Cap. 8.- Derivação Numérica 8.1. Introdução Praticamente todos os modelos matemáticos dos problemas de engenharia podem ser escritos no formato de equações diferenciais ordinárias ou parciais. A solução deste modelos pode ser analítica ou numérica. Solução fechada! e. Movimento uniforme Solução numérica! e. Decolagem, vôo e pouso de um avião A solução analítica é chamada de solução fechada e para ser possível eige uma série de suposições e restrições. A solução numérica é usada onde a solução analítica não é possível devido a compleidade das condições de contorno impostas e a própria não linearidade das equações descritivas do problema. A qualidade da solução é determina da pelo tempo disponível para a simulação que limita a compleidade do modelo a ser resolvido. 8.2. Derivação Numérica por Polinômios A derivada de uma função contínua pode ser aproimada através da aproimação da função por um polinômio interpolador. df dp n Y P n () O processo de derivação é intrinsecamente impreciso. X Seja o polinômio interpolador: Determinado por: f P n a o a 1 a 2 2 a) Interpolação,ou seja, o polinômio passa por todos os pontos dados da função (e: spline); b) Ajuste de um polinômio como menor afastamento dos pontos dados da função (e: método dos mínimos quadrados). José Eduardo Mautone Barros 08/03/07 1/5
8.2. Derivação Numérica por Polinômios (cont.) Para encontrar as derivadas temos, f ' dp n f ' dp n a 1 2a 2 3a 3 2 f ' ' d 2 P n 2a 2 2 6a 3 Eemplo = 1/ f'() = -1/ 2 f''() = 2/ 3 Calcular a derivada primeira e a segunda para a função = 1/ no ponto = 3,5 conhecendo-se 3 pontos da função. 3,4 0,294118 3,5 0,285714 3,6 0,277778 Ajustando um polinômio de segunda ordem, temos A solução do sistema é, 0,294118a3,4 b3,4 2 c 0,285714a3,5 b3,5 2 c 0,277778a3,6 b3,6 2 c Para = 3,5 P 2 0,8583140,245500 0,023400 2 P 2 3,50,8583140,2455003,50,0234003,5 2 0,285714 P 2 ' 3,5 0,24550020,0234003,50,081700 P 2 ' ' 3,520,0234000,046800 f ' 3,50,081633 f ' ' 3,50,046647 Erro f ' 3,5P 2 ' 3,5 0,000067 Erro f ' ' 3,5P 2 '' 3,5 0,000153 José Eduardo Mautone Barros 08/03/07 2/5
8.3. Derivação Numérica pela Série de Taylor Y -2 +1-1 +2-2 -1 +1 +2 X Série de Brook Taylor, 1715 1 h Considerando pontos igualmente espaçados, com um passo h, e epandindo em série de Taylor ao redor dos pontos +1 e +2, temos, 1 h ' h2 2! ' ' 2 2h 2 2h ' 2h2 2! ' ' Trucando as séries no terceiro termo e multiplicando a primeira equação por -4 e somando a segunda temos, ou, 41 2 3 2h ' direita! (forward) ' 1 2h 341 2 Do mesmo modo considerando os pontos -1 e -2, temos, esquerda! (backward) ' 1 2h 2 41 3 Do mesmo modo considerando os pontos -1 e +1, temos, Derivada numérica centrada! (central) ' 1 2h 1 1 José Eduardo Mautone Barros 08/03/07 3/5
8.3. Derivação Numérica pela Série de Taylor (cont.) Eemplo: = e -2 f'() = e -2 f(2) = e 0 = 1 Calcular a derivada primeira para a função = e -2 no ponto = 2 conhecendo-se os seguintes pontos da função. 1,8 0,8187308 1,9 0,9048374 2 1 2,1 1,1051709 2,2 1,2214027 Forward 20,1 3141,105170111,22140270,9964045 Backward 20,1 10,818730840,9048374310,9969058 Centrada 20,1 10,904837411,10517011,0016675 8.4. Representação de Derivadas Numéricas usando Estênceis Estêncil Nomenclatura direita! É comum usar tabelas para apresentar as diversas formas de avaliação de derivadas. Al-Khafaji e Tooley, 1986, apresentam 6 tabelas para o cálculo de integrais de primeira, segunda e terceira ordens com diferentes estênceis. Estêncil é o nome dado ao conjunto de pontos dados da função para a avaliação da derivada no ponto i. Um maior número de pontos utilizados leva a resultados mais precisos. f 1 1 3 4 1 Oh2 2h Os números dentro dos parênteses angulados (ou círculos como usado no livro) indicam os multiplicadores dos valores dados da função a derivar. O parêntese angulado duplo indica o ponto i e sua posição relativa indica se os outros pontos estão a sua direita ou a sua esquerda. José Eduardo Mautone Barros 08/03/07 4/5
Métodos Numéricos Aplicados à Engenharia Mecânica - EMA-084N 8.4. Representação de Derivadas Numéricas usando Estênceis (cont.) Referências José Eduardo Mautone Barros Cap. 10 do livro de Al-Khafaji e Tooley Cap. 5 do livro de Hoffman 08/03/07 5/5