Universidade Federal do Rio de Janeiro Instituto de Matemática Departamento de Matemática Lista de Cálculo II- Funções de Várias Variáveis (*) livro Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis, de Diomara e Cândida Parte I Exercícios sobre domínio, imagem, gráfico, curvas de nível e mapa de contorno de funções de duas variáveis e domínio, imagem, superfícies de nível e mapa de contorno de funções de três variáveis: 1. Seja f(x, y) = ln(x + y 1). Calcule f(1, 1) e f(e, 1). Determine algebricamente e geometricamente o domínio e a imagem de f. 2. Seja f(x, y, z) = e z x 2 y 2. Calcule f(2, 1, 6). Determine algebricamente e geometricamente o domínio e a imagem de f. 3. Determine algebricamente e geometricamente o domínio de cada função: (a) f(x, y) = y x 2 y x ln(y + x) (b) f(x, y) =. 1 x 2 4. Esboce o gráfico de cada função, utilizando traços e seções: (a) f(x, y) = 3 (b) f(x, y) = 1 x 2 (c) f(x, y) = 3 x 2 y 2 (d) f(x, y) = x 2 + y 2. 5. Faça o mapa de contorno de cada funçào abaixo, mostrando várias curvas de nível: (a) f(x, y) = xy (b) f(x, y) = x 2 y 2 (c) f(x, y) = x + y (d) f(x, y) = y ln(x). 6. Uma chapa fina de metal, localizada no plano xy, tem temperatura T (x, y). As curvas de nível de T são chamadas isotérmicas, porque todos os pontos em uma isotérmica têm a mesma temperatura. Faça o esboço de algumas isotérmicas se T (x, y) = 100 1+x 2 +2y 2. 7. Descreva algebricamente e geometricamente as superfícies de nível e faça o mapa de contorno: (a) f(x, y, z) = x 2 + 3y 2 + 5z 2 (b) f(x, y, z) = x 2 y 2 + z 2. 8. Exercícios 1 a 6, 8 a 12 da seção 3.2. do livro (*). Parte II Exercícios sobre limite e continuidade de funções de 2 e 3 variáveis: 1. Exercícios 1,2 e 4 (existência), 3 (não existência) da seção 3.4 do livro (*). 2. Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe, nos casos abaixo: (a) lim (x,y) (5, 2) (x 5 + 4x 3 y 5y 2 ) (b) lim (x,y) (0,0) x 2 x 2 +y 2 (c) lim (x,y) (0,0) x 2 + sen 2 y 2x 2 +y 2 (d) lim (x,y) (0,0) xy cos y 3x 2 +y 2 (e) lim (x,y) (0,0) x 2 sen 2 y x 2 +2y 2 (f) lim (x,y,z) (3,0,1) e xy sen πxz xy+yz 2 (g) lim 2 +xz 2 (x,y,z) (0,0,0). x 2 +y 2 +z 4 3. Determine h(x, y) = g(f(x, y)) e o conjunto onde h é contínua: (a) g(t) = t 2 + t e f(x, y) = 2x + 3y 6 (b) g(t) = t 1 t+1, f(x, y) = x 2 y. 4. Determine o maior conjunto onde a funçào é contínua: (a) f(x, y) = x y (b) f(x, y) = e x2y + x + y 1+x 2 +y 2 (c) f(x, y, z) = x + y + z. 2 Parte III Exercícios sobre derivadas parciais de funções de 2 e 3 variáveis e reta tangente: 1. Se f(x, y) = 16 4x 2 y 2, determine f x (1, 2) e f y (1, 2) e interprete geometricamente.
2. Determine as derivadas parciais de primeira ordem das funções abaixo: (a) f(x, y) = x y x+y (b) f(s, t) = st2 (c) f(x, y, z) = xy 2 z 3 + 3yz s 2 +t 2 (d) w = ln(x + 2y + 3z) (e) f(x, y, z, t) = xy2 t+2z. 3. Use diferenciação implícita para calcular z x e z (a) x 2 + y 2 + z 2 = 3xyz (b) yz = ln(x + z). 60 4. A temperatura no ponto (x, y) de uma placa plana de metal é T (x, y) =, com a 1+x 2 +y 2 temperatura medida em graus Celsius e x e y em metros. Determine a taxa de variaçào da temperatura com relação à distância no ponto (2, 1): (a) na direção do eixo x positivo (b) na direçào do eixo y positivo. 5. Exercícios 1 a 7, e 9(a) seção 3.6 do livro (*). Parte IV Exercícios sobre diferenciabilidade: 1. Exercícios 8 e 9(b) a (d), seção 3.6 do livro (*). Parte V Exercícios sobre plano tangente a superfícies que são gráficos de funções de duas variáveis: 1. Determine equaçào cartesiana do plano tangente à superfície gráfico da função z = f(x, y), no ponto indicado: (a) z = 4 x 2 2y 2, P 0 (1, 1, 1) (b) z = y ln(x), P 0 (1, 4, 0) (c) z = e x2 y 2, P 0 (1, 1, 1). 2. Exercícios 10 a 15, seção 3.6 do livro (*). Parte VI Exercícios sobre regra da cadeia para funções de várias variáveis: 1. Use a regra da cadeia para determinar dz dw ou : (a) z = x 2 + xy 2, x = 2 + t 4, y = 1 t 3 (b) w = xe y z, x = t 2, y = 1 t, z = 1 + 2t. 2. Use a regra da cadeia para determinar z s e z t, se z = er cos θ, sendo r = st e θ = s 2 + t 2. 3. Se z = f(x, y), f diferenciável, x = g(t), y = h(t), g(3) = 2, g (3) = 5, h(3) = 7, h (3) = 4, f x (2, 7) = 6, f y (2, 7) = 8, determine dz quando t = 3. 4. Seja T (x, y) a temperatura no ponto (x, y) de uma placa plana, medida em graus Celsius. Um inseto rasteja sobre a placa, de modo que sua posição depois de t segundos é x = 1 + t, y = 2 + 1 3 t, com x, y em centímetros. Se T x(2, 3) = 4 e T y (2, 3) = 3, determine quão rápido a temperatura aumenta no caminho do inseto depois de 3s. 5. O raio r de um cone circular reto aumenta a uma taxa de 1.8 pol/s, enquanto a altura h decresce ã taxa de 2.5 pol/s. Sabendo-se que o volume deste cone é V = 1 3 πr2 h, a que taxa o volume muda quando o raio mede 120 polegadas e a altura mede 140 polegadas? O volume está crescendo ou decrescendo? 6. A voltagem V em um circuito elétrico simples é dada por V = RI (Lei de Ohm), onde R é a resistência e I a corrente. Sabe-se que a voltagem decresce devagar à medida que a bateria se descarrega. A resistência está aumentando devagar com o aumento de calor do resistor. Determine como a corrente está variando no momento em que R = 400 ohms, I = 0.08 amperes, dv dr = 0.01 volts/seg e = +0.03 ohms/seg. 7. Um carro A viaja para norte na rodovia RJ16 e outro carro B viaja para oeste na rodovia RJ40. Os dois carros se aproximam do ponto de interseção destas rodovias. Em um certo momento, o carro A está a 0.3 km da interseção, viajando a 90km/h, enquanto o carro B está a 0.4 km da interseção, viajando a 80km/h. Qual a taxa de variação da distância entre os carros, neste momento? y :
8. Suponha f diferenciável, função de x e y. (a) g(u, v) = f(e u + sen v, e u + cos v). Use a tabela abaixo para calcular g u (0, 0) e g v (0, 0) (b) g(r, s) = f(2r s, s 2 4r). Use a tabela abaixo para calcular g r (1, 2) e g s (1, 2). f g f x f y (0,0) 3 6 4 8 (1,2) 6 3 2 5 9. Exercícios 1 a 8, seção 3.8 do livro (*). Parte VII Exercício sobre diferenciabilidade e regra da cadeia: 1. Exercício 9, seção 3.8 do livro (*). Parte VIII Exercícios sobre plano tangente e reta normal a superfícies: 1. Determine equaçào do plano tangente e equações da reta normal à superfície dada no ponto indicado: (a) x 2 + 2y 2 + 3z 2 = 21, (4, 1, 1) (b) x 2 2y 2 + z 2 + yz = 2, (2, 1, 1) (c) yz = ln(x + z), (0, 0, 1). 2. Seja S a superfície com equação cartesiana 3x 2 y 2 z 4 zx + 2xy = 4. Determine: (a) equação cartesiana do plano tangente a S em Q 0 (1, 1, 1); (b) se a reta normal a S em Q 0 intercepta a reta imagem da função vetorial σ 1 (s) = (1 + s, 2 + s, 2 + 2s) e, em caso afirmativo, encontre o ponto de interseção. 3. Se f(x, y) = x 2 + 4y 2, determine o vetor gradiente de f no ponto (2, 1) e use-o para determinear a reta tangente à curva de nível da função f(x, y) = 8, no ponto (2, 1). Esboce a curva de nível, a reta tangente e o vetor gradiente. 4. Determine os pontos sobre o hiperboloide x 2 y 2 + 2z 2 = 1 onde a reta normal é paralela à reta que une os pontos (3, 1, 0) e (5, 3, 6). 5. Exercícios 10 a 17, seção 3.8 do livro (*). Parte IX Exercícios sobre derivada direcional e taxas de variação: 1. Exercícios 1 a 4, 7 a 12 da seção 3.10 do livro (*). 2. Determine a derivada direcional de f no ponto dado e na direção (e sentido ) do ângulo θ: (a) f(x, y) = x 2 y 3 y 4, P 0 (2, 1), θ = π/4 (b) f(x, y) = 5x 4y, P 0 (4, 1), θ = π/6. 3. Para as funções abaixo determine o gradiente de f no ponto P 0 e a taxa de variação de f em P 0 na direção e sentido do vetor v: (a) f(x, y) = y ln(x), P 0 (1, 3), v = ( 4 5, 3 5 ). (b) f(x, y, z) = x + yz, P 0 (1, 3, 1), v = ( 2 7, 3 7, 6 7 ). (c) f(x, y) = e r sen θ, P 0 (0, π 3 ), v = 3 i 2 j. (d) f(x, y, z) = x y+z, P 0(4, 1, 1), v = (1, 2, 3). 4. Determine a taxa de variação máxima de f no ponto P 0 e a direçào/sentido em que isso ocorre: (a) f(x, y) = y2 x, P 0(2, 4) (b) f(x, y, z) = ln(xy 2 z 3 ), P 0 (1, 2, 3). 5. Determine as direções/sentidos em que a derivada direcional de f(x, y) = x 2 + sen (xy) no ponto P 0 (1, 0) tem valor 1. 6. Determine todos os pontos nos quais a direçào de maior variação da função f(x, y) = x 2 + y 2 2x 4y é i + j.
7. Nas proximidades de uma bóia, a profundidade de um lago em um ponto com coordenadas (x, y) é de z = 200+0.02 x 2 0.001 y 3, onde x, y, z são medidos em metros. Um pescador que está em um pequeno bote, parte do ponto (80, 60) em direçào à bóia, que está localizada no ponto (0, 0). A água sob o bote está ficando mais profunda ou mais rasa quando o pescador começa a se mover? 8. Um alpinista se encontra no ponto Q 0 (4, 3, 600) de uma montanha, que tem a forma de uma superfície S cuja equação cartesiana é z = 100 324 9x 2 16y 2. Determine: (a) um esboço justificado de S; (b) um mapa de contorno de z = h(x, y), onde z é a altura da montanha; (c) a equação cartesiana e equações paramétricas da curva de nível C, de h, que passa em P 0 (4, 3); (d) equações paramétricas da reta tangente à curva C no ponto P 0 ; (e) um vetor normal à curva de nível obtida no item (c), no ponto P 0 ; (f) um vetor normal a S em Q 0, equação cartesiana do plano tangente a S em Q 0, equaçòes paramétricas da reta normal a S em Q 0 ; (g) em qual direção, e com qual taxa de variação da altura, o alpinista deve escalar, para subir mais rápido a montanha? E se for para descer mais rápido? (h)em que direção o alpinista deve ir para não mudar a altura? (i) supondo x = x(r, s) e y = y(r, s), com x(0, 1) = 4 e y(0, 1) = 3, determine a expressão de h r (0, 1) e h s (0, 1). Parte X Exercícios sobre derivada direcional e diferenciabilidade: 1. Exercícios 5, 6 da seção 3.10 do livro (*). Parte XI Exercícios sobre derivadas parciais de ordem superior: 1. Determine derivadas parciais de segunda ordem para as funções: (a) f(x, y) = x 4 3x 2 y 3 (b) z = x x+y. 2. Verifique se a conclusão do Teorema de Clairault é verdadeira, isto é, se u xy = u yx, nos casos: (a) u = x sen (x + 2y) (b) u = ln( x 2 + y 2 ). 3. Exercícios 1 a 10 (todos) da seção 3.12 do livro (*). Parte XII Exercícios sobre pontos críticos e máximos/mínimos relativos de funções de 2 variáveis: 1. Determine os pontos críticos e analise, classificando-os como máximos locais, mínimos locais ou pontos de sela: (a) f(x, y) = 9 2x + 4y x 2 4y 2 (b) f(x, y) = (1 + xy)(x + y) (c) f(x, y) = x 2 + y 2 + 1 x 2 y 2. 2. Exercícios 1 e 2 da seçào 4.2 do livro (*). Parte XIII Exercícios sobre máximos/mínimos absolutos de funções de duas variáveis (transformar a função numa função de 1 variável): 1. Determine os valores máximo/mínimo absolutos de f na região D, e todos os pontos onde ocorrem: (a) f(x, y) = xy 2, D = {(x, y) IR 2, x 0, y 0, x 2 + y 2 3} (b) f(x, y) = 4x + 6y x 2 y 2, D = {(x, y) IR 2, 0 x 4, 0 y 5}. 2. Exercícios 3 (a) e 3(c),5,6 da seção 4.2 do livro (*). Parte XIV Exercícios sobre método dos multiplicadores de Lagrange com função de duas variáveis e uma restrição:
1. Seja T (x, y) = (x 2) 2 y + y 2 y a temperatura nos pontos de uma placa Ω. Determine os pontos de máximo/mínimo absolutos de T na placa Ω, e as temperaturas máxima e mínima na placa, nos seguintes casos: (a) Ω = {(x, y) IR 2, (x 2) 2 + y 2 1 2 }; (b) Ω = {(x, y) IR 2, (x 2) 2 + y 2 1}; (c) Ω = {(x, y) IR 2, (x 2) 2 + y 2 2}. 2. Determine máx/mini absolutos de f na região D: (a) f(x, y) = 2x 2 + 3y 2 4x 5, D = {(x, y), x 2 + y 2 16} (b) f(x, y) = e xy, D = {(x, y), x 2 + 4y 2 1}. (c) f(x, y) = x 2 y, na curva x 2 + 2y 2 = 6. 3. Exercícios 1 a 3, 6 da seção 4.4 do livro (*) e exercício 3(b) seção 4.2 do livro (*). Parte XV Exercícios sobre método dos multiplicadores de Lagrange com função de três variáveis e uma restrição 1. Determine máx/min absolutos de f, na região indicada: (a) f(x, y, z) = x 4 + y 4 + z 4, na superfície x 2 + y 2 + z 2 = 1. (b) f(x, y, z) = x 4 + y 4 + z 4, na região D = {(x, y, z), x 2 + y 2 + z 2 1}. 2. Exercícios 8 a 12 da seção 4.4 do livro (*). Parte XVI Exercícios sobre método dos multiplicadores de Lagrange com função de três variáveis e duas restrições: 1. Determine max/min absolutos de f, na curva indicada. (a) f(x, y, z) = 3x y 3z, na curva interseção das superfícies x + y z = 0 e x 2 + 2z 2 = 1. (b) f(x, y, z) = yz + xy, na curva interseçào das superfícies xy = 1 e y 2 + z 2 = 1. 2. Exercícios 13 a 15 da seção 4.4 do livro (*). 3. Seja C = S 1 S 2 curva onde as superfícies S 1 tem equação x 2 + y 2 = 25 e S 2 tem equação x + y + z = 1. Determine: (a) os pontos de C mais próximos e os mais distantes da origem e a distância deles à origem; (b) os pontos de C mais próximos e os mais distantes do plano xy e a distância deles ao plano xy; (c) os pontos de C que maximizam/minimizam a função f(x, y, z) = x 2 + y 2 + 2z, e o valor de f nestes pontos.