Plano de Aulas Maemáica Módulo 17 Esaísica
Resolução dos exercícios proposos Reomada dos conceios CAPÍTULO 1 1 População: 1, milhão de habianes da cidade. Amosra: 8.00 pessoas enrevisadas. 2 Variáveis qualiaivas: nome, sexo, grau de escolaridade. c Variáveis quaniaivas conínuas: salário e empo de serviço. Da abela de frequências emos que para os números ímpares há 2 lançamenos. Dessa maneira: 2 0 12 2. Salário Número de empregados F i f r (%) F r (%) [00, 20[ 10 10 2,0 2,0 [20, 0[ 1 10,0,0 [0, 60[ 19 12, 7, [60, 80[ 18 7,0 92, [80, 00[ 0 7, 100,0 Preferência musical 0% 10% 20% 0% 0% 0% 60% Axé Rock Samba 6 a) 10; 200; 208; 68; 62; 62; 676; 728; 780; 82; 988; 988; 1.00; 1.092; 1.196; 1.28; 1.0; 1.710; 1.716; 1.976; 2.028; 2.12; 2.12; 2.12; 2.26; 2.92; 2.70; 2.98;.172;.17;.208;.728;.926;.99;.00;.108;.0;.72;.12;.928 b) Resposa possível: escolhendo a ampliude de 900 reais para cada inervalo, emos a seguine disribuição: 7 Conribuição fiscal (R$) f i F i f r (%) F r (%) [10, 1.00[ 1 1 2, 2, [1.00, 1.90[ 6 19 1,0 7, [1.90, 2.80[ 8 27 20,0 67, [2.80,.70[ 2 12, 80,0 [.70,.60[ 6 8 1,0 9,0 [.60,.0[ 1 9 2, 97, [.0, 6.0[ 1 0 2, 100,0 Toal 0 100,0 c) O inervalo mais comum de conribuições fiscais é de 10 a 1.00 reais. Professor: Oriene os alunos na escolha da ampliude de cada classe, pois esa depende ambém do bom senso, uma vez que, se forem muio pequenos, eremos um número muio grande deles, e isso pode significar que os dados não foram resumidos, inuilizando o esforço; se forem muio grandes, possivelmene houve perda excessiva de informações, desvalorizando o esforço. Como os inervalos êm ampliude de 2 reais, podemos complear os campos dos inervalos. Ganho por ação (R$) f i F i f r (%) F r (%) [, 6[ a i 8 [6, 8[ b 8 j n [8, 10[ c f 22 o [10, 12[ 8 27 k p [12, 1[ d 7 l 7 [1, 16[ e g 16 q [16, 18[ h m 100 Para o inervalo [1, 16[, emos: 16% dos analisas equivalem a 8 analisas, logo e 8. g 7 1 e ] g q 7% 1 16% ] q 90% Para o inervalo [16, 18[, emos: h g 1 ] h 0 analisas represenam 10% do oal, logo m 10%. 7
8 Para o inervalo [, 6[, emos: a e i 8. Para o inervalo [6, 8[, emos: a 1 b 8 ] ] b. Como analisas represenam 8% do oal, logo i 8% e n 8% 1 8% 16%. No inervalo [8, 10[, como analisas represenam 8% do oal, logo 22% do oal de analisas equivalem a 11 analisas. Porano: c 11. a 1 b 1 c f ] f 19 i 1 j 1 22% o ] o 8% No inervalo [10, 12[, 8 analisas correspondem a 16% do oal, logo k 16%. i 1 j 1 22 1 k p ] p % Para o inervalo [12, 1[, emos: a 1 b 1 c 1 8 1 d 7 ] d 10 Como 10 analisas correspondem a 20% do oal, logo l 20%. Dessa maneira, a abela complea é: Ganho por ação (R$) f i F i f r (%) F r (%) [, 6[ 8 8 [6, 8[ 8 8 16 [8, 10[ 11 19 22 8 [10, 12[ 8 27 16 [12, 1[ 10 7 20 7 [1, 16[ 8 16 90 [16, 18[ 0 10 100 8 e Da análise do gráfico noamos que a paricipação feminina nas cinco úlimas olimpíadas aumenou consideravelmene 2 algo em orno de 2.00 aleas 2 se comparada ao aumeno da paricipação masculina, que se maneve quase esável. 9 b O primeiro quadro mosra que 7% da população possui arma. Desa forma, 7% de 10 milhões correspondem a 0,07 # 10.000.000 10.00.000. Deses 10.00.000, 16% dizem que já foram assalados. Porano, 16% de 10.00.000 correspondem a 0,16 # 10.00.000 1.680.000. 10 c Os maiores de 18 anos são aproximadamene 97 milhões de pessoas, deses, 1% são filiados aos órgãos ciados: 0,1 97.000.000 0.700.000 Das 0.700.000 pessoas filiadas aproximadamene, 9% são filiadas a órgãos comuniários: 0,9 0.700.000 11.727.00 Porano, aproximadamene 12 milhões são filiados a órgãos comuniários. 11 d Os homens, segundo a abela, são 0% do oal. Como 0% dos homens êm aé 20 anos, 0% dos 0% do oal são homens que êm aé 20 anos. Isso represena 0, # 0, 0,16 16% da oalidade. Como são % os habianes de aé 20 anos, os 28% resanes são mulheres de aé 20 anos. E 28% de 60%, do oal de mulheres, equivalem a: 28 0,6666..., que 60 corresponde a aproximadamene 6%. 12 e a) Falsa. Em nenhum dos períodos a porcenagem de homens obesos aingiu 0%, por esse moivo sua média é inferior a 0%. b) Falsa. Para a porcenagem de meninas obesas, no período de 1999-2002, corresponder ao dobro do período de 1988-199, sua barra deveria aponar algo em orno de 20% 2 dobro de 10% 2, porém apona algo em orno de 1%. c) Falsa. A barra correspondene esá abaixo de 20%. d) Falsa. Não é possível concluir com os dados do problema. e) Verdadeira. No período de 1988-199 a porcenagem de mulheres obesas era próxima de 27%; já no período de 1976-1980 era algo em orno de 1%. 1 c Dos dados sabemos que,9 milhões de mulheres, num oal de 61, milhões, já sofreram pelo menos algum ipo de violência, o que corresponde a aproximadamene 7%, ou seja, mais de 0%. 1 b Nesse período, a época em que o real esava mais desvalorizado é jusamene a época em que o dólar esava mais valorizado. Porano, no final de 2002. 1 c
CAPÍTULO 2 a) 0 1 0 1 60 1 0 1 10 190 1 Não podemos afirmar que esses índices represenam a mesma quanidade de objeos em ambas as pesquisas. Isso se deve ao fao de o problema não indicar o número de objeos de que consiui cada amosra: um mesmo índice aplicado a oais diferenes resula em valores diferenes. 2 a) Não há dados para responder a essa quesão. b) Resposa pessoal. a) Câncer de pulmão, aumeno de 70%. Professor: Oriene seus alunos nesse exercício que, embora seja simples, necessia de uma inerpreação mais aguçada. É possível que os alunos respondam câncer de prósaa, pois é o ipo que apresena maior diferença. b) Porcenagem 100 90 80 70 60 0 0 0 20 10 0 69 99 Prósaa 7 Cura do câncer 88 Mama 17 10 Pulmão Tipo de câncer 0 6 Cólon e reo Fone: Insiuo Nacional do Câncer dos Esados Unidos. 1970 200 6 7, Leucemia a) Resposa possível: gráfico de segmenos. b) Número de urisas Número de urisas que enram no Brasil anualmene 6.000.000.1.6.000.000.000.000.000.000 2.000.000 1.000.000 1.62.22 1.091.067.090.90 29.900 0 1970 1980 1990 2000 200 Ano Fone: Anuário esaísico Embraur 2002/200. Professor: O gráfico apresenado aqui é o de segmenos, porém os alunos podem opar por ouros ipos. Logo, 190 alunos esudam nessa faculdade. b) 21 anos perence à classe [20, 22[. Logo, 0 alunos êm, em média, 21 anos. 6 d Para ober a quanidade de árvores que possuem roncos com diâmeros não inferiores a 8 cm, eremos que calcular a quanidade de árvores que possuem roncos com diâmeros superiores a 8 cm. Dessa forma, do hisograma obemos 18 árvores (8 1 1 6). 7 a) Dados ficícios Opinião dos inernauas em relação à influência dos amigos 2% % 20% De forma posiiva De forma negaiva 0% Não influenciam Não responderam b) Numa amosra de 2.000 inernauas responderam: De forma posiiva: 1.000 inernauas. Não influenciam: 00 inernauas. De forma negaiva: 100 inernauas. Não responderam: 00 inernauas. Número de inernauas 1.000 800 600 00 200 0 Dados ficícios Número de inernauas de acordo com a opinião 1.000 De forma posiiva 00 Não influenciam Opinião 100 De forma negaiva 00 Não responderam 8 2% dos objeos pesquisados em A são 200 objeos. 200 objeos represenam 0% dos objeos pesquisados em B, porano: 200 0% x 100% ] x 100% 200 0% 00 Logo, foram pesquisados 00 objeos em B. 9
9 a) A abela mosra apenas a porcenagem de esradas boas em 2001 e ruins em 2002. Com base nos dados, podemos concluir que 8,8% das esradas (que ainda esavam ruins em 2002) correspondem a 18.27 km. Sendo x o oal de km de rodovias, 8,8% de x 18.27. Enão: x 18.27 7.100,1 km. Agora, conhecendo o oal, podemos calcular o que se 0.88 pede. Exensão das rodovias com pavimeno bom ou óimo em 2001: 7,7% de 7.100,1 22.66,96 km (esse é o dado que fala na abela). Reirando-se esse valor do oal de km, emos 7.100,1 2 22.66,96 2.6,69 km. Logo, a exensão das rodovias com pavimeno deficiene, ruim ou péssimo em 2001 era de aproximadamene 2.6 km. b) Pelos dados, observamos que: Ano Classificação com pavimeno bom ou óimo 1999 62,2% 2001 7,7% 2002 61,2%* * 100 2 8,8 61,2 Podemos concluir que, de 1999 a 2002, as condições de pavimenação das rodovias brasileiras pouco mudaram. 10 a) Como a inflação nesse período mediu 10%, emos: Salário ] 1.000 1 10% de 1.000 1.000 1 1.00 2.00 Como a energia elérica nesse período aumenou 00%, emos: Energia elérica ] 0 1 00% de 0 0 1 10 200 Como o combusível nesse período aumenou 280%, emos: Combusível ] 0 1 280% de 0 0 1 8 11 Como o elefone nesse período aumenou 60%, emos: Telefone ] 60 1 60% de 60 60 1 276 6 Porano, em 1 de maio de 200 o salário dessa pessoa era R$ 2.00,00, e ela gasou com energia elérica R$ 200,00; com combusível, R$ 11,00; e com elefone, R$ 6,00. 10 b) Em junho de 199 emos: 0 1 0 1 60 10 0,1 1% 1.000 1.000 Em maio de 200 emos: 200 1 11 1 6 60 0,26 26% 2.00 2.00 Porano, a porcenagem oal do seu salário compromeida com energia elérica, combusível e elefone em junho de 199 era 1% e em maio de 200, 26%. 11 b a) Verdadeira. As opções a, d e e colocam a educação anes da segurança e foram escolhidas por 22 1 1 1 20 7% das pessoas (a maioria). b) Falsa. As opções d e f colocam a saúde em erceiro lugar e foram escolhidas por 1 1 17 2% das pessoas (a minoria). c) Verdadeira. As opções a e e colocam a segurança em erceiro lugar e foram escolhidas por 20 1 22 2% das pessoas. d) Verdadeira. As opções b e f colocam a segurança em primeiro lugar e foram escolhidas por 8 1 17 2% das pessoas. 12 b Sendo a produividade a razão enre o lucro L e o número de operários n, ou seja, L, podemos n ober o lucro muliplicando produividade e número de operários, ambos os dados exraídos do gráfico: Dessa forma: Em Produividade @ L n # L L n n N o de operários (n) Lucro (L) 2000 20 20 R$ 0.000,00 2001 0 16 R$ 6.000,00 2002 12 R$.000,00 200 0 10 R$ 0.000,00 Porano, concluímos que o maior lucro foi em 2001, e a redução do número de operários não gerou aumeno nos lucros, viso o que ocorreu em 2002. 1 e Por meio de uma regra de rês que relaciona o oal de consulados com 60w, emos: 1.00 60 0 ] 1.00x 60 0 ] x 8 x O ângulo cenral do seor circular deverá medir 8w.
1 c I. Falsa. A renda dos 10% mais ricos era maior que a renda dos 0% mais pobres. II. Verdadeira. 9,12% 10,11% 7,86. III. Verdadeira. Em março de 2002: 9,12% # 20,6% 7 10,11%. Em junho de 2006: 6,89% # 26,0% 7 12,20%. IV. Falsa. 6,89 2 12,20,69, porém esses valores são percenuais e não moneários. 1 c Considere os seores enumerados na ilusração ao lado: % 2 7% 1 1% % I. Falsa. O pai paricipa da renda familiar nas famílias dos seores 2, e, porano, em 9% das famílias, ou seja, em 90. II. Verdadeira. O pai e a mãe paricipam junos da renda familiar nas famílias dos seores 2 e, porano, em 8% das famílias, ou seja, em 80. 16 d Da análise do gráfico concluímos que os seores a e b correspondem, junos, a 0% das resposas. Como % correspondem ao seor a, nos resa 1% para o seor b, que possui 270 resposas. Sendo T o oal de pessoas pesquisadas, emos que: 1% de T 270 ] T 270 0,1 ] T 1.800 Como c e d correspondem aos ouros 0% das resposas, e ambos os seores represenam o mesmo número, emos que ano o seor c quano o seor d correspondem a 2% do oal, porano: c d 2% de T 0 17 a) 0,8 80% Porano, a produção de rigo do esado A corresponde a 80% da produção de grãos de A. b) Não é possível afirmar que a produção oal de rigo do esado A é maior do que a do esado B, pois possuímos apenas as pares do oal de produção de cada esado e não seus valores absoluos. CAPÍTULO 1 Para que coincidam, as médias ariméicas dos dois grupos devem er o mesmo valor. Assim: 2 1 m 1 10 1 9 22 1 1 m2 2 ] ] m 1 16 m 2 2 ] m 2 2 m 2 20 0 ] ] (m 2 ) # (m 1 ) 0 ] ] m ou m 2 Logo, para m ou m 2, as médias ariméicas dos dois grupos coincidem. 2 b 1.000 20 1 1.00 00 x ] 1.000 1 1.00 ] x 700.000 2.00 ] x 280 Porano, o consumo médio mensal por residência de energia elérica, considerando os dois bairros, A e B, será 280 kwh. Usando a lera a para a frequência enre e, e a lera b para a frequência enre e 7, emos: a 1 b 1 72% 100% ] a 1 b 28% (I) Sabendo que a média é 2,8, emos: 72% 2 1 a 1 b 6 2,8 ] 100% ] a 1 6b 16% (II) Resolvendo o sisema formado pelas equações (I) e (II), emos: a 1 b 28% 6a 1 6b 168% ] 2 a 1 6b 16% a 1 6b 16% 2a 2% ] a 16% Se a 16%, logo b 12%. Porano, a frequência enre e é 16%, e enre e 7 é 12%. Sabendo que o valor Me da mediana se enconra no inervalo enre os exremos da classe mediana, emos: m 2 19 6, 2 e 100 ] m 2 2 2 u 19 1, 6 ] ] 6 m 2 0 26,6 ] m 6,6 6 ] ] m & 9, Vamos escrever os see números ineiros que formam uma PA de razão 6, em ordem crescene. x x 16 x 112 x 118 x 12 x 10 x 16 11
Sabendo que a média ariméica enre eles é, emos: x 1 x 1 6 1 x 1 12 1 x 1 18 1 x 1 2 1 x 1 0 1 x 1 6 7 7x 1 126 ] ] 7x 1 126 28 ] 7 ] 7x 298 ] x 21 6 Logo, os see números são 21, 28, 22,, 10, 16 e 22. Como emos see números, a mediana será o valor cenral, aquele que ocupa a a posição. Assim: Me. a 1 1 a 2 1 a 1... 1 a 1 1 a 1 2 1 Porano, a 1 1 a 2 1 a 1... 1 a 1 1 a 1 60. Devemos deerminar o valor de x, al que: x a 1 1 1 1 a 2 1 2 1 a 1 1...1a 1 1 1 1 a 1 1 1 1 60 120 ] x a 11 a 2 1 a 1... 1 a 1 1 a 1 111211... 11 11 1 ] x 60 1 120 ] x 80 1 1 ] x 2 Logo, a média desejada é 2. 7 2n 1 2 n 1 1 1 2 n 1 2 1 2 n 1 60 ] ] 2 n 1 2 n 1 1 1 2 n 1 2 1 2 n 1 20 ] ] 2 n 1 2 n 2 1 2 n 2 2 1 2 n 2 20 ] ] 2 n (1 1 2 1 2 2 1 2 ) 20 ] ] 2 n 1 20 ] 2 n 20 1 ] ] 2 n 16 ] 2 n 2 ] n 8 Usando a lera x para represenar o elemeno reirado do conjuno, emos: 1 1 2 1 1 1... 1 201 2x 101, ] 200 ] 1 1 2 1 1 1... 1 201 2 x 101, 200 ] 20.01 ] x 1 1 2 1 1 1... 1 201 2 20.290 ] x 11 Soma dos ermos de uma PA de razão 1, com 1 o ermo 1 e 201 o ermo 201 Logo, o elemeno reirado é o 11. ] 9 d Observando o gráfico, podemos consruir a abela a seguir. 12 ] Noa Número de aluno (f i ) F i 1 2 2 2 6 2 8 6 1 10 2 6 8 2 7 6 8 8 2 9 2 10 6 0 Como a 2 a e a 26 a posições esão na noa 6, esa é a noa mediana. 10 x 1 1 1 1 1 0 1 2 ] 6 ] x 1 6 ] x 2, Porano, o número médio de gols da primeira rodada é 2,. A primeira e a segunda rodadas oalizam 11 jogos e êm a média de gols 20% superior à média da primeira rodada. Sendo 1 o oal de gols da primeira rodada e n o oal de gols da segunda rodada, emos: 2, 1 20% de 2, 1 1 n 11 ] ] 2, 1 0, 1 1 n 11 ] ] 1 1 n 11 ] n 2 1 ] n 18 Logo, devem ser marcados 18 gols nos jogos da segunda rodada. 11 Para que x A não ulrapassa, devemos er x A <. Logo: x 1 6 1 1 1 < ] x 118 < 20 ] ] x < 2 (I) Para que x B seja, no mínimo, igual a, devemos er x B >. Logo: 9 1 1 1 1 8 1 x 1 6 1 11 1 > ] 8 ] x 1 2 > 0 ] x > 22 (II) (I) (II) (I) ) (II) 2 2 Os valores ineiros de x que esão no inervalo [22, 2] são 22, 21, 0, 1 e 2. 2 2
CAPÍTULO 1 x 2 1 1 1 1 6 ] x O2 2O 1 O 2O 1 O 2O 1 O 2O 1 O6 2O Dm ] ] Dm 2 1 1 1 1 1 0 1 2 ] ] Dm 6 ] Dm 1,2 2 x 0 0 1 60 100 1 10 10 100 ] x 9.000 100 ] x 90 ] Para calcular o desvio padrão, devemos calcular primeiro a variância, assim: Var 0 (0 2 90)2 1 60 (100 2 90) 2 1 10 (10 2 90) 2 100 Var 90.000 ] Var 900 100 Logo: Dp dllll 900 0 Porano, a média é 90 e o desvio padrão é 0. a) x A 90% 1 92% 1 9% 1 88% 1 91% ] ] x A 6% ] x A 91,2% x B 97% 1 88% 1 98% 1 86% 1 90% ] ] x B 9% ] x B 91,8% ] Logo, a companhia que eve o percenual médio mais alo foi a B. b) Para faciliar os cálculos, vamos consruir as abelas a seguir. Companhia A x i x i 2 x.a Ox i 2 x.ao (x i 2 x.a ) 2 90 21,2 21,2 1, 92 0,8 0,8 0,6 9,8,8 1, 88 2,2,2 10,2 91 20,2 0,2 0,0 IOx i 2 x A O 9,2 I(x i 2 x A ) 2 26,8 Companhia B x i x i 2 x.b Ox i 2 x.bo (x i 2 x.b ) 2 97,2,2 27,0 88 2,8,8 1, 98 6,2 6,2 8, 86 2,8,8,6 90 21,8 1,8,2 IOx i 2 x B O 22,8 I(x i 2 x B ) 2 116,8 Com base nas abelas, emos: Var A 26,8,6 Dp A dllll,6 7 2,2 Var B 116,8 2,6 Dp B dlllll 2,6 7,8 Porano, Dp A, Dp B. Logo, a companhia que eve desempenho mais regular foi a A. d Como o desvio padrão é obido a parir da raiz quadrada da variância, concluímos que, se a variância é nula, o desvio padrão ambém será. c Analisando as variações das alernaivas, emos: De 198 a 1986: queda de 2,6 De 199 a 1996: aumeno de 2, De 1997 a 1998: aumeno de 2,9 De 2001 a 2002: aumeno de 2,7 Logo, a maior variação foi enre abril de 1997 e abril de 1998. 6 Colocando os dados em ordem crescene, emos: 21, 22, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 26, 28, 28, 0, 1, 2, 0 a) x 0 1 ] x 7 27 Logo, a média de veículos básicos alugados nessa locadora é de 27 veículos por dia. b) A mediana será o valor cenral, aquele que ocupa a 8 a posição. Assim: Me 2. Logo, o número mediano de veículos alugados nessa locadora é 2. c) O número de veículos básicos alugados com maior frequência (por dias) é 2. Para faciliar os cálculos dos iens d e e, vamos consruir a abela a seguir. 1
x i x i 2 x. Ox i 2 x. O (x i 2 x. )2 2 22 2 2 2 2 22 2 28 1 1 1 0 9 21 26 6 6 2 2 16 0 1 1 169 2 22 2 26 21 1 1 22 2 2 2 2 16 2 22 2 28 1 1 1 1 16 IOx i 2 xo I(x i 2 x) 2 1 Observação: os valores de (x i 2 x), Ox i 2 xo e (x i 2 x) 2 são aproximados, já que x 7 27. d) Dm ] Dm 7,7 1 e) Var 1 1 ] Var 7 22,0 ] D p dllll 22,0 ] ] D P 7,7 f) Os valores desse grupo se disanciam do valor médio em aproximadamene,7 veículos, para mais ou para menos. 7 O valor médio desse grupo é: 8 1 10 1 x x 1 18 A variância desse grupo é 26, logo: Var 26. @ 8 2 x 1 18 # 2 1 @ 10 2 x 1 18 # 2 1 @ x 2 x 1 18 # 2 26 ] ] @ 2 2 x # 2 1 @ 2 x # 2 1 @ 2x 2 6 # 2 26 ] ] 2 x 1 x2 1 16 2 8x 9 1 x2 9 1 x2 2 2x 1 6 26 ] 9 ] 6 2 12x 1 2x2 2x2 26 ] 2 12x 1 0 0 ] ] 2x 2 2 6x 1 90 0 ] x 2 2 18x 1 0 ] ] x ou x 1 Os valores de x para que a variância seja igual a 26 são ou 1. 8 Como Dp dll, emos que a variância desse grupo deve ser. O valor médio desse grupo é: 2 1 1 6 1 k k 1 12 1 Como a variação é igual a, emos: @ 2 2 k 112 # 2 1 @ 2 k 112 # 2 1 @ 6 2 k 112 # 2 1 @ k 2 k 112 # 2 ] ] @ 21 2 k # 2 1 @ 1 2 k # 2 1 @ 2 k # 2 1 2 1 k2 16 1 1 2 k 2 1 k2 16 1 1 9 2 k 1 k2 2 16 1 9k2 2 9k 1 9 20 ] 20 2 6k 1 16 2 1 @ k 2 # 2 20 ] 1 1 k 1 12k2 20 ] k2 16 2 6k 0 ] ] k @ k 2 2 # 0 ] k 0 ou k 8 9 Como a axa de invesimeno nos 10 meses é consane e igual a 1% ao mês, emos que a axa média será 1%. Assim, cada valor (axa mensal 2 axa média) será nulo e, porano, (axa mensal 2 axa média) 2 será nulo ambém. Logo, a variância é 0 (zero) e o desvio padrão será 0%.,8 1,1 1, 1,7 1,8 10 x,7 Com base no gráfico, podemos consruir a abela a seguir. Ano Número de urisas (x i ) x i 2 x (x i 2 x. ) 2 1998,8 0,06 0,006 1999,1 0,6 0,1296 2000, 0,6 0,16 2001,7 20,0 0,0016 2002,8 20,9 0,886 Assim: I(x i 2 x) 1,2 Var 1,2 0,266 Dp dllllll 0,266 & 0,16 Logo, o desvio padrão é aproximadamene 0,16 milhões de urisas. 11 d 1. Verdadeira. Isso se dá por cona de essa urma apresenar maior desvio padrão. 2. Verdadeira, pois apresenam mesmas médias e desvios padrão diferenes.. Falsa, pois essa urma é a que apresena o menor desvio padrão, ou seja, é a urma em que as noas apresenaram-se mais concenradas em orno da média.
12 a) Como a variância é a média ariméica dos quadrados dos desvios, ou seja, essas parcelas são necessariamene posiivas, concluímos que a única forma de a variância ser nula será quando cada um dos números reais for igual à média ariméica, e isso se dá quando: x 1 x 2 x... x n b) Sendo S o resulado da somaória indicada, S pode ser desenvolvido da seguine maneira: S (x 1 2 m)² 1 (x 2 2 m)² 1 (x 2 m)² S x 1 ² 2 2x 1 m 1 m² 1 x 2 ² 2 2x 2 m 1 m² 1 1 x ² 2 2x m 1 m² S m² 2 2(x 1 1 x 2 1 x )m 1 (x 2 1 1 x 2 2 1 x 2 ) S resula em uma expressão do segundo grau em m, cujo valor mínimo é dado por 2 b 2a. Enão: mín (m) 2(x 1 1 x 2 1 x ) x 1 1 x 2 1 x 2 Professor: Mesmo que os alunos não se lembrem de como enconrar o pono mínimo de uma função quadráica, mosre a eles que o menor valor de uma expressão de segundo grau é obido com a média das raízes da equação. Sabendo que a soma das raízes é 2 b, a média será meade da soma, ou seja, a 2 b. Seria ineressane ambém informá- 2a -los de que a expressão da variância faz pare de um méodo conhecido como méodo dos mínimos quadrados e é uilizada para descobrir a média (quando é desconhecida) calculando o valor que minimiza a soma dos erros quadráicos. 1 d 1. Verdadeira. 1 6 6 1 1 7 1 8 1 2 9 1 1 10 x ] x 7 0 2. Verdadeira. Var ( 2 7)2 1 6 (6 2 7) 2 1 1 (7 2 7) 2 1 (8 2 7) 2 1 2 (9 2 7) 2 1 1 (10 2 7) 2 ] 0 ] Var & 1,. Verdadeira.. Falsa. 0% equivaleria a 1 observações e apenas 9 esão abaixo de 6, segundos. 1 (1) Falsa. No período de 97 a 98, o aumeno percenual de inscrios na USP foi de aproximadamene 26,18%. Já na UFRGS foi de aproximadamene 6,17%. (2) Falsa. No gráfico da UFRGS, no período de 98 a 99, há um decréscimo, porano uma inclinação negaiva. () Falsa. O aumeno percenual da UFMG foi o maior aproximadamene 101%, e ambém apresenou o maior aumeno absoluo 1.00 inscrios. () Verdadeira. De 96 para 97: 1%, aproximadamene. De 97 para 98: 9,%, aproximadamene. De 98 para 99: 0,6%, aproxima damene. () Verdadeira. A série dos inscrios na USP apresena maior mediana, pois grande pare de seus dados (exceo o do ano 1996) são superiores a odos os demais. Como o desvio padrão é uma medida de variabilidade, e noamos que a série dos inscrios da USP variou mais que a série dos inscrios na UFRJ, concluímos que o desvio padrão da USP, nesse período, é maior que o da UFRJ. Exercícios de inegração 1 Comprimeno em meros f i f i (%),00,20 1,20,0 6 0,0,60 6 0,60,80 2 10,80,00 1 Toal 20 100 2 A média de CDs vendidos é: x.000 1.000 1.00 1.200 1 6.700 1.000 1 8.00 1 7.600 1 6.00 1 6.00 1 7.000 1.00 ] ] x 7 ] 68.800 12 12 ] x 7.7 Logo, a média de CDs vendidos é aproximadamene.7 CDs. Essa média foi superada em 6 meses nesse ano. O novo grupo formado em 2 1 n pessoas. O oal das massas dos inegranes desse novo grupo é (2 8 1 90 n) kg. Como a média das massas é 8, emos: 2 8 1 90 n 8 ] 2 1 n ] 2.100 1 90n 8(2 1 n) ] ] 2.100 1 90n 8 2 1 8n ] ] 90n 2 8n 2.12 22.100 ] ] n 2 ] n 1
Noe que o inervalo de maior frequência (classe modal) é [0, 60[. A parir dessa informação podemos calcular o pono médio dessa classe, que será a moda nessa disribuição. Assim, Mo 0 1 60 2 Uilizando n para o número de alunos que obiveram noa, emos que (60 2 n) alunos obiveram noa 10. Assim: n 1 (60 2 n) 10 6 ] 60 ] n 2 10n 1 600 6 60 ] ] 2n 60 2 600 ] ] 2n 220 ] n 20 ] n 8 Porano, 8 alunos obiveram noa. 6 a) Como a pesquisa foi realizada com 100 famílias, a mediana será a média ariméica enre o número de filhos das famílias que ocupam a 0 a e a 1 a posição. Como as famílias que ocupam as 0 a e 1 a posições êm, cada uma delas, 2 filhos, emos: Me 2 1 2 2 2 Logo, a mediana é 2 filhos. A maior frequência (28) aparece para as famílias que êm 2 filhos. Porano: Mo 2 b) x 17 0 1 2 1 1 28 2 1 19 1 7 1 ] 100 ] x 186 100 ] x 1,86 Logo, o número médio de filhos, por casal, é 1,86. 7 x 0 1 19 1 1 10 2 1 7 1 ] 1 19 1 10 1 7 1 ] x 76 ] x 7 1,69 Var (0 2 1,69)2 1 19 (1 2 1,69) 2 1 10 (2 2 1,69) 2 1 7 ( 2 1,69) 2 1 ( 2 1,69) 2 ] ] Var 7,6 ] Var 7 1,28 Dp dllll 1,28 7 1,1 8 a) x 2,8 1 2,60 1 2, 1 2,72 1 2,6 1 2,6 1 2,67 1 2,1 1 2,61 1 2,1 ] ] x 2,9 10 10 ] x 2,9 Logo, a média das axas de juro é 2,9%. 16 b) Colocando os valores em ordem crescene: 2,8; 2,1; 2,1; 2,; 2,60; 2,61; 2,6; 2,6; 2,67; e 2,72 Como emos 10 valores, a mediana será a média ariméica enre os o e o 6 o ermos: Me 2,60 1 2,61 2,60 2 Logo, a mediana será 2,60%. Para faciliar os cálculos, vamos consruir a abela a seguir. x i x i 2 x. Ox i 2 x.o 2,8 20,11 0,11 2,60 0,01 0,01 2, 20,06 0,06 2,72 0,1 0,1 2,6 0,0 0,0 2,6 0,0 0,0 2,67 0,08 0,08 2,1 20,08 0,08 2,61 0,02 0,02 2,1 20,08 0,08 Com base na abela, emos: D m IOx i 2 xo_ 0,66 10 10 0,066 Logo, o desvio médio será 0,066%. 9 c As alernaivas mosram a média em anos e meses. Dessa forma é adequado calcular a média das idades em meses: x 16 12 10 1 17 12 2 1 18 12 20 1 19 12 1 20 12 2 ] ] x 12.2 209 12 2 20 17 anos meses 60 60 ] x 209,2. Fazendo: A idade média em meses é 209,2. Transformando em anos emos aproximadamene 17 anos e meses. 10 c Após a aberura dos regisros, os níveis iniciais se ransformam em um mesmo nível para odas as caixas. Esse novo nível é a média dos aneriores: N 8 1 1 1 10 1 9 1 7 7 6
Gabario Reomada dos conceios CAPÍTULO 1 1 População: 1, milhão de habianes da cidade. Amosra: 8.00 pessoas enrevisadas. 2 Variáveis qualiaivas: nome, sexo, grau de escolaridade. Variáveis quaniaivas conínuas: salário e empo de serviço. c 7 Salário Número de empregados F i f r (%) F r (%) [00, 20[ 10 10 2,0 2,0 [20, 0[ 1 10,0,0 [0, 60[ 19 12, 7, [60, 80[ 18 7,0 92, [80, 00[ 0 7, 100,0 Consrua um gráfico de barras; use rês cores diferenes. 6 a) 10; 200; 208; 68; 62; 62; 676; 728; 780; 82; 988; 988; 1.00; 1.092; 1.196; 1.28; 1.0; 1.710; 1.716; 1.976; 2.028; 2.12; 2.12; 2.12; 2.26; 2.92; 2.70; 2.98;.172;.17;.208;.728;.926;.99;.00;.108;.0;.72;.12;.928 b) Resposa pessoal. c) Resposa pessoal. 8 e 9 b 10 c Ganho por ação (R$) f i F i f r (%) F r (%) [, 6[ 8 8 [6, 8[ 8 8 16 [8, 10[ 11 19 22 8 [10, 12[ 8 27 16 [12, 1[ 10 7 20 7 [1, 16[ 8 16 90 [16, 18[ 0 10 100 11 d 12 e 1 c 1 b 1 c CAPÍTULO 2 1 Não podemos afirmar que esses índices represenam a mesma quanidade de objeos em ambas as pesquisas. Isso se deve ao fao de o problema não indicar o número de objeos de que consiui cada amosra: um mesmo índice aplicado a oais diferenes resula em valores diferenes. 2 a) Não há dados para responder a essa quesão. b) Resposa pessoal. a) Câncer de pulmão, aumeno de 70%. b) Consrua um gráfico de colunas duplas. a) Resposa possível: gráfico de segmenos. b) Lembre-se que o ipo de gráfico depende da sua resposa para o iem a. a) 190 alunos esudam nessa faculdade. b) 0 alunos. 6 d 7 a) Observe as porcenagens na abela para consruir o gráfico de seores. b) Para consruir esse gráfico, calcule as porcenagens indicadas na abela sobre a população. 8 Foram pesquisados 00 objeos em B. 9 a) Aproximadamene 2.6 km. b) De 1999 a 2002, as condições de pavimenação das rodovias brasileiras pouco mudaram. 10 a) Em 1 de maio de 200 o salário dessa pessoa era R$ 2.00,00, e ela gasou com energia elérica R$ 200,00; com combusível, R$ 11,00; e com elefone, R$ 6,00. b) 1% e 26%. 17
11 b 12 b 1 e 1 c 1 c 16 d 17 a) 80% b) Não é possível afirmar que a produção oal de rigo do esado A é maior do que a do esado B, pois possuímos apenas as pares do oal de produção de cada esado e não seus valores absoluos. CAPÍTULO 1 m ou m 2. 2 b A frequência enre e é 16%, e enre e 7 é 12%. m & 9, Me 6 2 7 n 8 11 9 d 10 Devem ser marcados 18 gols nos jogos da segunda rodada. 11 22, 21, 0, 1 e 2. CAPÍTULO 1 Dm 1,2 2 A média é 90 e o desvio padrão é 0. a) A companhia que eve o percenual médio mais alo foi a B. b) A companhia que eve desempenho mais regular foi a A. d c 6 a) 27 veículos por dia. b) Me 2 c) Mo 2 d) Dm 7,7 e) Var 7,7 f),7 para mais ou para menos. 7 x ou x 1 8 k 0 ou k 8 9 A variância é 0 (zero) e o desvio padrão será 0%. 10 O desvio padrão é aproximadamene 0,16 milhões de urisas. 11 d 12 a) x 1 x 2 x... x n b) m x 1 1 x 2 1 x 1 d 1 (1) Falsa. () Verdadeira. (2) Falsa. () Verdadeira. () Falsa. Exercícios de inegração 1 Comprimeno em meros f i f i (%),00,20,0,60,80 2 Em 6 meses nesse ano. n 18,20 1,0 6 0,60 6 0,80 2 10,00 1 Toal 20 100 Mo 8 alunos obiveram noa. 6 a) Me 2 e Mo 2. b) x 1,86 7 Dp dllll 1,28 7 1,1 8 a) x 2,9 b) Me 2,60% e Dm 0,066% 9 c 10 c