ema Enexía mecánica. Gaitación -1 Fozas conseatias. Pincipio de conseación da enexía mecánica - As leis de Keple -3 Campos de fozas centais -4 Lei de Newton da gaitación uniesal -5 Intensidade de campo e potencial gaitatoios -6 A ea coma fonte de inteacción gaitatoia -7 Poblemas e cuestións -1 Fozas conseatias. Pincipio de conseación da enexía mecánica aballo ealizado po unha foza Sexa F unha foza que aplicada a un copo, obígao a moese nunha diección coa que foma un ángulo α. A compońente da foza pependicula ao despazamento s non ealiza taballo. A compoñente da foza paalela ao despazamento Fcosα, poduce sobe o copo un taballo: W=Fcosα s, que coincide coa expesión do poducto escala da foza aplicada F polo despazamento s poducido: W = F s = Fscosα Se a foza non é constante nin a taxectoia do copo ectilínea, descompoñemos a taxectoia en despazamentos elementais ds, calculamos o taballo ealizado en cada un: dw = F ds = ( F i + F j + F k ) ( dxi + dyj + dzk ) = F x + F y + F z x y z x y z e integamos ente os extemos 1 e da liña consideada: ema : Gaitación 1
x y z W = F ds = F dx + F dy + F dx x y z 1 x1 y1 z1 que é o límite, cando o númeo de despazamentos elementais ds en que descompoñemos a liña tende a infinito, da suma dos taballos elementais dw = F ds Potencia Na páctica inteesa coñece o tempo que tada unha máquina en ealiza un taballo, de aí a necesidade de defini unha magnitude que elacione ambas magnitudes. A potencia defínese como o cociente ente o taballo ealizado e o tempo empegado: W P= t A súa unidade no S.I. é o atio W : 1W = 1 J / 1 s. Outa unidade empegada fecuentemente é o cabalo de apo: 1 CV= 735,8 W. No caso dunha foza F constante que actúe sobe un copo en moemento ectilíneo con elocidade constante, po exemplo ao elea un copo mediante unha foza igual e oposta ao seu peso, ou ao aasta un copo cunha foza igual e oposta ao ozamento, temos: W Fs s P = = = F = F P = F t t t Enexía cinética É a enexía que posúe un copo debido o seu moemento. A enexía cinética E c é igual ó taballo que debemos ealiza sobe o copo, inicialmente en epouso, paa que adquia a elocidade que posúe. Supoñendo o caso mais xeal de que actúe unha foza aiable, o taballo calcúlase po integación: d dw = f ds = ma ds = m ds = m d = m( d x x+ d y y+ d z z) dt que integando ente o = 0 e = ( x, y, z) : y x y x z z y x z x y z W = m xdx + ydy + zdz = m + + = m + + = m 0 0 0 0 0 0 A expesión da enexía cinética dun copo de masa m moéndose con elocidade seá: 1 E c= m eoema da enexía cinética: O taballo ealizado po unha foza, ó actua sobe un copo, duante un ceto intealo de tempo, é igual á aiación da súa enexía cinética nese tempo: W=E c -E c1 = E c En efecto, calculemos o taballo ealizado ente dous instantes t 1 e t, nos que o copo se moe con elocidades 1 e : y x y z x z y x z W = m d xdx ydy zdz m = + + = + + 1 x1 y1 z1 x1 y1 z1 x x1 y y1 z z1 1 1 = m + + = m m 1 ema : Gaitación
Fozas conseatias. Enexía potencial. Pincipio de conseación da enexía mecánica. Chamamos campo ectoial a unha exión do espacio na que hai definido un ecto R = Rxyz (,, ) en cada un dos seus puntos. Un caso paticula de campo ectoial son os campos de fozas ou exións do espacio nas que hai definido un ecto foza F = F( x, y, z) en cada un dos seus puntos. Un exemplo é o campo de fozas gaitatoio teeste, exión que odea a ea na que cada punto ten asignado o ecto intensidade da gaidade g, definido como a foza execida sobe a unidade de masa no punto consideado. Chámase ciculación dun ecto R, ao longo dunha liña ente os puntos P 1 e P dela, á integal ente ambos puntos, do poducto escala do ecto campo polo despazamento elemental ds ao longo da liña: R ds 1 que é o límite, cando o númeo de despazamento elementais ds en que descompoñemos a liña tende a infinito, da suma dos poductos escalaes Rds. Un exemplo de ciculación dun ecto, é o taballo ealizado po unha foza ao longo dunha liña. Un campo ectoial denomínase conseatio cando a ciculación ente dous puntos calquea non depende da liña que os une elixida. En paticula un campo de fozas F é conseatio cando o taballo ealizado ente dous puntos non depende do camiño C 1, C...elixido: Fds = Fds 1 1 C1 C O taballo ealizado po unha foza conseatia ao longo dunha taxectoia pechada calquea é ceo: F ds=0 En efecto, unha popiedade da integal definida é que ao inete o camiño de integación, a integal cambia de signo: 1 Fds = Fds 1 C1 C1 Elixindo dous puntos calquea P 1 e P da taxectoia pechada, e empegando a definición de foza conseatia temos: 1 Fds = Fds + Fds = Fds Fds = 0 Casos impotantes de fozas conseatias son os campos de foza gaitatoio e eléctico. Un copo puntual de masa M cea ao seu aedo un campo gaitatoio, que poduce sobe outo copo de masa m unha foza de atacción 1 1 1 C1 C C1 C ema : Gaitación 3
gaitatoia dada po: m F = u sendo a distancia ente os copos e u un ecto unitaio. Analogamente unha caga puntual Q exece unha foza eléctica sobe outa caga q colocada nas poximidades de alo: kqq F = u sendo de epulsión, ou atacción, se as cagas son de igual, ou distinto, signo espectiamente. Demostaemos que o taballo ealizado pola foza gaitatoia ao longo dunha taxectoia ente dous puntos P 1 e P non depende da taxectoia seguida. Paa elo descompoñemos a taxectoia C en despazamentos elementais ds e calculamos o taballo ealizado en cada despazamento: dw = F ds = Fds cosα = Fd sendo d a poxección do despazamento ds sobe a diección adial. Logo o taballo elemental dw depende unicamente dos módulos da foza F e do despazamento adial d. Polo tanto o taballo ealizado ao longo de calquea taxectoia, obtido po integación, depende exclusiamente das distancias inicial 1 e final : m 1 1 1 1 1 W1 = F ds = F d d m m W 1 m 1; C = = 1 1 = + = 1 1 1 Unha análise detallada do calculo anteio pemite obsea unha apaente contadicción. Cada taballo elemental, dw=fd, e o taballo total, son positios, peo o esultado da integal é negatio pois 1 >. Paa aclaa está dificultade debemos ecoda que cando o límite supeio dunha integal é meno có límite infeio (como neste caso) a integal definida seá negatia. Logo a expesión coecta do taballo é o esultado da integal cambiado de signo 1 1 W1 = m + (1) 1 Analogamente demóstase que a foza eléctica é conseatia. Enexía potencial gaitatoia É a enexía que posúe un copo po esta situado, nunha deteminada posición, dento dun campo gaitatoio A enexía potencial gaitatoia E p dun copo de masa m nun punto situado a unha distancia R do cento do copo esféico de masa M que cea o campo, é igual ao taballo ealizado pola foza gaitatoia F=m/, cando o copo m se moe dende un punto situado no infinito ata o punto R: R R R R R m d 1 m Ep = F d = Fd = d = m = m = ema : Gaitación 4
Polo tanto a expesión da enexía potencial E p é: m Ep = A definición de enexía potencial anteio obtense tomando oixe de enexía potencial no infinito, E P =0 en = ; peo a enexía potencial aumenta coa distancia, de xeito que a unha distancia infinita seá máxima; esto oixina o signo negatio da E P. Se elixiamos a oixe de E P nouto punto (po exemplo na supeficie teeste), apaecen temos constantes que complican innecesaiamente a súa expesión. Non se pode toma oixe de enexía potencial, E p =0, en =0, pois daía luga a un ceo no denominado da expesión da E p e, esta seia en calquea punto. A enexía total ou suma das enexías cinética e potencial, E=E c +E p, dun copo chámase enexía mecánica. Pincipio de conseación da enexía mecánica A enexía mecánica dun copo, que se moa baixo a acción exclusia dun campo gaitatoio, pemanece constante: Demostación: E c1 +E p1 =E c +E p Faise paa o campo gaitatoio teeste, peo e álida paa calquea copo celeste esféico sen máis que pescindi do subíndice "" coespondente. O taballo ealizado pola foza gaitatoia, cando un copo de masa m se moe ente dous puntos situados a distancias R 1 e R do cento da ea, é igual á enexía potencial no punto 1 menos a enexía potencial no punto. En efecto basta e a ecuación (1) ou ben intega ente as dúas posición da figua: R R R m m m W = 1 F d = Fd = d E p1 Ep = R R1 R1 R1 R = 1 Peo o teoema da enexía cinética di que o taballo sempe é igual a aiación da enexía cinética do copo: W=E c - E c1. polo que igualando ambas expesións queda: E p1 -E p =E c -E c1 ou E c1 +E p1 =E c +E p. Substituíndo as fómulas das enexías cinética e potencial obtemos a expesión do pincipio de conseación da enexía mecánica: m 1 m 1 + m1 = + m 1 Nas poximidades da supeficie teeste, en puntos situados a altuas h 1 e h sobe a supeficie, moi pequenas fonte ao adio teeste, h 1 «R e h «R, ao escibi as distancias R 1 e R ao cento do planeta como R 1 =R +h 1, R =R +h queda apoximando: ema : Gaitación 5
m m 1 1 Ep 1 Ep = + = m + = R + h1 R + h R + h1 R + h R h + R + h h h mh mh = m m = ( R h )( R h ) R R R 1 1 1 + 1 + e como a intensidade do campo gaitatoio na supeficie teeste é g= /R, queda: E p1 -E p =mgh 1 -mgh que nos indica a expesión da enexía potencial gaitatoia teeste en puntos póximos á supeficie: E p =mgh A pequenas altuas sobe a supeficie teeste, o pincipio de conseación da enexía mecánica toma a foma: 1 1 mg h1+ m 1= mg h+ m Foguetes espaciais: elocidade de escape. Velocidade de escape é a elocidade mínima con que debe lanzase un poxectil, dende a supeficie teeste, paa que abandone o campo gaitatoio e non egese á ea. A elocidade de lanzamento debe pemiti ao poxectil afastase ata unha distancia infinita, pois de non se así a atacción gaitatoia teeste poocaía o seu egeso. Ademais a medida que a distancia á ea se fai gande, a elocidade do poxectil debe apoximase a ceo, facéndose nula no infinito, pois o contaio indicaía que a elocidade con que se lanzou foi maio da necesaia. Podemos aplica o pincipio de conseación da enexía mecánica ao poxectil, igualando a enexía despois do lanzamento sobe a supeficie teeste, coa enexía a distancia infinita: 1 m 1 m 1 m m = m f, m =0 R R f R pois f =0 e R f =, sendo m a masa do poxectil e a elocidade de escape. A enexía cinética con que se lanza seá a enexía mínima necesaia paa que o poxectil escape da gaidade teeste. Despexando e simplificando obtemos: = R Substituíndo aloes obtemos unha elocidade de 11, Km/s. Na páctica esulta imposible loga esta elocidade inicial ao despega, empegándose foguetes que aumentan pogesiamente a súa elocidade a medida que se afastan da ea. - Histoia da gaitación: leis de Keple. Dende os alboes da ciilización un dos poblemas fundamentais que máis intigaon ao home, foi todo o elacionado cos astos e moi especialmente as leis dos seus moementos no fimamento, dando luga á ciencia da astonomía; e tamén o estudio e intepetación das pesuntas influencias dos astos na ida e compotamento das pesoas, mateias "estudiadas" pola astoloxía. Os gegos supuxeon que a ea ea o cento do unieso e que os copos celestes xiaban ema : Gaitación 6
aedo dela (teoía xeocéntica). Os astos coñecidos naquela época foon odenados a pati da súa distancia media á ea: a Lúa, Venus, Mecuio, o Sol, Mate, Xúpite e Satuno. O moemento destes astos isto dende a tea ea complexo. olomeo de Alexandía, no século segundo da ea cistián, desenolou a teoía das epicicloides paa descibi este moemento. Simplificando, supoñía que cada asto descibía un ciculo, epiciclo, con moemento unifome, e que o cento deste cículo moíase simultaneamente sobe un cículo maio, concéntico á ea, chamado defeente. A taxectoia esultante chamábase epicicloide. No século dezaseis o monxe polaco Nicolao Copénico, escibe unha oba sobe o sistema sola, onde considea que os planetas xian aedo do Sol, teoía heliocéntica. O ode dos planetas po distancia ao Sol seía a seguinte: Mecuio, Venus, A ea e a Lúa xiando ao seu aedo, Mate, Xúpite e Satuno. O feito de considea á ea coma un planeta máis do sistema sola, xiando cun moemento de otación aedo de si mesma, ademais de obita aedo do Sol nun moemento de tanslación coma os demais planetas, ea contaio ás ideas da Igexa que apoiaban a teoía de olomeo, polo que Copénico non puído publica a súa oba ata pouco antes de moe. O modelo heliocéntico de Copénico foi empegado polo astónomo Johanes Keple (1571-1630), xunto coas medicións astonómicas coidadosas e pecisas do seu mento ycho Bake (1546-1601), paa obte as leis que desciben o moemento planetaio no sistema sola, e que se enuncian a continuación. 1ª lei de Keple: Os planetas desciben obitas elípticas, estando o Sol nun dos seus focos. (Fig.a). Unha elipse é o luga xeomético fomado polos puntos do plano que teñen constante a suma das distancias, d 1 +d =cte, a dous puntos fixos, F 1 e F, chamados focos (Fig.b). A pimeia lei de Keple indica que as óbitas dos planetas aedo do Sol nos son exactamente ciculaes, senón elípticas, aínda que paa moitos cálculos poden considease cicunfeencias centadas no Sol. ª lei de Keple ou lei das áeas: O ecto de posición que une o cento do Sol co cento do planeta, bae áeas iguais en tempos iguais. ema : Gaitación 7
Esta segunda lei afima que os planetas non ealizan un moemento unifome, pecoendo espacios iguais en tempos iguais, senón que nun mesmo tempo, t, os seus ectoes de posición con especto ao Sol, baen áeas iguais: A 1 =A (Fig.a). En consecuencia a elocidade do planeta é máxima no peihelio, ou punto máis póximo ao Sol, e mínima no afelio, ou punto máis sepaado. En efecto: A 1 =½ 1 s 1 =½ 1 1 t e A =½ s =½ t ao se A 1 =A, temos 1 1 = e como 1 > seá 1 <. 3ª lei de Keple: Os cadados de eolución dos planetas son diectamente popocionais aos cubos dos semieixes maioes das súas óbitas: 1 = =...= constante. 3 3 R1 R Esta teceia lei, (Fig.b), indica que ao aumenta a distancia do planeta ao Sol, aumenta o tempo que tada este en da unha olta completa aedo daquel. -3 Campos de fozas centais: caacteísticas xeais. Dise que unha foza é cental cando está diixida sempe caa a un mesmo punto fixo chamado cento de fozas. A diección da foza é a ecta que une o cento de foza coa posición da patícula. Un caso impotante de foza cental é a inteacción gaitatoia ente dúas patículas, cando unha delas M está fixa no cento de fozas, e a outa m móese especto á pimeia baixo a acción da foza de atacción gaitatoia, que constitúe neste caso unha foza cental. É o caso apoximado do sistema fomado polo Sol e a ea. A diección da foza cental F coincide sempe coa do ecto de posición da patícula con especto ao cento de fozas. Se a foza cental é de atacción, como a foza gaitatoia, teá sentido oposto ao do ecto de posición, e se a foza é de epulsión, como po exemplo a epulsión eléctica ente cagas de igual signo, teá o mesmo sentido co ecto de posición. Unha popiedade impotante das fozas centais é que toda patícula sometida a unha foza cental posúe un momento angula L constante. En efecto: O momento da foza cental con especto ao cento de fozas definido como M = F, ten módulo M=Fsenα=0, po se o ángulo α fomado po e F igual a 0 ou 180. Da fómula M = dl / dt, se M = 0, deducimos que L = cte. Po tanto o momento angula pemanece constante en módulo, diección e sentido, de onde deducimos as seguintes consecuencias: ema : Gaitación 8
1.- Po se constante en diección o momento angula, o moemento ealizase nun plano. En efecto: ao se L = m, po definición de poducto ectoial L seá pependicula ao plano fomado po e. Se a diección de L pemanece constante, os ectoes e estaán sempe no mesmo plano..- Po se constante en módulo o momento angula, cúmpese a lei das áeas: O ecto de posición que une o cento de fozas coa patícula bae áeas iguais en tempos iguais. En efecto: Supoñamos que a patícula tada un tempo dt en ealiza un despazamento d. A áea aida nese tempo seá: 1 1 1 1 x m 1 L da= x d = x dt = x dt = dt = dt m m e a elocidade aeola ou áea aida na unidade de tempo seá: da 1 L = dt m polo que se L é constante en módulo tamén é constante a elocidade aeola. NOA: Recoda que a expesión 1 da= x d significa que a áea aida A é apoximadamente igual a da= x 1 e que a apoximación é tanto mello canto meno sexa o tempo t tanscoido. -4 Lei de Newton da gaitación uniesal. Newton descubiu a existencia da inteacción gaitacional, é dici, da inteacción debida a súa masa ente os copos, xa sexan planetas ou patículas pequenas, e deduciu a expesión matemática da lei da inteacción gaitatoia, empegando as leis de Keple, coma se explica a continuación. Supoñendo que a gaitación é unha popiedade uniesal, a foza F de atacción gaitatoia debe se popocional á "cantidade de mateia" de cada copo, ou sexa as súas masas espectias M e m. Logo podemos escibi: F=Mmf() Paa detemina a dependencia da foza F coa distancia, Newton empegou a 1ª lei de Keple que establece as óbitas elípticas dos planetas aedo do Sol. Paa simplifica a demostación, supoemos que os planetas se moen en óbitas ciculaes, e con elocidade constante, aedo do Sol. Este moemento cicula está poocado, pola foza de atacción gaitatoia, do Sol sobe o planeta, que actúa coma foza centípeta, con diección caa ao Sol e módulo: F = m coma = π/, seá: ema : Gaitación 9
4π 4π F= m = m peo a 3ª lei de Keple establece que = k 3, polo que: 4π 4π 1 F = m = m = k 3 k k demostando que paa cumpi as leis de Keple, a foza da gaitación debe diminuí co cadado da distancia. Podemos establece a lei da gaitación uniesal de Newton, dicindo que: a foza de atacción gaitatoia ente os copos, é diectamente popocional ao poducto das súas masas e inesamente popocional ao cadado da distancia que os sepaa: m F= A ª lei de Keple ou lei das áeas, indica que a foza gaitacional é cental, é dici, ten a diección da liña que une os dous copos, neste caso o Sol co planeta. A ecuación ectoial da foza gaitacional pódese escibi: m F= u sendo u un ecto unitaio na diección que une o cento do planeta co cento do Sol. A constante de gaitación, G, foi calculada expeimentalmente po Caendish en 1798, obtendo o alo: G= 6,67 10-11 N m /kg. -5 Intensidade de campo gaitatoio: pincipio de supeposición. Sexa unha masa M aedo da que colocamos, en difeentes posicións, outa masa m. En cada posición a masa m expeimenta unha foza debida á inteacción gaitacional con M dada pola lei de Newton da gaitación: m F= u Po suposto, que en cada posición de m, a masa M expeimenta unha foza igual e oposta. Peo aquí soamente estamos inteesados no que lle pasa a m. Podemos intepeta este fenómeno, dicindo que a masa M modifica o espacio que a odea, ceando ao seu aedo un campo gaitatoio, que se ecoñece pola foza que M exece sobe outas masas colocadas en dita exión. Paa caacteiza cuantitatiamente o campo gaitatoio poducido pola masa M nun punto P empégase o ecto intensidade do campo gaitatoio g definido coma a foza execida sobe a unidade de masa, m=1 kg, colocada en P. Logo: N g = u ( unidade : ) kg Daquela o ecto intensidade de campo gaitatoio g sempe sinala caa a masa que o poduce. Cada punto do campo gaitatoio ceado po M ten asociado un alo do ecto g, ema : Gaitación 10
tal que a foza F execida sobe unha masa m colocada en dito punto, é igual a: F= mg Supoñamos agoa que temos aias masas M 1, M, M 3,..., cada unha poducindo o seu popio campo gaitatoio. A foza total sobe unha patícula de masa m en P ale: F = m g +m g +m g +...= m ( g + g + g +...) = mg 1 3 1 3 onde g1, geg... son os ectoes intensidade de campo 3 gaitatoio poducido po cada masa no punto P. Po tanto a intensidade do campo gaitatoio ceado po aias masas é igual a suma ectoial das intensidades do campo gaitatoio ceado po cada masa ( pincipio de supeposición). 1 3 i g = M M M M g 1+ g + g 3+...= G u 1+G u +G u 3+...= G u i 1 3 i i Un campo gaitatoio pode epesentase gaficamente mediante liñas de foza. Debúxase unha liña de foza de xeito que en cada un dos seus puntos a diección do campo gaitatoio g sexa tanxente á liña. Ademais as liñas de foza tázanse de foma que a súa densidade, ou númeo de liñas que ataesan a unidade de supeficie pependicula ao campo, sexa popocional á intensidade do campo. Po exemplo, as liñas de foza do campo aedo dunha masa puntual son adiais (Fig.a), sendo a densidade de liñas maio peto da masa, igual cá intensidade de campo. Potencial gaitatoio. Paa caacteiza cuantitatiamente un campo gaitatoio pódese asigna a cada punto, ademais do ecto g, unha magnitude escala, o potencial gaitatoio V definido coma a enexía potencial da unidade de masa colocada en dito punto. Po tanto, se nun ceto punto dun campo gaitacional, unha masa m ten unha enexía potencial E p, o potencial gaitatoio en dito punto é V=E p /m. ema : Gaitación 11
Da fómula da enexía potencial debida a unha masa puntual M, nun punto P situado a unha distancia, obtemos a expesión coespondente do potencial gaitatoio: J V = ( unidade: ) kg Se en luga dunha patícula, temos aias masas, o potencial gaitatoio en P é a suma escala: 1 3 i V = M M M M V 1+ V + V 3+...= G G G...= G 1 3 i i Unindo os puntos nos que o potencial gaitatoio ten o mesmo alo, obtemos unha seie de supeficies chamadas supeficies equipotenciais. Po exemplo, no caso dunha soa patícula de masa M, o potencial V=-/ é constante se =cte, polo que as supeficies equipotenciais coesponden a esfeas con cento na masa M (Fig.a). Nótese, que neste exemplo, as liñas de foza son pependiculaes as supeficies equipotenciais. Esto cúmpese sempe, coma demosta o seguinte azoamento. Consideemos dous puntos moi póximos dunha supeficie equipotencial (Fig.b). Cando despazamos unha patícula de masa m ente os dous puntos, o taballo dw ealizado polo campo gaitatoio é igual á aiación da enexía potencial cambiada de signo dw=-de p e, po tanto nulo, pois os puntos teñen iguais E p e V. O feito de que o taballo, dw = F d, sexa nulo, implica que a foza F é pependicula ó despazamento d, que está contido na supeficie equipotencial. Logo, a diección do campo gaitatoio g é pependicula ás supeficies equipotenciais. O taballo ealizado po un campo gaitatoio sobe unha masa m, cando esta se despaza dende o punto i ao f, é igual á enexía potencial gaitatoia no punto i menos a do punto f, ou ao poducto da masa m pola difeencia ente o potencial gaitatoio V i menos o potencial V f : W=E pi - E pf = m(v i - V f ) En efecto, na páxina -6 imos que o taballo W ealizado po unha foza gaitatoia ea igual á a enexía potencial no punto inicial E pi menos a do punto final E pf. Po outa banda E pi =mv i e E pf =mv f. Se unha masa m sometida exclusiamente a campos gaitatoios ealiza un despazamento elemental d a fao da foza do campo,é dici, no mesmo sentido cá foza F, o taballo gaitatoio é positio: Fd> 0, a masa pede E p (pois W=E p1 -E p >0) e gańa E c (pois a foza ten o mesmo sentido co moemento e aumenta o módulo da elocidade); o pincipiode conseación da enexía pemite asegua que a diminución da E p é igual ao aumento da E c. Se o despazamento d se ealiza en conta da foza do campo (debido á acción dunha foza extena ao campo ou a costa dunha diminución da enexía cinética) o taballo gaitatoio é negatio e a masa gańa E p. Paa despazamentos non infinitesimales, se W>0 entón E pi >E pf e o copo pede enexía potencial e gańa enexía cinética na mesma cantidade e, se W<0 entón E pi <E pf e o copo gańa enexía potencial debido á acción dunha foza extena ou a costa dunha peda de E c. -6 A ea coma fonte de inteacción gaitatoia. Campo gaitatoio teeste é a exión do espacio que odea á ea, onde esta exece unha foza de atacción gaitatoia, sobe calquea masa alí colocada. A lei de Newton da gaitación uniesal: ema : Gaitación 1
m F= u é álida paa copos de dimensións pequenas compaadas coa distancia que os sepaa, o que sucede, po exemplo, na atacción gaitatoia ente o Sol e os planetas. O cálculo da atacción execida po un copo esféico, po exemplo a ea, nas súas inmediacións foi ealizado po Newton, chegando á seguinte conclusión: "Unha esfea homoxénea poduce, en puntos exteioes a ela, un campo gaitatoio igual ao poducido po unha patícula de masa igual á da esfea, e colocada no seu cento". A foza gaitatoia con que a ea atae a un copo de masa m colocado a unha altua H sobe a súa supeficie, ou peso do copo nesa posición, ale: m F = u ( R +H ) A intensidade do campo gaitatoio teeste nun punto,, é a foza con que a ea atae caa o seu cento á unidade de masa ( 1 Kg) colocada en dito punto: F g= = u m ( R +H ) É unha magnitude ectoial de diección adial e sentido diixido caa ao cento da ea. A súa unidade é N/Kg. Numeicamente coincide coa aceleación da gaidade en dito punto, coma se demosta a continuación. Sabemos que a foza gaitatoia ou peso pode obtese multiplicando a masa inecial m inec. pola aceleación da gaidade a, de acodo coa ª lei de Newton: F = m inec a. E po outo lado a foza gaitatoia ou peso tamén se calcula a pati da masa gaitatoia m ga. e a intensidade de campo gaitatoio g : F = m ga g. Os conceptos de masa inecial (constante de popocionalidade ente fozas aplicadas a un copo e aceleacións poducidas) e masa gaitatoia (causante da atacción gaitatoia mutua ente os copos), son totalmente difeentes. Peo expeimentalmente compóbase que son popocionais, e esto pemite elixi a constante de gaitación G, de foma que a masa inecial sexa numeicamente igual á masa gaitatoia: m ine. =m ga.. Desta foma, aínda que conceptualmente sexan difeentes, a masa inecial e a masa gaitatoia dun copo son iguais numeicamente. Como consecuencia a intensidade do campo gaitatoio coincide numeicamente coa aceleación da gaidade: g = a. Vaiacións de g na supeficie teeste. O adio teeste é lixeiamente maio no ecuado que nos polos. Po tanto o alo de g, que diminúe co cadado da distancia ó cento da ea, seá meno no ecuado que nos polos. Po outo lado, a ea xia aedo do seu eixe, de modo que tódolos puntos da súa supeficie paticipan deste moemento de otación. Se consideamos un copo de masa 1 kg sobe a supeficie teeste, podemos descompoñe a intensidade do campo gaitatoio que actúa sobe el, g = /R u, nunha compoñente que pooca a aceleación centípeta F c =m a c =1 a c = a c coespondente ao moemento cicula que ealiza o copo solidaiamente coa ea, e nouta compoñente que seá e a intensidade da gaidade medible expeimentalmente g 0 : g = a c + g 0 Onde g= / R u ten diección adial, é dici, está diixida caa ao cento da ea e g 0 ten diección etical (a ema : Gaitación 13
dada po unha chumbada) lixeiamente afastada da adial. Vaiación de g coa altua. A unha altua H sobe a supeficie teeste o alo de g é: g= ( R +H ) Sobe a supeficie teeste o alo de g é: g 0 = R Diidindo ente si as dúas expesións e simplificando queda: g R = g 0 ( R +H ) expesión que pemite calcula g a pati de g 0, R e H. Vaiación de g coa pofundidade A intensidade do campo gaitatoio nun punto do inteio de ea situado a unha distancia do seu cento, <R, é igual ao campo ceado pola esfea "inteio" ao punto, de adio e cento na ea. Este esultado é consecuencia do teoema de Gauss que estudiaemos no póximo tema. Paa obte a expesión buscada supoemos constante a densidade ρ da ea. int GρVint g g = = GρV = 0 R R g g 0 4 3 GρVintR 3 π R = = 4 3 GρV π R R = R 3 Satélites atificiais. Consideemos un satélite de masa m en óbita cicula aedo da ea, a unha altua H sobe a súa supeficie. O satélite descibe un MCU sobe unha cicunfeencia de adio, =R +H, concéntica á ea, sometido á foza de atacción gaitatoia teeste, que actúa coma foza centípeta: m =m Despexando e simplificando obtemos a elocidade do satélite en función do aio da óbita: = Empegaemos esta expesión paa obte a enexía mecánica do satélite en óbita: 1 m 1 m m Em = EC + EP = m = m = ema : Gaitación 14
m Em = A enexía mecánica é negatia e esto ocoe sempe que un copo non sexa quen de escapa da atacción gaitatoia (sistema ligado). Enexia necesaia paa cambia de óbita un satélite: Se queemos tanslada un satélite a outa óbita máis alta, aumenta e a enexía mecánica toma un alo negatio máis póximo a ceo e polo tanto aumenta. Este aumento da enexía mecánica do satélite debe ealizase mediante un taballo exteno ao campo feito polos foguetes da nae de alo: W exteno = E m = E mf - E mi A demostación é consecuencia do teoema da enexia cinética: W=E cf -E ci. Ao se W=W exteno + W gaitatoio e como W gaitatoio =E pi -E pf, obtense facilmente o esultado Se o satélite pede enexía po ficción nas capas altas da atmosfea, a enexía mecánica diminúe, tomando un alo máis negatio. O cociente m/ positio toma un alo maio, paa eso debe decece, e o satélite pede altua. -7 Poblemas e cuestións Fozas conseatias. Pincipio de conseación da enexía mecánica 1) Un bloque de 5 kg, inicialmente en epouso, desliza sen ozamento sobe un plano inclinado 30º coa hoizontal. Calcula, aplicando o pincipio de conseación da enexía mecánica, a elocidade que posúe despois de desliza 5 m sobe o plano. O pincipio de conseación da enexía mecánica pode aplicase a copos que deslizan sobe supeficies sen ozamento, pois a eacción execida pola supeficie é nomal á taxectoia e non ealiza taballo: E c1 +E p1 =E c +E p E c1 =0, poque inicialmente está en epouso. E p1 = mgh= mgssenα E c = ½m E p =0 pois h=0 na posición final do bloque. Substituíndo: mgssenα = ½m, gssenα = ½. Despexando: = gsenα = 10 5 sen30º = 7, 071 m/ s ) Calcula a elocidade con que se moen os bloques da figua, inicialmente en epouso, cando o bloque B descende 5 m con especto a súa posición inicial. Supo que non hai ozamento e empega o pincipio de conseación da enexía mecánica. O pincipio de conseación da enexía mecánica pode aplicase poque o copo A desliza sen ozamento E ca1 +E pa1 +E cb1 +E pb1 =E ca +E pa +E cb +E pb E ca1 =E cb1 =0, poque inicialmente están en epouso. E pa1 =E pa, poque despazase hoizontalmente sen aia a altua. Os dous temos anúlanse ente ema : Gaitación 15
si. E pb =0, pois h=0 na posición final do bloque B. Despois de elimina temos queda: E pb1 =E ca +E cb, é dici, a enexía pedida (E pb ao cae) é igual a enexía gañada (E c de A e B). m B gh=½m A +½m B, m B gh=½(m A +m B ) m Bgh kg 10 ms 5 m m = = = 5,345 ma+ mb 5 kg+ kg s 3) Lanzamos un bloque de 5 kg caa aiba sobe un plano inclinado 45º coa hoizontal. Supo endo que non hai ozamento, calcula a elocidade mínima con que debemos lanza o bloque, paa que acade un punto situado a 6 m de altua, especto á posición inicial. g=10 ms -. R.- =10,95 m/s. 4) Dende unha altua de 30 m lánzase eticalmente caa aiba un poxectil cunha elocidade de 130 ms -1. Que elocidade teá ao chega ao chan? Vaía o esultado se o lanzamos eticalmente caa abaixo coa mesma elocidade inicial? E se o lanzamos fomando un ángulo de 30 baixo a hoizontal? R.- =13,3 ms -1. O módulo da elocidade final non depende da diección da elocidade inicial. 5) Unha cental hidoeléctica funciona cun caudal de 50 m 3 /s e un desniel de 80 m. Se a potencia eléctica subministada é 3 10 7 W, obte o endemento. Masa de auga po segundo: 3 1000 kg 4 m=50 m =5 kg 3 10 1 m Pedida de enexía potencial, da auga que cae nun segundo: e p =mgh=5 10 4 kg 10 ms - 80 m=4 10 7 Js -1 =4 10 7 W. Desa enexía só se tansfoma en enexía eléctica 3 10 7 W, polo que o endemento seá: 7 3 10 W 100 =75 % 7 4 10 W 6) Pode te un copo enexía mecánica sen te momento lineal (cantidade de moemento)? E pode te momento lineal sen te enexía mecánica? Razóese. i) Paa pequenas altuas sobe a supeficie teeste: Se un copo de masa m non ten momento lineal, p=m=0, seá =0. A súa enexía mecánica é: E=E c +E p =½m +mgh=mgh, e seá distinta de ceo se h 0. Se o copo non ten enexía mecánica, E=E c +E p =0, seá E p =0 polo que h=0 e E c =½m =0 polo que =0. E po tanto non ten momento lineal, p=m=0 ii) No caso xeal dun copo moéndose a gan altua sobe a supeficie teeste a enexía mecánica ten a foma: m 1 E =- + m é pode anulase aínda que o momento lineal non sexa nulo (cometa en óbita paabólica). 7) Unha gúa dun edificio en constucción elea un peso de 100 kg, poducíndolle unha aceleación etical e caa aiba, de 0,5 m/s duante s. A continuación mantén constante a elocidade etical mentes o acelea hoizontalmente cunha foza de 50 N, duante 3 s. g=10 ms -. ema : Gaitación 16
Calcula: a) A enexía cinética e potencial aos s. b) A enexía cinética e potencial ao final dos 5 s. R.- a) E c =50 J, E p =1000 J ; b) E c =16,5 J, E p =4000 J 8) Razoa po que as liñas de foza dun campo conseatio non poden pechase sobe elas mesmas. Unha liña de foza defínese coma aquela á que o ecto foza é tanxente en cada punto, sendo o seu sentido de pecoido o mesmo co da foza. En consecuencia F é paalela a cada elemento ds dunha liña de foza, e o taballo elemental seá positio: dw = F ds = Fds > 0. Po tanto o taballo ealizado ao longo dunha liña de foza é sempe positio: Fds>0 Se o campo de foza é conseatio o taballo ealizado ao longo dunha liña pechada calquea é ceo, polo que as súas liñas de foza non poden se pechadas, xa que acabamos de demosta que o taballo ealizado ao longo delas é sempe maio ca ceo. Fisicamente unha patícula despazándose ao longo dunha liña de foza é aceleada, aumentando a súa enexía cinética. Se as liñas de foza dun campo conseatio foan pechadas, cando a patícula completaá o pecoido pechado oltando a pasa pola posición inicial, a súa E c teía aumentado sen diminuí a súa enexía potencial, o que iolaía o pincipio de conseación da enexía. 9) Comenta a seguinte fase. " un campo chámase conseatio cando o taballo ealizado ao moese unha patícula no seu seo depende só das posicións inicial e final". Cita algúns exemplos, azoando a esposta, de campos conseatios e non conseatios. É coecta. O taballo ealizado po un campo conseatio sobe unha patícula é igual á difeencia da enexía potencial ente as posicións inicial e final, cambiada de signo: W=E p1 -E p. que só depende das posicións inicial e final. Son campos conseatios os campos gaitatoio e eléctico. Non son campos conseatios: i) As fozas de ficción ou ozamento. Po exemplo paa moe un copo sobe unha supeficie hoizontal ente dous puntos, encendo a foza de ozamento, o taballo ealizado aumenta coa lonxitude da cua que una ditos puntos. ii) O campo magnético B no que a ciculación ao longo dunha liña pechada non é nula en xeal: B ds = µ I polo que a ciculación ente os dous puntos aía segundo a liña seguida: 10) Un cometa de masa 10 1 kg achégase ó Sol dende un punto moi afastado do sistema sola, podéndose considea que a súa elocidade inicial é nula. a) Calcula-la súa elocidade no peihelio (situado a unha distancia apoximada de cen millóns de quilómetos do Sol). b) Calcula-la enexía potencial cando cuce a óbita da ea (a unha distancia =1'5.10 8 km). Datos: Masa do Sol: 10 30 kg; G=6'67 10-11 Nm kg - a) Se o luga de onde poén o cometa está moi afastado do sistema sola, podemos considea que a distancia é infinita, i =, e, polo tanto, a enexía potencial seá nula, o mesmo que a enexía total, pois a elocidade inicial ea ceo, i =0. No peihelio, ten unha enexía potencial negatia, e que ten que se contaestada, en base ó pincipio de conseación da enexía, pola enexía cinética, positia. A pati ema : Gaitación 17
desta, calculámo-la elocidade: Sm 1 1 Sm 1 Sm m i = m f, m f = 0 i f f Despexando e simplificando obtemos: -11 30 S 6,67 10 10 4-1 f = = 11 = 5' 10 ms 1 10 f b) Paa a enexía potencial ó cuza a óbita da tea, é indifeente de onde poceda o cometa, tendo que establece só a ecuación coespondente: Ep=-m/. Entón, só nos esta substituí-los datos da masa do Sol, a do cometa e a distancia ó Sol cando cuza a óbita da tea, xunto coa constante de gaitación uniesal: E p =-m/= - 6'67 10-11 10 30 10 1 /1'5 10 11 ; E p = - 8'9 10 0 J 11) Supoñendo que a ea non tiese atmosfea, de xeito que os obxectos ao cae non sufian o oce co aie, calcula a elocidade con que chegaía ao chan un obxecto ao cae dende unha distancia ao cento da ea, igual a 10 eces o adio teeste. Datos: g 0 =9,8 m/s., R =6,37 10 6 m. O obxecto duante a caída está sometido exclusiamente á foza gaitatoia teeste, polo que a súa enexía mecánica pemanece constante, e ten o mesmo alo nas posicións inicial e final (pincipio de conseación de enexía mecánica): E mi =E mf. O obxecto esta inicialmente en epouso, i =0, a unha distancia do cento da ea i =10R., e a súa enexía mecánica é: 1 m m Emi = Eci+ E pi = m i = i 10R O obxecto chega á posición final, no chan a unha distancia do cento teeste f =R, cunha elocidade f =, e a súa enexía mecánica ale: 1 m 1 m Emf = Ecf + E pf = m f = m f R Igualando: m 1 m Emi = Emf = m 10R R Eliminando m e despexando : 1 1 10 9 = = 10R = = 10R R R 10R 10R 6 18 18 18g R 18 9,8 6,37 10 = = R = = = 10600 10R 10R R 10 10 0 m s 1) Calcula a altua máxima que acada un poxectil que se lanza eticalmente caa aiba dende a supeficie da ea, cunha elocidade inicial de 1 km/s. Supo que non hai ozamento coa atmosfea. Datos: G=6,67 10-11 N m kg -, R =6,37 10 6 m, M = 5,98 10 4 kg. R.- 5,7 10 4 m. 13) A elocidade que se debe comunica a un copo na supeficie da ea paa que escape da gaidade teeste e se afaste paa sempe debe se: a) Maio que (g 0 R ) 1/. b) Meno que (g 0 R ) 1/. c) Igual que (g 0 R ) 1/. a ema : Gaitación 18
Paa consegui que un copo "escape" da atacción gaitatoia, debeemos comunicalle unha enexía que pemita situalo nun punto no que non estea sometido a dita atacción. Esto ocoe a unha distancia "infinita" do cento da ea e na que se cumpe que E m =0. Aplicando o pincipio de conseación da enexía mecánica a ambos puntos (cotiza teeste e infinito) esultaá: 1 m R Em = mescape + = 0, escape =, escape = = g0r R R R R Paa consegui que se afaste, debeemos comunicalle unha elocidade supeio a (g 0 R ) 1/ 14) Se nun copo situado nun campo gaitatoio, a súa E C é igual á súa E P (en alo absoluto), eso significa: a) Que o copo pode escapa ó infinito. b) Que o copo emataá caendo sobe a masa que cea o campo. c) Que seguiá unha óbita cicula. Solución a Se a E C é igual en alo absoluto a E P, a enexía mecánica seá ceo: -m/ + ½ m =0. Como a enexía mecánica do copo sometido á acción exclusia do campo gaitatoio debe pemanece constante, o copo pode chega ata o infinito cunha elocidade nula, pois en tal situación a E C =½m =0 e a E P =-m/ =0. As leis de Keple 15) Sabendo que o planeta Venus tada 4'7 días en da unha olta completa aedo do Sol e que a distancia de Neptuno ó Sol é 4501 10 6 km así como que a ea inete 365'56 días en da unha olta completa aedo do Sol e que a súa distancia a este é 149'5 10 6 km. Calcula: a) Distancia de Venus ó Sol. b) Duación dunha eolución completa de Neptuno aedo do Sol. a) A 3ª lei de Keple dinos que = KR 3 sendo o peíodo de eolución do planeta e R o adio da súa óbita. Aplicando esto á ea e a Venus teemos: = KR 3 V = KR 3 V de onde: / V = R 3 / R 3 R 3 = R 3 V / e ó substituí-los datos do poblema obtemos R V = 108'138.10 6 km b) Facendo o mesmo coa ea e Neptuno obteemos = KR 3 N = KR 3 N N = R 3 N /R 3 N = 5'1 10 9 s = 165' anos 16) Se po unha causa intena, a ea sufia un colapso gaitatoio e educia o seu adio a metade, mantendo constante a masa. Como seía o peíodo de eolución aedo do Sol?. a) Igual. b) anos. c) 4 anos. a Dacodo coa teceia lei de Keple, e popocional a R 3, esultando independente da distibución das masas duante a otación, polo que dito peíodo non se eá modificado. 17) Calcula a distancia que sepaa ao Sol de Mate, sabendo que o seu peíodo obital é 1,88 eces o da ea, e que a ea está situada a 1,5 10 11 km do Sol. R.-,85 10 14 m. ema : Gaitación 19
18) O peíodo de otación da ea aedo do Sol é un ano e o adio da óbita é 1,5 10 11 m. Si Xúpite ten un peíodo de apoximadamente 1 anos, e si o adio da óbita de Neptuno é de 4,5. 10 1 m, calcula: a) o adio da óbita de Xúpite; b) o peíodo do moemento obital de Neptuno. R.- a) 7,86 1011 m ; b) 1,64 10 anos 19) Aedo do Sol xian dous planetas cuxos peíodos de eolución son 3,66.10 días e 4,3.10 3 días espectiamente. Si o adio da óbita do pimeio é 1,49.10 11 m, a óbita do segundo é: a) a mesma; b) meno; c) maio. R.- c) =7,74.10 11 m Campos de fozas centais 0) Unha patícula móese dento dun campo de fozas centais. O seu momento angula especto do cento de fozas: a) Aumenta indefinidamente. b) É ceo. c) Pemanece constante. Solución c Nun campo de fozas centais, a foza é de tipo adial, é dici e F teńen a mesma diección, polo que seu poducto ectoial seá nulo. Estamos, pois, en condicións de aplica-lo pincipio de conseación do momento angula ó cinético. Se o momento da foza é nulo, o momento angula pemaneceá constante. M F = x F= 0 M F = dl/dt = 0 Polo tanto L= constante 1) As óbitas planetaias son planas poque: a) Os planetas teńen inecia. b) Non aía o momento angula ó se unha foza cental. c) Non aía o momento de inecia dos planetas no seu pecoido. Solución b Nun campo de fozas centais, a foza é de tipo adial, é dici e F teńen a mesma diección, polo que seu poducto ectoial seá nulo. Estamos, pois, en condicións de aplica-lo pincipio de conseación do momento angula ó cinético. Se o momento da foza é nulo, o momento angula pemaneceá constante. O momento cinético debe se constante en módulo, e en diección e sentido o que implica que e están sempe no mesmo plano e de aí a existencia de óbitas planas. ) No moemento da ea aedo do Sol. a) Conséanse o momento angula e o momento lineal. b) Conséanse o momento lineal e o momento da foza que os une. c) Vaía o momento lineal e conséase o angula. Solución c Nun campo de fozas centais, a foza é de tipo adial, é dici e F teńen a mesma diección, polo que seu poducto ectoial seá nulo. Estamos, pois, en condicións de aplica-lo pincipio de conseación do momento angula ó cinético. Se o momento da foza é nulo, o momento angula pemaneceá constante. O momento cinético debe se constante en módulo en diección e sentido, peo o momento lineal non seá constante, xa que o ecto elocidade cambia continuamente en diección. 3) Un satélite xia aedo dun planeta descibindo unha óbita elíptica cál das seguintes magnitudes pemanece constante?: a) momento angula; b) momento lineal; c) enexía potencial. Lei de Newton da gaitación uniesal. Intensidade de campo e potencial gaitatoios 4) A foza gaitatoia é popocional á masa do copo. En ausencia de ozamento, que ema : Gaitación 0
copos caen máis ápido?: a) Os de maio masa. b) Os de meno masa. c) odos igual. Solución c odos caeían igual, poque aínda que a foza gaitatoia depende da atacción das masas, a intensidade do campo gaitatoio (g) medida como F/m, depende unicamente da masa ceadoa do campo sendo independente da masa do obxecto que cae. g= / Esta intensidade de campo gaitatoio é a que detemina a aceleación de caída do copo. 5) Sexan tes copos iguais de gan masa, A, B, e C, e un de pequena masa, X. Se os dispońemos A e B po unha beia e C e X po outa, cos centos igualmente sepaados: a) Achegáanse máis ápido A e B. b) Achegáanse máis ápido C e X. c) Achegáanse ambas paellas cunha mesma aceleación. Solución a Segundo a lei de gaitación uniesal, a foza gaitatoia establécese ente dous copos cunha intensidade popocional ó poducto das súas masas. En cambio, a aceleación que sofe cada un dos copos é popocional á masa do outo, polo tanto a aceleación de achegamento (suma das aceleacións de cada copo independente) seá maio se algunha das masas é maio, e o achegamento é máis ápido. 6) G e g son: a) g maio que G. b) Unha maio cá outa dependendo do luga e campo dos que se pata. c) Non ten sentido face unha compaación ente g e G. Solución c Non ten sentido a compaación xa que "g" epesenta a intensidade de campo gaitatoio (F/m), sendo unha constante non uniesal que depende da distancia (g= / ); mentes que "G" é unha constante uniesal que non depende da natueza dos copos que inteaccionan e que toma o alo de 6'67 10-11 Nm kg -. Repesenta a foza gaitatoia con que se ataen dous copos de 1 kg de masa cada un, situados a 1 m de distancia. 7) A aceleación de caída dos copos caa a ea é: a) Popocional ó seu peso. b) Popocional á foza de atacción ente ambos. c) Independente da súa masa. Solución c A aceleación de caída dos copos "g" é a intensidade de campo gaitatoio, epesenta a foza execida po unidade de masa, sendo independente da masa que cae: g= / 8) En tes dos cato étices dun cadado de 10 m de lado colócanse outas tantas masas de 10 kg. Calcula: a) O campo gaitatoio no cuato étice do cadado. b) O taballo ealizado polo campo paa lea unha masa de 10 kg dende dito étice ata o cento do cadado. Dato: G= 6'67.10-11 Nm kg - a) Supondo as masas situadas nos étices (0,0), (10,0), (0,10) o ecto g no punto P i (10,10) obtease a pati da suma ectoial das intensidades ceadas po cada unha das masas situadas nos outos étices. Módulos das intensidades: g g = = = 11 1 6,67 10 10 1 1 10 + 10 g = = = 11 6,67 10 10 10 = = = 11 3 6,67 10 10 3 3 10 1 3,335 10 N/Kg 1 6,67 10 N/Kg 1 6,67 10 N/Kg ema : Gaitación 1
Vectoes intensidade: 1 1 1 g1 = g1 u1 = 3,335 10 ( cos45º i sen45º j) =,358 10 i,358 10 j N/Kg 1 1 g = g u = 6,67 10 ( j) = 6,67 10 j N/Kg 1 1 g3 = g3 u3 = 6,67 10 ( i) = 6,67 10 i N/Kg A intensidade total g de campo no punto (10,10) seá: 1 1 g = g1 + g + g3 = 9, 08 10 i 9, 08 10 j N/Kg b) O taballo paa lea-la masa de 10 kg dende o étice P i (10,10) deica o punto P f (5,5) calculaase pola aiación da enexía potencial que posúe a masa de 10 kg neses dous puntos: W =- E P = E Pi - E Pf =m(v i -V f ) 11 11 11 1 3 6,67 10 10 6,67 10 10 6,67 10 10 9 Vi = Vi 1 + Vi + Vi3 = = = 1,81 10 J/Kg i 1 i i3 00 10 10 11 11 11 1 3 6,67 10 10 6,67 10 10 6,67 10 10 9 Vf = Vf1 + Vf + Vf 3 = = =,83 10 J/Kg f1 f f 3 50 50 50 10 10 9 W = m( Vi Vf ) = 10 Kg{ 1,81 10 J/Kg (,83 10 J/Kg) } = 1, 0 10 J O signo positio indica que o taballo é ealizado polo campo e que a enexía potencial diminúe. 9) Nos étices dun cadado de lado l= 3m hai masas de 10 kg cada una. Calcula: a) A intensidade da gaidade no cuato étice ceada polas tes masas. b) O potencial gaitatoio en dito punto. Datos: G= 6'67. 10-11 Nm kg - 11 11 R.- a) g 10,03 10 = i 10,03 10 j N/Kg b) V=-6,0 10-10 J 30) En cada un dos tes étices dun cadado de metos de lado hai unha masa de 10 kg. Calcula: a) o campo e potencial gaitatoios ceados po esas masas no étice baleio; b) a enexía empegada paa taslada unha cuata masa de 1 kg dende o infinito ó cento do cadado (Dato: G = 6,67 10-11 Nm kg - ); (as masas considéanse puntuais) 10 10-10 9 R.- a) g =,6 10 i,6 10 j N/Kg ; V=-9,0 10 J / kg ; b) 1,41 19 J 31) Cando se enía un satélite á Lúa, é situado nunha óbita, que cota a ecta que une os centos da ea e da Lúa, po un punto tal que as ataccións que expeimenta o satélite debidas a cada asto son iguais. Cando o satélite se atopa nese punto, calcula: a) A distancia de dito punto ao cento da ea. b) A elación ente as enexías potenciais do satélite, debidas á ea e a Lúa. Datos: A masa da tea é 81 eces a da Lúa, e a distancia do cento da ea ao cento da Lúa é de 3,84 10 8 m. a) No punto onde as ataccións gaitatoias execidas polo ea e a Lúa sobe o satélite son iguais: m Lm M M L = = L L onde m é a masa do satélite, e e L as distancias deste aos centos da ea e da Lúa, espectiamente, cumpíndose que + L = 3,84 10 8 m. Opeando: M 81 L =, M =, M =, 9 = 8 8 M M M 3,84 10 3,84 10 L L L L L 9 (3,84 10 8 - ) =, 34,56 10 8-9 =, 34,56 10 8 = 10, = 3,456 10 8 m. b) Relación ente as enexías potenciais do satélite debidas á ea e a Lúa: ema : Gaitación
m 8 8 E p M L 81M LL 81(3,84 10 3,456 10 ) = Lm = = = =9 8 E pl M L M L 3,456 10 L 3) Sabendo que a masa da Lúa é igual a 0,0155 eces a da ea e o seu adio é 0,73 eces o adio teeste. Calcula: a) A aceleación dun copo que cae sobe a supeficie da Lúa. b) A aceleación g' execida pola ea sobe a Lúa, sabendo que a distancia media da Lúa á ea é igual a 60,5 adios teestes. Dato: g 0 =9,8 N kg -1. R.- a) G 0,0155 M 0,0155 gl= = = g = 1,65 m/ s R L (0,73 R ) 0, 73 b) G M 1 3 g = = = g =,70 10 ms dl (60,5 R ) 60, 5 L 33) Nun planeta cun adio que é a metade do adio teeste, a aceleación da gaidade na súa supeficie ale 5 ms -. Calcula: a) A elación ente as masas do planeta e da ea. b) A altua a que é necesaio deixa cae un obxecto no planeta, paa que chegue a súa supeficie coa mesma elocidade coa que o fai na ea, cando cae dende unha altua de 100 m. (Na ea: g =10 ms - ) A intensidade do campo gaitatoio én dada pola expesión: g = / a gaidade na supeficie do planeta é : g p = p / p = 5 ms - a gaidade na supeficie da ea é: g = / = 10 ms - Despexando as masas do planeta e a ea nestas expesións queda: M p = 5 p / G ; M = 10 / G M p /M = 0'5 p / como p = / M p /M = 0'5 0'5 / = 0'15 M = 8 M p b) A elocidade coa que chega ó chan un copo que cae dende una altua " h", sen elocidade inicial, na que a intensidade do campo gaitatoio poida considease constante, én dada pola expesión = gh A elocidade que alcanza un copo ó cae dende una altua de 100 m ata a ea é = ( g h ) 1/ = ( 10 100) 1/ = (000) 1/ m/s No planeta paa que chegue con esa elocidade teá que cae dende a altua seguinte = g p h p ; 000 = 5 h p ; h p = 00 m 34) Unha pelota lánzase eticalmente caa aiba e tada en chega ao chan 6 s (despécese a esistencia do aie). a) Que altua máxima dende o punto de lanzamento acada a pelota? g=9,80 ms - b) Se a pelota se lanzaa no planeta Mate, que ten unha masa igual a 0,107 eces a da ea e adio igual a 0,533 eces o teeste que altua máxima acadaía? Dato: G=6,67 10-11 - N m kg R.- a) 44,1 m ; b) 117,1 m. 35) Unha masa cae dende unha altua de 600 m, cunha aceleación de 5,85 m s -, sobe a supeficie dun planeta que ten un adio igual a 0,7 R. Calcúlese: a) A elación ente a masa do planeta e a masa da ea. ema : Gaitación 3
b) A altua da que debeía cae sobe a supeficie teeste, paa que impacte no chan coa mesma elocidade con que chega á supeficie do planeta. Dato: g 0 =9,8 m/s. R.- a) M p /M =0,0435 ; b) =83,7 ms -1 ; h =358 m. 36) A masa da Lúa especto da ea é 0,011 M e seu adio é R /4. Dado un copo cuxo peso na ea é 980 N (g 0 = 9,80 ms - ), calcula: a) a masa e o peso do copo na Lúa; b) a elocidade coa que o copo chega a supeficie lua si cae dende unha altua de 100 metos. R.- a) m=100 kg ; P=176 N ; b) =18,8 m/s 37) En cál destes tes puntos é maio a gaidade teeste: a) nunha sima a 4 Km de pofundidade; b) no ecuado; c) no alto do monte Eeest. 38) Cońecendo R =6,37 10 6 m, calcula a que altua sobe a supeficie teeste o alo de g edúcese á metade. R.-,639 10 6 m. 39) Como aía g ó afonda caa o inteio da ea? a) Aumenta. b) Diminúe. c) Non aía. Solución b g=g 0 /R Obtense unha aiación lineal de g con. A medida que diminúe (ó i caa o inteio da ea) g tamén diminúe. O alo máximo de g obtense cando = R. 40) Como aía g dende o cento da ea ate a supeficie (supońendo a densidade constante)?: a) é constante g= / R ; b) aumenta linealmente coa distancia dende ó cento da ea g = g 0 / R ; c) aía coa distancia dende o cento da ea segundo g = /(R +). 41) A que distancia do cento da ea g é igual o seu alo nun punto do inteio da ea equidistante do cento e da supeficie?. R = 6400 km. a) 6400 km. b) 9051 km. c) 18100 km Solución b Calculando g nun punto do inteio de ea equidistante ente o cento da ea e a supeficie (= R /): g inteio = g 0 /R =g 0 /. Si na expesión da g no exteio da ea: g exteio =/, multiplicamos e diidimos po R, queda g exteio =g 0 R /. Igualando as dúas expesións obtemos o alo de do punto exteio: g 0 /=g 0 R /, =(R ) 1/. Polo tanto =9051 km Satélites atificiais. 4) Un mesmo obxecto (satélite), descibindo cicunfeencias aedo do sol, iá máis ápido: a) Canto maio sexa o adio da óbita. b) Canto meno sexa o adio da óbita. c) A elocidade non depende do tamańo da óbita. Solución b Paa que un obxecto se atope en óbita: F G = F C, m/ =m /, =/, canto meno sexa o adio da óbita maio seá a elocidade. 43) Cando un obxecto xia en tono a ea cúmpese :a) Que a enexía mecánica do obxecto na súa óbita é positia. b) Que a súa elocidade na óbita seá =(gr ) ½. c) Que a foza centípeta e a foza gaitatoia son iguais. ema : Gaitación 4