PLANO DE ENSINO. MA72A Cálculo 2

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1 Ministério da Educação UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ Campus Curitiba PLANO DE ENSINO CURSO Bacharelados e Licenciaturas do Campus Curitiba da UTFPR MATRIZ SA FUNDAMENTAÇÃO LEGAL (Resolução do COEPP que aprovou a matriz curricular do curso e, se houver, resoluções posteriores relativas à disciplina/unidade curricular) - SA DISCIPLINA/UNIDADE CURRICULAR CÓDIGO CARGA HORÁRIA (aulas) AT AP APS MA72A Cálculo 2 PERÍODO AD APCC Total AT: Atividades Teóricas, AP: Atividades Práticas, APS: Atividades Práticas Supervisionadas, AD: Atividades a Distância, APCC: Atividades Práticas como Componente Curricular. PRÉ-REQUISITO EQUIVALÊNCIA MA61A, MA 71A (ou MA31J, ou K1D030). K2D130, MA32J, MA62A. OBJETIVO Desenvolver o raciocínio matemático e possibilitar aos educandos o domínio de técnicas de Cálculo Diferencial e Integral, visando sua aplicação na análise e resolução de problemas da área de Ciências e de Engenharias. EMENTA Noções topológicas em R2 e R3. Funções reais de várias variáveis reais. Limite e continuidade de funções de várias variáveis reais. Diferenciabilidade e aplicações. Coordenadas polares, cilíndricas e esféricas. Integração múltipla e suas aplicações. TÓPICO DA EMENTA 1 Noções topológicas em R2 e R3. 2 Funções reais de várias variáveis reais CONTEÚDO PROGRAMÁTICO Interior, Exterior e Fronteira de um Conjunto. Vizinhanças e Ponto de Acumulação. Definição de Conjunto Aberto e Fechado. Definição de Conjunto Compacto e Conexo. Definição de Região e Domínio. Funções Vetoriais: definição, limite, continuidade, derivação, integração, parametrização de uma curva. Função de Duas Variáveis: definição, domínio, imagem, gráfico e curvas de nível. Função de Três Variáveis: definição, domínio, imagem e superfícies de nível.

2 3 Limite e continuidade de funções de várias variáveis reais. 4 Diferenciabilidade e aplicações. 5 Coordenadas polares, cilíndricas e esféricas. 6 Integração múltipla e suas aplicações Definição de Limite de Funções de Várias Variáveis Reais. Resultados que garantem que o limite não existe. Teorema do Confronto. Propriedades dos limites. Resultados que garantem que o limite existe. Definição de Continuidade. Teorema da Continuidade para Funções Compostas. Derivadas Parciais: definição, exemplos, notações, interpretação. Derivadas Parciais de Ordem Superior. Função Diferenciável. Condição para existência de plano tangente. Regra da Cadeia. Derivação Implícita. Diferencial de uma função de n-variáveis. Derivada Direcional: definição, vetor gradiente, aplicações. Definições de máximo e mínimo local e absoluto. Condições necessárias e suficientes para que um ponto crítico seja extremante local. Existência de valores máximo e mínimo em conjuntos compactos. Multiplicadores de Lagrange. Definição de coordenadas polares. Gráficos das principais equações polares. Relação entre coordenadas polares e cartesianas. Áreas e comprimentos em coordenadas polares. Coordenadas cilíndricas: definição, gráficos, relação com coordenadas cartesianas. Coordenadas esféricas: definição, gráficos, relação com coordenadas cartesianas. Definição de Integral Dupla. Definição de Integral Tripla. Significado Geométrico das Integrais Duplas e Triplas. Propriedades das Integrais Múltiplas. Teorema de Fubini. Integrais Duplas no Cálculo de Áreas e Volumes. Integrais duplas em Coordenadas Polares. Integrais Triplas no Cálculo de Volumes. Integrais triplas em Coordenadas Cilíndricas e Esféricas. Mudança de Variável em Integrais Múltiplas. Aplicações. Professor: Lauro Cesar Galvão DISCIPLINA/UNIDADE CURRICULAR CÓDIGO Turma: SP1 CARGA HORÁRIA (aulas) Cálculo 2 MA72A AT AP APS ANO: SEMESTRE: PERÍODO AD APCC Total AT: Atividades Teóricas, AP: Atividades Práticas, APS: Atividades Práticas Supervisionadas, AD: Atividades a Distância, APCC: Atividades Práticas como Componente Curricular. DIA DAS AULAS Número de aulas Presenciais (AT e AP) e APS Segunda 36 Quinta Terça 36 Sexta 4 Quarta Sábado 6

3 PROGRAMAÇÃO E CONTEÚDOS DAS AULAS (PREVISÃO) Cronograma TÓPICO DA EMENTA CONTEÚDO DAS AULAS Duas aulas por data AULA INAUGURAL: 06/08/ Integrais Impróprias Sistema de Coordenadas Limites infinitos de integração Integrandos com descontinuidades infinitas Algumas aplicações das integrais impróprias Propostos Coordenadas Polares 07/08/ /08/ /08/ /08/ /08/2018 Polares e Integrais Gráficos diversos em coordenadas polares 14/08/ Integrais Eulerianas Áreas em Coordenadas Polares Volume de Sólido Obtido pela Rotação de um Conjunto Diferencial do Comprimento de Arco Área da Superfície de Sólidos de Revolução Leonhard Euler Função Gama Função Beta 20/08/ /08/ /08/ /08/ /08/ /08/ /08/ /09/ /09/ Tópicos de Topologia dos O Espaço Vetorial Rn 04/09/2018 Espaços Reais n- Dimensionais Produto Interno em Rn Norma de x em Rn ou Comprimento do Vetor x em Rn 04/09/ /09/ Funções em Espaços n- Distância em Rn Bolas e Conjuntos Limitados Introdução 10/09/ /09/ /09/ /09/2018 Dimensionais Limites de Funções de n-variáveis Reais 18/09/2018 Continuidade de Funções de n-variáveis Reais Primeira avaliação (Prova 1): 24/09/ /09/ /09/ Derivadas Derivadas Parciais 01/10/ Integrais Duplas e Triplas Gradiente Diferenciais Derivadas de Funções Compostas Máximos e Mínimos de Funções de Várias Variáveis Aplicações: Introdução 01/10/ /10/ /10/ /10/ /10/ /10/2018 Integrais Duplas Cálculo de Integrais Duplas Mudança de Variáveis em Integrais Duplas Coordenadas Polares Cálculo de Volumes (Aplicações) Cálculo de Áreas de Regiões Planas Integrais Triplas Cálculo de Integrais Triplas Mudança de Variáveis em Integrais Triplas Integrais Triplas em Coordenadas Cilíndricas Integrais Triplas em Coordenadas Esféricas Aplicações Físicas da Integral Dupla Aplicações Físicas da Integral Tripla Segunda avaliação (Prova 2): 16/10/ /10/ /10/ /10/ /10/ /10/ /11/ /11/ /11/ /11/ /11/ /11/ /11/ /11/ /12/2018 Preparação para a recuperação. Preparação para a recuperação. Recuperação: 03/12/ /12/ /12/2018 Resultados e (APS). Resultados e (APS). 10/12/ /12/2018 xx/xx/xxxx: Carga horária da disciplina integralizada através da utilização e atividades práticas supervisionada.

4 PROCEDIMENTOS DE ENSINO Aulas Teóricas (AT): Material didático fornecido via sistema. Aulas Práticas (AP): Não há. Atividades Práticas Supervisionadas (APS): As Atividades Práticas Supervisionadas serão desenvolvidas, ao longo do semestre, por meio de atividades extra classe que envolve questionários disponíveis no sistema, fornecido pelo professor. Serão duas atividades propostas, uma para cada parcial. Haverá mais uma para o aluno que ficar em recuperação. A avaliação corresponde a 30% da média final. Atividades a Distância (AD): Todo o curso será via moodle. Atividades Práticas como Componente Curricular (APCC): Não há. PROCEDIMENTOS DE AVALIAÇÃO Serão realizadas 2 avaliações presenciais denominadas de (Prova1) e (Prova2). Cada uma destas avaliações terá valor 10,0 (dez). Serão realizadas 2 Atividades Práticas Supervisionadas (APS1) e (APS2), que estão citadas na APS acima. Cada uma destas APS vale 10,0 pontos. APS1 = ((Soma dos questionários 1, 2, 3 e 4) + 2 * questioinário 5) / 6 APS2 = ((Soma dos questionários 6, 7, 8 e 9) + 2 * questionário 10) / 6 Assim, as duas notas parciais P 1 e P 2 serão calculadas considerando médias ponderadas seguintes: P1 = 0,3 * (APS1) + 0,7 * (Prova 1) P2 = 0,3 * (APS2) + 0,7 * (Prova 2) A média final (MF ) do aluno será calculada pela fórmula: MF = (P 1 + P 2) / 2 Desta forma, a média ponderada das notas das provas presenciais representam 70% da nota do estudante, enquanto que a nota total das APS representam 30%. O APROVEITAMENTO será considerado através do acesso aos questionários e pelos encontros presenciais. Será considerado aprovado o estudante que tiver APROVEITAMENTO igual ou superior a 75% e MF >= 6,0. Caso o estudante tenha o APROVEITAMENTO igual ou superior a 75% e MF < 6,0, o mesmo poderá realizar uma Prova de Recuperação (PR ). Esta terá valor 10,0 (dez) e o conteúdo será a matéria de todo o semestre. Será realizada mais uma Atividade Prática Supervisionada (APS3). Esta também vale 10,0 pontos. Nota de Recuperação (NR) = 0,3 * (APS3) + 0,7 * (Prova de Recuperação) Neste caso o estudante será aprovado se NR >= 6,0. Para o estudante que realizar a prova de recuperação, a nota que será lançada no sistema acadêmico será máximo{mf,nr }. Observação 1: APS3 = (Soma dos questionários 15, 16, 17 e 18) / 4 Assim, a Nota de Recuperação (NR), será calculada da seguinte forma:

5 No caso do estudante ter perdido alguma(s) das provas (P 1 ou P 2), poderá solicitar prova(s) de segunda chamada. Esta solicitação será analisada pelos órgãos competentes da UTFPR, podendo ou não ser deferida de acordo com o regimento. Observação 2: Índice de APROVEITAMENTO (iapro) e Índice de AULAS (iaula) iapro = 100 * ((Total de aulas - 10) / 10) / (Total de aulas) iaula = 100 / (Total de aulas) Observação 3: Cada questionário (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 e 10) entregue nos prazos (ESTIPULADOS PREVIAMENTE), validam iapro% do APROVEITAMENTO do estudante. Aula inaugural e provas, validam 2 * iaula% do APROVEITAMENTO do estudante. Para quem ficar em recuperação, cada questionário (15, 16, 17 e 18), valida iaula% do APROVEITAMENTO do estudante. Os questionários 11, 12, 13 e 14 são apenas para as turmas presenciais. REFERÊNCIAS

6 REFERÊNCIAS Referências Básicas: STEWART, J. Cálculo. Vol. 1 e 2. 6a ed. São Paulo: Cengage Learning, LEITHOLD, L. O cálculo com geometria analítica. Vol. 1 e 2. São Paulo: Harbra, MUNEM, M. A. e FOULIS, D. Cálculo. Vol. 1 e 2. Rio de Janeiro: Guanabara Dois, Referências Complementares: ANTON, H. Cálculo: um novo horizonte. Vol. 2. Porto Alegre: Bookman, GUIDORIZZI, H. L. Um curso de cálculo. Vol. 1 e 2. Rio de Janeiro: LTC - Livros Técnicos e Científicos, PISKOUNOV, N. Cálculo diferencial e integral. Vol. 1 e 2. Porto: Lopes da Silva, SHENK, A. Cálculo e geometria analítica. Vol. 1 e 2. Rio de Janeiro: Campus, THOMAS, G. B., Cálculo. Vol. 1 e 2. Rio de Janeiro: LTC, Material Utilizado pelo Professor: 9 Galvão, L.C.; Nunes, L.F. Cálculo 2 (Notas de Aula). Universidade Tecnológica Federal do Paraná, Formulário Unificado Emitido por: Lauro César Galvão Revisado por: Lauro César Galvão Data: 03/07/2013 Aprovado por: Gerência de Ensino Lauro César Galvão Vigora a partir de: 1o. Sem/2013 Sistema de Avaliação: Conforme estabelecido no Regulamento Didático-Pedagógico dos Cursos de Graduação da UTFPR e de acordo com o Plano de Aula do Professor da Disciplina. Observações Gerais: A aprovação nas disciplinas dar-se-á por média. 1º Considera-se, para todos os efeitos, a Média Parcial (MP) como a média aritmética de duas ou quatro notas parciais, dependendo do regime letivo ser semestral ou anual pectivamente, e cada Nota Parcial (NP) como sendo resultante de pelo menos uma avaliação prevista no plano de aulas de cada disciplina. 2º Considerar-se-á aprovado por média, o aluno que tiver APROVEITAMENTO igual ou superior a 70% (setenta e cinco porcento) e média parcial igual ou superior a 6,0 (seis), consideradas toda as avaliações previstas no plano de aula da disciplina, calculada pela seguinte expressão: MP = ( (Σ NP ) / n ) 6,0; onde: MP = média parcial; NP = nota parcial; n = número de notas parciais. 3º A Média Final do aluno aprovado por média será igual à sua Média Parcial. 4º Se MP 6, então o aluno está aprovado e sua nota final é MP. 5º Se MP < 6, para possibilitar a recuperação do aproveitamento acadêmico, o aluno poderá fazer uma ReAvaliação (RA), conforme previsto no plano de aulas do professor. 6º Será considerado aprovado, com nota MF, o aluno cuja nota satisfizer a condição MF = ( (RA + MP) / 2 ) 6,0. Se MF < 6, então o aluno será considerado reprovado. APROVEITAMENTO Mínimo do aluno é de 70%. APROVEITAMENTO inferior a 70% implica em reprovação, independentemente das notas obtidas. Outras observações: (Conforme o Regulamento da Organização Didático-Pedagógica dos Cursos de Graduação da UTFPR): Art. 36 No caso de o aluno perder alguma avaliação, por motivo de doença ou força maior, poderá requerer uma única segunda chamada por disciplina, no período letivo. 1º O requerimento, devidamente comprovado, deverá ser protocolado no Departamento de Registros Acadêmicos até 5 (cinco) dias após a realização da avaliação. 2º A análise do requerimento será feita pela Coordenação do Curso ou Chefia do Departamento Acadêmico ao qual a disciplina está vinculada. 3º O professor definirá os conteúdos a serem cobrados na avaliação. 4º A segunda chamada para as avaliações realizadas na última semana do período letivo deve ter a nota lançada antes do período de matricula do semestre posterior. Art. 37 Para efeito de verificação da frequência, não haverá abono de faltas ou compensação de frequência, exceto para os casos previstos em lei. ASSINATURAS: Lauro Cesar Galvão Coordenador do Curso