1. Parametrize as seguintes curvas. + = 16 + 5 = 15 = 4 = 16 + 5 + 8 7 = 0 (f) + 4 + 1 + 6 = 0. Lista 5: Superfícies (g) = + (h) + = (i) + = 4 (j) + = 1 (k) 6 + 18 = 0 (l) r = sin(θ). Determine a equação cartesiana e identifique as seguintes curvas: = 4 cos(t) = sec(t) = 9 sin(t) = 4 tan(t) = t = t + = e t (f) = t 4 = 1 cos t = + cot(t) = + sin t (g) = 1 4 csc(t) = + cos(t) = 1 + sinh(t) = sin (h) (t) = + 4 cosh(t). Identifique as curvas abaio e desenhe a região R simultaneamente interior as curvas: = 4 cos(t) = cos(t) C 1 : = 4 sin(t) + 4 e C : = sin(t) = cos(t) = cos(t) C 1 : e C = sin(t) : = 1 sin(t) = 1 + cos(t) = cos(t) C 1 : e C = sin(t) : = + sin(t) = t = t C 1 : = t 1 e C : = t + 4 = 1 + cos(t) = t C 1 : e C = 1 + sin(t) : + 1 = t = sec(t) = cos(t) (f) C 1 : e C = 1 + tan(t) : = 1 + sin(t) 4. Descreva em coordenadas cartesianas e paramétricas as curvas que delimitam a região R (área) em cada gráfico a seguir. Encontre também os pontos de interseção destas curvas nos dois sistemas de coordenadas.
Nos eercícios 5 ao identifique e represente geometricamente as superfícies dadas pelas equações: 5. 4 + 9z = 6 6. 4 = 16 7. = 9 8. = 0 9. + = 10. z = e 11. + + z = 5 1. 4 + 4 + z 16 = 0 1. = + z 14. + z = 15. 4 + z = 8 16. + + z = 0 17. 4 + z 4 = 0 18. 16 + 9 z = 144 19. z = 0. z = 1 + 1 1. + z + 18z 81 = 0. z = 9 +. Considere a função z = f(, ). Os gráficos no plano das equações f(, ) = k, sendo k um número real, são chamados curvas de nível associadas à função f. Seja f(, ) = +. Esboce e identifique as curvas de nível da função f para k = 4, k = 1, k = 0, k = 1 e k = 4. 4. Determinar a equação do lugar geométrico dos pontos de R cujas soma das distâncias aos pontos A(1,, 1) e B(1, 4, 1) é 4. Identifique este conjunto de pontos. 5. Encontre a equação da superfície esférica que passa pelos pontos A(0, 0, 1), B(0, 1, 0) e C(1, 0, 0) e cujo centro está no plano π : + z = 0. 6. Determine a equação da superfície esférica que tem centro na reta r : e B(0, 7, 5). = z = z 1 e passa pelos pontos A(6, 1, ) 7. Considere a superfície de equação + z = k, onde k é uma constante real. Classifique as superfícies obtidas quando i. k < 0 ii. k = 0 iii. k > 0
Para k = 4 encontre e identifique as interseções da superfície dada com os planos coordenados e com os planos z = 4 e z = 4. Para k = 4 represente geometricamente a superfície dada. 8. Encontre a equação do elipsóide com centro na origem, um dos vértices em (1, 0, 0) e a interseção com o plano = 1 seja a curva + z 1 = 1. z = 9. Identifique e represente a curva: + z = 4 0. Represente a superfície cônica de vértice V (0, 0, 5) e cuja diretriz é a curva: 1. Represente a superfície cônica de vértice V (0, 0, ) e cuja diretriz é a curva: z = + z = 4 9 + 4 = 6 z = 4. Represente geometricamente, no primeiro octante, as curvas de interseção dos seguintes cilindros e parametrize-as: + 4z = 16 e + z = 6. z = e =. + = e + z = z.. Determine os três cilindros projetantes das curvas de interseção das superfícies abaio e construa, no primeiro octante (quando for possível), a curva dada pela interseção de dois dos cilindros. Caso não seja possível no primeiro, escolha outro. A seguir parametrize a curva dada pelo sistema escolhido. + + z 10 = 0 e z = 0. + + z = 1 e z = 4. + + z = e z + 1 = 0. + + z = 10 e + z = 1. + z = 4 e = z +. (f) + + z = 16 e + = 4. 4. Escreva as equações paramétricas das seguintes curvas: z = + + z = 16 + + z = = z = 1 + + z = 9 + = 4 z = z = + + = 1 5. Determine a equação cartesiana e identifique as seguintes curvas: = 4 cos(t) = 9 sin(t) z = 1 = t = 0 z = e t = sec(t) = 4 tan(t) z = 0 = 4 = t + z = t 4 6. Escreva as seguintes superfícies em coordenadas cilíndricas e esféricas: 5 + 4 = 0 + = 9 + z = 4 z = 4 + z = 0 (f) + + z = 5 7. Considere as seguintes superfícies dadas em coordenadas cilíndricas por: S 1 : z = 1 + r, S : z = r 1, S : z = 7 r.
4 Identifique estas superfícies. Represente geometricamente o sólido delimitado inferiormente por S 1, lateralmente por S e superiormente por S. 8. As superfícies S 1 : ϕ = π e S : ρ sin ϕ ρ cos ϕ = 1 estão em coordenadas esféricas. Obtenha as equações das superfícies S 1 e S em coordenadas cartesianas e identifique-as. Obtenha as equações das superfícies S 1 e S em coordenadas cilíndricas. Determine as equações paramétricas da(s) curva(s) C = S 1 S. Esboce a(s) curva(s) C obtida(s) no item. Respostas: 1.. = 4 cos(t) = 4 sin(t) = 5 cos(t) = sin(t) = t = t = 4 sec(t) = tan(t) = t = 7 t 8t 5 = 1 + cos(t) (f) = + sin(t).... 16 + 81 = 1 elipse = e eponencial ( 1) ( ) + = 1 4 9 elipse ( + 1) ( ) = 1 16 4 hipérbole (g) (h) (i) (j) (k) (l) = t = t + = 1 + 1 cos(t) = sin(t) = cos(t) = + sin(t) = cos (t) = sin (t) = + tan(t) = sec(t) = sin(θ) cos θ = sin(θ) sin θ 4 16 = 1 hipérbole (f) = 6 + 5 parábola (g) + 1 = ( ) parábola ( ) (h) ( 1) = 1 16 hipérbole
5 4.. Em cartesianas: Reta: r : = + 8 Parábola C 1 : = Parábola C : = Em cartesianas: Reta: r : = 1 Parábola C 1 : = 1 Em cartesianas: Circunferência C 1 : + = 5 Circunferência C : + = 5 Interseções em coordenadas cartesianas: C 1 e C : (f) Em paramétricas: = t r : = t + 8 = t C 1 : = t = t C : = t Em paramétricas: = t r : = 1 + t = t C 1 : = t 1 Em paramétricas: C 1 : C : = 5(1+cos t) = 5 sin t = 5 cos t = 5 (1+sin t) Interseções: r e C 1 : (, 4) t = (4, 16) t = 4 C 1 e C : ( 1, 1) t = 1 (1, 1) t = 1 Interseções: r e C 1 : (0, 1) t = 1 (, ) t = (0, 0) ( 15 4, 5 ). As interseções nas coordenadas paramétricas são apenas geométricas.
6 5. Cilindro elíptico com geratriz o eio 6. Cilindro hiperbólico com geratriz o eio z 7. Cilindro parabólico com geratriz o eio z 8. Plano paralelo ao eio z. 9. Cilindro circular com diretriz + = e geratriz o eio z 10. Cilindro com diretriz z = e e geratriz o eio 11. Esfera C(0, 0, 0) 1. Elipsóide C(0, 0, 0) 1. Cone ao longo do eio V (0, 0, 0) 14. Parabolóide circular com V (0,, 0) ao longo do eio 15. Hiperbolóide de uma folha ao longo de com C(0, 0, 0) 16. Ponto (0, 0, 0) 17. Parabolóide elíptico ao longo do eio 18. Hiperbolóide de duas folhas ao longo do eio 19. Parabolóide Hiperbólico no eio z com V (0, 0, 0) 0. Meia esfera ou calota superior da esfera C(0, 0, 1) e raio 1 1. Cone ao longo do eio z com V (0, 0, 9). Folha inferior de cone ao longo do eio z com V (0, 0, 9). k = 4 e k = 1 : hipérboles com eio real k 0 : duas retas k = 1 e k = 4 : hipérboles com eio real 4. ( 1) + ( ) 4 + (z+1) = 1 elipsóide com C(1,, 1) 5. + + z = 1 6. ( + 7) + ( + ) + (z + ) = 198 7. i. hiperbolóide de folhas em z ii. cone em z iii. hiperbolóide de 1 folha em z. hiperbolóide de 1 folha em z 8. + 4 + z 16 = 1 9. Circunferência de raio em z = 4 0. Equação do cone elíptico: 4 + 4 (z 5) = 0 1. Equação do cone elíptico: 4 + 9 (z ) = 0..
7 = 4 cos(t) z = sin(t) = sin(t) = z = t = t z z = cos(t) = 1 + sin(t) z = 1 + sin(t) z z.. C 1 : + z = 10 C : z = 10 C : + = 0
8 + z = 10 + = 0 = = 0 cos(t) 0 sin(t) z = 10 0 sin (t) C 1 : + z = 4 C : + z = 8 C : = 1 C 1 : + = 1 C : + z = 1 C : z = ± C 1 : + = C : + z = 7 C : + z = 4 C 1 : + z = 4 C : + 4z = 4 C : = 4 ou + z = 10 z = 10 (f) C 1 : + = 4 C : z + 4 = 16 C : z 4 16z + 16 = 0 = t z = 10 t = 0 t 4.. 5.. z = = 1 cos(t) = 1 sin(t) z = sin(t) = 5 cos(t) = 6 5 cos(t) 16 + 81 = 1 z = 1 z = e = 0 6.. tan θ = 5 4 tan θ = 5 4. 7.. elipse no plano z = 1 eponencial no plano z r + z = 4 ρ ( sin ϕ + cos ϕ) = 4. r = z ϕ = π 4. = cos(t) = sin(t) z = sin(t) = cos(t) = sin(t) z = cos(t) = cos(t) = sin(t) z = cos(t) + sin(t) 4 16 = 1 z = 0 z = 6+5 = 4 r = ρ sin ϕ =. z = 4 ρ cos ϕ = 4. (f) r + z = 5 ρ = 5. hipérbole no plano parábola no plano = 4 S 1 : folha positiva do cone + (z + 1) = 0 (z 1) S : parte z 0 do hiperbolóide de uma folha + z = 1 S : 7 = 7 parabolóide no eio z com concavidade voltada para baio e vértice V (0, 0, 7) 8.. S 1 : + z = 0 cone ao longo do eio z com vértice na origem S : + z = 1 hiperbolóide de 1 folha ao longo do eio z com centro na origem. S 1 : r z = 0 S : r z = 1. z = ±1 = cos(t) = sin(t) circunferências nos planos z = ±1 de raio com centro em C(0, 0, ±1)