Simulação com Modelos Teóricos de Probabilidade p. 1/21 Algumas distribuições teóricas apresentam certas características que permitem uma descrição correta de variáveis muito comuns em processos de simulação. Usando essas distribuições teóricas estaremos adicionando informações ao comportamento da variável, o que torna o modelo mais apto a prever o futuro.
p. 2/21 Distribuição Uniforme É a distribuição de uma variável aleatória X, num intervalo [a,b], cuja função densidade de probabilidade FDP é dada por: f(x) = { 0 para x < a ou x > b para a x b 1 b a A média e a variância são dadas por: µ = E(X) = a+b 2 e V(X) = (b a)2 12
p. 3/21 Função Densidade Acumulada: A função densidade acumulada FDA é dada por: 0 se x a x a F(x) = P(X x) = b a se a < x < b 1 se x b
p. 4/21 Exemplo: O departamento de montagem de uma empresa requisita caixas de parafusos para o departamento de serviços. O tempo de atendimento é de 1 a 6 horas, dependendo do acumulo do trabalho no departamento de serviços, e acredita-se que tenha uma distribuição uniforme. Se a chegada de material é verificada em hora em hora a partir da segunda hora do pedido, simular o tempo de espera para 5 pedidos.
p. 5/21 Solução: A FDA no intervalo [1.6] éf(x) = x 1 5. x = 1 F(1) = 0 x = 2 F(2) = 0,2 x = 3 F(3) = 0,4 x = 4 F(4) = 0,6 x = 5 F(5) = 0,8 x = 6 F(6) = 1
p. 6/21 Exemplo Os limites para os números aleatórios são: Tempo de FDA Limite para atendimento números aleatórios 0 1 0,00 1 2 0,20 00-19 2 3 0,40 20-39 3 4 0,60 40-59 4 5 0,80 60-79 5 6 1 80-99
p. 7/21 Exemplo Simulando os tempos de espera: Número Tempo de aleatório espera em horas 12 2 93 6 02 2 86 6 14 2
p. 8/21 Observação Podemos gerar valores sobre uma distribuição uniforme no intervalo [a,b], usando a expressão: x = a+(b a) R onde R é um número aleatório no intervalo [0,1]. Exemplo: O tempo de atendimento em uma fila se distribui uniformemente de 0,5 min a 3 min. A expressão x = 0,5+2,5 R gera para cada número aleatório R de [0,1] um tempo de atendimento nesta fila.
p. 9/21 Distribuição de Poisson A variável de Poisson descreve o número de vezes que ocorre um evento, que certamente ocorrerá muitas vezes, mas que é pouco provável que ocorra num particular instante de observação. Essa característica é típica de chegadas de fila de espera. A probabilidade de n ocorrências em um intervalo de tempo t é dada por: P(X = n) = αn e α ondeαéonúmero médio de chegadas na unidade de tempo usada para t. n!
p. 10/21 Distribuição de Poisson A média e a variância da variável de Poisson são: µ = E(X) = V(X) = α Exemplo: Em um determinado dia da semana chegam em média, a um guichê de pedágio, 1,8 carro por minuto. Admitindo que a chegada de carros ao guichê obedeça a uma distribuição de Poisson, realizar uma simulação abrangendo 10 minutos de operação do guichê.
p. 11/21 Exemplo Devemos simular o número de carros que chegam a cada minuto, durante o intervalo de 10 minutos, obedecendo a uma distribuição de Poisson ondeα = 1,8, ou seja P(X = n) = 1,8n e 1,8 O número n pode, teoricamente, assumir valores desde 0(zero) até qualquer número positivo inteiro que se queira, mas na prática existe um limite a partir do qual podemos considerar P(X = n) = 0. n!
Exemplo A tabela a seguir mostra os valores de n e as respectivas probabilidades e probabilidades acumuladas: n P(X = n) P(X n) Limites para números aleatórios 0 0,165 0,165 000-164 1 0,298 0,463 165-462 2 0,268 0,731 463-730 3 0,161 0,892 731-891 4 0,072 0,964 892-963 5 0,026 0,990 964-989 6 0,008 0,998 990-997 7 0,002 1,000 998-999 p. 12/21
p. 13/21 Exemplo Procedendo a simulação, obtemos: Número Número de carros Número Número de car aleatório chegando ao guichê aleatório chegando ao gu 294 1 177 1 079 0 258 1 904 4 112 0 977 5 037 0 766 3 314 1
p. 14/21 Distribuição Normal Uma variável tem distribuição normal se esta distribuição tiver a forma da curva de Gauss, isto é, a sua função distribuição de probabilidade for: f(x) = 1 2πσ e 1 2( x µ σ ) 2, ondeµ = média eσ 2 = variância. Conhecidas a média e a variância da variável normal X, a expressão z = x µ fornece através da tabela da σ variável normal padrão a probabilidadep(x x).
Exemplo As vendas semanais de um produto se distribuem-se normalmente com média 5 e variância 2,25. Construir um padrão de venda para as próximas 4 semanas. Solução: Seja X a variável vendas semanais. Como ela possui valores inteiros, isso pode ser contornado fazendo P(X = n) = P(X n+0,5) P(X n 0,5). Então: P(X = 0) = P(X 0,5) P(X 0,5), P(X = 1) = P(X 1,5) P(X 0,5), P(X = 2) = P(X 2,5) P(X 1,5), etc. Para usar a tabela temos Z = x 5 1,5. p. 15/21
p. 16/21 Exemplo x = 0,5 z = 3,67 P(X 0,5) = 0,000 x = 0,5 z = 3 P(X 0,5) = 0,001 x = 1,5 z = 2,33 P(X 1,5) = 0,009 x = 2,5 z = 1,67 P(X 2,5) = 0,048 Então: P(X = 0) = 0,001 0,000 = 0,001 P(X = 1) = 0,009 0,001 = 0,008 P(X = 2) = 0,048 0,009 = 0,039 etc. A probabilidade acumulada é dada portanto por P(X n+0,5).
Tabela Número P(X n+0,5) Limite paran o aleatório 0 0,001 000 1 0,009 001-008 2 0,048 009-047 3 0,159 048-158 4 0,371 159-370 5 0,629 371-628 6 0,862 629-861 7 0,953 862-952 8 0,990 953-989 9 0,999 990-998 10 1,000 999 p. 17/21
p. 18/21 Números aleatórios para 4 semanas N o aleatórios Vendas 266 4 527 5 593 5 729 6
p. 19/21 Controle de Parâmetros de Simulação Cálculo do Número de Simulações Qual o número de simulações devemos devemos efetuar para garantir o erro dentro de limites aceitáveis, com um nível de confiança desejável? Controle da Média Supondo que sejam satisfeitas as condições: A média amostral é normalmente distribuída. O tamanho da amostra é suficientemente grande, o que é usual em processos de simulação.
p. 20/21 Controle da Média Se: 1 α é o nível de confiança desejado. z α/2 é o desvio normal entre a média amostral e a verdadeira média em um nível de confiança de 1 α. θ é a diferença tolerável entre a média amostral e a verdadeira média (erro padrão de estimativa) então o mínimo de elementos da amostra (número de simulações) é dado por: n = ( zα/2 σ θ ) 2
p. 21/21 Exemplo Suponha que a média amostral de uma população com desvio padrão σ = 5, seja normalmente distribuída. Qual será o tamanho da amostra que garanta um desvio entre a média amostral e a verdadeira média de no máximo ±1, em um nível de confiança de 95%? Solução: Como α = 1 0,95 = 0,05 temos da tabela normal padrão quez α/2 = 1,96. Então n = σ2 z 2 α/2 θ 2 = 52 1,96 2 1 2 = 96,04 = 97 elementos.