Capítulo 5 Integrais Múltiplas 1. Revisão de Integral de Funções a uma Variável 1.1. Integral Indefinida Definição: Uma função será chamada de antiderivada ou primitiva de uma função num intervalo I se =, para todo I. O processo de se determinar todas as antiderivadas de uma função é chamado antidiferenciação ou integração. Para indicar que a operação de integração deve ser executada sobre uma função, usamos a notação: =+ o que nos diz que a integral indefinida de é a família de funções dada por +, onde =. Uma vez que integração e diferenciação são processos inversos tem-se: = = 1.2. Tabela de Algumas Integrais Indefinidas Podemos usar qualquer fórmula de derivada para obter uma fórmula correspondente de integral indefinida que chamamos de integral imediata. =+ 1 =+ com 1 = +1 + ln ; >0 1 = ln + = + =+ = + ln ; 0 1 1 =ln + 117
Exemplos: 1 = 5+1 = 6 + 2 = / = 5 2 +1 7/2 =2 7 / + 3 3 = 3 ln3 + 4 1 = = 3 +=3 + 1.3. Principais Propriedades das Integrais Indefinidas 1. =. = 2 ± = ± Exemplos: 1 5 +2cos 5 +2cos = 5 + 2cos =5 + 2cos = =5 4 + + 2 + = 5 4 + 2 + 5 + 2 = = 5 4 + 2 + =5 + 2 2 8 6 + 1 8 6 + 1 = 8 + 6 + 1 = = 8 6 / + = =8 4 + 6 / 3/2 + + 2 + =2 4 / 1 2 + 8 6 + = = 2 4 / 1 2 + 118
3 1 = 2 +1 = 2+ 1 = 2+ 1 = = 2+ = 3 = 3 2 1 + 2+ 2+1 + = 1.4. Técnicas de Integração Método da Substituição Seja uma função composta e primitiva de, ou seja, =. Uma vez que integração e diferenciação são processos inversos tem-se: =+ Utilizando a regra da cadeia para derivar a função composta tem-se: =. = =. =+ Método da Substituição, =, ã. =+ çã: = = =+ Diretrizes para o método da substituição: 1) Decidir por uma substituição favorável =. 2) Calcular o diferencial =. 3) Transformar o integrando apenas em função de. 4) Calcular a antiderivada envolvendo. 5) Substituir por na antiderivada. O resultado deve conter apenas a variável. 6) 119
Exemplos: Calcular as integrais indefinidas indicadas abaixo: 12 2 =2 =2 = 2 = 1 2 = 1 2 cos+= 1 2 cos2+ 2 =4 =4 = 4 4 =1 4 = 1 4. += ln 4 ln + 3 3+4 =3+4 =3 = 3 3 =1 3 / = 1 3 4 = =2 = 2 =cos 2 = 1 2 cos= = 1 2 +=1 2 + 3 2 = 2 9 += 2 9 3+4 + 5. = = 3 = 3 3 = 3 = 3 += 3 + 120
1.5. Técnicas de Integração Integração por Partes Se e são funções diferenciáveis, então pela regra do produto: Integrando ambos os lados:. =.+. = + = + = Integração por Partes = = ã çõ á, ã = = = = = =. Esta fórmula expressa a integral em função de outra integral,. Escolhendo adequadamente e pode ser mais fácil calcular a 2ª do que a 1ª integral. Quando escolhemos as substituições para e para, em geral pretendemos que seja o fator do integrando mais complicado que se sabia integrar. Exemplos: 1 = = = = = cos = =. =.+ = =.cos++ 2.5 = = =5 =5 = 5 ln5 =.5 5 5 =. ln5 ln5 =. 5 ln5 1 ln5.5 = 121
.5 5 =. ln5 1 ln5. 5 ln5 += 5 ln5 1.5 1 ln5 +=5 ln + 5 3. = = = = =2 = 2 =1 2 = 2 =2 =2 = = 2 2 = 2 4 2 +=2 2+ 4 4 = = =4 =4 = cos4 4 =4 =4 cos 4 = cos = 4 4 4 = 4= 1 4 cos4 cos4 = 1 4 4 cos4+1 cos 4 4 mas =4 =4 4 cos = = 4 4 4= 1 4 cos4+4+ 16 5 =ln = 1 = = = = ln =ln 1 =ln =ln = ln 1+ 122
1.6. Integral Definida Seja uma função contínua definida no intervalo,. Dividindo este intervalo em subintervalos de comprimentos iguais, a área da região sob o gráfico da função pode ser aproximada como sendo o somatório da área dos retângulos de comprimento e altura, assim: Esta aproximação será tanto melhor quanto maior for o número de subdivisões do intervalo. Define-se a Integral Definida de de a para b o seguinte limite: Observe que: lim A integral definida é um número e não uma função. 0 ã 0 á 0 ã 0 á Assim, a integral definida é a área líquida, ou seja, é a diferença entre a área sob a curva de uma função que está acima do eixo horizontal com a que está abaixo do eixo. y y=f (x) a c b x Propriedade 123
Teorema Fundamental do Cálculo,, =,ã = = Exemplos: Calcule as integrais definidas indicadas 1 A função é contínua em [1,3. Calculando a antiderivada de e considerando a constante de integração nula, tem-se: = = =0 Então, pelo teorema fundamental do cálculo, tem-se: = 3 1 = 3 1 = = 17,369 2 = ln 6 3 ln6 ln3=ln6 = ln2 3 3. Calculando a integral indefinida e fazendo a constante de integração nula tem-se: = =2 = 2.= 2 = 2 = 2 Então.= = 2 2 2 = 2 2 = 2 124
4 3 Calculando a integral indefinida e fazendo a constante de integração nula tem-se: 3 cos 3 3.coscos. Então, 3coscos 3cos 3cos 33cos 3coscos3cos0+0cos0 0= =3 0 3+0 0=3 +3=6 Encontre a área sob o gráfico da função no intervalo indicado 1 = 0,1 á= = 3 1 0 = 1 3 0 3 = 1 3 2 =cos 0, 2 á= cos = sen /2 0 =sen/2 sen0=1 0=1 125
2. Integral em relação a uma das variáveis de funções a mais de uma variável Seja, uma função a duas variáveis e. Mantendo temporariamente constante, podemos calcular: Integral indefinida de em relação a :, =,+ pode ser função de Integral definida de em relação a com variando = até =, =, =,, Mantendo temporariamente constante, podemos calcular: Integral indefinida de em relação a :, =,+ pode ser função de Integral definida de em relação a com variando = até =, =, =,, Exemplos: 1 = = 2 = = 3 + 4 + 3 cos =cos = cos + 2 4 cos =cos = + 5 1 + = 1 + =ln + 2 x=2 x=1= = ln2+2 ln1+ 2 =ln2+3 2 126
6 1 1 y=1 3 y=0 1 3 0 +.0 =3+ 3 3 7 / = / = cos +cos 2= cos x=y 3 = x=π/2= 8 = = 3 1 1 3 = 3 = 3 y=x y=1= 9 = Calculando pelo método da substituição, com temporariamente constante = = = Assim, = = = x=y2 x=ln(y)= = = x=y 2 x=ln(y) 127
3. Integrais Repetidas Seja uma função a duas variáveis contínua num retângulo [,[,. Se para cada valor fixo de,, for uma função integrável de podemos formar a integral definida:,, O valor da integral acima depende somente do valor de, então ela define uma função de., Generalizando para quando os limites de integração forem dependentes de :, Se for uma função integrável em relação a de a, tem-se:,, Se para cada valor fixo de,, for uma função integrável de podemos formar a integral definida:,, O valor da integral acima depende somente do valor de, então ela define uma função de., Generalizando para quando os limites de integração forem dependentes de :, Se for uma função integrável em relação a de a, tem-se:,, 128
As integrais, e, são chamadas de integrais repetidas. Técnicas para o cálculo das integrais repetidas As integrais são calculadas na ordem que as diferenciais aparecem, ou seja, da esquerda para a direita. Exemplos: 1 = = = = y=2 4 y=0 = 2 y=1 4 0 4 y=0 = 4 = 4 =4 3 x=2 x=-1=4 8 3 1 3 =4 9 3 =12 2 cos= cos= cos = x=π x = π/2 = 2 = = 0 1 = = 2 y=2 y=0= 2 2 0= 2 3 = = = = v=6u v=4u = = = = 7 u=1 u=0 5 u=1 u=0= 7 7 5 5 = = 7 1 7 5 +1 5 = 7 5 + 2 35 129
4. Integral Dupla sobre Regiões Retangulares Seja uma função, a duas variáveis definida numa região retangular onde [,[,, Sejam e, respectivamente, o número de subdivisões em e. Assim, o domínio será subdividido em. sub-retângulos de áreas iguais a. Seja, um ponto de um sub-domínio, 1 1. A soma de Riemann é dada por, Se for tomado o limite deste somatório quando obtemos a integral dupla de sobre a região., lim,, Se, 0 para todo o domínio, a integral dupla representa o volume abaixo do gráfico da função e acima do domínio. Se, 0 em todo o domínio a integral dupla é negativa e seu módulo representa o volume acima do gráfico de e abaixo do domínio. Se, 1 então,. Assim,a integral dupla representa o volume de um cilindro de altura igual a 1 e base o que corresponde à área da região. 130
Técnicas para o cálculo da integral múlipla O Teorema de Fubini: relaciona a integral dupla com as integrais repetidas Determinam-se os intervalos de integração, substitui-se por e calculam-se as integrais repetidas encontradas. Exemplos: 1 Calcule a integral dupla sobre a região indicada cos onde 0, 2 0, 2 / / cos / / cos / y=π/2 / y=0 senπ/2 sen0 / x=π/2 x=0 cos 2 cos0 1 Como, cos é sempre positiva no domínio, o resultado da integral múltipla representa o volume do sólido limitado superiormente pelo gráfico da função, cos e pelos planos 0, 2, 0 /2. 2 Calcule a integral dupla sobre a região indicada onde 1, 0 0,1 x=0 2 x=-1 0 2 1 2 2 6 y=1 y=0 1 6 0 1 6 131
Como a função é sempre negativa no domínio o módulo da integral dupla, ou seja, 1/6 representa o volume do sólido que está acima do gráfico da função e abaixo da região. 3 Encontre o volume do sólido delimitado pelo parabolóide 2 16, os planos 2 e 2, e os três planos coordenados., onde, 16 2 16 2 0,2 0,2 onde 16 2 16 3 2 32 8 3 4 88 3 4 176 3 x=2 x=0 88 y=2 4 3 3 y=0 32 144 0 0 48 u. v. 3 3 4) Encontre a área de um círculo de raio R á, 0, 0 2 r=r 2 r=0 0 2 2 2 θ=2π 2 θ=0 2 0 2 132