CÁLCULO I Prof Marcos Diniz Prof André Almeida Prof Edilson Neri Júnior Prof Emerson Veiga Prof Tiago Coelho Aula n o 6: Aproimações Lineares e Diferenciais Regra de L'Hôspital Objetivos da Aula Denir e calcular a aproimação linear de uma função derivável; Conhecer e determinar a diferencial; Apresentar e aplicar a Regra de L'Hôspital Aproimações Lineares Considere uma curva derivável f() e um ponto (p, f(p)) sobre ela Em seguida, considere a reta tangente ao gráco de f no ponto (p, f(p)) (veja a gura abaio), que possui equação L() = f(p) + f (p)( p) Figura : Gráco de uma função f Se dermos um "zoom"na região próima do ponto (p, f(p)), notamos que a curva se aproima bastante da reta tangente, como podemos observar abaio: Figura : Zoom no gráco da função f Figura 3: Zoom no gráco da função f
Dizemos então que a reta tangente é uma boa aproimação para o gráco de f (de fato, num certo sentido, dizemos que a função L é a função polinomial de primeiro grau que melhor aproima, localmente, a função f ) Denotamos esta aproimação por f() L(), para sucientemente próimos de p Assim, f() f(p) + f (p)( p) Essa aproimação é chamada de aproimação linear de f em torno de p A função dada por é chamada de linearização de f em p L() = f(p) + f (p)( p) Eemplo Considere f() = sen Determine a linearização de f em p = Utilize essa linearização para determinar uma aproimação de sen(,) Utilize uma calculadora para determinar o erro cometido Note que f () = cos e que f() = e f () = Sendo assim, a linearização desejada é L() = f() + f ()( ) = + ( ) = Assim, para determinar uma aproimação para sen(,), basta lembrar que L() f() como L(,) =,, temos que sen(,), Sendo assim, Utilizando uma calculadora, obtemos que sen(,),,66583 Desse modo, o erro obtido na aproimação é de,6% Eemplo Na física, costuma-se trabalhar com aproimações lineares como a do eemplo anterior Quando deduzimos a fórmula para o período de um pêndulo, encontramos a seguinte equação para a aceleração tangencial a T = g sen θ Sendo que em geral, utilizamos a aproimação linear acima e denimos que sempre que θ assume valores pequenos (próimos de zero), obtemos a T = gθ Eemplo 3 Encontre a linearização de f() = 5 em p = Note que f () = 5 e que f() = = 8 Logo, L() = 8 + 5( ) = 5 Observação Quando se trata de uma função am (polinomial de grau ), a linearização coincide com a própria função Observação Em geral, quando fazemos aproimações, cometemos algum tipo de erro, sendo importante sua determinação (ou ao menos saber estimá-lo!) No caso de aproimarmos uma função pela sua linearização, f() L() o erro cometido em é dado por f() L() Eemplo 4 Encontre a aproimação linear da função g() = 3 + em torno de = e use-a para aproimar os números 3,95 e 3, Prof Marcos Diniz Prof André Almeida Prof Edilson Neri Júnior Prof Emerson Veiga Prof Tiago Coelho
Primeiramente, precisamos determinar a linearização de g() Sendo assim, note que g () = 3 3 ( + ) Logo, g () = e como g() =, temos que 3 L() = + 3 ( ) = + 3 Assim, para valores de próimos de =, a aproimação linear é dada por Logo, e 3 + + 3 3,95 = 3,5 L(,5) =,5 =,95,983333 3 3 3, = 3 +, L(,) = + 3 = 3 3,33333 Utilizando uma calculadora, podemos determinar o erro cometido nas aproimações acima Dessa forma, observe que e f(,5) L(,5) = 3,95 L(,5),98347,983333,86 f(,) L(,) = 3, L(),38,33333,53 Eemplo 5 Encontre a linearização da função f() = em p = 7 correspondente Determine a aproimação linear Note que a derivada de f() é dada por f () = Sendo assim, f(7) = 4 e f (7) = 98 Portanto, L() = f(7) + f (7)( 7) = 4 98 ( 7) = 7 98 A aproimação linear correspondente é dada por 7 98 para valores de próimos a 7 Diferencial dy Durante nosso estudo, destacamos que dy d faremos a seguir é interpretar como um quociente entre dois acréscimos d representa apenas uma notação para a derivada O que Consideremos o gráco de uma função derivável y = f() Agora, tomemos um ponto (, f()) sobre o gráco e denotemos por um acréscimo em, como mostrado abaio: Prof Marcos Diniz Prof André Almeida Prof Edilson Neri Júnior Prof Emerson Veiga Prof Tiago Coelho 3
Figura 4: Chamando dy a variação sofrida pela linearização L de f em p (cujo gráco é a reta tangente ao gráco de f em p!), correspondente ao acréscimo d =, a partir do ponto p, como ilustrado abaio Figura 5: Lembrando que a derivada é o coeciente angular da reta tangente, temos que e portanto Fazendo = d, obtemos que dy = f ()d f () = tg α = dy dy = f () () ou simplesmente Na aula de número, eibimos a variação em y como sendo y = f( + ) f() dy d = f () () Prof Marcos Diniz Prof André Almeida Prof Edilson Neri Júnior Prof Emerson Veiga Prof Tiago Coelho 4
e que a taa de variação média da função f é dada por y Como a taa de variação instantânea de f em relação a é dada pelo ite da taa média de variação, tomando cada vez mais próimo de zero e que este ite é a derivada, teremos que y = f () Logo, para muito próimo de zero, podemos considerar y f () ou ainda y f () Dessa forma, para = d, obtemos a seguinte aproimação: y dy = f ()d (3) Segue então que dy é uma boa aproimação para y sempre que for muito pequeno Fiando, podemos entender () como uma função que associa cada valor de d R a um único dy R dado por dy = f ()d Essa função é chamada diferencial de f em ou de y = f() Vejamos alguns eemplos da utilização da diferencial Eemplo 6 Compare os valores de y e dy se y = f() = 3 + + e varia de para, 5 Calculando y Precisamos determinar f() e f(, 5) Sendo assim, f() = 3 + + = 8 + 4 4 + = 9 e Logo, f(, 5) = (, 5) 3 + (, 5) (, 5) + = 9, 7765 y = f(, 5) f() =, 7765 Agora, faremos o cálculo de dy Para isso, note que d =, 5 =, 5 Logo, como f () = 3 +, temos que dy = f ()d = (3 + )d Em particular, para = e d =, 5, obtemos que dy = f ()d = (3 + ),5 = 4,5 =,7 Eemplo 7 A aresta de um cubo tem cm, com um possível erro de medida de, cm Use a diferencial para estimar o erro máimo possível no cálculo do volume do cubo Observação 3 Denimos o erro absoluto cometido em uma medição como sendo Valor Real Valor Medido ou aproimado E o erro relativo é dado por Valor Real Valor Medido ou aproimado Valor Medido ou aproimado Se a medição de tais valores é dada por uma função y = f(), então o erro absoluto é dado por y Prof Marcos Diniz Prof André Almeida Prof Edilson Neri Júnior Prof Emerson Veiga Prof Tiago Coelho 5
O volume de um cubo de aresta é dado por V = 3 O erro absoluto cometido no cálculo do volume do cubo é dado por V e o erro cometido na medição da aresta é d =, utilizando a aproimação V dv, temos que uma aproimação para o valor de V é: dv = V ()d = 3, = 3 Então, o erro máimo no cálculo do volume é de 3cm 3 O erro relativo é dado por ε = 3 V () = 3 =,3 Dessa forma, Logo o erro cometido é de 3% Eemplo 8 Utilizando a diferencial, calcule um valor aproimado para o acréscimo y que a função y = sofre quando passa de = a =, Calcule o erro cometido na aproimação A diferencial de y é dada por dy = f ()d = d Em =, temos que dy = d Como d =,, então dy =, O erro que se comete na aproimação y dy é dado por y dy Como y = (, ) =,, então o erro cometido na aproimação é dado por,, =, = 6 3 Regra de l'hôspital A regra de l'hôspital, que enunciaremos a seguir, aplica-se a cálculos de ites que apresentam indeterminações do tipo e Teorema (Regra de l'hôspital) Suponha que f e g sejam deriváveis e g () em um intervalo aberto I que contém a (eceto possivelmente em a) Suponha que: a f() = e g() = a ou que Então f() = ± e a g() = ± a f() a g() = f () a g () se o ite do lado direito eistir (ou for + ou ) Em outras palavras: A Regra de l'hôspital diz que o ite de uma função quociente é igual ao ite dos quocientes de suas derivadas, desde que as condições dadas sejam satisfeitas É muito importante vericar as condições relativas aos ites de f e g antes de usar a Regra de l'hospital Observação 4 A Regra de l'hôspital é válida também para os ites laterais e para os ites no innito Eemplo 9 Calcule 3 8 Prof Marcos Diniz Prof André Almeida Prof Edilson Neri Júnior Prof Emerson Veiga Prof Tiago Coelho 6
Note que 3 8 = [ ] 3 8 = 3 = Eemplo Calcule Note que 5 6 3 + 8 3 4 5 6 3 + 8 3 4 = 5 6 3 + 8 3 ( 5 6 3 + 8 3) 5 4 8 + 8 4 = ( 4 ) = 4 3 = 5 4 [ ] Eemplo Calcule Note que sen(a) sen(a) = [ ] sen(a) a cos(a) = = a Observação 5 Algumas vezes é necessário aplicarmos várias vezes a Regra até einarmos a indeterminação, como no eemplo a seguir Eemplo Calcule Veja que 4 3 3 + 5 3 3 + 3 4 3 3 + 5 3 3 = + 3 [ ] 4 3 3 + 5 4 3 3 6 + 5 3 3 = + 3 3 = 6 + 3 Aplicando novamente a Regra de l'hôspital no resultado anterior, temos: 4 3 3 6 + 5 6 6 3 = = 6 + 3 6 6 Aplicando mais uma vez a Regra de l'hôspital no resultado anterior, temos: [ ] [ ] 6 6 4 6 = = 8 6 6 6 6 = 3 Prof Marcos Diniz Prof André Almeida Prof Edilson Neri Júnior Prof Emerson Veiga Prof Tiago Coelho 7
Eemplo 3 Calcule tg() 3 Como tg() = e 3 =, temos que: Aplicando a Regra de l'hôspital, temos que: tg() 3 = [ ] tg() sec () 3 = 3 = Aplicando a Regra de l'hôspital no resultado anterior, temos: [ ] sec () sec () tg() () tg() 3 = = 6 3 sec = [ ] ( () tg() sec 4 3 sec = 3 () + sec () tg () ) = 3 Observação 6 É importante vericar se o quociente de fato tem a forma ou regra, para não incorrermos em erro antes de aplicarmos a Eemplo 4 Calcule Temos que: Portanto, não há indeterminação Eemplo 5 Calcule π π cos() cos() = = ( ) Veja que: ( ) = [ ] e portanto nada podemos armar inicialmente Observe, no entanto, que ( ) [ ] = = Aplicando então a Regra de l'hôspital, temos cos() = + cos() = Aplicando então novamente a Regra de l'hôspital, obtemos [ ] cos() + cos() = cos() + cos() = = Prof Marcos Diniz Prof André Almeida Prof Edilson Neri Júnior Prof Emerson Veiga Prof Tiago Coelho 8
Eemplo 6 Calcule Note que ( ) ln + + Pela regra de l'hôspital, temos que + + + + = [ ] + + = + = Logo, como g(u) = ln u é contínua em u =, temos que ( ) ln = ln = + + Eemplo 7 Calcule Observe que ( + ) ( + ) = [ ] Portanto inicialmente nada podemos concluir No entanto, reescrevendo o ite dado, obtemos ( + ) ) = ( + Temos agora que Como, utilizando a Regra de l'hôspital, temos que segue que e portanto que + = + + = + cos() = =, ) ( = = + ) ( + = [+ ] = + Eemplo 8 Calcule (sec() tg()) π Como vamos reescrever o ite dado: (sec() tg()) = π (sec() tg()) = [ ] π ( π cos() ) cos() = = π cos() [ ] π cos() cos() = π = = Prof Marcos Diniz Prof André Almeida Prof Edilson Neri Júnior Prof Emerson Veiga Prof Tiago Coelho 9
Eemplo 9 (Limite Trigonométrico Fundamental) Verique, utilizando a Regra de L'Hôspital, que = Observe que Aplicando a Regra de l'hôspital, temos = [ ] cos() = = Eemplo Calcule o ite: Note que Logo, pela Regra de l'hôspital, temos que Aplicando novamente a regra, obtemos que e 3 e 3 = [ ] + e 3 = e 3 = e e 3 = 6 = Finalmente, utilizando a Regra uma última vez, temos que [ ] + [ ] + e 6 = e 6 = Resumo Faça um resumo dos principais resultados vistos nesta aula, destacando as denições dadas Aprofundando o conteúdo Leia mais sobre o conteúdo desta aula nas páginas 6 9 do livro teto Sugestão de eercícios Resolva os eercícios das páginas 9 3 do livro teto Prof Marcos Diniz Prof André Almeida Prof Edilson Neri Júnior Prof Emerson Veiga Prof Tiago Coelho