EQUAÇÕES E INEQUAÇÕES DE 1º GRAU

1 EQUAÇÕES E INEQUAÇÕES DE 1º GRAU Equação do 1º grau Chamamos de equação do 1º grau em uma incógnita x, a qualquer expressão matemática que pode ser escrita sob a forma: em que a e b são números reais, com a 0. ax b 0 Determinar a solução de uma equação do 1º grau significa obter, por meio de propriedades ou processos algébricos, o valor da incógnita x que verifica a igualdade. Chamamos de solução de uma equação os valores numéricos que atribuídos às incógnitas da equação tornam a igualdade verdadeira. Assim temos que: O número 2 é solução da equação 5x 10 = 0, pois a sentença 5. 2 10 = 0 é verdadeira; O número 4 é solução da equação 5(z 1) = 2z + 7, pois a sentença 5(4 1) = 2. 4 + 7 é verdadeira. Qualquer equação do 1º grau admite uma solução única. O símbolo () serve para indicar que duas equações admitem a mesma solução e, neste caso, dizemos que essas equações são equivalentes. Veja alguns exemplos. 5x 10 = 0 5x = 10 2x + 9 = y 9 = 3y 5(z 1) = 2z + 7 3z 12 = 0 Resolução de equações de 1º grau Os processos algébricos, utilizados para a resolução de uma equação, baseiam-se nos seguintes princípios. Se adicionarmos ou subtrairmos um mesmo número aos dois membros de uma equação, obtemos outra equação equivalente. x + 3 = 8 x + 3 3 = 8 3 x + 0 = 5 x = 5

2 Se multiplicarmos ou dividirmos os dois membros da equação por um mesmo número, obtemos outra equação equivalente. 3x = 21 3x. 1 21. 1 3 3 x. 1 = 7. 1 x = 7 Problemas modelados por equações de 1º grau Para resolver problemas por meio de equações de 1º grau precisamos: ler o enunciado com muita atenção; verificar quem ou o que é a incógnita do problema, atribuindo à mesma um símbolo (x, por exemplo) escrever a equação de acordo com os dados do problema; por meio de processos algébricos resolver a equação obtida; fazer a interpretação da solução no correspondente problema; Inequações de 1º grau Para estudarmos as inequações de 1º grau, devemos antes aprimorar nossa compreensão do conceito de desigualdades numéricas designado pelo símbolo ( ), cujo significado é o oposto do símbolo (=). Assim, sendo x e y dois números quaisquer, a sentença x y informa que o número x é diferente do número y. A relação de igualdade (=) possui as propriedades reflexiva, simétrica e transitiva. reflexiva simétrica transitiva a = a a = b b = a a b a c b c A relação de desigualdade admite a propriedade simétrica: a b b a, mas não admite a propriedade reflexiva, uma vez que a a falso, nem a propriedade transitiva, pois se a b e b c, é bem possível que tenhamos a = c. Separamos as desigualdades em dois casos e usamos os símbolos (<) e (>) para representa-las. Esses novos símbolos são comumente chamados de menor que (<) e maior que (>). Eles designam, respectivamente, as relações estritas de ordem crescente e decrescente entre números reais distintos. Veja, a seguir, alguns números reais postos em ordem crescente: 1 5 3 0 1 2 2 2

3 Princípio da tricotomia Sendo x e y dois números reais quaisquer, o princípio da tricotomia nos garante que: x < y ou x = y ou x > y. As relações de ordem (<) e (>) são combinadas em uma propriedade semelhante à propriedade simétrica da igualdade, mas que é chamada de propriedade antissimétrica: a < b b > a. Assim, o princípio da tricotomia pode ser enunciado somente com os símbolos (=) e (<) da seguinte maneira: x < y ou x = y ou y < x. Além disso, as relações de ordem (<) e (>) são transitivas, pois se a < b e b < c, então temos que a < c, e se a > b e b > c, temos que a > c. Mas não são reflexivas, pois tanto a < a quanto a > a são sentenças falsas. A negação dessas relações são indicadas pelos símbolos mistos ( ) e ( ) que combinam a relação de igualdade com uma das relações de ordem. Relação > maior que Negação menor ou igual que < menor que maior ou igual que Devemos nos atentar para o fato de que sendo x um número real ou racional, uma sentença como, por exemplo, x < 4 não significa x 3. Isso só é verdade no universo dos números inteiros e naturais, pois existem números racionais como 4,57 ou irracionais como a 10, que mesmo sendo menores que o número 4, são ambos maiores que 3. Então devemos saber o que representa a variável x em cada problema. Afinal, se x representa um número de pessoas, temos que x < 4 significa x 3, mas se x representa o preço de um produto ou o lado de um triângulo, então x < 4 e x 3 possuem significados diferentes. Resolução de inequações de 1º grau Os processos algébricos utilizados para a resolução de inequações de 1º grau são os mesmos utilizados para a resolução de equações de 1º grau. No entanto, devemos estar atentos a uma questão: quando multiplicamos uma desigualdade que envolve (>) ou (<) por (1), devemos substituir o símbolo (>) por (<) e o símbolo (<) por (>) para manter o status de verdadeira dessa sentença. Sabemos que 5 > 3. Ao multiplicarmos ambos os membros dessa desigualdade por (1), obtemos 5. (1) > 3. (1), que, sem substituir o símbolo (>) por (<) ficaria, 5 > 3, que não é uma sentença verdadeira. Substituindo o símbolo (>) por (<), a nova desigualdade 5 < 3 é equivalente a primeira 5 > 3.

4 Exercícios resolvidos 1. Qual é a solução da equação 5(x + 3) 2(x 1) = 20? 5(x 3) 2(x 1) 20 5x 15 2x 2 20 3x 17 20 3x 20 17 3x 3 x 1 2. O conjunto solução da equação x 2 2 x em R é: a) S = {1} b) S = {2} c) S = {2} d) S = x 2 2 x x 2 2x x 2x 2 x 2 x 2 3. Resolva as seguintes inequações de 1º grau. a) b) 3x 2x 5 5 3x 2x 5 5 9x 4x 10 6 5x 60 x 12 13x x 1 x 1 3(1 3x) 6x 2(x 1) 6 6 6 3 9x 6x 2x 2 6 315x 2x 8 15x 2x 8 3 17x 11 (-1) 17x 11 11 x 17

5 4. Determine os valores de a para os quais a equação ax + 1 = 2x + 7 possui solução. a) a 1 b) a 2 c) a 3 d) a 1 e) a 2 ax 2x 6 x(a 2) 6 6 x a 2 a2 0 a 2 5. Leia a seguinte descrição de uma sequência de cálculos sobre um número. pensei em um número; subtraí 4 desse número; dividi o resultado por 5; multipliquei o novo resultado por 8 e encontrei 40. Em que número pensei? Seja x o número pensado. Subtrai 4 desse número: x 4 Dividi o resultado por 5: x 4 5 Multiplique o novo resultado por 8 e encontrei 40: x 4 x 4 8. 40 5 x 4 25 x 29 5 5 6. Suponha que para calcular a nota final de uma prova com 30 questões fossem contabilizados quatro pontos a cada questão que o aluno acertasse e, menos um ponto, a cada questão que o alunos errasse. De acordo com essa hipótese caso um participante responda todas as questões e obtenha 60 pontos, quantas questões ele acertou? 4x (30 x) = 60 4x + x = 60 + 30 5x = 90 x = 18

6 Exercícios Propostos 1. Qual é a solução da equação 4x 1 12x? 3. Resolva as seguintes inequações de 1º grau. a) x x 1 3 2 2 b) x x 1 x x 6 2. A solução da equação 2(x + 1) = 3(2 x) é um número racional: a) menor que 1 b) compreendido entre 1 e 0 c) compreendido entre 0 e 1 d) maior que 1 c) 5x 4x 4 x x 6 x 2

7 4. Diminuindo-se 6 anos da idade de minha filha obtém-se os 3 de sua idade. Qual é a 5 idade de minha filha? 6. Em uma caixa há bolas brancas e pretas em um total de 360. Se o número de brancas é o quádruplo do de pretas, qual é o número de bolas brancas? 5. Um aluno recebe 3 pontos por problema que acerta e perde 2 pontos por problema que erra. Fez 50 problemas e obteve 85 pontos. Quantos problemas ele acertou? 7. José gastou tudo o que tinha no bolso em três lojas. Em cada uma gastou 1 (um) real a mais do que a metade do que tinha ao entrar. Quanto tinha José quando entrou na primeira loja? Gabarito 1 4 5 6 7 5/16 c a)x 4 b) R c) 15 37 288 14