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SUMÁRIO www.ednaldoernesto.com.br 3
MENSAGEM INICIAL 4 www.ednaldoernesto.com.br
EDIFICAÇÃO Tudo o que é útil e tudo o que é nobre na Terra exige preparação. Casa alguma se ergue sem que elemento a elemento se ajuste na concretização do plano estabelecido. Campo cultivado reclama operações sistemáticas de limpeza e adubação, amparo e plantio. Roupa que veste passou por múltiplas fases de trabalho desde a produção do fio singelo. O pão mais simples não aparece fora dos arranjos indispensáveis. O livro, para surgir, transmitindo informações e conhecimentos, roga gestação mental e esforço de composição, letra a letra. A sintonia que aprimora as fontes da inspiração, requisita combinações e estudos diversos, para que os sons se harmonizem, nota por nota. Certifiquemo-nos de que as probabilidades da mensagem sem fio vibram na Terra, antes de Marconi. A gravitação era realidade antes de Newton. Todos os ingredientes, destinados ao progresso e à civilização, ao aperfeiçoamento e à proteção da vida física, jazem potencialmente nos reservatórios da natureza. www.ednaldoernesto.com.br 5
O homem, porém, apenas desfruta aquilo que ele próprio analisou e construiu. Assim também, no terreno do espírito. Todos os recursos, necessários à educação e à sublimação da individualidade, à criação intelectual e à revelação do plano extra-sensorial, estão contidos, em possibilidades virtuais nas esferas do pensamento. Ninguém espere milagres depois da morte. Na Terra ou além da Terra, cada pessoa somente dispõe, em si e fora de si, da cultura e do merecimento que edificou. Albino Teixeira 6 www.ednaldoernesto.com.br
A música exprime a mais alta filosofia numa linguagem que a razão humana não compreende. William Shakespeare (1564-1616): poeta inglês; o maior dramaturgo da literatura universal. www.ednaldoernesto.com.br 7
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PROBLEMAS DO PRIMEIRO GRAU - São problemas cuja solução depende da resolução de uma equação, ou de um sistema de equações do 1 grau. - Geralmente estes problemas são contextualizados evidenciando uma situação real do dia-a-dia. - Para resolvermos estes problemas devemos vencer as seguintes etapas: Leitura e interpretação do texto. Passagem da linguagem coloquial para a linguagem matemática. Resolução algébrica da equação ou sistema. 1ª ETAPA 2ª ETAPA 3ª ETAPA 01.Às oito horas da manhã, um gato toma sol sentado no degrau do meio de uma escada. Às nove da manhã, ele sobe sete degraus. Às dez horas, ele decide descer nove degraus. Às onze horas, ele sobe cinco degraus. Finalmente, ao meio dia, ele desce dezessete degraus e está no primeiro degrau da escada. Quantos degraus tem a escada? a)25 b) 26 c) 27 d) 28 e) 29 02.O Professor Paulo Chaves, exímio matemático e hábil pescador, relembra até hoje, abrindo bem os braços, sua maior proeza em matéria de pescaria. - Qual o comprimento do maior peixe que você já pescou?, perguntou o Prof. Wendel Santos. Paulo parou um momento, como a visualizar em sua mente uma lembrança do passado, e respondeu com um sorriso: - Eu me lembro que a cabeça media 9 polegadas, o rabo equivalia ao comprimento da cabeça mais metade do tronco e o tronco media o equivalente ao comprimento da cabeça mais o do rabo. www.ednaldoernesto.com.br 9
Qual o comprimento total do peixe (cabeça + tronco + rabo) em polegadas? a)72 b)78 c)80 d)96 e)108 03.No Egito, um pai propôs o seguinte problema para a sua filha: A quinta parte dum exame de abelhas pousou numa flor de Kadamba. A terça parte numa flor de Silinda. O triplo da diferença entre estes dois números voa sobre uma flor de Krutaja e resta uma abelha sozinha, no ar, atraída pelo perfume dum jasmim e dum Pandnus. Então responda-me bela menina, qual é o número de abelhas deste enxame? 04.Hassan tinha uma bela mula. Um dia, alguém lhe perguntou a idade da mula, e ele respondeu de maneira misteriosa: Daqui a quatro anos, ela terá o triplo da idade que tinha quatro anos atrás. Qual a idade da mula? 10 www.ednaldoernesto.com.br
05.(COVEST 1ª Fase) Perguntado sobre a idade de seu filho Júnior, José respondeu o seguinte: Minha idade quando somada à idade de Júnior é igual a 47 anos; e quando somada à idade de Maria é igual a 78 anos. As idades de Maria e Júnior somam 39. Qual a idade de Júnior? a)2 anos b)3 anos c)4 anos d)5 anos e)10 anos 06.Carlos e sua irmã Andréia foram com seu cachorro Bidu à farmácia de seu avô. Lá encontraram uma velha balança com defeito que só indicava corretamente pesos superiores a 60kg. Assim eles se pesaram dois a dois e obtiveram as seguintes marcas: - Carlos e o cão pesam juntos 87 kg; - Carlos e Andréia pesam 123 kg e - Andréia e Bidu pesam 66 kg. Podemos afirmar que: a) Cada um deles pesa menos que 60kg. b) Dois deles pesam mais de 60kg. c) Andréia é a mais pesada dos três. d) O peso de Andréia é a metade soma dos pesos de Carlos e Bidu. e) Carlos é mais pesado que Andréia e Bidu juntos. 07.(UFPE) Em um teste de 16 questões, cada acerto adiciona 5 pontos, e cada erro subtrai 1 ponto. Se um estudante respondeu todas as questões e obteve um total de 38 pontos, quantas questões ele errou? a)4 b)5 c)6 d)7 e)8 www.ednaldoernesto.com.br 11
08. Um supermercado adquiriu detergentes nos aromas limão e coco. A compra foi entregue, embalada em 10 caixas, com 24 frascos em cada caixa. Sabendo-se que cada caixa continha 2 frascos de detergentes a mais no aroma limão do que no aroma coco, o número de frascos entregues, no aroma limão, foi: a) 110 b) 120 c) 130 d) 140 e) 150 09.Um garoto saiu à rua com um cesto de pães para vender. Na primeira casa, a freguesa pediu ao garoto: Quero a metade do que você tem aí mais meio pão. Na segunda casa, a freguesa também pediu ao garoto: Quero a metade do que você tem aí mais meio pão. Na terceira casa, a freguesa, para variar, pediu ao garoto: Quero a metade do que você tem aí mais meio pão. Com isso os pães acabaram. Pergunta-se: quantos pães havia no cesto? a) 7 b) 8 c) 9 d) 10 e) 11 10. (UPE) Em três caixas há, ao todo, 190 botões. Se passarmos 20 botões da primeira caixa para a segunda, esta ficará com 60 botões a mais que a primeira. Mas se passarmos 5 botões da segunda para a terceira, esta ficará com 40 botões a mais que a segunda. Quantos botões há na primeira caixa? a)30 b)40 c)50 d)60 e)90 12 www.ednaldoernesto.com.br
11. Existem três caixas I, II e III contendo transistores. Um técnico constatou que: Se passasse 15 transistores da caixa I para a caixa II, esta ficaria com 46 transistores a mais do que a caixa I tinha inicialmente; E se passasse 8 transistores da caixa II para a caixa III, esta ficaria com 30 transistores a mais do que a caixa II tinha inicialmente. Se o total de transistores nas três caixas era de 183, então o número inicial de transistores em: a) I era um número par. d) I e II era igual a 98. b) II era um número ímpar. e) I e III era igual a 119. c) III era um número menor que 85. 12.(UF-RJ) João, Pedro e Maria se encontraram para bater papo em um bar. João e Pedro trouxeram R$ 50,00 cada um, enquanto Maria chegou com menos dinheiro. Pedro, muito generoso, deu parte do que tinha para Maria, de forma que os dois ficaram com a mesma quantia. A seguir, João resolveu também repartir o que tinha com Maria, de modo que ambos ficassem com a mesma quantia. No final, Pedro acabou com R$ 4,00 a menos do que os outros dois. Determine quanto Maria possuía quando chegou ao encontro. 13.Numa festa de rapazes e moças compareceram 20 pessoas. Maria dançou com 7 rapazes, Olga com 8, Vera com 9, e assim por diante até chegar a Lúcia que dançou com todos os B rapazes. Quantos rapazes havia na festa? a)10 b)11 c)12 d)13 e)14 www.ednaldoernesto.com.br 13
14.Em uma festa de aniversário cada convidado deveria receber o mesmo número de chocolates. Três convidados mais apressados se adiantaram e o primeiro comeu 2, o seguno 3 e o terceiro 4 chocolates além dos que lhe eram devidos, resultando no consumo de metade dos chocolates da festa. Os demais chocolates foram divididos igualmente entre os demais convidados e cada um recebeu um a menos do que lhe era devido. Quantos foram os chocolates distribuídos na festa? a) 20 b) 24 c) 28 d) 32 e) 36 15. (UPE) Renata disse a Eduarda: Eu tenho o dobro da idade que tu tinhas, quando eu tinha a idade que tu tens. Quando tiveres a idade que eu tenho, a soma das nossas idades será 63 anos. Então: I II 0 0 a diferença entre as idades é 7 anos. 1 1 a diferença entre as idades é 9 anos. 2 2 a idade de Eduarda é 21 anos. 3 3 a idade de Renata é 30 anos. 4 4 a idade de Renata é 27 anos. 14 www.ednaldoernesto.com.br
É próprio da estrela brilhar e iluminar os viadantes... E tu, que fazes de tua estrela, de tua luz? Renato Zanolla (1932): Frei capuchinho, jornalista e comunicador; natural de Veranópolis (RS). www.ednaldoernesto.com.br 15
ALGORITMO DE EUCLIDES 16 www.ednaldoernesto.com.br
Problemas de Divisão ALGORITMO DE EUCLIDES 16.Determine a soma dos algarismos do número que dividido por 3, por 5 e por 7, dê respectivamente os restos 2, 3 e 2 e a soma dos quocientes seja 14. a)2 b)3 c)4 d)5 e)6 www.ednaldoernesto.com.br 17
17.Dentre as várias árvores que há nos jardins de um Colégio, uma delas é a predileta dos passarinhos que lá existem. Quando pousa 1 passarinho em cada galho sobram 7 passarinhos. Entretanto, quando pousam 2 passarinhos em cada galho, ficam 6 galhos sem passarinho. Do exposto, pergunta-se: a) quantos passarinhos há nos jardins do Colégio? b) quantos galhos há na árvore predileta dos passarinhos? 18.Quando Domingo fui ao jornaleiro, encontrei vários pobres. Verifiquei o dinheiro que tinha no bolso e concluí que, se desse R$ 5,00 a cada pobre, sobrariam R$ 120,00. Não obstante, se desse R$ 8,00 a cada um, ainda sobrariam R$ 30,00; o suficiente para pagar a compra que fiz de jornais durante o mês. Quantos eram os pobres e qual a quantia que tinha no bolso? 19.Uma certa quantidade de livros será embalada em caixas. Se forem colocados 3 livros por caixa, todas as caixas serão usadas e sobrará 1 livro. Se forem colocados 4 livros por caixa, sobrará uma caixa vazia. O número de livros é: a) 20 b) 16 c) 24 d) 12 e) 15 18 www.ednaldoernesto.com.br
20.Uma dona de casa programou uma recepção no aniversário de seu marido e solicitou a um Buffet que fizesse 7 salgadinhos de um certo tipo para cada convidado. No dia da recepção, ao receber os salgadinhos, notou que havia 2 a mais do que o encomendado. Por outro lado, compareceram à recepção 3 convidados a mais do que o esperado. A dona da casa resolveu o imprevisto, distribuindo exatamente 6 salgadinhos para cada convidado presente. Com base nessas informações, assinale a opção que contém o número de salga dinhos preparados pelo buffet. a) 108 b) 112 c) 120 d) 126 e) 132 21.Um estudante planejou fazer uma viagem de férias e reservou uma certa quantia em dinheiro para o pagamento de diárias. Ele tem duas opções de hospedagem: a Pousada A, com diária de R$ 25,00, e a Pousada B, com diária de R$ 30,00. Se escolher a Pousada A, em vez da Pousada B, ele poderá ficar três dias a mais de férias. Nesse caso, é CORRETO afirmar que, para o pagamento de diárias, esse estudante reservou: a) R$ 300,00 b) R$ 600,00 c) R$ 350,00 d) R$ 450,00 e) R$ 500,00 22.Os estudantes de uma classe organizaram sua festa de final de ano, devendo cada um contribuir com R$ 135,00 para as despesas. Como 7 alunos deixaram a escola antes da arrecadação e as despesas permaneceram as mesmas, cada um dos estudantes restantes teria de pagar R$ 27,00 a mais. No entanto, o diretor, para ajudar, colaborou com R$ 630,00. Quanto pagou cada aluno participante da festa? a) R$ 136,00 b) R$ 138,00 c) R$ 140,00 d) R$ 142,00 e) R$ 144,00 www.ednaldoernesto.com.br 19
23.Rapazes e moças dançavam animados numa festa. Às tantas, 15 moças precisaram ir embora e aí os rapazes observaram que para cada moça que ficou no baile havia 2 rapazes. Mais tarde 45 rapazes foram embora e aí as moças observaram que havia 5 moças para cada um dos rapazes restantes. A soma do número de rapazes com o número de moças que estavam presentes no início da festa era: a) 60 b) 67 c) 52 d) 80 e) 90 24.(UF-MS) Um menino possui vários soldadinhos de chumbo e quer colocá-los em fileiras, todas com o mesmo número de soldadinhos. Se ele formar x fileiras de x soldadinhos, sobram-lhe 12 soldadinhos. Para que ele pudesse colocar mais 2 soldadinhos por fileira e ainda formar uma nova fileira, o menino precisaria de 11 soldadinhos a mais do que ele tem. Determinar o número de soldadinhos de chumbo que o menino possui. 25.No ano de 1991, em uma cidade do interior, os candidatos aprovados para a segunda fase do Vestibular Unicamp foram distribuídos em salas de 35 lugares, tendo sido necessário formar uma sala incompleta com 18 candidatos. Neste ano de 1992 o número de candidatos para a segunda fase, nessa cidade aumentou em 42. Considerando-se que foram ainda usadas salas de 35 lugares, quantos candidatos ficaram, este ano, em uma sala incompleta? 20 www.ednaldoernesto.com.br
Há coisas que se dizem melhor calando. Joaquim Maria Machado de Assis (1839-1908): romancista, poeta e teatrólogo brasileiro; nasceu na cidade do Rio de Janeiro (RJ). www.ednaldoernesto.com.br 21
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1. Grandezas Diretamente Proporcionais GRANDEZAS PROPORCIONAIS I Observe o exemplo: Uma torneira é aberta para encher um tanque: Como vocês devem ter observado, houve a variação de duas grandezas: TEMPO (em minutos) e a ALTURA (em centímetros). Num esquema, vamos analisar as variações: Perceba que o quociente entre os valores respectivos dessas grandezas é sempre constante. www.ednaldoernesto.com.br 23
No caso em que duas grandezas x e y são diretamente proporcionais, o gráfico cartesiano de y como função de x é uma semi-reta ascendente no primeiro quadrante. No caso em que duas grandezas x e y são diretamente proporcionais, o gráfico cartesiano de y como função de x é uma semi-reta ascendente no primeiro quadrante. 2.Grandezas Inversamente Proporcionais Observe o exemplo: Uma pessoa viaja periodicamente de Salvador à Feira de Santana. A distância entre estas cidades é de 120 km. Ele pode percorrer esta distância com diferentes velocidades. Vamos examinar juntos a relação que existe entre as grandezas velocidade e tempo gasto no percurso: 24 www.ednaldoernesto.com.br
26. A tabela abaixo mostra a variação de quatro grandezas A, B, C e D. Observe, por exemplo, que quando a grandeza A vale 6 unidades, as grandezas B, C e D valem res pectivamente, 18, 108 e 1. Com base nisto, con sidere as seguintes afirmativas: 1. A grandeza A é diretamente proporcional à grandeza B. 2. A grandeza A é diretamente proporcional à grandeza C. 3. A grandeza A é inversamente proporcional à grandeza D. Assinale: a) Se somente a alternativa (1) for verdadeira. b) Se somente as alternativas (1) e (2) forem verdadeiras. c) Se somente as alternativas (1) e (3) forem verdadeiras. d) Se somente as alternativas (2) e (3) forem verdadeiras. e) Se todas as alternativas forem verdadeiras. 27. Sabe-se que existe uma relação entre as grandezas positivas A, B e C dada por:, em que é uma constante. Baseado nessas informações, classifique as afirmações a seguir como verdadeiras ou falsas: (V) (F) Se A for constante, B e C são diretamente proporcionais entre si. (V) (F) Se B for constante, A e C2 são diretamente proporcionais entre si. (V) (F) Se B for constante, A e C2 são inversamente proporcionais entre si. (V) (F) Se C for constante, A e B3 são inversamente proporcionais entre si. (V) (F) é inversamente proporcional a B3. www.ednaldoernesto.com.br 25
28.Observe os gráficos abaixo, no gráfico I estão relacionadas duas grandezas A e B; e no gráfico II duas grandezas C e D. B GRÁFICO I D GRÁFICO II Pode-se concluir que: A C I II 0 0 As grandezas A e B são diretamente proporcionais. 1 1 As grandezas C e D são inversamente proporcionais. 2 2 Podemos afirmar que a função que representa a variação das grandezas A e B é estritamente crescente. 2π 3 3 As grandezas C e D podem estar relacionadas pela expressão: C =. D 4 4 As grandezas A e B podem estar relacionadas pela expressão A = Kp B onde K é constante. 29. Divida 720 em partes diretamente proporcionais a 4, 6 e 8. 30. Divida 28.000 em partes inversamente proporcionais a 2, 4 e 8. 26 www.ednaldoernesto.com.br
31. Dividir 800 em partes diretamente proporcionais a 2, 9 e 6; e diretamente proporcionais a 3, 2 e 4. 32. Dividir 1.200 em partes inversamente proporcionais a 7 e 4; e inversamente proporcionais a 4 e 5. 33. Divida 180 em partes diretamente proporcionais a 15 e 9; e inversamente proporcionais a 10 e 2. 34. Um comerciante resolveu dividir parte de seu lucro com seus 3 empregados, em partes diretamente proporcionais ao tempo de serviço. Se a quantia distribuída foi R$ 69.000,00 e cada empregado está na casa, respectivamente a 5, 8 e 10 anos, o empregado mais antigo recebeu: a) R$ 15.000,00 b) R$ 18.000,00 c) R$ 21.000,00 d) R$ 24.000,00 e) R$ 30.000,00 35. Dois técnicos em eletricidade, Artur e Boni, trabalham em uma mesma empresa: Boni há 6 anos e Artur há mais tempo que Boni. Ambos foram incumbidos de instalar 16 aparelhos de áudio em alguns setores da empresa e dividiram a tarefa entre si, na mesma razão inversa de seus respectivos tempos de serviço na mesma. Se Artur instalou 4 aparelhos, há quantos anos ele trabalha na empresa? a) 8 b) 10 c) 12 d) 16 e) 18 www.ednaldoernesto.com.br 27
36. Para executar a tarefa de manutenção de 111 microcomputadores, três técnicos dividiram o total de microcomputadores entre si, na razão inversa de suas respectivas idades: 24, 30 e 36 anos. Assim sendo, o técnico de 30 anos recebeu: a) 2 micros a mais do que o de 24 anos. b) 4 micros a menos do que o de 36 anos. c) 4 micros a menos do que o de 24 anos. d) 6 micros a menos do que o de 36 anos. e) 9 micros a menos do que o de 24 anos. 37. Certo mês, o dono de uma empresa concedeu a dois de seus funcionários uma gratificação no valor de R$ 500,00. Essa quantia foi dividida entre eles, em partes que eram diretamente proporcionais aos respectivos números de horas de plantões que cumpriram no mês e, ao mesmo tempo, inversamente proporcionais às suas respectivas idades. Se um dos funcionários tinha 36 anos e cumpriu 24 horas de plantões e, o outro, de 45 anos, cumpriu 18 horas, coube ao mais jovem receber: a) R$ 302,50 b) R$ 310,00 c) R$ 312,50 d) R$ 325,00 e) R$ 342,50 38. O custo da construção de uma ponte foi estimado em R$ 100.000,00 e será dividido entre duas cidades, em partes de proporcionalidade composta, direta às suas populações e inversa à distância que separa cada cidade da ponte. Sabendo que a cidade A tem uma população de 150.000 habitantes e dista da ponte 30 km; e a cidade B tem uma população de 220.000 habitantes e dista da ponte 11 km. Qual a diferença entre as partes que coube a cada uma das cidades? a) R$ 30.000,00 b) R$ 40.000,00 c) R$ 50.000,00 d) R$ 60.000,00 e) R$ 70.000,00 A B 28 www.ednaldoernesto.com.br
39.As jogadoras de vôlei Virna e Leila em uma partida final fizeram respectivamente 4 e 5 pontos de saque, bloquearam com acerto 12 e 9 vezes e erraram 6 e 8 passes. O Banco do Brasil deseja dividir um prêmio de R$ 10.900,00 entre estas duas jogadoras por terem sido escolhidas como as duas melhores atletas do Brasil deste torneio, se a divisão será feita em partes inversamente proporcionais aos números de erros de passes e diretamente proporcionais aos números de acertos de bloqueio e pontos de saque, podemos então garantir que Virna e Leila receberam respectivamente: a) R$ 5.000,00 e R$ 5.900,00 b) R$ 8.000,00 e R$ 2.900,00 c) R$ 3.900,00 e R$ 7.000,00 d) R$ 6.400,00 e R$ 4.500,00 e) R$ 7.000,00 e R$ 3.900,00 40. O casal Eduardo e Mônica decidiu contratar um marceneiro para fabricar uma estante retangular para a sua sala (A figura mostra o rascunho que foi dado ao marceneiro). A estante deve ter uma divisão com 4 m2 para os aparelhos de som e TV e mais três partes I, II e III onde serão colocados, respectivamente, os 340 livros de Eduardo, os 180 livros de Mônica e os 40 livros de sua filhinha Moniarda. As áreas destinadas a cada um devem ser proporcionais às respectivas quantidades de livros. Qual a largura x da parte de Mônica? a) 2,5 m b) 2,25 m c) 2 m d) 1,75 m e) 1,5 m I SOM E TV 4 m 2 x II 3 m III 6 m 41. Uma mãe distribuiu certo número de balas em partes diretamente proporcionais às idades de seus três filhos que tinham 5, 6 e 7 anos e deu a cada um a sua parte. Em seguida, verificou que errara nos cálculos, tomando as idades como 3, 4 e 5 anos. Para corrigir o erro cometido, mandou que o filho mais velho desse duas balas ao caçula. Quantas balas foram distribuídas? a) 60 b) 64 c) 68 d) 72 e) 74 www.ednaldoernesto.com.br 29
3. PROBLEMAS DE MISTURAS 42.Uma determinada liga metálica é composta de cobre, estanho e zinco. Nela existem 2 partes de estanho para 5 partes de cobre e 3 partes de zinco para 15 partes de cobre. Qual a razão entre a quantidade de zinco e a de estanho na liga? 43.Uma técnica de laboratório manipula dois recipientes que contêm misturas das substâncias A e B. Embora os volumes das misturas sejam iguais, num dos recipientes a proporção de A para B é 1/2 (uma parte de A para duas de B) e no outro é 3/4. Se ela juntar os dois conteúdos num único recipiente, qual passará a ser a proporção de A para B? 44. A bebida portuguesa Porto é obtida misturando-se vinho e conhaque. Um restaurante possui dois tipos de porto, um mais suave em que a razão do vinho para o conhaque é de 2 para 1; e um outro tipo mais forte em que a razão do vinho para o conhaque é de 3 para 2. Se forem misturados os dois tipos de porto em quantidades iguais, qual a razão do conhaque para o vinho na mistura? 30 www.ednaldoernesto.com.br
45. Um certo combustível é obtido misturando-se gasolina e álcool na razão de 2 : 3, um outro é obtido através da mesma mistura na razão de 1 : 6. Se juntarmos 10 partes do primeiro a 7 partes do segundo obteremos um terceiro combustível, no qual a razão da gasolina para o álcool é de: 46. Um bule contém uma mistura de café e leite, na proporção de 4 partes de leite para 1 parte de café. Uma garrafa contém café puro. Para obter uma mistura que contenha café e leite em partes iguais devemos misturar os conteúdos do bule e da garrafa na proporção de, respectivamente: a) 2 para 1 b) 4 para 3 c) 5 para 3 d) 7 para 4 e) 8 para 5 47. Uma dona de casa comprou um produto de limpeza que vem preparado de fábrica nas proporções de 3 partes de amoníaco para 5 partes de água. Um certo serviço necessita que o produto seja diluído na proporção de 1 parte de amoníaco para 4 partes de água. Para conseguir esta proporção a dona de casa deverá juntar x partes de água a cada y partes de mistura que vem de fábrica. A razão de x para y é: a) 7/20 b) 7/8 c) 2/5 d) 2/1 e) 3/20 www.ednaldoernesto.com.br 31
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Há duas coisas que dignificam a vida de uma pessoa: a fé em si próprio e a disposição de realizar. Paulo VI (Giovanni Battista Montini 1897-1978): Papa de 1963 a 1978; natural de Concesio, Itália www.ednaldoernesto.com.br 33
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REGRAS DE TRÊS 1. REGRAS DE TRÊS SIMPLES 48. Um trabalhador gasta 3 horas para limpar um terreno circular de 5 metros de raio. Se o terreno tivesse 15 metros de raio, ele gastaria: a) 6 horas b) 9 horas c) 18 horas d) 27 horas e) 45 horas 49. O VÔO HIPERSÔNICO Australianos testam protótipo de motor de avião cuja velocidade atinge 9.800 quilômetros por hora. (...) Caso venha a equipar um avião de passageiros, o motor, batizado como HyShot, pode reduzir o tempo de uma viagem entre São Paulo e Paris para pouco menos de uma hora. A velocidade do Concorde, o avião de passageiros mais rápido hoje, é de 2.200 km/h. (Adaptado de Veja, 07/08/2002) Considere que, utilizando o motor HyShot, em sua velocidade máxima, um avião gaste exatamente 55 minutos para fazer a viagem de São Paulo a Paris. www.ednaldoernesto.com.br 35
Determine o tempo que será gasto por um Concorde para fazer essa mesma viagem, a uma velocidade de 2.200 km/h. a) 4h 5min b) 4h 15min c) 5h 20min d) 5h 40min e) 6h 15min 50. São necessários sete litros de leite para fabricar um quilo e meio de manteiga. Nessas condições, o volume de leite necessário para fabricar doze quilos de manteiga é: a) 42 litros b) 56 litros c) 62 litros d) 84 litros e) 86 litros 51. Ao ser transformado em farinha, o trigo perde 1/4 de sua massa. Se com 10 kg de farinha se fabricam 12,5 kg de pão, pode-se estimar que a quantidade de pão obtida com 200 kg de trigo, em quilogramas, é: a) 150,0 b) 175,0 c) 187,5 d) 190,5 e) 200 52. Numa gráfica, 5 máquinas de mesmo rendimento imprimem um certo número de cópias de certo folheto em 8 horas de funcionamento. Se 2 delas quebrassem, em quanto tempo de funcionamento as máquinas restantes fariam o mesmo serviço? a) 4 horas e 8 minutos. b) 4 horas e 48 minutos. c) 13 horas e 20 minutos. d) 13 horas e 33 minutos. e) 20 horas. 36 www.ednaldoernesto.com.br
53.Para percorrer uma certa distância, um ciclista observou que, se conduzisse sua bicicleta à velocidade média de 12 km/h, chegaria a seu destino 1 hora após o meio-dia; entretanto, se a velocidade média fosse de 18 km/h, chegaria ao mesmo destino 1 hora antes do meio-dia. Se ele pretende fazer o mesmo percurso e chegar ao seu destino exatamente ao meio-dia, a quantos quilômetros por hora, em média, deverá conduzir sua bicicleta? a) 15,6 b) 15 c) 14,4 d) 14,2 e) 14 54.O comprimento, em metros, do arame necessário para produzir 320 pregos é igual ao número de pregos que se produzem com 20 m desse mesmo arame. Quantos pregos serão produzidos com 500 m desse arame? a) 2000 b) 1800 c) 1500 d) 1200 e) 1000 55. Na construção de uma estrada trabalharam 20 homens durante 18 dias. Em seguida trabalharam 24 homens durante 10 dias. Em quanto tempo teria ficado pronta se os 24 homens houvessem trabalhado desde o início? 56. Um navio saiu com 250 passageiros para uma excursão, tendo levado víveres para 30 dias. Ao fim de 6 dias, 10 passageiros desistiram da viagem e desembarcaram. Para quantos dias foram suficientes os víveres restantes? www.ednaldoernesto.com.br 37
57.Um avicultor possui 15 galinhas para serem alimentadas durante 20 dias. Decorridos 2 dias, o avicultor comprou 3 galinhas. Quatro dias após essa compra, uma raposa matou várias galinhas e, em conseqüência, as rações ainda existentes deram para alimentar as galinhas que restaram durante 18 dias. Quantas galinhas a raposa matou? a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7 58.Um destacamento de 225 soldados constrói uma trincheira. O trabalho começa às 6 horas da manhã e deve durar 7 horas. Às 9 horas retiram-se 75 homens. A que horas estará terminado o trabalho, se é interrompido uma hora para o almoço? a) 12 h b) 15 h c) 13 h d) 16 h e) 14 h 59.Pessoas apressadas podem reduzir o tempo gasto em uma escada rolante subindo alguns degraus da escada no percurso. Para uma certa escada, observa-se que uma pessoa gasta 30s na escada quando sobe 5 degraus e 20s quando sobe 10 degraus. Quantos são os degraus e qual o tempo normalmente gasto? 38 www.ednaldoernesto.com.br
2. REGRAS DE TRÊS COMPOSTA 60.Um dentista, trabalhando 8 horas por dia, extrai em 3 dias, 36 dentes. Quantos dentes ele extrairá em 5 dias, trabalhando 6 horas por dia? 61.Para escaparem de uma penitenciária, 10 prisioneiros decidem cavar um túnel de 450m de comprimento. Em uma fuga anterior, 12 prisioneiros cavaram um túnel de 270m, trabalhando 6 horas por noite, durante 9 noites. Se os atuais prisioneiros pretendem trabalhar 4 horas por noite, em quantas noites o túnel ficará pronto? a) 26 b) 27 c) 28 d) 29 e) 30 62.Uma obra será executada por 13 operários (de mesma capacidade de trabalho) trabalhando durante 11 dias com jornada de trabalho de 6 horas por dia. Decorridos 8 dias do início da obra 3 operários adoeceram e a obra deverá ser concluída pelos operários restantes no prazo estabelecido anteriormente. Qual deverá ser a jornada diária de trabalho dos operários restantes nos dias que faltam para a conclusão da obra no prazo previsto? a) 7h 42 b) 7h 44 c) 7h 46 d) 7h 48 e) 7h 50 63.Se x 2 gatos caçam x 3 ratos em x dias, em quantos dias 10 destes gatos caçam 100 ratos? a) 1 dia b) 10 dias c) 20 dias d) 40 dias e) 50 dias www.ednaldoernesto.com.br 39
64. Doze fábricas, trabalhando 8 horas por dia, liberam 800m3 de gases em 15 dias. Quantas fábricas, trabalhando 7 horas e 12 minutos por dia, durante 10 dias, liberarão 600m3 de gases? a) 15 b) 18 c) 21 d) 25 e) 27 65. Se uma galinha e meia põe um ovo e meio em um dia e meio, quantos ovos põe uma galinha em uma dúzia e meia de dias? a) 11 b) 12 c) 13 d) 14 e) 15 66.Em 30 dias, 36 operários, trabalhando 10 horas por dia, cavaram um buraco com 60 metros de comprimento, 2,5 metros de largura e 4 metros de profundidade. Quantos operários serão necessários, trabalhando 12 horas por dia, para cavarem, em 18 dias,um buraco com 75 metros de comprimento, 3 metros de largura e 3,2 metros de profundidade? Supõe-se que a dificuldade do primeiro trabalho está para a do segundo, como 5 está para 6, e a eficiência de um operário da primeira turma está para a de um operário da segunda a turma, assim como 5 está para 4. a) 75 b) 80 c) 85 d) 90 e) 95 40 www.ednaldoernesto.com.br
O amor é a força mais humilde e mais poderosa que o mundo possui. Mahatma Gandhi (Mohandas Karamchand Gandhi 1869-1948): líder pacifista hindu. www.ednaldoernesto.com.br 41
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67. Uma bomba d água enche um reservatório em duas horas; outra bomba gasta 4 horas para encher o mesmo reservatório. Em quanto tempo as duas bombas juntas encherão o reservatório? 68. Um determinado trabalho é feito por João em 9 dias, por José em 12 e por Pedro em 18. O número de dias que os três juntos gastariam para executar esse trabalho é: a) 4 b) 6 c) 7 d) 8 e) 10 69. Dois guindastes, trabalhando juntos, descarregam um navio em 6 horas. Trabalhando em separado, sabendo-se que um deles pode descarregar o navio em 5 horas menos que o outro, quantas horas levaria cada um? a) 5 e 10 b) 11 e 16 c) 10 e 15 d) 3 e 8 e) 6 e 11 70.Uma torneira enche um tanque em oito horas e outra torneira enche o mesmo tanque em quatro horas. Ao meio dia, a primeira torneira foi aberta com o tanque vazio e, duas horas depois, a segunda também foi aberta. A que horas o tanque ficou cheio? a) 14h b) 14h 30min c) 15h d) 15h 30min e) 16h www.ednaldoernesto.com.br 43
71. Uma torneira enche um tanque em 4 horas e outra o esvazia em 6 horas. Achando-se o tanque vazio e abrindo-se simultaneamente as duas torneiras, em quanto tempo deverá encher o tanque? a) 9h b) 10h c) 11h d) 12h e) 13h 72.(UPE) Um tanque tem duas torneiras, a primeira enche o tanque em 15 horas e a segunda em 18 horas. Estando o tanque vazio e abrindo-se as duas torneiras durante as primeiras 5 horas, enche-se uma parte do tanque. Podemos afirmar que a segunda torneira encherá o restante do tanque em: a) 7 horas b) 8 horas c) 13 horas d) 10 horas e) 8,5 horas 73. Dois operários trabalhando separadamente levam 6 e 8 horas para montar um certo número de máquinas de calcular. Trabalhando juntos, são tão eficientes que o rendimento conjunto aumenta em 5 máquinas por hora e por causa disto terminam todo o serviço em 2 horas. O número de máquinas montadas por eles é: a) 10 b) 12 c) 16 d) 24 e) 36 44 www.ednaldoernesto.com.br
74. Os trabalhadores A e B, trabalhando separadamente, levam cada um 9 e 10 horas, respectivamente, para construir um mesmo muro de tijolos. Trabalhando juntos no serviço, sabe-se que eles assentam 10 tijolos a menos por hora em relação ao que se esperaria da combinação da velocidade de trabalho de cada um. Se juntos os dois trabalhadores constroem o muro em 5 horas, o número de tijolos assentados no serviço é igual a: a) 450 b) 600 c) 900 d) 1 550 e) 1 800 75. (Unicamp-SP) Duas torneiras são abertas juntas, a primeira enchendo um tanque em 5h, a segunda enchendo outro tanque de igual volume em 4h. No fim de quanto tempo, a partir do momento em que as torneiras são abertas, o volume que falta para encher o segundo tanque é 1/4 do volume que falta para encher o primeiro tanque? 76. Duas velas acesas às 7 horas da manhã. A primeira cujo comprimento tem o dobro da segunda, poderia levar 2 horas a gastar-se. A segunda, não tendo a mesma espessura, necessita de 5 horas para arder completamente. A que hora exata os dois tocos de vela estarão à mesma altura? www.ednaldoernesto.com.br 45
77. Cinco torneiras do tipo A, quando abertas simultaneamente, esvaziam um tanque cheio em 6h. Abertas, sete torneiras do tipo B, esvaziam o mesmo tanque em 4h. Em quanto tempo, abrindo três torneiras do tipo A e duas do tipo B, o tanque se esvaziará? a) 5h10 b) 5h20 c) 5h30 d) 5h40 e) 5h50 46 www.ednaldoernesto.com.br
O dever nos leva a fazer as coisas bem; mas o amor nos conduz a fazê-las com beleza e perfeição. Philips Brooks (1835-1892): bispo norte-americano da Igreja Episcopal; grande orador. www.ednaldoernesto.com.br 47
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PORCENTAGEM 78. Calcule: www.ednaldoernesto.com.br 49
79.Numa cidade do interior, 40% da população é constituída de pessoas com menos de 18 anos. Sabendo-se que o número desses jovens é 88.000, calcular a população local. a) 200.000 pessoas b) 210.000 pessoas c) 220.000 pessoas d) 230.000 pessoas e) 240.000 pessoas 80.Numa cidade, 45% da população é composta por homens. Qual a população total dessa cidade se nela residem 60.500 mulheres? 81.Um certo número de pessoas aguardam o momento de ocupar as poltronas de um teatro. Sabe-se que se 80% do total das pessoas ocuparem as poltronas, 125 lugares ficarão desocupados; entretanto, se 60% do total das pessoas ocuparem as poltronas, restarão 175 lugares vagos. Nessas condições, o número de poltronas desse teatro é: a) 325 b) 350 c) 375 d) 400 e) 450 82.(COVEST) Dentre os inscritos em um concurso público, 60% são homens e 40% são mulheres. Já têm emprego 80% dos homens e 30% das mulheres. Qual a porcentagem dos candidatos que já têm emprego? a) 60% b) 40% c) 30% d) 24% e) 12% 50 www.ednaldoernesto.com.br
83.Uma cidade possui uma população de 100.000 habitantes, dos quais alguns são eleitores Na eleição para a prefeitura da cidade havia 3 candidatos. Sabendo-se que o candidato A obteve 20% dos votos dos eleitores, que o candidato B obteve 30%, que os votos nulos foram 10%, que o candidato C obteve 12.000 votos e que não houve abstenções, a parte da população que não é eleitora é de quantos habitantes? 84.Uma psicóloga realizou com 400 alunos da 1 série do ensino médio de um colégio um estudo sobre orientação profissional. Após algumas dinâmicas e entrevistas, condensou as informações sobre a intenção e carreira dos alunos no gráfico abaixo: Quando os mesmos alunos estavam na 3ª série, a psicóloga repetiu o estudo com eles e notou que, em relação à sondagem anterior, 5/16 dos interessados em Humanas migraram para Exatas e 3/40 para Biológicas. Admitindo que não haja outras migrações; podemos garantir que o número de alunos que farão vestibular para humanas é: a) 84 b) 98 c) 100 d) 108 e) 120 85.Uma universidade realizou um levantamento sobre a origem dos 4.800 novos alunos ingressantes. Os dados encontram-se resumidos nos gráficos seguintes: www.ednaldoernesto.com.br 51
Baseando-se nestes dados podemos afirmar que o número de alunos da capital que só estudou em escola particular recém-ingressos na universidade é: a) 3400 b) 2800 c) 2200 d) 1600 e) 1404 86. A porcentagem de fumantes de uma cidade é 32%. Se 3 em cada 11 fumantes deixarem de fumar, o número de fumantes ficará reduzido a 12.800. Calcule: I - o número de fumantes da cidade. II - o número de habitantes da cidade. a) (I) 18.400 e (II) 56.800 b) (I) 16.800 e (II) 54.200 c) (I) 17.600 e (II) 55.000 d) (I) 17.200 e (II) 54.300 e) (I) 18.200 e (II) 55.600 87.(UF-MG) Fez-se uma pesquisa com duzentos casais de uma comunidade. Esses casais foram divididos em quatro grupos, de acordo com a quantidade de filhos de cada um. Os resultados dessa pesquisa estão representados nestes gráficos: 52 www.ednaldoernesto.com.br
Grupo A: Casais com somente um filho Grupo B: Casais com somente dois filhos Grupo C: Casais com somente três filhos Grupo D: Casais com somente quatro filhos Com base nas informações contidas nesses gráficos, podemos garantir que o total de filhos do sexo masculino destes 200 casais é: a) 120 b) 230 c) 80 d) 340 e) 190 www.ednaldoernesto.com.br 53
RESOLVA OS PROBLEMAS A SEGUIR: 88. Um aumento de 40% seguido de um outro aumento de 30% equivale a um único de: 89. Dois descontos consecutivos de 30% equivalem a um único de: 90. Três aumentos consecutivos de 30%, 40% e 15% equivalem a um único de: 91. Três descontos consecutivos de 10%, 25% e 30% equivalem a um único de: 92. Um aumento de 40% seguido de um desconto de 20% equivale a: 54 www.ednaldoernesto.com.br
93. Um desconto de 40% seguido de um aumento de 20% equivale a: 94. O salário de Nestôncio é de R$ 1.430,00. Se ele receber um aumento de 30% sobre este salário, quanto passará a receber? 95. Uma máquina produz 300 peças em 1 hora. Após o recondicionamento passa a produzir 360 peças por hora. Percentualmente, qual foi o aumento da produção? 96.O preço de um aparelho elétrico com um desconto de 40% é igual a R$ 36,00. Calcule, em reais, o preço deste aparelho elétrico, sem este desconto. 97.(COVEST-1 FASE) Uma loja oferece a seguinte promoção: Pague x reais e leve mercadorias no valor de reais. Qual o desconto sobre o valor da mercadoria que se leva? a) 21 % b) 22 % c) 23 % d) 24 % e) 25 % www.ednaldoernesto.com.br 55
98. Um motor de competição desenvolvia 240 HP. Após vários anos de uso, passou a desenvolver apenas 204 HP. Qual é a redução porcentual da potência? a) 15% b) 16% c) 17% d) 18% e) 20% 99.(Faap-SP) No mês de outubro de determinado ano, uma categoria profissional tem direito a um aumento salarial de 75%. Como a categoria já havia recebido uma antecipação de 25% em julho, a porcentagem de acréscimo adicional do salário para compensar a antecipação concedida é de: a) 30% b) 40% c) 50% d) 60% e) 70% 100.(Covest Mat. 1 2002) Suponha que um chuveiro elétrico na posição inverno consome 72% a mais que na posição verão. Mudando da posição inverno para a posição verão, qual será o percentual de economia? (Indique o inteiro mais próximo). 101.(Unifor-CE) No mês de outubro, devido à crise atual, o dono de uma confecção reduziu os preços de setembro em 10%. Não obtendo o aumento de vendas desejado, em novembro os preços foram novamente reduzidos em 10%. Após essa segunda redução, quem compra agora um vestido por R$ 145,80 está economizando, em relação ao preço de setembro, a quantia de: a) R$ 36,45 b) R$ 34,20 c) R$ 32,00 d) R$ 30,61 e) R$ 29,16 56 www.ednaldoernesto.com.br
102.Durante sua viagem ao país das Maravilhas a altura de Alice sofreu quatro mudanças sucessivas da seguinte forma: primeiro ela tomou um gole de um líquido que estava numa garrafa em cujo rótulo se lia: beba-me e fique 25% mais alta. A seguir, comeu um pedaço de uma torta onde estava escrito: prove-me e fique 10% mais baixa ; logo após tomou um gole do líquido de outra garrafa cujo rótulo estampava a mensagem: beba-me e fique 10% mais alta. Finalmente, comeu um pedaço de outra torta na qual estava escrito: prove-me e fique 20% mais baixa. Após a viagem de Alice, podemos afirmar que ela: a) ficou 1% mais baixa b) ficou 1% mais alta c) ficou 5% mais baixa d) ficou 5% mais alta e) ficou 10% mais alta 103.Contrariando o plano real, um comerciante aumenta o preço de um produto que custava R$ 300,00 em 20%. Um mês depois arrepende-se e fez um desconto de 20% sobre o preço reajustado, o novo preço do produto é: a) R$ 240,00 b) R$ 278,00 c) R$ 300,00 d) R$ 288,00 e) R$ 290,00 www.ednaldoernesto.com.br 57
104. Uma mercadoria comprada por $ 350,00 foi vendida por $ 420,00. Qual foi a porcentagem de lucro sobre a compra? 105. Por quanto devo vender uma peça de tecido comprada por $ 3.000,00 para obter 40% de lucro sobre a venda? 58 www.ednaldoernesto.com.br
106. Quanto paguei por uma casa se, ao vendê-la por $ 56.000,00, tive um prejuízo de 20% sobre o preço de custo? 107. Comprei um móvel por $ 50.000,00, e, a seguir vendi com um prejuízo de 10% sobre a venda. Podemos dizer que vendi por: a) $ 45.000, 00 b) $ 45.500, 00 c) $ 40.000, 00 d) $ 45.454, 54 e) $ 45.500, 50 108. (Fatec-SP) Certo comerciante deve recolher um imposto de 20% sobre o preço de venda de cada artigo. Em cada venda, esse comerciante deseja descontar o imposto e ficar com um lucro de 20% sobre o preço de compra do artigo. Nessas condições, o preço de venda deve conter um acréscimo sobre o preço de compra de: a) 20% b) 40% c) 44% d) 50% e) 52,5% 109. Certa mercadoria foi vendida por R$ 6.000,00 com lucro de 20% sobre o preço de custo. Se o lucro de 20% tivesse sido sobre o preço de venda, por quanto teria sido vendida a mercadoria? www.ednaldoernesto.com.br 59
110.Uma loja vende seus produtos com 25% de lucro sobre o preço de custo. Portanto seu lucro sobre o preço de venda é de : a) 150% b) 125% c) 25% d) 20% e) 4% 111.Se seu salário subiu 56%, e os preços subiram 30%, de quanto aumentou o seu poder de compra? a) 20% b) 21% c) 23% d) 25% e) 26% 112.Se o salário de um trabalhador aumenta 30% e o preço de uma mercadoria diminui 20%, calcule o percentual do aumento do poder de compra deste trabalhador. 60 www.ednaldoernesto.com.br
113.Em um certo período os salários tiveram dois aumentos consecutivos de 30% e 20%, em compensação os preços das mercadorias tiveram no mesmo período um aumento de 50%. Pergunta-se: com relação ao poder de compra do trabalhador houve variação? E qual o percentual desta variação? 114.Em um período em que os preços subiram 82%, os salários de certa categoria aumentaram apenas 30%. Para que os salários recuperem o poder de compra, eles devem ser aumentados em: a) 40% b) 46% c) 52% d) 58% e) 64% 115.(Covest) 95% da massa de uma melancia de 10kg é constituída por água. A fruta é submetida a um processo de desidratação (que elimina apenas água) até que a participação da água na massa da melancia se reduza a 90%. A massa da melancia após esse processo de desidratação será igual a: www.ednaldoernesto.com.br 61
116.(Covest/ Mat. 1) Um recipiente contém uma mistura de leite natural e de leite de soja num total de 200 litros, dos quais 25% são de leite natural. Qual é a quantidade de leite de soja que deve ser acrescentada a esta mistura para que ela venha a conter 20% de leite natural? 117.Um ônibus de 50 lugares partiu de Uberlândia em direção a Catalão, com 90% dos lugares ocupados por homens e os restantes por mulheres. Em Araguari somente passageiros homens desembarcaram, não havendo embarque de mais passageiros. Quando o ônibus seguiu viagem, 80% de seus passageiros eram homens. Quantos passageiros desceram em Araguari? 118.Uma quantidade de 6240L de água apresentava índice de salinidade de 12%. Devido à evaporação, esse índice subiu para 18%. Calcule a quantidade, em litros, da água que evaporou. 119.(Covest) Uma solução tem 75% de ácido puro. Quantos gramas de ácido puro devemos adicionar a 48 gramas da solução para que a nova solução contenha 76% de ácido puro? 62 www.ednaldoernesto.com.br
120. (Covest) O sistema de refrigeração de uma máquina contém 190L de uma mistura líquida com 5% de anti-corrosivo. Indique quantos litros da mistura devem ser substituídos por anti-corrosivo puro, de modo que se tenha o mesmo volume inicial, porém com 8% da substância protetora. PARTE 06 APLICAÇÃO DE PORCENTAGEM A GRANDEZAS PROPORCIONAIS 121. A área de um paralelogramo é dada pelo produto entre as medidas da base e da altura: Calcule em taxa percentual qual a variação da área se a base aumentar 30% e a altura reduzir 10%. a) Aumenta 20% b) Diminui 20% c) Aumenta 27% d) Diminui 27% e) Aumenta 17% www.ednaldoernesto.com.br 63
122. Quando um corpo se encontra em trajetória circular, a força centrípeta F é dada por. Se a massa m for mantida constante, a velocidade v aumentar 20% e o raio da trajetória, r, aumentar 50%, podemos afirmar que a força centrípeta irá: a) Diminuir 4% b) Diminuir 6% c) Aumentar 4% d) Aumentar 6% e) Aumentar 10% 123. Sabendo que o volume V de um cilindro de raio R e altura h é V = ΠR². h e que o raio da base teve um aumento de 20% e que a altura diminuiu 25%, então podemos afirmar que, com relação ao volume inicial, o volume final: a) Diminuiu 5% b) Aumentou 8% c) Diminuiu 8% d) Aumentou 5% e) Diminuiu 4% 64 www.ednaldoernesto.com.br
Procure praticar o bem; mas enquanto não lhe for possível, vá tentando imitar quem o pratica; assim você acabará praticando-o. Aléxis Carrel (1873-1944): cirurgião e fisiologista; publicou obras de cunho filosófico; nasceu em Lyon, França. www.ednaldoernesto.com.br 65
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MÉDIAS 124. A média aritmética de 2 números reais positivos é 10 e a média geométrica dos mesmos números é 6. Então, a soma dos quadrados desses números é: a) 401 b) 328 c) 334 d) 214 e) 286 125. A média aritmética de dois números inteiros positivos é 5 e sua média harmônica é 516. Quanto vale a média geométrica desses dois números? a) 1 b) 16 c) 4 d) 29 e) 24 www.ednaldoernesto.com.br 67
126.Um adubo químico possui salinidade 5% e um outro 10%, adicionando-se 7 sacos do primeiro a 3 sacos do segundo obteremos um adubo com salinidade: a) 8% b) 7% c) 7,5% d) 6,5% e) 9,0% 127.A média aritmética de 11 números é 45. Se o número 8 for retirado do conjunto, a média aritmética dos números restantes será: a) 48,7 b) 48 c) 47,5 d) 42 e) 41,5 128.Uma escola tem 18 professores. Um deles se aposenta e é substituído por um de 22 anos. Com isso a média das idades dos professores diminui de 2 anos. Qual a idade do professor que se aposentou? 129.Sendo M a, M g e M h, respectivamente, as médias aritmética, geométrica e harmônica, dos números e 1, qual das desigualdades abaixo é a verdadeira? a) M g < M a < M h b) M a < M h < M g c) M h < M a < M g d) M h < M g < M a e) M g < M h < M a 68 www.ednaldoernesto.com.br
130. Misturando-se 20 litros de água à temperatura de 60ºC, 40 litros a 80ºC e 10 litros a 100ºC, a temperatura de equilíbrio é de, aproximadamente: a) 62ºC b) 70ºC c) 77ºC d) 84ºC e) 90ºC 131. Qual a relação que deverá existir entre dois números reais positivos quaisquer, x e y, de modo que suas médias aritmética e geométrica, sejam iguais? 132. Covest) Na fabricação de uma bebida chamada Porto, misturam-se duas outras bebidas chamadas conhaque e vinho. Sabendo-se que o teor alcoólico do conhaque é 42%, do vinho 12% e do Porto 18%, qual a percentagem aproximada de conhaque na mistura? a) 10% b) 20% c) 30% d) 40% e) 50% 133. (UMC-SP) Um grupo de 10 pesquisadores teve dois de seus integrantes substituídos. A soma de suas idades era 112 anos. Com a chegada dos substitutos, a idade média do grupo diminuiu em 5 anos. Sabendo-se que um dos novos pesquisadores tem 30 anos, a idade do outro deve ser: a) 25 anos b) 32 anos c) 30 anos d) 45 anos e) 46 anos www.ednaldoernesto.com.br 69
134. Um negociante reuniu num tonel 50 litros de vinho a R$ 80,00 o litro, 80 litros ao preço de R$ 90,00 o litro e 70 litros a R$ 100,00 o litro. A quanto ele deve vender o litro da mistura, em reais, a fim de obter um lucro de 25% no preço do vinho? a) 91,00 b) 112,50 c) 113,75 d) 125,00 e) 227,50 135. (Covest) Um minério A tem massa igual a 5kg e contém 72% de ferro; um minério B, de massa m, contém 58% de ferro. A mistura desses minérios contém 62% de ferro. A massa m, em kg, é: a) 10 b) 10,5 c) 12,5 d) 15,5 e) 18,5 136. Em classe o professor resolveu representar graficamente as notas dos alunos através de um gráfico de setores como mostra a figura abaixo. Com base nestes dados foram feitas as seguintes afirmações: I) A média da classe foi 4, 6; II) Se considerarmos apenas as notas acima de cinco, a média da classe é 6,7; III) Se a classe tiver 80 alunos, apenas 20 tiraram nota 5; IV) Pode-se afirmar com certeza que o número de alunos com nota 2 é dobro do número de alunos com nota 8. Podemos concluir que são verdadeiras as afirmações: a) nenhuma b) I, III e IV apenas c) I, II e IV apenas d) III e IV apenas e) todas. 70 www.ednaldoernesto.com.br
Cada um aprende da história humana as lições que sintonizam com os seus princípios de vida. Nelso Malacarne (1932): professor e educador; natural de Flores da Cunha (RS). www.ednaldoernesto.com.br 71
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NOÇÕES DE ESTATÍSTICA (MEDIDAS PARA DADOS AGRUPADOS) A coleta, o processamento, a interpretação e a apresentação de dados numéricos pertencem todos ao domínio da estatística. Nesse nosso estudo introdutório nos ocuparemos apenas dos dois últimos domínios citados: a apresentação e a interpretação de dados numéricos. Quanto à apresentação de dados numéricos, podemos fazê-la através de tabelas, gráficos de diversos tipos (de setores, de barras, de linhas, histogramas, etc.) os quais aparecerão nos diversos exercícios adiante. No que diz respeito à interpretação dos dados, estudaremos as medidas de tendência central e as medidas de dispersão de um certo conjunto de valores. 1. Medidas de tendência central As medidas de tendência central são necessárias quando necessitamos resumir dados numéricos através de um único número que os represente, que descreve todo o conjunto. Exatamente que tipo de número devemos escolher depende da característica particular que desejamos descrever. Nesse estudo abordaremos as seguintes medidas de tendência central, também conhecidas por medidas de localização ou medidas de centrabilidade: - Média A média que utilizamos será sempre a média aritmética. Dado um conjunto de n valores: Caso alguns valores do conjunto apareçam mais de uma vez, dizemos que este valor tem freqüência ou peso maior que um, neste caso é válido ponderar a média aritmética. - Moda É o valor que ocorre com maior freqüência e mais de uma vez. Se um conjunto de valores possuir duas modas será chamado bimodal e se não possuir moda será dito amodal. - Mediana Dado um conjunto de n valores x 1, x 2,..., x n, colocados em ordem crescente, definimos a mediana como sendo o termo central (se n for ímpar) e será a média aritmética entre os termos (se n for par). www.ednaldoernesto.com.br 73