Ministério da Educação UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ Câmpus Curitiba PLANO DE ENSINO CURSO Bacharelados e licenciaturas do Campus Curitiba da UTFPR. MATRIZ (SA) FUNDAMENTAÇÃO LEGAL Resolução do COGEP que aprovou o Projeto Pedagógico do Curso ou, se houver, Resoluções posteriores da UTFPR relativas à Disciplina/Unidade Curricular. A Resolução do COGEP que aprovou o Projeto Pedagógico do Curso será tomada como prioritária a outras Resoluções (SA). DISCIPLINA/UNIDADE CURRICULAR CÓDIGO Geometria Analítica e MA71B Álgebra Linear PRÉ-REQUISITO Sem pré-requisitos. EQUIVALÊNCIA MA31K, K1D040, MA61B. CARGA HORÁRIA (aulas) AT AP APS AD APCC TOTAL 90 0 06 00 00 96 OBJETIVOS Enunciar e explicar os conceitos de geometria analítica e álgebra linear. Apresentar os teoremas fundamentais de geometria analítica e álgebra linear que auxiliam na resolução de problemas. EMENTA Matrizes e Sistemas Lineares. Álgebra Vetorial. Retas e Planos. Espaços Vetoriais. Transformações Lineares. Produto Interno. Autovalores e Autovetores. Cônicas e Quádricas. CONTEÚDO PROGRAMÁTICO ITEM EMENTA CONTEÚDO 1 Matrizes e sistemas lineares. 1.1 Definição e notações 1.2 Tipos de matrizes. 1.3 Operações e suas propriedades. 1.4 Operações elementares sobre as linhas de uma matriz e matrizes equivalentes. 1.5 Matrizes invertíveis e suas propriedades. 1.6 Cálculo de matriz inversa através das operações elementares. 1.7 Determinante: definição e propriedades. 1.8 Definição de Sistemas de Equações lineares. 1.9 Representação de um sistema linear na forma matricial. 1.10 Tipos de sistemas: homogêneo e não-homogêneo. 1.11 Operações elementares e sistemas equivalentes. 1.12 Existência e Unicidade de Soluções. 1.13 Resolução e discussão de Sistemas de Equações Lineares por escalonamento. 1
2 Álgebra vetorial. 2.1 Segmentos Orientados. 2.2 Definição de Vetor. 2.3 Operações com vetores, de forma geométrica, e suas propriedades. 2.4 Expressão cartesiana de um vetor. 2.5 Operações com vetores, de forma analítica, e suas propriedades. 2.6 Vetores colineares e coplanares. 2.7 Produto escalar: Definição, interpretação geométrica, propriedades e expressão cartesiana. 2.8 Norma de um vetor, distância entre dois pontos e ângulos entre dois vetores. 2.9 Ortogonalidade entre dois vetores e projeção ortogonal. 2.10 Produto vetorial: Definição, interpretação geométrica, propriedades e expressão cartesiana. 2.11 Área do Paralelogramo. 2.12 Produto Misto: Definição, interpretação geométrica, propriedades e expressão cartesiana. 2.13 Volume de um Paralelepípedo. 2.14 Duplo Produto Vetorial. 3 Estudo analítico de retas e planos 3.1 Equação da reta na forma: vetorial, paramétrica, simétrica e reduzida. 3.2 Condição de colinearidade de três pontos. 3.3 Posições Relativas entre duas Retas. 3.4 Ângulo entre duas retas. 3.5 Equação do plano na forma: geral, vetorial e paramétrica. 3.6 Condição de coplanaridade de quatro pontos. 3.7 Posições relativas entre reta e plano. 3.8 Posições Relativas entre dois Planos. 3.9 Ângulo entre dois planos. 3.10 Distância entre ponto e reta, entre duas retas, entre ponto e plano, entre reta e plano e entre planos. 4 Espaços vetoriais 4.1 Definição e exemplos. 4.2 Subespaços vetoriais: definição e exemplos. 4.3 Dependência e Independência linear. 4.4 Subespaços vetoriais finitamente gerados. 4.5 Interseção, soma e soma direta de subespaços vetoriais. 4.6 Bases, dimensão e teoremas relacionados. 4.7 Coordenadas de um vetor com relação a uma base ordenada. 4.8 Mudança de base. 5 Transformações lineares. 5.1 Definição, exemplos e propriedades. 5.2 Núcleo e imagem: definição, exemplos e propriedades. 5.3 Teorema do núcleo e da imagem. 5.4 Representação matricial de uma transformação linear. 5.5 Transformações Invertíveis e suas propriedades. 5.6 Existência de uma transformação linear conhecendo a imagem de cada vetor de uma base. 2
6 Produto interno 6.1 Definição, exemplos e propriedades. 6.2 Norma: definição e propriedades. 6.3 Ortogonalidade e ortonormalidade. 6.4 Relação entre produto interno e as coordenadas de um vetor. 6.5 Processo de ortogonalização de Gram-Schmidt. 6.6 Complemento ortogonal. 7 Autovalores e autovetores 7.1 Definição, exemplos e propriedades. 7.2 Polinômio característico. 7.3 Multiplicidade algébrica e geométrica. 7.4 Operadores diagonalizáveis. 7.5 Diagonalização: condições necessárias e suficientes. 8 Cônicas e quádricas 8.1 Estudo Analítico da Elipse. 8.2 Estudo Analítico da Hipérbole. 8.3 Estudo Analítico da Parábola. 8.4 Estudo Analítico das Quádricas. 8.5 Translação e Rotação de Cônicas e Quádricas com o uso de autovalores e autovetores. REFERÊNCIAS Referências Básicas: BOLDRINI, J. L. et al. Álgebra linear. São Paulo: Harbra, 1986. SANTOS, R. J. Um curso de geometria analítica e álgebra linear. Belo Horizonte: UFMG, 2014. SANTOS, R. J. Introdução à álgebra linear. Belo Horizonte: UFMG, 2013. STEINBRUCH, A. e WINTERLE, P. Álgebra linear. São Paulo: Pearson, 1987. STEINBRUCH, A. e WINTERLE, P. Geometria analítica. São Paulo: Pearson, 1987. Referências Complementares: ANTON, H.; BUSBY, R. C. Álgebra linear contemporânea. São Paulo: Bookman, 2008. CALLIOLI, C. A. et al. Álgebra linear e aplicações. São Paulo: Atual, 1990. CAMARGO, I. de e BOULOS, P. Geometria analítica: um tratamento vetorial. São Paulo: Pearson, 2005. KOLMAN, B.; HILL, R. Introdução à álgebra linear com aplicações. 6 a ed. Rio de Janeiro: Prentice-Hall, 1998. LEON, S. J. Álgebra linear com aplicações. 4 a ed. Rio de Janeiro: LTC, 1999. LIPSCHUTZ, S. Álgebra linear. São Paulo: McGraw-Hill do Brasil, 1972. VALLADARES, R. J. C. Geometria analítica do plano e do espaço. Rio de Janeiro: LTC, 1990. WINTERLE, P. Vetores e geometria analítica. São Paulo: Pearson, 2014. Data da Aprovação no DAMAT 02/08/2016 Vigência do Plano de Ensino Segundo Semestre de 2016 3
PLANO DE AULA DE DISCIPLINA PROFESSOR TURMA Rodolfo Gotardi Begiato S-15 Ano/Semestre CARGA HORÁRIA (aulas) 2017 / Primeiro AT AP APS AD APCC Total 104 0 6 0 0 110 Observações: AT: Atividades Teóricas, AP: Atividades Práticas, APS: Atividades Práticas Supervisionadas, AD: Atividades a Distância, APCC: Atividades Práticas como Componente Curricular. Número de APS segue Instrução Normativa 01/2010-PROGRAD. DIAS DAS AULAS PRESENCIAIS Dia da semana Segunda Terça Quarta Quinta Sexta Sábado Total Número de aulas no semestre 17 36 0 51 0 0 104 PROGRAMAÇÃO E CONTEÚDOS DAS AULAS (PREVISÃO) - DUAS AULAS POR DATA Dia/Mês Conteúdo Dia/Mês Conteúdo 02/03/17 Matrizes 11/05/17 Núcleo e Imagem. Exercícios. 06/03/17 Sistemas lineares. 15/05/17 Teor. das dimensões de núcleo e imagem. 07/03/17 Matriz inversa. 16/05/17 Isomorfismos. 09/03/17 Exercícios. 18/05/17 Exercícios. 13/03/17 Determinantes. 22/05/17 Prova 4. 14/03/17 Determinantes. 23/05/17 Matriz de transformação. Comutatividade. 16/03/17 Exercícios. 25/05/17 Transformação inversa. Exercícios. 20/03/17 Prova 1. 29/05/17 Autovalores e autovetores. 21/03/17 Vetor. 30/05/17 Diagonalização. 23/03/17 Produto escalar e vetorial. Exercícios. 01/06/17 Exercícios. 27/03/17 Equações do plano. 05/06/17 Prova 5. 28/03/17 Equações da reta. 06/06/17 Produto interno e Norma. 30/03/17 Exercícios. 08/16/17 Projeções. Exercícios. 03/04/17 Posições relativas 12/06/17 Processo de Gram-Schmidt. 04/04/17 Projeções e distâncias. 13/06/17 Complemento ortogonal. 06/04/17 Exercícios. 19/06/17 Exercícios. 10/04/17 Prova 2. 20/06/17 Prova 6. 11/04/17 Espaços vetoriais. 22/06/17 Superfícies Cônicas. 17/04/17 Subespaços vetoriais. 26/06/17 Reconhecimento de Cônicas. 18/04/17 Soma direta. 27/06/17 Reconhecimento de Cônicas. 20/04/17 Exercícios. 29/06/17 Quádricas. 24/04/17 Combinação linear. Conjunto gerador 03/07/17 Reconhecimento de Quádricas. 25/04/17 Dependência linear. 04/07/17 Reconhecimento de Quádricas. 27/04/17 Exercícios 06/07/17 Prova de recuperação 02/05/17 Base. 04/05/17 Exercícios. 08/05/17 Prova 3. 09/05/17 Transformações lineares. 4
PROCEDIMENTOS DE ENSINO Aulas Teóricas Aulas expositivas com eventual uso de recursos gráficos e computacionais. Aulas práticas Não se aplica. Atividades Práticas Supervisionadas 1. Resolução, com consulta, dos exercícios encontrados nas provas da Avaliação Normal. A resolução deve ser entregue na aula imediatamente após a aula em que ocorrer cada prova. Esta atividade terá peso de 50% na nota final de Atividades Práticas supervisionadas. O objetivo desta atividade é fazer com que o aluno reflita sobre o seu desempenho na prova, percebendo os motivos para tal e desenvolvendo estratégias para evitar a recorrência de mal desempenho ou a continuidade de bom desempenho. Esta atividade terá peso de 50% na nota final de Atividades Práticas supervisionadas. 2. Exercícios sobre cônicas e/ou quádricas a ser feito em duplas. Esta atividade terá peso de 50% na nota final de Atividades Práticas supervisionadas. 1a. entrega: 29/06/2017 2a. entrega: 04/07/2017 Os alunos que entregarem na data da 1a. entrega, poderão corrigir o trabalho caso a nota obtida não for satisfatória e entregá-lo novamente na segunda entrega. Atividades a distância Não se aplica. Atividades Práticas como Componente Curricular Não se aplica. PROCEDIMENTOS DE AVALIAÇÃO A Avaliação Normal será realizada através de seis provas escritas com duração de 50 minutos, individuais e a serem realizadas sem consulta, conforme o cronograma estabelecido acima, e das Atividades Práticas Supervisionadas descrita acima. A nota desta avaliação será calculada da seguinte maneira: N an = 9M P + AP S, 10 onde M P corresponde à média das notas obtidas nas provas (valoradas entre 0 e 10) e AP S corresponde à nota obtida nas atividades práticas supervisionadas (valorada entre 0 e 1). A todos os alunos é facultada a realização da Avaliação de Recuperação, ao final do semestre (conforme data estabelecida no cronograma acima), que consiste de uma prova escrita, a ser realizada sem consultas e onde constará todo o conteúdo desenvolvido no semestre. A nota final do aluno será aquela de valor máximo entre aquela obtida na Avaliação Normal e aquela obtida na Avaliação de Recuperação. O aluno que obter nota final de valor maior ou igual a 6 estará aprovado no curso. 5
Dessa maneira fica atendido o parágrafo terceiro, do artigo 34, do capítulo VII, da Resolução número 112/10/COEPP, de 29 de novembro de 2010, que estabelece que: para possibilitar a recuperação do aproveitamento acadêmico, o professor deverá proporcionar reavaliação ao longo e/ou ao final do semestre letivo, a avaliação da disciplina será dividida em duas formas as quais passam a ser identificadas como: Avaliação Normal e Avaliação de Recuperação. ORIENTAÇÕES GERAIS O Importante Você estará recebendo 7 listas durante o curso. Essas listas contém os exercícios que definem o que você deve fazer para aprender o conteúdo e aprovar nesta disciplina. O importante é que VOCÊ DEVE FAZER TODOS os exercícios. Porque todos eles são importantes para a aprendizagem e todos eles serão cobrados, por amostragem ou por analogia. TODOS significa TODOS. Cada vez que você tenha alguma dúvida à respeito desse significado, leia novamente este parágrafo. Não especule pensando que você poderá, talvez, aprovar na disciplina sem ter feito TODOS os exercícios. Isso não acontecerá. Fazer um exercício envolve uma atividade SUA. O exercício não vai ser feito para você. Mesmo que você precise de uma ajuda para fazê-lo, o que será freqüente e normal, você deve ter pensado previamente nele. E pensado muito! Essa reflexão SUA, pessoal e intransferível é o principal fator de aprendizagem. É ideal sempre ter em mão uma boa bibliografia sobre o assunto, ainda assim muitas vezes isso não será suficiente e você terá a necessidade de consultar os monitores. Consulte-os sem hesitação. Eles estão aí para atender você. Mas não peça para eles fazerem o exercício para você. Peça, sim, dicas, empurrões, sugestões. Conte para o monitor até onde você chegou e peça para ele criticar seu raciocínio. Finalmente, peça para o monitor conferir se a solução que você encontrou é correta ou não. Bibliografia adicional Texto baseado em texto de lista de exercícios da disciplina MS148, dos professores José Mario Martínez e Lúcio Tunes Santos As seguintes referências serão bem úteis para acompanhar o curso. Elas complementam/destacam as referências encontradas no plano de ensino. SANTOS, R. J., Álgebra Linear e Aplicações. UFMG Editora, 2010. (disponível em http://www.mat.ufmg.br/ regi/livros.html). SANTOS, R. J., Matrizes, Vetores e Geometria Analítica. UFMG Editora, 2012. (disponível em http://www.mat.ufmg.br/ regi/livros.html). CALLIOLI, C. A. et al. Álgebra linear e aplicações. São Paulo: Atual, 1990. 6
Atendimento Sempre que houver necessidade, os alunos podem recorrer a atendimentos extra classe por parte do professor e de monitores selecionados pela Universidade. Sala do professor: Sala 7 - Corredor do PROFMAT (Bloco V3). Horário de atendimento: 4a. feira: 10h20 às 12h e 5a. feira: 15h50 às 16h20. Todas as informações referentes à disciplina poderão ser obtidas na página do curso: http://paginapessoal.utfpr.edu.br/begiato/geometria-analitica-e-algebra-linear; e pela plataforma Moodle. É essencial que você acesse ao Moodle quanto antes, pois no Moodle nós temos algumas vantagens adicionais com relação à página do curso, como por exemplo, fóruns de discussão, imagens, vídeos e outras funcionalidades que permitem uma maior participação dos alunos. Para acessar à página do curso no Moodle, basta acessar: http://moodle.utfpr.edu.br/course/view.php?id=3216, fazer o login utilizando o nome do usuário e senha do e-mail institucional e digitar a chave. o e-mail para contato com o professor é: begiato@utfpr.edu.br; antes de enviar um e-mail solicitando informações ao professor é conveniente (para todos) averiguar se tal informação já não se encontra na página do curso ou no Moodle; durante as aulas os telefones celulares devem ser mantidos desligados; o uso de computadores e demais aparelhos eletrônicos durante as aulas é permitido somente com intenções didáticas inerentes à disciplina; 75% implica em reprovação, independentemente das notas obtidas. Demais instruções, consultar o regulamento da Organização Didático-Pedagógica dos Cursos de Graduação da UTFPR, especialmente os artigos 36, 37 e 38. Assinatura do professor Assinatura do coordenador do curso 7