Um diagrama conceiual sobre a Cinemáica Como dio aneriormene, os conceios apresenados aé o momeno consiuem o arcabouço conceiual necessário para descrever o movimeno dos corpos, do pono de visa da Cinemáica. Anes de avançarmos na discussão, vejamos um diagrama conceiual que procura dar uma visão panorâmica do campo conceiual da Cinemáica. 4
Figura 3. Um diagrama conceiual da Cinemáica. O diagrama conceiual acima em por objeivo evidenciar algumas relações enre os conceios necessários para a descrição do movimeno dos corpos. Em Física, o conceio de movimeno é definido a parir dos conceios de posição, pono maerial e referencial. Dessa forma, só é possível descrever a variação da posição de um pono maerial, ao longo de sua rajeória, se ivermos adoado um referencial. A variação da posição é definida como sendo o deslocameno, que só é numericamene igual à disância percorrida quando o movimeno é reilíneo e não invere o seu senido. O deslocameno, por sua vez, junamene com o inervalo de empo correspondene, define a velocidade média do movimeno. Conudo, se quisermos ober informações sobre a velocidade num insane qualquer do movimeno, devemos omar o limie em que, de modo a calcular a velocidade insanânea do pono maerial naquele insane. Quando a velocidade for nula, o pono maerial esará em repouso. Por fim, em movimenos uniformemene variados (acelerados), a grandeza física que mede a axa de variação da velocidade no empo, considerado em oda a Cinemáica como variável independene, é a aceleração média. 8. Algumas simplificações para esudar os movimenos Dependendo do ipo de movimeno, esudá-lo pode ser uma arefa demasiada complicada. Trajeórias bi e ridimensionais, por exemplo, exigem uma noação veorial um pouco mais complexa. Para faciliar nossa abordagem à Cinemáica, faremos 5
algumas simplificações quano às rajeórias descrias pelos corpos, o que acabará por reduzir nosso esudo a um número limiado de siuações. Iremos considerar somene rajeórias reilíneas, em ouros ermos, apenas movimenos unidimensionais. Esa resrição orna possível a uilização de apenas um eixo coordenado como sisema de referência, o que simplifica consideravelmene o esudo de um movimeno na medida em dispensaremos a noação veorial. Ou seja, faremos um esudo da Cinemáica escalar, como veremos a seguir. 9. O movimeno reilíneo uniforme Movimenos que se realizam ao longo de rajeórias reilíneas não são comuns. As grandes reas das esradas dificilmene correspondem a rajeórias reilíneas. Elas quase sempre possuem desníveis que acabamos não considerando. Na verdade, a maioria dos corpos que se movem próximos à superfície da Terra não descreve rajeória reilínea. Menos freqüenes, ainda, são os movimenos que além de descreverem rajeória reilínea, o fazem com velocidade consane. O movimeno reilíneo uniforme (MRU) é o movimeno mais simples e menos freqüene que exise na naureza. Vejamos algumas siuações em que se pode observar ese ipo de movimeno. Uma esfera meálica abandonada denro de um ubo conendo óleo na verical, cai com velocidade aproximadamene consane. O movimeno de queda das goas de chuva se realiza com velocidade consane passado cero empo do seu início. O movimeno de uma pessoa numa escada rolane, subindo ou descendo, ambém ocorre com velocidade consane. Assim, quando o corpo se move em uma rajeória reilínea e com velocidade consane, o seu movimeno é reilíneo uniforme. A única grandeza física que varia com o empo é a posição. Em conseqüência, esudar o MRU resume-se ao esudo da variação da posição do corpo em função do empo. Como exemplo, suponha que você eseja dirigindo um carro, em linha rea, com velocidade de 6 km/h. Nesas condições, o carro irá percorrer 6 km a cada hora. Logo, após 1 hora de movimeno o carro percorrerá 6 km, após horas percorrerá 1 km, após 3 horas percorrerá 18 km, e assim por diane. Ou seja, o carro percorrerá disâncias iguais em inervalos de empo iguais. Traemos de expressar esas idéias em linguagem maemáica. Suponha que um carro eseja percorrendo, com velocidade consane, uma rajeória reilínea. A figura 4 represena a siuação de forma esquemáica. Nela, esá indicado um eixo coordenado com origem em O que serve de referência para deerminar as posições do carro em cada insane de empo. x = x x vr O x = x Figura 4. Uma represenação esquemáica do movimeno de um carro, com velocidade consane, numa rajeória reilínea. Ao longo do eixo coordenado, esão indicadas as posições x, que corresponde ao insane de empo, e x que corresponde ao insane de empo. A diferença x x é 6
o deslocameno x durane o inervalo de empo =. Em geral, se admie =. Na práica, isso corresponde a zerar o cronômero no momeno que se inicia a conagem do movimeno. Logo, com base na figura acima, é possível verificar que: x = x + Δx. Porém, o movimeno reilíneo uniforme é aquele no qual a velocidade em qualquer insane de empo é consane e diferene de zero. Assim, a velocidade do carro em qualquer insane de empo é igual a sua velocidade média ao longo de odo o movimeno. Logo: e isolando x na equação acima, emos que: Δx v = vm =, Δ Δ x = vmδ = vδ. Subsiuindo x na primeira equação, em-se que, fazendo = : x = x + v. A expressão acima é conhecida como a função horária do movimeno reilíneo uniforme. Nela, os valores consanes são a posição inicial x e a velocidade v. A posição x varia linearmene com o empo. Assim, esa função permie deerminar para cada insane de empo o correspondene valor da posição x do pono maerial ao longo da sua rajeória e, vice-versa, conhecendo a posição do pono maerial, deerminar o correspondene insane de empo. 1. O movimeno reilíneo uniformemene variado Embora alguns movimenos observados na naureza sejam aproximadamene uniformes, é fácil consaar que a maioria dos corpos adquire movimeno com uma velocidade que varia com o passar do empo. Eses movimenos são denominados de acelerados ou variados. Aqui, nos resringiremos às siuações em que esa variação se processa de maneira uniforme, ou seja, em que a velocidade do corpo aumena (ou diminui) da mesma inensidade em inervalos de empos iguais. A arrancada de um carro, o movimeno de uma bola que rola ladeira abaixo, a freada de um auomóvel, a queda de uma pedra e muios ouros movimenos podem ser considerados variados. Como foi viso, a grandeza física que descreve a variação da velocidade num cero inervalo de empo é a aceleração. Ela indica a rapidez com que a velocidade do pono maerial varia com o passar do empo. Vejamos como ficam esas idéias expressas em linguagem maemáica. 1.1. A velocidade em função do empo A figura 5 ilusra de forma esquemáica o movimeno, numa rajeória reilínea, de um carro que se move com aceleração consane. v r v r ar = Figura 5. Uma represenação esquemáica de um carro que se move com aceleração consane. 7
Ao longo do eixo coordenado são mosrados o insane inicial =, que corresponde à velocidade inicial v, e o final, que corresponde à velocidade final v. A diferença v v é a variação da velocidade v durane o inervalo de empo =. Porém, o movimeno reilíneo uniformemene variado (MRUV) é aquele no qual a aceleração em qualquer insane de empo é consane e diferene de zero. Assim, a aceleração do carro em qualquer insane de empo é igual a sua aceleração média ao longo do movimeno. Logo: Δv v v a = am = =. Δ Isolando v na equação acima, e fazendo = : v = v + a. Na expressão acima, os valores consanes são a velocidade inicial v e a aceleração a. Logo, a velocidade v varia linearmene com o empo. Esa função permie deerminar para cada insane de empo, o correspondene valor da velocidade v do pono maerial ao longo da sua rajeória e, vice-versa, conhecendo a velocidade do pono maerial, deerminar o correspondene insane de empo. 1.. A posição em função do empo A posição de um pono maerial em MRUV varia com o quadrado do empo segundo a expressão abaixo: 1 x x + v + a =, onde x e v são, respecivamene, a posição inicial e a velocidade inicial no insane e a é a aceleração (consane) a que esá submeido o pono maerial. Jusificaremos a forma desa expressão mais arde, quando inerprearemos a área abaixo da curva no gráfico v para o movimeno acelerado. Fixados os parâmeros x, v e a que definem o movimeno acelerado, a expressão acima permie deerminar para qualquer insane de empo, a posição do pono maerial. Por isso, é denominada a função horária do MRUV. 1.3. A velocidade em função da posição Combinando as expressões para a velocidade e para a posição em função do empo, de modo que a expressão resulane não dependa da variável, emos: v = v + a( x x), onde x, v e a são parâmeros. A parir desa expressão é possível deerminar a velocidade v para qualquer posição x da rajeória e, vice-versa, deerminar a posição do pono maerial em função da sua velocidade. A expressão acima é conhecida como a equação de Torricelli. 11. O movimeno de queda livre A Cinemáica consise numa abordagem eórica ao esudo do movimeno dos corpos. Sua formulação remona a Galileu (1564 164) quando, ineressado em descrever a rajeória de projéeis e a queda dos corpos, esudou o movimeno uniforme (velocidade consane) e o movimeno uniformemene variado (aceleração consane). Galileu acrediava que odos os corpos, independenemene do seu peso, caíam da mesma forma, iso é, adquiriam a mesma velocidade em cada insane de empo, se 8
abandonados da mesma alura num meio cuja resisência fosse nula, ou seja, no vácuo. Esa hipóese conradizia a eoria de Arisóeles sobre o movimeno, segundo a qual: um corpo massivo cairia mais depressa que ouro menos massivo. A fim de refuar a eoria arisoélica, Gonçalves e Toscano sugerem que Galileu parece er adoado o seguine raciocínio:...deixando cair dois objeos de massas diferenes, segundo Arisóeles, o mais pesado adquire maior valor de velocidade. Unindo os dois, o mais rápido será parcialmene reardado pelo mais leno e ese, por sua vez, será acelerado pelo mais pesado. Como exemplo, omem-se duas pedras: uma grande, que se move com módulo de velocidade 5, m/s, e uma menor, que se move com velocidade em módulo, m/s. Quando unidas, as duas se moverão com uma velocidade de módulo menor que 5, m/s e maior que, m/s. Porano, um objeo mais pesado (as duas pedras junas) move-se com módulo de velocidade menor que o de um mais leve, quando deveria cair com uma velocidade ainda maior. (GONÇALVES E TOSCANO, 1997: 65-66) A parir das suas experiências de pensameno e dos experimenos realizados com objeos abandonados do alo de planos inclinados, Galileu formulou dois enunciados sobre o movimeno de queda livre (sem resisência do ar) dos corpos que podem ser resumidos da seguine forma: a) um corpo que cai a parir do repouso adquire, em empos iguais, variações iguais de velocidade; b) a disância percorrida por um corpo que cai a parir do repouso é proporcional ao quadrado do empo gaso para percorrê-lo. Como mosram as idéias de Galileu, o movimeno de queda livre (MQL) é um movimeno reilíneo uniformemene acelerado na direção verical. Logo, as equações que descrevem um MQL são as mesmas que descrevem um MRUV na direção horizonal. A única diferença esá no fao de que no MQL o sisema de referência passa a ser um eixo coordenado na direção verical que apona, normalmene, para cima. Além disso, no MQL o módulo da aceleração a que fica submeido o pono maerial é sempre conhecido e na Terra vale aproximadamene 9,8 m/s. 1. Análise gráfica dos movimenos Aé aqui, esivemos preocupados em analisar os movimenos reilíneos nas direções horizonal e verical, sejam eles uniformes ou acelerados, por meio de relações maemáicas enre as grandezas que descrevem o movimeno do corpo e o empo, considerado como variável independene. Ouro ipo de análise exremamene úil do movimeno é o seu esudo gráfico. Gráficos armazenam uma grande quanidade de informações e permiem uma visão geral do comporameno das grandezas envolvidas na descrição dos movimenos. Iniciemos nossa análise gráfica pelo esudo dos gráficos do MRU. 9
1.1 Esudo gráfico do MRU 1.1.1. Esudo do gráfico x No MRU, a única grandeza cinemáica que varia em função do empo é a posição do pono maerial. Como o movimeno ocorre com velocidade consane v, a posição x depende linearmene do empo. Os gráficos x da figura 6 mosram duas siuações possíveis para o MRU. x x x x 1 P 1 ( 1,x 1 ) P (,x ) x x 1 Figura 6. À esquerda, o gráfico x represenando um MRU com velocidade posiiva. À direia, o gráfico x represenando um MRU com velocidade negaiva. Em ambos os gráficos x da figura 6, o pono onde a rea (vermelha) cora o eixo das ordenadas (eixo das posições) represena a posição inicial x do movimeno, no insane =. No gráfico à esquerda, a parir desa posição inicial, o movimeno ocorre no senido crescene do eixo das posições, indicando um deslocameno x posiivo e, conseqüenemene, uma velocidade posiiva. Já no gráfico à direia, o movimeno ocorre no senido conrário. Logo, o pono maerial se desloca no senido decrescene do eixo das posições, o que resula num movimeno com velocidade negaiva. Para calcular o valor da velocidade, basa deerminar o coeficiene angular m da rea, a parir de dois ponos quaisquer da mesma, como P 1 ( 1, x 1 ) e P (, x ) no gráfico à esquerda da figura acima. O coeficiene angular é numericamene igual à velocidade do pono maerial, viso que: x x1 m = = v. Vejamos um exemplo de análise do gráfico x para o MRU. O gráfico da posição versus empo para dois objeos A e B, em movimeno ao longo de uma mesma direção, é mosrado abaixo. x (cm) 1 1 A 6 3 B (s) 5 1 15 Figura 7. O gráfico x represenando o movimeno de dois objeos ao longo da mesma direção. 1
Considerando um sisema de referência que apona para a direia, vê-se que o objeo A inicia seu movimeno da origem, iso é, da posição x =. Já o objeo B inicia seu movimeno da posição x = 3 cm. Durane os primeiros s de movimeno, enquano o objeo A sofre um deslocameno de 1 cm, o objeo B desloca-se de 3 cm. Logo, a velocidade de A é maior do que a de B. Ese fao pode ser observado, ambém, pela inclinação das reas que represenam os dois movimenos. Quano maior for a inclinação da rea no gráfico x, maior será a velocidade do corpo. Do gráfico acima, ambém é possível ver que a velocidade do objeo A vale 6 cm/s, enquano a velocidade do objeo B é de 1,5 cm/s. Além disso, é possível verificar que no insane de empo próximo a 7,5 s, os dois objeos se enconram na mesma posição. 1.1.. Esudo do gráfico v Os gráficos v da figura 8 represenam as duas siuações possíveis para o movimeno de um pono maerial ao longo de uma rajeória reilínea com velocidade consane. v v v A = x A = x -v Figura 8. À esquerda, o gráfico v represenando um MRU com velocidade posiiva. À direia, o gráfico v represenando um MRU com velocidade negaiva. Em ambos os gráficos da figura 8, a rea que represena os valores da velocidade é paralela ao eixo dos empos, indicando que o movimeno ocorre com velocidade consane. No gráfico à esquerda, a rea enconra-se acima do eixo dos empos, indicando uma velocidade posiiva. Já no gráfico à direia, a rea enconra-se abaixo do eixo dos empos, indicando uma velocidade negaiva. Além disso, a parir do gráfico v é possível exrair informações sobre o deslocameno do pono maerial durane o inervalo de empo considerado. A área compreendida enre a rea (vermelha) e o eixo dos empos, limiada laeralmene pelos insanes de empos considerados, é numericamene igual ao deslocameno do pono maerial, viso que, para os casos acima: A = bh = ( ) v = Δx. Vejamos um exemplo de análise do gráfico v para o MRU. O gráfico da velocidade versus empo, mosrado na figura 9, represena o movimeno de um corpo ao longo de uma rajeória reilínea. 11
v (m/s) 5,5 -,5 A 1 A 1 3 4 (s) Figura 9. O gráfico v represenando o movimeno de um corpo ao longo de uma rajeória reilínea. Considerando um sisema de referência que apona para a direia, vê-se do gráfico acima que o corpo movimena-se, durane os primeiros s, no senido crescene das posições com velocidade de 5 m/s. Seu deslocameno nese inervalo de empo é numericamene igual a A 1. Após, o corpo pára por 1 s, como indica o segmeno de rea (vermelha) sobre o eixo dos empos. Em seguida, vola a mover-se no mesmo senido com velocidade de,5 m/s. Nese inervalo de empo, seu deslocameno é igual a A. Logo, o deslocameno que o corpo sofreu, durane os primeiros 4 s de movimeno, corresponde a soma algébrica das áreas indicadas no gráfico 1.. Esudo gráfico do MRUV 1..1. Esudo do gráfico v Δ x = Aoal = A + A = b h + b h = 1 m +,5 m 1, 5m 1 1 1 = No MRUV, ano a posição quano a velocidade do pono maerial variam com o empo. Como o movimeno ocorre com aceleração consane a, a velocidade v depende linearmene do empo. Os gráficos v da figura 1 mosram duas siuações possíveis para o MRUV. v v v v 1 P 1 ( 1,v 1 ) P (,v ) v v v A = x Figura 1. À esquerda, o gráfico v represenando um MRUV com velocidade posiiva. À direia, o gráfico v represenando um MRUV com velocidade negaiva. Em ambos os gráficos v da figura 1, o pono onde a rea cora o eixo das ordenadas (eixo das velocidades) represena a velocidade inicial v do movimeno, no insane =. No gráfico à esquerda, o movimeno ocorre no senido crescene do eixo das velocidades, indicando uma variação da velocidade v posiiva e, conseqüenemene, uma aceleração posiiva. Já no gráfico à direia, o pono maerial se 1
movimena com velocidade cada vez menor, o que resula numa aceleração negaiva. Para calcular o valor da aceleração, basa deerminar o coeficiene angular m da rea, a parir de dois ponos quaisquer da mesma, como P 1 ( 1, v 1 ) e P (, v ) no gráfico à esquerda da figura acima. O coeficiene angular é numericamene igual à aceleração do pono maerial, viso que: v v1 m = = a. Além disso, se exrapolarmos o raçado da rea no gráfico à direia, é possível deerminar o insane de empo em que o pono maerial em velocidade nula. E, da mesma forma que no MRU, a área compreendida enre a rea e o eixo dos empos, limiada pelos insanes de empo considerados, é numericamene igual ao deslocameno do pono maerial, al que: ( B + b) h ( v + v ) A = = = Δx. Como x = x x e v = v + a, a equação acima pode ser reescria na forma: ( v + a + v) = x x 1 x = x 1 + v + a A úlima expressão obida é a função horária do MRUV. Vejamos, enão, um exemplo de análise do gráfico v do MRUV. O gráfico da velocidade versus empo, mosrado na figura 11, represena o movimeno de um corpo ao longo de uma rajeória reilínea. v (m/s). 5 3 A 1 A 1 3 4 (s) Figura 11. O gráfico v para o movimeno de um corpo ao longo de uma rajeória reilínea. Considerando um sisema de referência que apona para direia, o gráfico acima represena o movimeno de um corpo que, durane os primeiros s, sofre uma aceleração de -,5 m/s. Seu deslocameno nesse inervalo de empo é numericamene igual a A 1. Embora eseja submeido a uma aceleração negaiva, a velocidade do corpo se maném posiiva, resulando num deslocameno para a direia de 7,5 m. No erceiro segundo de movimeno, o corpo permanece em repouso. Já no quaro segundo, o corpo vola a sofrer uma aceleração, agora, de 3 m/s. Nesse úlimo segundo, o seu deslocameno pode ser deerminado pelo cálculo de A, e vale 1,5 m. Logo, ao fim dos primeiros 4 segundos de movimeno, seu deslocameno foi de 9 m. 13
1... Esudo do gráfico a Os gráficos a da figura 1 represenam as duas siuações possíveis para o movimeno de um pono maerial ao longo de uma rajeória reilínea com aceleração consane. a a a A = v A = v -a Figura 1. À esquerda, o gráfico a represenando um MRUV com aceleração posiiva. À direia, o gráfico a represenando um MRUV com aceleração negaiva. Em ambos os gráficos da figura 1, a rea que represena os valores da aceleração é paralela ao eixo dos empos, indicando que o movimeno ocorre com aceleração consane. No gráfico à esquerda, a rea enconra-se acima do eixo dos empos, indicando uma aceleração posiiva. Já no gráfico à direia, a rea enconra-se abaixo do eixo dos empos, indicando uma aceleração negaiva. Além disso, a parir do gráfico a é possível exrair informações sobre a variação da velocidade do pono maerial durane o inervalo de empo considerado. A área compreendida enre a rea e o eixo dos empos, limiada laeralmene pelos insanes de empos considerados, é numericamene igual à variação da velocidade do pono maerial, viso que, para os casos acima: A = bh = ( ) a = Δv. Vejamos um exemplo de análise do gráfico a para o MRUV. O gráfico da aceleração versus empo, mosrado na figura 13, ilusra o movimeno de um corpo ao longo de uma rajeória reilínea. a (m/s ),5 A -3 1 3 4 A 1 (s) Figura 13. O gráfico a para o movimeno de um corpo ao longo de uma rajeória reilínea. Considerando um sisema de referência que apona para a direia, o gráfico acima represena o movimeno de um corpo que sofre, durane os primeiros s, uma aceleração consane de -3 m/s. Nese inervalo de empo, a variação da velocidade 14
corresponde a área A 1, e vale -6 m/s. No erceiro segundo de movimeno a velocidade do corpo se maném consane, pois o gráfico indica uma aceleração nula. Em seguida, o corpo adquire uma aceleração consane de,5 m/s. Nese inervalo de empo, a variação da velocidade corresponde à área A, e vale,5 m/s. Logo, ao longo de odo o movimeno a variação oal da velocidade do corpo pode ser calculada pela soma algébrica das áreas A 1 e A, e vale -3,5 m/s. 1..3. Esudo do gráfico x No MRUV, a função maemáica que relaciona a posição do pono maerial com o empo é a função quadráica (ou de segundo grau). Os gráficos da figura 14 mosram as duas siuações possíveis para o MRUV. x x α B α α 1 B A A α 1 x x Figura 14. À esquerda, o gráfico x represenando um MRUV com aceleração posiiva. À direia, o gráfico x represenando um MRUV com aceleração negaiva. Em ambos os gráficos x da figura 14, o pono onde a parábola cora o eixo das ordenadas (eixo das posições) represena a posição inicial x do movimeno, no insane =. No gráfico à esquerda, a parábola em concavidade para cima. Os coeficienes angulares das reas angenes à parábola nos ponos A e B são numericamene iguais às velocidades neses ponos. Como α > α 1, a velocidade no pono B é maior do que no pono A, indicando uma variação da velocidade v posiiva e, conseqüenemene, uma aceleração a posiiva. Já no gráfico à direia, a concavidade da parábola é para baixo. E, como α 1 > α, a velocidade no pono A é maior do que no pono B, indicando uma variação da velocidade v negaiva e, conseqüenemene, uma aceleração a negaiva. Vejamos um exemplo de análise do gráfico x para o MRUV. O gráfico da posição versus empo, mosrado na figura 15, represena o movimeno de um corpo em rajeória reilínea. x (m) 35 B α 15 A α 1 (s) 1 Figura 15. O gráfico x represenando o movimeno de um corpo ao longo de uma rajeória reilínea. 15
Considerando um sisema de referência que apona para a direia, o gráfico acima represena o movimeno de um corpo que parindo do repouso (rea angene paralela ao eixo dos empos no pono de abscissa igual a zero) adquire uma aceleração consane posiiva durane os primeiros 1 s. A parir do insane = 1 s, o movimeno ocorre com velocidade consane, represenado pelo segmeno de rea (vermelha) na figura acima. Do gráfico ambém é possível ober informação a respeio da velocidade média do corpo durane os 1 s iniciais do movimeno. Parindo da posição inicial x = 15 m, o corpo se desloca, nese inervalo de empo, aé a posição x = 35 m. Logo, seu deslocameno nos primeiros 1 s foi de m e sua velocidade média de v m de m/s. 13. Considerações finais No processo de eorização da realidade é possível seguir por um enre dois caminhos eóricos, a saber: (a) pode-se desejar consruir eorias do ipo caixa ranslúcida, em que se opa por uma descrição dealhada e profunda de alguns aspecos da realidade, mediane a inrodução de variáveis hipoéicas, de modo a expliciar os mecanismos mais inernos (não observáveis) dos sisemas físicos; ou (b) pode-se desejar consruir eorias do ipo caixa-negra, onde a escolha é por uma abordagem mais direa, iso é, mais próxima dos dados empíricos e que faz uso somene de variáveis exernas (observáveis) do ipo enrada e saída (E-S), de modo a descrever o comporameno global do sisema físico (Bunge, 1974). Nese exo, opamos em seguir pelo segundo caminho no esudo dos movimenos, ou seja, pela Cinemáica em vez da Dinâmica. A Cinemáica é ipicamene uma eoria do ipo caixa-negra enquano a Dinâmica é um exemplo de eoria do ipo caixa ranslúcida. Tano a Cinemáica quano Dinâmica pronunciam-se sobre os mesmos fenômenos de ineresse. Enquano a Cinemáica descreve o comporameno do sisema somene com base em variáveis do ipo enrada (empo) e saída (posição, velocidade e aceleração), a Dinâmica procura inferir sobre as causas do movimeno, ou seja, as forças responsáveis pelo esado de variação do movimeno. 14. Referências [1] ARAUJO, I. S; VEIT, E. A.; MOREIRA, M. A. Aividades de modelagem compuacional no auxílio à inerpreação de gráficos da Cinemáica. Revisa Brasileira de Ensino de Física, v. 6, n., p. 179-184, 4. [] BUNGE, M. Teoria e realidade. São Paulo: Perspeciva, 1974. 43 p. [3] GASPAR, A. Física. Mecânica. Vol. 1. São Paulo: Áica,. 384 p. [4] GONÇALVES F. A. e TOSCANO, C. Física e realidade. Vol. 1. São Paulo: Scipione, 1997. 367 p. 16