NIVELAMENTO 0/ MATEMÁTICA BÁSICA Núcleo Básico da Primeira Fase
Instituto Superior Tupy Nivelamento de Matemática Básica. Adição e Subtração Regra:. REGRAS DOS SINAIS Sinais iguais: Adicionamos os algarismos e mantemos o sinal. Sinais diferentes: Subtraímos os algarismos e aplicamos o sinal do maior. Eemplos:. Multiplicação e Divisão Regra: Sinais iguais: Operamos os algarismos e aplicamos o sinal positivo. Sinais diferentes: Operamos os algarismos e aplicamos o sinal negativo. Eemplos: f) g) h) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). OPERAÇÕES COM FRAÇÕES. Adição e Subtração Para adicionar ou subtrair frações, devemos proceder da seguinte maneira: Reduzimos as frações ao mesmo denominador, isto é, devemos calcular o mínimo múltiplo comum (M.M.C.) dos denominadores; Adicionamos ou subtraímos os numeradores e conservamos o denominador comum; Simplificamos o resultado sempre que possível. Eemplos: 8 5 5 9. Multiplicação Para multiplicarmos frações, procedemos da seguinte forma: Multiplicam-se os numeradores entre si; Multiplicam-se os denominadores entre si; Simplifica-se a fração resultante, sempre que possível. Eemplos: 7 5 5 ( ) 7 9 7 Observação: Numa multiplicação de frações, pode-se simplificar os fatores comuns ao numerador e ao denominador, antes de efetuá-la, conforme o eemplo c.. Divisão Para dividir duas frações, procedemos da seguinte forma: Multiplica-se a primeira fração pelo inverso da segunda fração; Simplifica-se o resultado sempre que possível. Eemplos: 5 7 5 0
. Potenciação Para elevar uma fração a um certo epoente, eleva-se o numerador e o denominador a esse epoente. Eemplos: 0 0. SEQUÊNCIA DE OPERAÇÕES As epressões numéricas e algébricas devem ser resolvidas obedecendo a seguinte ordem de operação: º Potenciação e Radiciação; º Multiplicação e Divisão; º Adição e Subtração. Essas operações são assim realizadas: º Parênteses; º Colchetes; º Chaves. - 5 Observações: Elevando um número ao epoente par, o resultado será positivo, conforme o eemplo a. Elevando um número a um epoente ímpar, o resultado terá o sinal do próprio número, conforme o eemplo c..5 Radiciação Para obter a raiz de uma fração, etrai-se as raízes do numerador e do denominador. Eemplos: 5. PRODUTOS NOTÁVEIS Certos produtos aparecem com bastante frequência no cálculo algébrico, em Geometria Analítica, por eemplo. Os Produtos Notáveis, como o próprio nome já diz, significa: produto resultado da multiplicação, e notável que se destaca. O único problema é que, às vezes, eles aparecem e a gente nem nota! Estes Produtos Notáveis acontecem quando, na multiplicação entre dois termos, aparecem variáveis. Tais produtos poderão ser calculados usando-se a propriedade distributiva (conhecida como chuveirinho ), ou então, de forma mais direta, através de algumas regras que veremos a seguir.. Quadrado da Soma de dois Termos ( a ( a ( a a ab ab b Portanto: (a a ab b 8 9 R Primeiro termo Segundo termo Quadrado do º termo vezes o º pelo º termo Quadrado do º termo Observações: Quando o índice da raiz for par não eistirá a raiz de um número negativo, conforme o eemplo c. R conjunto dos números reais Logo, podemos estabelecer a seguinte regra: O quadrado da soma de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo mais duas vezes o produto do º pelo º termo, mais o quadrado do segundo termo.
Eemplos: ( y) () [. (). (y) ] (y) y y (a ) ( [. (. () ] () 9a a. Quadrado da Diferença de dois Termos Quadrado da Diferença de dois Termos pode ser enunciado da mesma maneira que o quadrado da soma de dois termos. Então temos: ( a ( a ( a a ab ab b Portanto: (a a ab b Logo podemos estabelecer a seguinte regra: O quadrado da diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo menos duas vezes o produto do º pelo º termo, mais o quadrado do segundo termo. Eemplos: ( y) y y (a 5) ( [.(.(5) ] (5) 9a 0a 5. Produto da Soma e Diferença de dois Termos O Produto da Soma pela Diferença de dois Termos segue o mesmo raciocínio dos casos anteriores. Veja: ( a ( a a ab ab b a Portanto: (a.(a a b Logo podemos estabelecer a seguinte regra: b O produto da soma pela diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo menos o quadrado do segundo termo. Eemplos: ( y).( y) y y y Logo: ( y).( y) y ## EXERCÍCIOS EXERCÍCIOS EXERCÍCIOS ## ) Calcule os quadrados e os produtos: (a 5) f) ( ).( ) ( ) g) ( ).( ) ( y) h) (7.( a 7) (a ) i) (¾ y).(y ¾) ( ) j) (m ½).(m ½) a d ) a h) 9 a 0a 5 a 9 i) y j) m f ) ) Simplifique as epressões: (a ) (a ) (y 5) y(y 0) (a (a ( ) ( ) ( y)( y) ( y) y a y 9 y 9 ) a a 5 a b 8 g) # EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES (FIXAÇÃO) # ) Efetue as operações: ( ) ( ) (y ) (y ) (y )( ) ( ) ( ) ( ) (ab ) ab(ab ) f) (ay ) (ay ) 8 y y y y y 7 a b ab f )a y ) Nos eercícios abaio, obtenha os produtos notáveis: (m n) (a b ) (7y y ) f) ( 5 ) (b c 5 ) g) ( ) ( ) h) ( y) (a 5).(a 5) ( (5) 9a 5
9m m n n 9 g) 9 9a a b b h) y y 8 9y y 9y 8 5 0 b b c c 5 0 f ) ) Calcule os seguintes produtos notáveis: y y b m ab 5 7 a b ab b y y 9a b ab a b a b a b 9 9 8 y y m m 5 5 9 CURIOSIDADE: Quando não se dispõe de uma máquina de calcular, podem-se utilizar os conceitos dos produtos notáveis para facilitar alguns cálculos específicos. Veja: Qual o produto de ().(9)? Transformando a multiplicação para um produto notável, temos: (0 ).(0 ) 0² ² 00 599 Agora tente você! Calcule (0).(99) utilizando um produto notável. RESUMINDO: ( a ( a a ab b ( a ( a a ab b ( a (. a ( a (. a a b 5. FATORAÇÃO Fatorar uma epressão é reescrevê-la em fatores (partes) que se multiplicam. Estas partes (fatores) podem apresentar números e/ou variáveis que devem ser escritas com os menores números possíveis, e, as variáveis (letras), com o menor epoente natural possível. Observe a igualdade abaio: 5a 5b 5(a Como 5a 5b poder escrito 5(a, dizemos que epressão 5a 5b foi fatorada, tendo como fator comum o número 5, que foi colocado em evidência. Eemplos: ab ac a(b fator comum a ( ) fator comum 0m 0m 0m( m) fator comum 0m ## EXERCÍCIOS EXERCÍCIOS EXERCÍCIOS ## ) Fatore as epressões: a a 8a 5 0 0 5 5a a 0a y 9y ( y) ( y ( a ( a b ) f) ) a(a a ) 5 ( ) a (5 a 0a ) y( y) ( y)( ) f) (a ( ) # EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES (FIXAÇÃO) # ) Simplifique as epressões dadas: a b 0a 5ay 5a y 8y 7m 7n m n f) g) 5 a b 5y y( ) y z a b 7a b 7a b 8 y y y 7 5y z f) a b g) y 5
. EQUAÇÃO DO GRAU Equação do grau é toda equação que se reduz à forma a b 0, onde a e b são números reais, com a 0. Vejamos alguns eemplos: 9 7 5 9 5 7 0 0 0 9 ( ) ( 9) ( ) 9 9 0. Resolução de uma Equação do Grau Resolver uma equação do grau é determinar o valor de (variável) que satisfaz a igualdade. Vejamos alguns eemplos: 9 7 5 9 5 7 0 0 5 Temos então que: S { 5 } 9 ( ) ( 9) ( ) 9 9 9 9 Logo, temos: S ## EXERCÍCIOS EXERCÍCIOS EXERCÍCIOS ## ) Resolva as equações a seguir: ( ) ( ) 5 [ ( ) ] ( 9) m 5 m m 8 ( ) 5( ) { 5 } { } a ) d ) 7. EQUAÇÃO DO GRAU 7 Equação do grau é toda equação que se apresenta na forma a b c 0, onde a, b e c são números reais, com a 0. Vejamos alguns eemplos: 7 0 a ; b 7; c 0 0 a ; b 0; c 0 5 0 a ; b 0; c 5 0 a ; b 0; c 0 7. Resolução de uma Equação do Grau A resolução de uma equação do º grau pode ser obtida através de uma fórmula, usualmente chamada Fórmula de BHÁSKARA: b a b ± a c b c 0 b ac a A epressão, chamada de discriminante da equação, é geralmente representada pela letra grega Δ (lê-se: delt. Então: Δ b ac Logo, se Δ 0, podemos escrever: b ± a Observe que, quando Δ < 0, a equação não admite raízes reais. Δ
Eemplo: Resolva a equação 7 0 Valores: a ; b 7; c Fórmula: b ± b ac a Substituindo os valores, temos: Então: 7 ± 7 7 ± 9 7 ± 5 7 ± 5 7 5 7 5 Logo, o conjunto-solução, também chamado de conjunto-verdade é: V, ## EXERCÍCIOS EXERCÍCIOS EXERCÍCIOS ## ) Determine o conjunto-verdade das equações: 5 0 p 0 p 0 y y 0 0 0 0 0 80 0 f) y 0 y g) 9y 5 y h) 5 i) V V i) V {, 5} V 0, V {, 0} d ) V { 8, 8} {, } f ) V { 5, } g ) V h) V {, } {, } 0 # EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES (FIXAÇÃO) # (Equação do º Grau) ) Determine o conjunto-solução das equações abaio: 5.( ). ( ) 0 5. ( ). ( ) f) 8 7 8 ( ) 5.. ( ) 5. ( ) 5 ) Resolva as equações, apresentando o conjunto verdade: a 0 n 8 n 8n 9n 5 f) S {} S {} S { /} S {5/} S {} f) S {/} V {/} V {/} V { 5/} V {} V {0} f) V {7/} 7
# EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES (FIXAÇÃO) # (Equação do º Grau) ) Determine o conjunto-solução das equações: 5 0 0 7 0 0 5 0 5 0 f) 7 0 g) 9 0 h) 0 i) 0 j) 7 0 l) 0, 0,7 0 m) 0 n) o) 7 p) 0 q) r) s) 5 5 5 5 5 9 7 7 ( ) {, /} {/, /5} {} { R} {0, 5/} f) { /7, 0} g) {0, 9} h) {± } i) { ± / } j) {± } l) {, 5} m) {, } n) {} o) {0, 5} 9. Método da Substituição Vejamos um eemplo: Resolva o sistema: Resolução: Isolando o valor de em I: y 5 y y 5 5 y Substituindo por (5 y) em II, temos: y (5 y) y 5 y y y y 5 y y y y Substituindo y em 5 y, temos: 5 () 5 Então, encontramos o par ordenado que gera a solução: 9. Método da Adição Vejamos um eemplo: Resolva o sistema: Resolução: S { (, ) } y 9 y 5 Adicionando membro a membro as equações, de modo que a soma de uma das variáveis torne-se nula: y 9 y 5 I II I II p) {/, /} q) {0} r) S s) {5, /} 7 Substituindo 7 em I, temos: 9. SISTEMAS DE EQUAÇÕES DO º GRAU Resolver um sistema de equações do º grau é determinar o par ordenado (, y) para o qual, as duas equações são verdadeiras. Vamos recordar dois métodos de resolução: o método da substituição e o método da adição. y 9 7 y 9 y 9 7 y Assim, temos o par ordenado que gera a solução: S { (7, ) } 8
## EXERCÍCIOS EXERCÍCIOS EXERCÍCIOS ## ) Determine a solução para cada um dos sistemas abaio: # EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES (FIXAÇÃO) # (Sistemas de Equações do º Grau) ) Resolva os sistemas de equações: y y y 8 5 y y ( y) y 7 y y 8 y 5 y para y 5 y y para y 0 y y para y y f) para ± y y y y g) para y e y y h) para y 0 0, 0,5y 0,5, y, ) Se o par ( a, é a solução do sistema y 5y ) Resolva o sistema abaio: a b a b a b, calcule o valor de a b. 7 ( a ) Resolva o sistema: 5) Se o par ordenado ( y) 0 y y y, é a solução do sistema abaio, calcule o valor de y. y y y y 8 S {(, )} S {(, )} S {(, /)} ) S {0} ) S {(, )} ) S {(8,)} 5) S {5} 7 y 5 y i ) para y S f ) S {( 5, )} S {( 7, ) } S {(,) } S {( 0,) } {(,) } g) S {(, ) } h) S {( 8,) } i) S {(,) } S, 9
# EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES (FIXAÇÃO) # (Problemas envolvendo Equações do º e º Graus) ) A soma do quádruplo de um número com é igual a. Qual é esse número? ) Quando diminuímos 8 anos da idade de Helena, obtemos de sua idade. Qual é a idade de Helena? 5 ) Se adicionarmos um número natural com o seu sucessor e multiplicarmos o resultado por 5, vamos obter 5. Qual é o número natural considerado? ) Se do número subtrairmos o quíntuplo do inverso de um número, obteremos a fração número?. Qual é o 5) Divide-se um número pelo seu consecutivo. Soma-se ao resultado dessa divisão o dobro do inverso do número e obtém-se. Qual é esse número? ) Uma sala retangular tem m a mais de comprimento que a largura. Se a área da sala é de 5m, qual é o seu perímetro? 7) Juntos, dois terrenos quadrados ocupam uma área de 9 m. O lado de um dos terrenos tem m a mais que o lado do outro. Qual é área de cada terreno? 8) Diminuindo m de cada lado de um terreno quadrado, obteremos um novo terreno de área 9m. Qual é a área do terreno original? REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS (comentadas) GIOVANNI, José Ruy; BONJORNO, José Roberto. Matemática: uma nova abordagem. v.. São Paulo: FTD, 000. 9 Neste livro você encontrará toda teoria e eercícios envolvendo trigonometria no triângulo retângulo (logo no início do livro). GIOVANNI, José Ruy; CASTRUCCI, Benedito; GIONVANNI JR, José Ruy. A Conquista da Matemática: teoria e aplicação. 7ª série. São Paulo: FTD, 99. 9 Neste livro você encontrará toda teoria e eercícios envolvendo produtos notáveis, fatoração, frações algébricas, equação do º grau e sistema de equações do º grau. GIOVANNI, José Ruy; GIONVANNI JR, José Ruy. Aprendizagem e Educação Matemática, 7. São Paulo: FTD, 990. 9 Neste livro você encontrará toda teoria e eercícios envolvendo produtos notáveis, fatoração, frações algébricas, equação do º grau e sistemas de equações do º grau. GIOVANNI, José Ruy; GIONVANNI JR, José Ruy. Aprendizagem e Educação Matemática, 8. São Paulo: FTD, 990. 9 Neste livro você encontrará toda teoria e eercícios envolvendo equações do º grau e trigonometria no triângulo retângulo. ANOTAÇÕES E LEMBRETES: 9) Se do quadrado de um número subtrairmos, obteremos o próprio número. Qual é esse número? 5 ) 7 ) 0 anos ) ) 5) ) 0 m 7) 9m e 00m 8) 89 m 9) ou Para refletir... Eiste um paralelismo fiel entre o progresso social e a atividade matemática; os países socialmente atrasados são aqueles em que a atividade matemática é nula ou quase nula. (Jacques Chapellon) 0