ELETRICIDADE E MAGNETISMO

PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE GOIÁS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA E FÍSICA Prfessres: Edsn Vaz e Renat Medeirs ELETRICIDADE E MAGNETISMO NOTA DE AULA II Giânia - 2013 1

REVISÃO DE PRODUTO ESCALAR Antes de iniciarms estud d nss próxim assunt (lei de Gauss), cnsiderams imprtante uma revisã sbre prdut escalar entre dis vetres. O prdut escalar entre dis vetres a e b, escrit cm a. b, é definid cm ab abcs Onde a e b sã respectivamente s móduls ds vetres a e b, send ângul entre as direções de a e b, cm está representad na figura abaix. a Partind desta definiçã, é clar que se s dis vetres frem perpendiculares ( 90 ), terems ab 0, se = 0 ab ab e se = 180 ab ab b LEI DE GAUSS A lei de Culmb é uma lei básica da eletrstática, mas em algumas situações envlvend simetria pdems usar uma lei equivalente que pde simplificar trabalh n estud d camp elétric. Para tirar prveit nestas situações de simetria, vams intrduzir a lei de Gauss, deduzida pel matemátic e físic alemã Carl Friedrich Gauss (1777 1855). A lei de Gauss relacina s camps elétrics ns pnts de uma superfície fechada cm a carga ttal envlvid pr esta superfície. Antes de enunciar a lei de Gauss vams intrduzir um cnceit auxiliar, flux d camp elétric. Trata-se de um cnceit relacinad a númer de linhas de camp elétric que atravessam determinada superfície. Supnha que uma superfície plana, de área A, seja clcad em uma regiã nde existe um camp elétric unifrme E, cm está representad na figura abaix. A E 2

Send vetr área A um vetr cuj módul é igual a uma área A (neste cas a área da superfície) e cuja direçã é nrmal (perpendicular) a plan da área, pdems definir flux d camp elétric pela seguinte expressã: E E A EAcs Observe que para 0 valr d flux é máxim e para 90 flux é nul. Para entender melhr cnceit de flux, pde-se supr uma espira quadrada de arame cm área interna A, clcad em uma crrenteza unifrme de um ri cuja velcidade da água é v, u numa regiã nde exista um vent cm velcidade unifrme v. O flux d vetr velcidade v A representa a vazã vlumétrica de água u ar nesta espira. Observe que a unidade deste flux n SI. é m 3 / s. Observaçã: Devems bservar que exempl acima, n qual tems água u ar escand pr uma espira, nã tem relaçã cm flux d camp elétric. O camp elétric nã é uma grandeza que pde escar através de uma superfície. O pnt central da lei de Gauss é uma superfície fechada hiptética chamada de superfície gaussiana. A superfície gaussiana pde ser de qualquer frma que se queira, mas a superfície mais útil é uma que reprduza a simetria d prblema em questã. Assim, a superfície gaussiana será frequentemente uma esfera, um cilindr u utra frma simétrica. Ela deve ser sempre uma superfície fechada, de md que pssa ser feita uma distinçã clara entre pnts que estã n interir da superfície, sbre a superfície e fra da superfície. A superfície gaussiana (superfície fechada) nã necessita ser uma superfície física real, cm a de um crp sólid. Na verdade, na mairia das aplicações da lei de Gauss, cnsiderase uma superfície imaginária, que pde estar n espaç vazi, imersa em um crp sólid, u parte n espaç vazi e parte n crp. 3

Cm a lei de Gauss se aplica a uma superfície fechada devems definir flux de camp elétric para estas superfícies gaussianas, este flux pde ser calculad imaginand-se a área da superfície fechada subdividida em quantidades infinitesimais da e smand um númer infinit de cntribuições infinitesimais d flux de camp de cada element de área. Esta sma é feita pr mei de uma integral. Na figura abaix tems a representaçã de uma superfície fechada arbitrária imersa em um camp elétric nã-unifrme. Tems em destaque três quadrads que fazem parte desta superfície. Pdems bservar que n quadrad 1 tems cs 0( camp elétric apnta para dentr da superfície), prtant a cntribuiçã deste quadrad para flux ttal na superfície é negativ. N quadrad 3 tems cs 0 ( camp elétric apnta para fra da superfície), prtant a cntribuiçã deste quadrad para flux ttal na superfície é psitiv, e n quadrad 2 tems cs 0 ( camp elétric tangencia a superfície), send que este quadrad nã cntribui para flux ttal. 1 2 3 N i1 i EA. E. da 4

O círcul n símbl de integral indica que a integraçã deve ser feita sbre tda a superfície (fechada). O flux d camp elétric é uma grandeza escalar. Sua unidade n SI é: N. m 2 /C. Uma superfície pssui dis lads, prtant, em cada pnt, existem dis sentids pssíveis para vetr que representa a área desta superfície. Quand a superfície fr fechada (gaussiana) sempre adtarems sentid deste vetr para fra da superfície. Devems bservar que flux d camp elétric através de uma superfície gaussiana é prprcinal a númer ttal de linhas de camp que atravessam essa superfície. E X E R C Í C I O 1. Uma superfície fechada, na frma de um cilindr ret, encntra-se imers em um camp elétric unifrme. O eix d cilindr é paralel a camp elétric. Usand a frma integral para flux d camp elétric, mstre que flux d camp elétric através desta superfície é nul. (sugestã: a área ttal da superfície cilíndrica pde ser dividida em três partes, as duas tampas e a área lateral d cilindr). N exercíci acima se eix d cilindr nã fsse paralel a camp elétric pderíams ter dificuldade em calcular flux d camp elétric através da superfície. N entant, neste cas pderíams determinar valr d flux de uma maneira bem simples usand a lei de Gauss. Esta lei afirma que se a carga ttal envlvida pr uma superfície fechada fr nula, flux d camp elétric através desta superfície também será nul. Prtant, cm a carga envlvida pela superfície d exercíci anterir é nula, flux d camp elétric será nul, independente da frma que esta superfície se encntra em relaçã a camp. Este exempl ns mstra que dependend da situaçã a lei de Gauss pde simplificar bastante s cálculs. O que pde ser uma ba razã para estud da lei de Gauss. A lei de Gauss relacina flux ttal de um camp elétric através de uma superfície fechada (gaussiana) e as cargas n interir desta superfície. Ela pde ser enunciada da seguinte maneira: O flux d camp elétric através de qualquer superfície fechada (superfície gaussiana) é prprcinal à carga elétrica ttal (líquida) existente n interir desta superfície. Ou seja, para uma superfície gaussiana tems que: q u E. da q nde: 5

é flux d camp elétric sbre a superfície gaussiana q é a carga elétrica líquida envlvida pela superfície gaussiana. Devems bservar que as cargas externas a uma superfície gaussiana cntribuem para camp elétric, mas nã cntribuem para flux d camp elétric nesta superfície gaussiana. Em váris cass especiais, pdems dispensar us das técnicas d Cálcul integral para calcularms flux d camp elétric. Se camp elétric E fr perpendicular à superfície de área A em tds s pnts e tiver mesm valr em tds s pnts da superfície, flux d camp elétric sbre esta superfície pde ser calculad pr EA e a lei de Gauss, para este cas, pde ser escrita da seguinte frma: EA q Observand a lei de Gauss, percebems que se a carga líquida envlvida pela superfície gaussiana fr negativa flux d camp elétric será negativ (as linhas de camp apntam para dentr da superfície), se esta carga líquida fr psitiva flux será psitiv (as linhas de camp apntam para fra da superfície). Quand a carga líquida envlvida pela superfície gaussiana fr nula flux d camp elétric através desta superfície também será nul. A discussã acima, relacinand flux d camp elétric cm a carga envlvida pela superfície gaussiana, pde ser ilustrada cm um exempl, n qual tems a representaçã de duas cargas puntifrmes de mesm módul e sinais psts e das linhas de camp desta cnfiguraçã de cargas. Na figura tems também a representaçã de quatr superfícies gaussianas vista de perfil. A superfície S 1 envlve smente a carga psitiva, S 2 envlve smente a carga negativa, S 3 nã envlve nenhuma carga e S 4 envlve as duas cargas, prtant, a carga ttal envlvida pr ela é nula. q E env E. da q env Lei _ Gauss 1 0 2 0 S1 S2 q1 0 q2 0 3 0 4 0 S3 S4 q3 0 q4 0 6

E X E R C Í C I O 2. A lcalizaçã da carga, n interir de uma superfície gaussiana, influencia n valr d flux d camp elétric através dessa superfície? 3. Uma carga puntifrme é clcada n centr de uma superfície gaussiana esférica. Respnda se flux d camp elétric através da superfície mudará ns seguintes cass: (a) se mudarms a frma da superfície gaussiana (para um cub, pr exempl) sem alterar a carga n interir da superfície; (b) se a carga fr afastada d centr da superfície gaussiana, permanecend, entretant, em seu interir; (c) a carga fr deslcada para imediatamente fra da superfície gaussiana; (d) uma segunda carga fr clcada próxim, e fra da superfície gaussiana; (e) uma segunda carga fr clcada dentr da superfície gaussiana. 4. Uma superfície gaussiana envlve smente um dipl elétric. O que se pde cncluir sbre valr d flux elétric ttal através desta superfície? 5. Respnda s itens abaix justificand suas respstas. a ) Supnha que a carga líquida cntida n interir de uma superfície gaussiana seja nula. Pdems cncluir da lei de Gauss que camp elétric é igual a zer em tds s pnts sbre esta superfície gaussiana? b ) Se camp elétric fr nul em tds as pnts sbre uma superfície gaussiana, a lei de Gauss exige que a carga líquida dentr desta superfície gaussiana seja nula? 6. Uma carga puntifrme de 1,8 μc está n centr de uma superfície gaussiana cúbica cm 55 cm de aresta. Determine flux d camp elétric através desta superfície. R: 2,03x10 5 Nm 2 /C 7. Uma esfera cndutra unifrmemente carregada, de 1,2 m de diâmetr, pssui uma densidade superficial de carga de 8,1 μc /m 2. (a) Determine valr da carga sbre a esfera. (b) qual é flux elétric ttal que está send gerad pela esfera? R: (a) 3,66x10-5 C (b) 4,14x10 6 Nm 2 /C 8. Na figura abaix uma carga puntifrme psitiva q está a uma distância d/2 diretamente acima d centr de um quadrad de lad d. Aplicand a lei de Gauss determine flux elétric através d quadrad. (Sugestã: Pense n quadrad cm uma das faces de um cub de aresta d) R: q/(6є ) q d/2 d d 7

9. A lei de Gauss e a de Culmb pdem ser equivalentes n cálcul d camp elétric. Pdems cnfirmar esta equivalência deduzind a lei de Culmb, para calcular camp elétric de uma carga pntual, a partir da lei de Gauss. Ou seja, aplicand a lei de Gauss, mstre que camp elétric gerad pr uma carga puntifrme a uma distância r, é dad pr E = Q / (4 r 2 ) (lei de Culmb). 10. A lei de Gauss ns permite demnstrar, cm certa facilidade, uma imprtante prpriedade em relaçã à distribuiçã de cargas em um cndutr islada. Mstre que, se um cndutr eletrizad estiver islad, as cargas elétricas em excess estarã distribuídas em sua superfície externa. 11. Num cndutr esféric islad, as cargas em excess se distribuem unifrmemente em sua superfície externa. Se cndutr nã fr esféric esta distribuiçã nã é unifrme, que gera dificuldades n cálcul d camp elétric criad pr estes cndutres. N entant, camp elétric imediatamente fra da superfície de um cndutr islad pde ser determinad, cm certa facilidade, usand-se a lei de Gauss. Mstre que módul d camp elétric num lcal imediatamente fra de um cndutr islad (pnt muit próxim da superfície) é prprcinal à densidade superficial de carga σ, u seja, que valr deste camp é dad pr: E = σ /ε 0. 12. Um cndutr islad de frma arbitrária tem uma carga líquida nula. Dentr d cndutr existe uma cavidade, n interir da qual está uma carga puntifrme q = + 3. 10 6 C. Determine a carga: a) Sbre a parede da cavidade. b) Sbre a superfície externa d cndutr. 13. Aplicand a lei de Gauss, mstre que camp elétric n pnt P, a uma distância r de uma barra fina de plástic, infinitamente lnga e carregada unifrmemente cm uma densidade linear de carga, é dad pr: E = /(2 r). r P barra 14. O camp elétric de uma barra fina e infinita é equivalente a camp de uma linha infinita de carga. Uma linha infinita de carga prduz um camp de 4,5 10 4 N/C a uma distância de 2 m da linha. Determine valr da densidade linear de carga, cnsiderada cnstante. 15. Duas cascas cilíndricas cncêntricas e lngas pssuem rais a e b cm a < b. Os cilindrs pssuem densidades lineares de carga de valres iguais e sinais psts, send λ a = - λ e λ b = + λ. Usand a lei de Gauss, prve que (a) E = 0 para r < a (pnts n interir da casca interna e (b) entre as cascas cilíndricas, ist é, para a < r < b, camp elétric é dad pr E = /(2 r). r é a distância radial a eix central ds cilindrs. 8

16. Duas cascas cilíndricas de paredes finas, carregadas, lngas e cncêntricas, têm rais de 3 cm e 6 cm. A carga pr unidade de cmpriment sbre cilindr intern é 5 10 6 C/m, e sbre cilindr extern é de - 7 10 6 C/m. Determine valr d camp elétric e indique sentid (para dentr u para fra) em (a) r = 4 cm e (b) r = 8cm, nde r é a distância radial a eix central ds cilindrs. R: (a) 2,3 10 6 N/C, para fra; (b) 4,5 10 5 N/C, para dentr 17. Uma carga está unifrmemente distribuída através d vlume de um cilindr infinitamente lng de rai R. (a) Mstre que camp elétric a uma distância r d eix d cilindr (r < R) é dad pr E = ρ r/(2 ε ), nde ρ é a densidade vlumétrica de carga. (b) Escreva uma expressã para E a uma distância r > R e esbce qualitativamente gráfic E r. Observe que cilindr nã é cndutr. 18. (lei de Gauss: simetria plana) Aplicand a lei de Gauss, mstre que módul d camp elétric gerad pr uma chapa fina, islante e infinita, carregada unifrmemente cm uma densidade superficial de carga σ é dad pr: E = σ /(2ε 0 ). 19. Na figura abaix duas placas finas, de grande extensã, sã mantidas paralelas a uma pequena distancia uma da utra. Nas faces internas as placas pssuem densidades superficiais de cargas 23 2 de sinais psts e valres absluts iguais σ = 7,00 10 C/ m. Em terms ds vetres unitáris, determine camp elétric (a) à esquerda das placas; (b) à direita das placas; (c) entre as placas. 20. Na figura abaix uma pequena esfera nã cndutra de massa m = 10 g e carga q =2x10-8 C (distribuída unifrmemente em td vlume) está pendurada em um fi nã cndutr que faz um ângul de 30 cm uma placa vertical, nã cndutra, unifrmemente carregada (vista de perfil). Cnsiderand a frça gravitacinal q que a esfera está submetida e supnd que a placa pssui uma grande extensã, calcule a densidade superficial de cargas σ da placa. 9

21. (lei de Gauss: simetria esférica) Cnsidere uma casca esférica fina de rai R e unifrmemente carregada cm uma carga ttal Q. Send r a distância d centr da esfera até cert pnt, aplicand a lei de Gauss, mstre que: a) Para r > R (pnts externs a casca esférica) camp elétric gerad pela casca esférica é equivalente a de uma carga pntual situada n centr da casca esférica. Ou seja, valr d camp é dad pr E = Q / (4 r 2 ). b) Para r < R (pnts n interir da casca esférica) camp elétric gerad pela casca esférica é nul. Prtant, a casca esférica nã exerce frça eletrstática sbre uma partícula carregada que se lcalize n seu interir. 22. Uma carga pntual prduz um flux elétric de 750 N.m 2 /C através de uma superfície gaussiana esférica de 10 cm de rai cm centr na carga. (a) Se rai da superfície gaussiana é multiplicad pr dis, qual é nv valr d flux? (b) Qual é valr da carga pntual? R: a) 750 N.m 2 /C; b) 6,64 nc 23. Uma esfera cndutra cm 10 cm de rai pssui uma carga descnhecida. Se camp elétric a 15 cm d centr da esfera tem um módul de 3 10 3 N/C e apnta para centr da esfera, qual é a carga desta esfera? R: - 7,5 nc 24. Uma esfera metálica de parede fina tem um rai de 25 cm e uma carga de 2 10-7 C. Determine valr d camp elétric E para um pnt (a) dentr da esfera, (b) imediatamente fra da esfera e (c) a 3 m d centr da esfera. R: (a) 0; (b) 2,88x10 4 N/C; (c) 2x10 2 N/C 25. Uma casca esférica cndutra de rai a e espessura insignificante pssui uma carga q a. Uma segunda casca, cncêntrica cm a primeira, pssui um rai b > a e uma carga q b. Mstre, utilizand a lei de Gauss, que camp elétric em pnts situads a uma distância r d centr das cascas para: (a) r < a é igual zer; (b) a < r < b é qa / (4 r 2 ); e (c) r > b é igual a (qa + q b ) / (4 r 2 ) 26. Duas cascas esféricas cncêntricas carregadas têm rais de 10 cm e 15 cm. A carga da casca menr é 4 10 8 C, e da casca mair é 2 10 8 C. Determine módul d camp elétric em (a) r = 12 cm e (b) r = 20 cm. R: a) 2,5 10 4 N/C; b) 1,35 10 4 N/C ENERGIA POTENCIAL ELÉTRICA E POTENCIAL ELÉTRICO Quand um crp de massa m é clcad a uma altura h, próxim da superfície da Terra, pdems atribuir a este crp uma energia ptencial gravitacinal dada pr mgh. Assim cm a frça gravitacinal, a frça elétrica também é uma frça cnservativa, prtant, quand uma partícula carregada se mve num camp elétric, camp realiza trabalh sbre ela. Este trabalh nã depende da trajetória e pde ser express em terms de uma energia ptencial. 10

Se a funçã energia ptencial de um crp tiver valr U A, quand crp estiver num pnt A, e valr U B, quand ele está num pnt B, entã, trabalh crp durante deslcament de A para B, é dad pr W U U U U AB A B B A W AB, realizad sbre A energia ptencial de uma partícula carregada, clcada em um camp elétric, depende da intensidade de carga da partícula. Entretant, a energia ptencial pr unidade de carga pssui um valr únic em qualquer pnt deste camp. Prtant, em lugar de utilizar diretamente a energia ptencial U de uma partícula carregada, é cnveniente intrduzir cnceit de ptencial elétric, definid em um pnt qualquer de um camp eletrstátic cm a energia ptencial pr unidade de carga neste pnt. O ptencial elétric é uma grandeza escalar representad pela letra V: U V U qv q Quand um camp elétric realiza um trabalh W AB sbre uma carga de prva q, que se deslca de um pnt A para um pnt B, a diferença de ptencial (u vltagem) V BA é dada pr: U U W V V V W qv V q q B A AB AB B A AB A B Onde: V A é ptencial elétric n pnt A. V B é ptencial elétric n pnt B. Devems bservar que ptencial elétric V e a energia ptencial elétrica U sã grandezas cmpletamente diferentes e nã devem ser cnfundidas. O ptencial elétric é uma 11

prpriedade de um camp elétric, que independe da presença de um crp carregad nesse camp e a energia ptencial elétrica é uma energia de um crp carregad, na presença de um camp elétric. Também, pdems bservar que as unidades destas duas grandezas sã diferentes. Unidade de ptencial elétric n SI: 1 jule / culmb = 1 vlt = 1 V O ptencial elétric pde ns parecer uma grandeza abstrata, prém quand pensams na sua unidade (vlt) percebems que esta grandeza está cnstantemente relacinada a nss ctidian. É cmum citarms que s aparelhs de nssa residência estã ligads a uma diferença de ptencial (vltagem) de 220 V. Cmparand as unidades tems que 1,5 V = 1,5 J/C, prtant dizer que entre s pls de uma pilha de lanterna existe uma vltagem de 1,5 V é equivalente a dizer que cada culmb de carga pssui uma energia de 1,5 J. DESTACANDO ALGUMAS PROPRIEDADES: A frça elétrica é uma frça cnservativa. O trabalh da frça elétrica nã depende da trajetória, depende, smente, das psições final e inicial da carga. Uma carga psitiva abandnada em um camp elétric tende a se deslcar de pnts nde ptencial é mair para pnts nde ele é menr. Uma carga negativa tenderá a se mver em sentid cntrári, ist é, de pnts nde ptencial é menr para pnts nde ele é mair. Percrrend-se uma linha de frça n seu sentid, ptencial elétric, a lng de seus pnts, diminui. VOLTAGEM EM UM CAMPO ELÉTRICO UNIFORME E A B d 12

Cnsidere uma carga de prva psitiva q send deslcada de um pnt A até um pnt B, numa regiã nde existe um camp elétric unifrme E. A diferença de ptencial entre s pnts A e B é dada pr V W q W AB A VB, mas, AB Fd, nde, F qe qed VA VB VAVB Ed q Onde: V AB é a ddp entre s pnts A e B. E é camp elétric unifrme. Deve-se bservar, entretant, que a distância d entre s dis pnts deve ser tmada na direçã paralela a vetr E. OUTRA UNIDADE DE CAMPO ELÉTRICO: vlt /metr ( V / m ) tems que : 1 V /m = 1 N / C Observações: Ptencial elétric em um pnt nã tem um valr únic. Este valr depende d nível esclhid para referência. A ddp entre dis pnts nã depende d nível de referência. N nível de referência, geralmente ptencial é cnsiderad nul. CÁLCULO DO POTENCIAL A APARTIR DO CAMPO ELÉTRICO Se vetr camp elétric fr cnhecid em tds s pnts de uma trajetória que liga dis pnts, é pssível usar camp elétric para calcular a diferença de ptencial entre estes dis pnts. Devems realizar trabalh para a carga ir de i até f. Cm iss tems: 13

dw F. ds q E. ds dw q E. ds W q E. ds W V f V i E. ds q fazend : V 0 V i E. ds VOLTAGEM NO CAMPO DE UMA CARGA PONTUAL Usand uma integral de linha, pdems mstrar que ptencial elétric V n espaç a redr de uma partícula carregada cm uma carga Q, em relaçã a ptencial nul n infinit, é dad pr V A 1 Q Q V 4 A K0 d d 0 Q d A Onde: V A é ptencial elétric n pnt A. d é a distância da carga Q até pnt A. Observações: A usarms a expressã acima para calcular ptencial, sinal da carga Q deve ser levad em cnsideraçã. Assim, uma partícula carregada psitivamente prduz um ptencial elétric psitiv, e uma partícula carregada negativamente prduz um ptencial elétric negativ. Esta expressã para valr d ptencial fi btida cnsiderand-se cm referência um pnt muit afastad da carga Q u, cm cstumams dizer, esta expressã frnece valr d ptencial em relaçã a um nível n infinit. Demnstraçã da expressã usada para calcular ptencial elétric criad pr uma carga pntual. 14

E. ds E csds V E. ds E csds V f 0 r 1 V E cs ds R fazend : s r 1 q V Edr dr 2 4 r R R 21 2 4 r 4 2 1 R trcand : R r 1 q V 4 r Lembrand que uma partícula de carga psitiva prduz um ptencial elétric psitiv, já uma partícula de carga negativa, prduz um ptencial elétric negativ. POTENCIAL DEVIDO A UM GRUPO DE CARGAS PONTUAIS Para calcularms ptencial elétric estabelecid pr várias cargas pntuais em um dad pnt, devems calcular ptencial estabelecid pr cada carga neste pnt e em seguida devems smar algebricamente estes ptenciais. q 1 q r V dr q 1 V 4 R R V n V 1 i i1 4 i1 n qi r i 15

SUPERFÍCIES EQUIPOTENCIAIS Pnts adjacentes que pssuem mesm ptencial elétric frmam uma superfície equiptencial, que tant pde ser uma superfície imaginária quant uma superfície física real. Cm tds s pnts de uma superfície equiptencial tem mesm valr para ptencial, nenhum trabalh resultante W é realizad pr um camp elétric sbre uma partícula carregada quand a partícula se mve entre dis pnts de uma mesma superfície equiptencial. Pr simetria, as superfícies equiptenciais prduzidas pr uma carga pntual u pr uma distribuiçã de carga cm uma simetria esférica sã uma família de esferas cncêntricas e para um camp elétric unifrme, as superfícies equiptenciais sã uma família de plans paralels e perpendiculares às linhas de camp. Na verdade, as superfícies equiptenciais sã sempre perpendiculares às linhas de camp elétric. Se camp elétric nã fsse perpendicular a uma superfície equiptencial, ele teria uma cmpnente a lng dessa superfície. Esta cmpnente entã realizaria trabalh sbre uma partícula carregada quand ela se mvesse a lng da superfície, cm este trabalh deve ser nul, camp elétric realmente deve ser perpendicular à superfície em tds s pnts da superfície equiptencial. Esta prpriedade é útil para desenhar as linhas de camp quand tems as superfícies equiptenciais u para desenhar as equiptenciais quand tems as linhas de camp elétric. Nas figuras estã representadas as linhas de camp e as equiptenciais para dis cass, camp unifrme e carga pntual. 16

E X E R C Í C I O 27. Pdem duas superfícies equiptenciais diferentes interceptar-se? 28. Um eletricista fi eletrcutad pr acidente e numa reprtagem jrnalística afirmu-se que: Ele tcu acidentalmente um cab de alta tensã e 20000 V de eletricidade atravessaram seu crp. É adequad citar que 20000 V de eletricidade atravessaram crp d eletricista? 29. Cnsidere uma pessa em pé sbre uma platafrma islada. Se ptencial da pessa fr aumentad de 10 kv ela será eletrcutada? 30. Os elétrns tendem a se deslcar espntaneamente para regiões de mair u menr ptencial elétric? 31. Os cnselhs dads a alpinistas apanhads em tempestades acmpanhadas de trvões e rais sã: a) abandnar rapidamente s pics e b) juntar s pés e agachar-se num descampad, smente s pés tcand sl. Em que se baseia tal rientaçã? 32. Na figura abaix, quand um elétrn se deslca de A até B a lng de uma linha de camp elétric, esse camp realiza um trabalh de 3,94x10-19 J. Quais sã as diferenças de ptencial elétric (a) V A V B ; (b) V C V A ; (c) V C V B. 33. Duas grandes placas cndutras, paralelas entre si e afastadas pr uma distância de 12 cm, têm cargas de mesm valr abslut e de sinais psts nas faces que se defrntam. Um elétrn clcad em um pnt entre as duas placas sfre uma frça eletrstática de 3,9 10 15 N. Desprezand efeit de brda, u seja, cnsiderand camp unifrme em tds s pnts entre as placas, determine (a) valr d camp elétric n pnt nde se encntra elétrn, e (b) valr da diferença de ptencial entre as placas. 34. Seja V ptencial elétric, gerad pr uma carga pntual, Q, e, r, a distância da carga até um pnt. Represente qualitativamente gráfic V x r para s seguintes cass: a) Q > 0; b) Q< 0 35. Cnsidere uma carga puntifrme q = + 1,0C e dis pnts B e A que distam, respectivamente, 1,0 m e 2,0 m da carga. (a) Tmand tais pnts diametralmente psts, cm mstra a figura abaix. Qual é a diferença de ptencial V a V b? (b) Repita item (a) cnsiderand s pnts A e B lcalizads cm mstra a Fig. 10b. R: a) V AB = - 4,5. 10 3 V b)v AB = - 4,5. 10 3 V 17

36. Na figura abaix, qual ptencial resultante n pnt P devid às quatr cargas pntuais, se V = 0 n infinit? R: 2,5 q/ 4 0d 37. A figura a seguir mstra um arranj retangular de partículas carregadas mantidas fixas n lugar, cm a = 39,0 cm e as cargas indicadas cm múltipls inteirs de q 1 = 3,40 pc e q 2 = 6,00 pc. Cm V = 0 n infinit, qual é ptencial elétric n centr d retângul? (sugestã: Examinand prblema cm atençã é pssível reduzir cnsideravelmente s cálculs). 38. N retângul da figura abaix, s lads pssuem cmpriments de 5,0 cm e 15 cm, q 1 = -5,0μC e q 2 = +2,0μC. Cm V = 0 n infinit, quais s ptenciais elétrics (a) n vértice A e (b) n vértice B? (c) Qual trabalh realizad pela frça elétrica para mver uma terceira carga q 3 = +3,0μC de B para A a lng de uma diagnal d retângul? Este trabalh é mair, menr u mesm exigid se q 3 fr mvida a lng de trajetórias que estejam (d) dentr d retângul, mas nã sbre uma diagnal, e (e) fra d retângul? R: a) +6,0 x 10 4 V; b) 7,8 x 10 5 V; c) - 2,5 J; d) mesm; e) mesm. q 1 A B q 2 18

POTENCIAL DE UM CONDUTOR ISOLADO Uma carga em excess clcada sbre um cndutr islad se distribuirá sbre a superfície desse cndutr de md que tds s pnts d cndutr estejam eles na superfície u n seu interir atinjam mesm ptencial. Ist é verdade mesm que cndutr pssua uma cavidade interna e mesm que esta cavidade cntenha uma carga resultante. Assim, pdems afirmar que tds s pnts de um cndutr em equilíbri eletrstátic têm mesm ptencial elétric. N cas específic de um cndutr esféric de rai R e carregad cm uma carga Q, ptencial elétric em pnts n interir d cndutr u em sua superfície tem mesm valr k 0 Q/R. Externamente a cndutr, ptencial é idêntic a de uma carga puntifrme psicinada n centr d cndutr. Ou seja, ptencial elétric a uma distância r d centr de um cndutr esféric de rai R é dad pr: ( ptencial fi cnsiderad nul n infinit) V V KQ R KQ r, para r R, para r > R E X E R C Í C I O 39. Seja V ptencial elétric e E módul d camp elétric, estabelecid pr uma esfera cndutra islada, num pnt a uma distância d d centr da esfera. Represente qualitativamente gráfic (para pnts n interir e fra da esfera): (a) V d, supnd que a carga da esfera é psitiva. (b) E d 40. Quais sã (a) a carga e (b) a densidade de carga sbre a superfície de uma esfera cndutra de rai 0,15 m, cuj ptencial é de 200 V (cm V = 0 n infinit)? R: a) 3,33. 10 9 C; b) 1,18. 10 8 C/m 2 41. Dis cndutres esférics, A e B, de rais R A = R e R B = 2R estã islads e distantes um d utr. As cargas das duas esferas sã de mesm sinal e a densidade superficial de carga de A é duas vezes mair d que a de B. Ligand-se as duas esferas pr mei de um fi cndutr, verifique se haverá passagem de carga de uma para utra. Explique. R: V A = V B, nã haverá passagem de carga de um para utr. 42. Cnsidere duas esferas cndutras, 1 e 2 separadas pr uma grande distância, a segunda tend dbr d diâmetr da primeira. A esfera menr pssui inicialmente uma carga psitiva q e a mair está inicialmente descarregada. Agra vcê liga as esferas cm um fi fin e lng. (a) Cm estã relacinads s ptenciais finais V 1 e V 2 das esferas? (b) Quais as cargas finais q 1 e 19

q 2 sbre as esferas, em terms de q? (c) Qual a relaçã entre a densidade superficial de carga final da esfera 1 e 2? R: a) V 1 = V 2 ; b) q 2q q 1 = ; q 2 = 3 3 c) 1 =2 2 43. Uma gta esférica de água transprtand uma carga de 30 pc tem um ptencial de 500 V em sua superfície (cm V = 0 n infinit). (a) Qual é rai da gta? (b) se duas gtas iguais a esta, cm a mesma carga e mesm rai, juntarem para cnstituir uma única gta esférica, qual será ptencial na superfície da nva gta? R: a) 5,4. 10 4 m; b) 793, 7 V. 44. Cnsidere duas esferas cndutras de rais R 1 = 14 cm e R 2 = 16 cm, separadas pr uma distância muit grande. Inicialmente a esfera menr tem uma carga q 1 = 7 μc e a esfera mair uma carga q 2 = 2 μc. As esferas sã ligadas pr um fi lng e fin. Determine valr da carga final de cada uma das esferas após ser atingid equilíbri eletrstátic. R: q 1 = 4,2 μc e q 2 = 4,8 μc. ENERGIA POTENCIAL ELÉTRICA DE UM SISTEMA DE CARGAS PONTUAIS A energia ptencial elétrica de um sistema de cargas pntuais fixas é igual a trabalh que deve ser executad pr um agente extern para reunir sistema, trazend cada uma das cargas de uma distância infinita. Para cas de duas cargas pntuais tems que: Para trazer a carga 1 d infinit até a sua psiçã nã precisams realizar trabalh, pis a distancia entre as cargas é infinita. N entant para trazer a carga 2 d infinit até a sua psiçã, um trabalh deve ser realizad, devid a frça de repulsã da carga 1. Prtant: 1 q1 q2q1 W q2v q2 4 r 4 r qq 2 1 W U 4 r q1 q2 W 0 q1 q2 W 0 E X E R C Í C I O 45. (a) Qual a energia ptencial elétrica de um sistema frmad pr dis elétrns separads pr uma distância de 2 nm? (b) Se a distância entre s elétrns diminuir, a energia ptencial elétrica d sistema aumente u diminui? 20

46. Duas cargas q = +2,0μC sã mantidas fixas a uma distância d = 20 cm uma da utra cnfrme figura abaix. (a) Cm V = 0 n infinit, qual é ptencial elétric n pnt C? (b) Qual é trabalh necessári para deslcar uma terceira carga q = +2,0μC d infinit até pnt C? (c) Qual é a energia ptencial U da nva cnfiguraçã? POTENCIAL PRODUZIDO POR UMA DISTRIBUIÇÃO CONTÍNUA DE CARGAS Quand uma distribuiçã de cargas é cntínua, em vez de usarms smatóri indicad n cálcul d ptencial de várias cargas pntuais, passams a usar cálcul integral. Nestes cass devems esclher um element de carga dq, calcular ptencial dv prduzid pr dq n pnt cnsiderad e integrar para tda a distribuiçã de cargas. dv 1 dq ( 0 0) 4 dq u dq r Entã: V 1 dq dv 4 r Cm exempl cm distribuiçã cntínua de carga, vams determinar ptencial elétric a uma distância z sbre eix central de um disc de plástic de rai R, fin e unifrmemente carregad cm uma densidade superficial de carga σ. Disc carregad. ' ' dq 2R dr 2 2 V z R z ' ' 1 dq 1 2R dr dv 4 4 2 2 r z R 2 21

Cálcul d camp elétric a partir d ptencial Vims que é pssível determinar ptencial elétric em um pnt a partir d camp elétric. Pdems fazer prcediment invers, u seja, determinar camp elétric a partir d ptencial. Em determinads cass este métd de calcular camp elétric se trna mais fácil, pis, ptencial elétric é calculad pr uma funçã escalar e camp elétric pr uma funçã vetrial. Para determinarms camp elétric a partir d ptencial usams fat de que: A cmpnente d vetr camp elétric em qualquer direçã d espaç é negativ da taxa de variaçã d ptencial elétric cm a distância nessa direçã. Em uma ntaçã mais rigrsa usaríams um peradr denminad de gradiente, nã send este bjetiv, vams apenas indicar a relaçã das cmpnentes d camp elétric ns eixs x, y e z cm as derivadas parciais d ptencial elétric para s eixs cnsiderads. Observaçã: E E E x y z V x V V E y s V z Em nss curs tratams apenas superficialmente ptencial de distribuiçã cntínua de carga e cálcul d camp elétric a partir d ptencial. Cas alun tenha interesse em aprfundar nestes assunts, deve cnsultar livr text. E X E R C Í C I O 47. Na figura abaix, uma barra de plástic cm um carga unifrmemente distribuída Q = -25,6 pc tem a frma de um arc de circunferência de rai R = 3,714 m e ângul central Φ = 120. Cm V = 0 n infinit, qual é ptencial elétric n pnt P, centr de curvatura da barra? 22

48. Um disc de plástic de rai R = 64,0 cm é carregad na face superir cm uma densidade superficial de cargas unifrme σ = 7,73 fc/m 2 e, em seguida, três quadrantes d disc sã remvids. A figura abaix mstra quadrante remanescente. Cm V = 0 n infinit, qual é ptencial prduzid pel quadrante remanescente n pnt P, que está sbre eix central d disc riginal a uma distância D = 25,9 cm d centr d disc riginal? CAPACITORES Um capacitr (u cndensadr) é cnstituíd pr dis cndutres separads pr um islante, nde s cndutres sã chamads de armaduras (u placas d capacitr) e islante é dielétric d capacitr. Quand um capacitr está carregad, cada uma das duas placas cntêm cargas de mesm módul e sinais pst (+q e q). Entretant, quand ns referims à carga q de um capacitr, estams faland d módul da carga de uma das placas e nã da carga ttal d capacitr (a carga ttal em um capacitr é sempre zer). Energia pde ser armazenada cm energia ptencial em um camp elétric, e um capacitr é um dispsitiv que pde ser usad para iss. Na peraçã d flasch de uma câmara ftgráfica, pr exempl, capacitr acumula carga de md relativamente lent, acumuland um camp elétric. Ele mantém este camp e a energia assciada até que a energia seja rapidamente liberada n flasch. Os capacitres têm muitas aplicações na eletrônica, além de servirem cm armazenadres de energia ptencial eles cnstituem elements vitais ns circuits cm s quais sintnizams s transmissres e receptres de rádi e televisã. 23

Cstuma-se dar nme as capacitres de acrd cm a frma de suas placas, cm exempl, tems capacitr plan, capacitr cilíndric, capacitr esféric. Símbl d capacitr Capacitância de capacitr A capacitância, C, de um capacitr pde ser definida cm a razã entre a carga Q de qualquer ds cndutres e módul da diferença de ptencial, V, entre s cndutres. Para um determinad capacitr esta razã permanece cnstante. nde : Q C Q VC V C = é a capacitância d capacitr Q = é a carga de uma das armaduras d capacitr V = é a diferença de ptencial entre as placas d capacitr A capacitância de um capacitr pde ser interpretada cm a medida da capacidade de armazenar carga neste capacitr. A capacitância um capacitr depende smente das características deste capacitr, u seja, ela depende da frma e d tamanh das placas d capacitr, da distância entre as placas e d dielétric, cas exista, entre suas placas. Devems bservar que a capacitância nã depende da carga u da diferença de ptencial n capacitr. Lembrand que, quand se fala de um capacitr cm carga Q que se quer dizer é que cndutr de ptencial mair tem carga + Q, e de menr ptencial tem carga - Q. Um métd cmum de carregar um capacitr cnsiste em cnectar s terminais d capacitr as pls de uma bateria. A carga n capacitr aumenta até que a diferença de ptencial ns terminais d capacitr atinja um valr igual à vltagem da bateria. Carregand u descarregand um capacitr: 24

O capacitr nã carrega linearmente e nem descarrega linearmente. Unidade de capacitância n S.I. A unidade de capacitância (S.I) é Culmb pr Vlt. Esta unidade é chamada de farad (F), em hmenagem a Físic britânic Michael Faraday culmb / vlt = farad ( F ) Observaçã: O farad é uma unidade muit grande, pr iss usams cnstantemente seus submúltipls: 6 F micrfarad 10 F 9 nf nanfarad 10 F 12 pf picfarad 10 F 25

Capacitr de Placas Paralelas O tip mais cmum de capacitr cnsiste em duas placas cndutras e paralelas, separadas pr uma distância pequena em relaçã às dimensões da placa. Se as placas estiverem suficientemente próximas pdems desprezar a defrmaçã d camp elétric próxim às brdas das placas, e camp elétric entre as placas pde ser cnsiderad unifrme. A capacitância de um capacitr de placas paralelas depende diretamente da área das placas e inversamente da distância de separaçã entre elas, send dada pr: A C d d nde : A = é a área da superfície das placas d = é a distância entre as placas N vácu, tems que: 8,85 10 C / Nm 12 2 2 Vams demnstrar a expressã da capacitância de um capacitr de placas paralelas. 26

Pela Lei de Gauss, tems camp elétric entre as placas cm: E E. da q EA q f A diferença de ptencial entre as placas é dada pr: Vf Vi E. ds q A Vams tmar caminh da placa negativa para a placa psitiva e adtar V i = 0, entã: i Vf Eds Cm V Ed e E q, tems: A q q C V Ed A C d q q d A Capacitr cilíndric Cálcul da capacitância de um capacitr cilíndric. Onde L é cmpriment d capacitr, a é rai menr (intern) e b rai mair (extern). Tems: V V E. ds b b a a b a V Eds V Edr b a

Cm q EA, nde A é a área da superfície lateral d capacitr e vale A 2 rl. q Entã: q E2rL E 2rL, cm iss ptencial entre as placas, fica: Integrand, tems: Capacitr esféric q 1 q b V dr ln 2 L r 2 L a cm : q C V 2L C b ln a b a q q b ln 2L a V b q dr 2rL a Um tip de capacitr que é bastante estudad é capacitr esféric, muit usad em labratóris que trabalham cm diferença de ptencial muit alta, que chegam a centenas de milhares de vlts. Os labratóris que trabalham cm esse tip de equipament, u seja, utilizam máquinas eletrstáticas (cm pr exempl, geradr de Van de Graaf), empregam esse tip de capacitr cm a intençã de bter tensões altíssimas. Sua capacitância é: 4 ab C, nde a e b sã s rais interns e externs d capacitr esféric. b a

Capacitância de um cndutr esféric islad. b 4 1 C 4 4 a b a 1 1 ab a b 0 a rai esfera( R), tems : C 4 R 1 cm :4 k 1 C Resfera islada K E X E R C Í C I O 49. Um capacitr de placas paralelas pssui placas circulares de rai 8,2 cm e separaçã 1,3 mm. (a) Calcule sua capacitância. (b) Que carga aparecerá sbre as placas se a diferença de ptencial aplicada fr de 120 V? R: a) 1,44. 10-10 F ; b) 1,72. 10-8 C 50. Sejam duas placas metálicas planas, cada uma de área 1,00 m2, cm as quais desejams cnstruir um capacitr de placas paralelas. Para bterms uma capacitância de 1,00 F, qual deverá ser a separaçã entre as placas? Será pssível cnstruirms tal capacitr? R: 8,85. 10-12 m 51. Duas placas paralelas de flha de alumíni têm uma separaçã de 1,0 mm, uma capacitância de 10 pf e estã carregadas a 12 V. (a) Calcule a área da placa. Mantend-se a carga cnstante, diminuíms a separaçã entre as placas de 0,10 mm. (b) Qual é a nva capacitância? (c) De quant varia a diferença de ptencial? R: a) 1,13. 10-3 m 2 ; b) 1,11. 10-11 F ; c) 1,19 V 52. As placas de um capacitr esféric têm rais de 30 nm e 40 nm. (a) Calcular a capacitância deste capacitr. (b) Qual deve ser a área de um capacitr de placas paralelas que tem a mesma separaçã entre as placas e mesma capacitância d capacitr d item (a). 53. Uma gta esférica de mercúri de rai R tem uma capacitância dada pr C. Se duas destas gtas se cmbinarem para frmar uma única gta mair, qual será a sua capacitância? R: 3 2 C Assciaçã de capacitres em série Numa assciaçã de capacitres em série, a placa negativa de um capacitr está ligada à placa psitiva d seguinte. Send que, se uma diferença de ptencial V fr aplicada em uma assciaçã de capacitres em série, a carga q armazenada é a mesma em cada capacitr da

assciaçã e a sma das diferenças de ptencial aplicada a cada capacitr é igual à diferença de ptencial V aplicada na assciaçã. Capacitres ligads em série pdem ser substituíds pr um capacitr equivalente cm a mesma carga q e a mesma diferença de ptencial V aplicada à assciaçã. Para três capacitres em série tems que: V V V V T T 1 2 3 qt q1 q2 q C C C C 3 1 2 3 série : q q q q 1 2 3 1 1 1 1 C C C C T 1 2 3 T Tems que: Tds s capacitres estã carregads cm a mesma carga. A diferença de ptencial V AB é igual à sma das vltagens de cada capacitr.

Este resultad pde ser generalizad para n capacitres C Assciaçã de capacitres em paralel N 1 1 T i1 C Numa assciaçã de capacitres em paralel, tdas as armaduras psitivas estã ligadas a um mesm pnt, assim cm tdas as negativas estã ligadas a utr pnt cmum. Quand uma diferença de ptencial V é aplicada em uma assciaçã de capacitres em paralel, a diferença de ptencial V é a mesma entre as placas de cada capacitr, e a carga ttal q armazenada na assciaçã é a sma das cargas armazenadas em cada capacitr. Capacitres ligads em paralel pdem ser substituíds pr um capacitr equivalente cm a mesma carga ttal q e a mesma diferença de ptencial V aplicada à assciaçã. Para três capacitres em paralel tems que: i q q q q T T T 1 2 3 C V C V C V C V 1 1 2 2 3 3 paralel : V V V V T 1 2 3 C C C C 1 2 3 T Tems que: A vltagem é a mesma em tds s capacitres. A carga armazenada n capacitr equivalente é igual à sma das cargas de cada capacitr.

Este resultad pde ser generalizad para n capacitres C T N i1 Ci Energia ptencial elétrica armazenada pr um capacitr Um agente extern deve realizar trabalh para carregar um capacitr. O trabalh necessári para carregar capacitr é armazenad na frma de energia ptencial, U, n capacitr, send que, esta energia pde ser recuperada, descarregand-se capacitr em um circuit. A energia ptencial de um capacitr carregad pde ser cnsiderada armazenada n camp elétric entre suas placas. Vams determinar a expressã para calcular esta energia Tmems um capacitr cm uma carga inicial q ' ' ' q V C E querems clcar mais carga nesse capacitr. Para iss precisams realizar trabalh, u seja, ligar uma bateria, pr exempl, para fazer iss. Entã: Q ' Q 2 ' ' q ' 1 ' ' 1 Q dw V dq W dq q dq C C C 1 Q mas : W U C 2 cm : Q VC 1 U CV 2 2 2 0 0 Cálcul da densidade de energia, energia ptencial pr unidade de vlume n espaç entre as placas, para um capacitr de placas paralelas: 2 1 2 1 A CV V U u 2 2 d v Ad Ad clume 1 u E 2 2 2 Onde: u é a densidade vlumétrica de energia.

Embra esta relaçã tenha sid deduzida para cas particular de um capacitr de placas paralelas, ela se aplica a qualquer camp elétric. E X E R C Í C I O 54. Quants capacitres de 1 μf devem ser ligads em paralel para acumularem uma carga de 1 C na assciaçã? Cnsidere que a ddp aplicada à assciaçã seja de 110 V. R: 9090 55. Para a assciaçã representada na figura abaix, cnsiderand C 1 = 10,0 F, C 2 = 5,00 F, C 3 = 4,00 F e V = 100 V determine (a) a capacitância equivalente. (b) a carga, (c) a diferença de ptencial e (d) a energia armazenada para cada capacitr. R: (a) 7,33 F; (b) q 1 = q 2 = 3,33.10-4 C, q 3 = 4.10-4 C; (c) V 1 = 33,3V, V 2 =66,7V, V 3 =100V; (d) U 1 = 5,54.10-3 J, U 2 = 1,11.10-2 J, U 3 = 2.10-2 J. 56. Para a assciaçã representada na figura abaix, cnsiderand C 1 = 10,0 F, C 2 = 5,00 F, C 3 = 4,00 F e V = 100 V determine (a) a capacitância equivalente, (b) a carga, (c) a diferença de ptencial e (d) a energia armazenada para cada capacitr. R: (a) 3,16 μf; (b) q 1 = 2,11.10-4 C, q 2 = 1,05.10-4 C, q 3 = 3,16.10-4 C; (c) V 1 = V 2 = 21V, V 3 = 79V; (d) U 1 = 2,2.10-3 J, U 2 = 1,1.10-3 J, U 3 = 1,25.10-2 J. 57. Um capacitr de capacitância C 1 = 6,00 F é ligad em série cm utr de capacitância C 2 = 4,00 F e uma diferença de ptencial de 200 V é aplicada através d par. (a) Calcule a capacitância equivalente da assciaçã. (b) Qual é a carga sbre cada capacitr? (c) Qual é a diferença de ptencial através de cada capacitr? R: a) 2,4F ; b) Q 1 = Q 2 = 4,8. 10-4 C ; c) V 1 = 80V e V 2 = 120V 58. Um capacitr de capacitância C 1 = 6,00 F é ligad em paralel cm utr de capacitância C 2 = 4,00 F e uma diferença de ptencial de 200 V é aplicada através d par. (a) Calcule a capacitância

equivalente da assciaçã. (b) Qual é a carga sbre cada capacitr? (c) Qual é a diferença de ptencial através de cada capacitr? R: a) 10F ; b) Q 1 = 1,2. 10-3 C e Q 2 = 8. 10-4 C ; c) V 1 = V 2 = 200V 59. Um capacitr de 100 pf é carregad sb uma diferença de ptencial de 50 V e a bateria que carrega é retirada. O capacitr é, entã, ligad em paralel cm um segund capacitr, inicialmente descarregad. Sabend-se que a diferença de ptencial da assciaçã passa a ser de 35 V, determine a capacitância deste segund capacitr. R: a) 43 pf 60. A figura abaix mstra dis capacitres em série, cuja seçã central, de cmpriment b, pde ser deslcada verticalmente. Mstre que a capacitância equivalente dessa cmbinaçã em série é independente da psiçã da seçã central e é dada pr C A 0 a b 61. Dis capacitres, de capacitâncias C 1 = 2 μf e C 2 = 4 μf, sã ligads em paralel através de uma diferença de ptencial de 300 V. Calcular a energia ttal armazenada ns capacitres. R: a) 0,27 J Capacitres cm um Dielétric Se espaç entre as placas de um capacitr fr cmpletamente preenchid cm um material dielétric, a capacitância d capacitr aumenta de um fatr k, chamad de cnstante dielétrica, que é característica d material. Em uma regiã que está cmpletamente preenchid pr um dielétric, tdas as equações eletrstáticas que cntém 0 (cnstante de permissividade n vácu) devem ser mdificadas, substituind-se 0 pr k 0. Para vácu a cnstante dielétrica assume valr 1, enquant que para ar ela é apenas ligeiramente mair, 1,0006 sb cndições padrões. O aument da capacitância cm a intrduçã de um dielétric entre as placas d capacitr fi descbert pr Michey Faraday em 1837. O us de um dielétric em um capacitr apresenta uma série de vantagens. A mais simples destas é que as placas cndutras pdem ser clcadas muit próximas sem risc de elas

entrarem em cntat. Além dist, qualquer substância submetida a um camp elétric muit alt pde se inizar e se trnar um cndutr. Os dielétrics sã mais resistentes à inizaçã que ar, deste md um capacitr cntend um dielétric pde ser submetid a uma tensã mais elevada. Qual a nva capacitância ( C )? O dielétric enfraquece camp (devid a camp induzid n dielétric) e cm iss a capacitância aumenta. A nva capacitância será: Onde: K é a cnstante dielétrica d mei e ' C KC ar C ar a capacitância cm ar u vácu.

E X E R C Í C I O 62. Um capacitr de placas paralelas cm ar entre as placas, pssui uma capacitância de 1,3 pf. A separaçã entre as placas é duplicada e intrduz-se cera entre elas. A nva capacitância é igual a 2,6 pf. Determine a cnstante dielétrica da cera. R: 4 63. Um capacitr de placas paralelas, preenchid cm ar entre elas, pssui capacitância de 50 pf. (a) Se cada uma de suas placas pssuir uma área de 0,35 m 2, qual a separaçã entre as placas? (b) Se a regiã entre as placas fr agra preenchida cm um material tend k = 5,6, qual a nva capacitância? R: a) 6,2 cm ; b) 280 pf 64. Uma certa substância tem uma cnstante dielétrica de 2,8 e uma rigidez dielétrica de 18 MV/m. Se esta substância fr usada cm dielétric de um capacitr da placas paralelas, qual deverá ser, n mínim, a área das placas d capacitr para que a capacitância seja 0, 07 μf e capacitr suprte uma diferença de ptencial de 4 kv? R: 0,63 m 2